SOMMARIO DEL TOMO 2. CAPITOLO 5 I monomi. CAPITOLO 6 I polinomi CAPITOLO 7. Scomposizione in fattori

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3 SOMMARIO DEL TOMO CAPITOLO I monomi. Introduzione l clcolo letterle pg.. I monomi pg.. Operzioni con i monomi pg. 9. Mssimo Comun Divisore e minimo comune multiplo pg. 0 ESERCIZI pg. CAPITOLO 6 I polinomi 6. Definizioni pg. 6. Operzioni con i polinomi Addizione e sottrzione pg. 6 Moltipliczione di un monomio per un polinomio pg. 8 Moltipliczione di due o più polinomi pg. 8 Prodotti notevoli pg. 6 Divisione di un polinomio per un monomio pg. 7 Divisione fr polinomi pg. 7 Teorem del resto pg. 8 Regol di Ruffini pg Approfondimento: l insieme M dei monomi pg Approfondimento: l insieme P dei polinomi pg. 90 ESERCIZI pg. 9 CAPITOLO 7 Scomposizione in fttori Introduzione pg Rccoglimento totle pg Rccoglimento przile pg Prodotti notevoli pg. 0 I

4 7. Trinomio crtteristico pg. 7. Appliczione del teorem di Ruffini pg Esempi di riepilogo pg. 7.7 Mssimo comun divisore e minimo comune multiplo fr polinomi pg. 8 ESERCIZI pg. 9 CAPITOLO 8 Le frzioni lgeriche 8. Introduzione lle frzioni lgeriche pg Operzioni con le frzioni lgeriche pg. 76 Somm lgeric pg. 76 Moltipliczione fr frzioni lgeriche pg. 79 Potenz di un frzione lgeric pg. 80 Quoziente fr frzioni lgeriche pg. 8 Espressioni con le frzioni lgeriche pg Approfondimenti sulle frzioni lgeriche pg. 8 ESERCIZI pg. 8 CAPITOLO 9 Equzioni 9. Uguglinze e identità pg Equzioni pg Clssificzione delle equzioni pg. 9. Equzioni equivlenti pg. 9. I principi di equivlenz pg Form normle e grdo di un equzione pg Conseguenze dei principi di equivlenz pg Equzioni di primo grdo in un incognit pg. 9.9 Equzioni frzionrie (o frtte) pg Equzioni letterli pg. 9. Equzioni in un incognit di grdo superiore l primo pg Equzioni e prolemi pg. 0 ESERCIZI pg. II

5 CAPITOLO 0 Disequzioni 0. Disequzioni pg Rppresentzione dell insieme soluzione di un disequzione pg Intervlli numerici pg Principi di equivlenz pg Disequzioni numeriche intere di primo grdo pg Disequzioni frzionrie o frtte pg Disequzioni numeriche intere di grdo superiore l primo pg Esempi di riepilogo pg. 0 ESERCIZI pg. 07 CAPITOLO Elementi di Sttistic descrittiv. Introduzione pg.. Elementi di se pg.. Rppresentzioni grfiche pg. 9. Indici di posizione pg.. Indici di vriilità pg. 7 ESERCIZI pg. III

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7 IL CALCOLO LETTERALE (prim prte) CAPITOLO I monomi. Introduzione l clcolo letterle Nel corso dei tuoi studi hi già vuto modo di incontrre lettere l posto di numeri: d esempio, nelle formule che esprimono l misur dell superficie di un figur geometric, nelle formule che esprimono il volume di un solido, nell proprietà crtteristic di un insieme, nell indicre le proprietà delle operzioni, ecc.. Così, se voglimo determinre il perimetro di un qudrto di lto cm, moltiplichimo per quttro l misur del lto: Perimetro = ( ) cm = 0 cm. Se cmi l misur del lto, per determinre il perimetro del qudrto si moltiplic per quttro l nuov misur. Si può, llor, trovre un modo più generle per esprimere l misur del perimetro di un qudrto, qulunque si l misur del suo lto; precismente: se indichimo con l il numero che esprime l misur del suo lto, il perimetro del qudrto è Perimetro = l Ancor un esempio: l re di un tringolo di se 6 cm e ltezz reltiv 9 cm è: 6 9 A = cm = 7 cm. Le operzioni eseguite consentono di determinre l re di quei tringoli nei quli l se e l ltezz reltiv misurno 6 cm e 9 cm, m non consentono di esprimere l re di un qulsisi tringolo, note le misure dell se e dell ltezz reltiv: ecco, llor, che ci vengono in iuto le lettere. Se, in un tringolo, indichimo con il numero che esprime l misur dell se e con h il numero che esprime l misur dell ltezz reltiv, possimo dire che, in generle, l su re è: Altr ppliczione: A = h L proprietà commuttiv dell somm lgeric si esprime, in generle, con l scrittur: =

