RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA a ( ) { } f con, è la parabola di equazione y = ax + bx + c. Vogliamo disegnarla. 2

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Ottavio Franceschini
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1 APPENDICE 1 AL CAPITOLO 3: RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELLA PARABOLA Per 0 l insieme,y / y = + + c, grfico dell funzione f = + + c { } f con, è l prol di equzione y = + + c Voglimo disegnrl non è difficile disegnre l prol di equzione y = (grfico dell funzione f con f = ): il sottoinsieme di R l di sopr dell prol è convesso e simmetrico rispetto ll sse y l prol h il vertice nel punto ( V,yV ) = ( 0,0) risultno Dom ( f ) = (, + ) e Im( f ) = [ 0,+ ) (quest ffermzione non è ncor giustificile) rgionmenti nloghi possono essere ftti per l prol di equzione y =, con > 0 nche l prol di equzione f = ) non srà difficile d rppresentre: y = (grfico dell funzione f con è l simmetric rispetto ll sse dell prol di equzione y = è un prol concv perché il sottoinsieme di R l di sotto dell prol stess è convesso l prol è simmetric rispetto ll sse y l prol h il vertice nel punto ( V,yV ) = ( 0,0) risultno Dom ( f ) = (, + ) e Im( f ) = (,0] rgionmenti nloghi possono essere ftti per l prol di equzione y =, con < 0 noto l rppresentzione grfic dell prol di equzione y = non è difficile rppresentre grficmente nche le prole di equzione y = 1 e y = ( ) Le rppresentzioni di queste sono legte ll precedente d un trslzione orizzontle (verso destr), di un e quttro unità rispettivmente L rppresentzione grfic dell prol di equzione y = + si ottiene trslndo orizzontlmente verso sinistr di due unità l rppresentzione grfic, not, dell prol di equzione y = L rppresentzione grfic dell prol di equzione ( ) + y = può essere ottenut dll rppresentzione grfic dell prol di equzione y = ( ) medinte un su trslzione verticle (verso l lto) Le trslzioni corrispondono dei cmimenti del sistem di riferimento 1

2 Si può generlizzre PROPOSIZIONE Si (,y) / y = ( + ) 0 : risult {(,y) / y = + + c}= + c = V,yV, c e l rett di l prol h il vertice nel punto equzione + 0 = è di simmetri DIMOSTRAZIONE Primo punto: + + c = ( + α) + β ( + α + α ) + β + + c = + + c = + α + α + β (per il principio di identità dei = α α = polinomi) α = c = α + β β = c α β = c ( ) α = β = c Secondo punto: l sciss del vertice è V = mentre l su ordint, dll relzione ( y = + ) + c, risult essere y V = c Per qunto visto in precedenz simo in grdo di disegnre l prol di equzione ( y = + ) + c ESEMPIO rppresentre grficmente l prol di equzione y = + 1 Poiché =1, =, c = 1, = = 1 e c = 1 = 0, llor si può riscrivere l equzione dell prol nell form y = 1 rppresentre grficmente l prol di equzione y = In questo cso, risultndo =1, = 8, c = 18, = e c = 18 6 form y = + =, si può riscrivere l equzione dell prol nell

3 NOTA Per 0 se voglimo risolvere l equzione di secondo grdo + + c = 0 possimo equivlentemente risolvere l equzione + + c = 0 Allor ( + ) + c = 0 ( + ) + c = 0 ( ) c + = ( + ) = c Deve essere in ogni cso = c 0 Per > 0 risult ( + ) = c c + = oppure c + = c = + oppure c = c = ± per < 0 risult ( + ) = c c + = oppure c = + oppure c = oppure c = ± c + = c = c = + Si l funzione f con = + c f + Per quest funzione risult Dom ( f ) = (, + ) Se > 0, llor Im( f ) = [ yv,+ ) = c,+ se < 0, llor Im( f ) = (,yv ]=,c NOTA Per l insieme immgine si può rgionre nche in un ltro modo y Im( f ) esiste Dom( f ) tle che y = + + c l equzione (di secondo grdo in, con y come prmetro) + + c y = 0 h lmeno un soluzione in Dom ( f ) Questo ccde se = ( c y) 0 e le soluzioni sono 1, ± ( c y) = 3

