Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

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Davide Tucci
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1 Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio Agro-Forestle Corso di Mtemtic (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitzioni) Prof. Ing. S. Pscuzzi

2 Mterile di studio ü Appunti dlle lezioni ü BIGATTI Ann Mri ROBBIANO Lorenzo MATEMATICA DI BASE Cs Editrice Ambrosin ü ZWIRNER Giuseppe ISTITUZIONI DI MATEMATICHE Prte prim CEDAM Editrice

3 Equzione dell rett

4 Equzioni di grdo due incognite L equzione di grdo due incognite: + b + c () mmette infinite soluzioni, cioè esistono infinite coppie di numeri che, sostituite l posto delle incognite, soddisfno l equzione. Un soluzione si ottiene ssegnndo, d esempio, ll incognit un vlore qulsisi e ricvndo il corrispondente vlore dell. Dto che il vlore fissto per l è rbitrrio, segue che l () mmette infinite soluzioni 4

5 Sistem pino di ssi crtesini ortogonli e rett r non prllel d lcun sse B B B P (, ) P (, ) r P (,) Le coordinte (,) del punto P dell rett r, sono un soluzione dell equzione: + b + c () O A A A,, vribili ;, b, coefficienti delle vribili ; c termine noto ogni rett è rppresentt d un equzione di grdo in due vribili del tipo () 5

6 L equzione di un rett, non prllel d lcun sse coordinto, pssnte per i due punti P (, ), P (, ), è : Esempi : Scrivere l equzione dell rett pssnte per i punti P (,5), P (,7): Scrivere l equzione dell rett pssnte per i punti P (-,/), P (-,-/): + +

7 Un rett prllel ll sse delle e che incontr l sse in un punto di sciss c, è rppresentt nliticmente dll c equzione: O Un rett prllel ll sse delle e che incontr l sse in un punto di ordint d, è rppresentt nliticmente dll equzione: d O 7

8 Esempi : c d O O Scrivere l equzione dell rett prllel ll sse e che incontr l sse delle nel punto di sciss /5: 5 ossi : 5 Scrivere l equzione dell rett prllel ll sse e che incontr l sse delle nel punto di ordint -/7: + 7 ossi : 7 + 8

9 Ad ogni equzione di grdo in due vribili: + b + c () corrisponde un rett i cui punti hnno per coordinte le soluzioni dell equzione stess

10 Esempio Trccire l rett di equzione: - + Due soluzioni di quest equzione sono: P P O

11 Esempio Segnre sul pino crtesino le rette dte dlle seguenti equzioni: r) - s) - L rett r pss per l origine, occorre solo un ltro punto 5 4 s P r O

12 m Equzione esplicit dell rett b + b + c () Se è b l () può scriversi : Posto: Si h: ; q m + q c b b Equzione esplicit dell rett c b Il termine noto q rppresent l ordint del punto in cui l rett incontr l sse Il termine: m b è il coefficiente ngolre dell rett A(,q) q O

13 Sistemi di due rette. Condizione di prllelismo Sino dte due rette: + b + c + b + c () Ove si :, b,, b Le due rette suddette possono risultre:. Incidenti (il sistem () mmette un sol soluzione). Prllele (il sistem () non mmette soluzioni). Coincidenti (il sistem () mmette infinite soluzioni)

14 Sino dte due rette: + b + c + b + c Sistemi di due rette (), b, b Se: b b Rette incidenti Se: Se è: c k b b c k + + b kb + c + c + b + b Condizione di prllelismo di due rette: i coefficienti delle sole vribili, nelle equzioni delle due rette, proporzionli c k c m m c k Se è: c ( se c ), c c k k b b c c Rette coincidenti 4

15 Le due rette di equzioni: sono incidenti, in qunto: Esempi Risolvendo il sistem si trov: b b Le due rette di equzioni: sono prllele, in qunto: 8 5 5

16 Equzione del fscio proprio di rette Fscio proprio di rette: insieme di tutte e sole le rette di un pino che hnno uno stesso punto in comune (centro del fscio) L equzione di ogni rett del fscio di centro P, cioè l equzione di ogni rett pssnte per il punto P (, ), può scriversi sotto l form: m ( ) Esempio: Scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto P (5,-) e di coefficiente ngolre. + ( 5) 7 6

Fscio improprio di rette Fscio improprio di rette: insieme delle rette di un pino prllele d un rett dt, e l rett stess Se: + b + c è l equzione di un rett r, ogni

17 Fscio improprio di rette Fscio improprio di rette: insieme delle rette di un pino prllele d un rett dt, e l rett stess Se: + b + c è l equzione di un rett r, ogni ltr rett di equzione del tipo: () + b + k è prllel d r Al vrire del prmetro k si ottengono le equzioni di tutte le rette del fscio improprio individuto dll rett r 7

18 Esempio Scrivere l equzione dell rett s pprtenente l fscio improprio individuto dll rett r di equzione: e pssnte per il punto Q(,-) L equzione: k Rppresent un rett del fscio improprio individuto dll rett r. Affinché quest rett pssi per il punto Q(,-),bisogn che il prmetro k soddisfi ll condizione: 5 + k k Dunque, l equzione dell rett s è:

