Cinematica ed equilibrio del corpo rigido

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1 inemtic ed equilirio del corpo rigido Spostmenti virtuli Lvori virtuli ed equilirio Determinzione sttic Numero dei vincoli e determinzione pprofondimenti: lvoro virtule pprofondimenti: forze e momenti olitecnico di Torino 1

2 Spostmenti virtuli (1/9) In un corpo rigido i punti sono tr loro vincolti distnze invriili. X olitecnico di Torino 2

3 iò implic un relzione tr le velocità Spostmenti virtuli (2/9) d dϑ = dt dt qui disegnte per rppresentre gli spostmenti infinitesimi che hnno luogo nel tempo dt, ltrimenti non visiili sul disegno. X 5 Spostmenti virtuli (3/9) È possiile mettere in relzione dirett gli spostmenti infinitesimi di un punto qulsisi X dto il moto di un punto e l rotzione del corpo dϑ: dx = d + i d ϑ X X olitecnico di Torino 3

4 Spostmenti virtuli (4/9) Si distingue or tr gli spostmenti effettivi infinitesimi che il corpo suisce, un dto istnte, cus di un movimento rele X 7 Spostmenti virtuli (5/9) e, invece, gli spostmenti infinitesimi che il corpo potree suire (vrizione di posizione che si relizz senz che occorre stilirne l durt di tempo) rispettndo solmente i vincoli interni di movimento reltivo tr i suoi punti, più eventuli condizioni di vincolo esterno. Questi ultimi sono spostmenti possiili rispettndo solo le condizioni di vincolo cinemtico, e, per distinguerli d quelli reli, vengono indicti con un simolo diverso, δ : δx = δ + i δϑ X olitecnico di Torino 4

5 Spostmenti virtuli (6/9) Esempio 1 di moto virtule Esempio 2 di moto virtule δ δ δx X δx X 9 Spostmenti virtuli (7/9) Esempio 3 di moto virtule δ=0 Il moto virtule più generle può essere l composizione dei tre moti qui rppresentti, ciscuno scelto con vlori ritrri, e vettorilmente si scrive: δx X δx = δ + i δ ϑ X olitecnico di Torino 5

6 Spostmenti virtuli (8/9) recisimo ncor: il moto rele del corpo rigido può essere nullo (quiete) oppure un moto uniforme, o infine un moto ccelerto. ogni istnte produce, in un tempo infinitesimo, un vrizione di posizione infinitesim rele. Uno spostmento virtule è invece un vrizione infinitesim di posizione del corpo tr quelle cinemticmente possiili, senz che si de effettivmente verificre. 11 Spostmenti virtuli (9/9) Gli spostmenti virtuli sono vrizioni di posizione infinitesime tr un prim e un dopo in un tempo irrilevnte, e non producono forze d inerzi olitecnico di Torino 6

7 Lvoro virtule (1/3) rendimo un sistem rigido, e considerimo l presenz di forze (reli) e di spostmento (virtule). Descrivimo il moto dei punti,,., rispetto l punto : δ δ δ δ δ =δ +δϑi δ = δ +δϑi δ = δ +δϑi... δ X = δ +δϑix olitecnico di Torino 7

8 Nei punti sono inoltre pplicte forze: Lvoro virtule (2/3) F δ δ F,F,F...,F F δ δ F F 15 Il sistem è in equilirio se il lvoro compiuto dlle forze per uno spostmento virtule (infinitesimo comptiile con l cinemtic del corpo rigido), è nullo. Tle lvoro è l somm: F δ + F δ + F δ + F δ +... = 0 δ =δ +δϑi ( F + F + F + F +... ) δ + ( K K) δϑ F i + F i + F i = 0 Lvoro virtule (3/3) δ =δ +δϑi δ =δ +δϑi olitecnico di Torino 8

