Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

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1 Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre, cioè, il lto di un qudrto che i l stess re di un cerchio dto. In prtic si trttv di trovre l're di un regione di pino compres ll'interno di un curv; fr gli ntichi il mtemtico che più si vvicinò ll soluzione fu Archimede di Sircus, con il metodo d lui inventto per il clcolo dell're del cerchio o del segmento di prol, m le sue idee genili non trovrono seguito. Solo nel XVII secolo i mtemtici trovrono ltri metodi ingegnosi per clcolre l're sottes l grfico di semplici funzioni, fino qundo Newton, Leiniz, Torricelli e Brrow scoprirono, indipendentemente, il teorem fondmentle del clcolo integrle, che riconduce il clcolo delle ree ll ricerc di un primitiv di un funzione. L'integrle definito Dt, dunque, un funzione di un vriile f(x), continu in un intervllo [,], si vuole clcolre l're compres tr l funzione stess e l'sse delle x (il trpezoide in figur). f(x) L'pproccio consiste nel suddividere l'insieme [,] in n intervlli uguli e considerre i rettngoli venti come se questi intervlli e come ltezz il vlore dell funzione nel punto medio di ognuno di questi intervlli, punto medio che chimeremo x i con l'indice i che v d n. L're totle di tutti i rettngoli srà divers dll're del trpezoide, m è fcile comprendere come, umentndo il numero di rettngoli, ess diventi un'pprossimzione sempre migliore dell're sotto l curv. Al limite, qundo il numero dei rettngoli tende d infinito, le due ree srnno uguli. Comincimo col clcolre l're dei singoli rettngoli. Essi hnno, dunque, stess se Δx; l'ltezz, invece, è divers per ognuno dei rettngoli e, precismente, è il vlore che l funzione ssume nel punto di mezzo x i dell'i-esimo intervllino. Le ree dei singoli rettngoli, dunque, si possono scrivere: Gli ltri due prolemi erno l trisezione di un ngolo, cioè il metodo per dividere un ngolo in tre prti uguli, e l dupliczione del cuo, cioè come trovre il lto di un cuo tle che il suo volume si doppio del volume di un cuo dto.

2 primo rettngolo f(x ) Δx secondo rettngolo f(x ) Δx terzo rettngolo f(x 3 ) Δx f(x ) n-esimo rettngolo f(x n ) Δx X ΔX Per ottenere l're dell figur formt d tutti i rettngoli sommimo, dunque, le ree dei singoli rettngoli. Utilizzimo, per scrivere l somm, il simolo Σ di sommtori con l'indice i-esimo che scorre d n: n Somm delle ree di tutti i rettngoli = i= f x i x L're così trovt è un'pprossimzione dell're sotto l curv, pprossimzione tnto migliore qunto mggiore srà il numero dei rettngoli considerti, cioè qunto più grnde srà n. Se considerimo il limite per n =>, i singoli rettngoli si ridurrnno dei segmenti e l somm (infinit) delle ree di tutti i rettngoli srà ugule proprio ll're del trpezoide sotto l curv: Are del trpezoide = lim n n i= f x i x Il simolo usto per indicre il limite che tende d infinito di un sommtori è quello di un S medievle:, simolo che imo già visto usto per l'integrle indefinito. Inoltre, qundo n tende d infinito, l'intervllino Δx tende zero, cioè divent il differenzile dx. L relzione sopr si scrive, dunque: Are del trpezoide = f x dx L're così trovt si dice integrle definito (o integrle di Riemnn) dell funzione f(x) nell'intervllo [,]. Notimo che gli estremi dell'intervllo nel qule imo integrto l funzione (estremi di integrzione) si scrivono sotto e sopr il segno di integrle.

3 Clcolo dell'integrle definito: teorem di Torricelli-Brrow E' il teorem fondmentle del clcolo integrle, e permette di clcolre l'integrle indefinito di un funzione semplicemente trovndo un su primitiv. Dt l funzione y=f (x), continu nell'intervllo [, ] di R e dett F(x) un su primitiv, si h: f x dx= F F dove l scrittur F F viene, di solito, indict con il simolo [ F x ] quindi, si può scrivere: e, f x dx=[f x ] Questo signific che, per determinre l're compres tr un funzione f(x) e l'sse delle x, in un intervllo [,], si deve prim trovre un su primitiv F(x) medinte l'operzione di integrzione indefinit e, poi, clcolre l differenz tr i vlori che tle primitiv ssume gli estremi dell'intervllo di integrzione. Vedimo un semplice esempio: clcolre l're dell regione di pino limitt dll curv y = -x + 4 e di semissi positivi delle x e delle y. L prim cos d fre è costruire l rppresentzione grfic dell curv (in questo cso un prol), per evidenzire l're cerct. Poiché l're sull'sse delle x v d 0, dovremo clcolre l'integrle: x 4 dx O 3 L primitiv di quest funzione si trov immeditmente clcolndone l'integrle indefinito: x 4 dx= 3 x3 4 x e, pplicndo il teorem fondmentle del clcolo integrle: x 4 dx=[ 3 x3 4 = x] = 8 3 8= 6 3 quindi l're vle 6/3 di unità qudrte del pino, cioè 5 qudrtini di lto più un terzo di qudrtino.

