Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione.

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1 Le trsformzioni geometriche ITL 7 TERI Letture llo specchio! Ingegni, ossesso, nilin: tre esempi di plindromi, ovvero di prole che si possono leggere si d sinistr verso destr, si d destr verso sinistr. Esistono nche delle frsi plindrome, come per esempio «I re sono seri», o perfino interi componimenti letterri. M se gurdi l prol INENI llo specchio ottieni, che rispett sì l successione delle lettere, m non l loro form esistono prole che si possono leggere nche llo specchio? INENI L rispost pg he cos sono le trsformzioni geometriche Introducimo il concetto di trsformzione geometric prendendo come esempio un rotzione. onsiderimo il punto e un ngolo orientto di mpiezz (figur 1). l punto ssocimo il punto tle che. llo stesso modo, possimo ssocire un ltro punto il punto, il punto e così vi. imo creto un corrispondenz fr punti del pino. Tle corrispondenz è iunivoc perché, fissto il punto e l ngolo orientto, ogni punto del pino corrisponde uno e un solo punto del pino stesso e vicevers. EINIZINE Trsformzione geometric Un trsformzione geometric è un corrispondenz iunivoc che ssoci ogni punto del pino un punto del pino stesso. E α ' E' ' ' ' ' igur 1 l punto ssocimo, l segmento il segmento, l poligono E (figur ) il poligono E (figur ). opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 341

2 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE In ltre prole, un trsformzione geometric è un funzione iiettiv del pino in sé. gni punto (o figur) che si ottiene medinte un trsformzione geometric viene detto trsformto o immgine del punto (o dell figur) di prtenz. Nell esempio precedente il punto è immgine di, il segmento è immgine del segmento. Si legge «ugule erre di». Se indichimo con r l rotzione, r rppresent un funzione, quindi possimo nche scrivere r(). Qundo in un trsformzione un punto corrisponde se stesso, dicimo che il punto è unito. er esempio, nell rotzione precedente il punto è un punto unito. Si legge «t composto t». L composizione di trsformzioni oiché le trsformzioni geometriche sono funzioni, possimo considerre l loro composizione. te due trsformzioni geometriche t e t, se l punto viene ssocito il punto t() e viene ssocito t ( ), l composizione di t con t ssoci l punto il punto. Indichimo l composizione delle due trsformzioni llo stesso modo dell composizione di funzioni, ossi con l scrittur t t. L figur, corrispondente dell figur medinte t t, si trov pplicndo prim t e poi t. α + β r ' igur 2 omposizione di due rotzioni: un rotzione intorno di un ngolo, seguit d un rotzione intorno di un ngolo, equivle un unic rotzione intorno di +. α β r 1 " L identità er esempio, fr le rotzioni di centro quell in cui l ngolo di rotzione è nullo è l identità. EINIZINE Identità L identità è l trsformzione che ogni punto del pino ssoci il punto stesso. Indichimo l identità con i. In un identità tutti i punti sono uniti:, i (). 342 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

3 rgrfo 1. he cos sono le trsformzioni geometriche TERI L trsformzione invers oiché le trsformzioni geometriche sono funzioni iiettive, l invers di un trsformzione geometric è ncor un trsformzione geometric. In generle, dt un trsformzione t che ssoci un punto il punto, l trsformzione invers ssoci l punto il punto e viene indict con il simolo t 1. er esempio, l trsformzione invers dell rotzione precedente r è l rotzione r 1 di stesso centro e ngolo di ugule mpiezz m orientto in verso contrrio. L composizione di un trsformzione con l su invers h come risultto l trsformzione identità t 1 t i. t ' ' t 1 ' li invrinti di un trsformzione onsiderimo di nuovo un rotzione di centro e ngolo (figur lto): osservimo che il lto è congruente l lto, le due figure ed sono entrme concve, un ngolo retto viene trsformto in un ngolo retto. Le proprietà delle figure che non cmino nelle trsformzioni si chimno invrinti dell trsformzione. resentimo or un clssificzione sintetic e intuitiv delle trsformzioni geometriche, st sugli invrinti. omincimo dlle trsformzioni con il minor numero di invrinti. li omeomorfismi Tr le proprietà di un omeomorfismo figurno le seguenti: curve chiuse corrispondono curve chiuse, curve perte corrispondono curve perte; curve intreccite corrispondono curve intreccite con lo stesso numero di nodi (i punti in cui le curve intersecno se stesse); se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risult intersezione delle curve corrispondenti. Un invrinte di un omeomorfismo è l continuità delle figure. li omeomorfismi sono nche chimti trsformzioni topologiche. S 1 S 2 S 3 α ' ' ' igur 3 ei due poliedri, solo il cuo S 1 è trsformile nell sfer S 2 medinte un trsformzione topologic. oliedri di questo tipo vengono detti semplicemente connessi. Si può dimostrre che per essi, detti il numero delle fcce, quello dei vertici, S quello degli spigoli, vle l seguente formul di Eulero per i poliedri: S 2. Questo è un esempio di proprietà invrinte in un trsformzione topologic. Scopert d Eulero intorno l 1750, dl suo studio iniziò lo sviluppo di quell prte dell mtemtic dett Topologi. uoi verificre che l formul non vle per poliedri non semplicemente connessi. er esempio, nel poliedro S 3, 16, 16, S 32, quindi S 0 2. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 343

4 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE igur 4 L omr di un liro genert d un lmpdin dà l ide dell trsformzione di un rettngolo (il liro) in un qudriltero (l omr) medinte un proiettività. Le trsformzioni proiettive Un trsformzione proiettiv, o proiettività, è un prticolre trsformzione topologic, in cui le rette si trsformno in rette e i segmenti in segmenti. ossimo dire che è invrinte l «rettilinerità». Nelle proiettività viene in prticolre ' ' conservt l convessità delle figure. ' ' I tringoli si trsformno in tringoli, i poligoni convessi in poligoni convessi con lo stesso numero di lti. igur 5 In un ffinità l qudrto corrisponde il prllelogrmm : lle rette prllele e corrispondono le rette e, ncor prllele, e così vi. Le trsformzioni ffini Un trsformzione ffine, o ffinità, è un prticolre trsformzione proiettiv, nell qule viene conservto nche il prllelismo fr rette. ' ' ' ' igur 6 Un stess fotogrfi riprodott in due formti diversi è un esempio di similitudine: l form delle figure non cmi. L similitudine Un similitudine è un ffinità, nell qule si conserv l form delle figure e, in prticolre, l congruenz fr gli ngoli; inoltre, fr i segmenti corrispondenti esiste un rpporto costnte. Isometri deriv dl greco isos, che signific «ugule», e métron, che signific «misur». Le isometrie Le isometrie sono le trsformzioni che descrivono, in modo strtto, i movimenti che mntengono inlterte le misure degli oggetti, ossi i movimenti rigidi. igur 7 Rppresentimo un scensore con un rettngolo. Il movimento trsltorio dell scensore in direzione verticle è un prticolre isometri dett trslzione. nche l identità può essere vist come un prticolre isometri. Le isometrie, o congruenze, sono quindi prticolri similitudini che hnno il rpporto di similitudine ugule 1. In ltre prole, esse hnno come invrinte l distnz fr i punti: l distnz fr due punti è ugule ll distnz fr le loro immgini. iù in generle, le figure che si corrispondono in un isometri sono congruenti. Studieremo quttro tipi di isometrie: trslzione, rotzione, simmetri centrle, simmetri ssile. 344 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