9 Siccome δ e δϑ possono essere dti indipendentemente, si ottengono due equzioni: Vettorile, equivlente due sclri, F + F + F + F... = 0 Equzioni di equilirio (1/2) lvoro dovuto ll trslzione con ; dice che l somm delle forze deve essere null. Sclre F i + F i + KF i... = 0 lvoro dovuto ll rotzione ttorno 17 Equzioni di equilirio (2/2) quest dice che l somm dei momenti rispetto l polo deve essere null. F i = F cosϕ è il momento di F rispetto (definizione usule: forz x rccio) perché: F F ϕ ϕ H F i { cos ϕ { olitecnico di Torino 9

10 Equivlenz del polo dei momenti (1/4) Se il polo è un ltro, Q, ovvimente il momento deve essere nullo rispetto Q δ X = δ Q+δϑiQX rotzione unic per tutto il corpo! Il lvoro virtule compiuto in un rotzione ttorno Q più uno spostmento dq di Q: (imo scelto un Q in cui non è pplict un forz) ( F + F + F + F +... ) δ Q + ( ) +δϑ F i Q + F i Q + F i Q + F i Q +... = 0 19 Equivlenz del polo dei momenti (2/4) m: ( F + F + F + F +... ) δ Q + ( ) +δϑ F i Q + F i Q + F i Q + F i Q +... = 0 QX = Q + X F x X = ( Q + )... } Q... = ( Q + ) olitecnico di Torino 10

11 Equivlenz del polo dei momenti (3/4) Sostituendo e rccogliendo: ( F + F + F + F +...) δ Q + =0! lvoro dell forz risultnte pplict in Q, prodotto dll trslzione di Q ( ) +δϑ F + F + F + F +... i Q + lvoro dell forz risultnte pplict in Q, prodotto dll rotzione ttorno ( ) +δϑ F i + F i + F i... = 0 lvoro delle forze pplicte nei punti,,, prodotto dll loro rotzione ttorno 21 Equivlenz del polo dei momenti (4/4) Le stesse equzioni già soddisftte per l riduzione rispetto l polo ; F + F + F + F... = 0 F i + F i + F i... = 0 nnullno il lvoro prodotto dlle stesse forze per lo stesso moto m descritto come roto-trsltorio ttorno l polo Q. onsegue che si potrà liermente scegliere il punto si ritiene più comodo che come polo per il clcolo dei momenti olitecnico di Torino 11

12 Vincoli e determinzione (1/3) Un struttur locct, o cinemticmente sovrdetermint possiede vincoli che impediscono i movimenti. ogni grdo di liertà (cinemtico) loccto corrisponde un rezione vincolre: cioè, ogni spostmento loccto corrisponde un forz, d ogni rotzione locct corrisponde un momento. I vincoli, esercitndo forze e momenti, equilirno i crichi esterni pplicti e tengono ferm l struttur. Queste forze e momenti non sono noti, e occorre determinrli olitecnico di Torino 12

13 Vincoli e determinzione (2/3) lcune strutture hnno rezioni vincolri (componenti sclri) in numero pri lle equzioni di equilirio indipendenti che si possono scrivere. In tle cso le equzioni di equilirio consentono di determinre le rezioni vincolri. L struttur è stticmente determint: dte le forze esterne, l insieme delle rezioni vincolri è unico. 25 Vincoli e determinzione (3/3) Se invece le componenti sclri delle rezioni vincolri sono più delle equzioni di equilirio che si possono scrivere, queste ultime non possono determinre le rezioni vincolri. L struttur è, in tl cso, stticmente indetermint: dte le forze esterne l insieme delle rezioni vincolri non è unico olitecnico di Torino 13

14 Struttur determint (1/4) Esempio 1: struttur stticmente determint (nche dett isosttic): tre equzioni, tre incognite. F F F H V V F 27 Struttur determint (2/4) Equzioni: 1- Equilirio orizzontle: H + F 0 = 2 - Equilirio verticle: V + V + F = Momento ttorno : V V = 0 (tr tutte le scelte possiili, l scelt di è l più conveniente perché rispetto d esso si F si F hnno momento nullo, e quindi non compiono nell equzione) olitecnico di Torino 14

