Matematica corso base a.a. 2013/14 Elementi di logica Algebra lineare 1

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1 Mtemtic corso bse.. 0/4 Elementi logic Algebr linere

2 OBIETTIVO del corso Acquisire strumenti p er l nlisi e per problemi concreti mtemtici utili l soluzione L mtemtic è un linguggio rigoroso e non mbiguo che iut rgionre sui problemi complessi

3 Elementi logic Un proposizione è un frse dell qule si può decidere senz mbiguità se è ver o è fls. E sempi: l lvgn è n er (vero) l lvgn è t ringolre (flso) T è u n tringolo rettngolo (gurdo T e rispondo)

4 impliczione logic Un frse scritt nell form S e ( proposizione) llor (proposizione) Costituisce un impliczione logic 4

5 Gli e nunciti dei impliczioni teoremi logiche sono Se (proposizione) llor (proposizione) ipotesi tesi conzione sufficiente conzione necessri 5

6 Se si possono scmbire ipotesi e tesi Allor si ce che Proposizione è conzione necessri e sufficiente per Proposizione Proposizione è conzione necessri e sufficiente per Proposizione 6

7 Esempio (Teorem Pitgor) se (T è un tringolo rettngolo) llor (l somm delle ree dei qudrti costruiti sui cteti è u gule ll re del q udrto costruito sull ipotenus) 7

8 Si Esempio S e possono considerre complessi teoremi più ( proposizione e proposizione e proposizione ) llor ( proposizione4 e proposizione 5 ) In questo cso Ipotesi =(proposizione e proposizione e p roposizione ) T esi= ( proposizione4 e proposizione 5 ) 8

9 Dimostrre un teorem D imostrre un teorem vuol re trovre l cten impliczioni logiche che prte dlle ipotesi e permette rrivre ll tesi mente regole impliczione logic (per esempio i sillogismi (Socrte è uomo, ogni uomo è mortle, Socrte è mortle) ) 9

10 I P er ogni quntifictori universli Esiste Negzione O sservzione sull negzione p er ogni Esempio: n egre l frse t utte le pecore sono binche : n on t utte le pecore sono binche esiste un pecor non binc Quin bst lmeno un elemento che non verific l proprietà ssegnt per re che l proprietà non è verifict per tutti. 0

11 Algebr linere Vettori (p.67) Un vettore è un n-pl ornt Si inc con lettere ltine minuscole. numeri reli,,...,, n S n = spzio dei vettori mensione n

12 Esempio: n= 4 Quntità mele, pere, pomodori, zucchine,,.5,.5

13 Somm due vettori (stess lunghezz) (,,,, ) b b,,,..., n, b, b,..., bn b b, b, b,..., n bn

14 Esempio,,.5,...,.5 b,.7,.,...,. b 4,.7,.5,...,.7 4

15 Il vettore nullo 0 0, 0, 0,..., 0 O sservzione: 00 5

16 Si Sclri= numeri reli,.,.45 incno con lettere greche α, β, γ, Prodotto un vettore per uno sclre,,,..., n Esempio *, *, *.5,..., *.5, 6, 4.5,...,.5 6

17 7 vettori dei linere ombinzione C e b on c i oefficient c α e β...,,,,...,,,,...,,,, n n n n b b b b b b b b b

18 Esempio b, 6, 4.5,.5 6,.4,,.4 9, 7.4, 6.5,.9 8

19 Definizione: Generlizzzione: combinzione linere dei vettori,,, m coefficienti α, α,, α m con b... m m b si ce linermente pendente di vettori,,, m 9

20 Ulteriore esempio Dti i due vettori e = (,0) si osserv che ed e =(0,) - Il vettore b= (,) s i ottiene d e + e, inftti * e + * e =*(,0)+*(0,)=(,0)+(0,)=(,) - Osservo nche che qulsisi ltro vettore = (, ) si ottiene d e ed e in mnier simile: * e + * e = *(,0) + *(0,)= (, 0)+(0, ) = (, ) - Quin tutti i vettori con due pendenti d e ed e. componenti sono linermente 0

21 Definizione: Generlizzzione: combinzione linere dei vettori,,, m coefficienti α, α,, α m con b... m m b si ce linermente pendente di vettori,,, m Definizione: Un insieme vettori,,, m si ce linermente pendente se lmeno uno essi è linermente pendente di rimnenti.

