Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

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1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del pino ssoci il punto P in modo tle che si: 3. P P. Si noti che d quest definizione segue che il punto è il punto medio del segmento PP. Figur E evidente che il corrispondente del centro è il centro stesso; dunque il centro è un punto unito dell simmetri s. I punti P e P che si corrispondono nell simmetri centrle nche simmetrici rispetto l punto. s (cioè: P P s ) si dicono Si noti che un simmetri centrle s è un corrispondenz biunivoc dl pino in sé. Esminimo or lcune proprietà delle simmetrie centrli.

2 Anzitutto si noti che se s (P) = P, llor s (P) = P; in ltri termini si h per ogni punto P del pino: s ( s (P)) = P. Questo signific che l composizione di un simmetri centrle con se stess è lidentità; ne consegue che linvers dell simmetri centrle s è l simmetri stess, cioè: 3. s. s Tle ftto si esprime nche dicendo che l simmetri centrle è un corrispondenz involutori. Si dimostr che ogni simmetri centrle è unisometri e che ogni simmetri centrle trsform un rett r in un rett d ess prllel. Essendo l simmetri centrle unisometri, si h che ess gode di tutte le proprietà geometriche delle isometrie (vedere il cpitolo ). Anche per studire lcune proprietà delle simmetrie centrli, può essere conveniente riferire il pino d un sistem di coordinte crtesine ortogonli O; in tl modo, dt un simmetri centrle s, si possono trovre le equzioni che permettono di ottenere le coordinte del punto s (P) = P = (, ) trmite le coordinte del punto P = (, ). Si il centro dell simmetri centrle s : = (, b). Si P = (, ) e si il suo corrispondente P = (, ). Allor si hnno le seguenti equzioni che esprimono le coordinte del punto P trmite quelle del punto P: 3.3 b. Le 3.3 sono nche chimte le equzioni dell simmetri centrle.

3 Osservimo che b è l mtrice ssocit ll simmetri centrle di equzioni 3.3. Si vede immeditmente che è un isometri dirett. Nel cso in cui il centro è lorigine (, ) degli ssi crtesini, dlle 3.3 si ottengono le equzioni dell simmetri centrle di centro lorigine degli ssi: 3.4 l cui mtrice ssocit è Figur Si è visto che il centro è un punto unito dell simmetri centrle; usndo le equzioni 3.3 si può dimostrre che il centro è lunico punto unito dell simmetri centrle. Definizione. Due figure F ed F si dicono simmetriche rispetto l punto se esiste un simmetri centrle s tle che: F s F.

4 Figur 3 Poiché ogni simmetri centrle è un isometri (congruenz), si h che due figure simmetriche rispetto d un punto sono congruenti. Definizione. Un figur F si dice simmetric rispetto d un punto se ess è l corrispondente di se stess nell simmetri centrle s, cioè: F s F. Il punto si chim nche il centro di simmetri dell figur F. Figur 4 Vedimo cos ccde effettundo l composizione di due simmetrie centrli. onsiderimo due simmetrie centrli: s con = (, b) vente equzioni

5 3.5 b ed s con b vente equzioni, 3.6 " " b. onsiderimo l composizione s o s di queste simmetrie centrli; per ottenere le equzioni di quest composizione, si sostituisce nelle equzioni 3.6 le espressioni di e che si hnno nelle 3.5; in tl modo si ottiene: 3.7 " " b b. Si noti che le equzioni 3.7 rppresentno le equzioni dell trslzione di vettore u = i b b. j Figur 5 Allo stesso risultto si perviene usndo le mtrici ssocite:

6 b b = b b Pssimo or lle simmetrie ssili. Per definire le simmetrie ssili viene usto il concetto di sse di un segmento. Definizione. Dt un rett del pino, si chim simmetri ssile di sse (che si indic con s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P dell rett ssoci lo stesso punto P e d ogni punto P non pprtenente ll rett ssoci il punto P tle che l rett è lsse del segmento PP. Figur 6 I punti P e P che si corrispondono nell simmetri ssile dicono nche simmetrici rispetto ll rett r. s (cioè tli che P P s ) si Vedimo or lcune proprietà delle simmetrie ssili. Si noti nzitutto che un simmetri ssile s è un corrispondenz biunivoc dl pino in sé. Inoltre si h che ogni simmetri ssile è unisometri. Essendo l simmetri ssile unisometri, si h che ess gode di tutte le proprietà geometriche delle isometrie (vedere il cpitolo ).