15 2006 olitecnico di Torino D queste equzioni si ottiene, con qulche pssggio: F H = F V + = F V + = meglio sempre verificre l equilirio: F F V V = + come deve essere! Struttur determint (3/4) 30 Le equzioni erno tre, m possono essere sostituite con ltre tre più intelligenti. er l equilirio orizzontle c è poco d fre; m per V e V si possono scrivere: Momento ttorno : Momento ttorno d : ( ) F V 0 F V + = = + ( ) F V 0 V F + = = + Struttur determint (4/4)

16 Struttur indetermint Esempio 2: struttur stticmente indetermint (nche dett ipersttic): tre equzioni, quttro incognite. F F F H V M V F olitecnico di Torino 16

17 onteggio delle rezioni vincolri nel pino Semreree che, dto che le equzioni di equilirio nel pino sono tre (orizzontle, verticle, momento), ovvero il numero di rezioni vincolri de essere pri tre. D qunto visto fino d or semr che qundo i grdi di liertà loccti sino in numero mggiore di 3 l struttur si sempre indetermint, che si determint invece se il loro numero è tre. Invece, non è detto! Vedimolo con tre controesempi. 33 Indeterminzione pprente (1/8) ontro-esempio 1 d d F D F E E H M V F D V D 34 E F E 2006 olitecnico di Torino 17

18 Indeterminzione pprente (2/8) i sono 4 rezioni vincolri; m l struttur non è indetermint: il trucco st nell cernier intern, che divide l struttur in due prti determinte. L equilirio orizzontle fornisce H =0. er l equilirio ll rotzione del solo trtto (,D,E): F d FE d = 0 d d cioè: F = F E F D V D 35 E F E Indeterminzione pprente (3/8) e inoltre per l equilirio verticle: F =F E D F E F F + V = 0 V = F + F = E D D E 2F E V D M per l equilirio del trtto (,, ): V F F + F + F E E = 0 ( + ) H M V F F = F E olitecnico di Torino 18

19 Indeterminzione pprente (4/8) ontro-esempio 2 (nlogo l precedente) F 45 D c pprentemente si hnno 4 componenti di rezioni vincolri 37 Indeterminzione pprente (5/8) M, per l equilirio ll rotzione, il trtto D, incernierto gli estremi, deve vere l risultnte di V D e H D pssnte per (il momento totle rispetto deve essere nullo quindi l risultnte deve vere rccio nullo). F V H 45 D V D H D olitecnico di Torino 19

20 Indeterminzione pprente (6/8) Quindi:le rezioni vincolri effettivmente incognite sono solo 3 (V, H, V D ). Risolvetele! 45 D H D F V D V H HD = - V D 39 Indeterminzione pprente (7/8) Vle l pen di notre che è più veloce ed elegnte l soluzione grfic: il corpo è soggetto tre forze, di cui due di direzione not (F e l rezione in ). V H dir. not F dir. not HD = - V D Le tre forze devono incontrrsi in un punto comune: che può essere polo dei momenti, quindi il momento rispetto d esso deve essere nullo olitecnico di Torino 20

21 Indeterminzione pprente (8/8) L costruzione del tringolo delle forze (equilirio ll trslzione) fornisce i vlori delle forze. F dir. not F dir. not V H H D = - V D 41 Lilità (1/2) ontro-esempio 3 i sono infine csi di vincoli in numero pprentemente sufficiente, m posti in strutture lili: D olitecnico di Torino 21

22 Lilità (2/2) Le rezioni sono 3: V, H, V D m l struttur è un meccnismo V H V D D È fcile verificre che il trtto D non può soddisfre ll equilirio ll rotzione olitecnico di Torino 22

