Campi di vettori, forme differenziali e integrali curvilinei di seconda specie

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1 Cmpi di vettori, forme differenzili e integrli curvilinei di second specie Ultimo ggiornmento: 3 febbrio 218 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie Definizione 1.1. Dto un cmpo F : A R n continuo, A perto di R n, e dt : [, b] A curv regolre o regolre trtti si definisce integrle di F lungo l curv l quntità b (1) F (x) dx : F ((t)), (t) dt. L quntità ppen definit si scrive nche [F 1 (x) dx F n (x) dx n ], come il termine destr ltro non è che b n F i ((t)) i(t) dt. i1 L integrle ppen definito rppresent, d un punto di vist fisico, il lvoro compiuto dl cmpo F lungo il cmmino. È detto integrle curvilineo di second specie. Forme differenzili - Mtemticmente, dte 1,... n funzioni continue definite in A perto di R n e vlori reli, si definisce form differenzile l espressione c Fbio Pronetto ω 1 (x) dx n(x) dx n. Precismente un form differenzile ω è un ppliczione ω : A L(R n ; R) come lo è il differenzile di un funzione (differenzibile) f : A R. L form differenzile ω dx j è costnte, cioè ω(x) ω(y) per ogni x, y A e gisce come segue: dti x o A (rbitrrio, visto che ω è costnte) e v R n ω(x o) ( v ) dx j (v) : v j. 1

2 2 L ppliczione dx j L(R n ; R) è rppresentt dl vettore e j (,...,, 1,,... ) dove 1 st nell j-esim posizione e l form dx j può essere penst come il differenzile dell funzione f(x) x j. Si noti come in questo cso df(x o), qulunque si x o, è rppresentto dl vettore e j, il grdiente di f. Un form differenzile ω vlutt in un punto x A è un ppliczione linere d R n in R, di conseguenz esisterà V ω R n che l rppresent nel senso usule, cioè Tle vettore ltro non è che ω(x) ( v ) V ω, v per ogni v R n. V ω ( 1 (x),... n(x)). A questo punto si definisce l integrle di un form ω su un curv : [, b] A regolre o regolre trtti come segue: ( ) b n ω 1 (x) dx n(x) dx n : i ((t)) i (t) dt. i1 Mtemticmente si prl di forme differenzili, fisicmente di cmpi di vettori. Osservzione Si osservi che se si consider un curv equivlente, m con orientzione oppost, il vlore dell integrle cmbi segno. Si consideri inftti η : [, b] A, η(t) : (b + t) e si vluti il lvoro di F lungo lo stesso cmmino percorso l contrrio: b F (η(t)), η (t) dt b b b F ((b + t)), (b + t) dt F ((s)), (s) ds F ((s)), (s) ds. Inftti potremmo scrivere l integrle (1) nel modo seguente: b F (x) dx : F ((t)), τ(t) (t) dt, dove, ricordimo, τ(t) è il versore tngente (t)/ (t). c Fbio Pronetto Esempio Clcolimo (y dx + (x 2 y 2 ) dy) dove è l rco di circonferenz x 2 + y 2 4, y, che v dl punto ( 2, ) l punto (2, ), percors in senso orrio. Un prmetrizzzione di tle curv è : [, π] R 2, (t) (2 cos(π t), 2 sen (π t)) ( 2 cos t, 2 sen t).

3 3 L integrle divent (y dx + (x 2 y 2 ) dy) π π π [ (2sen t) 2 + (4 cos 2 t 4 sen 2 t)2 cos t ] dt [ 4 sen 2 t + 8 cos 3 t 8 sen 2 t cos t ] dt [ 4 sen 2 t + 8 cos t (1 sen 2 t) 8 sen 2 t cos t ] dt 4 π π cos t dt 16 4 π sen3 t π 2π. π sen 2 t cos t dt Che succede se vlutimo un integrle lungo uno stesso cmmino prmetrizzto però in due modi diversi? Proposizione 1.4. Dte due curve equivlenti 1 : [, b] R n, 2 : [c, d] R n risult F (x) dx F (x) dx 1 2 se 1 e 2 sono orientte llo stesso modo, F (x) dx F (x) dx 1 2 se 1 e 2 sono orientte in mnier divers. Dimostrzione - Per ipotesi esiste un cmbimento di vribile (un diffeomorfismo) c Fbio Pronetto α : [, b] [c, d] tle che 1 (t) 2 (α(t)). Si h llor F (x) dx 1 b b F ( 1 (t)), 1(t) dt F ( 2 (α(t))), 2(α(t)) α (t) dt.