5 rgrfo 2. L trslzione TERI 2. L trslzione I vettori È possiile orientre un segmento, fissndone un verso di percorrenz, d verso oppure d verso. rleremo, in questo cso, di segmento orientto. Indichimo il segmento orientto d verso con il simolo e d verso con il simolo. to un segmento orientto, dicimo che è equipollente d ogni ltro segmento orientto che h l stess lunghezz, l stess direzione e lo stesso verso. Nell insieme dei segmenti orientti, l relzione di equipollenz è un relzione di equivlenz, perché gode delle proprietà riflessiv, simmetric e trnsitiv. L equipollenz suddivide perciò i segmenti orientti del pino in clssi di equivlenz. gni clsse è chimt vettore e contiene tutti e soli i segmenti fr loro equipollenti. Indichimo un vettore con un letter sormontt d un frecci,, oppure con il segmento orientto che lo rppresent,. Un vettore è crtterizzto d: il modulo, ossi l misur dell lunghezz del segmento rispetto un unità prefisst; l direzione, cioè l direzione dell rett cui pprtiene il segmento; il verso. ettore deriv dl ltino vector, il cui significto è «che trsport». direzione modulo = verso Si chim vettore nullo il vettore che h come rppresentnti i segmenti nulli. Il vettore nullo viene indicto con 0, h modulo 0 e direzione e verso indeterminti. Si chim vettore opposto di un vettore il vettore, ossi il vettore che h lo stesso modulo di e l stess direzione, m verso contrrio. Indichimo il vettore opposto di v con v. v = v = er ottenere l somm di due vettori e, rppresentimo con il segmento e con il segmento, consecutivo l primo (figur 8). Il vettore somm è rppresentto dl segmento. In ltre prole, il vettore somm h lunghezz e direzione dell digonle del prllelogrmm di lti i due vettori. er quest rgione, l regol per sommre due vettori ssegnti è not come regol del prllelogrmm. + igur 8 ccimo coincidere il secondo estremo del primo segmento con il primo estremo del secondo segmento. Il vettore somm è. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 345

6 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE L trslzione EINIZINE Trslzione issto nel pino un vettore v, un trslzione è un trsformzione geometric che ogni punto f corrispondere il punto tle che è equipollente v. v ' ' = t v () Indichimo un trslzione di vettore v con il simolo t v ; nlogmente, l trslzione di vettore si indic con t. v imostrimo che un trslzione è un isometri: st dimostrre che, dti due punti qulsisi e e i loro trsformti e, i segmenti e sono congruenti. v v ' ' l punto corrisponde il punto, corrisponde. Il qudriltero è un prllelogrmm, perché h due lti opposti e congruenti e prlleli (sono due rppresentnti del vettore v ). In un prllelogrmm i lti opposti sono congruenti, quindi. Si può dimostrre nche che ll rett corrisponde l rett e che le due rette sono prllele. Quest proprietà è comune tutte le trslzioni: ogni rett corrisponde un rett ess prllel. Un cso prticolre di trslzione è l trslzione null, ossi l trslzione di vettore nullo. L trslzione null coincide con l identità. igur 9 L rett r è prllel l vettore dell trslzione. l punto di r corrisponde il punto ncor di r. L rett è unit. I punti uniti e le figure unite Un figur unit è un figur che coincide con l su trsformt. ESEMI In un trslzione di vettore v ogni rett prllel tle vettore è unit. Inftti, se un rett è prllel l vettore v, ogni suo punto corrisponde ncor un suo punto, quindi ll rett corrisponde se stess. v Q Q' ' r In un trslzione di vettore qulsisi non esistono punti uniti. ' c " " L composizione di due trslzioni pplichimo l trslzione t ll figur (figur lto). corrisponde l figur. L trslzione t f corrispondere l figur. L composizione delle due trslzioni t t è un nuov trslzione, t c, il cui vettore, c, è l somm vettorile di e di, ossi: t t t. 346 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

7 rgrfo 3. L rotzione TERI 3. L rotzione EINIZINE Rotzione issti nel pino un punto e un ngolo, l rotzione di centro e ngolo è quell trsformzione geometric che ogni punto f corrispondere il punto tle che: ; l ngolo ^ è congruente d e ugulmente orientto. α ' = r (;α) () ' Indichimo un rotzione di centro e ngolo con il simolo r ( ; ). Si può dimostrre che un rotzione è un isometri. Un cso prticolre di rotzione è l rotzione null, ossi l rotzione di ngolo nullo o di un ngolo multiplo di un ngolo giro. L rotzione null coincide con l identità. In un rotzione non null l unico punto unito è il centro, mentre esistono figure unite rispetto prticolri rotzioni. er esempio: l circonferenz e il cerchio sono figure unite rispetto un rotzione, di ngolo qulsisi, intorno l loro centro; il qudrto è un figur unit per rotzioni di centro il punto d incontro delle digonli e di ngoli multipli interi di un ngolo retto (un ngolo retto, un ngolo pitto...). L composizione di rotzioni onsiderimo due rotzioni con lo stesso centro e con ngoli di rotzione diversi e (figur 10), rotzioni indicte rispettivmente con: r (; ) e r (; ). L trsformzione compost r (; ) r (; ) è un nuov rotzione vente lo stesso centro e ngolo ugule ll ngolo somm di e : r (; ) r (; ) r (; ). Non è detto, invece, che l composizione di due rotzioni di centri diversi si ncor un rotzione. sserv l esempio dell figur 10. ertnto l composizione fr rotzioni di centri diversi non è un operzione intern ll insieme delle rotzioni. igur 10 " ' β β α α + β α ' opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 347

