PRODOTTI NOTEVOLI. Esempi

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1 PRODOTTI NOTEVOLI In lger ci sono delle regole per eseguire in modo più reve e più veloce l moltipliczione tr prticolri polinomi. Queste regole (o meglio formule si chimno prodotti notevoli. Anlizzimo di seguito ciscun di queste regole. (Consiglio: dto che queste formule sono molto frequenti è ene cpirle ene e conoscerle memori. Differenz di due qudrti (dett nche somm per differenz Immginimo di clcolre il prodotto dei seguenti polinomi ((-: moltiplicndo ciscun monomio del primo polinomio per i due termini del secondo ed eseguendo le quttro moltipliczioni si h ((--- --, d cui togliendo i monomi e si h ((- -. In generle se l posto di e di imo dei monomi ricchi (con numeri e più lettere il procedimento non cmi e se moltiplichimo l somm di due monomi per l differenz degli stessi rimngono solo i due qudrti seprti dl segno meno, ossi si h che il prodotto dell somm di due monomi per l loro differenz è ugule l qudrto del primo monomio meno il qudrto del secondo monomio. Esempi ((-: pplichimo l formul dove d sostituimo, e l posto di mettimo, si h ((- ( -( - ((- per pplicre il prodotto notevole doimo vedere che il primo termine non è quello che si incontr per primo, m è il monomio che non cmi segno e che il secondo termine non è quello che si incontr per secondo, m è il termine che cmi segno; quindi pplichimo l formul con e e si h ((- -. pplichimo l formul dove l posto di mettimo e l posto di mettimo e si h: 8 ( Ricordimo che nelle potenze di potenze gli esponenti si moltiplicno (!

2 Qudrto di un inomio Voglimo or elevre l qudrto (ll second ll non un solo numero o monomio, m un polinomio formto d due termini (ossi un inomio, voglimo cioè clcolre (. Per eseguire quest operzione si h un ltro prodotto notevole chimto qudrto di un inomio; per trovre l formul eseguimo tutti i clcoli e ricordndo che il qudrto di un numero non è ltro che il prodotto del numero per se stesso si h ( (( ossi il qudrto di un inomio è ugule ll somm del qudrto del primo termine, del doppio prodotto dei termini e del qudrto del secondo termine. ( Vedimo con un esempio come pplicre l formul Per clcolre ( pplichimo l formul ( dove l posto di mettimo e l posto di mettimo : si h ( ( (( (. Ricordimo che i termini l qudrto sono positivi e fre il doppio prodotto signific fre il prodotto dei termini e poi moltiplicre il prodotto ottenuto per due; inoltre il doppio prodotto può essere positivo o negtivo in se i segni dei termini: inftti se nell formul è negtivo cioè si h ottenimo i se ll regol dei segni - - e - : (- (-(- --(-(- - Esempi svolti ( ( ( ( ( 8

3 Esercizi d svolgere ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 ( Clcolre ( 8 ( 0 ( ( ( 8 ( ( ( ( ( ( ( 7 7

4 Qudrto di un trinomio Come si trsform il prodotto notevole ( se ggiungimo nell prentesi un ltro termine c?. Voglimo cioè clcolre (c. Per eseguire quest operzione si h il prodotto notevole chimto qudrto di un trinomio; per trovre l formul eseguimo tutti i clcoli e ricordndo che il qudrto di un numero non è ltro che il prodotto del numero per se stesso si h (c (c(c cccccc c cc ossi il qudrto di un trinomio è ugule ll somm del qudrto dei tre termini e c, e dei tre doppi prodotti,c e c. (c c cc (Notre che quest formul è come un estensione del qudrto di un inomio. Vedimo con un esempio come pplicre l formul Per clcolre (-z pplichimo l formul (c c cc dove l posto di mettimo e l posto di mettimo e l posto di c mettimo -z : si h (-z ( ( (-z ((((-z((- z z -z-z. Ricordimo che i termini l qudrto sono positivi e fre il doppio prodotto signific fre il prodotto dei termini e poi moltiplicre il prodotto ottenuto per due; inoltre isogn fre ttenzione l ftto che il doppio prodotto può essere positivo o negtivo in se i segni dei termini: inftti se nell formul è negtivo cioè si h ottenimo i se ll regol dei segni - - e - : Esempio z z ( z z z z z

5 Cuo di un inomio Vedimo come si clcol il cuo di un inomio. Inizimo con il trovre l formul: cuo di un inomio signific prendere un inomio ( e moltiplicrlo per se stesso volte (cuo ll terz: (( ( ( d cui visto che ( ( (qudrto di un inomio lo sostituimo nell uguglinz e si h: ( ( ( ( ( ( ed eseguendo tutti i pssggi dell moltipliczione tr polinomi si h che ( ((( ( ( Quindi leggendo il primo e l'ultimo pssggio imo l formul ( cioè:il cuo di un inomio e' ugule l cuo del primo termine piu' il triplo del prodotto del qudrto del primo termine per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il qudrto del secondo termine, piu' il cuo del secondo termine. Vedimo con un esempio come si pplic quest formul: d esempio eseguimo il cuo di ( cioè voglimo clcolre ( l posto di si h cioè ed l posto di di h cioè quindi nell formul il primo termine è e il secondo è quindi ( l cuo del primo termine ( piu' il triplo (triplo st per moltiplicre per del prodotto del qudrto del primo per il secondo ( ( piu' il triplo del prodotto del primo per il qudrto del secondo ( ( piu' il cuo del secondo( unendo il tutto si h ( ( ( ( ( ( ( 8 7. Cos succede se uno dei due termini è negtivo? Non succede niente di prticolre l formul è l stess m doimo stre ttenti i segni pplicndo l regol dei segni e ricordndo che il qudrto di un potenz se negtiv è sempre positivo. Esempio (- il primo termine e' ed il secondo e' - quindi si h ( ( (- ( (- ( ( notre che i segni sono lternti : il primo positivo, il secondo negtivo, il terzo positivo ed il qurto negtivo; m è meglio cpire l formul e non ricordrl memori!

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