Problemi di Sturm-Liouville

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1 Problemi di Sturm-Liouville Alberto Tibldi 11 dicembre Introduzione e definizioni generli Nell mbito di problemi fisici/ingegneristici, spesso si h che fre con equzioni lle derivte przili (PDE: Prtil Differentil Equtions); uno dei metodi più utilizzti per l soluzione di queste equzioni 1 è il metodo di seprzione delle vribili; in seguito ll ppliczione di questo metodo, molto spesso si h che fre con opertori come il seguente L : D(L) L 2 (, b), definito come: Lx(t) = d ( p(t) dx(t) ) + q(t)x(t) = 0 (1) dt dt dove: ρ(t), p(t), q(t) C([, b]) ρ(t), p(t) 0, t [, b] p (t) C([, b]) α, α, β, β R inoltre, per ipotesi, si escludono le combinzioni α = α = 0 o β = β = 0. Il dominio di questo opertore, D(L), è definito come: (2) D(L) = { } x : t [, b], x (t), x (t) L 2 (, b), x(t) soddisf le B.C. (3) (per B.C. si intendono le condizioni l contorno, Boundry Conditions, del problem); questo è l insieme delle funzioni cui l opertore L può essere pplicto. Per questo opertore è possibile studire lo spettro puntule, e dunque risolvere il seguente problem gli utovlori generlizzto: Lx(t) = ρ(t)λx(t) dove x(t) è un utofunzione di L, e λ è un utovlore, reltivo ll utofunzione x(t). Il problem ppen definito è detto problem di Sturm-Liouville regolre (o RSL: Regulr Sturm-Liouville problem). Un secondo tipo di problemi con cui si può vere che fre rigurd l seguente vrinte: con le stesse equzioni differenzili di (1), si considerino le seguenti condizioni sulle funzioni che definiscono il problem: 1 ovvimente, qulor il dominio e le equzioni lo consentno 1

2 p(t) > 0 (, b) p() = 0 o p(b) = 0 o p() = p(b) = 0 x(t) <, t (, b) p(t) soddisf le condizioni l contorno del RSL, dove non si nnull (4) dunque, l equzione differenzile ordinri, in questo cso, è definit solo sull intervllo in cui p(t) è un funzione strettmente positiv, e non gli estremi in cui si nnull. Un problem di questo tipo è detto problem di Sturm- Liouville singolre (o SSL: Singulr Sturm-Liouville problem): in questi, si esclude il punto estremo dell intervllo dove p(t) = 0; in ltre prole, dividendo tutti i termini per p(t), che è il coefficiente dell opertore differenzile di ordine più elevto, i coefficienti dell equzione differenzile diventerebbero funzioni singolri per t = e/o t = b. Questo permette di vere dunque delle singolrità gli estremi dell intervllo, d qui l ggettivo singulr. In questi ppunti, si trtternno nel dettglio problemi regolri di Sturm-Liouville, dove gli opertori in questione sono utoggiunti; un trttzione dei csi singolri può essere trovt per esempio in [3]. Un esempio di problem SSL può essere formulto nell seguente mnier: ( d p(t) dx(t) ) + (λρ(t) + q(t)) x(t) = 0 dt dt βx(b) + β x (b) = 0 x(t) <, t (, b) con l notzione x(t) < si intende che x deve essere un funzione limitt nell intervllo in questione. 2 Problemi di Sturm-Liouville gli utovlori Dto un RSL o un SSL, si è visto che si h un equzione differenzile del tipo: Lx(t) = ρ(t)λx(t) in questo contesto, si definisce un utofunzione x(t) ssocit llo sclre λ un funzione x C (2) ([, b]) che soddisfi (1). Se quest funzione esiste, lo sclre λ R è detto utovlore. Nell lettertur internzionle, il termine utovlore è trdotto eigenvlue, mentre il termine utofunzione è trdotto eigenfunction; questi termini hnno origine germnic, dl momento che utovlori e utovlori erno stti definiti per l prim volt dl mtemtico Dvid Hilbert, che h riutilizzto termini usti d Hermnn von Helmholtz: il prefisso eigen signific proprio, dunque gli utovlori sono vlori propri del problem, mentre le utofunzioni funzioni proprie. Il primo vero problem gli utovlori fu risolto d Fourier, nell mbito dello studio dell propgzione del clore, l fine di semplificre l dipendenz dl tempo delle equzioni in questione; solo in seguito venne formlizzt quest teori. Verrnno or enuncite lcune proprietà dell opertore di Sturm-Liouville, e i suoi utovlori; in verità, quest cos può essere controintuitiv, dl momento che verrnno enuncite proprietà che suppongono il ftto che questi 2

3 utovlori esistno; l teori spettrle, tuttvi, si può pplicre soprttutto su opertori comptti, m è evidente che l opertore L non si ssolutmente né limitto, né dunque comptto; verrnno dunque discusse lcune proprietà in vi preliminre, per poi discutere, nell sezione successiv, il metodo di ppliczione dell teori spettrle ll opertore in questione. 2.1 Proprietà dell opertore di Sturm-Liouville In quest sottosezione verrnno introdotte lcune proprietà dell opertore L introdotto nell sezione precedente; questo fine, sono or definite u(t), v(t) due funzioni pprtenenti l dominio dell opertore L, D(L); queste verrnno utilizzte nelle vrie considerzioni e dimostrzioni che verrnno effettute. Dunque: u(t), v(t) D(L) Identità di Lgrnge L prim proprietà che verrà nlizzt e dimostrt è l identità di Lgrnge; è possibile dimostrre che: ulv vlu = (p(uv vu )) (5) Per dimostrre quest identità, si pplichi l formul di Leibnitz per l vlutzione del prodotto dell derivt: [ ( d ulv = u(t) p(t) dv(t) ) ] + q(t)v(t) = dt dt = u(t) dp(t) dt dv(t) dt + u(t)p(t) d2 v(t) dt 2 [ ( d vlu = v(t) p(t) du(t) ) ] + q(t)u(t) = dt dt = v(t) dp(t) dt du(t) dt + v(t)p(t) d2 u(t) dt 2 + u(t)q(t)v(t) + v(t)q(t)u(t) questo punto, sottrendo questi due termini, si ottiene, effettundo lcune semplificzioni (d qui si sottointenderà l dipendenz dll vribile indipendente t, presente in ogni termine): ulv vlu = u dp dv dt dt + up d2 v dt 2 v dp du dt dt vp d2 u dt 2 quest, si ggiunge e sottre il termine: p du dv dt dt si ottiene, sintetizzndo ulteriormente l notzione: 3

4 ulv vlu = p (uv vu ) + p(uv vu ) + pu v pu v = e quindi l identità è verifict. = p (uv vu ) + p(u v + uv (v u + vu )) = = (p(uv vu )) Hermitinità dell opertore di Sturm-Liouville L opertore L precedentemente introdotto è utoggiunto (o hermitino: l ggiunto coincide con l opertore stesso). Questo signific che, dte u, v D(L), si h che: (Lu v) = (u Lv) dove il prodotto sclre su D(L) si definisce come: (x y) = x(t)y(t) dt Si procede con l dimostrzione. Dt v D(L), llor v(t) = v(t), dl momento che le condizioni l contorno sono dipendenti d numeri reli. Questo signific che dunque, se v(t) D(L), llor ess soddisf le condizioni l contorno, grzie ll definizione (3); inoltre, considerndo il cso RSL (2), o il cso SSL (4), si h che p(t), q(t), ρ(t) sono funzioni vlori reli; di conseguenz: p(t) = p(t) q(t) = q(t) ρ(t) = ρ(t) Al fine di verificre l vlidità dell eguglinz, si clcoli l differenz: (Lu v) (u Lv) = [vlu ulv] dx = [ p(uv vu ) ] b questo pssggio è stto ottenuto pplicndo il teorem fondmentle del clcolo integrle, unito ll identità di Lgrnge dimostrt nell sottosezione precedente. Se p() > 0, spendo che u v soddisfno le condizioni l contorno (1) e (2); queste, possono essere scritte nell seguente form mtricile, semplicemente rggruppndole: [ u() u M = ] [ ] () α v() v () α = 0 dl momento che, per ipotesi, l soluzione bnle α = α = 0 non è mmissibile, l fine di vere soluzioni non bnli per questo sistem omogeneo, si h: { } det M = u()v () v()u () = 0 m questo è esttmente qunto è scritto nell prentesi tond; di conseguenz, pplicndo lo stesso rgionmento sull second condizione l contorno (quell legt t = b, dunque β e β ), si ottiene che l integrle vlutto nei due estremi è nullo, m dunque che: 4

