y = Funzioni Lineari : Funzione quadrato: Modulo Funzione omografica (iperbole): Funzioni Potenza: Funzione Esponenziale Funzione Logaritmica

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1 Funzioni Lineri : Funzione qudrto: Modulo Funzione omogrfic (iperbole: Funzioni Elementri 1/ y m + q y + b + y y c + + b d c Funzioni Potenz: y Funzione Esponenzile Funzione Logritmic y y log ( Funzioni trigonometriche y y y sin( cos( tn( 1

2 Funzioni Elementri / Conoscenz Proprietà Elementri Monotoni Invertibilità Concvità Simmetrie Periodicità Conoscenz grfici elementri Conoscenz grfici immeditmente riconducili i grfici elementri

3 Monotoni f : A X Y Def. Funzione Monoton Crescente 1, A con 1 < f ( 1 f ( Def. Funzione Monoton Crescente in senso stretto 1, A con 1 < f ( 1 < f ( Def. Funzione Monoton Decrescente 1, A con 1 < f ( 1 f ( Def. Funzione Monoton Decrescente in senso stretto 1, A con 1 < f ( 1 > f ( 1 1 Le funzioni Monotone in senso stretto su tutto il cmpo di esistenz sono biunivoche e dunque invertibili 3

4 Concvità - Convessità Def. Funzione Convess (su un intervllo L funzione f:r R è dett convess sull intervllo [ 1, ] se l cord congiungente i punti ( 1, f( 1, (, f( st l di sopr del grfico di f. Def. Funzione Concv (su un intervllo L funzione f:r R è dett concv sull intervllo [ 1, ] se l cord congiungente i punti ( 1, f( 1, (, f( st l di sotto del grfico di f. 4

5 Simmetri Pri Simmetri Pri Def. Funzione Pri Un funzione è dett pri se f(f(- per ogni di A Un funzione pri risult simmetric (simmetri ssile rispetto ll sse delle ordinte (sse y Y X A f : 5 3 ( 4 + f ( 3 ( ( ( 4 f f +

6 Simmetri Dispri Def. Funzione Dispri Un funzione è dett dispri se f(-f(- per ogni di A f : A X Y Es. f ( f ( ( ( + f ( Un funzione dispri risult simmetric (simmetri centrle rispetto ll origine degli sistem di ssi crtesini 6

7 Def. Funzione Periodic f Periodicità 1/ : A X Y + è dett periodic se f ( + T f ( A, T R T è il più piccolo numero rele positivo che soddisf ll condizione precedente, ed è chimto Periodo dell funzione f. sin( + π sin( R Es. Poiché il periodo dell funzione seno è pri π 7

8 Periodicità / cos( + π cos( R il periodo dell funzione coseno è pri π il periodo dell funzione tngente è pri π π tn( + π tn( R \ + kπ, k Z 8

9 Funzione Mntiss Def. Funzione Prte Inter: []. [] è il più grnde intero minore o ugule d Def. Funzione Mntiss: Mnt(:-[]. il periodo dell funzione mntiss è pri 1 9

10 Funzione Linere 1/3 Funzione Costnte: f(k Il grfico è rppresentto d un rett orizzontle: yk Rett Verticle (Non è un funzione!: k Il grfico è rppresentto d un rett verticle Dirett proporzionlità (Funzione Linere: f(m Il grfico è rppresentto d un rett pssnte per l origine: ym. m è detto Coefficiente Angolre dell rett ed è legto ll ngolo α che l rett form con l sse delle (semisse positivo dll relzione mtn(α. y m M nche tn(α Rppresentzione geometric del coefficiente ngolre. Proprietà di dditività: Proprietà di omogeneità: f ( 1 + f ( 1 + f ( f ( k1 kf ( 1 Un funzione in generle è dett linere se soddisf contempornemente lle due precedenti proprietà cioè se è dditiv ed omogene. 10

