Campi Vettoriali. Francesca G. Alessio 1 Si dice campo vettoriale in R n un applicazione F : A R n R n. Posto F(x) =

Transcript

1 Cmpi Vettorili Frncesc G. Alessio 1 Si dice cmpo vettorile in R n un ppliczione F : A R n R n. Posto F(x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)), x A, le funzioni F i : A R n R, i = 1,..., n, che definiscono il cmpo verrnno dette componenti del cmpo vettorile F. Possimo pensre d un cmpo vettorile come d un ppliczione che d ogni punto x A R n ssoci un vettore F(x) R n che rppresent l forz che gisce sull prticell di posizione x A (con tle interpretzione si us prlre di cmpo di forze in luogo di cmpo vettorile). Come esempio notevole vedimo il cmpo grvitzionle determinto d un mss puntiforme M post nell origine di R 3 ed gente su un prticell di mss m post nel punto P (x, y, z). ett G l costnte di grvitzione universle, tle cmpo è descritto d ( ) x y z F(x, y, z) = GmM,, (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 Come ulteriore esempio, pensimo delle prticelle in R n che si muovono lungo delle triettorie R n : se denotimo con T (x) il vettore tngente ll triettori di un prticell nell posizione x R n, il cmpo vettorile F(x) = T (x) descriverà l velocità dell prticell, prleremo quindi di cmpo di velocità. Ad esempio il cmpo F(x, y, z) = ω( y, x, ) descriverà l velocità di un solido in rotzione ttorno ll sse z: 1 iprtimento di Scienze Mtemtiche - Università Politecnic delle Mrche 1

2 Un ltro esempio notevole è dto dl grdiente di un funzione derivbile f : A R n R: ( f f(x) = (x), f (x),..., f ) (x) x 1 x 2 x n Ad esempio, considert l funzione f(x, y) = x 2 y 2, bbimo f(x, y) = (2x, 2y): Osservimo che il cmpo grvitzionle F(x, y, z) risult essere il grdiente dell funzione U : R 3 \ {(,, )} R definit d U(x, y, z) = GmM x2 + y 2 + z 2 Il cmpo grvitzionle è un esempio di cmpo conservtivo secondo l seguente definizione. Si dice che un cmpo vettorile F : A R n R n è conservtivo in A se esiste un funzione derivbile U : A R n R tle che U(x) = F(x) per ogni x A, essendo U : A R n R n il grdiente di U: U(x) = ( x 1 (x), x 2 (x),..., x n (x)) x A. In tl cso l funzione U è dett potenzile del cmpo vettorile F in A. Osservimo che se F(x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)) sono le componenti del cmpo, llor l condizione U(x) = F(x) per ogni x A risult verifict se e solo se x i (x) = F i (x), per ogni x A, i = 1,..., n. Osservimo inoltre che se U(x) è un potenzile del cmpo F(x) in A R n, llor per ogni k R, l funzione V (x) = U(x)+k è ncor un potenzile del cmpo F(x). Vicevers, dl Teorem sulle funzioni con grdiente nullo in un perto connesso, bbimo che se A R n è un perto connesso, due potenzili U(x) e V (x) del cmpo F(x) in A differiscono per un costnte: esiste k R tle che V (x) = U(x) + k per ogni x A. Vle quindi Proposizione Si F(x) un cmpo vettorile conservtivo in un perto connesso A R n e si U(x) un suo potenzile in A. Allor tutti e soli i potenzili del cmpo F(x) in A sono dell form U(x) + k con k R. Lvoro di un cmpo vettorile to un cmpo vettorile F(x) continuo in A R n (ovvero di componenti continue in A) e dt un curv : [, b] R R n regolre con supporto contenuto in A, si definisce lvoro del cmpo F lungo l curv l quntità F(x) T(x) ds 2

3 essendo T(x) è il versore tngente in x. enoteremo il lvoro con F ds oppure con L (F). Se (t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), t [, b], sono le equzioni prmetriche dell curv e se F(x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)) sono le componenti del cmpo, risult F ds = = b b F((t)) (t) (t) (t) dt = b F((t)) (t) dt F 1 ((t))x 1(t) + F 2 ((t))x 2(t) F n ((t))x n(t) dt Osservimo che essendo il verso del versore tngente T(x) dipendente dll orientmento dell curv, il lvoro F ds dipende dll orientmento dell curv. Precismente, se è curv equivlente ll curv m con orientmento opposto, llor F ds = F ds Osservimo inoltre che dlle proprietà di dditività e di linerità dell integrle curvilineo si ottengono le seguenti proprietà: (i) linerità: se F(x) e G(x) sono cmpi continui in A R n e è curv regolre con supporto contenuto in A, per ogni α, β R si h (αf + βg) ds = α F ds + β G ds (ii) dditività: se F(x) è cmpo continuo in A R n, è curv regolre con supporto contenuto in A tle che = 1 2 llor F ds = F ds + 1 F ds 2 Possimo infine estendere l definizione di lvoro di un cmpo continuo F(x) lungo un curv regolre trtti ponendo F ds = n i=1 i F ds essendo = n e i curv regolre per ogni i = 1,..., n. Esempi 3