22 Terminologi: Non pendenti = inpendenti Un insieme vettori,,, m si ce linermente pendente se lmeno uno essi è linermente pendente di rimnenti. Un insieme vettori,,, m si ce linermente INd ipendente se N ESSUNO essi è linermente pendente di rimnenti.

23 Esempio vettore b inpendente di vettori ed : b= (,), = (0,), =(0,) Inftti l second componente b si ottiene sommndo le rispettive II componenti ed, l somm delle prime componenti rimne sempre m zero. Per re che b, ed costituiscono un insieme vettori inpendenti bisogn nche verificre che non si può scrivere come combinzione linere b ed e che non si può scrivere come combinzione linere b ed.

24 Come si crtterizzno pendenz ed inpendenz qundo b è il vettore nullo e gli ltri vettori,, sono vettori qulsisi (con lo stesso numero componenti) 4

25 Osservzione: se α b = α = α m =0 llor m 0 Quin il vettore nullo si ottiene coefficienti uguli zero. ponendo tutti i Domnd: vle il vicevers? Ovvero Porre tutti i coefficienti uguli zero è l unico modo per ottenere il vettore nullo? Esempio: *(,) - *(,)=(0,0) R ispost: in lcuni csi si può ottenere il vettore nullo coefficienti non nulli. Quin non è s empre vero che l unico modo ottenere il è porre i coefficienti uguli zero. nche vettore con nullo 5

26 I l cso in cui l unico modo ottenere il vettore nullo è porre tutti i coefficienti uguli zero è strettmente collegto ll inpendenz. Non isolimo più b rispetto i vettori,, considerimolo come uno dei vettori tr,,, m. m T eorem: i vettori,,, m sono linermente i npendenti se e solo se l unico modo per ottenere, con un loro combinzione linere, il vettore nullo è quello prendere tutti i coefficienti uguli zero. 6

27 Proposizione se e solo se Proposizione l equivlenz vle nche pssndo gli opposti, considerndo contempornemente le negzioni entrmbe le proposizioni. Negzione dell Proposizione se e solo se Negzione dell Proposizione 7

28 Teorem: i vettori,,, m... m m 0 sono linermente inpendenti se e solo se tutti uguli i coefficienti zero. sono negzione sono linermente pendenti se e solo se lmeno un coefficiente verso d zero. è 8

29 L mostrzione del teorem precedente equivle ll mostrzione del seguente: T eorem: i vettori,,, m sono linermente pendenti se e solo se esiste un combinzione linere degli m vettori con lmeno uno dei coefficienti verso d zero, che h come risultto il vettore nullo. 9

30 Dimostrzione: Ipotesi: suppongo che lmeno uno dei coefficienti si verso d zero. Suppongo che si il primo: se non lo è i nomi. Quin d scmbio 0

31 m m 0 si h che m m e quin che m m e quin m m

32 e pertnto verific l definizione pendenz linere Q uin l insieme {,,,, m } è pendente perché lmeno pendente di rimnenti. uno loro è L tesi è quin mostrt.

33 P er mostrre l impliczione i pssggi ritroso. invers ripercorro

34 T eorem: i vettori,,, m sono linermente i npendenti se e solo se l unico modo per ottenere, con un loro combinzione linere, il vettore nullo è quello prendere tutti i coefficienti uguli zero. 4

35 Definizione: Dto un insieme vettori,,, m del medesimo spzio S n il rngo è il mssimo numero vettori inpendenti presenti in tle insieme. 5

36 T eorem: in uno spzio S n è sempre possibile trovre n vettori linermente inpendenti, m (n+) o più vettori sono sempre linermente pendenti 6

37 Esercizio: d to l insieme n vettori e (, 0, 0,,0) e (0,, 0,,0) { e, e, e,, en} e n (0, 0, 0,,) 7

38 mostrre sono inpendenti, cioè unico insieme sclri che esiste un tle che,,,, n e e e m m 0 8