11 Funzione Linere /3 Funzione Linere Affine: f(m+q Il grfico è rppresentto d un rett non verticle non pssnte per l origine: ym+q. qf(0 rppresent l ordint dell intercett ll origine. Es. Si consideri l rett y-+1 Se ne trcci un grfico Si trovino le intercette (punti di intersezione con gli ssi coordinti crtesini [R. (0,1 (1/,0 ] Dte due rette: ym 1 +q 1 e ym +q Rette Prllele (Condizione di prllelismo: m 1 m Rette Perpendicolri (Condizione di perpendicolrità: m 1 *m -1 Intersezione tr rette: y y m m q q 1 11

12 Funzione Linere 3/3 Fscio Proprio di rette di centro ( 1,y 1 y-y 1 m(- 1 Rett per due punti ( 1,y 1 e (,y Vle l formul sopr con m ( y ( y 1 1 quindi y ( y y1 y1 ( ( 1 1 Es. Determinre l rett pssnte per P(-1, e perpendicolre ll rett y3-5 [R. y-1/3+5/3 ] Es. Determinre l rett pssnte per P(-1, e prllel ll congiungente A(-1,0 e B(1,1 [R. -1/ + 5/ ] Es. Sino y 1 +5 e y -+7. Scrivere l equzione dell rett pssnte per il punto di intersezione di y 1 ed y e prllel ll rett di equzione y 3 1/+. [R. y1/ + 6 ] 1

13 Equzioni e Disequzioni di I grdo Equzioni m+q0 Possono essere viste come l ricerc del punto di intersezione tr l rett ym+q e l sse delle (y0 Soluzione: -q/m Disequzioni m+q>0 (m+q<0 Insieme dei vlori per cui il grfico dell rett ym+q st l di sopr (sotto l sse delle. Ricord: moltiplicndo entrmbi i membri di un disequzione per un numero negtivo, l disequzione cmbi di verso Es. Eq. I grdo : 3+7(-5 [ R. X-17 ] Es. Diseq. di I grdo < [ R. SØ ] 13

14 Funzione Qudrto 1/3 Funzione: f( Rppresent un prbol y E un funzione pri (grfico simmetrico rispetto ll sse y E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice (punto di mssimo (<0, o minimo (>0 Pss per l origine e non h ltre intersezione con gli ssi coordinti Funzione: f( +b+c Rppresent un prbol y +b+c E convess se >0, concv se <0 Per disegnrl occorre trovre il vertice (punto di mssimo (<0, o minimo (>0 b V, con b 4c 4 e le intersezioni con gli ssi coordinti Intersezione sse y y 0 + b + c ( 0,c 14

15 Intersezione sse Funzione Qudrto /3 y y 0 + b + c + b + c 0 1, b ± >0 Due Intersezioni Distinte (Prbol secnte l sse delle 0 Due Intersezioni Coincidenti (Prbol tngente l sse delle <0 Non ci sono intersezioni tr l Prbol e l sse delle 15

16 Funzione Qudrto 3/3 Es. Determinre l equzione dell prbol con vertice v(1, pssnte per il P(0,4 [R. y -4+4 ] Es. Disegnre l prbol: f( Es. Scrivere l equzione dell prbol con sse prllelo ll sse delle y e pssnte per i punti di coordinte (0,0 (1,1 e (-,4 [R. y ] 16

17 Equzioni e Disequzioni di II grdo 1/4 + b + c 0 1, b ± + b + c > 0 ( < 0 >0 Rdici Reli Distinte >0 +b+c>0 (ll esterno delle rdici 1 ed < 1 vel > +b+c<0 (ll interno delle rdici 1 ed 1 << <0 +b+c>0 (ll interno delle rdici 1 ed 1 << +b+c<0 (ll esterno delle rdici 1 ed < 1 vel > 17