4 Cso > 0: c y 0 ( c y) f = c, + c y y c e Im Notimo che per y > c i vlori di cui corrisponde y sono due Cso < 0: ( c y) 0 ( c y) c y y c e Im f =,c Notimo che per y < c i vlori di cui corrisponde y sono due ESEMPIO rppresentre grficmente l funzione f con f = In questo cso, per l funzione, si può riscrivere 8 Inoltre f = 0 se e solo se = e 5 17 f = = rppresentre grficmente l funzione f con = f In questo cso risultno f = 3 ( 1) + e (,y ) ( 1, ) 3 3 V 3 3 V = { } NOTA per 0 nche l insieme (,y) / = y + y + c è un prol Precismente è l prol di equzione = y + y + c, con l sse di simmetri prllelo ll sse Si potreero ripetere tutti i rgionmenti ftti precedentemente, not un rppresentzione grfic dell prol di equzione = y se voglimo rppresentre grficmente l prol di equzione y + y + 5 = 0 possimo procedere nel modo seguente Poiché y + y + 5 = 0 = y y 5, llor con = 1, =, c = 5, = = 1 e c = 5 = 6 L equzione dell prol può essere riscritt nell form = ( y 1) 6 ovvero ( + 6) = ( y 1) Non è or difficile disegnre l prol RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL IPERBOLE

5 Gli insiemi: {(,y) / y + + cy + d, con 0 e d 0, {(,y) / y + d =, con d 0, {(,y) / y + d, con d 0, sono iperoli Voglimo disegnrle Per gli insiemi l primo punto esiste un funzione di cui l insieme stesso è il grfico ESEMPIO Considerimo l equzione y 1 = 0 ( = 1, = c = 0 e d = 1) Quest non h soluzioni se y = 0 Allor, per 0, si può scrivere y 1 = e l insieme {(,y) / y 1 coincide col grfico dell funzione dell funzione f con f = 1 Dom( f ) = (, 0 ) ( 0, + ) e Im( f ) = (, 0 ) ( 0, + ) inftti, fissto y (, 0 ) ( 0, + ), risult f 1 1 = = y y 1 y ESEMPIO Considerimo l equzione y d = 0 Allor, per 0, si può scrivere d y = L insieme {(,y) / y d coincide col grfico dell funzione f con f = d L rppresentzione dei grfici di queste funzioni è molto simile ll rppresentzione del grfico dell funzione nell esempio precedente coincidono se, sull sse y, si usno due diverse ed opportune unità di misur PROPOSIZIONE Sino 0 e d 0 Risult {(,y) / y + + cy + d =,y / + c y + = c d DIMOSTRAZIONE Dividendo per l espressione y + + cy + d = 0, ottenimo, equivlentemente, l espressione y + + c y + d = 0 D ltr prte ( + α)( y + β) = γ y + β + αy + αβ γ = 0 Allor le equzioni y + + cy + d = 0 e ( + α)( y + β) = γ sono equivlenti (hnno le stesse soluzioni) se e solo se α = c, β = e αβ γ = d, γ = αβ d = c d 5

6 ESEMPIO Rppresentre grficmente l insieme {(,y) / y + 3y 1 Nell equzione y + 3y 1 = 0 imo = 1, =, c = 3, d = 1, c = 3, = e c d = ( ) 3 1 ( 1 ) = 5 Allor {(,y) / y + 3y 1 = {(,y) / ( + 3)( y ) = 5} Prtendo dl grfico, noto, dell iperole di equzione y = 5 il grfico dell iperole di equzione ( + 3)( y ) = 5 si ottiene dl precedente con un trslzione (cmimento di vriili) Esttmente si trsl il grfico, in senso orizzontle, di tre unità verso sinistr e, in senso verticle, di due unità verso l lto Per gli insiemi l secondo e terzo punto non esiste un funzione di cui l insieme stesso è il grfico ESEMPIO Rppresentre grficmente l iperole,y = 0 { } Comincimo con l osservre che l insieme (,y) { { 1 { delle simmetrie: (,y) (,y) / y (,y)(,, y)(,, y) (,y) h (segue dl ftto che ( ± ) ( ± y) 1 = y 1) Possimo inizire col considerre l prte del nostro insieme contenut nel primo qudrnte ( 0 e y 0 ): y 1 = 0 y = 1 y = 1 L funzione g tle che g ( ) = 1 è definit per [,+ ) 1 ed il suo grfico è rppresentto in figur Per vlori di molto grndi i numeri e 1 non differiscono di molto: il grfico dell funzione si vvicin ll rett di equzione y = Utilizzndo le simmetrie, l insieme (,y) { Allor {,y {,y / F, y = 1} può essere rppresentto dl seguente disegno Si F l funzione definit in R con F(,y) y coincide = con l insieme di livello 6

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