Algebra delle Matrici

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1 lgebr delle Mtrici

2 Definizione di un mtrice Un mtrice esempio: è definit d m righe e d n colonne come d In questo cso l mtrice è compost d righe e colonne Se il numero delle righe è ugule l numero delle colonne l mtrice si dice qudrt L elemento dell mtrice è definito come: ij i indice di rig j indice di colonn

3 Mtrice tringolre superiore o inferiore

4 Mtrice trspost Dt un mtrice si chim mtrice trspost l mtrice che h per colonne le righe di : ji ij Esempio:

5 Mtrice null Un mtrice è definit null se contiene tutti gli elementi uguli

6 Mtrice identità L mtrice identità è un mtrice qudrt chimt I dove gli elementi dell digonle principle tutti ugule d mentre il restnte uguli zero d esempio: I Quest mtrice risult molto importnte perché: I I I

7 Vettore rig e vettore colonn Un mtrice di dimensione è chimt vettore rig: n 7 Invece, un mtrice di dimensione è chimt vettore colonn: m 7 c

8 Sottomtrice principle di M L sottomtrice h l digonle principle con gli stessi elementi dell digonle principle di M 8 7 M

9 Sottomtrice principle di test di M Gli elementi digonli coincidono in posizione con gli elementi di M M

10 Somm di mtrici Dte due mtrici e B l loro somm, cioè + B, è definit come NB Stesso numero di righe e stesso numero di colonne Esempio: ij b ij B B C b c

11 Prodotto di un mtrice per uno sclre Se moltiplichimo l mtrice di dimensione m n per uno sclre, il risultto srà un mtrice sempre di dimensione m n, ottenut moltiplicndo lo sclre per ogni elemento dell mtrice Esempio:

12 Prodotto righe per colonne Per poter effetture il prodotto righe per colonne tr due mtrici è necessrio che il numero delle colonne dell prim mtrice si ugule l numero delle righe dell second mtrice il prodotto righe per colonne è l mtrice che si ottiene: mettendo nel posto ij il prodotto sclre tr i-esim rig dell prim mtrice per j- esim colonn dell second mtrice Esempio: B 7 B C

13 Prodotto righe per colonne Dove gli elementi dell mtrice C sono uguli d: 7 c c c c c c C

14 Prodotto righe per colonne h m h n n m C B D notre: D ciò implic che se moltiplico un vettore rig per un vettore colonn ottengo uno sclre Invece, se moltiplico un vettore colonn per un vettore rig ottengo un mtrice: c b n n n n n n C b

15 Prodotto righe per colonne esempio b 8 b invece b 8 b

16 Esercizi Dti un vettore di b ed un mtrice di, verific se lmeno un elemento di b è nche elemento di Dt un mtrice, verific se è tringolre superiore Dt un mtrice, se ne moltiplichi gli elementi positivi per e se ne dividno per gli elementi negtivi

17 Esercizi Relizzre un funzione che effettui l somm fr mtrici NxM Dt le mtrici [NxM] e B[MxP], memorizzre e visulizzre l mtrice C risultto del prodotto xb

18 Determinte di un mtrice È possibile clcolre il determinte solo di un mtrice qudrt E un numero che identific l mtrice Un mtrice si dice singolre se det()= Clcolo del determinte di un mtrice di ordine det

19 Determinte di un mtrice Clcolo del determinte di un mtrice di ordine (regol di Srrus): det

20 Esempio: det det ** ****7 **7 7** ** det

21 Proprietà dei determinnti Se l mtrice h due righe o due colonne uguli, oppure un rig o colonn di, il det()= Det(*B) = det()*det(b) teorem di Binet Se l mtrice B è l mtrice ottenut d scmbindo di posto due righe o due colonne il det(b)= -det() Det( ) = det() Il det() non cmbi se d sommimo d un rig o d un colonn un combinzione linere delle ltre righe o colonne Il det(+b) det()+det(b) Il det(λ) = λdet()

22 Mtrice invers Un mtrice è invertibile solo se il suo determinte è diverso d, l invers di un mtrice qudrt è un'ltr mtrice qudrt indict con L mtrice invers è tle che: I Mtrice identità I

23 utovlori e utovettori Considert un mtrice qudrt di ordine n, ci si chiede sotto quli condizioni esistono un vettore x e uno sclre λ tli che il vettore x si proporzionle x secondo il numero λ, cioè: utovlore x x utovettore

24 utovlori e utovettori L precedente è soddisftt dl vettore x= per qulsisi λ; cerchimo, se esistono, ltre soluzioni Si può scrivere: I x Ess è l equzione crtteristic Si trtt di un equzione di grdo n dell incognit λ

25 utovlori e utovettori d esempio considert l mtrice L equzione crtteristic è: clcolndo il determinnte, d esempio con l regol di Srrus: ) )( )( ( Gli utovlori sono le tre soluzioni distinte dell equzione precedente e precismente:

26 Norm vettorile x dto un vettore restituisce un vlore rele Proprietà x => x = se e solo se x= x+y <= x + y x = x >=

27 Tipi di norm vettorile Norm x n x x x i x n Euclide x xx T infinito x mx x i