PRODOTTI NOTEVOLI. Esempi
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- Stefania Maggio
- 7 anni fa
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1 PRODOTTI NOTEVOLI In lger ci sono delle regole per eseguire in modo più reve e più veloce l moltipliczione tr prticolri polinomi. Queste regole (o meglio formule si chimno prodotti notevoli. Anlizzimo di seguito ciscun di queste regole. (Consiglio: dto che queste formule sono molto frequenti è ene cpirle ene e conoscerle memori. Differenz di due qudrti (dett nche somm per differenz Immginimo di clcolre il prodotto dei seguenti polinomi ((-: moltiplicndo ciscun monomio del primo polinomio per i due termini del secondo ed eseguendo le quttro moltipliczioni si h ((--- --, d cui togliendo i monomi e si h ((- -. In generle se l posto di e di imo dei monomi ricchi (con numeri e più lettere il procedimento non cmi e se moltiplichimo l somm di due monomi per l differenz degli stessi rimngono solo i due qudrti seprti dl segno meno, ossi si h che il prodotto dell somm di due monomi per l loro differenz è ugule l qudrto del primo monomio meno il qudrto del secondo monomio. Esempi ((-: pplichimo l formul dove d sostituimo, e l posto di mettimo, si h ((- ( -( - ((- per pplicre il prodotto notevole doimo vedere che il primo termine non è quello che si incontr per primo, m è il monomio che non cmi segno e che il secondo termine non è quello che si incontr per secondo, m è il termine che cmi segno; quindi pplichimo l formul con e e si h ((- -. pplichimo l formul dove l posto di mettimo e l posto di mettimo e si h: 8 ( Ricordimo che nelle potenze di potenze gli esponenti si moltiplicno (!
2 Qudrto di un inomio Voglimo or elevre l qudrto (ll second ll non un solo numero o monomio, m un polinomio formto d due termini (ossi un inomio, voglimo cioè clcolre (. Per eseguire quest operzione si h un ltro prodotto notevole chimto qudrto di un inomio; per trovre l formul eseguimo tutti i clcoli e ricordndo che il qudrto di un numero non è ltro che il prodotto del numero per se stesso si h ( (( ossi il qudrto di un inomio è ugule ll somm del qudrto del primo termine, del doppio prodotto dei termini e del qudrto del secondo termine. ( Vedimo con un esempio come pplicre l formul Per clcolre ( pplichimo l formul ( dove l posto di mettimo e l posto di mettimo : si h ( ( (( (. Ricordimo che i termini l qudrto sono positivi e fre il doppio prodotto signific fre il prodotto dei termini e poi moltiplicre il prodotto ottenuto per due; inoltre il doppio prodotto può essere positivo o negtivo in se i segni dei termini: inftti se nell formul è negtivo cioè si h ottenimo i se ll regol dei segni - - e - : (- (-(- --(-(- - Esempi svolti ( ( ( ( ( 8
3 Esercizi d svolgere ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( Clcolre ( 8 ( 0 ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( ( 7 7
4 Qudrto di un trinomio Come si trsform il prodotto notevole ( se ggiungimo nell prentesi un ltro termine c?. Voglimo cioè clcolre (c. Per eseguire quest operzione si h il prodotto notevole chimto qudrto di un trinomio; per trovre l formul eseguimo tutti i clcoli e ricordndo che il qudrto di un numero non è ltro che il prodotto del numero per se stesso si h (c (c(c cccccc c cc ossi il qudrto di un trinomio è ugule ll somm del qudrto dei tre termini e c, e dei tre doppi prodotti,c e c. (c c cc (Notre che quest formul è come un estensione del qudrto di un inomio. Vedimo con un esempio come pplicre l formul Per clcolre (-z pplichimo l formul (c c cc dove l posto di mettimo e l posto di mettimo e l posto di c mettimo -z : si h (-z ( ( (-z ((((-z((- z z -z-z. Ricordimo che i termini l qudrto sono positivi e fre il doppio prodotto signific fre il prodotto dei termini e poi moltiplicre il prodotto ottenuto per due; inoltre isogn fre ttenzione l ftto che il doppio prodotto può essere positivo o negtivo in se i segni dei termini: inftti se nell formul è negtivo cioè si h ottenimo i se ll regol dei segni - - e - : Esempio z z ( z z z z z
