LABORATORIO DI MATEMATICA LE FUNZIONI
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- Benvenuto Mori
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1 LABORATORIO DI MATEMATICA LE FUNZIONI Le funzioni ESERCITAZIONE GUIDATA Dt l funzione fx ( ) = x+ b, con! 0, con Excel costruimo un foglio elettronico che: legg i vlori dei coefficienti e b; stbilisc il dominio dell funzione corrispondente; determini le eventuli intersezioni con gli ssi crtesini del grfico dell funzione; trcci il grfico dell funzione. Per ricvre il grfico il foglio deve: leggere gli estremi x e x di un intervllo I; controllre che I pprteng l dominio dell funzione; cricre un tbell con i vlori di x vribili in I con i corrispondenti vlori dell funzione. Provimo il foglio ponendo = - e b = e scegliendo per il grfico di f l intervllo [- ; ]. L nlisi del problem Osservimo che l funzione fx ( ) = x+ b-, con! 0, è un funzione irrzionle. Il dominio dell funzione è dto di vlori di x per cui si h x + b $ 0, ossi: b b D: se 0, x $- ; se 0, x #-. Se b $ 0, l intersezione con l sse y è in (0; b - ), ltrimenti non esiste. b Risolvendo l equzione irrzionle x + b - = 0, ottenimo x = -. Fccimo l verific - b + b - = 0, che, essendo soddisftt, ci permette di dire che l intersezione con l sse x esiste sempre e le sue coordinte sono dte d b - b ;0l. L costruzione del foglio Scrivimo i testi e mettimo dei bordi lle celle B e B6, per indicre dove immettere i vlori dei coefficienti e b, come vedimo in figur. Scrivimo i titoli per leggere i risultti, unendo due celle con il bottone Unisci e Centr, come vedimo in figur. Controllimo il coefficiente, digitndo in B5 l formul = SE(B = 0; Il dto non è ccettbile ; ), che segnl il vlore 0 per o lsci l cell vuot. Per mostrre il dominio, digitimo = SE(B 0; x $ ; x # ) in A9 e = - B6/B in B9. Per ricvre l intersezione del grfico con l sse x, digitimo per l sciss = ( - B6)/B in A e per l ordint 0 in B. Determinimo l eventule intersezione con l sse y digitndo per l sciss = SE(B6 0; non esiste ; 0) in A5 e per l ordint = SE(B6 0; ; RADQ(B6) - ) in B5. Fccimo operre il foglio digitndo i dti consigliti per e per b, - in B e in B6 (figur ). Figur Il foglio con i risultti del cso proposto dl problem. Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn
2 L tbell per il grfico Inserimo nel foglio i titoli e le intestzioni dell tbell necessri per ricvre il grfico dell funzione e mettimo dei bordi lle celle F e F, per indicre dove inserire gli estremi dell intervllo di vrizione dell x, come vedimo in figur. Controllimo l pprtenenz dell intervllo scelto l dominio dell funzione e, in cso ffermtivo, clcolimo l incremento dell x digitndo in F6 l formul = SE(F = F; L estremo inferiore di I non è minore dell estremo superiore ; SE(O(E(B 0; F B9); E(B 0; F B9)); I non pprtiene l dominio dell funzione ; (F - F)/0)). Per ottenere i vlori di x digitimo = F in E0, = E0 + $F$6 in E e l copimo fino ll E0. Ricvimo i vlori dell funzione, scrivendo l formul = RADQ ($B$*E0 + $B$6) - in F0 e copindol fino ll F0. Immettimo - in F e in F ricvndo l tbell con le coordinte dei punti del grfico di f(x) (figur ). Il grfico Per relizzre il grfico evidenzimo l zon E9:F0 e dimo il comndo Inserisci_Grfico. Nell prim finestr di dilogo sceglimo il tipo Dispers(XY) e il sottotipo Dispersione con coordinte unite d linee smusste. Nell second confermimo le proposte di Excel. Nell terz ssegnimo un titolo l grfico f(x) = RADQ(*x + b) - e toglimo l grigli. Nell qurt