8 Possimo dire, llor, che in situzioni nelle quli è necessrio esprimere proprietà generli è più utile usre lettere l posto di numeri. L introduzione del clcolo letterle è stt un ver e propri rivoluzione nello sviluppo dell mtemtic perché h implementto il processo di strzione e di generlizzzione. A questo sviluppo hnno contriuito nche illustri mtemtici itlini come Niccolò Fontn, detto Trtgli, Girolmo Crdno e Luigi Bomelli. Esempi Trducimo lcune frsi del linguggio nturle in form simolic utilizzndo lettere per indicre numeri: ) Il triplo del successivo di un numero nturle. Indichimo con n un numero nturle; il suo successivo è n ; il triplo del suo successivo si ottiene moltiplicndo per il numero n. Il triplo del successivo di un numero nturle, in form simolic, è (n ), n N. ) Il successivo del triplo di un numero nturle. Indichimo con n un numero nturle; il suo triplo si ottiene moltiplicndolo per, quindi è n; il successivo del triplo di n si ottiene ggiungendo l triplo di n. Il successivo del triplo di un numero nturle, in form simolic, è n, n N. c) Al successivo di un numero nturle sottri l terz prte del suo precedente. Indichimo con n un numero nturle; il suo successivo è n ; il suo precedente è n ; ricord che dividere per signific, nche, moltiplicre per, per cui l terz prte del suo precedente si ottiene moltiplicndo per il numero n, quindi (n ). Al successivo di un numero nturle sottri l terz prte del suo precedente, in form simolic è: (n ) (n ), n N.

9 ATTENZIONE Negli esempi precedenti, vri sicurmente notto che per indicre il prodotto si è omesso il puntino ed è stto scritto semplicemente. L stess cos non si può fre se si vuole indicre il prodotto fr due numeri: 6 6. PROVA TU Trduci in form simolic le seguenti frsi del linguggio nturle: ) Al doppio del successivo di un numero nturle ggiungi il successivo del doppio del numero stesso. ) Al qudrto del successivo di un numero intero sottri il qudrto del numero stesso. In questo cpitolo impreri d utilizzre lettere l posto di numeri e d operre con espressioni contenenti numeri e lettere. ATTENZIONE Il clcolo simolico h le sue regole che devono essere: en ssimilte; rispettte; uste in modo conspevole. Comincimo questo nuovo rgomento con un definizione. Un espressione lgeric è un insieme di numeri e/o lettere legti fr loro d simoli di operzione. Le lettere presenti in un espressione lgeric sono chimte vriili. Un espressione lgeric si dice rzionle se in ess sono presenti solo le operzioni di somm lgeric, moltipliczione e divisione. Le espressioni lgeriche, in generle, si indicno con le lettere miuscole dell lfeto; se è necessrio indicre le vriili dell espressione, esse si rcchiudono fr prentesi tonde.