5 come volevsi dimostrre. (Lu v) (u Lv) = Apprtenenz degli utovlori l cmpo dei reli Vle il seguente teorem: gli utovlori dell opertore L di Sturm-Liouville sono reli. Per dimostrre ciò, si consideri x un utofunzione dell opertore, reltiv un utovlore λ: Lx(t) = λρ(t)x(t) Dl momento che l opertore L è utoggiunto, come dimostrto nel punto precedente, è possibile scrivere che: 0 = (Lx x) (x Lx) = ( λρx x) (x λρx) = (λ λ) ρ(t) x(t) 2 dt dl momento che ρ(t) > 0 per ipotesi, e dl momento che x(t) è un utofunzione (quest non può essere null, dl momento che un utofunzione non può essere un soluzione bnle, dunque identicmente null, di un problem gli utovlori), è necessrio che: il che coincide con dire che: λ = λ λ R Ortogonlità delle utofunzioni dell opertore L Si può dimostrre che esiste un relzione di ortogonlità delle utofunzioni dell opertore di Sturm-Liouville L, si nel cso di problemi RSL, si nel cso di problemi SSL. Nel dettglio, dte u, v utofunzioni di L, llor ρ(t)u(t) è ortogonle ρ(t)v(t). Per dimostrre questo ftto, si prte di due problemi gli utovlori, ssociti due utovlori µ, λ distinti: Lu(t) = λρ(t)u(t) Lv(t) = µρ(t)v(t) questo signific che λ è ssocito ll utofunzione u(t), mentre µ è ssocito ll utofunzione v(t). A questo punto, è possibile ncor un volt pplicre l hermitinità: 0 = (Lu v) (u Lv) = ( λρu v) (u µρv) = = (µ λ) ρ(t)u(t)v(t) dt = ( ) = (µ λ) ρ(t)u(t) ρ(t)v(t) 5

6 essendo questo prodotto sclre ugule zero, llor, se µ = λ (come d ipotesi), le due funzioni devono essere ortogonli. L relzione di ortogonlità su queste funzioni divent un relzione di ortogonlità delle utofunzioni, nel cso ρ(t) = 1; inoltre, se si normlizzno le utofunzioni, è possibile ottenere un sistem ortonormle. Questo srebbe un sistem ortonormle per L 2 (, b) Crdinlità dell insieme degli utovlori Non bbimo finor discusso qunti sino gli utovlori di un problem di Sturm-Liouville: si è visto che essi sono in generle reli, m questo punto un dubbio può sorgere spontneo: ogni numero rele è un utovlore per un problem di Sturm-Liouville? Ossi, gli utovlori di problemi di questo tipo sono un insieme dotto dell crdinlità del continuo? In quest sezione si discuterà questo ftto; vle inftti il seguente teorem: non ogni numero rele è un utovlore per un RSL. Si vuole dunque dimostrre che l insieme degli utovlori h crdinlità numerbile. Al fine di dimostrre ciò, è possibile utilizzre i seguenti risultti dell teori degli insiemi e dell nlisi rele (vedi [1], cpitolo 12): un unione numerbile di insiemi numerbile è ncor un insieme numerbile; l insieme R è non numerbile. A questo punto, si consideri {e n } un sistem ortonormle completo in L 2 (, b); dl momento che L 2 (, b) è uno spzio seprbile, questo sicurmente esiste. Si ipotizzi dunque per ssurdo che ogni λ R si un utovlore, e si cerchi un contrddizione. Per tutto ciò che è stto discusso finor, si h grnzi che ogni utovlore si ssocito un utovettore; se inoltre ρ(t) = 1, ogni coppi di utovettori ssociti d utovlori distinti deve vere prodotto sclre nullo; se si effettu un normlizzzione pproprit, si può ottenere l ortonormlità di questi. Si consideri dunque il sistem ortonormle di utovettori, ( f λ ) λ R, che esiste e h potenz del continuo, dl momento che ogni λ è ssocito un utovettore. A questo punto, si consideri l seguente definizione: n N E n = {λ R : (e n f λ ) = 0} Questo è l insieme dei λ tli per cui il prodotto sclre con il n-esimo elemento dell insieme ortogonle numerbile {e n } è non nullo. Si consideri dunque l insieme: {λ R : (g, f λ ) c} questo insieme è finito; inftti, si suppong per ssurdo che non lo si, ossi che si infinito, numerbile o non numerbile; di sicuro, indipendentemente dll su crdinlità, si vrà un successione (λ k ) k numerbile di elementi pprtenenti esso; si pplichi su quest successione l diseguglinz di Bessel: 6

7 (g f λk ) 2 g 2 k=1 si h che g 2 è finito, m dunque l serie converge, e quindi l successione { (g f λk ) } è infinitesim, tende zero; quindi, ess non potrà, k, essere sempre mggiore di un cert costnte c fisst, d cui l insieme è certmente finito. Questo dimostr, prendendo c = 1 m, che E n è un insieme numerbile. Di conseguenz, si studi: λ R \ n E n questo signific che λ pprtiene i reli, in cui il prodotto sclre tr l f λ, utofunzione ess ssocit, con ogni elemento del sistem ortonormle {e n }, è nullo (dl momento che d R si esclude l unione degli E n, dove ciscun E n è l insieme dei λ non ortonormli). Dl momento che però l unione numerbile di numerbili (l unione in n) è numerbile, si vrebbe che d un lto f λ e n (per costruzione, dunque per qunto è stto finor detto), m d ltr prte f λ = 0, e questo v contro il ftto che (e n ) è un set completo. 3 Funzioni di Green Nell sezione precedente sono stte discusse diverse proprietà dell opertore L. L idele, srebbe dunque pplicre il teorem spettrle questo opertore, l fine di terminre l nlisi. Il teorem spettrle è un teorem di esistenz, che, dto K opertore hermitino comptto su spzio di Hilbert H, grntisce l esistenz di un sequenz (finit o infinit), ortonormle, di utovettori di K corrispondente un successione di utovlori reli, tle per cui, x H: Kx = λ n (x(t), ϕ n (t))ϕ n (t) n=1 dove (ϕ n (t)) n è un successione di utovettori. Volendo introdurre un nlogi con l lgebr linere, quest operzione è l digonlizzione dell opertore L: l su rppresentzione medinte un bse ortonormle, che in questo cso è l bse degli utovettori. Come già ccennto nell sezione precedente, c è un problem: l opertore L è un opertore differenzile, dunque è molto diverso d quelli con cui di solito si utilizz l teori spettrle: esso non è nenche limitto (o continuo che dir si vogli), tntomeno comptto! Di conseguenz, il teorem spettrle non è pplicbile direttmente su di esso. A questo punto, dunque, l fine di trttre questo problem, sono possibili due pprocci. Costruire un teori spettrle estes, bst sullo studio di opertori non limitti. Studire questo problem sotto un punto di vist differente, l fine di ricondurre questo studio llo studio di opertori comptti (tipo Fredholm), e dunque poter pplicre tutti i teoremi usuli. 7