5 Cuo di un inomio Vedimo come si clcol il cuo di un inomio. Inizimo con il trovre l formul: cuo di un inomio signific prendere un inomio ( e moltiplicrlo per se stesso volte (cuo ll terz: (( ( ( d cui visto che ( ( (qudrto di un inomio lo sostituimo nell uguglinz e si h: ( ( ( ( ( ( ed eseguendo tutti i pssggi dell moltipliczione tr polinomi si h che ( ((( ( ( Quindi leggendo il primo e l'ultimo pssggio imo l formul ( cioè:il cuo di un inomio e' ugule l cuo del primo termine piu' il triplo del prodotto del qudrto del primo termine per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il qudrto del secondo termine, piu' il cuo del secondo termine. Vedimo con un esempio come si pplic quest formul: d esempio eseguimo il cuo di ( cioè voglimo clcolre ( l posto di si h cioè ed l posto di di h cioè quindi nell formul il primo termine è e il secondo è quindi ( l cuo del primo termine ( piu' il triplo (triplo st per moltiplicre per del prodotto del qudrto del primo per il secondo ( ( piu' il triplo del prodotto del primo per il qudrto del secondo ( ( piu' il cuo del secondo( unendo il tutto si h ( ( ( ( ( ( ( 8 7. Cos succede se uno dei due termini è negtivo? Non succede niente di prticolre l formul è l stess m doimo stre ttenti i segni pplicndo l regol dei segni e ricordndo che il qudrto di un potenz se negtiv è sempre positivo. Esempio (- il primo termine e' ed il secondo e' - quindi si h ( ( (- ( (- ( ( notre che i segni sono lternti : il primo positivo, il secondo negtivo, il terzo positivo ed il qurto negtivo; m è meglio cpire l formul e non ricordrl memori!
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{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }
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L ELEVAMENTO A POTENZA NELL INSIEME DEI NUMERI NATURALI
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32 Capitolo 2. Radicali Esercizi dei singoli paragrafi ; ; ; , , 3 25, 100, 125; 216; 8 27 ;
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2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
. Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche
Programma di matematica Prof.ssa Tacchi Lucia Anno scolastico 2017/2018 classe I A
Isi E. Fermi Lucc Progrmm di mtemtic Prof.ss Tcchi Luci nno scolstico 7/8 clsse I Gli insiemi numerici i numeri nturli i numeri interi i numeri rzionli ssoluti i reltivi. Potenze nche con esponente intero
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2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:
Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo
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Rdicli Definizioni Vrizioni di rdicli Operzioni Rzionlizzzione Rdicli doppi Potenze con esponente rzionle Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni n L espressione è comunemente dett rdice
n volte m volte n+m volte n volte n volte n volte } = a n + n + n = a n m
Corso di Potenzimento.. 009/010 1 Potenze e Rdicli Dto un numero positivo, negtivo o nullo e un numero intero positivo n, si definisce potenz di se ed esponente n il prodotto di n fttori tutti uguli d
b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0
www.esmths.ltervist.org EQUZIONI DI GRDO SUPERIORE L SECONDO PREMESS Finor simo cpci di risolvere solo equzioni di primo e di secondo grdo. imo imprto che isogn prim condurle form cnonic e poi procede
fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio
Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +
Unità Didattica N 02. I concetti fondamentali dell aritmetica
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, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:
Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri
ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α
Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo
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La scomposizione in fattori dei polinomi
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CALCOLARE L AREA DI UNA REGIONE PIANA
INTEGRALI Integrle definito e re con segno Primitiv di un funzione e integrle indefinito Teorem fondmentle del clcolo integrle Clcolo di ree Metodi di integrzione: per prti e per sostituzione CALCOLARE
RADICALI. Q (insieme dei razionali relativi) = numeri che possono essere messi sotto forma di frazioni es: 0,+3;
RADICALI In quest sched ti vengono riproposti lcuni concetti ed esercizi che ti dovreero essere fmiliri e che sono indispensili per ffrontre con successo gli studi futuri. INSIEMI NUMERICI Ripsso insiemi
Le equazioni di secondo grado
Le equzioni di seondo grdo Un equzione è di seondo grdo se, dopo ver pplito i prinipi di equivlenz, si può srivere nell form on 0,, R Not: è nhe detto termine noto. Esempio Sviluppimo l seguente equzione:
Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.