10 Così, d esempio, possimo indicre con A(n) l espressione l punto ) degli esempi precedenti: A(n) = (n ), n N. Inoltre, il vlore di un espressione lgeric dipende dl vlore ttriuito lle vriili. Per l espressione A(n) imo: n = 0 A(0) = ( 0 ) = = ; n = A() = ( ) = = 6; n = A() = ( ) = 6 = 8 Clcolimo il vlore dell espressione E(, ) = per = e = si ottiene: E(, ) = per = e = si ottiene: E, = = ssegnndo lle lettere i vlori indicti: = ( ) ( ) = 9 89 = (dopo ver semplificto) = ; 60 = ; = 6 = = per = e = si ottiene: E(, ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0 =? 0 Quest frzione non h significto, perché in un divisione il divisore deve essere diverso d 0. In quest espressione lgeric non possimo, quindi, ttriuire lle vriili uno stesso vlore, perché ltrimenti il divisore è nullo e, pertnto, non è possiile eseguire l operzione di divisione. Possimo, llor, dire che, in un espressione lgeric, è possiile ttriuire lle lettere qulsisi vlore, purchè le operzioni sino sempre eseguiili. PROVA TU ) Clcol il vlore delle seguenti espressioni lgeriche ssegnndo lle lettere i vlori indicti: ) h h = e = ; h = e = ; ) z = e z = ; = e z =. z Se =, qule vlore non è possiile ssegnre z? Perché?

11 . I monomi Considerimo le seguenti espressioni lgeriche e vedimo se esistono nlogie e differenze fr di esse: ) h ; ) ( ); c) m q ; d) y ; e) d d ; f ) ; g) ; h) d Osservimo che sono tutte espressioni lgeriche rzionli e, poiché ci occuperemo solo di tli espressioni lgeriche, in seguito ometteremo l ggettivo rzionle/i. Le espressioni c) e f ) possono essere scritte in ltr form: c) m q = m q ; f) = = = Osservimo ncor che tr le lettere: nelle espressioni c), d), e) è presente l sol operzione di moltipliczione; nelle espressioni ) e ) è presente, oltre ll moltipliczione, nche l operzione di somm lgeric; nelle espressioni f) e g) è presente, oltre ll operzione di moltipliczione, nche l operzione di divisione; nell espressione h) sono presenti le operzioni di somm lgeric, moltipliczione e divisione. Qunto sopr permette di dividere le espressioni lgeriche in tre gruppi, second delle operzioni che sono in esse contenute; precismente: ) espressioni che contengono solo l operzione di moltipliczione; ) espressioni che contengono le operzioni di moltipliczione e somm lgeric; ) espressioni che contengono le operzioni di moltipliczione, divisione e somm lgeric. In questo cpitolo ci occuperemo solo delle espressioni di cui l punto ). Si h l seguente definizione: Si chim monomio un espressione lgeric (rzionle) in cui è presente soltnto l operzione di moltipliczione. Alcuni mtemtici considerno monomi nche espressioni nelle quli sono presenti potenze con esponente negtivo oppure è presente l operzione di divisione tr lettere chimno tli espressioni monomi frtti. Per noi sono monomi quelle espressioni in cui è presente solo l moltipliczione. Definiremo, nei prossimi cpitoli, le espressioni di cui i punti ) e ).

12 Esempi è un monomio; non è un monomio, perché è presente l operzione di somm lgeric; è un monomio; = non è un monomio, perché è presente l operzione di divisione fr lettere; c non è un monomio, perché uno degli esponenti è un intero negtivo; f è un monomio. 7 PROVA TU Fr le seguenti espressioni lgeriche, riconosci quelle che sono monomi: ; f ; 8 s z ; c ; 6dh ;. Definizione Un monomio si dice scritto in form normle qundo ogni letter, con eventule esponente, è presente un sol volt. Il monomio è scritto in form normle. Il monomio non è scritto in form normle. Il monomio, scritto in form normle, divent : [ = ( ) ] = Un monomio, in generle, è formto d un numero e d lcune lettere: il numero si chim coefficiente; le lettere formno l prte letterle. Così, nel monomio : è il coefficiente è l prte letterle coefficiente Se il coefficiente è, di solito, si omette: prte letterle = 6