18 Equzioni e Disequzioni di II grdo /4 0 Rdici Reli Coincidenti >0 +b+c>0 per -b/ +b+c<0 per nessun (l disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun (l disequzione non h soluzioni +b+c<0 per -b/ 18

19 Equzioni e Disequzioni di II grdo 3/4 <0 Rdici Complesse Coniugte >0 +b+c>0 per ogni rele +b+c<0 per nessun (le disequzione non h soluzioni <0 +b+c>0 per nessun (le disequzione non h soluzioni +b+c<0 per ogni rele 19

20 Equzioni e Disequzioni di II grdo 4/4 Es. + 0 [R. 1] Es. ( 3 > 4 3 [R. < 1 > 3 ] Es. Risolvere, in dipendenz del prmetro rele k, le seguenti disequzioni: I k II + 1< k + per per R. per per per k 0, 4 1 1/ 8k k > 0, k k -1/ 8, 8 1/ 8 < k k < -1/8, S 1 < 0, vel 1/ 8k k / 8k k 1/ 8k k per R. per k k 0, S > 0,1 k < < 1+ k 0

21 Funzione Modulo (Vlore Assoluto Funzione Modulo (Vlore Assoluto Def. < 0 se 0 se < 0 f( se ( 0 se ( ( f f( f f Proprietà: y y + + Disuguglinz tringolre y y 1 y y

22 Funzione Modulo (Vlore Assoluto Funzione Modulo (Vlore Assoluto y y + + y y y y y ( ( y y y y y + + b y b b b b b + + b b + b y b b + b b b b b b

23 Equzioni e Disequzioni con Modulo Es. f( k se k <0 non esistono soluzioni se k0 f(0 se k>0 f(±k Es Es Es. f( <k se k <0 non esistono soluzioni se k0 non esistono soluzioni se k>0 -k<f(<k f ( > k k < f ( < k f ( < k Es. +4 <3 Es. f( >k se k <0 : ogni (che definisce f è soluzione se k0 : ogni (che definisce f( 0 è soluzione se k>0 f(>k vel f(<-k Es. +4 >3 Es. + >+1 [R. <-+ 3 v >1 ] 3

24 Disequzioni Rzionli Frtte Sono del tipo N ( D( > 0 ( < 0 Risoluzione: si studi N(>0, D(>0 seprtmente, poi si f un grfico di confronto, mettendo su un rett il segno di N e su un rett prllel il segno di D, poi si determin il segno di N/D tenendo conto dell regol dei segni Es [ R. 8 1] L stess risoluzione vle nche per N(*D(>0 (<0 4

25 Sistemi di Disequzioni Sono del tipo F( > 0 G( > 0 ( < 0 ( < 0 Si determin l insieme delle soluzioni delle prim disequzione S 1, si determin l insieme delle soluzioni delle second disequzione S l insieme delle soluzioni del sistem srà llor S S 1 I S Es. 16 < 0 [ R. 1 < < 4] > 0 5

26 Funzione Omogrfic Invers Proporzionlità: funzione f(/ Iperbole equilter riferit i propri sintoti (gli ssi crtesini sono gli sintoti dell iperbole H simmetri dispri, dunque l origine è un centro di simmetri Funzione Omogrfic: f((+b/(c+d con d-bc 0 f ( Iperbole equilter gli sintoti non coincidono con gli ssi crtesini m sono d essi prlleli. Essi hnno equzioni -d/c y/c d Il centro di simmetri (-d/c, /c Es. Disegnre il grfico di f ( c + + C, c c b d 6

27 Funzione Omogrfic f ( c + + b d d C, c c 7

28 Funzione Potenz (esponente intero pri Funzione Potenz: f( n n pri Simmetri pri, f(>0 per 0,, f(0 per 0 Non invertibile Monoton crescente per positive, decrescente per negtive confronto y con y 4 [si provi per 1/, ] y 4 y 8