39 9 *0..., *0, *0, *, *0..., *0, *, *0,... *..., *0, *0, *0, m m n n n n e e e

40 , 0, 0,, 0..., 0,, 0, ,, 0, 0,..., 0, 0,, 0 n 0...,,,, n

41 MATRICI. M trici(p.75) Un mtrice nxm è un tbell con n righe ed m colonne. Si inc con lettere ltine miuscole. I simboli del tipo i ncno l elemento sull rig i, colonn j. ij Se A n n m m m n = m l mtrice si ce qudrt e orne n. nm 4

42 4 x mtrice n.4) 5, (p. x mtrice n.) 5, (p. x mtrice x mtrice Esempi numerici: Esempi: A 5 A A 4 5 A A 0 A A 6 A

43 D eterminnti(p.77) Si inc con il simbolo d et(a), oppure A. Si può clcolre s olo per mtrici qudrte. 4

44 44 x mtrice del clcolo il Attenzione: NON eterminnte d è clcolo il ssoluto vlore del x mtrice numerici: Esempi Esempi: A 5 A 5 5 A A A 4 5 A 5 4 5) ) * ( ( * A

45 45 trice m x A 0 A

46 46 egol R s rru S : p.77) ( l riscrive si due prime le riscrivono Accnto si mtrice. colonne: 0 0

47 47 gonli le trccino Si 0 0

48 e si che inizino sommre i prodotti degli cdono sotto l stess gonle: elementi * 0 * ( ) ** ** ( ) 48

49 49 ltre le poi trccino i S i igonl d : 0 0

50 e si sottrggono i prodotti degli elementi cdono sotto l stess gonle: che ( ) ** **( ) *0*

51 5 A determinnte l I è dto d: 7 8 A A

52 5 A rtteristic C ) (p.8 simbolo il con inc i S r c può Si (A). qulsisi. mtrici per clcolre A minore n U è un determinnte il gli scegliendo A d ottenut sottomtrice colonne. k e k righe comune in elementi

53 Il numero k prende minore. il nome orne del L crtteristic un mtrice A è l orne mssimo dei suoi minori non nulli. Questo signific che bisogn trovre i minori A che risultno versi d zero e considerrne uno orne più grnde possibile. 5

54 E sempio : (p.6,n...) crtteristic dell seguente Trovre mtrice: l A 6 54

55 A è un mtrice con righe e colonne, quin posso estrrre sottomtrici qudrte l più orne : 55

56 56 righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, colonne:, clcolo: li e orne minori estrggo i A: 6 M ) )*( ( *6 M 0 ) *( ) *( 6 M *6 ) )*( (

57 Osservzione: (proprietà T ) se un mtrice h due righe oppure due colonne proporzionli llor il suo determinnte è nullo. Poiché nessuno dei minori orne è verso d zero: 57

58 estrggo i A: minori orne e li clcolo: rig: colonn: M 4 rig: colonn: M 5 rig: colonn: M 6 rig: colonn: M 7 rig: colonn: rig: colonn: M 6 8 M

59 Esempio : (p.6,n...d) crtteristic dell mtrice Trovre l A 4 Estrzione minori: s i possono estrrre minori orne,,, l orne del primo minore non nullo fornisce l crtteristic. 59

60 60 4 M ) **( ** 4 ) )**( ( **4 ) )**( ( ) **( ) det( A : orne un solo minore può estrrre Si regol o clcolo usndo l L s rru S :

61 estrggo i A: righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, colonne:, minori M M M 4 orne e li clcolo: **( ) Poiché ho trovto un minore orne non nullo c r(a)=. Non clcolre minori. c è gli 0 bisogno ltri 6

62 6 righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, colonne:, righe:, olonne:, c 4 5 M 6 M 4 7 M 4 8 M 4 9 M 0 M

63 6 mtrice dell crtteristic l Trovre Esempio : A (p.6,n...d) Soluzione: estrtti quelli tutti : minori dei Estrzione che quelli tutti inoltre ed precedentemente colonn contengono l 0 0 0