13 Se il coefficiente è, di solito, si omette il numero : m s = m s Si dice monomio nullo, e si indic con 0, un monomio che h coefficiente 0 (zero). Si chim grdo reltivo (o grdo rispetto) d un letter l esponente con cui l letter è presente nel monomio ridotto form normle. Si chim grdo complessivo di un monomio l somm dei grdi reltivi ciscun letter presente nel monomio. Considerndo ncor il monomio : grdo reltivo d grdo reltivo il grdo reltivo ll letter è ; il grdo reltivo ll letter è ; il grdo complessivo è 8. 8 grdo complessivo ATTENZIONE Se in un monomio è presente un letter senz esponente, è sottointeso che il suo esponente è e, quindi, il grdo reltivo quell letter è. Per esempio, nel monomio s l letter s non h esponente ; questo vuol dire che il suo esponente è (ricord che, in generle, = ). Il grdo reltivo d s è. Se in un monomio non è presente un letter, il grdo reltivo d ess è 0. Ad esempio, nel monomio il grdo reltivo d y è 0. Qulsisi numero rzionle ( 0) è un monomio di grdo 0 rispetto d un qulsisi letter e di grdo complessivo 0. Così: = 0 c 0 (con 0, c 0) ; = 0 d 0 m 0 (con 0, d 0, m 0). Per qunto precedentemente ffermto, il numero rzionle 0 è il monomio nullo. Al monomio nullo non viene ttriuito lcun grdo. 7

14 Secondo lcuni mtemtici, il grdo del monomio nullo è indeterminto perché esso può vere prte letterle qulsisi. Definizioni Due monomi non nulli che hnno prte letterle ugule si dicono simili. I monomi m p e m p sono simili. I monomi m p e m p non sono simili. Due monomi simili che hnno coefficienti uguli si dicono uguli. Due monomi simili che hnno coefficienti opposti si dicono opposti. Sono uguli i monomi y 6 e y 6. Sono opposti i monomi e. PROVA TU ) Complet l seguente tell: Monomio Coefficiente Prte letterle Grdo reltivo y z s v Grdo complessivo v y 8 6 z s ) Scrivi un monomio di grdo complessivo e di qurto grdo rispetto ll letter c. ) Scrivi un monomio che si di secondo grdo rispetto ll letter, di terzo grdo rispetto ll letter e di primo grdo rispetto ll letter f. ) Dti i monomi: ) ; ) ; c) 9 ; scrivi, per ciscuno di essi, tre monomi simili; il suo opposto. 8

15 . Operzioni con i monomi Le lettere presenti nei monomi sono numeri rzionli; quindi, è possiile definire, fr monomi, le operzioni di somm lgeric, moltipliczione e divisione, come negli insiemi numerici. Somm lgeric Sul suo lettore MP, Luigi h inserito, inizilmente, 0 rni musicli e, successivmente, ltri ; in tutto, sul suo lettore, Luigi h inserito rni musicli. Rppresentimo in form simolic l situzione precedente: se indichimo con un rno musicle, Luigi, sul suo lettore MP h 0 = Luigi vuole inserire sul suo lettore MP nche film; se indichimo con f un film, l rppresentzione simolic del contenuto del lettore MP di Luigi è l seguente: f Certmente non possimo dire che Luigi h 7 rni musicli nè che h 7 film; sul suo lettore Luigi vrà rni musicli e film; in simoli rimne f. Questo esempio ci può iutre cpire meglio come clcolre l somm fr due o più monomi: 0 e sono due monomi simili: l loro somm è, cioè ncor un monomio; e f sono due monomi, m non sono simili; in questo cso l somm dei due monomi ( f ) non è un monomio. Osservimo, llor, che l somm di due monomi dà origine risultti di tipo diverso; si hnno, inftti, i seguenti csi: ) somm di monomi simili ; ) somm di monomi non simili. Somm di monomi simili Dti i monomi simili s e s, determinimo l loro somm ( s s ). In tutti i monomi è presente l sol operzione di moltipliczione e, poichè le lettere sono numeri rzionli, vle l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll somm lgeric: c = ( c). Nell somm s s, i monomi s e s hnno in comune il fttore s ; si h, dunque: s s = s ( ) = 7 s 9