8 In quest trttzione non si vuole pretendere di costruire un trttzione lterntiv ll teori spettrle clssic, e dunque si vuole proporre qulcos di semplice: ricondurci, in qulche mnier, ll teori degli opertori comptti. L ide che ci iuterà è or presentt: gli opertori differenzili non sono continui, m quelli integrli generlmente sì; tuttvi, si può pensre gli opertori integrli come un sort di opertori inversi degli opertori differenzili: fin di primi corsi di Anlisi Mtemtic, si propone inftti il concetto di integrle come di un sort di inverso dell derivt, senz mi entrre nei dettgli. Ciò che si frà dunque srà rppresentre in qulche modo l inverso dell opertore L di Sturm-Liouville, L 1, vedere che esso è effettivmente comptto, e su di esso pplicre l teori spettrle; si porrnno quindi in relzione lo spettro puntule (l insieme degli utovlori) dell opertore L e quello dell opertore L 1, e in questo modo, lvorndo su quest ultimo, si potrnno esportre tutti i risultti su L. D qui in poi, si discuterà un metodo generle per invertire l opertore L, dunque per rppresentre L 1. Si consideri il problem seguente, derivnte d (1): Lx(t) = g(t), g(t) L 2 (, b) (6) Questo è un problem di Sturm-Liouville non omogeneo: si h inftti membro destro un funzione g(t) L 2 (, b); x(t) D(L), dove D(L) è l solito il dominio dell opertore L, come nell form (3). L obiettivo di quest sezione è dunque quell di trovre L 1, il che signific trovre un x(t) D(L) tle per cui: x(t) = L 1 g(t) 3.1 Appliczione del metodo dell vrizione delle costnti Si consideri il problem di Sturm-Liouville omogeneo Lx(t) = 0, scritto esplicitmente: ( d p(t) dx(t) ) + q(t)x(t) = 0 dt dt in questo contesto, è evidente che l opertore L è un opertore differenzile del secondo ordine; di conseguenz, è rgionevole dire che lo spzio delle soluzioni dell equzione differenzile ppen scritt coincid con l insieme delle combinzioni lineri finite (spn) di un insieme di dimensione 2. Dte dunque u(t), v(t) soluzioni indipendenti dell equzione omogene ppen riportt, h senso dire che ogni soluzione x h (t) di quest equzione si poss scrivere nell form: x h (t) = c 1 u(t) + c 2 v(t) ossi, come combinzione linere per mezzo dei pesi c 1 e c 2 delle due soluzioni indipendenti. Al fine di procedere, si pplic il metodo dell vrizione del- 8

9 le costnti di Lgrnge 2, considerndo quindi un integrle generle x(t) per l equzione non omogene nell form: x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) (7) dove dunque c 1, c 2 sono funzioni di t, e per ipotesi le si considerino: c 1 (t), c 2 (t) C (1) ([, b]) si può dunque pensre c 1, c 2 come due grdi di libertà, che possono essere utilizzti per ottenere il risultto mbito. Il prossimo psso è il clcolo esplicito dell derivt dell espressione in (7) (per lleggerire l notzione si sottointende l dipendenz d t): x = c 1 u + c 1 u + c 2 v + c 2v È possibile ottenere il risultto estto, senz perdere di generlità 3, imponendo l condizione: c 1 u + c 2 v = 0 di conseguenz, è possibile scrivere l espressione di x (t) come segue: x (t) = c 1 (t)u (t) + c 2 (t)v (t) (8) A questo punto, si utilizzino queste espressioni per riscrivere l equzione del problem di Sturm-Liouville (6); dopo un prim ppliczione dell regol di derivzione di prodotti di funzione stndrd, l si ri-pplic, rccogliendo lcuni termini, ottenendo: ( d p(t) dx(t) ) + q(t)x(t) = (px ) + qx = (pc dt dt 1 u + pc 2 v ) + qc 1 u + qc 2 v = = (pu ) c 1 + c 1 (pu ) + (pv ) c 2 + c 2 (pv ) + qc 1 u + qc 2 v = = c 1 [ (pu ) + qu ] + c 2 [ (pv ) + qv ] + c 1 pu + c 2 pv = = c 1 pu + c 2 pv (9) l ultimo pssggio è motivto dl ftto che tr prentesi qudre si è scritto esttmente l opertore L pplicto u nel primo cso, e v nel secondo cso; essendo però u e v soluzioni dell equzione di Sturm-Liouville per ipotesi, tutto ciò ndrà 0; in sostnz, si è ottenuto: Dl momento che si st risolvendo il problem Lx(t) = g(t), in virtù di qunto ppen scritto, si h che: (px ) + qx = c 1 pu + c 2 pv = g questo signific che c 1, c 2 soddisfno il seguente sistem di condizioni: 2 un ppliczione tipic di questo metodo è presente nell dimostrzione dell vlidità dell formul di soluzione delle equzioni lineri differenzili ordinrie, dei primi corsi di Anlisi Mtemtic 3 si può dimostrre che non è necessrio imporre quest condizione, m l cos renderebbe i conti più complicti 9

10 { c 1 u + c 2 v = 0 p(c 1 u + c 2 v ) = g A questo punto, per risolvere questo sistem, si ricvi dll prim: (10) c 1 u = c 2 v quindi, si moltiplichi per u l second equzione, e vi si sostituisc ciò: pc 1 u + pc 2 v = g puc 1 u + pc 2 uv = gu quindi, sostituendo: d cui, si può rccogliere: pc 2 vu + c 2 v up = gu c 2 p(uv u v) = gu Per procedere, è necessrio definire un opertore M come: Mx(t) = d ( p(t) dx(t) ) + qx(t) dt dt dove però, in questo cso, g L 2 (, b): l espressione di M è l stess di L, m M è definito su un dominio più lrgo. Questo opertore si definisce dl momento che è possibile pplicre l identità di Lgrnge precedentemente dimostrt: (p(uv vu )) = umv vmu = 0 inftti, Mu = Mv = 0, dl momento che u e v sono soluzioni dell equzione omogene ssocit ll (6). Dunque: (p(uv vu )) = 0 = p(uv vu ) = c dove c è un cert costnte; ess si può scrivere come: c = p(t)w(t) dove W(t) è il wronskino dell equzione; essendo l derivt null, integrndo si otterrà un cert costnte c. Sostituendo ciò, si ottiene: cc 1 = vg dl momento che c = 0, è possibile ottenere, integrndo quest espressione: c 1 (t) = 1 c t v(τ)g(τ) dτ + A A questo punto, è possibile ripetere gli stessi pssggi sul sistem (10), invertendo l ordine: si moltiplic l second per v e si effettu l sostituzione l contrrio, rifcendo questi stessi pssggi; si ottengono dunque, in fine di tutto: 10