8 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE Indichimo un simmetri di centro con il simolo s. ' = s () ' 4. L simmetri centrle EINIZINE Simmetri centrle issto nel pino un punto, un simmetri centrle di centro è l trsformzione geometric che ogni punto f corrispondere il punto tle che il segmento i come punto medio. ll definizione deducimo che l punto corrisponde se stesso, quindi è un punto unito. Si può dimostrre che l simmetri centrle è un isometri. ' Inoltre, nelle simmetrie centrli ogni rett corrisponde un rett ess prllel (figur lto). c ' unque, nche nell simmetri centrle, come nell trslzione, l direzione delle rette è un invrinte. ˆ ' Il punto, centro di simmetri, è l unico punto unito dell simmetri centrle, mentre ogni rett pssnte per è unit. L simmetri centrle può nche essere penst come un rotzione di un ngolo pitto intorno l centro di simmetri e vicevers (figur lto). E Il centro di simmetri di un figur onsiderimo l figur e il punto interno ess (figur lto). eterminimo l figur corrispondente nell simmetri di centro. In questo cso prticolre, osservimo che ciscun punto dell figur corrisponde un ltro punto dell figur: d corrisponde, corrisponde, E corrisponde ecc. L figur dt è quindi un figur unit rispetto ll simmetri centrle. Il punto, centro dell simmetri, è detto centro di simmetri dell figur. igur 11 In generle, un punto del pino è detto centro di simmetri di un figur se l figur è unit rispetto ll simmetri centrle di centro quel punto. M. Un segmento h come centro di simmetri il proprio punto medio.. Un prllelogrmm h come centro di simmetri il punto di incontro delle digonli. c. Un cerchio h come centro di simmetri il proprio centro. 348 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

9 rgrfo 5. L simmetri ssile TERI L composizione di due simmetrie centrli onsiderimo l simmetri centrle s pplict ll figur. ll figur corrisponde (figur ). pplichimo l simmetri centrle s ll figur. ll figur corrisponde. L composizione delle due simmetrie s s è un trslzione, t v, il cui vettore v è il doppio del vettore che congiunge i due centri (figur ), ossi: s s t 2. Inftti, nel tringolo, il punto è punto medio di e è punto medio di, quindi il segmento è prllelo d ed è lungo metà del segmento stesso per il teorem di Tlete. Questo esempio f cpire che l operzione di composizione non è un operzione intern nell insieme delle simmetrie centrli: componendo due simmetrie centrli non si ottiene un simmetri centrle, m un trslzione. L composizione di un simmetri centrle con se stess dà come risultto l identità. Inftti, un qulunque punto corrisponde in un simmetri s il punto e l punto corrisponde nell stess simmetri s di nuovo il punto. Si dice nche che l simmetri centrle è un trsformzione involutori. In generle, un trsformzione geometric è involutori qundo, componendol con se stess, si ottiene come risultto l identità. ' ' trslzione ' " " ' " ' 5. L simmetri ssile EINIZINE Simmetri ssile isst un rett nel pino, un simmetri ssile è l trsformzione geometric che: 1. ogni punto R di f corrispondere se stesso; 2. ogni punto, non pprtenente d, f corrispondere il punto, dll prte oppost di rispetto d, tle che: pprtiene ll rett pssnte per e perpendicolre d ; e hnno l stess distnz d. R ' R = s (R) ' = s () L rett viene dett sse di simmetri. Si può dimostrre che l simmetri ssile è un isometri. In un simmetri ssile, l sse di simmetri è l insieme di tutti e soli i punti uniti dell trsformzione. Indichimo un simmetri ssile di sse con il simolo s. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 349

10 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE RLEMI, RINMENTI, EUZINI Il percorso più reve Nel sito: Sched di lvoro ue punti e sono situti in uno stesso semipino generto d un rett r. etermin su r il punto tle che l spezzt i l minim lunghezz. MRELL: INN: «ipende molto d come sono messi e. isogn esminre più csi». «Mi semr che quello più semplice si qundo e sono ll stess distnz d r. rtimo d lì». rocedi come suggerisce iovnn. ove si trov? Scegli poi diverse distnze d r e, in ognuno dei csi che esmini, determin. Rissumi i csi in uno stesso foglio che conteng un unico punto, i punti 1, 2, 3, e i corrispondenti 1, 2, 3, Riesci individure qulche proprietà? L sse di simmetri di un figur Un rett del pino si dice sse di simmetri di un figur se l figur è unit rispetto ll simmetri ssile che h per sse quell rett. ESEMI igur 12 Sono ssi di simmetri le rette delle digonli, nel romo; delle digonli e dei punti medi dei lti opposti, nel qudrto; dei dimetri, nel cerchio. igur 13 omposizione s s. os puoi dire di s s? L composizione di due simmetrie ssili L composizione di simmetrie con ssi non prlleli ' ' ' H ' ' K " ". onsiderimo le rette e. L simmetri s trsform ' nell incidenti in. L simmetri s figur ". I tringoli rettngoli 'K trsform l figur nell figur '. e K" sono congruenti, sempre per I tringoli rettngoli H e H' il primo criterio, quindi sono congruenti per il primo 'K ˆ K". ˆ criterio, perciò H ˆ H'. ˆ α ' 2α " " c. L composizione delle due simmetrie s s è l rotzione di centro, intersezione degli ssi, e di ngolo il doppio dell ngolo α segnto in figur (l ngolo convesso formto dlle rette e ). 350 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

11 rgrfo 5. L simmetri ssile TERI L composizione di un simmetri con se stess Se pplichimo due volte un stess simmetri ssile, vedimo che un punto corrisponde il suo simmetrico e d corrisponde di nuovo. L simmetri ssile è quindi un trsformzione involutori. L composizione di simmetrie con ssi prlleli igur 14 ' ' " ' ". onsiderimo l simmetri s, che pplict ll figur produce l figur '.. pplichimo or ' l simmetri s (dove l sse è prllelo d ). ' corrisponde l figur ". c. L composizione delle due simmetrie s s è un trslzione, il cui vettore h per modulo il doppio dell distnz fr i due ssi. L composizione di simmetrie con ssi perpendicolri Se gli ssi di simmetri sono perpendicolri, l composizione delle due simmetrie equivle un rotzione di un ngolo pitto, ossi un simmetri centrle (figur 15). igur 15 ' ˆ ' " ". ll figur corrisponde ' nell simmetri di sse e ' corrisponde l figur " nell simmetri di sse.. L figur viene trsformt in " con ˆ un rotzione di un ngolo pitto di centro, ossi con un simmetri centrle di centro. Le simmetrie ssili e le isometrie Si può dimostrre che ogni rotzione e ogni trslzione possono essere penste come composizioni di due opportune simmetrie ssili. imo nche visto che l simmetri centrle coincide con l rotzione di un ngolo pitto e di medesimo centro. ertnto, possimo dire che ogni isometri può essere penst come composizione di simmetrie ssili. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 351

