2 Grandezze vettoriali

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1 2 Grndee vettorili 2 Grndee vettorili Vettore spostmento Regol dell somm degli spostmenti Proprietà dell somm tr vettori Componenti crtesine di un vettore Prodotto tr vettori Significto di un relione vettorile Simboli collegti d un vettore Vettore spostmento. Supponimo di vere un pino e di vere un insetto, per esempio un formic, che si muov sul pino. L insieme delle posiioni vi vi occupte dll formic, mn mno che pss il tempo, si chim triettori, ed è rppresentt nel disegno dll curv blu. Supponimo che l formic ll'istnte di tempo t 1 si trovi nell posiione P 1 e ll'istnte t 2, nell posiione P 2 : indichimo con s il percorso effettuto dll formic nell'intervllo di tempo [t 1,t 2 ]. Osservimo però P che quest grnde, il 2 percorso effettuto, non contiene molte informioni. Inftti se si conosce l posiione iniile P 1 e il percorso P1 effettuto s nell'intervllo di tempo [t 1,t 2 ], è possibile predire l posiione finle solo se è not O in dettglio l triettori seguit dll formic. Il moto dell formic nell'intervllo di tempo [t 1,t 2 ] può essere nche rppresentto ttrverso il vettore spostmento (il segmento orientto dl punto di prten P 1 l punto di rrivo P 2 ). Si dirà llor che nell'intervllo di tempo [t 1,t 2 ] l formic h subito uno spostmento d P 1 P 2. Lo spostmento è, perciò, crtterito d un modulo (l distn tr P 1 P 2 ), un direione, (quell dell rett pssnte per P 1 e P 2 ), e un verso, (quello d P 1 P 2 ). Indicheremo lo spostmento con uno dei simboli comunemente usti per rppresentre un vettore, per esempio. Un vettore si rppresent con un segmento orientto, un segmento con un frecci d uno degli estremi: l lunghe del segmento rppresent il modulo del vettore, l rett di cui il segmento è prte definisce l direione del vettore, e l frecci definisce il verso del vettore. Tutti i segmenti orientti di pri lunghe e prlleli tr loro e con l frecci sempre dllo stesso lto rppresentno tutti lo stesso vettore. Infine per lcuni vettori si definisce nche il punto di pplicione. E' il punto iniile del vettore. Nel cso dello spostmento dell formic il punto di pplicione è il punto iniile P 1.

2 E' fcile notre che se si conosce l posiione iniile e lo spostmento subito dll formic nell'intervllo [t 1,t 2 ], è fcile predire l posiione finle sen l necessità di conoscere in dettglio l triettori seguit dll formic. 2.2 Regol dell somm degli spostmenti. Supponimo or che l formic, continundo spostrsi sul pino, ll'istnte t 3 si trovi nell posiione P 3. Indichimo con b lo spostmento subito dll formic nell'intervllo [t 2,t 3 ]: esso coincide con il segmento orientto P 2 P 3. Lo spostmento complessivo subito dll formic nell'intervllo [t 1,t 3 ], è dto dl segmento orientto P 1 P 3 che indichimo con c. Quest'ultimo vettore ltro non è che l somm dei due spostmenti prili, ossi l somm dello spostmento e dello spostmento b. Possimo dire che c = + b. L somm dei due vettori e b si ottiene grficmente come mostrto in figur, cioè riportndo il vettore b prtire dll'estremo del vettore ( o equivlentemente riportndo il vettore prtire dll'estremo del vettore b ): b l somm dei due vettori si otterrà P congiungendo il punto iniile del 2 P vettore con il punto estremo del 3 c vettore b (o equivlentemente congiungendo il punto iniile del P vettore b con il punto estremo del 1 b vettore ). Quest regol di somm v sotto il nome di regol del prllelogrmm. Il vettore somm è O inftti dto dll digonle del prllelogrmm vente per lti i vettori e b. Conseguen immedit dell regol del prllelogrmm è che l somm di due vettori è commuttiv, cioè: b + b = b + P 2 P Si dicono vettorili quelle grndee 3 c che sono rppresentbili con un modulo, un direione ed un verso e che si sommno con l regol del P 1 b prllelogrmm. (Nel seguito rppresenteremo le grndee vettorili con un letter in grssetto, con sovrppost un frecci.) Grndee vettorili, oltre llo spostmento, sono l velocità, l ccelerione, l for, l O quntità di moto, il cmpo elettrico, il cmpo mgnetico, etc. Abbimo già visto come lo G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

