Fisica Generale - Modulo Fisica I Ingegneria Meccanica - Edile - Informatica Esercitazione 1 RAPPRESENTAZIONE E COMPOSIZIONE DI VETTORI

Transcript

1 RAPPRESENTAZIONE E COMPOSIZIONE DI VETTORI A1. Il ettore h modlo 5, è diretto come l erticle ed è scomposto secondo de direzioni, n formnte n ngolo di 30 con l orizzontle e n ltr formnte n ngolo di 60 con l erticle. Le de componenti hnno modlo rispettimente pri (A) 4.33,.5 (B) 4.33, 4.33 (C).5,.5 (D).5, 4.33 (E) 5, 5 SOLUZIONE. Si trccino le de rette indicte per il pnto di ppliczione del ettore e le loro de prllele per il secondo estremo del ettore costrendo così n prllelogrmm di ci è n digonle. Il prllelogrmm dell figr, essendo diiso d in de tringoli eqilteri, h lti ttti gli ll digonle; i ettori in ci è scomposto hnno entrmi modlo pri 5. A. Il modlo di n ettore diretto secondo l erticle discendente le = 5. Si somm con n ettore formnte n ngolo di 45 con l orizzontle. Se il ettore risltnte + h componente erticle nll, il modlo di le (A) 5 (B) 7.07 (C) 9.80 (D) 1.5 (E) SOLUZIONE. Scomponendo lngo gli ssi, si h: cos(45 ) + e + sin(45 ), d ci si ric sin45 A3. De ettori e hnno modlo = 5 e = 4; se l loro somm h modlo + = 3 l ngolo formto tr e è pri (A) (B) 9.8 (C) 90 (D) 53.1 (E) 36.9 SOLUZIONE. Si trtt di clcolre l ngolo, spplementre di, che pprtiene l tringolo di ci si conoscono i tre lti:, e + ; tle ngolo si pò ricre direttmente dll relzione trigonometric + not come il teorem di Crnot: cos Poiché = 180, cos = cos, si ric cos , 1 40 È istrttio risolere il prolem per i lgeric medinte le componenti dei ettori. Allineimo il primo ettore lngo l sse : = 5i e ponimo = i +. Le incognite sono le componenti crtesine di che soddisfno lle relzioni ( (5 ) ) 9 Sostitendo nel prodotto sclre si h: 3. cos cos cos ( 0.8)

2 A4. Si scompone il ettore = i lngo de direzioni e che formno con l sse ngoli = 30 e = 90, oero i ˆ 30, i ˆ 90. Se = 3, = 4, l componente le (A) 0.69 (B).7 (C) 3.46 (D) 4.6 (E) 5 SOLUZIONE. Proponimo l solzione del cso generle, con ngoli e qlsisi. Considero il riferimento ortogonle indiidto di ersori i e e il riferimento non ortogonle indiidto d e, il ettore iene espresso nei de riferimenti come i ; se indichimo con ( ) e, ) le componenti ed nel sistem di riferimento indiidto d i e, le ( eqzioni di trsformzione sono: i i Utilizzndo le relzioni trigonometriche, ottenimo che ( ) i ( ) cos cos sen sen i Risolendo qesto sistem con l regol di Crmer, si ottengono le componenti e del ettore cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos, cos sen sen cos cos cos cos sen sen cos sen sen sen sen Poiché nel nostro cso 30 e 90, l solzione pò essere più semplice; inftti 3.46 e sin cos30 A5. Tr le segenti ffermzioni sono ere (A) il coseno di n rdinte è minore di cos60 (B) n ngolo in rdinti è il rpporto tr lnghezz di n rco di cerchio centrto l ertice compreso tr le de semirette e l lnghezz dell circonferenz di pri rggio (C) per ngoli minori di 5 l differenz tr misr dell ngolo in rdinti e seno dell ngolo è l più di qlche prte s diecimil* (D) in n ngolo giro i sono 360 rdinti (E) n ngolo di 90 corrisponde 1.57 rdinti* A6. L risltnte di no spostmento di m nell direzione che form n ngolo di 40 con l sse e n sccessio spostmento di 4 m nell direzione che form n ngolo di 10 con l'sse è di circ (A) 5. m 99 (B) 5.0m 5 38 (C) 6.0m 93 (D) 4.77 m 96 (E) 6.1 m 80 4m?m m 40 10? A7. Un ettore = 5 è scomposto nell somm di de ettori, c con = 3i+4 e c = c i+ c. Tr le segenti ffermzioni sono ere (segnre con n crocett le ffermzioni estte) (A) l componente c le 3* (B) l componente c le +1* (C) l somm dei modli di e c è mggiore del modlo di * (D) l ngolo formto tr c e è pri circ 53 (E) l ngolo tr e c è pri circ 7 *