12 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE ESLRZINE: TSSELLRE È UN RTE prti vuote, come, per esempio, nel pvimento di un stnz. Nell rte sono stte rppresentte tssellzioni nelle quli figure geometriche vengono ripetute medinte trslzioni, simmetrie e loro composizioni. Un tssellzione di M.. Escher. Le tssellzioni sono ricoprimenti del pino medinte figure geometriche disposte senz lscire IN INQUE SLIE Nell immgine di Escher prov individure le trsformzioni geometriche utilizzte. erc in Internet ltri esempi di tssellzioni, individundo il motivo che si ripete, le trsformzioni pplicte. Relizz un presentzione multimedile. erc nel we: tssellzioni, Escher, plne ptterns, mthemtics. 6. L omoteti Il rpporto fr vettori prlleli I vettori sono segmenti orientti, quindi è possiile definire il rpporto fr due vettori prlleli in nlogi l rpporto fr due segmenti. igur 16 ESEMI = 2 = 2 = 2 = 2. Se e hnno lo stesso verso, è positivo.. Se e hnno verso opposto, è negtivo. Il rpporto fr due vettori prlleli è quel numero rele k che esprime il rpporto fr i segmenti corrispondenti, con l seguente convenzione: se i vettori hnno lo stesso verso, il numero k è positivo; se i vettori hnno verso opposto, il numero k è negtivo. 352 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

13 rgrfo 6. L omoteti TERI L omoteti EINIZINE moteti issti un punto nel pino e un numero rele k diverso d zero, l omoteti è l trsformzione geometric che un punto f corrispondere il punto tle che: pprtiene ll rett ; k. 1 o (; k) 2 3 k ' ' = o (; k) (') moteti deriv dl greco omós, «ugule», e thetós, «posto». Indichimo un omoteti di centro e rpporto k con il simolo o (; k). er esempio, o ( ; 2) indic l omoteti di centro e rpporto 2. Il punto è detto centro dell omoteti e k rpporto di omoteti. Un omoteti si dice dirett se k 0, invers se k 0. In generle, se k 1 l figur immgine è ingrndit rispetto quell inizile, se k 1 è rimpicciolit. In un omoteti l unico punto unito è il centro. Tlvolt le omotetie sono dette diltzioni (si per k 1, si per k 1). k = 1 2 Studimo or i due csi prticolri k 1 e k 1. L identità (k 1) Se 1, llor è. ogni punto corrisponde se stesso: l omoteti considert è l identità. L simmetri centrle (k 1) Se 1, llor è, ossi i due vettori e hnno lo stesso modulo, l stess direzione e verso opposto. L omoteti è l simmetri centrle di centro. i limitimo enuncire i seguenti teoremi. ' ' ' ' ' ' k = 1 2 TEREM In un omoteti di rpporto k, un segmento corrisponde un segmento prllelo d e tle che k. TEREM In un omoteti ogni ngolo corrisponde un ngolo congruente. igur 17 ) to un tringolo e un punto, il tringolo è omotetico d nell omoteti di centro e rpporto 1 2 (omoteti dirett). ue punti corrispondenti stnno sull stess semirett di origine. ) è il corrispondente del tringolo nell omoteti di centro e rpporto 1 2 (omoteti invers). ue punti corrispondenti stnno su semirette opposte di origine. ' k = 1 Nel prossimo cpitolo studieremo l similitudine, che è l composizione di un omoteti con un isometri o vicevers. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 353

14 TERI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE Letture llo specchio! esistono prole che si possono leggere nche llo specchio? Il quesito completo pg. 341 Un prol (o un frse) plindrom contiene in sé un form prticolre di simmetri ssile. In ogni plindromo si può inftti rintrccire un «sse di simmetri», oltre il qule le lettere si ripetono, con l ordine rovescito. Nel cso dell prol INENI, l sse si trov sull letter E. rlimo di sse di simmetri non per l form delle lettere, m per l loro distnz dll sse: entrme le I distno tre lettere dll sse pssnte per l E, le N ne distno due, le un. sservlo nell figur seguente. INENI INENI In certi csi, l sse di simmetri non pss per un letter: è il cso dell frse ET NELL ENTE. Qui l sse di simmetri pss tr le due L: ETNELLENTE Se gurdti con occhio esclusivmente geometrico, i plindromi non sono perfettmente simmetrici. Nell prol INENI l form dell letter, per esempio, non viene riportt fedelmente dopo l riflessione sull sse. llo stesso modo, mettendo l prol INENI dvnti llo specchio, che stilisce un simmetri secondo un sse esterno ll prol, non si riesce leggerl nuovmente. differenz dell, tuttvi, esistono lettere che, un volt riflesse, risultno identiche nche come form. Sono le lettere:, H, I, M,, T, U,, W, X, Y. ffinché un prol poss essere lett nche llo specchio, dovrà innnzitutto essere plindrom, inoltre dovrà essere scritt esclusivmente con lettere l cui form i un sse di simmetri verticle. Le due condizioni rendono molto difficile l ricerc di prole «d specchio». lcuni esempi sono TT, TT, M, TT. TT TT MIRMMI INENI INENI Se voglimo rendere più fruttuos l ricerc, possimo ricorrere un piccolo strtgemm che elimin l condizione più forte, e cioè che le prole sino plindrome. res un qulsisi prol compost soltnto d lettere simmetriche, srà sufficiente scriverl in verticle per poterl leggere llo specchio immutt. ttenzione: nche l prol IMMUTT rimrrà immutt! I M M UT T I M M UT T Esiste un form di rte grfic che gioc proprio sull simmetri e le prole. li migrmmi sono immgini in cui l prol scritt può essere lett in più di un modo. L prol ININIT qui indict ne è un esempio: ruot il liro di 180 e Riconosci qulche simmetri? L posizione dei pllini rossi può iutrti 354 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

15 L teori in sintesi ESERIZI L TERI IN SINTESI Le trsformzioni geometriche 1. he cos sono le trsformzioni geometriche Un trsformzione geometric è un corrispondenz iunivoc che ssoci ogni punto del pino un punto del pino stesso. trsformzione t ' E E' ' ' ' ' ' = t() immgine del punto ' = t() immgine dell figur te due trsformzioni geometriche t 1 e t 2, se l punto viene ssocito t 1 () e viene ssocito t 2 ( ), l trsformzione compost t 2 t 1 ssoci l punto il punto. t 1 t 2 t 2 o t 1 L identità è l trsformzione che ogni punto del pino ssoci il punto stesso. Un invrinte di un trsformzione è un proprietà che si conserv nel pssre d un figur ll su corrispondente. Se, in un trsformzione, un punto corrisponde se stesso, llor tle punto si dice punto unito. Se, in un trsformzione, un figur corrisponde se stess, llor tle figur si dice figur unit Le isometrie Le isometrie, o congruenze, sono prticolri similitudini che hnno come invrinte l distnz fr punti. Nell tell pgin 356 sono illustrti i quttro tipi di isometrie con le reltive definizioni. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 355