16 Anlizzimo il risultto ottenuto: 7 s è un monomio simile si s che s e il suo coefficiente è l somm dei coefficienti dei monomi s e s. In generle: l somm di due o più monomi simili è un monomio, simile quelli dti, che h come coefficiente l somm dei coefficienti dei monomi dti. prte letterle ugule s s = 7 s somm dei coefficienti Somm di monomi non simili Dti i monomi e non simili, determinimo l loro somm ( ). Poiché i due monomi non sono simili e non hnno fttori in comune, non è possiile pplicre l proprietà distriutiv. E possiile solo indicre l loro somm:. Come puoi notre, in questo cso, l somm dei due monomi non è un monomio. Un ltro esempio. Dti i monomi m e m non simili, determinimo l loro somm (m m). I monomi non sono simili, m hnno in comune il fttore m e, quindi, è possiile pplicre l proprietà distriutiv, ottenendo: m m = m ( m ). Tle espressione non è, però, un monomio (l operzione in prentesi non si può, inftti eseguire) e, dunque, nche in questo cso, è possiile indicre solmente l somm: m m. In generle: L somm di due o più monomi non simili si indic ponendo fr i due monomi il segno ; ess non è un monomio. Come per i numeri rzionli, l differenz fr due monomi è l somm fr il primo monomio e l opposto del secondo; d esempio: 6 = ( 6 ) = ( 6) = ; ( ) = = ( ) = 7. Anche per i monomi non c è distinzione fr le operzioni di ddizione e di sottrzione e si prl di un sol operzione chimt somm lgeric. Le regole esposte e gli esempi precedenti ci permettono di ffermre che l insieme dei monomi non è chiuso rispetto ll operzione di somm lgeric. 0

17 ATTENZIONE Se in un espressione lgeric lcuni termini sono simili e ltri non lo sono, si sommno i termini simili seguendo l regol espost in precedenz e, successivmente, si lsci indict l somm lgeric. Esempi Semplifichimo le seguenti espressioni: ) y y ( y ) 6 y ( y ). Lierimo l espressione dlle prentesi tonde: y y y 6 y y. I monomi non sono tutti simili tr di loro; è conveniente, llor, segnre con uno stesso simolo i monomi simili ed eliminre gli eventuli monomi opposti. Si ottiene: y y y 6 y y = y y 6 y = ed pplicndo l proprietà commuttiv e l proprietà ssocitiv, si h: = ( y 6 y) y = ( 6) y y = y y. ) 6 ( ). Lierimo l espressione dlle prentesi tonde: 6 = poiché i monomi sono tutti simili tr loro, si ottiene: = ( 6 ) =. c) 7. Osservimo che i monomi nelle prentesi tonde sono simili tr loro e quindi possimo determinre l loro somm. Si ottiene: 7 = = i monomi in prentesi qudre non sono tutti simili tr loro, per cui, segnndo quelli simili con uno stesso simolo e clcolndo l loro somm, si ottiene: = = 8 = eliminimo le prentesi qudre: poiché dvnti lle prentesi c è il segno, doimo cmire di segno i termini dentro le prentesi. Si h, quindi: = 8 =

18 i monomi di quest espressione non sono tutti simili tr loro, per cui, segnndo ncor un volt quelli simili con uno stesso simolo e clcolndo l loro somm, si ottiene: 8 = d) 9 s z 0 = 9 s z. = 8 = 7. L ultimo esempio ci permette di dire che l somm di un generico monomio A con il monomio nullo è ncor il monomio A. PROVA TU Semplific le seguenti espressioni: ) m t z m t z (8 m t z m t z) ( m t z m t z ); ) [ y y ( y 8 y ) ] ( y ); 9 c). 6 Moltipliczione Ci proponimo di determinre il seguente prodotto: m s ( m t ). Poiché le lettere sono numeri rzionli, possimo pplicre l proprietà commuttiv: () m m s t. Applicndo, poi, l proprietà ssocitiv, si ottiene: [ ()] (m m ) s t. Ed infine, pplicndo le proprietà delle potenze, si h: In definitiv : m s t. m s ( m t ) = m s t. Osserv il risultto ottenuto e complet: il prodotto dei due monomi è ncor un..; il grdo complessivo del prodotto è ugule ll. dei grdi complessivi dei monomi dti; il coefficiente del prodotto è ugule l dei coefficienti dei monomi dti; l prte letterle del prodotto è formt d tutte le.. presenti nei monomi dti; l esponente dell letter m, presente in entrmi i fttori, è ugule ll.. degli esponenti che m h nei due fttori.

