Geometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano

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1 Geometri nliti +l pino rtesino Le funzioni rett, prol, iperole Le trsformzioni sul pino rtesino SEZ. P +l pino rtesino Osserv le oorinte ei seguenti punti: (, 0), (, ), C(, +), D + +, E(+, 9)., Che os puoi eurre ir l loro ollozione sul pino rtesino? Il punto (, 0) pprtiene ll sse elle sisse (più preismente si trov sul semisse negtivo). Il punto (, ) pprtiene l qurnte perhé le oorinte sono entrme negtive. Il punto C(, +) pprtiene l qurnte perhé l siss è negtiv e l orint è positiv. Il punto D +, + pprtiene l qurnte per- hé le oorinte sono entrme positive. Il punto E(+, 9) pprtiene l qurnte perhé l siss è positiv e l orint è negtiv. Clol l istnz tr i punti elle seguenti oppie. (+8, ) e (+8, +) I ue punti hnno l stess siss:. llo stesso risultto si perviene nhe se si ppli l formul generle ell istnz fr ue punti: L insieme ei numeri reli può essere rppresentto su un rett opo ver selto l unità i misur e ver fissto l origine O e il verso. ( + 8 8) + ( ) 0 + ( ) 89 In tl moo è stt stilit un orrisponenz iunivo tr i numeri reli e i punti ell rett orientt he si him rett rele. Prese ue rette reli perpeniolri si ottiene un sistem i riferimento rtesino ortogonle on sse orizzontle elle sisse e on sse vertile elle orinte, he iviono il pino in quttro qurnti. qurnte (, +) qurnte (, ) O qurnte (+, +) qurnte (+, ) u O ogni punto P el pino orrispone un oppi orint i numeri reli (, ); per inire il punto P si srive P(, ) e si legge P i oorinte e. L istnz tr ue punti (, ) e (, ) è t ll formul: ( ) + ( ) P O P Se i punti e hnno l stess siss l formul è. Se i punti e hnno l stess orint l formul è. P u riiole i teori riiole i teori. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

2 Sezione P Geometri nliti +, + e, + 0 I ue punti hnno l stess orint: (, +) e (, ) In questo so i punti non hnno né l stess siss né l stess orint, quini oimo pplire l formul generle: ( ) + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) Determin le oorinte el punto meio ei segmenti i ui estremi sono ti lle seguenti oppie i punti. (+, +) e (+9, +0) Il punto meio è (+, +). Le oorinte el punto meio i un segmento i estremi (, ) e (, ) sono: + + riiole i teori (+, 0) e (+, 0) Il punto meio è (+, 0). 0 +, + e +, Il punto meio è +, +.. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

3 +l pino rtesino Risolvi i seguenti prolemi sul pino rtesino. 8 Verifi he l ironferenz on entro nell origine egli ssi e rggio he misur pss per i punti (, ) e (, ). u Se l ironferenz pss per e per, eve essere O O rggio O ( 0) + ( 0) 9+ O O ( 0) + ( 0) + 9 imo verifito he i punti e pprtengono ll ironferenz. 9 Determin se i punti (+, +), (+, ) e C(, +) sono vertii i un tringolo isosele. C O Clolimo le istnze tr i punti,, C: ( ) + ( + ) 0+ C ( + ) + ( ) + 9, C ( + ) + ( ) + 9, I lti C e C misurno entrmi tringolo C è isosele.,, quini il 0 Dti i punti (, ) e (+, +), lol l istnz ll origine O el punto meio el segmento. Clolimo le oorinte el punto meio : O Il punto meio è quini (+, +). Clolimo l istnz O: O ( 0) + ( 0) + 9 0,. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

4 Sezione P Geometri nliti Rppresent sul pino rtesino i punti (+, +), (+, ) e C(, ). Clol l lunghezz ei segmenti, C e C e verifi he C è un tringolo rettngolo. Clolimo l lunghezz ei tre lti el tringolo: + C 8 8 C C O C + ( ) + ( + ) Verifihimo he il tringolo C è rettngolo in on il teorem i Pitgor, ioè: + C C Dopo ver rppresentto sul pino rtesino i punti (, +), (, ), C(, ), D(+, ), stilisi l ntur el quriltero CD. O L igonle D è prllel ll sse elle sisse, l igonle C è prllel ll sse elle orinte, quini le ue igonli sono perpeniolri. Clolimo l lunghezz ei lti: ( + ) + ( + ) 9+ D C ( + ) + ( + ) CD ( ) + ( + ) D ( + + ) + ( ) 9+ C I quttro lti sono uguli, CD può essere un qurto o un romo. Clolimo l lunghezz elle igonli: C D Il quriltero CD è un romo perhé le igonli sono isuguli. Dopo ver rppresentto sul pino rtesino i punti (, ), (+, ), C(+, +), D(, +), verifi he il quriltero CD è un trpezio isosele e lol l su re. D H R O C I punti C e hnno l stess siss, quini pprtengono ll rett i equzione he è prllel ll sse elle orinte. I punti D e hnno l stess siss, quini pprtengono ll rett i equzione he è prllel ll sse elle orinte. Segue he D e C sono tr loro prlleli, quini il quriltero è un trpezio.. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