4 x Clcolre il lvoro del cmpo F (x, y) = (, ) lungo l curv vente per x 2 +y 2 x 2 +y 2 sostegno l circonferenz di centro l origine e rggio 1 percors in senso ntiorrio. Considert l prmetrizzzione ϕ(t) = (cos t, sin t), t [, 2π], dell curv si h 2π F ds = F(ϕ(t)) ϕ (t) dt = 2π ( sin t, cos t) ( sin t, cos t) dt = y 2π sin 2 t + cos 2 t dt = 2π Clcolre il lvoro del cmpo F(x, y, z) = ( y2, y x 2 +y x 2, 2 2 +y z2 ) lungo l elic cilindric (t) = (cos t, sin t, t), t [, 2π]. Osservimo innnzitutto che om F = 2 {(x, y, z) x 2 + y 2 } e che il sostegno dell curv è contenuto in tle dominio. ll definizione ottenimo 2π 2π F ds = F((t)) (t) dt = (sin 2 t, cos 2 t, t 2 ) ( sin t, cos t, 1) dt = 2π sin 3 t + cos 3 t + t 2 dt = 8 3 π3 Rigurdo l lvoro di un cmpo conservtivo bbimo il seguente risultto Teorem sul lvoro di un cmpo conservtivo Si F : A R n R n cmpo vettorile continuo e conservtivo sull perto A R n. Se è curv regolre trtti con sostegno contenuto in A di punto inizile e finle x, x A, llor F(x) ds = U(x) U(x ) essendo U un potenzile di F in A. im. Si (t), t [, b], un prmetrizzzione dell curv tle che () = x e (b) = x. Allor, dll definizione b F ds = F((t)) (t) dt Poichè il cmpo F(x) è conservtivo ed U(x) è un suo potenzile risult, F((t)) = U((t)) per ogni t [, b]. Inoltre, posto f(t) = U((t)), dl Teorem di derivzione di un funzione compost bbimo che f (t) = U((t)) (t) e quindi, dll formul fondmentle del clcolo integrle, ottenimo b b F ds = U((t)) (t) dt = f (t) dt = f(b) f() = U((b)) U(()). 4

5 l precedente risultto bbimo quindi che il lvoro compiuto d un cmpo conservtivo F lungo un curv non dipende dll curv m solo dl punto inizile e finle dell curv. In prticolre, si ottiene che il lvoro lungo un curv chius risult nullo. Ad esempio, il lvoro compiuto dl cmpo grvitzionle x y z F(x, y, z) = GmM(,, ) (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 per spostre un corpo d P (,, 2) P (, 2, ) lungo un qulunque curv regolre trtti tle che R 3 \ {(,, )} è pri F ds = U(P ) U(P ) = GmM( ) = essendo U(x, y, z) = GmM x un potenzile di F(x, y, z). Si osservi che P e P 2 +y 2 +z 2 hnno l stess distnz dll origine e che il potenzile dipende solo dll distnz dll origine, quindi il lvoro è nullo. L condizione che il lvoro non dipend dll curv m solo dl punto inizile e finle è condizione non solo necessri m nche sufficiente ffinchè un cmpo risulti conservtivo in perti connessi. Vle diftti il seguente risultto: Teorem di crtterizzzione dei cmpi conservtivi Si F : A R n R n un cmpo vettorile continuo sull perto connesso A R n. Sono equivlenti le seguenti ffermzioni (i) F è conservtivo in A, (ii) per ogni curv semplice, chius, regolre trtti con sostegno contenuto in A risult F(x) ds =, (iii) per ogni coppi 1 e 2 di curve semplici, regolri trtti con sostegno contenuto in A venti medesimo punto inizile e finle, si h 1 F(x) ds = 2 F(x) ds. im. (i) (ii) Segue dl Teorem sul lvoro dei cmpi conservtivi: se U(x) è un potenzile di F(x), poichè l curv è chius, punto inizile e finle dell curv coincidernno e quindi F ds = U(x ) U(x ) = (ii) (iii) Considert l curv = 1 ( 2 ), vremo che è curv semplice, chius, regolre trtti con sostegno contenuto in A. Allor d (ii) e dll proprietà di dditività vremo = F ds = F ds + 1 F ds = 2 F ds 1 F ds 2 5

6 e dunque 1 F(x) ds = 2 F(x) ds. (iii) (i) (iii) bbimo che il lvoro del cmpo lungo un qulunque curv dipende solo dl punto inizile e finle. Fissto x A, poichè A è connesso, per ogni x A esiste un curv x semplice, regolre trtti con sostegno contenuto in A congiungente x con x 2. Risult llor ben definit l funzione U : A R n R definit d U(x) = F ds x Provimo che U(x) è un potenzile di F(x) in A, ovvero che per ogni x A e ogni i = 1,..., n risult (x) = F i (x). x i Si x = (x 1, x 2,..., x n ) A e si h R sufficientemente piccolo di modo che x h = (x 1 + h, x 2,..., x n ) A. Avremo che U(x h ) U(x) = F ds xh F ds x dove x è un qulunque curv congiungente x con x e xh = x essendo l curv vente per sostegno il segmento congiungente x con x h. Essendo ϕ (t) = (x 1 +t, x 2,..., x n ), t [, h] (se h >, ltrimenti t [h, ]), un prmetrizzzione dell curv, ottenimo h U(x h ) U(x) = F ds F ds = F ds = F(ϕ (t)) ϕ (t) dt xh x = h F 1 (x 1 + t, x 2,..., x n ) dt Poichè il cmpo è continuo, dl Teorem dell medi integrle si h che esiste t h [, h] tle che U(x h ) U(x) = h F 1 (x 1 + t, x 2,..., x n ) dt = hf 1 (x 1 + t h, x 2,..., x n ) Infine, essedo t h per h e F 1 (x) funzione continu, ne segue che U(x h ) U(x) lim h h 1 = lim h h h F 1 (x 1 + t, x 2,..., x n ) dt = lim h F 1 (x 1 + t h, x 2,..., x n ) = F 1 (x 1, x 2,..., x n ) = F 1 (x) 2 per provrlo è sufficiente osservre che gli insiemi A 1 = {x A curv semplice, regolre trtti con sostegno contenuto in A congiungente x con x} A 2 = {x A curv semplice, regolre trtti con sostegno contenuto in A congiungente x con x} sono perti e tli che A 1 A 2 = A e A 1 A 2 =. 6

