11. I teoremi del calcolo differenziale, I

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1 11. I teoremi del clcolo differenzile, I 11. Funzioni di clsse C 1 Abbimo visto, cfr Cpitolo 9, che l esistenz delle sole derivte przili non è sufficiente grntire l differenzibilit in un punto dto. Pero si h 11.1 Teorem (del differenzile totle). Si f B(x, r) R n R, r >. Se le derivte przili di f sono definite in B(x, r) e se tutte le derivte przili sono continue in x, llor f è differenzibile in x. Dimostrzione. Considerimo solo il cso n = 2, lscindo l lettore il compito di convincersi che l dimostrzione si estende dimensione qulunque. Conviene cmbire leggermente le notzioni supponimo che f si definit in B(P, r) dove P = (x, y ), e si P = (x, y) B(P, r). Si h f(p) f(p ) = f(x, y) f(x, y ) = f(x, y) f(x, y ) + f(x, y ) f(x, y ). (11.1) Poiche per ipotesi l funzione g 1 (t) = f(t, y ) è derivbile in ogni punto dell intervllo chiuso di estremi x e x, per il teorem di Lgrnge in un vribile esiste ξ = ξ(x) con < ξ x < x x tle che f(x, y ) f(x, y ) = f x(ξ, y )(x x ) (11.2) = f x(x, y )(x x ) + [f x(ξ, y ) f x(x, y )](x x ) Anlogmente per ogni x l funzione g 2 (t) = f(x, t) è derivbile in ogni punto t dell intervllo di estremi y e y e, per il teorem del vlor medio, esiste η = η(x, y) con < η y y y tle che f(x, y) f(x, y ) = f y(x, η)(y y ) = f y(x, y )(y y ) + [f y(x, η) f y(x, y )](y y ). Or per costruzione i punti (ξ, y ), (x, η) distno d P = (x, y ) meno che P d P, e quindi (ξ, y ) = (ξ(x), y ) (x, y ), (x, η) = (x, η(x, y)) (x, y ), per P P, e, per l continuità delle derivte przili in x, f x(ξ, y ) f x(x, y ) + f y(x, η) f y(x, y ) per P P. Deducimo quindi dlle (11.1), (11.2) che f(p) f(p ) = f x(p )(x x ) + [f x(ξ, y ) f x(x, y )](x x ) + f y(p )(y y ) + [f y(x, η) f y(x, y )](y y ) = f x(p )(x x ) + f y(p )(y y ) + o( P P ) per P P.

2 I teoremi del clcolo differenzile, I (x, y) (x, y ) (x, y ) Figur Osservzione. Si noti che nel Teorem 11.1 non si suppone ne che l funzione f si continu ne tntomeno che le derivte przili sino continue in tutti i punti di B(x, r). Si suppone tuttvi che le derivte przili f x (x 1, x 2,..., x n ) sino continue nel solo punto x i come funzioni di piu vribili e non solo come funzioni dell sol vribile di derivzione x i Esercizio. Si f A R n R e x interno d A. Se f è continu in x, se tutte le derivte przili di f esistono in A\{x } e se per ogni i = 1,..., n f x i(x) i R per x x, llor f è differenzibile in x e df x = P n i dx i Definizione. Se f h derivte przili in un perto A e queste sono continue in A, si dice che f è di clsse C 1 in A e si scrive f C 1 (A). Dl Teorem 11.1 segue che f è differenzibile in A e dll Proposizione 9.6 f è continu. Percio C 1 (A) C (A). 11.b Funzioni C 2 (A) Se un funzione f A R, A perto in R n, h le derivte prime in un intorno di x A e se le derivte prime mmettono loro volt derivte przili in x, si dice che f h le derivte seconde in x. Se (x 1, x 2,..., x n ) sono le coordinte stndrd in R n, l derivt przile second di f ftt prim rispetto x j e poi rispetto x i si indic con uno dei simboli x i x j (x ), D i D j f(x ), oppure D ij f(x ). L mtrice n n di tutte le derivte seconde di f, Hf(x ) = [D i D j f(x )] si chim mtrice hessin di f in x. In generle può succedere che D i D j f D j D i f per i j, come d esempio per l funzione di due vribili