16 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE ISMETRIE TI I ISMETRI ENTI HE NI UNT SSI ESEMI L RTTERIZZN IL UNT TLE HE: Trslzione vettore v v ' v Rotzione centro ngolo orientto ^ ^ è orientto come α ' α Simmetri centrle centro il segmento h come punto medio ( corrisponde se stesso) ' Simmetri ssile sse è sull rett pssnte per e perpendicolre d, dll prte oppost di rispetto d ; e hnno l stess distnz d ' 6. L omoteti issto un punto e un numero rele k 0, un omoteti f corrispondere un punto il punto tle che: 1. pprtiene ll rett ; 2. il rpporto k. Il punto è detto centro dell omoteti. Se k 0, l omoteti si dice dirett e l figur corrispondente è dll stess prte di rispetto ll figur dt. Se k 0, l omoteti si dice invers e l figur corrispondente è dll prte oppost rispetto. Se k 1, l figur immgine è ingrndit rispetto ll figur dt; se k 1, è rimpicciolit. 356 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

17 rgrfo 1. he cos sono le trsformzioni geometriche ESERIZI k > 0 omoteti dirett ' ' k > 1 ingrndimento k < 0 ' omoteti ' invers ' ' c d k < 1 rimpicciolimento ' ' 1. he cos sono le trsformzioni geometriche Teori pg. 341 RILETTI SULL TERI 1 ER LS? ) In un identità tutti i punti del pino sono uniti. ) L composizione di due trsformzioni può non essere un trsformzione. c) In ogni proiettività un invrinte è il prllelismo. d) L trsformzione che ssoci un tringolo un spirle è un omeomorfismo. e) L invers di un trsformzione geometric è sempre un trsformzione geometric. f) Un ffinità è un similitudine. ESERIZI 2 TEST Un trsformzione geometric è: 3 TEST Un delle seguenti proposizioni è fls. un relzione di equivlenz fr le figure del Qule? pino. L continuità e l convessità sono invrinti un corrispondenz iniettiv, che può essere degli omeomorfismi. non suriettiv, fr i punti del pino. L convessità e il prllelismo sono invrinti un corrispondenz iiettiv del pino in sé. delle isometrie. un corrispondenz iiettiv del pino in sé L continuità e l form sono invrinti delle che mntiene invrite le dimensioni delle similitudini. figure. L continuità, l convessità e il prllelismo E un corrispondenz iunivoc fr i punti del sono invrinti delle ffinità, delle similitudini e delle isometrie. pino che mntiene invrit l form delle figure. E L form è invrinte delle similitudini e non delle ffinità. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 357

18 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 4 5 L trsformzione t ssoci un qudrto Q un qudrto Q di lto l metà del lto di Q. L trsformzione t ssoci un qudrto S un qudrto S di lto il triplo del lto di S. Esegui l composizione t t e poi t t. Le due trsformzioni composte coincidono? onsider le trsformzioni t e t dell esercizio precedente: descrivi le trsformzioni inverse t 1 e t 1. MLET inserendo l posto dei puntini il nome dell trsformzione rppresentt in figur. 6 identità omeomorfismo identità L trslzione Teori pg. 345 RILETTI SULL TERI 8 ER LS? 9 ER LS? ) L equipollenz è un relzione d ordine che suddivide i segmenti orientti in clssi di equivlenz dette vettori. ) Il vettore opposto di un vettore v è un vettore che h stesso modulo e verso di v, m direzione oppost. c) L somm di due vettori opposti è il vettore nullo. d) er sommre due vettori che hnno l stess direzione, m versi opposti, si us l regol del prllelogrmm. ) L trslzione di vettore nullo coincide con l identità. ) Un figur unit è un figur di punti uniti. c) Un trslzione, divers dll trslzione null, non h punti uniti, m può vere rette unite. d) L composizione di due trslzioni, un di vettore v e un di vettore w, è un trslzione di vettore v w. 358 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

19 rgrfo 2. L trslzione ESERIZI ESERIZI Nel sito: 4 esercizi di recupero I vettori L somm di vettori 10 ESERIZI UI Rppresentimo il vettore somm dei vettori e in figur. + + i i i i. isegnimo i vettori in modo che risultino consecutivi, fcendo coincidere il secondo + estremo di con il primo estremo di. Il vettore somm è il vettore che h: modulo ugule ll misur dell lunghezz dell digonle del prllelogrmm; direzione ugule quell dell digonle del prllelogrmm; verso che v dl primo estremo del primo vettore l vertice opposto del prllelogrmm. +. isegnimo il prllelogrmm vente per lti i due vettori e trccimo l digonle. 11 Rppresent il vettore somm dei vettori indicti nelle figure. c d e f erific che l ddizione tr vettori è commuttiv. erific che l ddizione tr vettori è ssocitiv. L trslzione 14 pplic ogni punto dell figur l trslzione di vettore indicto e determin il punto corrispondente. Q R c 15 Trsl ogni figur secondo il vettore indicto. p q E c r d e f R S c opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 359

20 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 16 Trsl ogni figur secondo il vettore indicto. 17 pplic ogni figur l composizione di trslzioni t t e poi t t. Si trtt dell stess trsformzione? c c L trslzione e l congruenz imostr che in un trslzione segmenti corrispondenti sono congruenti e prlleli. isegn un rett r e un segmento fuori di ess. Scegliendo un punto su r, è possiile individure un qurto punto del pino tle che si un prllelogrmm. rtterizz, medinte un opportun trslzione, il luogo geometrico descritto dl punto l vrire di sull rett r isegn un prllelogrmm di centro. Trcci per l prllel e per l prllel d. Le due prllele si intersecno nel punto E. etermin le immgini dei punti e nell trslzione di vettore E. isegn il tringolo isoscele sull se e il punto medio M di. etermin l immgine del punto nell trslzione di vettore e l immgine N del punto nell trslzione di vettore M. Studi l ntur dei qudrilteri e MN. 3. L rotzione Teori pg. 347 RILETTI SULL TERI 22 ER LS? ) L rotzione è un ffinità. ) issto in un pino un punto e un ngolo, l rotzione di centro e ngolo è univocmente determint. c) Il tringolo equiltero è un figur unit per rotzioni di centro il ricentro del tringolo e ngolo di mpiezz pri 120. d) L composizione fr rotzioni di centri diversi è un operzione intern ll insieme delle rotzioni. ESERIZI 23 In ogni figur pplic l punto disegnto in nero l rotzione di centro e ngolo indicto c d opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