7 e quindi che x 1 (x) = F 1 (x) per ogni x A. Anloglmente si prov che x i (x) = F i (x) per ogni i = 1,..., n e ogni x A. Il precedente risultto ci fornisce delle condizioni per provre che un cmpo non è conservtivo. Ad esempio, vendo provto che per il cmpo F(x, y) = ( y x, ) il lvoro x 2 +y 2 x 2 +y 2 lungo l curv semplice, chius con sostegno l circonferenz di centro l origine e rggio 1 è non nullo, possimo concludere che il cmpo non risult conservtivo sul suo dominio. Il Teorem di crtterizzzione dei cmpi vettorili fornisce nell dimostrzione un metodo per determinre un potenzile in un dominio connesso di un dto cmpo vettorile conservtivo. iftti, se F è cmpo conservtivo nell perto connesso A, llor fissto x A, risult un potenzile di F in A l funzione U(x) = F ds, x A, x essendo x un curv regolre trtti con supporto in A congiungente x con x A. Cmpi vettorili irrotzionli Osservimo che se F(x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)) è un cmpo vettorile conservtivo di clsse C 1 in un perto A R n e U(x) un suo potenzile in A, dll condizione x i (x) = F i (x), x A, i = 1,..., n, vremo che U(x) risult di clsse C 2 in A e dl Teorem di Schwrtz ottenimo che 2 U x i x j (x) = 2 U x j x i (x), x A, i, j = 1,..., n lle precedenti condizioni ottenimo llor che risult (I) F i x j (x) = F j x i (x), x A, i, j = 1,..., n. Un cmpo vettorile F(x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)) di clsse C 1 in un perto A R n soddisfcente l condizione (I) è detto cmpo vettorile irrotzionle in A. Abbimo quindi provto che condizione necessri ffinchè un cmpo vettorile di clsse C 1 in un perto A R n risulti conservtivo è che si irrotzionle: Teorem Se F(x) è cmpo vettorile conservtivo e di clsse C 1 sull perto A R n llor F(x) è irrotzionle in A. 7

8 Nel cso n = 2, l condizione di irrotzionlità (I) di un cmpo F(x, y) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)), (x, y) A R 2, si scrive: y = F 2, in A, x mentre nel cso n = 3, vremo che un cmpo F(x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)), (x, y, z) A R 3, risult irrotzionle se y = F 2 x, z = F 3 x, F 2 z = F 3 y, in A Il cmpo vettorile rot F = ( F 3 y F 2 z, z F 3 x, F 2 x z ) è detto rotore del cmpo vettorile F. L condizione di irrotzionlità in questo cso chiede ppunto che rot F = in A (d qui il termine irrotzionle che, con buso di terminologi, utilizzimo nche in R n con n qulunque). Esempi Il cmpo F(x, y) = (xy, x 2 + y 2 ) non è conservtivo nel suo dominio non essendo irrotzionle in qunto: y (x, y) = x F 2 (x, y) = 2x, x mentre risult irrotzionle il cmpo F(x, y) = (2xy, x 2 + y 2 ) essendo y (x, y) = 2x = F 2 (x, y) x Tle cmpo bbimo provto essere conservtivo vendo determinto un suo potenzile, U(x, y) = x 2 y y3. Il cmpo F (x, y) = ( R 2 \ {(, )} poichè y, x 2 +y 2 x ) è cmpo irrotzionle nel suo dominio A = x 2 +y 2 y = y2 x 2 x 2 + y = F 2 2 x m bbimo provto che tle cmpo non è conservtivo (essendo F ds con circonferenz di centro l origine e rggio 1). Osservimo però che tle cmpo risult conservtivo nell perto A = {(x, y) x } essendo U(x, y) = rctn y x un suo potenzile in tle insieme (il cmpo risult inoltre conservtivo nell perto A 1 = {(x, y) y } con V (x, y) = rctn x come potenzile). y 8