19 Rett pssnte per un punto dto e prllel d un rett dt Considerimo un punto P (, ) e un rett P r di equzione: + b + c Voglimo determinre l equzione dell rett o r prllel ll rett r e pssnte per il punto P Ricordndo che due rette prllele hnno lo stesso coefficiente ngolre m, con L equzione è dt d: m ( ) m b

20 Rett pssnte per un punto dto e prllel d un rett dt Esempio: Scrivere l equzione dell rett prllel ll rett di equzione -+5 e pssnte per il punto P (-,4) Qundi: m b m ( ) ( ) + ( ( ) ) 4 ( + ) +

21 Rett pssnte per un punto dto e prllel d un rett dt Se l equzione dell rett r è sotto form esplicit: m + q Ricordndo che due rette prllele hnno lo stesso coefficiente ngolre, l equzione dell rett prllel ll r e pssnte per il punto P (, ) è: ( ) m Esempio: scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto P (,-) e prllel ll rett di equzione 5-: ( )

22 Condizione di perpendicolrità di due rette Sino r ed r fr loro perpendicolri: r) r) m + q m + q Condizione di perpendicolrità mezzo coefficienti ngolri m ed m O A B s H s Sino s ed s le rette prllele rispettivmente d r e r, pssnti per l origine: risult : HA m ; HB -m Tringolo AOB, teorem di Euclide: HA. HB OH m. (-m ) m m m m L condizione ffinché due rette sino perpendicolri è che i loro coefficienti ngolri sino fr loro reciprochi e di segno contrrio

Rett pssnte per un punto dto e perpendicolre d un rett dt Considerimo un punto P (, ) e un rett r di equzione: L equzione cerct è: + b + c Voglimo determinre l equzione perpendicolre ll

23 Rett pssnte per un punto dto e perpendicolre d un rett dt Considerimo un punto P (, ) e un rett r di equzione: L equzione cerct è: + b + c Voglimo determinre l equzione perpendicolre ll rett r e pssnte per il punto P Esempio: scrivere l equzione dell rett perpendicolre ll rett di equzione -5+7 e pssnte per il punto P (,-) è: 5 ' m m b m ( ) ( ) ' m 5 ( ) ( ) + ( ) b b

24 Rett pssnte per un punto dto e perpendicolre d un rett dt Se l equzione dell rett r è sotto form esplicit: m + q L equzione dell rett pssnte per P (, ) e perpendicolre r risult: m ( ) Esempio: scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto P (-,-/) e perpendicolre ll rett di equzione -/5: + ( + )

25 Orientmento di un rett in un pino crtesino Qundo sul pino, nel qule si stto fissto un sistem di ssi crtesini ortogonli, considerimo un rett r, non prllel ll sse, intenderemo sempre che ess si orientt nel verso delle scisse crescenti. r Con quest convenzione, l ngolo r, che l sse delle form con l rett r, è sempre un ngolo cuto. L su misur è positiv o negtiv second che l ngolo r viene descritto dl O r semisse positivo delle in senso ntiorrio oppure in senso orrio. 5

26 Significto del coefficiente ngolre di un rett Si r un rett non prllel ll sse : Si s l rett prllel d r, pssnte per l origine: m + q m r s O P m A O r A m P s m tg s tg r Il coefficiente ngolre di un rett, non prllel ll sse delle, è ugule ll tngente trigonometric dell ngolo che l sse form con l rett stess N.B. : Bisettrice I e III qudrnte (ngolo 45 ) Bisettrice II e IV qudrnte (ngolo -45 ) - 6

27 5 Esempio Determinre l ngolo che ciscun delle rette: form con l sse delle Detti α e β gli ngoli cercti, si h: + 7 tgα α 6 tgβ β 45 Scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto P (/,5) e che form con l sse un ngolo di -45 Il coefficiente ngolre dell rett considert è m tg(-45 )

28 Angolo di due rette Sino r ed r le equzioni di due rette: r r O r) r) m + q m + q L tngente trigonometric dell ngolo rr, in funzione dei coefficienti ngolri delle due rette è l seguente: tgrr m m + m m Esempio. Sono dte due rette r, r, non prllele, di equzioni: Clcolre l tngente trigonometric r) + r ) tgrr dell ngolo formto d queste due rette

O H Distnz di un punto d un rett P r L distnz di un punto P (, ) d un rett r di equzione: + b + c, è dt d un frzione che h per: - numertore: il vlore ssoluto del vlore che ssume il primo membro dell

29 O H Distnz di un punto d un rett P r L distnz di un punto P (, ) d un rett r di equzione: + b + c, è dt d un frzione che h per: - numertore: il vlore ssoluto del vlore che ssume il primo membro dell equzione dell rett r qundo l posto delle vribili e si sostituiscono, rispettivmente, le coordinte e del punto P ; - denomintore l rdice qudrt dell somm dei qudrti dei coefficienti dell e dell dell equzione dell rett; cioè si h: d + b + b + c 9

30 4 + BC Esempio Determinre l distnz del punto P(, -) dll rett di equzione: Dett d tle distnz, si h: Determinre l re del tringolo di vertici (,-), B(,), C(-,6). Fcilmente si trov che l equzione dell rett BC è: ( ) + ( 6 ) L distnz del punto A tle rett, cioè l ltezz del tringolo rispetto ll bse BC, è: Si h inoltre: d L re S del tringolo è: 5 + S d ( ) + 4 5

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