4 Proprietà degli integrli definiti Vedimo or due proprietà tipiche degli integrli definiti: Cmire di verso l'intervllo equivle cmire di segno l'integrle: f x dx= f x dx Se c è un punto interno ll'intervllo [,], llor si h: f x dx= c f x dx c f x dx Nturlmente, oltre queste, vlgono tutte le proprietà di linerità degli integrli indefiniti. Aree positive e ree negtive Vedimo, or, un semplice prolem: clcolre l're dell zon di pino compres fr l curv y= sin x e l'sse delle x, nell'intervllo [0, π]. Si deve clcolre, dunque: sin x dx O ricordndo che l'integrle indefinito di sin x è (- cos x), ed pplicndo il teorem del clcolo integrle, si h: sin x dx=[ cos x ]0 = cos cos 0 = = =0 Aimo trovto che l're cerct vle zero! L'unic spiegzione è che l'integrle definito clcoli come positive le ree sopr l'sse delle x e come negtive le ree situte sotto l'sse delle x. Dovremo trovre il modo, dunque, di rendere sempre positivi i vlori delle ree: lo fremo considerndo con segno positivo gli integrli clcolti su ree sopr l'sse x e con segno cmito (negtivo) gli integrli clcolti su ree sotto l'sse delle x. Allor, considerndo che d 0 π l're sottes dll curv è sopr l'sse x, mentre d π π è sotto, per clcolre l're cerct dovremo spezzre l'integrle definito in due prti, l second delle quli v pres col segno cmito: sin x dx= sin xdx sin x dx e, quindi, pplicndo l formul delle differenze:

5 sin x dx= sin x dx sin x dx=[ cos x]0 [ cos x] d cui, svolgendo i clcoli: sin xdx=[ cos cos 0 ] [ cos cos ]= cos cos0 cos = 4 Dunque, l somm delle due ree, sopr e sotto l'sse x, equivle 4 unità qudrte del pino. Nturlmente, viste le crtteristiche dell funzione seno, si potev, più semplicemente, clcolre l'integrle dell funzione d 0 π e poi moltiplicrlo per. Rissumendo Per clcolre l'integrle definito di un funzione f(x) in un intervllo [,] è necessrio:. Costruire il grfico dell funzione y = f(x) o, lmeno, l prte comprendente l'intervllo [,]. Controllre che l're si tutt sopr o tutt sotto l'sse delle x ; se l're è in prte sopr ed in prte sotto, trovre le coordinte dei punti di intersezione dell funzione con l'sse delle x e scomporre l'integrle in tnti integrli con il segno pproprito 3. Clcolre l funzione primitiv F(x), medinte l'operzione di integrzione indefinit 4. Applicre l formul delle differenze (ttenzione i clcoli e i segni!).

6 Clcolo dell're compres tr due curve Aimo visto, dunque, che dt un funzione f(x), continu e non negtiv in [, ], il vlore dell'integrle f x dx rppresent l're del trpezoide ABNM, delimitto dll curv di equzione y= f(x), dll'sse x e dlle prllele AM e BN ll'sse y. Medinte l'integrle definito, però, si può nche clcolre l're di un superficie pin chius S, limitt d un curv continu. Indichimo, inftti, con y = f (x) l'equzione dell'rco di curv MPN e con y = f (x) l'equzione dell'rco di curv MQN. L superficie S è l differenz dei trpezoidi AMPNB e AMQNB, le cui ree sono dte, rispettivmente d: f x dx e f x dx Dunque, l're di S è dt d: S= [ f x f x ]dx M Q dove, l funzione f (x) è definit sempre, in A B ogni cso, come l curv che st sopr e l f (x) quell che st sotto. Si può dimostrre, infine, che l formul dt vle nche se l're S d clcolre st un po' sopr e po' sotto l'sse delle x, in modo tle che un prte dell're risult negtiv. L formul sopr tiene conto nche di questo e si può pplicre identic nche nel cso di funzioni non sempre positive. P S N un Esempio Clcolre l're dell regione di pino limitt dlle due prole di equzioni: y=x 3 x e y= x x 3 B Dopo ver disegnto le prole, osservimo che hnno in comune i due punti A(, 0) e B(0, ), che rppresentno nche gli estremi di integrzione. Possimo dunque scrivere: - O 3 - A A= x x x 3 x dx= x 4 x dx=[ 3 x3 x ]0 = 8 3