3 spostmento poss essere rppresentto come un segmento orientto. Anche le ltre grndee vettorili, pur non vendo le dimensioni di un lunghe, possono essere rppresentte grficmente con un segmento orientto di lunghe proporionle l modulo del vettore. Quelle grndee che invece sono rppresentbili solo con un numero, come l mss, il tempo, il lvoro, l'energi, l tempertur, il volume, l pressione, etc., si dirnno sclri. Not Bene: non tutte le grndee rppresentbili con un modulo, un direione e un verso sono dei vettori, ovvero si sommno con l regol del prllelogrmm. Un esempio sono le rotioni. Un rotione può essere rppresentt con un modulo: un direione: un verso: l'ngolo di rotione quell dell'sse di rotione verso positivo sull'sse di rotione per un rotione in senso ntiorrio, negtivo per un in senso orrio. Però le rotioni finite non si sommno second l regol del prllelogrmm, inftti non sono commuttive. G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

4 Prendete un libro, ssumete un sistem di riferimento con l'sse lungo il bordo inferiore, l'sse lungo il dorso, e l'sse uscente dll copertin e provte d eseguire due rotioni successive di 90, un rispetto ll'sse e l'ltr rispetto ll'sse. Osserverete che il risultto è diverso se si effettu prim l rotione rispetto ll'sse o quell rispetto ll'sse. Quindi le rotioni non soddisfno l regol del prllelogrmm e non sono rppresentbili con dei vettori. Tuttvi si può osservre che l differen tr i due stti finli, che si ottengono invertendo l'ordine delle due rotioni, è tnto più piccol qunto più piccol è l'mpie delle due rotioni: i due stti finli inftti coincidono (o differiscono per un infinitesimo) se le due rotioni sono infinitesime. Le rotioni infinitesime commutno, obbediscono cioè ll regol del prllelogrmm, e quindi si comportno come vettori. 2.3 Proprietà dell somm tr vettori. Abbimo già sottolineto che l somm di due vettori gode dell proprietà commuttiv, cioè: + b = b + sse proprietà che deriv direttmente dll regol di somm del prllelogrmm. Sempre medinte un rppresentione geometric, possimo verificre che l somm tr vettori gode dell proprietà ssocitiv: ( + b ) + c = + ( b + c ) + b + c e dell proprietà distributiv: + ( b + c ) = + b + c O b + c c " + b L'elemento neutro dell somm è il vettore nullo 0 che h modulo ugule ero, direione e verso indeterminti. L somm di un vettore e del vettore nullo è ugule l vettore stesso. + 0 = sse b sse 2.4 Componenti crtesine di un vettore. Considerimo il vettore, gicente nel pino : possimo pensre di ottenere come somm di due vettori 1 e 2, il primo prllelo ll'sse delle, il secondo prllelo ll'sse delle. I due vettori 1 e 2 sono mutumente ortogonli. = Si definiscono componenti crtesine del vettore i due sclri e che sono le proieioni di sull'sse e sull'sse rispettivmente. G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

5 In prticolre è ugule l modulo di 1 preso con il segno positivo se 1 è diretto secondo l'sse, con il segno negtivo se 1 è diretto in verso opposto quello dell'sse. In mnier nlog è positivo se 2 è diretto secondo l'sse, negtivo se diretto in verso opposto. Se θ è l'ngolo che il vettore form con l'sse ed è il modulo di, llor le due componenti crtesine e possono essere ottenute ttrverso = cos θ = sin θ u θ 1 2 Si osservi che le due espressioni precedenti determinno correttmente nche i segni delle componenti. Se invece sono note le componenti crtesine del vettore (, ). Ovvimente le due rppresentioni sono equivlenti: le relioni per pssre d un rppresentione ll'ltr sono dte d: O u = cos θ = = sin θ tnθ = D notre che mentre i vettori sono indipendenti dl sistem di coordinte usto, le componenti del vettore hnno significto solo se si specific il sistem di coordinte usto: per un sistem diverso, esse sono diverse. O Somm di due vettori utilindo le componenti crtesine. Supponendo di voler sommre i due vettori e b. 1 b b b c = + b Come già sppimo il vettore somm c si ottiene con l regol del prllelogrmm (vedi figur). Sempre dll figur è fcile rendersi conto che l componente del vettore somm, c, è dt dll somm delle b, componenti dei vettori e rispettivmente e b. In mnier nlog può essere ottenut l componente. In conclusione: c = ( + b ) c = ( + b ) Se niché essere nel pino, fossimo stti nello spio, llor ci srebbe stt nche l ter componente,, cioè c = ( + b ) G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