4 4 Or, fcendo il cmbio di vribile s α(t) questo termine è d c c il che conclude l dimostrzione. d F ( 2 (s)), 2(s) ds se α (t) >, F ( 2 (s)), 2(s) ds se α (t) <, Si osservi or l seguente cos: nel cso prticolre in cui, dto un cmpo F : A R n, esist un funzione f : A R, f C 1 (A), tle che F j (x) f (x) per j 1,... n x j è possibile vlutre in mnier immedit l integrle di F lungo un cmmino. Inftti si : [, b] A curv regolre che unisce i punti x 1 () e x 2 (b). b F (x) dx F ((t)), (t) dt (2) b f((t)), (t) dt b [ d dt f(x 2 ) f(x 1 ). ( f ( (t) ))] dt f ( (b) ) f ( () ) Quindi nel cso in cui F si il grdiente di un funzione f, l integrle lungo un qulunque cmmino regolre che unisce due punti è un vlore che dipende solo dll vlutzione in questi due punti dell funzione f. Definizione 1.5 (cmpo conservtivo). Un cmpo F : A R n si dice conservtivo se esiste f : A R di clsse C 1 tle che F f (cioè F è un grdiente). In tl cso f si dice primitiv o potenzile. c Fbio Pronetto Forme differenzili - Nel linguggio delle forme differenzili si prl di forme estte. Un form differenzile ω n i1 idx i definit in A perto di R n si dice estt se esiste un funzione f : A R, f C 1 (A), tle che i f, x i cioè se ω è un differenzile. In tl cso si scrive ω df e l uguglinz (2) si scrive df f((b)) f(()). A questo punto viene nturle porsi l seguente domnd: qund è che un cmpo è un grdiente? Il teorem che segue fornisce delle crtterizzzioni dei cmpi che sono grdienti.

5 Definizione 1.6 (Insieme connesso per rchi). Diremo che un insieme E R n è connesso per rchi se per ogni coppi di punti x, y E esiste un curv continu : [, b] E con () x e (b) y. 5 Teorem 1.7. Si A un perto connesso per rchi e F : A R n un cmpo continuo. Le seguenti ffermzioni sono equivlenti: () per ogni coppi di curve 1 : [, b] A, 2 : [c, d] A regolri trtti e con 1 () 2 (c) x, 1 (b) 2 (d) ȳ, si h F (x) dx F (x) dx; 1 2 (b) per ogni curv : [, b] A regolre trtti, continu e chius risult 1 F (x) dx ; (c) F è conservtivo. Dimostrzione - () (c) - Si scelg un punto x o A e per ogni ltro punto x A si consideri un cmmino (che esiste per ipotesi) : [, b] A, con () x o, (b) x. A questo punto si consideri l quntità (3) f(x) : F (y) dy. Si osservi che f definisce un funzione dll insieme A vlori in R: inftti, per l ipotesi (), per ogni x il vlore f(x) è indipendente dl cmmino scelto. Or si fissi un vettore v di modulo 1 e si consideri δ > tle che c Fbio Pronetto B δ (x) A. In tl modo il segmento [x, x + hv] è contenuto in A per h [ δ, δ] e l curv { (t) se t [, b], η(t) : x + (t b)hv se t [b, b + 1].

