Corso multimediale di matematica
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- Fiora Berardi
- 5 anni fa
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1 2006 GNIMETRI funzioni goniometriche di ngoli qulsisi rof. Clogero Contrino
2 funzioni goniometriche di ngoli qulsisi er mplire il dominio delle funzioni goniometriche è necessrio che: Si estend il concetto di ngolo fin qui formulto. veng ssocito gli ngoli un sistem di coordinte crtesine. Nell ottic del primo punto si introduce nel seguito il concetto di ngolo improprio. Si consideri tl scopo di voler determinre l mpiezz dell ngolo somm degli ngoli, riportti nell figur 1. Fig.1 25/09/2014 2/8
3 funzioni goniometriche di ngoli qulsisi Eseguit l somm si noterà che l ngolo super l ngolo giro dell ngolo. ertnto i punti di tle prte di pino vengono considerti due volte un volt come pprtenenti ed un volt come pprtenenti. G In generle può ccdere che l ngolo somm si costituito d punti che pprtengono contempornemente più di un ngolo giro e d un ngolo minore di. G ll luce di questo ftto è necessrio formulre un nuovo e più mpio concetto di ngolo. Si prlerà in questi csi di ngolo improprio. Fig.1 25/09/2014 3/8
4 ngolo improprio : definizione Si dà pertnto l seguente definizione Dicesi ngolo improprio l insieme dei punti del pino pprtenenti ll ngolo somm di un multiplo di ngolo giro e di un ngolo proprio, in simoli n G +, con ngolo improprio ed ngolo proprio. Esempio : 2 + G G G 25/09/2014 4/8
5 ngoli impropri : considerzioni E opportun questo punto un considerzione. dll definizione di ngolo improprio discende che gli ngoli propri sono un sottoinsieme di quelli impropri. Inftti posto n 0 si h : n G + 0 G + L ngolo proprio cso prticolre di ngolo improprio 0 + G ll luce di tutto ciò d or in vnti si prlerà semplicemente di ngoli, intendendo riferirsi quelli impropri. 25/09/2014 5/8
6 circonferenz goniometric Esminimo or qul è il modo più opportuno di ssocire gli ngoli di un dto pino un sistem di ssi coordinti. tle scopo viene dt l seguente definizione Dicesi circonferenz goniometric un circonferenz di rggio unitrio ssocit d un sistem di ssi crtesini vente origine nel centro dell stess circonferenz nell circonferenz goniometric così definit si considerino i seguenti enti geometrici : Il punto origine degli ssi e centro ; Il semisse positivo delle scisse ; Il punto intersezione dell circonferenz con il semisse positivo delle scisse. questo punto, fissto un orientmento in senso ntiorrio per ngoli positivi, si può pensre di riferire un generico ngolo orientto l sistem così costituito, secondo opportuni criteri che or esminimo Circonferenz goniometric 25/09/2014 6/8
7 circonferenz goniometric Dto il generico ngolo, si fcci coincidere il vertice con l origine del sistem di riferimento ed il suo primo lto con il semisse positivo delle scisse. perndo in tl modo l ngolo divent un generico ngolo l centro dell circonferenz goniometric, pertnto i suoi lti l intersechernno in due punti, il primo lto nel punto precedentemente menzionto ed il secondo lto in un punto, che dipende dll mpiezz dell ngolo. 25/09/2014 7/8
8 circonferenz goniometric Si osservi che : I punti e individuno sull circonferenz un rco in cui l estremo è fissto (origine degli rchi ) mentre l estremo è vriile in funzione dell mpiezz dell ngolo (estremo liero dell rco ). 25/09/2014 8/8
9 circonferenz goniometric Inoltre se l ngolo è misurto in rdinti si può scrivere, per qunto detto in precedenz, essendo l l lunghezz dell rco ed R il rggio unitrio dell circonferenz : l R 1 le dire ngoli ed rchi su cui insistono gli ngoli se i sono misurti in rdinti hnno l stess misur. ertnto si può prlre, in tle contesto, indifferentemente di misur di ngoli o di rchi. 25/09/2014 9/8
10 2006 GNIMETRI funzioni goniometriche sull circonferenz goniometric rof. Clogero Contrino
11 funzione seno Si hnno or gli elementi per poter estendere il concetto di funzione goniometric d ngoli di mpiezz qulsisi. nlizzeremo per prim l funzione seno, procedendo come di seguito. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : sen Sull circonferenz goniometric si consideri un punto ( ; ), estremo liero dell rco su cui insiste un ngolo l centro congruente d ed vente il primo lto coincidente col semisse positivo delle scisse. er il punto si conduc l perpendicolre ll sse delle scisse il cui piede è il punto. I due tringoli e risultno congruenti ( 2 criterio ) e si h : sen L misur ssolut coinciderà con quell lgeric, essendo nel primo qudrnte, pertnto si potrà scrivere : sen /09/ /8
12 funzione seno L relzione sen ricvt per misure ssolute ( vlide nel cso ngoli cuti ) conduce d un nuov definizione dell funzione seno se si pss misure di tipo lgerico, con conseguente estensione del suo dominio d ngoli di mpiezz qulsisi. Si può questo punto formulre l nuov Definizione Il seno di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) e l ordint del punto estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo. Si teng presente che, ormi svincolti dll limitzione gli ngoli cuti, si possono verificre diversi csi che ndimo d esminre. Immedit conseguenz dell nuov definizione è che si può clcolre il seno si dell ngolo nullo che di quello retto, impossiile in precedenz perché in tli situzioni i tringoli divenivno degeneri (ipotenus e cteto prlleli) D sen si h inftti : sen 0 0 sen /09/ /8