11 c 1 (t) = 1 c c 2 (t) = 1 c t t v(τ)g(τ) dτ + A u(τ)g(τ) dτ + B Un volt ottenut quest rppresentzione delle costnti, si vuole procedere, proponendo lcuni risultti ggiuntivi Lemm: rppresentzione soluzione non omogene Si considerino u(t), v(t) soluzioni dell equzione differenzile omogene: Lx(t) = 0 si consideri quindi g(t) C([, b]), e un costnte c = 0 tle per cui: (11) e, c = p(t)w(t) x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) llor, ess è un soluzione dell equzione non omogene: Lx(t) = g(t) questo, A, B sclri, scelti in mnier tle d soddisfre le condizioni l contorno di (1). Questo lemm dunque fferm che è possibile rppresentre l soluzione di un equzione differenzile non omogene prtire dlle soluzioni dell equzione omogene, per mezzo di termini c 1 (t) e c 2 (t) nell form ricvt nell sezione ppen conclus. Dte dunque le soluzioni dell equzione omogene, or si dispone di un metodo generle di ricvre le soluzioni dell equzione non omogene. 3.2 Costruzione dell funzione di Green Teorem di esistenz e unicità per problemi di Cuchy Finor, si è ipotizzto che l equzione differenzile omogene ssocit (6) bbi due soluzioni u(t) e v(t) linermente indipendenti, ossi tli per cui un non poss essere semplicemente scritt come l ltr, moltiplict per un certo sclre M. Or si vuole dre forz quest ipotesi, verificndo che ess bbi fondmento. Si consideri il seguente teorem i vlori inizili (di Cuchy): d 2 x(t) + P(t) dx(t) + Q(t)x(t) = R(t) dt dt x(t 0 ) = x 0 x (t 0 ) = x 1 È risputo che questo problem, dte P, Q, R C (q) ([, b]), h un e un sol soluzione, e quest è vlori reli. 11

12 Questo risultto rigurd i problemi i vlori inizili, e in quest specific form; tuttvi, è possibile riscrivere l equzione di Sturm-Liouville, l fine di ricondurl in quest form: ( d p(t) dx(t) ) + q(t)x(t) = dp(t) + p(t) d2 x(t) dt dt dt dt 2 + q(t)x(t) questo punto però, se p(t) > 0 (e non null), è possibile dividere tutto per p(t): = d2 x(t) dt 2 + p (t) dx(t) + q(t) p(t) dt p(t) x(t) = 0 A questo punto, si vuole pplicre il teorem di esistenz ppen discusso sulle funzioni u(t) e v(t); il teorem grntisce, per come è scritto, esistenz e unicità; se tuttvi invece che due condizioni inizili se ne impone un sol, llor il teorem grntisce ncor l esistenz, m non più l unicità dell soluzione. Si consideri dunque, delle condizioni l contorno di (1), l prim per l funzione u(t), l second per l funzione v(t): { αu() + α u () = 0 βv(b) + β v (12) (b) = 0 ossi, per l funzione u(t) si impone solo l condizione l bordo sinistro, mentre per v(t) solo quell l bordo destro. Questo permette di dire che u(t) può essere un di infinite funzioni, tutte che soddisfno l condizione l contorno, multiple tr loro; stess cos per v(t); u(t) e v(t) sono ncor indipendenti per ipotesi. Dti K u, K v sclri, llor K u u(t) e K v v(t) soddisfno ncor si l equzione differenzile omogene, si le condizioni l contorno (12) (moltiplicndo mbo i membri per K u o K v o per uno sclre in genere, essendovi zero membro destro, essendo condizioni l contorno omogenee, le condizioni rimngono soddisftte). Quindi: x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) dove i due grdi di libertà sono scritti nell form (11); si può scegliere A = B = 0. Si osservi che: inftti: c 2 () = 0 c 2 () = 1 c u(τ)g(τ) dτ = 0 questo, in virtù del ftto che B = 0! Inoltre, dlle (7) e (8): x() = c 1 ()u() + c 2 ()v() = c 1 ()u() d cui, dunque: x () = c 1 ()u () + c 2 ()v () = c 1 ()u () 12

13 αx() + α x () = αc 1 ()u() + α c 1 ()u () = c 1 ()(αu() + α u ()) = 0 dl momento che u, essendo soluzione del problem omogeneo (1), soddisf l condizione l contorno: αu() + α u () = 0 lo stesso rgionmento può essere iterto per t = b, usndo le funzioni v, e sfruttndo il ftto che c 1 (b) = 0. Questo dimostr che x(t) costruit in questo modo soddisf le condizioni l contorno per t =, e per t = b (quest ultimo non è stto esplicitmente dimostrto m è bnlmente nlogo l cso t = ). Si osservi che è stt ncor dimostrt l unicità di quest soluzione dell equzione non omogene. 3.3 Esistenz e unicità dell soluzione dell equzione non omogene Si suppong questo punto che λ = 0 non si un utovlore di un problem RSL. Allor, dt g C([, b]), il problem non omogeneo tipo (6), l cui equzione è: ( d p(t) dx(t) ) + q(t)x(t) = g(t) dt dt h soluzione unic, che si può scrivere come: x(t) = G(t, τ)g(τ) dτ dove G(t, τ) è dett funzione di Green, ed è il nucleo integrle dell opertore K definito come: Kx(t) = G(t, τ)x(τ) dτ Questo nucleo integrle è definito come: { 1c v(t)u(τ), τ t b G(t, τ) = 1 c u(t)v(τ), t τ b dove u, v sono soluzioni non nulle dell equzione omogene, con le condizioni l contorno, c è l costnte definit i punti precedenti, e si suppone che x C([, b]). Un osservzione su G(t, τ): si è detto precedentemente che su u(t) si è pplict solo l condizione l contorno in t =, mentre su v(t) solo quell per t = b; questo ftto è or motivbile, dl momento che nell prim prte dell espressione ppen scritt di G(t, τ), si h che t τ, di conseguenz t può essere pri d solo nel cso limite di τ = ; stesso discorso per v(t) nell second equzione; questo motiv il ftto che su u(t) è stt impost solo l condizione in t =, e in v(t) solo quell in t = b: è utile ttribuire, in un primo momento, solo queste condizioni, l fine di lscire si per u(t) si per v(t) 13

14 un grdo di libertà in più, l fine di poter rccordre le due soluzioni in t = τ; si è comunque dimostrto precedente che, nche imponendo quelle sole due condizioni, x(t), ossi l soluzione dell equzione non omogene, soddisferà le condizioni l bordo! Questo teorem grntisce l esistenz e l unicità di quest soluzione, scritt in termini dei risultti precedentemente discussi, definendo in vi preliminre il concetto di funzione di Green. Prim di procedere con l dimostrzione del teorem, si discuterà or un lemm di questo teorem Lemm Considerte le ipotesi del teorem ppen enuncito, si può dimostrre che: uv vu = 0 t [, b] Si vuole dimostrre questo ftto. Il termine uv vu può essere visto come determinnte dell seguente mtrice: [ ] uv vu u v = det u v or, si ipotizzi che questo determinnte si ugule 0, per un t 0 [, b]; questo significherebbe che esistono κ, µ diversi d zero tli per cui il sistem: [ ] [ ] [ ] u v κ 0 u v = µ 0 h soluzione: se il determinnte fosse nullo in t = t 0, vorrebbe dire che il sistem vrebbe soluzione non bnle. Questo sistem si può riscrivere come: { κu(t0 ) + µv(t 0 ) = 0 Dt l funzione x(t) definit come: κu (t 0 ) + µv (t 0 ) = 0 x(t) = κu(t) + µv(t) soddisfcente x(t 0 ) = x (t 0 ) = 0, quest srebbe soluzione dell equzione omogene: sostituendol nell equzione differenzi omogene ssocit l problem non omogeneo, tutte le condizioni l contorno srebbero soddisftte, e u, v srebbero singolrmente soluzioni, quindi tutto srebbe coerente: nche un loro combinzione linere (per linerità dell opertore L) è soluzione dell equzione differenzile omogene. È evidente che x(t) = 0, t [, b] è soluzione dell equzione differenzile; esiste però il teorem di unicità pplicto l problem di Cuchy con condizioni inizili x(t 0 ) = x (t 0 ) = 0, che dice che quest soluzione bnle è nche unic: l unic soluzione mmissibile, srebbe dunque quell identicmente null. Perché x(t) = 0, con u(t), v(t) non nulle, si deve vere che: 0 = κu(t) + µv(t) = u(t) = µ κ v(t) 14