7 Dll definizione di simmetri ssile segue che tutti i punti del suo sse sono punti uniti, mentre tutte le rette perpendicolri llsse sono rette unite. Inftti un qulunque punto di un rett r perpendicolre llsse h per corrispondente un punto dell rett r. Supponimo or che si: s (P) = P; llor si ottiene: s (P) = P; in ltri termini si h per ogni punto P del pino: s ( s (P)) = P. Questo signific che l composizione di un simmetri ssile con se stess, cioè s o s è lidentità; ne consegue che linvers dell simmetri ssile s è l simmetri stess, cioè: 3.8 s. s Dunque ogni simmetri ssile è un corrispondenz involutori. Anche per studire lcune proprietà delle simmetrie ssili, può essere conveniente riferire il pino d un sistem di coordinte crtesine ortogonli O; in tl modo, dt un simmetri ssile s, è possibile trovre le equzioni che permettono di ottenere le coordinte del punto s (P) = P = (, ) trmite le coordinte del punto P = (, ). Le equzioni delle simmetrie ssili sono un po più complicte di quelle delle simmetrie centrli; considerimo nzitutto lcuni csi prticolri. Supponimo come primo cso che lsse dell simmetri ssile s si lsse delle scisse; si P = (, ) e si il suo corrispondente P = (, ). Allor le equzioni dell simmetri ssile vente per sse lsse delle scisse sono le seguenti: 3.9 l cui mtrice ssocit è.

8 Si dimostr che le equzioni dell simmetri ssile vente per sse lsse delle ordinte sono le seguenti: 3. l cui mtrice ssocit è. Si vede immeditmente che sono isometrie indirette. Si dimostr che le equzioni dell simmetri ssile s, vente per sse un rett prllel llsse delle scisse di equzione = h, sono le seguenti: 3. h l cui mtrice ssocit è h. Nello stesso modo si dimostr che le equzioni dell simmetri ssile s, vente per sse un rett prllel llsse delle ordinte di equzione = k, sono le seguenti: 3. k l cui mtrice ssocit è k. Figur 7

9 In generle si dimostr che le equzioni dell simmetri ssile vente per sse l rett di equzione = m + q sono le seguenti: : 3.3. m q m m m qm m m Si noti che le precedenti equzioni 3.9 e 3. sono un cso prticolre di queste ultime equzioni e si ottengono ponendo rispettivmente m =, q = e m =, q = h. Dlle equzioni 3.3 si ottengono come cso prticolre le equzioni dell simmetri ssile vente per sse l bisettrice del primo e del terzo qudrnte; poiché tle rett h equzione =, dobbimo porre nelle 3.3: m = e q = ; si ottengono così le equzioni cercte: 3.4 l cui mtrice ssocit è. Figur 8

10 Usndo le equzioni dell simmetri ssile si può dimostrre il seguente importnte risultto: l composizione di due simmetrie ssili con ssi perpendicolri è un simmetri centrle vente per centro il punto di intersezione dei due ssi. Nel cso prticolre in cui le simmetri ssili hnno gli ssi prlleli, llor l loro composizione è un trslzione, come prov il seguente risultto: l composizione di due simmetrie ssili con gli ssi prlleli è un trslzione. Di precedenti risultti segue in prticolre che l composizione di due simmetrie ssili non è un simmetri ssile. Un ltro risultto rigurdnte l composizione di simmetrie ssili è il seguente: l composizione di due simmetrie ssili con ssi perpendicolri è commuttiv. Il risultto precedente è interessnte poiché sppimo che in generle l composizione di due ppliczioni non è commuttiv (vedere lesercizio 4 del cpitolo ). Definizione. Due figure F ed F si dicono simmetriche rispetto d un rett se esiste un simmetri ssile s tle che: F s F. Figur 9 Poiché ogni simmetri ssile è unisometri (congruenz), si h che due figure simmetriche rispetto d un rett sono congruenti.

11 Definizione. Un figur F si dice simmetric rispetto d un rett se ess è l corrispondente di se stess nell simmetri ssile L rett si chim nche sse di simmetri dell figur F. s, cioè: F s F. Si noti che un figur, vente due ssi di simmetri e ortogonli, è nche simmetric rispetto l punto di intersezione dei due ssi di simmetri. Figur 3. Esercizi svolti. Dimostrre che ogni simmetri centrle trsform un rett r in un rett d ess prllel. Si dt un rett r del pino e sino P e Q due punti distinti di quest rett; sino P e Q i rispettivi corrispondenti per mezzo di un simmetri centrle; tli punti pprtengono ll rett r che è l corrispondente dell rett r. Dll dimostrzione dellesercizio precedente si h in prticolre che i segmenti PQ e PQ sono nche prlleli; ne consegue che le rette r ed r sono prllele.