64 64 4 M M M M sservzione: O elementi solo h colonn un se determinnte il ulli n è. zero

65 Estrzione minori orne : so già minore non nullo cr(a)= che esiste un 65

66 Esempio 4: Trovre l crtteristic dell mtrice A 4 4 Soluzione: Estrzione dei minori : tutti precedentemente ed inoltre i quelli estrtti seguenti: 66

67 67 righe:,, colonne:,,4 righe:,, colonne:,,4 righe:,, colonne:,,4 clcolo: li e orne minori estrggo i A: M 4 5 M M

68 Tutti i minori orne sono nulli perché ciscuno h due colonne proporzionli. Estrzione minori orne : so già che esiste minore non nullo cr(a)= un 68

69 Esempio 5: M 7 A Trovre 4 4 l crtteristic 4 Soluzione: Estrzione dei minori : tutti quelli precedentemente ed inoltre : dell estrtti mtrice = = 5 0 M 7 0 cr(a)= 69

70 Esempio 6: Trovre l crtteristic dell mtrice (p.6,n...m) 70

71 Esempio 7: Trovre l crtteristic dell mtrice 5 7 (p.6,n...m) 7

72 RANGO Insieme m vettori {,,,, m } (,,,, ) n (,,,, n) (,,,, n) m ( m, m, m,, nm) 7

73 7 },,, { m nm n n m m m A vettori dei componenti delle Mtrice iscun vettore c è : colonne sulle trscritto

74 74 },,, { m nm n n m m m A rngo Il è l i d non nulli minori dei mssimo orne

75 75 },,, { m b x x x m m m m m m m m n m nm n n b x x x b x x x b x x x b x x x vettori dei linere Combinzione componente: per componente in m incognite lineri n equzioni sistem

76 s istem : non un sol equzione e quzioni : = l ineri : sono uste solo somme e prodotti i ncognite : i vlori non sono noti R isolvere il sistem = x, x,, x m trovre i vlori che verificno uguglinze contempornemente t utte le 76

77 77 sistem del coefficienti dei mtrice incomplet mtrice nm n n m m m A

78 78 complet mtrice n nm n n m m m b b b b b A

79 Esercizio : Insieme m b vettori Ipotesi: pendenti S e ggiungo ll insieme i l vettore il nuovo { {,,,, } m {,,,, } m insieme,,,, m, b} srà pendente o no? 79

80 R icordo che l insieme {,,,, m } è pendente se lmeno uno loro è pendente di rimnenti. Suppongo quin che il primo si pendente dgli ltri: se non lo è scmbio i nomi: m m c on lmeno uno tr,, m verso d zero. Posso sempre scrivere b m m 0 e questo verific ncor l definizione pendenz. 80

81 Quin se ggiungo un vettore d un insieme vettori pendenti ottengo ncor un insieme vettori pendenti 8

82 Esercizio : Insieme m vettori Ipotesi: pendenti S e tolgo dll insieme un vettore cso il nuovo insieme srà no? Esempio: {,,,, } m {,,,, } m pendente o (,0); (0,); (0,);. t olgo dll insieme {,, } il vettore L insieme, } è un insieme inpendente. { 8

83 Esempio: (,0); ; (0,) (0,); t olgo dll insieme {,, } il vettore. L insieme {, } è un insieme pendente. Q uin l rispost estt ll esercizio è : non lo so 8

84 Esercizio : Insieme m vettori {,,, Ipotesi: inpendenti S e ggiungo ll insieme, m {,,, }, m } il vettore b il nuovo srà pendente o no? insieme {,,,, m, b} R icordo che se l insieme {,,,, m} è i npendente llor l unico modo ottenere il vettore nullo come risultto un loro combinzione linere è porre tutti i coefficienti 84 uguli zero.