15 ossi, u(t) e v(t) dovrebbero essere un multiplo di un ltr. Supponendo che questo si possibile (nche se v contro le ipotesi), si vrebbe che dunque u(t) soddisf l condizione l contorno: βu(b) + β u (b) = 0 inftti, se v(t) soddisf quest condizione (pres d (12)), llor lo f nche u(t), essendo le due un il multiplo dell ltr per mezzo di un certo sclre); questo signific che entrmbi i bordi, u(t) dovrebbe soddisfre quest condizione. In ltre prole, si vrebbe che: Lu(t) = 0 essendo inftti u(t) si un soluzione dell equzione differenzile omogene, si soddisfcente entrmbe le condizioni l contorno; questo, presentndo dunque due condizioni l contorno omogenee (si quell in t = si quell in t = b), può essere visto come il seguente problem gli utovlori: Lu(t) λu(t) = 0 dove λ = 0. Questo mmetterebbe soluzione, per tutti i discorsi ftti prim, m ciò non h senso: λ = 0 non è per ipotesi un utovlore. Di conseguenz, simo cduti in un ssurdo Dimostrzione del teorem Si p si uv vu sono forztmente diversi d zero, t [, b]; di conseguenz, c è un costnte, m ess è per forz divers d zero (questo ftto, precedentemente ipotizzto, or è motivto grzie l lemm ppen scritto). Considerndo dunque l equzione non omogene Lx(t) = g(t) quest h l più un soluzione in D(L). Si consideri: x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) si può scrivere dunque, espndendo c 1 e c 2, come: x(t) = u(t) 1 c = t v(τ)g(τ) dτ + v(t) u(τ)g(τ) dτ = G(t, τ)g(τ) dτ Inoltre, x(t) h due derivte continue, ossi x C (2) ([, b]); si h inftti che u (e v ) è soluzione di un equzione differenzile ordinri del secondo ordine; ess, dunque, esiste; inoltre, scrivendo in mnier più rpid e rirrngindo i termini dell equzione omogene ssocit (6), si h: u = p u p qu p 15

16 Applicndo il teorem di esistenz, sull equzione di Sturm-Liouville omogene modifict (quest, ppen riportt), si può dire che u è continu. Inoltre, ricordndo i pssggi precedentemente proposti, si h che: cc 2 = ug cc 1 = vg dove le funzioni c 1, c 2 sono continue, dl momento che membro sinistro si h un costnte moltiplict per c 1 o c 2, m destr il prodotto di due funzioni continue, di conseguenz essendoci l eguglinz nche sinistr si h continuità. Dunque, dl momento che: x (t) = c 1 (t)u (t) + c 2 (t)v (t) e che ogni funzione l membro destro h derivt continu, llor che x vrà derivt continu (il che signific che x (t) è continu). Per qunto rigurd il kernel integrle G(t, τ), ossi per qunto rigurd l funzione di Green per il RSL, u e v sono lmeno continue, dunque c 1 u(t)v(τ) e c 1 u(τ)v(t) srnno ltrettnto continue nei rispettivi intervlli in cui sono vlutte. Inoltre, esse sono pure continue nel punti in comune: t = τ. Quest cos si dimostr dl momento che i domini: e τ t b t τ b disegnti su un pino, sono domini tringolri chiusi, con un digonle in comune; sull digonle comune, è evidente che le funzioni ssumono gli stessi vlori, dunque esse coincidono, dunque G(t, τ) C([, b] [, b]); questo è un sottospzio chiuso e limitto, dunque, essendo sottospzio di R 2, esso è nche comptto, pplicndo il teorem di Heine-Borel. Dl momento che l funzione è continu in un comptto, si può pplicre Heine-Cntor, e dire che ess è nche uniformemente continu, dunque limitt, e dunque mmette, per il teorem di Weierstrss, mssimo e minimo ssoluti. Dt M un cert costnte, si può dunque dire che: G(t, τ) M, t, τ b ossi, questo vle sul rettngolo dto dll unione dei due sottodomini tringolri ppen discussi. In ltre prole, usndo quest mggiorzione, è possibile scrivere che: G(t, τ) 2 dt dτ M (b ) 2 Questo conclude l dimostrzione, e permette di mettere fuoco due proprietà di questo opertore. Questo è un opertore di Hilbert-Schmidt; di conseguenz, esso è comptto. 16

17 Le funzioni che si stnno considerndo sono tutte vlori reli; dunque, questo opertore è nche hermitino. 3.4 Teorem di rppresentzione delle soluzioni Si vuole ggiungere un tssello l puzzle: il teorem che si discuterà or fferm che, se λ = 0 non è un utovlore, dt G(t, τ) discuss precedentemente, e l opertore K su L 2 (, b) definito come: Kg(t) = G(t, τ)g(τ) dτ llor, K è un opertore hermitino e, per ogni g C([, b]), l soluzione dell equzione non omogene è: Lx(t) = g(t) f D(L) x(t) = Kg(t) Si osservi che questo teorem permette di dire che ogni soluzione dell equzione differenzile, x(t), h form Kg(t); tuttvi, mncno due dettgli, per completre l teori: g(t) C([, b]), per ipotesi; tuttvi, quest è un ipotesi sovrbbondnte, dl momento che non è necessrio che g si continu: ess può, più in generle, essere in L 2 (, b); si è trovt un rppresentzione per ogni soluzione, dunque si è in grdo di rppresentre ogni punto di D(L) medinte l opertore K; tuttvi, non si è discusso rnge {L}, ossi non si è discusso D(K): esso è L 2 (, b). Non è necessrio che x (t) si continu, come finor detto: è sufficiente che ess esist, e pprteng L 2 (, b); questo richiede un modific dell opertore L, che però permette di dire che esso, ll fine, divent suriettivo in L 2 (, b): ogni elemento di L 2 (, b) è nche nell immgine dell opertore L in cui si è rilsst l ipotesi sull continuità di x, chiedendo solo che ess si qudrto sommbile. A queste condizioni: K = L 1 come stimo per discutere. L ipotesi su λ = 0 è rgionevole, dl momento che, volendo legre L e K medinte un inversione, llor intuitivmente (l cos verrà dimostrt in seguito), ogni utovlore di K è un inverso di L; se si vesse λ = 0, non srebbe possibile clcolrne il reciproco; d ltr prte, in quest condizione, è ovvio (pensndo l cso finito-dimensionle) che l opertore non srebbe nemmeno invertibile. 17