3 11. I teoremi del clcolo differenzile, I 93 y 2 rctn x se y f(x, y) = y se y =. per l qule 2 f x y (, ) = e 2 f y x (, ) = 1. Si h però 11.5 Teorem (di Schwrz, o dell inversione dell ordine di derivzione). Si f B(x, r) R n R, r >. Se per i j le derivte przili miste x i x j (x) e x j x i(x) esistono in tutto B(x, r) e sono continue in x, llor x i x j (x ) = 2 f x j x i (x ). Dimostrzione. Fccimo l dimostrzione per funzioni di due vribili, lscindo l lettore il compito di convincersi che l dimostrzione si estende nche l cso di piu vribili. Si dunque P = (x, y ), e P = (x, y) B(P, r). Considerimo quello che volte si chim il quoziente differenzile secondo A(t) = f(x + t, y + t) f(x + t, y ) f(x, y + t) + f(x, y ) t 2 che è ben definito per < t < r. Se introducimo le funzioni si h g(x) = f(x, y + t) f(x, y ), h(y) = f(x + t, y) f(x, y), A(t) = t 2 (g(x + t) g(x )) = t 2 (h(y + t) h(y )). Applicndo il teorem del vlor medio (in un vribile), si ottiene A(t) = t 1 g (ξ) = t 1 (f x(ξ, y + t) f x(ξ, y )) per qulche ξ compreso tr x e x + t. Applicndo ncor il teorem del vlor medio in un vribile A(t) = 2 f (ξ, η) y x dove η è un punto compreso tr y e y + t. Anlogmente si ottiene A(t) = t 1 h (β) = 2 f (α, β) x y dove α è compreso tr x e x + t e β tr y e y + t. Qundo t mbedue i punti (α, β) e (ξ, η) (che dipendono d t) tendono (x, y ). Per l continuità delle derivte przili seconde miste si ottiene quindi l tesi pssndo l limite per t in y x (ξ, η) = A(t) = 2 f (α, β). x y 11.6 Definizione. Se un funzione f mmette derivte przili seconde in un perto A e queste sono continue in A, si dice che f è di clsse C 2 in A e si scrive f C 2 (A) Esercizio. Si x = q Pn x2 i 1/2. Clcolre per x le derivte przili prime e seconde di x, e di x α, α R.

4 I teoremi del clcolo differenzile, I 11. Esercizio. Si A un mtrice in M n,n. Clcolre le derivte przili prime e seconde dell form qudrtic Ax x. Un semplice corollrio del teorem di Schwrz è 11.9 Corollrio. Ogni funzione f C 2 (A) su un perto A di R n h le derivte miste uguli, D ij f(x) = D ji f(x) x A, i, j = 1,...,n. In ltre prole l mtrice Hf(x) è simmetric x A. 11.c Funzioni C k (A) e C (A) Procedendo per induzione su k si definiscono le derivte przili di ordine k. Si dice che un funzione f A R, h le derivte przili di ordine k, k 2, in un punto x interno d A se f h derivte przili prime in tutto un intorno di x e queste ultime hnno le derivte przili di ordine k 1 in x. Le derivte przili di ordine k di f sono l insieme delle derivte przili di ordine k 1 delle sue derivte prime. Richimndo ll interno dell costruzione induttiv il teorem del differenzile totle, il ftto che le funzioni differenzibili sono continue e il teorem di Schwrz è fcile convincersi che se f h le derivte przili di ordine k in x, f h tutte le derivte przili di ordine inferiore k in un intorno di x e che queste ultime sono tutte funzioni continue in x, le derivte di ordine mggiore o ugule due e di ordine strettmente inferiore k non dipendono dll ordine con cui vengono eseguite. Conviene poi porre 11.1 Definizione. Se le componenti di un funzione f A R n R m, A perto, mmettono derivte przili di ordine k in ogni punto di A e se queste ultime sono funzioni continue in A, si dice che f è di clsse C k (A) e si scrive f C k (A) o, ove fosse necessrio, f C k (A, R m ). Se f mmette in A derivte di qulunque ordine, si dice che f è di clsse C e si scrive f C (A) (o f C (A, R m )). D qunto detto C (A) C k (A) C k 1 (A) C 2 (A) C 1 (A) C (A). Applicndo ncor un volt il teorem di Schwrz si ottiene Corollrio. Si A perto in R n. Allor per ogni f C k (A) le derivte di f di ordine minore o ugule k non dipendono dll ordine con cui vengono eseguite. Di conseguenz per specificre un derivt di ordine k di un funzione di clsse C k, bster specificre il numero di derivte che si fnno rispetto ciscun vribile. Ad esempio, se f C 6 (R 3 ), si prl dell derivt sest di f ftt 3 volte rispetto d x, due volte rispetto y e un volt rispetto z in (x, y, z ) e l si indic con 6 f x 3 2 y z (x, y, z ).