12 . Dimostrre le equzioni 3.3 dell simmetri centrle Poiché è il punto medio del segmento PP, si h dll formul del punto medio di un segmento: b, d cui si ottengono le equzioni 3.3 dell simmetri centrle s di centro = (, b): b. 3. Determinre l rett r corrispondente dell rett r di equzione = 3 - nell simmetri vente per centro lorigine e verificre che r e r sono prllele. L simmetri vente per centro lorigine h equzioni. Lequzione di r è dt d 3( ), d cui si h: = 3 +. Perciò le rette r e r sono prllele, poiché hnno entrmbe coefficiente ngolre ugule Dimostrre che il punto di incontro delle digonli di un prllelogrmmo è il suo centro di simmetri. onsiderimo il prllelogrmmo ABD e si O il punto di incontro delle digonli. onsiderimo l simmetri di centro O. Poiché, per un proprietà dei prllelogrmmi, O è il punto medio delle digonli A e BD, si h che in quest simmetri l punto A corrisponde il punto ed l punto B corrisponde il punto D.

13 Dunque l lto AB corrisponde il lto D ed l lto AD corrisponde il lto B. Di conseguenz il punto di intersezione delle digonli di un prllelogrmmo è il suo centro di simmetri. 5. Dimostrre l formul 3.9. Si dto un punto P = (, ) del pino e si P = (, ) il suo corrispondente nell simmetri ssile vente per sse lsse delle scisse. Si H l proiezione ortogonle del punto P sullsse delle scisse. Il punto H = (, ) è il punto medio del segmento PP, perciò si h: = e + =, d cui si ottengono le equzioni 3.9 dell simmetri ssile vente per sse lsse delle scisse:. 6. Dimostrre l formul 3.. Si = h lequzione di un rett prllel llsse delle scisse e considerimo l simmetri ssile di sse. onsiderimo un punto del pino P = (, ) ed il suo corrispondente P = (, ). himto con H il piede dell perpendicolre condott dl punto P ll rett, si h: H = (, h). Il punto H deve essere il punto medio del segmento PP; dunque, dll formul del punto medio di un segmento si ottiene: h, d cui si hnno le equzioni 3. dell simmetri ssile s :

14 h. 7. Dimostrre che l composizione di due simmetrie ssili con gli ssi prlleli è un trslzione. Sino dte due simmetrie ssili s e s con gli ssi e b prlleli; senz perdere in b generlità, possimo considerre un sistem di riferimento crtesino O in cui le rette e b sono prllele llsse delle ordinte. Supponimo che le equzioni delle rette e b sino rispettivmente: = h e = k. Usndo le mtrici ssocite lle simmetrie, si h che: k h = k h che è proprio l mtrice ssocit ll trslzione di vettore v = (k h)i. 8. Dimostrre che l composizione di due simmetrie ssili con ssi perpendicolri è un simmetri centrle vente per centro il punto di intersezione dei due ssi. Sino dte due simmetrie ssili s e s con gli ssi e b perpendicolri; senz perdere in b generlità, possimo considerre un sistem di riferimento crtesino O in cui l rett coincid con lsse delle scisse e l rett b coincid con lsse delle ordinte. Si P = (, ) il corrispondente del punto P = (, ) trmite l simmetri ssile s e si P" = (", ") il corrispondente del punto P = (, ) trmite l simmetri ssile s. b Tenendo conto delle equzioni 3.9 e 3., si ottiene:

15 e " ". Sostituendo nell second equzione i vlori di e dell prim equzione, si ottengono le equzioni dell composizione s o s : b " ", che sono proprio le equzioni dell simmetri centrle con il centro nellorigine degli ssi coordinti. Si rriv llo stesso risultto usndo le mtrici ssocite. 9. Determinre il tringolo simmetrico del tringolo di vertici A = (, 3), B = (, ), = (, -4) nell simmetri vente per sse l rett di equzione =. Sppimo dll formul 3.4 che l simmetri dt h equzioni:. Si h: A B,3 A 3,,, B,,, 4 4,, Quindi il tringolo AB viene trsformto nel tringolo di vertici A = (3, ), B = (, ), = (-4, ).