18 3.4.1 Lemm Si propone questo punto un lemm del teorem ppen riportto. Supponendo che λ = 0 non si un utovlore del RSL, e che K si l opertore integrle definito nell solit mnier, con l funzione di Green G(t, τ), llor, g L 2 (, b), si h che Kg(t) è derivbile, e: (Kg) = c 1 (t)u (t) + c 2 (t)v (t) Si dimostr questo punto questo risultto. Per come K è definito, si h che: Kg(t) = x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) dove u(t), v(t) sono funzioni derivbili, in virtù del teorem di esistenz delle soluzioni del problem i vlori inizili precedentemente discusso. Se dunque g è continuo, Kg srà derivbile, dl momento che l opertore K è un opertore integrle (e dunque esso si può pplicre il teorem fondmentle del clcolo integrle); (Kg) si può dunque trovre medinte l regol di derivzione del prodotto di due funzioni. Un osservzione: null ci viet di supporre che g L 2 (, b): inftti, nell espressione ppen scritt di Kg(t) non compiono né c 1 (t) né c 2 (t), che non potrebbero esistere, se g fosse solo integrbile: c 1 (t) e c 2 (t) inftti sono clcolte con le formule (11), che contengono g l loro interno; se g pprtenesse L 2 (, b), ess potrebbe essere discontinu, e dunque l derivt delle c 1, c 2 potrebbe non esistere; il ftto che queste derivte non sino presenti nelle nostre formule, ci dnno spernz di poter estendere i risultti per g(t) L 2 (, b). Dunque, essendo: (Kg(t)) = c 1 (t)u (t) + c 2 (t)v (t) per ricvre Kg(t), è sufficiente integrre membro membro, ottenendo: t Kg(t) = Kg() + (c 1 u + c 2 v )(τ) dτ = = u() 1 t v(τ)g(τ) dτ + (c c 1 u + c 2 v )(τ) dτ, t [, b] l ultimo pssggio semplicemente è stto scrivere esplicitmente Kg() utilizzndo l definizione dell opertore K, vlutndo il tutto in t = ; si osservi che quest formul vle per ogni t [, b], e non qusi ovunque. Si procede or con il psso successivo dell dimostrzione: si definiscono le seguenti ppliczioni lineri, K, M, N, come: Kg(t) = Kg(t) Mg(t) = u() 1 c Ng(t) = t v(τ)g(τ) dτ (c 1 u + c 2 v )(τ) dτ 18

19 Si vuole dimostrre che ciscuno di questi tre opertori, dte funzioni g L 2 (, b), producono funzioni continue, motivndo l frse prim dett. Se g(t) L 2 (, b), llor, per vedere che l su immgine è in C([, b]), bisogn cercre di studirne l continuità rispetto ll norm di L 2 (, b) e ll norm del sup (rispetto cui lo spzio delle funzioni continue è di Bnch). Dunque: t Ng(t) Ng(t) = (c 1 u + c 2 v t )(τ) dτ (c 1 u + c 2 v )(τ) dτ (b ) { c 1 u + c 2 + v } nel primo pssggio si è solo detto che Ng(t) è mggiorbile col modulo, si è scritto esplicitmente tutto ciò e si è pplict l diseguglinz tringolre; nel secondo pssggio, ogni funzione è stt mggiort con il proprio sup, dunque ottenendo solo costnti dentro l integrle d t; essendo t [, b], il mssimo di questo integrle è per t = b, dunque si è mggiorto tutto l integrle con le vrie norme del sup, moltiplicndo per l lrghezz dell intervllo [, b]. Ripetendo rgionmenti simili: c 1 (t) = 1 c l stess cos vle per c 2 (t): t v(τ)g(τ) dτ 1 c v(τ) g(τ) dτ 1 c v L 2 g L 2 questo ci dice che: c 2 (t) 1 c u L 2 g L 2 c 1 1 c v L 2 g L 2 c 2 1 c u L 2 g L 2 (inftti, il ftto di pprtenere L 2 è più generle rispetto d pprtenere C). Effettundo queste ultime mggiorzioni, si può dunque dire che: Ng b c { v L 2 g L 2 u + v L 2 g L 2 + v } Questo signific che, dte g L 2 (, b) (dunque l loro norm in L 2 è finit), l norm di Ng del sup è mggiort d tutte costnti (inftti, le norme del sup di u e v sono finite, dl momento che si è visto che u e v sono certmente continue, e su un intervllo limitto, dunque per Weierstrss mmettono mssimo), quindi è stto dimostrto che Ng(t) è un opertore limitto d L 2 (, b) C([, b]): questo opertore mpp funzioni qudrto integrbile in funzioni continue. Segue dunque che l ppliczione linere 19

20 K M N è un ppliczione continu. Inoltre, se si prte d funzioni già continue, K coincide con M + N, dunque il mpping non gisce (dl momento che l funzione è già continu, e non deve essere tocct ) Teorem legnte utovlori di K e L Ciò che si st cercndo di ottenere è un legme tr gli opertori L di Sturm- Liouville e K, inverso definito medinte un opportun funzione di Green. Il teorem che st per essere discusso dimostr questo legme. Se λ = 0 non è un utovlore di un opertore L di un RSL, e K è il solito opertore integrle, llor: 1. λ = 0 non è un utovlore per l opertore K; 2. λ si un utovlore di L se e solo se λ 1 è un utovlore di K. inoltre, gli utovettori di L reltivi un utovlore λ coincidono con gli utovettori di K corrispondenti λ Dimostrzione del punto 1 Si consideri il cso: Kg(t) = 0 = Kg(t) = x(t) = c 1 (t)u(t) + c 2 (t)v(t) precedentemente er stto discusso un lemm che ffermv che: c 1 (t)u (t) + c 2 (t)v (t) = 0 = (Kg(t)) d ltr prte, discutendo il lemm in questione, si er detto che: [ ] u v det u v = 0 m dunque, se: llor, per forz, è necessrio che: [ ] [ ] u v c1 u v = 0 c 2 c 1 (t) = c 2 (t) = 0 questo signific dunque, recuperndo le (11): { v(τ)g(τ) dτ = 0 t t y(τ)g(τ) dτ = 0 questo, per i risultti dell teori dell misur, implic che vg e ug sono funzioni nulle qusi ovunque su L 2 (, b). Dl momento che è impossibile che u = 0 e v = 0 ssieme per ipotesi (sono soluzioni non bnli), si deve vere per forz che g = 0; se tuttvi g = 0, si h che λ = 0, e questo è un ssurdo, dl momento che per ipotesi λ = 0. 20

21 3.4.4 Dimostrzione del punto 2 Si suppong che λ si un utovlore dell opertore L; si consideri dunque x(t) D(L), dove x(t) è l utovettore reltivo λ; si h dunque che: Lx(t) = λx(t) M, se x(t) D(L), llor x(t) C([, b]); pplicndo il teorem precedente, si h dunque che x è rppresentbile come un funzione derivnte dll ppliczione di K su un cert g(t): g(t) = Lx(t) = λx(t) x(t) = Kg(t) = K(λx(t)) ossi, l g(t) in questione è l x(t) mppt d L nell immgine; essendo però un problem gli utovlori, si h il risultto scritto. Questo signific, invertendo: Kx(t) = λ 1 x(t) questo signific dunque che λ 1 è utovlore dell opertore K, con utovettore x(t) reltivo esso. A questo punto, si rgioni l contrrio: si consideri µ utovlore di K con utovettore g L 2 (, b); dunque: Kg(t) = µg(t) dove g(t) = 0, µ = 0. Bnlmente, si può scrivere che: g(t) = µ 1 Kg(t) si osservi però che non si può effetture l sostituzione precedentemente ftt nel cso in cui si prtiv d x(t), dl momento che, per or, ogni funzione in D(L) si può scrivere come un cert g(t) L 2 (, b), m non è chiro qule si l immgine dell opertore L. Si può però osservre qunto segue: dl momento che Kg(t) è derivbile, certmente g(t) è continu, come si è visto nel lemm ppen dimostrto; dl momento che: Lx(t) = g(t) h un soluzione x(t) = Kg(t), llor è possibile dire che: LKg(t) = g(t) tuttvi, g(t) per ipotesi è utovettore di K con utovlore µ, dunque: LKg(t) = L(µg(t)) = g(t) = Lg(t) = µ 1 g(t) Questo termin l dimostrzione: dt g(t) L 2 (, b), bbimo dimostrto che ogni g(t) è ssocito un qulche x(t) D(L); quindi è possibile dire che effettivmente L è si iniettivo si suriettivo. 21