6 6 In tl modo l curv η è un curv continu che unisce i punti x o e x + hv. Allor f(x + hv) f(x) F (y) dy F (y) dy (s h(t b)) η b+1 b b+1 b h c Fbio Pronetto F (η(t)), η (t) dt F (x + (t b)hv), hv dt F (x + sv), v ds per cui f(x + hv) f(x) 1 h F (x + sv), v ds. h h Il secondo membro dell uguglinz mmette limite per h : inftti poiché F è continuo e l curv s x + sv è continu l funzione g(s) F (x + sv) è continu e quindi lo è nche l funzione g(s) F (x + sv), v. Per il teorem fondmentle del clcolo integrle, dett G un primitiv di g, si h che 1 h 1 ( ) lim g(s) ds lim G(h) G() G () g() F (x), v. h h h h Di conseguenz poiché si h h 1 lim F (x + sv), v ds F (x), v h h si deduce che nche il seguente limite esiste f(x + hv) f(x) lim h h ed è ugule l precedente. Poiché, se tle limite esiste, vle f(x + hv) f(x) lim f h h v (x), concludimo che per ogni x A e per ogni vettore v di modulo 1 vle l uguglinz f (x) F (x), v v d cui f è derivbile (in tutte le direzioni v e in ogni punto x A) e F (x) f(x). (c) (b) - Segue fcilmente dl clcolo (2). (b) () - Si considerino due curve 1 : [, b] A, 2 : [c, d] A

7 regolri trtti e con 1 () 2 (c), 1 (b) 2 (d). Costruimo un curv continu e chius percorrendo in senso opposto il sostegno di 2. Definimo quindi 7 2 (t) 2 (d + (b t)(d c)) t [b, b + 1] e infine l curv chius { 1 (t) se t [, b], (t) : 2 (t) se t [b, b + 1]. Per ipotesi si h quindi che F (x)dx e poiché F (x)dx F (x)dx + 1 F (x)dx 2 F (x)dx 1 F (x)dx 2 si conclude. Fccimo or un ltr considerzione: si suppong che un cmpo F : A R n si conservtivo e di clsse C 1 (A). Allor F mmette potenzile f di clsse C 2 (A), per cui f (x) F j (x), x i x j x i e, per il teorem di Schwrz, si h (4) f (x) F i (x) x j x i x j F j (x) F i (x) per ogni i, j 1... n. x i x j Un cmpo F che soddisf l condizione (4) si dice irrotzionle. Ci si può chiedere se per cso quest condizione grntisce l esistenz di un potenzile, lmeno in certe condizioni. L rispost è fornit dl seguente risultto. Prim bbimo bisogno di definire un clsse di insiemi. c Fbio Pronetto Forme differenzili - Dt un form differenzile ω n i1 idx i definit in A perto di R n e di clsse C 1 (A), cioè i C 1 (A), un form che soddisf è dett chius. j x i (x) i x j (x) per ogni i, j 1... n,

8 8 Definizione 1.8 (Insieme semplicemente connesso). Un insieme E R n è detto semplicemente connesso se comunque dti un curv continu, semplice e chius : [, b] E e un punto x o E si h che esiste un mpp Γ : [, b] [, 1] E, continu, tle che Γ(t, ) (t) e Γ(t, 1) x o per ogni t [, b] e Γ(, s) Γ(b, s) per ogni s [, 1]. L definizione ppen dt sostnzilmente signific richiedere l esistenz di un fmigli di curve continue e chiuse, chimimole s l vrire del prmetro s dove s (t) Γ(t, s), che deformno l curv inizile retrendol d un punto (il punto x o ) rimnendo sempre dentro l insieme E. Esempio L insieme A R 2 \ {(, )} non è semplicemente connesso. L insieme B R 3 \ {(,, )} è semplicemente connesso. L insieme C R 3 \ {(x, y, z) R 3 x y } non è semplicemente connesso. Teorem 1.1. Si consideri F : A R n cmpo di clsse C 1 (A) con A perto semplicemente connesso. Allor se F soddisf (4), F è conservtivo. Forme differenzili - Nel linguggio delle forme il teorem precedente si enunci come segue. Teorem Si consideri un form ω di clsse C 1 (A) con A perto semplicemente connesso. Se ω è chius, ω è estt. Non mostrimo questo risultto, m esibimo un esempio significtivo. Esempio Si consideri il cmpo ( F (x, y) y ) x 2 + y, x, (x, y) A R 2 \ {(, )}. 2 x 2 + y 2 Si verific fcilmente che F C 1 (A) e che c Fbio Pronetto F 2 x (x, y) F 1 y (x, y) y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2. Ciononostnte il cmpo non può essere conservtivo (grzie l Teorem 1.7) poiché (F 1 dx + F 2 dy) 2π dove (t) (sen t, cos t) per t [, 2π].