9 Il cmpo F(x, y, z) = ( 2x, 2y, x2 +y 2 ) risult irrotzionle nel suo dominio A = z z z 2 {(x, y, z) R 3 z } essendo y = = F 2 x, z = 2x z 2 = F 3 x, F 2 z = 2y z 2 = F 3 y, Il cmpo risult inoltre conservtivo, U(x, y, z) = x2 +y 2 y z è diftti un suo potenzile. x Il cmpo F(x, y, z) = (,, z) è cmpo irrotzionle nel suo dominio A = x 2 +y 2 x 2 +y 2 {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 } poichè y = y2 x 2 x 2 + y = F 2 2 x, z = = F 3 x, F 2 z = = F 3 y m non risult conservtivo in A essendo F ds con (t) = (cos t, sin t, ), t [, 2π]. I precedenti esempi mostrno che l condizione di irrotzionlità non è sufficiente ffinchè un cmpo risulti conservtivo. Abbimo diftti bisogno di un condizione supplementre sul dominio del cmpo. Un perto connesso A R n è detto semplicemente connesso se ogni curv semplice e chius con sostegno contenuto in A si può deformre con continuità in A in un punto x. Precismente, se (t), t [, b], è un prmetrizzzione dell curv tle che () = (b) = x, esiste un ppliczione continu Φ : [, b] [, 1] A tle che - Φ(t, ) = (t) per ogni t [, b], - Φ(t, 1) = x, per ogni t [, b], - per ogni s [, 1], Φ(, s) = Φ(b, s) = x. Con i termini dell topologi lgebric si dice che Φ è un omotopi tr e x e che l curv è omotop d un punto. Ad esempio, sono semplicemente connessi gli perti convessi di R n (un perto A R n è detto convesso se per ogni x, x A il segmento che li congiunge risult contenuto in A). Sono semplicemente connessi gli perti stellti di R n (un perto A R n è detto stellto se esiste x A tle che per ogni x A il segmento che congiunge x con x risult contenuto in A). In R 2 si può provre che un perto connesso A R 2 è semplicemente connesso se ogni curv semplice chius e regolre A risult frontier di un sottoinsieme A: = con A. Esempi 9

10 L insieme A = R 2 \ {(, )} è connesso m non è semplicemente connesso, l curv vente per sostegno l circonferenz di centro l origine e rggio 1 è frontier del disco di centro l origine e rggio 1 m A. L coron circolre A = {(x, y) 1 < x 2 + y 2 < 9} è perto connesso m non semplicemente connesso (l curv A vente per sostegno l circonferenz di centro l origine e rggio 2 è frontier del disco di centro l origine e rggio 2 m A). L perto {(x, y) y } non è semplicemente connesso non essendo connesso. Gli perti R 2, {(x, y) x 2 + y 2 < 4}, {(x, y) y se x > } sono semplicemente connessi. In R 3 si h invece che un perto connesso A R 3 è semplicemente connesso se ogni curv semplice, chius e regolre A risult bordo di un superficie con bordo S con sostegno contenuto in A: = S con S A. Esempi L insieme A = R 3 \ {(,, )} è semplicemente connesso, ogni curv chius con sostegno in A è deformbile con continuità in A in un punto. L coron sferic A = {(x, y, z) 1 < x 2 + y 2 + z 2 < 9} è semplicemente connesso. Il toro T, ottenuto dll rotzione ttorno ll sse z di un disco = {(x, z) (x x ) 2 + (z z ) 2 r 2 } (con r > x 2 + z 2 ), non è semplicemente connesso: l curv vente per sostegno l circonferenz del pino z = z di centro (,, z ) e rggio x non è deformbile con continuità d un punto in T. L insieme A = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 } è connesso m non è semplicemente connesso, l curv vente per sostegno l circonferenz di centro l origine e rggio 1 del pino z = non è deformbile con continuità d un punto in A. Vle il seguente risultto (dell cui prov ccenneremo più vnti): Teorem Se F(x) è cmpo vettorile irrotzionle nell perto semplicemente connesso A R n llor F(x) è conservtivo in A. Negli esempi che seguono, vedremo come stbilire che un dto cmpo vettorile risult conservtivo utilizzndo il precedente risultto. Vedremo inoltre un metodo per determinre un potenzile di un dto cmpo conservtivo. 1

11 Esempi Il cmpo F(x, y) = (xy 2, x 2 y + y) è conservtivo in R 2. Inftti risult irrotzionle: y = 2xy = F 2 x sull perto semplicemente connesso R 2. Per determinrne un potenzile, osservimo che se U(x, y) è un potenzile di F(x, y) in R 2, llor U(x, y) dovrà verificre le condizioni x (x, y) = F 1(x, y) = xy 2 e y (x, y) = F 2(x, y) = x 2 y + y ll prim delle due condizioni bbimo che U(x, y) dovrà essere un primitiv rispetto d x dell funzione xy 2 e dunque U(x, y) = xy 2 dx = x2 2 y2 + c(y) essendo c(y) funzione incognit dell sol vribile y. Utilizzimo l second condizione per determinre l incognit c(y): x 2 y + y = y (x, y) = x2 y + c (y) Ne segue che c (y) = y e dunque che c(y) = y dy = y2 2 + c, c R. Quindi U(x, y) = 1 2 x2 y y2 + c, c R è il generico potenzile del cmpo dto. Il cmpo F(x, y, z) = (2xy z 2, 2yz + x 2, y 2 2xz) è cmpo conservtivo essendo irrotzionle sull perto semplicemente connesso R 3 : y = 2x = F 2 x, z = 2z = F 3 x, F 2 z = 2y = F 3 y. Per determinrne un potenzile, osservimo che un potenzile U(x, y, z) del cmpo F(x, y, z) dovrà verificre le condizioni: x (x, y, z) = F 1(x, y, z) = 2xy z 2, y (x, y, z) = F 2(x, y, z) = 2yz + x 2, z (x, y, z) = F 3(x, y, z) = y 2 2xz. 11