3 A8 Il ettore iene scomposto nei de ettori 1 ed dell figr. Se 1 3 il modlo di le circ (A).60 (B) 3.00 (C) 4.10 (D) 4.50 (E) A9. dto il ettore A = 3i + + 4k, determinre il ettore B prllelo d A di lnghezz 10. (A) B = 30i 0 40k 0.60 (B) B = 30i k (C) B = i k * A10 Dimostrre che i ettori dti, se disposti pnt-cod, formno n tringolo: ) A = 4i + 1, B = i + 4 e C = i 5; ) A = i + 1, B = 1i + 4 e C = 3i 5 A11. Ci si spost di 0 m dll'origine di n sistem crtesino in n direzione che form n ngolo ntiorrio di 10 con l'sse. Le coordinte (,) del pnto di rrio sono (in metri) (A) (17.3, 10) (B) (1.5,15) (C) (1.5,1.5) (D) (17.3,10) (E) (14.1,14.1) A1. De ettori e hnno modlo = 5 e = 4; se l loro differenz h modlo = 3 l'ngolo formto tr e è pri (A) (B) 36.9 (C) 90 (D) 53.1 (E) A13. Si scompone il ettore i lngo de ssi e. L componente lngo l sse che form n ngolo di +30 con l sse delle le = +3; l componente lngo il secondo sse, che form n ngolo di +10 con l sse delle, le = +4. L componente le (A) 0.60 (B) 3.46 (C) 5 (D) 5.50 (E) 6.08 A14. Il ettore = 5 iene scomposto lngo le de direzioni d1 e d dell figr. Le componenti lngo d1 e d hnno modlo pri circ (A) 0.9; 4.61 (B) 4.00; 1.00 (C) 0.88; 4.77 (D) 1.00; 5.00 (E) ; 4.9 PRODOTTO SCALARE E VETTORIALE d d A1. Il prodotto sclre tr = 5i6+7k e = 5i+67k è gle (A) 110 (B) (C) (D) (E) SOLUZIONE. Il prodotto sclre, gle ll somm dei prodotti delle componenti omologhe, è In qesto cso prticolre, in ci e hnno componenti gli ed opposte, l ngolo formto di ettori è di 180 e qindi = =. Le solzioni (A) e (C) sono entrme ccettili A. L ngolo formto tr de ettori e con modli dti d 4, 3 e prodotto sclre 10 le (A) 7 15' (B) 30 (C) 33 33' (D) 45 (E) 56 6' 3

4 SOLUZIONE. cos (43)cos 10 cos ' A3. L ngolo formto di de ettori = 8i6 e = 3i+4 le, in lore ssolto (A) 16º 16' (B) 36º 5' (C) 43º 8' (D) 73º 44' (E) 90º SOLUZIONE. Bst osserre che 0 oppre, in modo eqilente, che, per dedrre che i ettori sono perpendicolri. A4. Dti i tre ettori 3i, i, c = 6 il modlo del ettore d ( c) ( ) c è pri (A) 0 (B) 6 (C) 1 (D) 18 (E) 36 SOLUZIONE. Si h ( c) 3i (1k) 36 mentre ( ) c 0 c 0. L rispost corrett è perciò (E). Qesto esercizio dimostr che il prodotto ettorile non gode dell proprietà ssociti. A5. Il prodotto ettorile di de ettori, pprtenenti l pino, è diretto nel erso dell sse z e il so modlo è 9. Se = 3i e i 5, il lore ssolto dell componente del ettore lngo, le (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5. (E) 8.5 SOLUZIONE Clcolimo il prodotto ettorile in form nlitic: 3 0 k k 3 k. Qindi Tenendo presente l definizione del modlo del ettore, possimo ricre il lore dell s componente lngo l sse : A6. L'ngolo formto di de ettori = 8i+6 e = 3i+4 le, in lore ssolto (A) 16º 16' (B) 36º 5' (C) 43º 8' (D) 73º 44' (E) 90º A7 Dti de ettori e, tli per ci + = 7 e = 3 il prodotto sclre le (A) (B) 3 (C) 5 (D) 10 (E) A8. Dti de ettori, con formnti tr loro n ngolo = 37 con prodotto sclre 0, il modlo le (A) 7.08 (B) 7.91 (C) 9.36 (D) 10.6 (E) 13.4 A9. Dimostrre che i ettori A = i + 1, B = 1.5i 3 e C = 3.5i +, disposti pnt-cod, sono i lti di n tringolo rettngolo. A10. Dti i ettori A = 3i + 5, B = 7i +, determinre ffinché i de ettori risltino perpendicolri. (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 4. (E) 8.5 A11. Dti i ettori A = i + 1 1k, B = 1i + zk, determinre e z ffinché i de ettori risltino prlleli. (A) 3, 4 (B) 3, 4 (C), 0.5 (D) 0.5, (E) 4, 3 4

5 A1. Il prodotto ettorile tr de ettori del pino, con =3i+4 e =i+ le 5k. Se è perpendicolre d, le componenti crtesine di lgono (A) 3, 4 (B) 3, 4 (C) 0, 5 (D) 4, 3 (E) 4, 3 A13. Il prodotto ettorile di de ettori, pprtenenti l pino, è diretto nel erso dell sse z (k) e il so modlo è 9. Se = 3i e il modlo di i 9 il lore ssolto dell componente del ettore lngo, le (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 5. (E) 8.5 A14. Il modlo di le 6 mentre = 18 e = 4. Tr le segenti ffermzioni è fls (A) e possono essere ssnti nel pino del disegno con = 6i e = i + (B) < (C) + > (D) L ngolo formto tr e è cto (E) Il ettore è completmente determinto * A15. Dti i ettori A = i k, B = 1i, determinre il ettore C di modlo 5 che si complnre d A e B. Il prolem h n solzione nic? 5