13 funzione seno Si esmin or l situzione con. nche in questo cso tr le due definizioni esiste 2 < < un legme. Inftti, detto l ngolo supplementre di, il tringolo rettngolo con ipotenus unitri può essere costruito su. Con l vecchi tringoli rettngoli si h : sen perndo come in precedenz, si dt l circonferenz goniometric, quindi si consideri il punto ( ; ), estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo l centro congruente d e che h il primo lto coincidente col semisse positivo delle scisse. Il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse per il punto è il punto di sciss. I due tringoli e risultno congruenti e si h : e quindi : sen Si consideri or l nuov definizione di sen che f riferimento ll circonferenz goniometric. tle scopo isogn considerre l ngolo l centro posizionto con il suo primo lto sul semisse positivo delle scisse. definizione che f riferimento i c 25/09/ /8
14 funzione seno er l ngolo l centro, l estremo liero dell rco su cui insiste é il punto ( ; ), mentre il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per esso è il punto. Dll nuov definizione riferit ll circonferenz goniometric si h : sen Inoltre essendo i tringoli, e congruenti si h: ertnto si potrà scrivere : sen 0 sen nche in questo cso, viene confermto il legme tr l c definizione riferit i tringoli rettngoli e quell riferit ll circonferenz goniometric. Inoltre si è riscontrt un importnte relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : + sen sen 25/09/ /8
15 funzione seno Si procede nlogmente con < < 3. In questo cso il tringolo rettngolo può 2 essere costruito su, ngolo ntisupplementre di. Con l vecchi definizione che f riferimento i tringoli rettngoli si h ncor: sen. E, dt l circonferenz goniometric, considerto l ngolo l centro congruente d, si ( ; ) l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo e il punto di sciss, piede dell perpendicolre ll sse delle scisse per il punto. I due tringoli e risultno congruenti e si h : e quindi : sen Si consideri ncor l nuov definizione di sen che f riferimento ll circonferenz goniometric,con l ngolo l centro posizionto con il suo primo lto sul semisse positivo delle scisse. 25/09/ /8
16 funzione seno I punti e sono rispettivmente l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo ed il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per esso. Dll definizione riferit ll circonferenz goniometric si h : sen Inoltre essendo i tringoli, e congruenti si h: - ertnto si potrà scrivere : sen 0 sen nche in questo cso, viene confermto il legme tr l definizione riferit i tringoli rettngoli e quell riferit ll circonferenz goniometric. c Inoltre si è riscontrt un importnte relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : sen sen 25/09/ /8
17 funzione seno Si procede nlogmente con 3 < < 2. In questo cso il tringolo rettngolo 2 può essere costruito su, ngolo esplementre di. Con l vecchi definizione che f riferimento i tringoli rettngoli si h ncor: sen. E, dt l circonferenz goniometric, considerto l ngolo l centro congruente d, si ( ; ) l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo e il punto di sciss, piede dell perpendicolre ll sse delle scisse per il punto. I due tringoli e risultno congruenti e si h : e quindi : sen Si consideri ncor l nuov definizione di sen che f riferimento ll circonferenz goniometric, con l ngolo l centro posizionto con il suo primo lto sul semisse positivo delle scisse. 25/09/ /8
18 funzione seno I punti e sono rispettivmente l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo ed il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per esso. Dll definizione riferit ll circonferenz goniometric si h : sen Inoltre essendo i tringoli, e congruenti si h: - ertnto si potrà scrivere : sen 0 sen nche in questo cso, viene confermto il legme tr l definizione riferit i tringoli rettngoli e quell riferit ll circonferenz goniometric. Inoltre si è riscontrt un importnte relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : + 2 sen sen 25/09/ /8
19 funzione coseno nlizzimo or l funzione coseno, procedendo con le stesse modlità impiegte per studire l funzione seno. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : cos Sull circonferenz goniometric si consideri un punto ( ; ), estremo liero dell rco su cui insiste un ngolo l centro congruente d ed vente il primo lto coincidente col semisse positivo delle scisse. er il punto si conduc l perpendicolre ll sse delle scisse il cui piede è il punto. I due tringoli e risultno congruenti ( 2 criterio ) e si h : cos L misur ssolut coinciderà con quell lgeric, essendo nel primo qudrnte, pertnto si potrà scrivere : cos /09/ /8