12 ll prim delle tre condizioni bbimo che U(x, y, z) è un primitiv rispetto d x dell funzione 2xy z 2 e dunque U(x, y, z) = 2xy z 2 dx = x 2 y z 2 x + c 1 (y, z) essendo c 1 (y, z) funzione incognit delle vribili (y, z). eterminimo tle incognit utilizzndo le restnti due condizioni. ll second condizione ottenimo d cui e quindi 2yz + x 2 = y (x, y, z) = x2 + c 1 (y, z) y c 1 (y, z) = c 1 (y, z) = 2yz y 2yz dy = y 2 z + c 2 (z) essendo c 2 (z) funzione incognit dell sol vribile z. Utilizzimo infine l terz condizione per determinre c 2 (z). Avendo trovto che U(x, y, z) = x 2 y z 2 x + c 1 (y, z) = x 2 y z 2 x + y 2 z + c 2 (z) dll terz condizione si h y 2 2xz = z (x, y, z) = 2zx + y2 + c 2(z) d cui c 2(z) = e quindi c 2 (z) = c R. Ottenimo quindi che il generico potenzile del cmpo dto è U(x, y, z) = x 2 y z 2 x + c 1 (y, z) = x 2 y z 2 x + y 2 z + c Il cmpo F(x, y, z) = ( 2x, 2y ) bbimo già provto essere irrotzionle sul z 2 suo dominio A = {(x, y, z) R 3 z }. Poichè il dominio A non è semplicemente connesso (non è diftti connesso) non possimo concludere che il cmpo risult conservtivo in A. Possimo però concludere che il cmpo risult conservtivo sulle due componenti semplicemente connesse z x2 +y 2 A + = {(x, y, z) R 3 z > } e A = {(x, y, z) R 3 z < }. eterminti llor due potenzili U + (x, y, z) e U (x, y, z) del cmpo F rispettivmente in A + e A, essendo A + A =, vremo che { U + (x, y, z) se(x, y, z) A + U(x, y, z) = U (x, y, z) se(x, y, z) A 12

13 risult un potenzile di F(x, y, z) in tutto il suo dominio e dunque il cmpo risult conservtivo in A. Per determinre i potenzili U ± procedimo come nel precedente esempio. Un potenzile U(x, y, z) del cmpo in A ± dovrà verificre ll prim delle tre condizioni bbimo 2x U(x, y, z) = z ll second condizione ottenimo d cui e quindi x (x, y, z) = F 1(x, y, z) = 2x z, y (x, y, z) = F 2(x, y, z) = 2y z, z (x, y, z) = F 3(x, y, z) = x2 + y 2. z 2 dx = x2 z + c 1(y, z) 2y z = y (x, y, z) = c 1 (y, z) y c 1 (y, z) = c 1 2y (y, z) = y z 2y z dy = y2 z + c 2(z) Utilizzimo l terz condizione per determinre c 2 (z). Avendo trovto che dll terz condizione si h x2 + y 2 z 2 U(x, y, z) = x2 z + y2 z + c 2(z) = z (x, y, z) = + y 2 x2 + c z 2(z) 2 d cui c 2(z) = e quindi c 2 (z) = c R. Ottenimo quindi che il generico potenzile del cmpo in A ± è U ± (x, y, z) = x2 + y2 + z z c± con c ± R e dunque il generico potenzile del cmpo dto è U(x, y, z) = { x 2 z x 2 z con c ± R non necessrimente uguli. + y2 z + c+ se(x, y, z) A + + y2 z + c se(x, y, z) A 13

14 Teorem di Green e Teorem dell divergenz di Guss in R 2 Vedimo or un importnte risultto che leg il concetto di integrle curvilineo di un cmpo vettorile con il concetto di integrle doppio. Teorem di Green Si F(x, y) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)) un cmpo vettorile di clsse C 1 in un perto A R 2 e si un dominio normle regolre in A. Allor, denott con + l curv semplice, chius e regolre trtti vente per sostegno l frontier di positivmente orientt, risult F 2 F ds = + x y dxdy im. Ci limitimo considerre il cso semplice in cui è un rettngolo = {(x, y) R 2 x [, b], y [c, d]}. L frontier + risult llor unione delle quttro curve i con i = 1, 2, 3, 4 di prmetrizzzioni: 1 (t) = (t, c), t [, b], 2 (t) = (b, t), t [c, d], 3 (t) = (t, d), t [, b], 4 (t) = (, t), t [c, d]. Allor F ds = F ds + F ds F ds F ds = = b d c F 1 (t, c)dt + d c F 2 (b, t)dt F 2 (b, t) F 2 (, t) dt b b F 1 (t, d)dt d F 1 (t, d) F 2 (t, c) dt c F 2 (, t)dt ll formul fondmentle del clcolo integrle e dlle formule di riduzione per gli integrli doppi si ottiene llor d F ds = ( + c = b F 2 (x, y)dx)dy x F 2 x y dxdy b ( d c (x, y)dx)dy y Osservimo che se è curv semplice, chius e regolre trtti con sostegno in un perto semplicemente connesso A R 2 llor è frontier di un dominio A unione di domini normli regolri i A, i = 1,..., n. lle proprietà di dditività degli integrli curvilinei e doppi e dl precedente risultto si ottiene llor + F ds = n i=1 + i F ds = n i=1 F 2 i x y dxdy = F 2 x y dxdy 14