6 2.5 Prodotto tr vettori. Mentre nell'operione di somm i vettori ddendi devono essere omogenei, devono cioè rppresentre l stess grnde fisic (si possono sommre tr loro spostmenti, oppure velocità, o fore, etc, m non un for con uno spostmento), nel cso del prodotto tr vettori, i fttori non devono essere necessrimente dello stesso tipo. Si distinguono 3 tipi diversi di prodotto tr vettori: ) prodotto di uno sclre per un vettore. b) prodotto sclre tr due vettori c) prodotto vettorile tr due vettori Prodotto di uno sclre per un vettore ( c = k ). Il risultto del prodotto di uno sclre k per un vettore è ncor un vettore che h l stess direione del vettore, lo stesso verso se k è positivo, verso opposto se k è negtivo, e modulo pri k volte il modulo di. Se k Cso k=5 non è un numero puro, m h delle dimensioni, llor c rppresent un k grnde divers d quell rppresentt d (per es. se rppresent un k ccelerione e k è un mss, llor c è un for). Dl punto di vist delle componenti, fcendo riferimento ll figur si vede che: c = k c = k O k c = k Per vettori nello spio occorre tener conto nche dell ter componente,, Differen tr due vettori - b. Dll definiione di prodotto di uno sclre per un vettore ricvimo che il vettore - b è un vettore che h lo stesso modulo e direione del vettore b m verso opposto. L differen tr due vettori, e b, si interpret come l somm di col vettore - b, cioè: b = + ( b ) L differen tr due vettori coincide con l ltr digonle del prllelogrmm costruito con i due vettori (l ltr digonle è l somm). -b b " O b -b b b + b " b G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

7 Utilindo le componenti crtesine: b b b ( ) = b ( ) = b ( ) = b Versori. I vettori dimensionli di modulo unitrio si chimno versori. Un versore rppresent un direione ed un verso nello spio. Se u è un versore, il vettore prllelo e concorde con u di modulo si può rppresentre come: = u Deriv dll definiione di prodotto di uno sclre per un vettore. Prticolrmente importnti sono i versori u, u e u, che rppresentno l direione ed il verso rispettivmente degli ssi, e dell tern di ssi crtesini di riferimento. u O u Rppresentione di un vettore medinte le sue componenti crtesine. Dto il vettore, di componenti, (e ), ricordndo il significto delle componenti crtesine e dei vettori componenti, nonché l definiione di prodotto di uno sclre per un vettore, si può scrivere: = u + u (+ u ) Prodotto sclre tr due vettori ( c = b ). Il prodotto sclre si indic in generle con un puntino tr i due vettori. Il risultto del prodotto sclre di due vettori è uno sclre. c = b = b cosθ (1) dove θ è l'ngolo minore di 180 formto di due vettori. Il risultto del prodotto sclre è positivo se θ è minore di 90, negtivo se θ è compreso tr 90 e 180 ( i moduli e b sono, per definiione, positivi), nullo se θ è ugule 90. Poiché l (1) può nche essere scritt come: G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

8 b b θ (b cos θ) = b ( cos θ) possimo ffermre che il prodotto sclre si può clcolre come il prodotto del modulo del vettore per l proieione del vettore b sul vettore, oppure come il prodotto del modulo del vettore b per l proieione del vettore sul vettore b Proprietà del prodotto sclre: ) = cos 0 = 2 b) se è perpendicolre b, llor b = b cos 90 = 0 c) vle l proprietà commuttiv: b = b cos θ = b cos θ = b d) u = cos α = u = cos β = u = cos γ = e) u u = u u = = 1 u u = u u = u u = 0 g) vle l proprietà distributiv rispetto ll somm ( b + c ) = b + c Inftti, riferendoci ll figur possimo scrivere: c ( b + c ) = ( b + c ) cos θ = l OA l γ OH m l OH = b " + c " cosθ = b cosα + c cosγ b b + c pertnto α θ O H A ( b + c ) = ( b + c ) cosθ = ( b cosα + c cosγ) = = b cosα + c cosγ = b + c Nell figur i tre vettori sono complnri m è fcile convincersi che le proieioni di b e c su sono le stesse, nche se i tre vettori non sono complnri. Vlutione del prodotto sclre per meo delle componenti. Sino dti i due vettori: = u + u + u b = b u + b u + b u e. b = ( u + u + ) b u + b u + b ( ) = pplicndo due volte l proprietà distributiv e, successivmente l proprietà e), si ottiene: = u b u + u b u + u b + + u b u + u b u + u b + + b u + b u + b = = b + b + b G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