20 funzione coseno L relzione cos ricvt per misure ssolute ( vlide nel cso ngoli cuti ) conduce d un nuov definizione dell funzione coseno se si pss misure di tipo lgerico, con conseguente estensione del suo dominio d ngoli di mpiezz qulsisi. Si può questo punto formulre l nuov Definizione Il coseno di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) e l sciss del punto estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo. Si teng presente che, ormi svincolti dll limitzione gli ngoli cuti, si possono verificre diversi csi che ndimo d esminre. Immedit conseguenz dell nuov definizione è che si può clcolre si il coseno dell ngolo nullo che dell ngolo retto, impossiile in precedenz perché tle situzione portv d un tringolo degenere (ipotenus e cteto prlleli) D cos si h inftti : cos0 1 ; cos /09/ /8
21 funzione coseno Si esminno or le diverse situzioni con ngoli non cuti.. 1 cso : Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : cos 2 < < 0 cos c Si h quindi l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : + cos cos 25/09/ /8
22 funzione coseno 2 cso : < < 3 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : cos c cos Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : cos cos 25/09/ /8
23 funzione coseno 3 cso : 3 2 < < 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : cos cos e quindi : sen Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : + 2 cos cos 25/09/ /8
24 funzione tngente nlizzimo or l funzione tngente, procedendo con le modlità precedenti. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : tg Sull circonferenz goniometric si consideri il punto ( ; ), estremo liero dell rco su cui insiste un ngolo l centro congruente d ed vente il primo lto coincidente col semisse positivo delle scisse. Si il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per il punto, t è invece l rett prllel ll sse delle ordinte condott per il punto, origine dell misur degli rchi. Si consideri il punto T intersezione dell rett t con il prolungmento del rggio vettore. I tringoli e sono congruenti e risultno simili l tringolo T, pertnto si h: T : : D cui segue : T 1 tg t T 25/09/ /8
25 funzione tngente Ed infine : tg T T T 0 T L relzione trovt consente di formulre un nuov Definizione L tngente di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) e l ordint del punto T intersezione del prolungmento del rggio vettore pssnte per il punto, estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo, con l rett prllel ll sse delle ordinte condott per il punto origine dell misur degli rchi. T T L nuov definizione, come nei csi precedenti, consente di svincolrsi dgli ngoli cuti estendendo il dominio dell funzione tutto R d eccezione dei vlori + k 2 Inftti per tli vlori i prolungmenti dei rggi vettore divengono prlleli ll rett t. 25/09/ /8
26 goniometri funzione tngente: rchi supplementri Si esminno or le diverse situzioni con ngoli non cuti.. 1 cso : 2 < < Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : tg T T 0 T T T tg T Si h quindi l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : c T t T + tg tg T T 25/09/ /8
27 goniometri funzione tngente: ngoli ntisupplementri 2 cso : < < 3 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : tg T T 0 T T T T tg T c T T" t TT Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : tg tg 25/09/ /8
28 goniometri funzione tngente: rchi esplementri 3 cso : 3 2 < < 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : tg T T 0 T T T tg T T t T Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : + 2 tg tg T T 25/09/ /8
29 goniometri funzione cotngente nlizzimo or l funzione cotngente, procedendo con le modlità precedenti. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : ctg Sull circonferenz goniometric il punto ( ; ) è l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo l centro congruente d. Il punto è il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per il punto, mentre c è l rett prllel ll sse delle scisse condott per il punto B, intersezione dell circonferenz con l sse delle ordinte. Si consideri il punto C intersezione dell rett c con il prolungmento del rggio vettore. I tringoli, e sono congruenti e risultno simili l tringolo C, su volt congruente l tringolo BC, pertnto si h: BC : B : D cui segue : BC B 1 ctg c B C 25/09/ /8
30 funzione cotngente Ed infine : ctg BC C B C 0 C L relzione trovt consente di formulre un nuov Definizione L cotngente di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) è l sciss del punto C intersezione del prolungmento del rggio vettore pssnte per il punto, estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo, con l rett prllel ll sse delle scisse condott per il punto B intersezione dell circonferenz goniometric con l sse delle ordinte. c B C L nuov definizione, come nei csi precedenti, consente di svincolrsi dgli ngoli cuti estendendo il dominio dell funzione tutto R d eccezione dei vlori k C Inftti per tli vlori i prolungmenti dei rggi vettore divengono prlleli ll rett c. 25/09/ /8