15 Ne segue quindi che se F è cmpo vettorile irrotzionle sull perto semplicemente connesso A llor per ogni curv semplice, chius e regolre trtti con sostegno in A risult F ds = e dl Teorem di crtterizzzione dei cmpi conservtivi F risult cmpo vettorile conservtivo in A. Come conseguenz immedit del precedente risultto bbimo inoltre le seguenti formule per il clcolo dell re di un regione pin. Corollrio Si F(x, y) un cmpo vettorile di clsse C 1 in perto A R 2 tle che F 2 x y = 1, in A Allor per ogni dominio regolre A risult m() = + F ds L condizione precedente è verifict d esempio di cmpi F(x, y) = (, x), F(x, y) = ( y, ) e F(x, y) = 1 ( y, x). 2 Esempi Clcolimo l re dell regione del pino delimitt dll ellisse x2 2 Abbimo m() = F ds + + y2 b 2 = 1. essendo F(x, y) = 1 ( y, x). Allor, posto (t) = ( cos t, b sin t), t [, 2π], risult 2 m() = = 1 2 2π 2π F((θ)) (θ) dθ = 1 2 b dθ = bπ 2π ( b sin t, cos t) ( sin t, b cos t) dt Clcolimo l re dell regione del pino delimitt dl crdioide ρ(θ) = 1+cos θ, θ [ π, π]. Abbimo m() = F ds + essendo F(x, y) = 1 ( y, x). Allor, posto (θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ), θ [ π, π], 2 risult m() = = 1 2 π π π F((θ)) (θ) dθ π ρ 2 (θ) dθ = π π (1 + cos θ) 2 dθ = 3 2 π

16 Teorem equivlente l Teorem di Green è il seguente Teorem dell divergenz di Guss in R 2 Si F(x, y) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)) un cmpo vettorile di clsse C 1 in un perto A R 2 e si un dominio regolre in A. Allor, F N e ds = div F dxdy + essendo N e (x, y) il versore normle esterno + nel punto (x, y) + e divf = l divergenz del cmpo. + F 2 x y im. Posto G = ( F 2, F 1 ), risult G T = F N e, essendo T(x, y) il versore tngente + nel punto (x, y) + e G 2 G 1 = + F 2. unque, dl Teorem di Green si x y x y ottiene G 2 F N e ds = G T ds = G ds = x G 1 y dxdy = x + F 2 y dxdy = div F dxdy Flusso di un cmpo vettorile Si F(x, y, z) un cmpo vettorile continuo in un perto A R 3 e si ϕ : R 2 R 3 un superficie regolre con sostegno S contenuto in A. Si dice flusso del cmpo vettorile F ttrverso l superficie S nell direzione del versore normle ll superficie N l integrle F N dσ S ll definizione di versore normle ll superficie e di integrle di superficie, bbimo ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) F N dσ = F(ϕ(u, v)) S ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) ϕ u(u, v) ϕ v (u, v) dudv = F(ϕ(u, v)) (ϕ u (u, v) ϕ v (u, v)) dudv Osservimo che l integrle di flusso non dipende dll prticolre prmetrizzzione scelt dell superficie meno dell orientmento indotto l versore normle. iftti cmbindo verso l versore normle, l integrle cmbierà segno. Osservimo inoltre che dll dditività dell integrle doppio, l definizione di flusso di un cmpo può essere estes nche superfici regolri trtti (unione finit di superfici regolri). 16

17 Se l superficie regolre S è frontier di un dominio E R 3, si prlerà di flusso entrnte o uscente dll frontier S di E second che il versore normle si orientto verso l interno o verso l esterno del dominio E. Se pensimo d R 3 pieno di un fluido che si muove secondo un cmpo di forze F, si S un superficie in R 3 che non costituisc brrier per il fluido. L integrle F N dσ misurerà S l rpidità (mss l secondo) con cui il fluido ttrvers l superficie S nell direzione N. Esempi Clcolre il flusso del cmpo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dll superficie lterle S del cilindro di equzione x 2 + y 2 = 1, z [, 3]. Prmetrizzndo l superficie lterle del cilindro utilizzndo le coordinte cilindriche ϕ(u, v) = (cos u, sin u, v), u [, 2π], v [, 3], si ottiene ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) = (cos u, sin u, ) che determin il vettore normle ϕ u ϕ v ( π, 1) = (, 1, ) (dunque l prmetrizzzione determin l orientmento richiesto). Allor, posto = [, 2π] [, 3] si 2 ottiene F N dσ = F(ϕ(u, v)) (ϕ u (u, v) ϕ v (u, v)) dσ S = sin 2 u + cos 2 u dudv = 6π Clcolre il flusso del cmpo F(x, y, z) = (y, x, z) entrnte nell superficie S vente per sostegno l sfer di rggio 1 e centro l origine. Prmetrizzndo l sfer utilizzndo le coordinte sferiche ϕ(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u), u [, π], v [, 2π], si ottiene ϕ u (u, v) ϕ v (u, v) = (sin 2 u cos v, sin 2 u sin v, sin u cos u) che determin il vettore normle (ϕ u ϕ v )( π, π ) = (, 1, ) orientto verso l esterno 2 2 dell sfer (dunque l prmetrizzzione determin l orientmento opposto quello richiesto). Allor, posto = [, π] [, 2π] si ottiene F N dσ = F(ϕ(u, v)) (ϕ u (u, v) ϕ v (u, v)) dσ S = sin u cos 2 u dudv = 2π π sin u cos 2 u du = 4 3 π 17