5 11. I teoremi del clcolo differenzile, I d Il teorem del vlor medio per funzioni sclri Teorem. Si f A R un funzione con tutte le derivte direzionli in tutti i punti interni d A. Sino poi x, x due punti interni d A tli che il segmento congiungente x con x si contenuto in A e si h = x x. Allor l funzione g(t) = f(x + th), t [, 1], è ben definit e derivbile in [, 1], e Inoltre si h g (t) = f h (x + th) t [, 1]. (11.3) (i) (Teorem del vlor medio) esiste s ], 1[ tle che f(x + h) f(x ) = f h (x + sh), (11.4) (ii) (Teorem dell medi integrle) se g (t), t [, 1], è continu, llor f(x + h) f(x ) = Dimostrzione. (i) Posto z = x + th si h 1 f h (x + th)dt. (11.5) g(t + τ) g(t) = f(x + (t + τ)h) f(x + th) = f(z + τh) f(z) e quindi g(t + τ) g(t) f(z + τh) f(z) = f (z) per τ. τ τ h cioè g è derivbile e vle l (11.5). (i) e (ii) seguono pplicndo rispettivmente il teorem di Lgrnge e il teorem fondmentle del clcolo ll funzione g(t), t [, 1] Il teorem del vlor medio si pplic in prticolre lle funzioni differenzibili in A, per le quli n f h (x) = Df(x)h = f x i (x)hi per ogni h R n. Segue che le (11.4) e (11.5) si riscrivono rispettivmente come f(x) f(x ) = Df(x + s(x x ))(x x ) (11.6) f(x + h) f(x ) = = 1 Df(x + s(x x ))(x x )ds (11.7) n ( 1 f ) x i (x + s(x x ))ds (x x ) i Esercizio. Un conseguenz del Teorem è l seguente Proposizione. Si f A R un funzione definit su un perto A di R n e dott di tutte le derivte direzionli in tutti i punti di A. Se M = sup f x A, v 1 v (x) < +, llor f è continu in A. Piu precismente, se A è un perto convesso, llor f è lipschitzin in A e f(y) f(x) M y x x, y A, (11.)

6 I teoremi del clcolo differenzile, I [Sugg. Osservre che, essendo l continuità un proprietà locle, l prim prte dell tesi segue dll second. Per provre l second prte dell tesi, bst pplicre il teorem del vlor medio.] Esercizio. Mostrre che su perti non convessi l (11.) dell Esercizio è in generle fls Esercizio. Dimostrre il seguente corollrio dell proposizione in Esercizio Corollrio. Si A un perto connesso in R n e f A R un funzione con derivte direzionli in ogni direzione ed in ogni punto di A con f v (x) = v Rn e x A. Allor f è costnte in A. 11.e Il teorem dell medi integrle per mppe vettorili Per mppe f A R m vettorili, m > 1, nche di clsse C 1 (A), è fcile convincersi che non è possibile vere un corrispondente diretto del teorem di Lgrnge (11.4) Esercizio. Dre un esempio che dimostri come il teorem di Lgrnge non poss essere esteso lle curve. Soluzione. Se f(t) = (cos t,sin t), t [, 2π], si h = f(2π) f() e f (s) s [,2π] essendo φ (s) = 1. Il teorem dell medi integrle (11.5) puo invece estendersi l cso di mppe vettorili. Per questo serve osservre che si puo definire l integrle per funzioni continue vlori in R m, integrndo ogni componente, i.e., ponendo b ( b b b ) T f(s)ds = f 1 (s)ds, f 2 (s)ds..., f n (s)ds per ogni f = (f 1, f 2,..., f m ) T C ([, b], R m ). Se or è un norm su R m, t =, t 1,...,t N = b è un suddivisione di [, b] e τ i [t i, t i+1 ], dll diseguglinz tringolre segue che N N N f(τ i )(t i+1 t i ) f(τ i )(t i+1 t i ) = f(τ i ) t i+1 t i. Pssndo l limite l tendere dell mpiezz dell suddivisione zero, si trov l diseguglinz b b f(t)dt f(t) dt. (11.9) Applicndo l uguglinz dell medi integrle per funzioni sclri cfr. (11.5) ciscun componente di un funzione vettorile, si dimostr 11.1 Proposizione (medi integrle). Si f B(x, r) R n R m un funzione di clsse C 1. Per ogni x, y B(x, r) vle l formul dell medi integrle f(x) f(y) = 1 Df(y + t(x y))(x y)dt