31 goniometri funzione cotngente: rchi supplementri Si esminno or le diverse situzioni con ngoli non cuti.. 1 cso : 2 < < Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : ctg C C 0 C B BC BC ctg C c c C B C Si h quindi l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : C C + ctg ctg 25/09/ /8
32 goniometri funzione cotngente: ngoli ntisupplementri 2 cso : < < 3 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : ctg C C 0 C B BC BC BC ctg C c B C C Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : C C C" ctg ctg 25/09/ /8
33 goniometri funzione cotngente: rchi esplementri 3 cso : 3 2 < < 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : ctg C C 0 C B BC BC ctg C C B C c Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : C C + 2 ctg ctg 25/09/ /8
34 goniometri funzione cosecnte nlizzimo l funzione cosecnte, in modo nlogo lle funzioni precedenti. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : cosec 1 Sull circonferenz goniometric il punto ( ; ) è l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo l centro congruente d. Il punto è il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per il punto, mentre c è l rett condott per il punto e perpendicolre l rggio. Si consideri il punto C intersezione dell rett c con l sse delle ordinte. I tringoli, e sono congruenti e risultno simili l tringolo C, pertnto si h: : : C C c D cui segue : C 1 1 cosec 25/09/ /8
35 funzione cosecnte Ed infine : cosec C C C 0 C L relzione trovt consente di formulre un nuov Definizione L cosecnte di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) è l ordint del punto C intersezione dell rett perpendicolre l rggio vettore pssnte per il punto, estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo, con l sse delle ordinte. C C L nuov definizione, come nei csi precedenti, consente di svincolrsi dgli ngoli cuti estendendo il dominio dell funzione tutto R d eccezione dei vlori k c Inftti per tli vlori l rett c e l sse delle ordinte divengono prlleli. 25/09/ /8
36 goniometri funzione cosecnte: rchi supplementri Si esminno or le diverse situzioni con ngoli non cuti.. 1 cso : 2 < < Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : cosec C C 0 C C C cosec C c C C C C Si h quindi l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : + cosec cosec 25/09/ /8
37 goniometri funzione cosecnte: ngoli ntisupplementri 2 cso : < < 3 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : c cosec C C 0 C C cosec C C C C C Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : cosec cosec C C 25/09/ /8
38 goniometri funzione cosecnte: rchi esplementri 3 cso : 3 2 < < 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : cosec C C 0 C C C C cosec C C C Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : + 2 cosec cosec C C 25/09/ /8
39 goniometri funzione secnte nlizzimo l funzione secnte, in modo nlogo lle funzioni precedenti. Si dto un ngolo. Si consideri il tringolo rettngolo con l ipotenus 1 e l ngolo in. Si h, per le definizioni precedenti : sec 1 Sull circonferenz goniometric il punto ( ; ) è l estremo liero dell rco su cui insiste l ngolo l centro congruente d. Il punto è il piede dell perpendicolre ll sse delle scisse condott per il punto, mentre s è l rett condott per il punto e perpendicolre l rggio. Si consideri il punto S intersezione dell rett s con l sse delle scisse. I tringoli, e sono congruenti e risultno simili l tringolo S, pertnto si h: : : S s S D cui segue : S 1 1 sec 25/09/ /8
40 funzione secnte Ed infine : sec S S S 0 S L relzione trovt consente di formulre un nuov Definizione L secnte di un ngolo (rco) ssegnto ( in riferimento ll circonferenz goniometric) è l sciss del punto S intersezione dell rett perpendicolre l rggio vettore pssnte per il punto, estremo liero dell rco intercettto sull circonferenz dll ngolo, con l sse delle scisse. s L nuov definizione, come nei csi precedenti, consente di svincolrsi dgli ngoli cuti estendendo il dominio dell funzione tutto R d eccezione dei vlori + k 2 Inftti per tli vlori l rett s e l sse delle scisse divengono prlleli. S S 25/09/ /8
41 goniometri funzione secnte: rchi supplementri Si esminno or le diverse situzioni con ngoli non cuti.. 1 cso : 2 < < Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : sec s S 0 S S S sec S c Si h quindi l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli supplementri : S S S S + sec sec 25/09/ /8
42 goniometri funzione secnte: ngoli ntisupplementri 2 cso : < < 3 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : c sec S S 0 S S S S sec S Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli ntisupplementri : S S S S sec sec 25/09/ /8
43 goniometri funzione secnte: rchi esplementri 3 cso : 3 2 < < 2 Con riferimento ll figur, rgionndo come in precedenz si h : sec S S 0 S S S S sec S Si h l seguente relzione vlid per qulsisi coppi di ngoli esplementri : S S S S S + 2 sec sec 25/09/ /8
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