22 3.4.5 Conclusioni Si vuole rissumere, in queste conclusioni, qunto ftto finor. 1. Si è compreso che l vi corrett per pplicre l teori spettrle ll opertore L di Sturm-Liouville è quell di invertirlo, in qulche modo, l fine di risolvere il problem non omogeneo Lx(t) = g(t) 2. Medinte il metodo di Lgrnge dell vrizione delle costnti, è stto introdotto un opertore K, e se ne è ricvt un formul esplicit l vrire di g(t). 3. Medinte lcuni risultti noti sui problemi di Cuchy, è stt discuss l unicità dell soluzione. 4. I risultti precedenti hnno fornito indizi inducenti credere che K fosse in qulche senso l inverso dell opertore L; è stto dimostrto che dunque L è tutti gli effetti l inverso dell opertore K. 4 Proprietà delle funzioni di Green Le funzioni di Green G(t, τ) permettono, medinte l opertore integrle di Frobenius che h esse come kernel integrle, di costruire le soluzioni di un equzione differenzile non omogene prtire dlle soluzioni dell equzione differenzile omogene d ess ssocit, con le mnipolzioni precedentemente discusse. In primo luogo verrnno discusse proprietà semplici, per poi pssre discuterne un molto più importnte, dl momento che ttribuisce un significto fisico di considerevole rilevnz ll funzione di Green. 4.1 Condizioni l contorno e simmetri L funzione G(t, τ) h l seguente proprietà: per t > τ, si h che: G(t, τ) = 1 c v(t)u(τ) di conseguenz, osservndo l vrizione in t, si h che, per τ fissto e soddisfcente l condizione: G(t, τ) v(t) rgionndo in mnier nlog, per t < τ, si h: ossi: G(t, τ) = 1 c v(τ)u(t) 22

23 G(t, τ) u(t) Dl momento che G(t, τ) è sempre proporzionle un delle soluzioni del problem di Sturm-Liouville omogeneo, è evidente che l funzione di Green soddisfi sempre le condizioni l contorno del problem. Allo stesso modo, dlle espressioni ppen scritte, è ssolutmente evidente che: G(t, τ) = G(τ, t) questo permette di dimostrre il ftto che l opertore K è hermitino. 4.2 Continuità dell funzione di Green e discontinuità dell derivt Si vuole or discutere l continuità di un funzione di Green di un problem di Sturm-Liouville; questo rgomento è già stto toccto, m lo si vuole pprofondire. Per t = τ, si definisce: e G(τ +, t) = lim G(t, τ), t, > τ t τ + G(τ, t) = lim G(t, τ), t, > τ t τ Or, usndo le relzioni (11) nei rispettivi domini, vlutndole per t = τ, si h: u(τ)v(τ) c = v(τ)u(τ) c e dunque l continuità è effettivmente presente. Sebbene l funzione si continu, ess present un discontinuità dell derivt nel punto t = τ. Per fre ciò, si effettui l seguente vlutzione, ricordndo che c = p(t)w(t), dove W(t) è il wronskino ssocito ll equzione: G(t, τ) t t τ + G(t, τ) t 1 = t τ p(τ)w(τ) v (τ)u(τ) + 1 p(τ)w(τ) v(τ)u (τ) ricordndo però che W(τ) = uv vu, si h che (vlutndo tutto in t = τ): = u (τ)v(τ) u(τ)v (τ) p(τ)(u(τ)v (τ) v(τ)u (τ)) = 1 p(τ) Questo signific che l derivt h un discontinuità di prim specie (tipo slto), di mpiezz pri (p(τ)) 1. Quest proprietà è molto importnte, per l proprietà che si st per discutere. 23

24 4.3 Soddisfcimento di un equzione differenzile L proprietà che segue permette di ttribuire ll funzione di Green un importnte significto fisico. Si rggiungerà l conclusione utilizzndo concetti intuitivi, e poi l si giustificherà psso-psso, mostrndo lcune sue conseguenze. Si è precedentemente detto che l funzione di Green è proporzionle, in entrmbi i sottodomini tringolri, lle soluzioni dell equzione differenzile omogene, u(t) e v(t). Questo permette di motivre il ftto che l funzione di Green può soddisfre un equzione differenzile del tipo: t ( p(t) G(t, τ) t ) + q(t)g(t, τ) = 0, t = τ con le condizioni l contorno. Chirmente, per t = τ, quest informzione non è sufficiente, dl momento che si vuole nche specificre cos ccde ll derivt per t = τ; per questo motivo, per or si è escluso il punto t = τ. L derivt dell funzione nell intorno di t = τ si comport come l funzione di Heviside U(t): { 1, t > 0 U(t) = 0, t < 0 dll Teori delle Distribuzioni è noto che: δ(t) = d dt U(t) Si consideri per ipotesi vlido questo risultto, l fine di considerre le nostre elucubrzioni. Se G(t, τ) è continu m non derivbile, cus di un discontinuità tipo slto, signific che: G(t, τ) t h un discontinuità tipo slto, dunque h un comportmento come U(t), m dunque l derivt second di G(t, τ) rispetto t srà ugule un delt di Dirc δ(t). H dunque senso scrivere l equzione differenzile soddisftt dll funzione di Green come: t ( p(t) ) G(t, τ) + q(t)g(t, τ) = δ(t τ) (13) t Dt quest equzione differenzile, è evidente che ess coincide con dire che: LG(t, τ) = δ(t τ) (14) Questo permette di ttribuire il significto fisico di cui si è ftto cenno: pplicndo l opertore di Sturm-Liouville L ll funzione di Green G(t, τ), ciò che si ottiene è δ(t τ); riprendendo in mno le precedenti espressioni, questo coincide con dire che: Kδ(t τ) = G(t, τ)δ(t τ) dτ 24

25 in ltre prole, l funzione di Green, G(t, τ), è l rispost ll impulso dell equzione differenzile 4. In Fisic, l soluzione omogene di un equzione differenzile è ssocit ll rispost liber del sistem, mentre l soluzione prticolre è reltiv ll forznte che si ssegn ll equzione differenzile: l forznte è il termine noto usulmente posto membro destro, finor chimto g(t), in quest trttzione; l soluzione prticolre è dunque l rispost del sistem descritto medinte l equzione differenzile un eccitzione g(t); in questo specifico cso, si h che: g(t) = δ(t τ) di conseguenz, tutto ciò non è ltro che studire l rispost del sistem, ossi l soluzione dell equzione differenzile, dt un eccitzione impulso. Un volt discusso questo punto crucile, si vuole lvorre sull equzione ppen propost, l fine di motivrne l vlidità. È noto che l equzione non omogene (6) si può scrivere sinteticmente: Lx(t) = g(t) (15) LG(t, τ) = δ(t τ) (16) A questo punto, si effettui l seguente operzione: si moltiplichi l (15) per G(t, τ), e l (16) per x(t); quindi: G(Lx) x(lg) = g(t)g(t, τ) δ(t τ)x(t) si integri nell intervllo [, b] quest equzione: [G(t, τ)(lx(t)) x(t)(lg(t, τ))] dt = [g(t)g(t, τ) δ(t τ)x(t)] dt per qunto rigurd il membro destro, si può scrivere immeditmente, sfruttndo l sifting property dell delt di Dirc: [g(t)g(t, τ) δ(t τ)x(t)] dt = x(t)g(t, τ) dτ y(τ) Per qunto rigurd invece l integrle primo membro, è possibile prendere due strde (equivlenti): un, è riconoscere che si può pplicre l terz identità di Green e rrivre direttmente l pssggio finle; qui, invece di fre ciò, si utilizz un integrzione per prti, in mnier tle d rggiungere lo stesso obiettivo. Prim di tutto, si scrive esplicitmente G(Lx): G(t, τ)(lx(t)) = G(t, τ) d ( p(t) dx(t) ) + G(t, τ)p(t)x(t)+ dt dt [ x(t) ( ) ] G(t, τ) p(t) + G(t, τ)p(t)x(t) = t t = G(t, τ) d ( p(t) dx(t) ) y(t) ( ) G(t, τ) p(t) dt dt t t 4 ossi, l ntitrsformt di Fourier/Lplce dell funzione di trsferimento del sistem descritto medinte l equzione differenzile 25