85 Quin: x x x m m 0 con,,, m 0 85

86 E sempio: considero l insieme (,0,0); (0,,0); Aggiungo {,, } il vettore sono (0,0,); {, } inpendenti bbimo già mostrto in un esercizio che è un insieme inpendente. (,0,0) (0,,0) (0,0,) 0,0) (0,,0) (0,0, ) (,, ) (,, ) (0,0,0) se e solo se ; 0; 0 ( 0 86

87 E sempio: considero l insieme (,0,0); (0,,0); Aggiungo Allor (0,,0); {, } (,0,0) (0,,0) (0,,0) il ( 0,0) (0,,0) (0,,0) (,,0) ( vettore,,0) (0,0,0) sono inpendenti 0; 0 Quin 0; se ANCHE NON ZERO Q uin l rispost estt ll esercizio è : non lo so 87

88 Esercizio 4: Insieme m vettori Ipotesi: inpendenti {,,,, m S e tolgo dll insieme {,,,, m} un vettore cso il nuovo insieme srà pendente no? } o x x x m m con,,, m

89 T olgo un vettore cso, per esempio l ultimo. x x x m m 0 con,,, 0 m Sono ncor inpendenti. Quin se tolgo un vettore d un insieme vettori inpendenti ottengo ncor un insieme vettori inpendenti 89

90 Dipendenti inpendenti Dipendenti ggiungo inpendenti tolgo 90

91 Combinzione,,, linere } { m dei vettori Osservzione: pendente b d {,, m, } se esistono x x,,, x m tli che x x se ggiungo d {,, un vettore pendente llor il mssimo numero vettori cmbi x m, m m b } inpendenti non 9

92 rngo {,,, m} rngo{,,, m, b} cra cr( A b) vle nche il vicevers. 9

93 Esercizio: { e, e, e,, en} e (, 0, 0,,0) e (0,, 0,,0) e n (0, 0, mostrre 0, d to l insieme n vettori che,) esiste,,,, n un unico insieme tle che sclri x e x e x e m m comunque scelto b n br 9

94 Dimostrzione: e siste : già x visto che dto, x, x,, x n n b bst scegliere è u nico : si consideri un possibile ltr soluzione,,,, Quin e e m m Clcolimo per n esteso e e e m m (,,, m) Quin (,,, m) b( b, b,, bm) b; b,, m bm il e lto Poiché due vettori sono uguli qundo le loro componenti sono orntmente uguli si h b sinistro. Si h che 94

95 95 n m nm n n m m m m m m b x x x b x x x b x x x b x x x nm n n m m m A n nm n n m m m b b b b b A b A lineri Sistemi. n chimo lo e equzioni numero il Conto. m chimo lo e incognite numero il Conto. o Scriv e ( b on c ) legge i s o A mplit Risoluzione:

96 Domnd: n = m?. Se sì clcolo d et(a) Domnd: d et( A) 0? Se sì Uso il teorem Crmer: c è u n unic soluzione Uso l regol Crmer e clcolo l soluzione Se no vdo comunque l punto. Se no uso il teorem Rouché-C pelli: Clcolo p =cr( A) ; clcolo c r( A b) D omnd: c r( A) = c r(a b)? Se no non ci sono soluzioni ( il sistem è incomptibile) Se sì ci sono m- soluzioni ed uso l p rocedur (*) per trovrle. 96

97 Nel cso in cui Regol Crmer n = m e d et( A) 0, pongo Δ =det(a). Clcolo Si h che b b b m m m x b n n nm 97

98 b b b m m m x n b n nm 98

99 n b b b x n n n n b n 99

100 (*) Clcolo delle p =cr( A) = cr( A b) soluzioni se Si consider il minore trovto per l crtteristic. I suoi elementi inviduno k righe e k colonne. Le righe dell mtrice corrispondono i coefficienti lcune equzioni: tli equzioni tengono, le ltre si cncellno. si 00

101 Le colonne dell mtrice corrispondono i coefficienti lcune incognite: tli incognite rimngono l loro posto, lle ltre si ssegnno lettere greche e si portno dl lto dei termini noti. Applico l regol C rmer l nuovo sistem. Esempi (ve libro p. 90) 0

102 z y x z y x 6 A A b : sistem seguente il Risolvere Esempio: Risoluzione = m n=, Innnzitutto ;