88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3
11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE "E. Fermi" LUCCA Anno Scolastico 2016/2017 Programma di MATEMATICA classe I Sez. H Insegnante:Bianchi Dario
ISTITUTO TECNICO INDUSTIALE "E. Fermi" LUCCA Anno Scolstico 0/0 Progrmm di MATEMATICA clsse I Sez. H InsegnnteBinchi Drio Gli insiemi ppresentzioni di un insieme digrmmi di Eulero-Venn, tulre, trmite proprietà
2 Numeri reali. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler
2 Numeri reli M. Simonett Bernei & Horst Thler Numeri interi positivi o Nturli 0 1 2 3 4 Con i numeri Nturli è sempre possiile fre l ddizione e l moltipliczione p.es.: 5+2 = 7; 3*4 = 12; m non sempre l
Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler
Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte
Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi
Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz
Nello studio della meccanica si incontrano due principali categorie di grandezze: scalari e vettori. Cosa distingue queste quantita?
Vettori e sclri Nello studio dell meccnic si incontrno due principli ctegorie di grndezze: sclri e vettori. Cos distingue queste quntit? Domenic sono ndto in iciclett per due ore L informzione sul tempo
si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x
Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in
(da dimostrare); (da dimostrare).
Proprietà delle trsposte Sino, K m,n e si K, llor vlgono le seguenti relzioni: 1) ( )= 2) (+)= + 3) ()= (d dimostrre); (d dimostrre). (dimostrt di seguito); DIM. 2): Devo dimostrre che l mtrice ugule ll
Università di Roma La Sapienza. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali. Istituzioni di Matematiche. Piero D Ancona e Marco Manetti
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Lezione 14. Risoluzione delle equazioni algebriche.
Lezione Prerequisiti: Lezioni 8,. Risoluzione delle equzioni lgebriche. Si F un cmpo, e si K un chiusur lgebric di F. Si f ( ) F[ ] non costnte. Studimo i metodi di risoluzione per l equzione f ( ) = 0,
Introduzione alle disequazioni algebriche
Introduzione lle disequzioni lgebriche Giovnni decide di fre ttività fisic e chiede informzioni due plestre. Un plestr privt chiede un quot d iscrizione nnu di 312, più 2 per ogni ingresso. L plestr comunle
11. Rango di una matrice.
Rngo di un mtrice Considerimo un mtrice di tipo m n d elementi reli rppresentt nel modo seguente: A = (m-) m (m-) m (m-) m (m-) m (n-) (n-) (n-) (m-),(n-) m(n-) n n n (m-)n mn Per ogni i =,,,, (m-), m,
Algebra lineare. Algebra. Vettori. Vettori. Vettori: uguaglianza. Vettori: elementi corrispondenti
Algebr linere Algebr Un lgebr è un sistem di segni in cui sono definite delle operzioni Algebr sclre Algebr dei vettori Algebr mtricile In lgebr mtricile un numero è chimto sclre Vettori Vettori vettore
Strumenti Matematici per la Fisica
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Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:
Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle
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Appunti di Matematica 4 - Triangoli qualsiasi - Triangoli qualsiasi
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2 Generlità sulle mtrici 21 Definizione e csi prticolri Definizione 21 Mtrice n m Un mtrice n m è un tbell rettngolre di n righe e m colonne i cui elementi sono numeri reli (o complessi) indicizzti con
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