sceglimo di crere un nuovo foglio grfico. Figur L tbell per il grfico dell funzione. Dopo che Excel h relizzto il grfico, toglimo il colore llo sfondo, sostituimo il colore dell line e degli indictori dei punti con il colore rosso e spostimo con il mouse l legend dentro l grfico. Al termine delle vrizioni vedimo il grfico di figur. Figur Il grfico dell funzione nell intervllo [- ; ]. Esercitzioni Per ognun delle seguenti funzioni determin, con l iuto del computer, i coefficienti e b in modo che i punti C e D pprtengno l grfico dell funzione. Rppresent tle grfico. fx ( ) =, ( ; ) x + b C - - e D (. ; ) [, ] fx ( ) = - x+ b, C(0; ) e D( 8; - ) [, ] Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn
3 Per ognun delle seguenti coppie di funzioni f e g costruisci con il computer due tbelle con tre colonne ciscun. Prim tbell: lcuni vlori dell x, i corrispondenti vlori dell f e dell g% f; second tbell: lcuni vlori dell x, i corrispondenti vlori dell g e dell f% g. Trcci inoltre, in un riferimento crtesino, i grfici di f e di g% f e, in un ltro, quelli di g e di f% g. Funzioni definite d N N. fn : 7 n, gn : 7 n+. fn : 7 n, gn : 7 n+. Funzioni definite d Z Z. 5 fx : 7 x-, gx : 7 x-. 6 fx : 7 x- 8, gx : 7 x-. Funzioni definite d R R. x 7 fx : 7 x-, gx : 7. 9 fx : 7 -, gx : 7 x - x x -. 8 fx : 7 x- 5x, gx : 7 x-. 0 fx : 7 x, g: x7 5x -. Funzioni definite d N R. Esmin solo l funzione compost g% f. n fn : 7 n+, gn : 7. fn : 7 n+, gn : 7. n + n + Per ognun delle seguenti funzioni f relizz con il computer i grfici dell f e dell funzione invers. Se necessrio, oper degli opportuni restringimenti dell insieme di prtenz dell f. Evidenzi l simmetri dei due grfici rispetto ll bisettrice del primo qudrnte. fx : 7 x+ 6 fx : 7, con x!. x - fx : 7 x, con x $ 0. 7 fx : 7 x 5 fx : 7, con x 0. 8 fx : 7, con x! 0. x x Le funzioni e le trsformzioni geometriche ESERCITAZIONE GUIDATA Con Derive, per osservre l diltzione verticle, considerimo l funzione fx ( ) =- x+ x e rppresentimo i grfici di f(x) e dell funzione diltt $ fx ( ), secondo il fttore. Per osservre l contrzione verticle, operimo in modo nlogo con l f(x) e con l su contrtt $ fx ( ), secondo il fttore. Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn
4 L funzione e le due trsformte Entrimo in mbiente Derive, dimo Cre_Espressione, digitimo nell rig di editzione delle espressioni l funzione - / * x^ + *x e con ok l inserimo nell etichett # (figur ). Bttimo f importndo l espressione dll zon lgebric ll rig di editzione delle espressioni fr prentesi, finco scrivimo * e fccimo clic sul secondo bottone sinistr dell rig di editzione delle espressioni (quello con un ugule) inserendol nell # semplifict. Operimo in modo nlogo per ottenere nell # l funzione divis per e semplifict. Figur Le funzioni. L prim rppresentzione grfic Evidenzimo l #, entrimo in mbiente grfico, fccimo clic sul bottone Finestr_Grfic D. Per trccire in rosso il grfico di f(x), usimo Opzioni_Visulizzzione, selezionimo il segnlibro Colore e nell tvolozz Colore successivo fccimo clic sul colore rosso. Dimo quindi Trcci il grfico. Tornimo in lgebr con il reltivo bottone, evidenzimo l #, pssimo in grfic, dove sceglimo il colore blu e dimo Trcci il grfico. Inqudrimo le due curve con Impost_Intervllo del Grfico, selezionimo Mssimo/minimo, nell cui finestr di dilogo sceglimo - (il minimo), 8 (il mssimo) e 0 (il numero delle tcche) per l sse orizzontle e -, 9 e per l sse verticle. Di solito il riferimento crtesino che ppre sullo schermo è dimetrico, ossi con due unità di misur diverse per i due ssi. Per rendere il sistem monometrico, dimo Impost_Rpporto di spetto e, nell finestr di dilogo, fccimo clic su Resett. Osservimo in figur l ndmento del grfico di f(x) in rosso e quello dell su diltt in blu. L second rppresentzione grfic Operimo nlogmente in un ltro grfico per ottenere i grfici di f(x) e di $ fx ( ). Osservimo in figur l ndmento del grfico di f(x) in rosso e quello dell su contrtt in blu. Figur L diltzione. Figur L contrzione. Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn
5 Esercitzioni Us il computer per svolgere i seguenti esercizi. Le trslzioni Ricv l equzione dell funzione trslt di f(x) = + ln x secondo un vettore prllelo ll sse y e lungo. Trcci il grfico dell funzione e dell su trslt. Copi i grfici su un quderno. Congiungi i punti del grfico di f(x), di scisse, e, e, con i rispettivi punti corrispondenti del grfico dell funzione trslt. Ricv l equzione dell funzione trslt di f(x) = - x - secondo un vettore prllelo ll sse x e lungo. Trcci il grfico dell funzione e dell su trslt. Centr i grfici, stmpli, sul foglio stmpto evidenzi con l mtit i punti del grfico di f(x) rispettivmente di sciss -, 0,,, e congiungili con i corrispondenti punti del grfico dell funzione trslt. Trsl l funzione f(x) = x secondo un vettore u (; - ), poi trsl l funzione ottenut di un vettore v (; 5). Scmbi l ordine dell ppliczione delle due trslzioni, trcci e centr i grfici delle funzioni e delle sue trslte. All fine osserv il risultto ottenuto. x Ricv l equzione dell funzione trslt di fx ( ) = secondo il vettore v (-;- ). x + Trcci i due grfici, centrli e stmpli. Le simmetrie Inserisci l funzione fx ( ) = x+, costruisci l simmetric rispetto ll sse y e trcci i due grfici. Indic il dominio delle due funzioni. Copi i due grfici sul quderno e congiungi con un righello e con un mtit i punti del grfico dell funzione 5 f(x), rispettivmente di sciss -, 0,, con i punti corrispondenti nel grfico dell funzione simmetric. Inserisci l funzione fx ( ) = lnb- x+ l, costruisci l su simmetric rispetto ll origine e trcci i due grfici. Indic il dominio delle due funzioni. Centr i grfici e stmpli. Sul foglio stmpto congiungi con un righello e con un mtit i punti del grfico dell funzione f(x), rispettivmente di sciss -, -, 0,,, con i punti simmetrici rispetto ll origine. Per ognun delle seguenti funzioni, esegui i seguenti pssi: inserisci l funzione, determin le simmetriche rispettivmente rispetto ll sse x, ll sse y e ll origine. Trcci i quttro grfici, centrli nello schermo, stmpli e sul foglio stmpto congiungi lmeno tre punti simmetrici. rx ( ) = x + ; tx ( ) 5 x 7 = - + ; sx ( ) = x+. Le diltzioni e le contrzioni 8 Nel medesimo riferimento crtesino, trcci i grfici dell funzione fx ( ) = x+ e delle sue trsformte ottenute moltiplicndo l funzione rispettivmente per, per e per. Centr e stmp i grfici ottenuti. Che tipo di trsformzioni hi ottenuto? Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn 5
6 9 0 Nel medesimo riferimento crtesino, trcci i grfici dell funzione f(x) = ln (x + ) e dell su trsformt, ottenut moltiplicndo rispettivmente l f(x) per 0 e l x per. Copi sul quderno i due grfici. Trov le intersezioni fr le due curve. Dt l funzione f(x) = cos x, moltiplicl per k, ssegn k i vlori,, e trcci tutti i grfici. Stmpli e osserv le diltzioni verticli vvenute. Copyright 0 Znichelli editore S.p.A., Bologn 6
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