103 Si h che c r( A) = (ve esempio ) Inoltre c r( A b) = Inftti d A b si possono estrrre tutti i minori, che possono estrrre d A, ed in più i seguenti: si che vendo un colonn zeri sono tutti nulli. 0

104 Esempio : Risolvere il seguente sistem x y z 0 x y z 0 x 4 y z 0 04

105 05 4 A A b Risoluzione = m = n Innnzitutto

106 c r(a) = (ve esempio ) c r( A b) = perché che elementi l esempio Q uin nulli e contengono ). p = ho tutti i ggiunto minori risultno c r( A uguli un orne 0 ) = c r(a/ b) Il sistem è comptibile ed mmette: colonn (ve = m p = = soluzioni. 06

107 07 M z y x z y x z y x minore un invidure bisogn risolverlo Per esempio per non nullo, incognite e equzioni identific che

108 08 i corrispondono mtrice dell righe Le si equzioni tli equzioni: lcune coefficienti cncellno. si ltre le tengono, corrispondono i mtrice dell colonne Le incognite tli incognite: lcune coefficienti ssegnno si ltre lle loro posto, l rimngono termini lto dei portno dl si e greche lettere noti.

109 A ssegno quin ll incognit z un vlore rbitrrio: z = α Il nuovo sistem è: x y x y 09

110 Il nuovo sistem x y x y si risolve pplicndo l regol C rmer : 0

111 x y 0

112 erific: V sostituzione l mente effettu si verific l sistem del equzioni le tutte in incognite le tutte originrio: 0 * *0 ) (

113 Esempio: Risolvere il seguente sistem x y z x x y z 4y z 4

114 4 4 A 4 4 A/ b Risoluzione = m = n che osserv si Innnzitutto

115 c r(a) = (ve esempio ) c r(a/b) = (ve esempio 4) p = c r(a/b) = Quin il sistem è comptibile ed mmette:. m p Per trovre le soluzioni del sistem inviduo un minore non nullo M che contiene i coefficienti x ed y delle prime due equzioni. soluzioni 5

116 6 4 4 z y x z y x z y x ll rbitrri ssegno vlori A rimnente: incognit = z α nuovo sistem: Il y x y x

117 7 con risolve i S r rme C : 4 x 0 ) ( y z y x, 0, sistem del soluzione L è : d dt

118 Verific: () () () *0 0 4*0 4 8

119 Esempio: Risolvere il seguente sistem x y z x y z x 4 y z 9

120 Risoluzione Innnzitutto si osserv che n = m = A 4 c r(a) = (ve esempio ) 0

121 A/ b 4 c r(a) = (ve esempio 5) Quin il sistem è incomptibile (non ci sono soluzioni).

122 prmetro d pendenti lineri Sistemi (p.94) un noti termini nei e coefficienti nei Se dei ppiono lineri equzioni sistem cio rmetri, p è viene non cui costnti delle del comportmento il vlore, il specificto che vlori di generle in pende sistem ed prmetri tli ssumono è necessrio dei servendosi possibili csi i tutti esminre eoremi t h ouc R è- i pell C e r rme C.

123 E sempio : Determinre per quli vlori k il sistem x y z x y z x 4y z k h soluzioni.

124 S oluzione A : L mtrice dei coefficienti del sistem è dt d 4 L mtrice complet è dt d: A b 4 k Devo clcolre c r(a ) = (ve esempio ) c r(a/b). P rocedo con l estrzione dei minori: 4

125 5 righe:,, colonne:,,4 righe:,, colonne:,, clcolo: li e orne minori i estrggo A: A M k M k k k 0

126 6 righe:,, colonne:,,4 colonn II e (I uguli) righe:,, olonne:,,4 c 0 k M k M k k k

127 Osservo che per k = - 4 si h che M M = = M M Bisogn quin stinguere due csi: = 4 ) Se k -4 cr A b = cr A = 0 e quin non ci sono soluzioni ) Invece se k Inoltre n ullo (lo Quin A b soluzioni. = -4 si h che cr c ontinene stesso usto c r( A b)= e un per ci minore A b clcolre sono m p <. orne c r(a)). non 7