5 +l pino rtesino Clolimo l lunghezz ei lti oliqui: ( ) + ( + ) + 0 DC ( + ) + ( ) I ue lti oliqui e DC sono ongruenti, periò il trpezio CD è isosele. Per lolre l re el trpezio oimo trovre le misure elle si e ell ltezz: C D 8 8 L ltezz el trpezio è CH, segmento he, esseno perpeniolre lle si, è prllelo ll sse. Il punto H h oorinte (, +) e periò CH ( D+ C) CH ( 8 ) re + Dopo ver rppresentto sul pino rtesino i punti (, +), (+, +), C(+, +9), lol l lunghezz el segmento. Detti e N rispettivmente i punti mei ei segmenti C e C, verifi he il segmento N è l metà el segmento. 9 8 C N O Clolimo l lunghezz el segmento : ( ) + ( ) Clolimo le oorinte el punto meio el segmento C: + C + + C Il punto meio quini è (+, +). Clolimo le oorinte el punto meio N el segmento C: N N C C Il punto meio quini è N(+, +8). Clolimo l lunghezz el segmento N: N ( ) + ( 8) + 9 N ; 0 imo verifito he N.. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

6 Sezione P Geometri nliti Le funzioni rett, prol, iperole Stilisi quli elle seguenti rette pssno per l origine O. è un rett pssnte per l origine perhé non h il termine noto. è un rett pssnte per l origine perhé non h il termine noto. è un rett non pssnte per l origine perhé è presente il termine noto. Un rett generi h equzione m + q, ove m è il oeffiiente ngolre e il termine noto q è etto nhe orint ll origine. riiole i teori e e è un rett non pssnte per l origine perhé è presente il termine noto. è un rett pssnte per l origine perhé non h il termine noto. Un rett pssnte per l origine h un equzione el tipo m. Dt l rett i equzione +, trov luni suoi punti ompilno un opportun tell. Riport i punti sul pino rtesino e tri l rett. Sono neessri molti punti per trire l rett? Qunti ne stno? Perhé? O Non sono neessri molti punti per trire un rett; ne stno ue perhé per ue punti pss un e un sol rett. Rppresent sul pino rtesino i punti (+, +), (+, +), C(+, +) e etermin le proprietà, il perimetro e l re el tringolo C osì ottenuto. Rppresent poi sugli stessi ssi rtesini l rett r i equzione + 0 e verifi he pss per e per C. O C Il segmento pprtiene ll rett i equzione, quini è prllelo ll sse elle sisse. Il segmento C pprtiene ll rett i equzione, quini è prllelo ll sse elle orinte. Ne segue he le rette i equzione e sono perpeniolri e il tringolo C è rettngolo in. Clolimo l lunghezz ei lti el tringolo: C C Il tringolo è pertnto isosele. C ( ) + ( ) +, p + +,,. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig re C 8

7 Le funzioni rett, prol, iperole 8 Srivi l equzione ell rett vente il oeffiiente ngolre ugule e he interse l sse elle nel punto (0, +). Dt l equzione generle ell rett, oimo porre m, quini ottenimo + q. Quini imponimo he pssi per il punto (0, +): sostitueno le oorinte nell equzione ottenimo 0 + q q ; l equzione ert è quini +. 9 Disegn l rett i equzione + e etermin le oorinte el suo punto i intersezione on l sse e el suo punto i intersezione on l sse. 0 O Il punto, intersezione ell rett on l sse, h l siss null, m poihé pprtiene nhe ll rett t, sostituimo nell su equzione 0 e ottenimo, ui imo (0, ). Il punto, intersezione ell rett on l sse, h l orint null, m poihé pprtiene nhe ll rett t, sostituimo nell su equzione 0 e ottenimo 0 +, ui, ioè, quini (, 0). 0 Dt l rett r i equzione +, srivi: l equzione ell rett s ess prllel e pssnte per l origine egli ssi; l equzione ell rett v ess perpeniolre e pssnte per l origine egli ssi. Due rette sono prllele se hnno lo stesso oeffiiente ngolre: m m. Due rette sono perpeniolri se i oeffiienti ngolri sono uno il reiproo ell opposto ell ltro: mm. Nell rett t i equzione + il oeffiiente ngolre è m. v 8 r s L rett s prllel ll rett t h lo stesso oeffiiente ngolre m m e, poihé eve pssre per l origine, h equzione. L rett v perpeniolre ll rett t h oeffiiente ngolre m e, poihé m eve pssre per l origine, h equzione. riiole i teori. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