23 lcolo di un rezione vincolre (1/3) lcolimo, titolo d esempio, selettivmente un rezione vincolre utilizzndo gli spostmenti virtuli: F F V 45 lcolo di un rezione vincolre (2/3) Lierimo il vincolo in e ssegnimo uno spostmento virtule comptiile con i vincoli residui, quindi un rotzione ttorno d : F δϑ V Spostmento verticle in : δϑ Spostmento verticle in : (+) δϑ olitecnico di Torino 23

24 lcolo di un rezione vincolre (3/3) Il lvoro virtule vle: -F δϑ+ V (+) δϑ =0 d cui: V = F + F δϑ V δϑ (+) δϑ olitecnico di Torino 24

25 Relzioni grfiche tr velocità (1/3) L comptiilità cinemtic delle leggi di corpo rigido implic che dt un velocità v in, e dt un velocità v in, comptiile, l velocità v X in X deve essere comptiile X con medue. Quindi, uguli proiezioni sulle congiungenti. 49 X Relzioni grfiche tr velocità (2/3) Sottrendo ovunque l velocità v di (somm vettorile col vettore verde = v ) si ottengono i vettori lu che rppresentno il solo moto rottorio reltivo l punto. = olitecnico di Torino 25

26 Relzioni grfiche tr velocità (3/3) I vettori così ottenuti sono: X ortogonli lle rispettive congiungenti con il punto proporzionli ll distnz tr il punto (di cui sono velocità reltiv) e il punto. 51 Significto del momento di un forz (1\2) Indicto con il vettore lu lo spostmento δ reltivo (virtule) del punto rispetto (moto reltivo di rotzione) il lvoro dell forz nell direzione dello spostmento virtule dovuto ll rotzione è F ϕ δϑ F iδϑ = = F δϑ cos ϕ olitecnico di Torino 26

27 Significto del momento di un forz (2\2) Not ene: significto di momento di un forz F ϕ ( i) δϑ ϕ cos ϕ F F cosϕ F iδϑ = lvoro = F { cos ϕ δϑ momento ( i) δϑ cosϕ 53 F' ' X Equivlenz tr sistemi di forz (1/4) Equivlenz per trslzione di un forz lungo l su rett d ppliczione: F' X X che l forz si F' x o F' ' x (uguli in modulo) non cmi né il contriuto dell forz ll somm delle forze, né il suo momento rispetto un polo olitecnico di Torino 27

28 Equivlenz tr sistemi di forz (2/4) Equivlenz per trslzione di un forz su un rett d zione prllel quell dt: F' X H Forz F ' in X' : lvoro virtule= ( ) = F' δ +δϑ F' ix' = = F' δ +δϑf' H' 55 Equivlenz tr sistemi di forz (3/4) Il lvoro virtule di F si può scrivere: F' δ +δϑ F' H' = F' δ +δϑ F' H'' +δϑf' H'' H' con: F ' = F '' = F = F'' δ +δϑ F H'' +δϑf H'' H' { H d X d H F' F'' X olitecnico di Torino 28

29 Equivlenz tr sistemi di forz (4/4) F' δ +δϑf' H' lvoro di F' in X' = F'' δ +δϑf H'' +δϑ Fd lvoro di F'' in X' ' lvoro del momento di trsporto F' X F'' X d H H M Un forz F trsportt su un rett prllel distnz d produce un medesimo lvoro virtule se si ggiunge un momento di trsporto: M=F d 57 oppi (1/2) Due forze di ugule modulo e di segno opposto costituiscono un coppi, l cui risultnte è null il cui momento rispetto un punto vle: H F H' FH'' = F H = F( H' H'' ) = F = F Il momento di un coppi di forze è invrinte l vrire del polo rispetto cui si clcol il momento olitecnico di Torino 29

30 Trsportndo le due forze dell coppi prllelmente loro stesse di un comune quntità d il momento di trsporto complessivo è: +F d F d=0 d oppi (2/2) F F Un coppi di forze, revemente coppi, h momento di trsporto nullo olitecnico di Torino 30