128 Rissumendo : M 0 M 0 M k M 4 k D omnd: esiste un vlore unico k tle che M M M M 4 se non sistem se lo lo non h trovo llor trovo llor soluzioni per 0? c r( A b)= quel vlore ed c r( A b)<, ed il sistem mmette soluzioni. k il 8

129 Esercizio ulteriore n. 9

130 Esercizio: Risolvere (p6n.h) il seguente x x x y y sistem y z z 9z 5 Numero equzioni:=n Numero incognite: = m 0

131 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b 5 9 Clcolo dell crtteristic A Le righe Trovo Quin un e minore cr(a)= A sono proporzionli, orne non nullo quin d et( A)=0, quin cr(a)< ( )**7

132 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b 5 9 Clcolo dell crtteristic A b Clcolo i minori orne : Selezionndo le colonne,, ottengo A, che è = 0

133 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b 5 9 Clcolo dell crtteristic A b Clcolo i minori orne : Selezionndo le colonne,, 4 ottengo 5

134 Clcolo con l 5 regol -5+-( - 5+) = -+= 0 Srrus Osservo nche che le colonne e sono proporzionli, il che conferm il determinnte nullo. 5 Bisogn clcolre gli ltri minori 4

135 Clcolo dell crtteristic A b: minori orne Mtrice complet A b 5 9 Selezionndo le colonne,, 4 ottengo 9 5 5

136 Clcolo con l regol Srrus ( ) = -5 L crtteristic A b è c r( A) c r( A b) Il sistem non h soluzioni 6

137 Esercizio ulteriore n. 7

138 Esercizio: Risolvere (p6n.i) il seguente x x x y y y z sistem z 9z 5 6 Numero equzioni:=n Numero incognite: = m 8

139 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b Clcolo dell crtteristic A Le righe Trovo Quin un e minore cr(a)= A sono proporzionli, orne non nullo quin d et( A)=0, quin cr(a)< ( )**7 9

140 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b Clcolo dell crtteristic A b Clcolo i minori orne : Selezionndo le colonne,, ottengo A, che è = 0 40

141 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b Clcolo dell crtteristic A b Clcolo i minori orne : Selezionndo le colonne,, 4 ottengo 5 6 4

142 Clcolo con l regol Srrus ( -5+)= 0 Bisogn clcolre gli ltri minori 4

143 4 Mtrice complet b A 4 ottengo,, colonne le Selezionndo crtteristic dell lcolo C b A orne minori : 5 6 9

144 Clcolo con l regol Srrus ( )= 0 Bisogn clcolre gli ltri minori 44

145 45 Mtrice complet b A 4 ottengo,, colonne le Selezionndo crtteristic dell lcolo C b A orne minori : 5 6 9

146 Clcolo con l regol Srrus ( )= 0 Tutti i minori orne sono zero, Siccome A b contiene A e A h nullo, llor c r( A b)=. quin un minore cr(ab)< orne non 46

147 Mtrice incomplet complet Mtrice A 9 A b c r( A)==cr( A b), quin il sistem h - soluzioni 47

148 48 Trovre le soluzioni: z y x z y x z y x colonne e righe invidu minore Il 9 A

149 49 Trovre le soluzioni: z y x z y x z y x minore dl escluse righe le colonne: e righe invidu minore Il cncellte vengono 9 A

150 Trovre le soluzioni: x x y y z z 5 A 9 Il minore invidu righe e colonne: le colonne escluse dl minore corrispondono incognite, cui si ssegnno vlori rbitrri (incti con lettere greche) e si portno dl lto dei temini noti x= 50

151 5 Trovre le soluzioni: 5 z y z y x determinnte e incognite, p equzioni, p h sistem nuovo Il zero. verso d coefficienti dei mtrice su dell pplicre può si uin Q r rme C nuovo sistem l

152 5 Trovre le soluzioni: 5 z y z y x 7 * )* ( y z x 7 ) (5 )* ( 5 9 ) *( ) *(5 5