29 Funzione Potenz (esponente intero dispri Funzione Potenz: f( n n dispri Simmetri dispri, f(>0 per >0, f(<0 per <0, f(0 per 0 Invertibile Monoton crescente confronto y 3 con y 5 [si provi per 1/, ] y 5 y 3 9

30 Funzione Potenz (esponente frzionrio 1/4 Funzione Potenz: f( 1/n n pri definit solo per 0 Invers del rmo positivo di y n confronto y 1/ con y 1/4 [si provi 1/16, 16] y 1/ y 1/4 30

31 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse /4 y^(1/ y^( 31

32 Funzione Potenz (esponente frzionrio 3/4 Funzione Potenz: f( 1/n n dispri simmetri dispri definit solo per ogni rele Invers di y n confronto y 1/3 con y 1/5 y 1/5 y 1/3 3

33 Potenze-Rdici: Funzioni Inverse 4/4 y 1/3 y 3 33

34 Proprietà Potenze Proprietà Potenze > 0 ssumimo b b b y y + ( ( ( R 34 ( n m n m - b b b b 1 ( 0 1

35 Equzioni/Disequzioni Irrzionli 1/3 n f ( g( n dispri f ( g( Risolt d : [ ] n f ( g( n dispri Risolt d : f ( > g( n > [ ] n n f ( < g( n dispri f ( < g( Risolt d : [ ] n Not: pplicndo d entrmbi i membri di un disequzione un funzione monoton crescente, l disequzione con cmbi verso e mntiene inlterte le proprie soluzioni. Fcendo l stess cos con un funzione monotone decrescente l disequzione cmbi di verso (e mntiene sempre inlterte le proprie soluzioni. 35

36 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 Equzioni/Disequzioni Irrzionli /3 n pri Risolt d : ( ( g f n > g f f 0 ( n.n. 0 ( vel 0 ( ( ( g f n n pri Risolt d : [ ] n g f g f ( ( 0 ( n.n. 0 ( 36 [ ] > < n g f g g ( ( 0 ( vel 0 ( ( ( g f n < n pri Risolt d : [ ] < n g f g f ( ( 0 ( 0 (

37 Equzioni/Disequzioni Irrzionli 3/3 8 + > 4 [ R. S R] [ R. 1 3] > [ R. (-,-4] (4/3, + ] 37

38 Funzione Esponenzile 1/4 Funzione f( può essere ben definit solo per >0 per 1 si ottiene l funzione costnte f(1 per >1 è monoton crescente confronto tr e 4 per 0<<1 è monoton decrescente confronto tr (1/ e (1/4 f( >0 per ogni rele, f(01 f( è sempre invertibile ed è sempre convess per >1 Per 0<<1 + lim + + lim 0 + lim 0 lim

39 Funzione Esponenzile /4 y( y(1/ e lim 1 + n + 1 n n...y e e

40 Funzione Esponenzile 3/4 y(4 y( si provi per -1/, 1/ 40

41 Funzione Esponenzile 4/4 y(1/4 y(1/ si provi per -1/, 1/ 41

42 Disequzioni esponenzili Disequzioni esponenzili Poiché ep( è un funzione monoton crescente < < < < e e Poiché (1/^( è un funzione monoton decrescente

43 Funzione Logritmic 1/ Funzione Logritmic: funzione invers dell esponenzile (L funzione esponenzile è invertibile in qunto sempre monoton. y f ( log ( y lim + 0 >0 et 1 Fissimo >1 definit per >0 monoton crescente f(10 f( è concv lim log + log ( ( + ylog 4 ( ylog ( si provi per 1/ log 4 (1/-1/ log 4 (1/ log (1/-1 log (1 43

44 Funzione Logritmic / Funzione Logritmic: funzione invers dell esponenzile 0 + >0 1 Fissimo 0<<1 definit per >0 monoton decrescente f(10 f( è convess lim log lim + log ( ( + y f ( log ( ylog 1/4 ( y ylog 1/ ( si provi per 1/ log 1/4 (1/1/ log 1/4 (-1/ log 1/ (1/1 log 1/ (-1 44