9 9 2. Si consideri il cmpo (ricord qulcos?) ( F (x, y, z) y ) x 2 + y, x 2 x 2 + y,, (x, y, z) C, 2 dove C è l insieme dell Esempio 1.9. Chirmente F C 1 (A) e F 2 x (x, y) F 1 y (x, y) y2 x 2 (x 2 + y 2 ), 2 F 2 z (x, y) F 3 (x, y), y F 3 x (x, y) F 1 (x, y). z M come nell esempio precedente l integrle del cmpo lungo il cmmino (t) (sen t, cos t, ) per t [, 2π] dà 2π. Il teorem (l dimostrzione del teorem) 1.7 fornisce un mnier costruttiv per trovre un potenzile di un cmpo, l funzione definit in (3). Tle funzione dipende però dl punto x o che si è scelto. Che succede se si fiss un diverso punto y o e si consider l primitiv g(x) : F (y) dy dove unisce y o x? L funzione g così definit differisce d f definit in (3) per l quntità g(x) f(x) F (y) dy dove è un qulunque cmmino che unisce x o y o, quindi g(x) f(x) è indipendente d x, e quindi costnte. Concludimo quindi che se esiste un potenzile ne esistono infiniti, che differiscono tr loro per un costnte. Esempio Si dic se il cmpo ( 2xy F (x, y) (1 + x 2 ), 1 ) x 2 c Fbio Pronetto è conservtivo. In tl cso se ne trovi un primitiv. F è definito in tutto R 2, è C 1. irrotzionle, inftti F 2 x (x, y) F 1 2x (x, y) y Si verific fcilmente che è nche (1 + x 2 ) 2.

10 1 Allor esiste un potenzile. Come trovrlo? Se si integr, d esempio, F 2 rispetto ll vribile y si h che un potenzile f deve soddisfre f(x, y) x y + g(x). 2 Derivndo rispetto ll vribile x si h f (x, y) 2xy x (1 + x 2 ) + 2 g (x). Eguglindo tle espressione F 1 si h che g (x) d cui tutti i potenzili sono y + c, c R. 1 + x2 Esempio Si dic se il cmpo F (x, y, z) (2y + 1, 2x 1, 2z) è conservtivo. In tl cso se ne trovi un primitiv. Si verific fcilmente che F è C 1, definito in un perto semplicemente connesso (R 3 ) e irrotzionle. Cerchimo un potenzile f. Tle f soddisfrà f (x, y, z) 2y + 1, x f (x, y, z) 2x 1, y f (x, y, z) 2z. z Integrndo F 3 rispetto z si h d cui f(x, y, z) z 2 + g(x, y), 2y + 1 f g (x, y, z) (x, y), x x 2x 1 f g (x, y, z) (x, y). y y Integrndo l prim uguglinz rispetto x si ottiene che c Fbio Pronetto g(x, y) 2xy + x + h(y). Derivndo quest ultim e utilizzndo le informzioni precedenti si h che h deve soddisfre 2x 1 g y (x, y) 2x + h (y)