21 rgrfo 3. L rotzione ESERIZI 24 pplic i segmenti e i cerchi dti l rotzione di centro e ngolo indicto c d L composizione di rotzioni 25 pplic ciscun figur l composizione dell rotzione r ( ; 90 ) in senso ntiorrio con l rotzione r ( ; 180 ) sempre in senso ntiorrio. pplic poi l trsformzione compost r ( ; 90 ) r ( ; 180 ). 26 pplic l trpezio in figur l composizione dell rotzione r ( ; 90 ) in senso ntiorrio intorno con l rotzione r ( ; 45 ) intorno, sempre in senso ntiorrio. pplic poi l trsformzione Le due composizioni dnno l stess trsformzione? compost r ( ; 90 ) r ( ; 45 ). ttieni l stess trsformzione? ' c imostrzioni ESERIZI UI 27 Un rett t tngente un circonferenz di centro ruot intorno di un ngolo, determinndo un ltr rett t. imostrimo che nche t è tngente ll circonferenz. T t' α t T' ' Ipotesi 1. t rett tngente in T ll circonferenz; 2. t è corrispondente di t nell rotzione r ( ; ). Tesi t è tngente ll circonferenz in T. imostrzione Nell rotzione di centro e ngolo orientto, l punto T dell circonferenz corrisponde il punto T dell circonferenz. un punto qulunque dell rett tngente corrisponde un punto. oiché in un rotzione un rett corrisponde un rett, ll rett t individut di punti T e corrisponde l rett t individut di punti corrispondenti T e. L rett t h in comune con l circonferenz solo il punto T. Inftti, se vesse con ess un ltro punto di intersezione distinto d T, questo dovree essere il corrispondente di un punto di intersezione dell circonferenz con l rett t, diverso d T. M ciò sree contro l ipotesi 1. ertnto, l rett t è tngente ll circonferenz nel punto T. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 361

22 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 28 ti due punti e nel pino, individu un punto tle che l rotzione di 90 e centro porti il punto su., in modo che si dll prte oppost rispetto l vertice. ) os puoi ffermre sui punti,,? ) imostr che i punti,, E sono llineti isegn un tringolo e costruisci esternmente i due tringoli equilteri E e. onfront i due segmenti e E. so prticolre: se è equiltero, come sono i punti E, e? imostr che, in un rotzione di 90 e centro ritrrio, un rett e l su corrispondente sono sempre perpendicolri. 33 isegn un qudrto e il suo centro. iss un punto M sul lto e costruisci il suo corrispondente N nell rotzione di centro di un ngolo retto in senso ntiorrio. ) imostr che N pprtiene d. ) onfront i due segmenti M e N. c) onfront gli ngoli ^M e ^N. d) onfront i tringoli M e N. 31 isegn due tringoli isosceli non congruenti, e, rettngoli in, unico vertice in comune. Nomin i vertici in senso ntiorrio e dimostr che: ) è congruente ; ) è perpendicolre. 34 I tre qudrti dell figur hnno in comune il vertice e ognuno h un vertice sull rett r. Spieg perché i punti, e N sono llineti. N 32 isegn un qudrto e un tringolo equiltero interno l qudrto. ostruisci esternmente l qudrto i tringoli equilteri E e r 4. L simmetri centrle Teori pg. 348 RILETTI SULL TERI 35 ER LS? ) L simmetri centrle di centro può essere vist come un rotzione di centro e per ngolo un ngolo pitto. ) L composizione di due simmetrie centrli è un simmetri centrle. c) Il centro di simmetri di un romo è il punto di incontro delle digonli. d) Nelle simmetrie centrli ogni segmento corrisponde un segmento prllelo. ESERIZI ESERIZI UI 36 ti i punti e, determinimo il punto corrispondente di nell simmetri centrle di centro. ongiungimo con e prolunghimo il segmento di un segmento congruente l segmento. Il punto è il punto cercto. ' 362 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

23 rgrfo 4. L simmetri centrle ESERIZI 37 In ciscun figur determin il simmetrico di ogni punto rispetto l punto. 40 er ciscun delle tre figure disegn il simmetrico del cerchio rispetto l punto. c 38 isegn il simmetrico di ogni segmento in figur rispetto l punto. E 41 Trsform le due figure medinte l composizione di simmetrie s s. Trsformle poi medinte s s. ttieni le stesse figure trsformte? ' 39 isegn, per ogni figur, l figur corrispondente nell simmetri centrle di centro. c ' c L simmetri centrle e l congruenz ESERIZI UI 42 imostrimo che, in un circonferenz, i punti dimetrlmente opposti gli estremi di un cord sono gli estremi di un cord prllel e congruente d. ' Ipotesi Tesi ' 1. cord; 2. dimetro; 3. dimetro. 1. ; 2.. ' ' imostrzione Il punto è simmetrico di rispetto l centro dell circonferenz (ipotesi 2) e così pure è simmetrico di rispetto (ipotesi 3). oiché l simmetri centrle è un isometri, l segmento corrisponde il segmento esso congruente, cioè:. Inoltre, poiché in un simmetri centrle un rett corrisponde un rett prllel, l segmento corrisponde il segmento esso prllelo, cioè:. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 363

24 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE isegn un prllelogrmm di centro. Indic le immgini dei punti,, e nell simmetri di centro e dimostr che esse formno un prllelogrmm. isegn un prllelogrmm di centro. imostr le proprietà del prllelogrmm medinte l simmetri di centro. isegn due prllelogrmmi e E in modo che ino l digonle in comune. ) onfront gli ngoli E^ e ^. ) onfront i tringoli E e imostr che due ngoli con i lti prlleli discordi sono congruenti. ue rette r e r si intersecno in un punto. Individu un circonferenz che incontr le due rette in quttro punti, vertici di un rettngolo. isegn due circonferenze e tngenti esternmente in T e un rett tngente entrme nei punti pprtenente e pprtenente. Specific l ntur del tringolo T. (Suggerimento. Indic con il punto medio del segmento e consider l simmetri...) 46 Nel tringolo rettngolo in, costruisci l immgine del vertice nell simmetri di centro e l immgine E del vertice nell stess simmetri. Specific l ntur del qudriltero E. 50 isegn un rett r e un segmento fuori di ess. iss su r un punto e costruisci il prllelogrmm. etermin il luogo dei punti l vrire di sull rett r. Il centro di simmetri di un figur 51 isegn due rette prllele r e r, intersecte d 52 imostr che il centro di un poligono regolre di un trsversle t. Individu il centro di simmetri n lti è centro di simmetri solo se n è un numero dell figur e dimostr che t è unit. pri. 5. L simmetri ssile Teori pg. 349 RILETTI SULL TERI 53 ER LS? ) In un simmetri ssile l sse di simmetri è un rett unit. ) In un simmetri ssile ogni rett corrisponde un rett ess prllel. c) L composizione di due simmetrie ssili venti ssi prlleli è ncor un simmetri ssile. d) L composizione di due simmetrie ssili con ssi perpendicolri equivle un simmetri centrle. ESERIZI Nel sito: 5 esercizi di recupero 54 In ciscun figur determin il simmetrico del punto indicto rispetto ll rett disegnt. 55 isegn il simmetrico di ogni segmento in figur rispetto ll sse. c c c 364 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