9 In prticolre: = = 2 Il prodotto sclre di un vettore per se stesso è ugule l modulo qudro Applicioni del prodotto sclre. 1) Dimostrre il teorem di Crnot utilindo le proprietà del prodotto sclre. Indichimo con, b e c le lunghee dei tre lti di un tringolo. Il teorem di Crnot fferm che c 2 = 2 +b 2-2b cos θ dove θ è l'ngolo tr i lti e b. θ c b Possimo fr corrispondere ciscun lto del tringolo un vettore e possimo scegliere i versi in mnier che si c = b. Applicndo l proprietà distributiv: c 2 = c c = b ( ) ( b ) = c.v.d. = b + b b b = 2 + b 2 2 b = 2 + b 2 2b cos θ 2) Trovre l relione tr i coseni direttori utilindo le proprietà del prodotto sclre. L relione d dimostrre è: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Si dto il vettore = u + u + u. Utilindo l proprietà d) possimo scrivere: = u + u + = u + u + = Allor: ( ) u ( u ) = cosα u + cosβ u + cosγ = ( ) cosα 2 = = 2 cosα u + cosβ u + cosγ d cui si può derivre che: ( ) = 2 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ( cos 2 α cos 2 β cos 2 γ) + + = 1 ( ) ( u + cosβ u + cos γ u ) = G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

10 c.v.d Prodotto vettorile tr due vettori ( c = b, c = b ). Il prodotto vettorile si indic con il segno, o il segno, tr i due vettori. Il risultto di un prodotto vettorile è un vettore. Il vettore c, risultto del prodotto vettorile b, è così definito: - l su direione è perpendicolre l pino individuto di due vettori e b. Pertnto il vettore c è perpendicolre si d che b. - il suo modulo è dto d c = b sin θ, dove θ è l'ngolo minore di 180 tr e b. (N.B. con quest limitione sull'ngolo, c è un numero positivo) c b θ - il suo verso è determinto dl verso indicto dl dito medio dell mno destr qundo il pollice è disposto secondo il vettore e l'indice secondo il vettore b. Cioè i vettori, b e c sono disposti come gli ssi, e di un tern crtesin destrors. (E' fcile pplicre l regol dell mno destr qundo i vettori e b sono ll'incirc ortogonli. Qundo non è così llor divent complicto disporre le dit dell mno destr secondo i vettori e b. Dobbimo però notre che, in un prodotto vettorile, l cos importnte è l componente di b ortogonle d ( b sin θ ), per cui bsterà disporre l'indice secondo l componente di b ortogonle d. Un mnier lterntiv per definire il verso del vettore c = b, consiste sempre nell'uso dell mno destr, quest volt però chius pugno e con il pollice sollevto. Si orienti il pugno in G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

11 mnier che le dit indichino il verso in cui deve ruotre, dell'ngolo θ minore di 180, il vettore per sovrpporsi l vettore b. Allor il vettore c = b srà diretto secondo il pollice Proprietà del prodotto vettorile: ) Il prodotto vettorile non è commuttivo inftti b = - b. b) Se e b sono prlleli, llor b = 0. c) Se e b sono perpendicolri, llor b = b. d) u u = 0 u u = u u u = u e) f) u u = 0 = 0 u u = u u u = u u = u u u = u g) Il prodotto vettorile gode dell proprietà distributiv rispetto ll somm b + c ( ) = b + c Vlutione del prodotto vettorile per meo delle componenti. Sino dti i due vettori = u + u + u e b = b u + b u + b u Il prodotto vettorile b è dto d: ( ) b c = b = u + u + pplicndo l proprietà distributiv, si h:. ( u + b u + b ) = u b u + u b u + b u + + u b u + u b u + b u + + u b + u b + b = = 0 b u + b u + + b u + 0 b u + b u + b u + 0 = G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