16 3.3 Esercizi proposti. Dimostrre che due ngoli opposti l vertice si corrispondono in un simmetri centrle.. to il tringolo AB si consideri il punto corrispondente di nell simmetri vente per centro il punto medio M del lto AB. Dimostrre che i segmenti A e B sono congruenti. 3. Nell simmetri ssile vente per sse l rett =, ll rett r corrisponde l rett r di equzione - + =. Determinre lequzione di r. R. + + =. 4. Determinre, se esiste, l simmetri ssile rispetto d un rett prllel llsse che port l curv di equzione 3 nell curv di equzione 3. R. Equzione dellsse:. 5. Determinre sinteticmente, usndo le simmetrie ssili, il centro dell circonferenz che pss per i punti A, B e. 6. Il segmento AB, trmite un simmetri ssile di sse r, si trsform nel segmento AB in modo tle che, detto O il punto di incontro dei prolungmenti di AB e AB, il tringolo AOA risulti equiltero. ome è posto il segmento AB rispetto ll rett r? R. L rett AB form con l rett r un ngolo di I tringoli AB e DEF di vertici A = (, ), B = (, ), = (3, 3) e D = (3, -5), E = (, -3), F = (, -4), si corrispondono in un simmetri. Qule? R. Simmetri ssile con sse di equzione: = -.

17 8. Nell simmetri ssile vente per sse l bisettrice del primo e del secondo qudrnte, dimostrre che le circonferenze con i centri sulle bisettrici si trsformno in se stesse sebbene bbino due soli punti uniti. 9. Determinre il trsformto del rettngolo di vertici A = (-, -), B = (, -), = (, ) e D = (-, ) nell simmetri ssile vente per sse l bisettrice del primo e del terzo qudrnte. R. A = (-, -), B = (-, ), = (, ) e D = (, -). Determinre lequzione dell rett corrispondente ll rett di equzione = 4 - nell simmetri ssile vente per sse l rett di equzione =. R. = Senz clcolre lequzione di r, determinre il punto di intersezione P tr l rett r di equzione + - = e l rett r simmetric di r rispetto llsse. R. P = (, ).. Dti due tringoli AD e BD di vertici A = (-, ), B = (, ), con e D pprtenenti llsse delle, dimostrre che lsse è sse di simmetri del qudriltero ABD. 3. Utilizzndo le simmetrie, dimostrre che un qulunque punto dellltezz reltiv ll bse di un tringolo isoscele è equidistnte di lti. 4. Determinre le equzioni degli ssi di simmetri del qudrto di vertici A = (, ), B = (5, ), = (5, 4) e D = (, 4). 5 7 R.,,, Dto il tringolo AB e indicto con il simmetrico di rispetto l punto medio M del segmento AB e con B il simmetrico di B rispetto l punto medio L di A, dimostrre che i tre punti B,, A sono llineti.

18 6. Dt un simmetri ssile, esistono rette che non sono unite in quest simmetri? E rette che non hnno punti uniti? R. Sì; sì. 7. Dire se un tringolo equiltero h il centro di simmetri. R. No. 8. Dire se un tringolo equiltero h ssi di simmetri. R. Sì. 9. Dire se un generico prllelogrmmo h ssi di simmetri. R. No.. Dire se un rettngolo h ssi di simmetri. R. Sì.. Qunti ssi di simmetri h un qudrto? R. Quttro.. Qunti ssi di simmetri h un generico trpezio isoscele? R. Uno. 3. Qunti ssi di simmetri h l figur formt dllunione di due rette incidenti? R. Due. 4. Qunti ssi di simmetri h l figur formt dllunione di due rette prllele? R. Infiniti. 5. Dimostrre che un rett pssnte per il punto di incontro O delle digonli di un prllelogrmmo intersec due lti opposti in due punti equidistnti d O.

19 6. Si dto un prllelogrmmo ABD. Dimostrre che, se un prllelogrmmo DEFG h i vertici opposti sui lti opposti di ABD, llor i due prllelogrmmi hnno lo stesso centro di simmetri. 7. Linsieme delle simmetrie centrli, venti un centro fissto, formno un gruppo rispetto ll legge di composizione di funzioni? R. Sì. 8. Linsieme di tutte le simmetrie centrli formno un gruppo rispetto ll legge di composizione di funzioni? R. No.