45 Proprietà Logritmi log ( y log ( + log ( y, y > log log( log( y, y > y log ( k k log ( > 0, k R log ( log log ( > log b ( 0 b 1 log ( ( b,b > 0 1 b 1 b CONVENZIONI 0 0 log e ( ln( log 10 ( Log( log( loge ( ln( 45

46 Equzioni/Disequzioni Esponenzili e Logritmiche 5 4 log( log( Applico l funzione invers 3 log( < log( 3 log( < log(3 log1 ( 4 < log1 ( log 5 (3+ < + e 3 > 0 3 > 0 3 log 5 (4 ln(4 ln(5 Identità Esponenzili ln( e ln( y y e y R e ln( e ln( R 1 3 e + 5 > [R. S R] e ( 0 [R. ] e + 1 R

47 Funzioni Goniometriche A B θ O C D AC sin(ϑ OA OC cos(ϑ OA BD AC tn( ϑ OA OC sin( ϑ cos( ϑ Teorem di Pitgor : sin ( ϑ + cos ( ϑ 1 47

48 Trigonometri: tringoli rettngoli A α c b β γ B C π γ 90 rd π α + β 90 rd csin(α b ccos(α ccos(β btn(α b csin(β b tn(β 48

49 Trigonometri: tringoli qulsisi c β B α + β + γ 180 π rd A α b γ C Teorem dei seni: sin( α b sin( β c sin( γ RR Teorem di Crnot (del coseno: c + b bcos( γ 49

50 Funzione Seno 1/ Funzione ysin( Periodo π Limitt (ssume vlori tr -1 e 1 compresi Simmetri dispri Crescente per 0 π/ e per 3/π < π Decrescente per π/ 3/π Concv 0 π Convess π < π 50

51 Funzione Seno / Prticolri vlori sin( 0 π sin 4 0 π sin 1 π sin 6 π sin Vlori uguli sin( π sin( Vlori opposti sin( π + sin( π sin( sin( 51

52 Funzione Coseno 1/ Funzione ycos( Periodo π Limitt (ssume vlori tr -1 e 1 compresi Simmetri pri Crescente per π < π Decrescente per 0 π Concv per 0 π/ e per 3/π < π Convess π/ < 3/π 5

53 Funzione Coseno / Prticolri vlori cos( 0 π cos 4 1 π cos 0 π 3 cos 6 π 1 cos 3 Vlori uguli cos( π Vlori opposti cos( π cos( π + cos( cos( cos( 53

54 Funzione ytn( Periodo π. Si studi tr 0 eπ Illimitt Simmetri dispri Crescente per π/ Concv per π/ < π Convess per 0 <π/ Funzione Tngente 1/ 54

55 Funzione Tngente / Prticolri vlori tn( 0 0 π tn 1 4 π tn 6 π tn Vlori opposti tn( π tn( 55

56 Relzioni Fondmentli sin ( + cos ( sin( tn( cos( 1 56

57 Equzioni/Disequzioni Goniometriche sin( sin ( 8sin( cos ( cos( > 0 sin( cos( > 0 57

58 Funzione Arco-seno Viene operto un tglio in [-π/, +π/] per poter invertire l funzione per cui: rcsin( : π π [ 1,1 ], 58

59 Funzione Arco-cosenocoseno Viene operto un tglio in [0, π] per poter invertire l funzione per cui: rccos( : [ 1,1 ] [ 0,π ] 59

60 Funzione Arco-tngente Viene operto un tglio in [-π/, π/] per poter invertire l funzione per cui: rctn( : R π π, 60

61 Grfico y f( Notimo: y Grfici Riconducibili 1/9 f( se f( 0 f ( -f( se f( < 0 L prte del grfico corrispondente vlori negtivi dell funzione (sotto l sse delle viene simmetrizzt rispetto ll sse delle scisse. L prte del grfico corrispondente vlori positivi dell funzione viene lscit invrit. 61