153 5 Verific: y z x z y x z y x z y x

154 E sempio : Determinre s istem l vrire d i k: il numero delle s oluzioni del seguente x x x y y y z z 9z 5 k Numero Numero equzioni:=n incognite:=m Clcolo dell crtteristic A Le righe Trovo un Quin e minore cr(a)= A sono proporzionli, orne non nullo quin d et( A)=0, quin cr(a)< 54

155 b A k mtrice dell crtteristic l clcolre Bisogn omplet c b A : orne minori i Clcolo 5 9 b A k 5 9 b A k che A, ottengo,, colonne elezionndo le S è =0 5 9 b A k il quin sono proporzionli, e colonne Le secondo minore del eterminte d è prescindere 0, k d k se k k k M k k se k k k M k ltrimenti sono nulli, orne minori i tutti k=6 se uin Q. no

156 se k=6 tutti i minori orne sono nulli, ltrimenti no. Quin se k=6 c r( A b) <, se k 6 llor c r( A b)= Se k=6 Inviduo c r( A b)<: un minore A b 5 9 k orne non nullo: questo bst per concludere che c r( A b)= 56

157 E sempio : Determinre s istem l vrire d i k: il numero delle s oluzioni del seguente x x x y y y z z 9z 5 k Numero Numero equzioni:=n incognite:=m Quin se k=6 c r( A)==cr( A b) e quin ci sono - = soluzioni Se k 6 c r( A)= c r( A b)= e quin non ci sono soluzioni 57

158 58

159 Ulteriore esercizio su sistemi pendenti d prmetro 59

160 60 k y x y x ky x del soluzioni numero delle il scutere Esercizio: prmetro k del vrire l sistem seguente k b A k A k n= m= incomplet trice M complet Mtrice

161 6 A e crtteristic dell Clcolo A b k b A k A k A incomplet Mtrice complet Mtrice A b sservzione: O r c (A)>=, iccome S r c llor A)<=, ( r c (A)= r c ( b A? essere Può )>=. dto che rispondere, er P b A è clcolre devo udrt, q t e d ( b A )

162 6

163 6 0 n b b b 0 )...( ) ( 0... ) ( xn x x x x x x x x x x x nn n n n n n n n n utovlori A 5 pp.9 ( - ) 96 n orne A qudrt mtrice un Dt (cio omogeneo sistem il d e è prmetro dl ipendente d λ : )

164 64 vlore gni o λ zero ugule risulti che tle sistem del mtrice dell determinnte il nn n n n n n nome il rende p e utovlor sistem del

165 ) )*( ( ) )*(0 ( 0 det gli Clcolre (p.96,n.) sempio: E i utovlor mtrice: dell Risoluzione: mtrice dell determinnte il clcolre Bisogn

166 Voglio spere per quli vlori λ tle determinnte è ugule zero. Questo determinnte è espresso d un polinomio secondo grdo in λ e per trovre i vlori in cui si nnull occorre risolvere l equzione lgebric secondo grdo in λ. Applico l formul risolutiv per le equzioni grdo due x bx c 0 0, x, b b 4c 44 4** ed ottengo le due soluzioni λ = e λ =. 66

167 Tli soluzioni sono gli utovlori dell mtrice inizile 67

168 Autovettori ( pp.96-97) Per ogni corrispondenti sistem e utovlore λ trovto utovettori risolvendolo. si clcolno sostituendo λ i nel Esempio (p.96,n.) Ho già clcolto gli utovlori dell mtrice Devo or 0 ciscuno dei clcolre due che sono λ = e λ =. gli utovettori corrispondenti 68

169 Quin tutti i minori orne che posso estrrre nulli. C erco un minore non nullo, per esempio. sono T le minore invidu l I equzione e l incognit x. C ncello l second equzione, ssegno y= α e lo porto d ll ltr prte. Il nuovo sistem vent. I vettori x y del tipo sono gli utovettori utovlore λ = 69

170 Clcolo degli utovettori In mnier nlog. corrispondenti λ = : lmbd x y x 0y x y ( ) x x y (0 ) y 0 0 n=;m=; 70

171 ) )( ( ) )*(9 ( 9 sono soluzioni e L e 0 = =0. l ompletre C sercizio trovndo gli e i utovettor corrispondenti.