18 Teorem di Stokes e Teorem dell divergenz di Guss in R 3 Il seguente risultto generlizz il Teorem di Green l cso di cmpi vettorili in R 3 Teorem di Stokes Si F(x, y, z) cmpo vettorile di clsse C 1 nell perto A R 3 e si S superficie regolre con bordo con sostegno contenuto in A. enotto con S + il bordo positivmente orientto dell superficie, risult F ds = rot F N dσ, S + S essendo N il versore normle ll superficie. L precedente formul, dett formul di Stokes, esprime il ftto che il lvoro del cmpo lungo il bordo di S (l circuitzione del cmpo ttorno S) è ugule l flusso del rotore ttrverso l superficie S. Si può provre che se è curv semplice, chius e regolre trtti con sostegno in un perto semplicemente connesso A R 3, llor è bordo di un superficie S unione di superfici regolri con bordo S i A, i = 1,..., n. lle proprietà di dditività degli integrli curvilinei e di superficie e dl Teorem di Stokes, ne segue che se F è cmpo vettorile irrotzionle sull perto semplicemente connesso A llor per ogni curv semplice, chius e regolre trtti con sostegno in A, risult F ds =. l Teorem di crtterizzzione dei cmpi conservtivi, F risult cmpo vettorile conservtivo in A. Vle inoltre Teorem dell divergenz di Guss in R 3 Si F(x, y, z) = (F 1 (x, y, z), F 2 (x, y, z), F 3 (x, y, z)) un cmpo vettorile di clsse C 1 in un perto A R 3 e si T un dominio normle regolre in A. Allor, F N e ds = div F dxdy T essendo N e (x, y, z) il versore normle esterno ll superficie T frontier del dominio T nel punto (x, y, z) T e div F = + F 2 + F 3 l divergenz del cmpo. x y z Esempi Clcolimo il flusso del cmpo F(x, y, z) = (, yz, x) uscente dll superficie estern dell porzione di prbolide T = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2}. l Teorem di Guss, essendo div F(x, y, z) = z, risult F N e dσ = div F dxdy = z dxdydz T T 18 T T

19 ed integrndo per strti, posto z = {(x, y) x 2 + y 2 z}, ottenimo 2 2 F N e dσ = ( z dxdy) dz = πz 2 dz = 8 z 3 π T Clcolre il flusso del cmpo F(x, y, z) = (y, x, z) entrnte nell superficie S vente per sostegno l sfer di rggio 1 e centro l origine. l Teorem di Guss, posto T = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 1}, vremo S = T e F N ds = F N e ds = div F dxdydz = dxdydz = 4 3 π T T Clcolimo il flusso del cmpo F(x, y, z) = (x, y, 2z) uscente dll superficie lterle S dell porzione di cilindro di equzione x 2 + y 2 = 1, z [, 3]. Osservimo che posto T = {(x, y, z) x 2 + y 2 1, z [, 3]}, risult T = S S S 3, essendo S (rispettivmente S 3 ) l superficie vente per sostegno il disco di equzione x 2 + y 2 = 1, z = (rispettivmente, z = 3). l Teorem dell divergenz vremo F N e dσ + F N e dσ + F N e dσ = F N e dσ = div Fdxdydz. S S S 3 T Essendo div F(x, y, z) = 4 risult div Fdxdydz = 4m(T ) = 12π e quindi vremo T che il flusso uscente dll superficie lterle del cilindro srà dt d F N e dσ = 12π F N e dσ F N e dσ. S S S 3 Considert l prmetrizzzione ϕ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, ), ρ [, 1], θ [, 2π], dell superficie S, risult ϕ ρ ϕ θ (ρ, θ) = (,, ρ), vettore prllelo l versore (,, 1) (dunque l orientmento non è concorde ll direzione uscente). Avremo llor F N e dσ = F(ϕ(ρ, θ)) ϕ ρ (ρ, θ) ϕ θ (ρ, θ)dρdθ = S [,1] [,2π] Anloglmente, considert l prmetrizzzione ψ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 3), ρ [, 1], θ [, 2π], dell superficie S 3, risult ψ ρ ψ θ (ρ, θ) = (,, ρ), vettore prllelo l versore (,, 1) (dunque l orientmento è concorde ll direzione uscente dl cilindro). Avremo llor F N e dσ = F(ψ(ρ, θ)) ψ ρ (ρ, θ) ψ θ (ρ, θ)dρdθ S 3 [,1] [,2π] = 6ρdρdθ = 6π d cui S [,1] [,2π] T F N e dσ = 12π 6π = 6π T T 19