62 Grfici Riconducibili /9 Grfico yf( Notimo: y f ( f( f( se 0 se < 0 Per le positive o nulle il grfico coincide con quello di f( per quelle negtive il grfico è il simmetrico di quello per le positive rispetto ll sse delle y (ordinte. 6

63 Grfici Riconducibili 3/9 Grfico yf(+b Il grfico present un trslzione di b lungo l sse delle y. b-3 b 63

64 Grfici Riconducibili 4/9 Grfico y f( se >0 se >1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore lungo l sse delle y se 0<<1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore lungo l sse delle y

65 Grfici Riconducibili 5/9 Grfico y f( se <0 se -1 il grfico è ottenuto d quello di f( ttrverso un simmetri ssile rispetto ll sse delle (scisse se <-1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri (ssile rispetto ll sse delle scisse se -1<<0 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore lungo l sse delle y, composto con l simmetri (Assile rispetto ll sse delle scisse

66 Grfici Riconducibili 5b/

67 Grfico y f(+c Grfici Riconducibili 6/9 Il grfico present un trslzione di c lungo l sse delle c+ c- 67

68 Grfici Riconducibili 7/9 Grfico yf(d se d>0 se d>1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore 1/d lungo l sse delle se 0<d<1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore 1/d lungo l sse delle d d0.5 68

69 Grfici Riconducibili 8/9 Grfico yf(d se d<0 se d-1 il grfico present un simmetri ssile (sse delle y rispetto l grfico originle se d<-1 è un diltzione (zoom di ingrndimento di un fttore 1/ d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y se 0<d<1 è un diltzione (zoom di rimpicciolimento di un fttore 1/ d lungo l sse delle, compost con l simmetri ssile rispetto ll sse delle y d-1 d- d

70 Grfici Riconducibili 8b/9 d-1 d-0.5 d- 70

71 Grfici Riconducibili 9/9 Grfico yf(d. Cso funzioni goniometriche (o periodiche. Supponimo d>0. Il vlore d v modificre il periodo dell funzione f. Precismente se il periodo dell funzione f è T, il grfico dell funzione yf(d present un periodo T T/d. Se d<0 ll vrizione di periodo indict sopr v ggiunt l simmetri rispetto ll sse y. Es. ysin( h periodo Tπ. L funzione ysin( h periodo T π L funzione ysin(/ h periodo T 4π ysin( ysin(/ ysin( 71

72 Grfici Riconducibili 9b/9 ysin(/ ysin( ysin( 7

73 Grfici Riconducibili Composti 1/ Grfico y f(-1 yf((-1/ rimpicciolimento di un fttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di +1/ lungo l sse delle. yf( yf(-1 73

74 Grfici Riconducibili Composti / Grfico y - f(++1 y- f((+1 +1 rimpicciolimento di un fttore ½ lungo l sse delle seguito d un trslzione di -1 lungo l sse delle seguito d un simmetri rispetto l sse delle seguito d un diltzione di fttore lungo l sse delle y seguito d un trslzione di +1 lungo l sse delle y yf( yf(+ y-*f(++1 74

75 Confronto Grfico 1/ Equzione: f(g( Disequzione: f(>g( [f(<g(] Si teng conto del grfico di yf( e del grfico di g( e poi se ne operi un confronto quntittivo e, ove non è possibile, qulittivo. Es. sin(-cos(>0 sin( > cos( y1 sin( y cos( y 1 > y π sin( cos( 4 5 π 4 π 5 S R : < < π

76 Confronto Grfico / Es. ln(->0 ln( S y1 ln( > y y1 > y Es. ln(+>0 ln( > y y y 1 1 ln( ln(- mmette un unic soluzione 0 : 0< 0 <1 0 ~ { R } S > : 0 > y 76