12 = ( b b ) u + ( b b ) u + ( b b ) u Si può perciò scrivere: c = b b c = b b c = b b Utilindo le proprietà dei determinnti si può scrivere: b = u u u = b b b = u b b u b b + b b = = ( b b ) u + ( b b ) u + ( b b ) Possimo verificre che c è perpendicolre d e b. Clcolimo c : c = c + c + c = b b + + b b + b b = Momento di un vettore. Si V un vettore pplicto d un punto P, l cui posiione rispetto l "polo" O è individut dl vettore posiione r, si definisce momento del vettore V rispetto l polo O il seguente prodotto vettorile: M = r V Il modulo del momento è dto d M = rv sin θ = bv, dove θ è l'ngolo tr r e V, mentre b è l distn del punto O dll rett di ione del vettore V e viene chimto brccio. L direione del momento è quell perpendicolre l pino che contiene r e V, mentre il verso può essere determinto con l regol dell mno destr Interpretione di un superficie come un vettore. G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

13 b h = b sin θ Con riferimento ll figur, l're del prllelogrmm è dt d: A = h = b sin θ θ Are = h = bsinθ = b Fcendo corrispondere i vettori e b i due lti del prllelogrmm come mostrto in figur, possimo osservre che il prodotto vettorile b h come modulo proprio l're del prllelogrmm. L superficie del prllelogrmm d'ltr prte b. Se si b, b. individu un direione: quell normle ll superficie, che poi è nche l direione di ssegn ll superficie nche uno dei due versi possibili, per esempio quello coincidente con llor possimo pensre di rppresentre l superficie del prllelogrmm con il vettore 2.6 Significto di un relione vettorile. Considerimo un relione vettorile = b Dire che il vettore è ugule l vettore b, vuol dire che i due vettori hnno lo stesso modulo, l stess direione e lo stesso verso. In termini di componenti questo vuol dire che comunque si scelgono due (nel pino, tre nello spio) direioni mutumente ortogonli, le componenti crtesine dei due vettori devono essere uguli. L singol equione vettorile risult pertnto equivlente due (nel pino, tre nello spio) equioni sclri tr le componenti. Scegliendo le direioni degli ssi coordinti, (e ): si vrà: = b = b = b ( ) = b Considerimo l second legge di Newton: F = m Sull bse di quello che bbimo visto deve essere: F F F ( ) = m ( ) = m ( ) = m ( ) ( ) [ ( ) ] M: ( F ) = F. Relioni simili ll precedente vlgono per le ltre proieioni. Inoltre ( m ) = m e similmente per le ltre proieioni. All fine si può dire che l equione vettorile G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/

14 F = m è equivlente due (se simo nel pino, tre se simo nello spio) equioni sclri del tipo: F = m F = m F = m [ ] comunque si scelgno le direioni degli ssi, (e ), purché mutumente ortogonli tr di esse. Not bene: mentre l'equione vettorile è sempre l stess qulunque si il sistem di riferimento crtesino scelto, le tre equioni sclre d ess corrispondente mntengono solo l form pssndo d un sistem di riferimento d un ltro: inftti i vlori delle componenti srnno diverse in sistemi di riferimento diversi. ' ' O i 1 ' 2 ' 2.7 Simboli collegti d un vettore Supponimo di vere il vettore. Richimimo in questo prgrfo finle i simbili ed il loro significto che sono collegti l vettore. Simbolo r θ t n u Significto Il simbolo con cui si indic l grnde vettorile. Sui testi il simbolo utiliti per rppresentre le grndee vettorili è in grssetto. Nei mnoscritti, dove non è possibile scrivere in grssetto, il simbolo usto per rppresentre un grnde vettorile deve essere opportunmente distinto di simboli che si usno per rppresentre grndee sclri, per esempio su us mettere un freccett sopr l simbolo dell grnde vettorile. Lo stesso simbolo utilito per rppresentre l grnde vettorile qundo viene scritto non in grssetto (oppure sen l frecci sopr) indic il modulo del vettore. Componente del vettore Componente del vettore Componente del vettore Componente rdile (ovvero prllel l vettore posiione, se positiv h lo stesso verso del vettore posiione) del vettore Componente trsvers (ovvero perpendicolre l vettore posiione, se positiv è dispost +90 rispetto l vettore posiione) del vettore Componente tngente ll triettori del vettore Componente normle (perpendicolre ll triettori dirett verso l concvità dell triettori) del vettore Versore del vettore, u h l stess direione e lo stesso verso di Vettore componente di prllelo ll sse Vettore componente di prllelo ll sse Vettore componente di prllelo ll sse G.P. Mggi - Leioni di Fisic Generle per Ingegneri Edile AA 2013/