20 Forme differenzili e Cmpi vettorili Si dice form differenzile in R n un ppliczione ω : A R n (R n ), dove con (R n ) si è denotto il dule di R n, ovvero l insieme delle ppliczioni lineri d R n in R. enotti con dx i (R n ) gli elementi dell bse dule: dx i (h) = h i, h = (h 1, h 2,..., h n ) R n, per ogni x A potremo scrivere ω(x) (R n ) come ω(x) = 1 (x)dx (x)dx n (x)dx n e le funzioni i : A R n R, i = 1,..., n verrnno dette coefficienti dell form differenzile ω. Ad esempio, l form differenzile ω(x, y) = x 2 dx + xydy è l ppliczione linere d R 2 in R tle che ω(x, y)(h, k) = x 2 h + xyk per ogni (h, k) R 2. Osservimo che d ogni form differenzile ω : A R n (R n ) possimo ssocire il cmpo F ω : A R n R n vente per componenti i coefficienti di ω ω(x) = 1 (x)dx (x)dx n (x)dx n F ω (x) = ( 1 (x), 2 (x),..., n (x)) Si dice che un form differenzile ω : A R n (R n ) è estt se esiste un funzione U : A R n R tle che U(x) = ω(x) per ogni x A essendo U : A R n (R n ) l form differenzile: U(x) = x 1 (x)dx 1 + x 2 (x)dx x n (x)dx n, x A dett differenzile di U. In tl cso l funzione U è dett primitiv dell form differenzile ω in A. Osservimo che se ω(x) = 1 (x)dx (x)dx n (x)dx n, l condizione U(x) = ω(x) per ogni x A risult verifict se e solo se risult x i (x) = i (x), x A È chiro llor che se F ω è il cmpo ssocito ll form differenzile ω, vremo che ω risult estt in A se e solo se il cmpo F ω risult conservtivo in A. Inoltre vremo che U è un primitiv di ω se e solo se U è un potenzile di F ω : U = ω U = F ω 2

21 t un form differenzile ω continu in A R n (ovvero di coefficienti continui in A) e dt un curv : [, b] R R n di clsse C 1 si definisce ω = ω(x)(t (x))ds dove T (x) è il versore tngente in x. Se (t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)), t [, b], sono le equzioni prmetriche dell curv e se ω(x) = 1 (x)dx (x)dx n (x)dx n, risult b ω = 1 ((t))x 1(t) + 2 (x)x 2(t) n (x)x n(t)dt Osservimo che se F ω è il cmpo ssocito ll form differenzile ω, l integrle lungo dell form ω corrisponde l lvoro del cmpo F ω lungo : ω = F ω (x) ds Vlgono llor i seguenti risultti corrispondenti i Teoremi sul lvoro di un cmpo conservtivo e sull crtterizzzione dei cmpi conservtivi Teorem Se ω è form differenzile estt e continu sull perto A R n llor per ogni curv : [, b] R R n di clsse C 1 risult ω = U((b)) U(()) essendo U un primitiv di ω in A. e Teorem di crtterizzzione delle forme differenzili estte Si ω form differenzile continu sull perto connesso A R n. seguenti ffermzioni (i) ω è estt in A, Sono equivlenti le (ii) per ogni curv chius, semplice, regolre trtti con sostegno contenuto in A risult ω =, (iii) se 1 e 2 sono curve semplici, regolri trtti con sostegno contenuto in A venti medesimo punto inizile e finle, llor 1 ω = 2 ω 21

22 Un form differenzile ω(x) = 1 (x)dx (x)dx n (x)dx n di clsse C 1 in un perto A R n è dett form differenzile chius se risult i x j (x) = j x i (x), x A, i = 1,..., n. Osservimo che se F ω è il cmpo vettorile ssocito ll form differenzile ω, vremo che ω risult form differenzile chius se e solo se il cmpo vettorile F ω risult irrotzionle. Si h llor Teorem Se ω(x) è form differenzile estt di clsse C 1 sull perto A R n llor ω è chius in A. Inoltre Teorem Se ω(x) è form differenzile chius in un perto semplicemente connesso A R n llor ω è estt in A. Nel cso di forme differenzili del pino R 2, bbimo le seguenti formule equivlenti l Teorem di Green e di Guss Teorem (Formule di Guss-Green) Si f(x, y) un funzione di clsse C 1 in un perto A R 2 e si un dominio regolre in A. Allor, denott con + l curv semplice e chius vente per sostegno l frontier di positivmente orientt, risult f(x, y)dy = + f (x, y) dxdy x e f(x, y)dx = + f (x, y) dxdy y lle precedenti formule si ottengono le seguenti formule per il clcolo dell re di un dominio regolre A m() = x dy = y dx = 1 x dy y dx Infine, il Teorem di Stokes per un form differenzile ω in R 3 divent Teorem (Formul di Stokes) Si ω = 1 dx + 2 dy + 3 dz un form differenzile di clsse C 1 nell perto A R 3 e si S un superficie regolre con bordo con sostegno contenuto in A. enotto con S + il bordo positivmente orientto dell superficie, risult ω = S + S essendo N il versore normle ll superficie. ( 3 y 2 z, 1 z 3 x, 2 x 1 y ) N dσ, 22