8 Sezione P Geometri nliti Consiert l rett i equzione +, srivi: l equzione i un rett ess prllel non pssnte per l origine egli ssi; l equzione i un rett ess perpeniolre e non pssnte per l origine egli ssi. L rett t h oeffiiente ngolre m. Un rett prllel ll rett t e non pssnte per l origine h lo stesso oeffiiente ngolre m m e è el tipo m + q, on q 0 ; esempio: 8. Not ene he le rette non pssnti per l origine e prllele ll rett t sono infinite, inftti q può ssumere un vlore qulsisi iverso 0. Un rett perpeniolre ll rett t h oeffiiente ngolre m, m mentre q può ssumere un vlore qulsisi iverso 0; esempio: +. Tri le ue rette i equzione + e + e etermin le oorinte el loro punto i intersezione. Leggimo sul grfio le oorinte i P, ioè P(, +). È possiile nhe proeere nel seguente moo: le oorinte el punto i intersezione P evono soisfre entrme le equzioni elle rette: + e + Se i vlori i sono uguli possimo srivere: + + Risolvimo quest equzione: + Sostituimo il vlore in un elle ue equzioni te e ottenimo: ( ) + + il punto è P(, ) r: + s: + r P O s Disegn l rett i equzione +. Quli sono le oorinte el suo punto i intersezione on l sse? Qunto vle il oeffiiente ngolre ell rett? È positivo o negtivo? L ngolo he l rett form on l sse è uto o ottuso? Qunto vle l orint ll origine i quest rett? α O Il punto i intersezione on l sse è (0, ). Il oeffiiente ngolre è m, quini è positivo. L ngolo α he l rett form on l sse elle è uto. L orint ll origine è q +.. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig 8

9 Le funzioni rett, prol, iperole Ini on il volume i un pirmie qurngolre regolre vente l re i se i 9 m e on l ltezz. Rppresent l equzione he esprime in funzione i sul pino rtesino. Volume ltezz re i se S 9 m S h Il volume ell pirmie è to ll formul V. Sostituimo i ti nell formul: 9 L funzione he rppresent il quesito è quini ; l rppresentimo sul pino rtesino. 0 0 O Ini on e le misure elle igonli i un insieme i romi venti l re i 8 m. Srivi l equzione ell funzione he leg e e rppresentl sul pino rtesino; tri inoltre l rett i equzione e etermin grfimente le oorinte el punto i intersezione P ei ue igrmmi. C D re 8 m L re el romo è t ll formul: C D Sostituimo i ti nell formul: 8 ui rivimo ovvero. Rppresentimo sul pino rtesino le ue funzioni: Il punto i intersezione è P(, ). D O C P Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig 9

10 Sezione P Geometri nliti 0. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig Le trsformzioni sul pino rtesino Oper, sui punti ti, le seguenti trsformzioni, opo ver iniviuto il loro nome. P(0, ) trsformzione (, +) trsformzione (, ) trsformzione R(, ) trsformzione S(, +) trsformzione C(, ) trsformzione L trsformzione rihiest è un trslzione i vettore v (0, +): Il trsformto el punto P(0, ) è P(0, ). L trsformzione è un simmetri ssile rispetto ll sse elle : Il trsformto el punto (, +) è (+, +). L trsformzione è un trslzione i vettore v (0, +): Il trsformto el punto (, ) è (+, +). L trsformzione è un simmetri ssile rispetto ll sse elle : Il trsformto el punto R(+, ) è R(+, +). L trsformzione è un simmetri entrle on entro i simmetri nell origine egli ssi rtesini: Il trsformto el punto S(, +) è S(+, ). L trsformzione è un omoteti i entro O(0, 0) e rpporto k : Il trsformto el punto C(, ) è C(8, ). ( ) ( ) + 8 f + e f e + +

11 Le trsformzioni sul pino rtesino Srivi le equzioni ell trslzione he f orrisponere i ue punti P(+, ) e P(+, +). Le equzioni generli i un trslzione sono +. + Sostituimo l posto i e ( e ) le oorinte ei punti P e P: Le equzioni ell trslzione sono quini:. + 8 Srivi le equzioni ell simmetri ssile he f orrisponere i ue punti ti. P(+, ) P(+, +) (+, 8) (, 8) Dlle oorinte ei punti P e P osservimo he l siss el punto trsformto è rimst invrit, mentre l orint h mito segno, quini si trtt i un simmetri rispetto ll sse he h equzioni. Dlle oorinte ei punti e osservimo he l orint el punto trsformto è rimst invrit, mentre l siss h mito segno, quini si trtt i un simmetri rispetto ll sse he h equzioni. 9 Srivi le equzioni ell omoteti i entro O (origine egli ssi) he f orrisponere i punti (, ) e (, ). Dlle oorinte i e osservimo he siss e orint el punto sono uguli l oppio, mito i segno, elle orrisponenti oorinte i. L trsformzione è quini un omoteti invers i rpporto k, he h equzioni:. 0 Srivi le equzioni ell omoteti i entro O (origine egli ssi) he f orrisponere i punti R(, 8) e R(+9, +). L generi omoteti i entro O h equzioni k. k Sostituimo l posto i e ( e ) le oorinte ei punti R e R: Le equzioni erte sono:. 9 k 8k k k. Clvi - G. Pnzer ELI - L Spig

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