25 rgrfo 5. L simmetri ssile ESERIZI 56 isegn per ogni figur l figur corrispondente nell simmetri ssile di sse. c d L sse di simmetri di un figur 57 Qunti ssi di simmetri possiede ogni figur? isegnli. L composizione di due simmetrie ssili 58 Trsform il trpezio in figur medinte l composizione di simmetrie ssili s s. Trsformlo poi medinte s s. ttieni l stess figur trsformt? 59 isegn l figur trsformt di medinte l composizione delle due simmetrie d ssi perpendicolri s s. pplic s s. Si trtt dell stess trsformzione? L simmetri ssile e l congruenz ESERIZI UI 60 imostrimo, medinte un simmetri ssile, che i punti dell isettrice di un ngolo sono equidistnti di lti dell ngolo. α' α H' r H s opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 365

26 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE Ipotesi 1. ; 2. è un punto dell isettrice; 3. H s; 4. H r. Tesi H H. imostrzione Nell simmetri di sse, l punto corrisponde se stesso, perché tutti i punti dell sse sono uniti. isegnimo il corrispondente del punto H nell stess simmetri e lo indichimo con H. imostrimo che H coincide con H. Nell simmetri di sse, l segmento H corrisponde il segmento H, ll semirett s corrisponde l semirett r. H" H' er l ipotesi 3, il segmento H è perpendicolre s, quindi risult nche H r. er l ipotesi 4, H r; poiché è unic l perpendicolre r pssnte per, il punto H deve coincidere col punto H. Inoltre, poiché l simmetri ssile è un isometri, i segmenti corrispondenti sono congruenti, quindi: H H. M H r s 61 to un sse di simmetri, scegli due punti e, 69 imostr che un cord di un cerchio h per sse esterni ll sse, in modo che con i corrispondenti di simmetri il dimetro perpendicolre ll punti e si formi il rettngolo. cord t un rett r, scegli due punti e, esterni ess, in modo che, detti e i loro corrispondenti nell simmetri ssile di sse r, i due segmenti e sino fr loro perpendicolri. to il qudrto, determin gli ssi rispetto i quli risultno simmetrici: ) e ; ) e t un circonferenz e due rette prllele tngenti ess, dimostr che l figur h due diverse simmetrie ssili. Quli? isegn un segmento, il suo sse e un punto esterno entrmi. ostruisci il simmetrico del punto rispetto ll sse, utilizzndo l sol proprietà che, in un simmetri ssile, rette corrispondono rette. 64 isegn un romo e un punto sull digonle. onfront l distnz di d con l distnz di d. 72 Individu l sse rispetto l qule sono simmetriche le tngenti un circonferenz condotte d un punto esterno. iustific l rispost imostr che un tringolo isoscele e il suo simmetrico rispetto ll se formno un romo. imostr che il luogo dei punti equidistnti d due rette prllele è l rett prllel lle dte e che h l stess distnz d entrme. L figur intersezione di due figure che hnno un sse di simmetri comune è ncor un figur simmetric rispetto tle sse. imostrlo. imostr che l sse di un segmento è nche suo sse di simmetri isegn un rett r e due punti e non pprtenenti r e posti nel medesimo semipino vente origine nell rett. onsider un punto che può scorrere sull rett. etermin in modo tle che il percorso si minimo. (Suggerimento. onsider il punto simmetrico di rispetto r, congiungi con, ) t un circonferenz di centro, d un punto esterno trcci le due tngenti. imostr che è sse di simmetri per l ngolo formto dlle due semirette tngenti venti origine in. 366 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

27 rgrfo 6. L omoteti ESERIZI ue circonferenze di centri e e stesso rggio si intersecno in e in. Indic con K il punto intersezione di con. imostr che l figur ottenut mmette e come ssi di simmetri e K come centro di simmetri. isegn un tringolo non isoscele e costruisci il punto M che si equidistnte dlle rette e e di punti e. iustific l costruzione. onsider un circonferenz di centro e un punto esterno. onduci d le tngenti r e r ll circonferenz e un rett che le intersec entrme. etermin il punto di tle che l simmetri di sse trsformi l rett r in r. 6. L omoteti Teori pg. 352 RILETTI SULL TERI 78 ER LS? ) Un omoteti di centro e rpporto 1 è un simmetri ssile. ) L congruenz degli ngoli è un invrinte per le omotetie. c) L composizione di due omotetie con lo stesso centro è un omoteti che h lo stesso centro e, per rpporto di omoteti, l somm dei due rpporti. d) L similitudine è un omoteti. ESERIZI Nel sito: 6 esercizi di recupero ESERIZI UI 79 Nei due riqudri ci sono due figure omotetiche e. ll figur corrisponde l figur. Stilimo se le omotetie di centro sono dirette o inverse e clcolimo il rpporto k di omoteti. ' ' ' ' ) oiché i vettori e hnno lo stesso verso, l omoteti è dirett. Il rpporto k di omoteti è dto dl rpporto fr i vettori e. oiché è il doppio di, k 2. Si trtt di un ingrndimento. ) oiché i vettori e hnno verso opposto, l omoteti è invers. Il rpporto k di omoteti è dto dl rpporto fr i vettori e. oiché è il doppio di, k 2. Si trtt ncor di un ingrndimento. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 367

28 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 80 In ogni riqudro ci sono due figure omotetiche e. ll figur corrisponde l figur. Stilisci se l omoteti di centro è dirett o invers e determin il rpporto k di omoteti.? ' ' '? c ESERIZI UI 81 ti i punti e determinimo il punto corrispondente di nell omoteti di centro e rpporto 3. oiché il rpporto di omoteti è negtivo, il punto si trov d prte oppost rispetto. ertnto congiungimo con e prolunghimo il segmento. oiché 3, 3, quindi costruimo il segmento triplo di. Il punto disegnto in figur è il punto cercto. ' 82 etermin per ogni riqudro il punto corrispondente 85 isegn il segmento corrispondente nell omote- rispettivmente d, e Q nell omoteti ti di centro e rpporto indicto. di centro e rpporto k indicti. 83 k = 2 k = 5 Nelle due figure un omoteti di centro trsform in, in e in. etermin e. c Q k = 1 3 Le figure omotetiche 86 k = 2 isegn l figur omotetic dell figur nell omoteti di centro e rpporto k 2. k = 3 c k = 3 2 ' ' 84 ' Il punto è omotetico di nell omoteti di centro e rpporto 3. Qule figur rppresent in modo corretto l omoteti? ' ' c ' ' 87 isegn le figure omotetiche quelle dte nell omoteti di centro e rpporto k indicti. k = 2 k = opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