11 d cui infine h(y) y + c, c R. Andndo ritroso si trov infine tutti i potenzili sono dti d f(x, y, z) z 2 + 2xy + x y + c, c R. 11 Un ltro modo di trovre un potenzile è quello fornito, come già osservto, d (3). Si trtt di scegliere un punto e di collegrlo d un ltro generico punto con un cmmino scelt. In questo cso fissimo per semplicità (,, ) e lo colleghimo d un generico punto (x, y, z) con il segmento che li unisce, cioè con il cmmino (t) t(x, y, z), t [, 1]. Un potenzile llor srà dto d f(x, y, z) [F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz] 1 1 F ((t)), (t) dt [ (2ty + 1)x + (2tx 1)y + 2tz 2 ] dt 2xy + x y + z 2. Esercizio Dto il cmpo ( F (x, y) y ) x 2 + y, x, 2 x 2 + y 2 si dic se esiste un dominio A nel qule F : A R 2 risulti conservtivo. In tl cso si dic se esiste un dominio mssimle nel qule è possibile definire F in modo che risulti conservtivo. Il ftto che F non si conservtivo nel suo dominio mssimle R 2 \ {(, )} (si ved l esempio ) non signific che non esist un sottodominio di R 2 \{(, )} nel qule F mmett potenzile. Se d esempio, si consider A R 2 \ S, dove S è un semirett uscente dll origine, si h che F è irrotzionle, C 1 (A) e A è semplicemente connesso. Di conseguenz un potenzile deve esserci. Integrndo, d esempio, l second componente di F rispetto y e rgionndo come nell Esempio 1.13 si ottengono tutti i potenzili c Fbio Pronetto f(x, y) rctg y x + c, c R definite però per x. Se sceglimo per semplicità l semirett S {(x, y) R 2 y, x } un funzione che si C 2 (A) e che si un

12 12 potenzile in tutto A è dt d rctg y se x >, y >, x π se x, y >, 2 f(x, y) rctg y x + π se x <, 3 π se x, y <, 2 rctg y + 2π se x >, y <. x il cui ( grfico ) è mostrto przilmente in figur (limittmente (x, y) B 1 (, ) \ S) Anlogmente si può togliere un qulunque ltr semirett uscente dll origine o più in generle un qulunque curv che si semplice e che prt dll origine e vd ll infinito. Esercizio Dto il cmpo ( ) x F (x, y) x 2 + y, y, 2 x 2 + y 2 c Fbio Pronetto si dic se esiste un dominio A nel qule F : A R 2 risulti conservtivo. Dopodiché si clcoli l integrle di F lungo un qulunque rco di circonferenz centrt nell origine. Infine si clcoli l integrle di F lungo l ellisse di equzione 3x 2 xy + 1y 2 1. Il ftto che il dominio mssimle nel qule F è definito, cioè R 2 \ {(, )}, non si semplicemente connesso non signific che il cmpo 1

13 13 non si conservtivo. Integrndo inftti si ottiene che f(x, y) 1 2 log(x2 + y 2 ) + c l vrire di c R sono tutte le primitive di F. Il lvoro compiuto lungo un qulunque rco di circonferenz è nullo perché il cmpo in ogni punto è ortogonle qulunque circonferenz centrt nell origine. Infine, poiché il cmpo è conservtivo, l integrle lungo l ellisse risult zero. Esercizio Dto il cmpo ( ) 2x + y F (x, y) (x 2 + xy), x + 2y 2/3 (x 2 + xy) 2/3 dire se esiste un dominio nel qule F è conservtivo. F è definito in R 2 meno le due rette R 1 {(x, y) R 2 x } e R 2 {(x, y) R 2 x y}, per cui il dominio è ftto d quttro componenti connesse, quindi non è connesso, ognun delle quli è semplicemente conness. Poiché il dominio è sconnesso in ognun delle componenti connesse vi potrà essere un potenzile differente di potenzili nelle ltre componenti, chirmente differente solo per un costnte. Integrndo si ottiene che un generic primitiv è dt d f(x, y) 3(x 2 + xy) 1/3 + y 2 + c, c R y c Fbio Pronetto x per cui un generico potenzile srà dto d f(x, y) 3(x 2 + xy) 1/3 + y 2 + c A f(x, y) 3(x 2 + xy) 1/3 + y 2 + c B f(x, y) 3(x 2 + xy) 1/3 + y 2 + c C f(x, y) 3(x 2 + xy) 1/3 + y 2 + c D (x, y) A (x, y) B (x, y) C (x, y) D

14 14 dove A, B, C, D sono le quttro componenti connesse del dominio di F e c A, c B, c C, c D generiche costnti. c Fbio Pronetto