7 11. I teoremi del clcolo differenzile, I 97 L formul dell medi è rilevnte nche perche fornisce un stim sugli incrementi finiti di un mpp, nche vettorile, in termini dell mtrice jcobin. Se L M m,n (R) e { L(h) } L = sup h, h è il coefficiente di mssim diltzione di L si h Proposizione. Si f B(x, r) R n R m un funzione dott di tutte le derivte direzionli in tutti in punti di B(x, r). Allor f(x) f(y) K x y (11.1) dove { } K = sup Df(z) z B(x, r). Dimostrzione. Dll definizione di K, Df(z)h Df(z) h K h per ogni h R n e z B(x, r). Segue dll formul dell medi integrle e d (11.9) Z 1 Z 1 f(x) f(y) Df(y + t(x y))(x y) dt Df(y + t(x y))(x y) dt Z 1 Df(y + t(x y)) dt x y K x y. 11.f Esercizi 11.2 Esercizio. Clcolre dove esistono, le derivte przili, le derivte direzionli e il differenzile delle seguenti funzioni (x x ), x, x 2, xe x2 +y 2, xy 1 + x 2, x3/2 y, Z x < xy e x2 +y + sin(yt 2 ) dt, x 2 +y 2 per (x, y) λ per (x, y) = (, ) < x 2 y x 2 +y 2 per (x, y) < x 3 y, x 2 +y 2 per (x, y) per (x, y) = (, ) per (x, y) = (, ) < xy 2 x 2 +y 4 per (x, y), per (x, y) = (, ) < y sin(x 2 ) x 2 +y 2 per (x, y). per (x, y) = (, ) Esercizio. Scrivere il pino tngente in (, ) l grfico delle seguenti funzioni xy, e xy, (x 2 + y 2 )log(x 2 + y 2 ) Esercizio. Determinre i punti dell superficie z = x 4 4xy 3 + 6y 2 2 nei quli l superficie h pino tngente orizzontle.,,

8 9 11. I teoremi del clcolo differenzile, I Esercizio. Scrivere f v v seconde di f Esercizio. Mostrre che H x = 1 Id xxt x x 2, i.e., per ogni x R n, x. in termini delle componenti di v e delle derivte przili 2 x x i x j (x) = 1 δ ij xi x j x x Esercizio. Mostrre che per ogni mtrice A M m,n si h Ax = O( x ) per x Esercizio. Sino Ω R n perto, f C 1 (Ω) e K Ω comptto. Mostrre che f è lipschitzin su K Esercizio (Peno). Si ϕ(t, x) = (t 2 x 2 )/(t 2 + x 2 ) e f(t, x) = xtϕ(x, t). Mostrre che x t (, ) 2 f (, ). t x 11.2 Esercizio (Funzioni omogenee e formul di Eulero). Si α un numero rele. Un funzione f si dice omogene di grdo α se f(tx) = t α f(x) x e t >. Ovvimente l insieme di definizione di un funzione omogene è un cono con vertice l origine che può o no fr prte dell insieme di definizione. Convincersi che (i) l funzione f R 2 \ {(, )} R, f(x, y) = 2xy x 2 +y 2 è omogene di grdo, (ii) l funzione f R 3 \ {yz y 2 = } R f(x, y, z) = x+y z yz y 2 è omogene di grdo 1, (iii) ogni form qudrtic Q(x) = Ax x = P n i,j=1 A ijx i x j è omogene di grdo 2 e quindi l funzione f(x) = Q(x) α/2 è omogene di grdo α. Provre Teorem (di Eulero). Si f di clsse C 1 in R n \ {}. f è omogene di grdo α se e solo se f(x) x = αf(x) x.