29 RIEIL Le trsformzioni geometriche ESERIZI 88 isegn l figur omotetic dell figur nell omoteti di centro e rpporto k I lti opposti di un prllelogrmm si possono corrispondere in un stess omoteti di centro? 92 sserv i due disegni: ll figur corrisponde l figur. Stilisci se le omotetie sono dirette o inverse e clcol il rpporto di omoteti k. 89 isegn l figur omotetic di quell dt nell omoteti di centro e rpporto k 2. [) k3; ) k2] x 93 Esiste un omoteti che f corrispondere d il punto, il punto e il punto? ' ' 90 Nel tringolo, il segmento E è prllelo d. Individu il centro e il rpporto dell omoteti che trsform in e in E. ' 94 I rettngoli in figur sono omotetici fr loro? E RIEIL LE TRSRMZINI EMETRIHE 95 Riconosci le seguenti trsformzioni. ' ' ' ' ' ' ' ' ' c d ' ' ' 96 isegn tutti gli ssi di simmetri di un tringolo equiltero, di un qudrto e di un esgono regolre. opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 369

30 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 97 Individu in quli riqudri sono rppresentte in modo corretto un figur e l su simmetric rispetto l punto. c d e f 98 Il punto è simmetrico di rispetto l centro. Qule figur rppresent in modo corretto l simmetri? ' ' ' c 99 Individu il centro e l ngolo dell rotzione che f corrispondere l figur. ' ' ' ' c ' ' ecomponi un qudrto in otto tringoli congruenti, usndo i suoi ssi di simmetri. Individu le rotzioni che trsformno in sé un tringolo equiltero, un qudrto e un esgono regolre. 102 Il punto è simmetrico di rispetto ll sse. Qule figur rppresent in modo corretto l simmetri? 103 isegn il corrispondente di ogni cerchio in figur nell omoteti di centro e rpporto k indicti. ' ' ' c k = 1 2 k = opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

31 RIEIL Le trsformzioni geometriche ESERIZI 104 etermin il centro di simmetri delle seguenti 110 Spost un pedin ffinché l sccchier i lettere. un centro di simmetri nel punto indicto dll croce. 105 Scrivi ltre due lettere dotte di un centro di simmetri. 106 L figur dovree essere l simmetric di rispetto ll sse. L figur dovree essere l simmetric di rispetto l punto. he cos c è di sglito nell figur? 111 In figur sono rppresentte le sei fcce di un ddo. er ognun individu tutti gli ssi di simmetri. ' " 112 L cornice del qudro h l stess lrghezz sui quttro lti. I due rettngoli che delimitno l cornice sono omotetici? li ngoli formti di segmenti che compongono l letter Z sono congruenti? erché? Un figur formt d due ngoli con i lti prlleli discordi mmette un centro di simmetri? er ciscuno dei riqudri esegui l composizione delle due omotetie di centro e rpporto h e di centro e rpporto k, come indicto in figur. Esegui poi l composizione delle due omotetie in ordine inverso. ttieni l stess trsformzione? 113 er ognun delle figure determin un trsformzione che trsformi il tringolo nel tringolo. ' k = 2 k = 2 h = 3 h = 5 c k = 2 h = 5 ' opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn 371

32 ESERIZI ITL 7. LE TRSRMZINI EMETRIHE 114 onsider un tringolo e il punto simmetrico di rispetto. etermin il punto E immgine di nell trslzione di vettore. Il tringolo è il trsformto di E in un trslzione. Qul è il vettore di quest trslzione? 122 isegn un tringolo rettngolo in, poi indic con N il punto medio dell ipotenus e con M il punto medio di. ) imostr che N e N sono simmetrici rispetto MN. ) Trcci un rett perpendicolre MN che 115 intersechi N in E e N in. imostr che il tringolo NE è isoscele isegn un prllelogrmm di centro. Nell simmetri di sse, indic con il simmetrico del vertice e con il simmetrico del vertice. imostr che l simmetri di centro trsform in. ti un rett r e due punti e fuori di ess, indic con H l proiezione di su r e con H l proiezione di su r. onsider i punti e simmetrici di e di rispetto ll rett r. Se H è doppi di H e HH è triplo di H, qul è il rpporto fr e HH? opo ver disegnto un tringolo di se, indic con E il punto medio del lto e con quello di. Utilizzndo le proprietà dell simmetri di centro, dimostr che il segmento E è prllelo d e che E è l metà di. isegn un tringolo equiltero inscritto in un circonferenz di centro. Le tngenti ll circonferenz in e in si incontrno nel punto E. imostr che il tringolo E è equiltero. onsider due rette r e s che si intersecno nel punto e un punto che non pprtiene nessun delle due rette. Nell simmetri di centro, costruisci l rett r corrispondente di r e indic con il punto intersezione di r con s. Indic con il punto intersezione di con r. imostr che i punti e sono simmetrici rispetto l punto. Sono dti due rette r e s che si intersecno nel punto e un punto che non pprtiene né r né s. etermin un segmento che i come punto medio e gli estremi su r e su s. (Suggerimento. Questo esercizio è un ppliczione dell costruzione precedente.) Nel tringolo indic con M il punto medio di e con N il punto medio di. imostr che l somm degli ngoli interni di un tringolo è un ngolo pitto, utilizzndo due simmetrie centrli, un di centro M e l ltr di centro N. (Suggerimento. onduci per il punto l prllel d.) Nel prllelogrmm di centro, proiett sui quttro lti in modo d ottenere i punti E,,, H. ) he tipo di qudriltero è EH? ) recis che tipo di qudriltero è EH nel cso in cui si un rettngolo, oppure un qudrto, oppure un romo. E H onsider il rettngolo in figur. Supponi che l rett r si sse del lto e inoltre che ; E ; ; E. ) Nell simmetri di sse r determin le immgini di e E e deduci che i punti E e pprtengono r. ) imostr che H e pprtengono ll sse di. c) imostr che il qudriltero EH è un romo. r 121 isegn due rette r e r che si intersecno nel punto e un punto esterno entrme. Indic con H l proiezione di su r e con H l proiezione di su r. imostr che se l simmetri di sse trsform r in r, llor H H e vicevers. 372 opyright 2010 Znichelli editore S.p., ologn

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

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