26 si integri questo, ottenendo: = { p(t) = G(t, τ) t ( p(t) dx(t) ) dt dt [ G(t, τ) x(t) x(t) t G(t, τ) t { p(t) p(t) dx(t) dt x(t) t ]} G(t, τ) b + t dt + [ G(t, τ) x(t) x(t) t ( ) G(t, τ) p(t) dt = t G(t, τ) p(t) dx(t) dt = t dt ]} b G(t, τ) t Mettendo insieme i due membri, si ottiene: x(τ) = { [ G(t, τ) g(t)g(t, τ) dt p(t) x(t) t G(t, τ) x(t) ]} b t A questo punto, si suppong che x() = x(b) = 0; in questo cso, dunque, G(, τ) = G(b, τ) = 0, e dunque si ottiene: x(τ) = g(t)g(t, τ) dτ quest, scmbindo le vribili t e τ, divent (ricordndo che l funzione di Green è sempre simmetric): x(t) = g(τ)g(t, τ) dt Invece, se le condizioni l contorno non fossero omogenee, si vrebbe qulcos di diverso, che verrà or discusso. Si h, effettundo l sostituzione t τ: y(t) = { [ G(t, τ) g(τ)g(t, τ) dt p(τ) x(τ) τ G(t, τ) x(τ) ]} b τ Si ipotizzi x() = α, x (b) = β (per esempio), dunque G(, τ) = 0, G (b, τ) = 0. Si ottiene, in questo cso: [ ] G(t, τ) b p(τ)(x(τ) G(t, τ)x (τ) τ d cui: [ = ] G(t, b) p(b)(x(b) G(t, b)x (b) τ ] [ G(t, ) p()(x() G(t, )x ()) τ = βp(b)g(t, b) αp() G(t, ) τ G(t, ) x(t) = g(τ)g(t, τ) dt + βp(b)g(t, b) + αp() τ Tutto ciò h perfettmente senso, e questo è possibile dl momento che è stt introdott l δ di Dirc nell equzione differenzile. + = 26

27 4.3.1 Verific posteriori dell vlidità dell equzione differenzile Per vlidre l equzione differenzile, si vuole or vedere che l introduzione dell delt di Dirc membro destro permette di tenere in conto il ftto che l funzione di Green, G(t, τ), h un discontinuità dell derivt di tipo slto, per t = τ. Per vedere ciò, si consideri l equzione (13), qui riportt: t ( p(t) G(t, τ) t ) + q(t)g(t, τ) = δ(t τ) Si integri quest equzione in t [τ ε, τ + ε], per poi considerre il cso ε 0: lim ε 0 τ+ε τ ε [ ( )] G(t, τ) p(t) + q(t)g(t, τ) t t τ+ε dt = lim δ(t τ) dτ ε 0 τ ε dl momento che q(t) C([, b]), e che G(t, τ) C([, b] [, b]), il termine qg dà contributo nullo ll integrle, dl momento che si integr in un intervllo infinitesimo dove, per continuità, h vrizione circ null; rimne: [ ] G(t, τ) τ+ε lim p(t) = 1 ε 0 t τ ε Questo è esttmente l discontinuità tipo slto presente nell funzione di Green, motivndo qundo si er detto precedentemente. 4.4 Esempio di clcolo dell funzione di Green: equzione dei telegrfisti Si vuole questo punto proporre un esempio di clcolo dell funzione di Green, prtire d un equzione semplice m molto spesso frequente nell Fisic o nell Ingegneri. Si consideri il seguente problem: d 2 V(z) dz 2 + k 2 zv(z) = f (z) (17) V(0) = 0 V(1) = 0 dove k z si consider noto. Quest equzione venne introdott d Lord Kelvin nel 1853, e deriv dlle equzioni dei telegrfisti: quest equzione permette di studire l propgzione lungo un direzione z dell tensione su di un cvo, in situzioni in cui è necessrio tenere conto degli effetti distribuiti di questo; quest equzione è stt poi vlidt nel decennio del 1880 dl modello di Heviside del clcolo simbolico. Un equzione di questo genere si può ottenere nche nell mbito dei problemi di trsporto di neutroni, qundo si h dipendenz dl tempo (pssndo poi ll trsformt di Fourier temporle); lterntivmente, quest è un equzione d ond unidimensionle, oppure ncor l equzione dell oscilltore rmonico ( second di come si interpret fisicmente l funzione V(z)). 27

28 Come già discusso, l funzione di Green serve per fornire un soluzione di un equzione differenzile non omogene, rppresentndol prtire d soluzioni omogenee. f (z) è il termine non omogeneo, e può essere fondmentlmente qulsisi funzione qudrto integrbile (in L 2 (0, 1)); un esempio potrebbe essere quello di usre come f (z) un δ di Dirc, posiziont in uno (o in entrmbi) gli estremi, in mnier tle d imporre un vlore specifico di tensione un cpo dell line 5. Aldilà di queste elucubrzioni fisiche, si vuole proporre un esempio di clcolo dell funzione di Green per quest equzione differenzile, ottenut imponendo mn mno le proprietà mtemtiche precedentemente discusse e dimostrte Soluzioni omogenee del problem Il primo psso consiste nel ricvre l soluzione dell equzione differenzile omogene ssocit (17); in questo cso l soluzione è ben not, dl momento che è un combinzione linere di seni e coseni; l soluzione omogene V h (z) (dove h st per homogeneous) è: V h (z) = c 1 sin(k z z) + c 2 cos(k z z) Dll teori precedentemente discuss, pplicndo il metodo di vrizione delle costnti di Lgrnge, si può dunque scrivere che l soluzione del problem non omogeneo è: V(z) = c 1 (ζ) sin(k z z) + c 2 (ζ) cos(k z z) Soddisfcimento delle condizioni l contorno Per dre l form giust ll nostr funzione di Green, è or necessrio grntire che ess soddisfi le condizioni l contorno; per fre ciò, è necessrio considerre seprtmente i due sottodomini: per ciscun sottodominio si impone solo un delle due condizioni l contorno, dl momento che poi srà necessrio vere i grdi di libertà rimnenti per rccordre. Si osservi inoltre che c 1 e c 2 sono diverse nei due sottodomini, dl momento che, fino questo punto, si stnno risolvendo seprtmente due problemi, che verrnno poi per l ppunto rccordti nelle sezioni precedenti. { G(0, ζ) = 0, 0 z ζ G(1, ζ) = 0, ζ z 1 quindi, ci si foclizz nei due sottocsi. Per qunto rigurd il primo sottodominio, ossi 0 z ζ, che signific ζ z, si h: G(0, ζ) = [ ] c (l) 1 (ζ) sin(k zz) + c (l) 2 (ζ) cos(k zz) z=0 = c(l) 2 (ζ) cos(k zz) = 0 5 questo è un pproccio lterntivo ll imposizione di un condizione l contorno non omogene: imporre un condizione omogene i bordi, e definire il vlore dell tensione medinte un introduzione di un (o più) delt di Dirc gli estremi del dominio 28

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