19 Possimo, llor, generlizzre: il prodotto di due o più monomi è sempre un monomio che h: il coefficiente ugule l prodotto dei coefficienti dei monomi dti; l prte letterle formt d tutte le lettere presenti nei fttori; se nei fttori ci sono lettere uguli, tli lettere nel prodotto hnno esponente ugule ll somm degli esponenti (che esse hnno nei singoli fttori); il grdo del prodotto di due o più monomi, diversi dl monomio nullo, è ugule ll somm dei grdi dei singoli fttori. somm degli esponenti m s ( m t ) = m s t prodotto dei coefficienti Esempi ) 7 = (7 ) ( ) ( ) = 6 6 ; ) f g 7 7 f k = c) y 0 = 0; ( f f ) g k = 7 8 f g k ; d) y = y. Osservzioni Le regole esposte e gli esempi precedenti ci permettono di ffermre che l insieme dei monomi è chiuso rispetto ll operzione di moltipliczione. Dll esempio c) deducimo che il prodotto di due o più monomi è il monomio nullo se e solo se lmeno uno di essi è il monomio nullo. Anche per i monomi, quindi, vle l legge di nnullmento del prodotto. Osservndo l esempio d) e generlizzndo, si può ffermre che è l elemento neutro rispetto ll moltipliczione tr monomi.

20 PROVA TU Clcol i seguenti prodotti fr monomi: ) h m 7 g h ( f h m ); ) z z 0 ; c) c. 8 9 Potenz di un monomio Come en si, il prodotto di più fttori uguli si chim potenz. L potenz di un monomio, dunque, non è ltro che il prodotto di più monomi uguli fr di loro, ripetuto tnte volte qunto indicto dll esponente. Clcolimo l seguente potenz: ( f g ) = f g f g f g. Applicndo l proprietà commuttiv e l proprietà ssocitiv, si ottiene: ( ) (f f f ) (g g g ) ( ). Poiché, il prodotto in ciscun prentesi tond è, su volt, un potenz, si ottiene: ( f ) (g ) = 6 f 6 g 9. In definitiv: ( f g ) = 6 f 6 g 9. Osserv il risultto ottenuto e complet: l potenz di un monomio è ncor un nel qule: il coefficiente numerico è l.. del coefficiente numerico; ciscun letter h come esponente il. fr l esponente di ciscun letter e l esponente dell potenz. Dll esempio precedente, possimo dedurre l seguente regol: Per clcolre l potenz di un monomio, diverso dl monomio nullo, è sufficiente clcolre l potenz del coefficiente numerico e moltiplicre ciscun esponente dell prte letterle per l esponente dell potenz. ( s ) = 6 s 6 Prodotto degli esponenti Potenz del coefficiente

21 Per le potenze di monomi vlgono le già note proprietà delle potenze; in prticolre ricordimo che qulsisi monomio, diverso dl monomio nullo, elevto 0 è sempre ugule! Esempi ) ( ) 0 = ; ) ( c d ) = ( c d ) 6 = ( ) ( ) 7 c) = 9 ; d) ( ) = PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ( ) ; ) c ; c) ( ) [ ] ; [ ]. d) ( y ) 0 = () 6 () 6 (c ) 6 (d ) 6 = 6 6 c 8 d ; Divisione Ricorderi che, in precedenz, imo definito il quoziente fr due numeri rzionli, come quel numero che moltiplicto per il divisore ( 0) dà per risultto il dividendo. Allo stesso modo definimo il quoziente, se esiste, fr due monomi (dove, ovvimente, il divisore è diverso dl monomio nullo). Provimo, llor, d eseguire lcune divisioni: ) determinimo il quoziente fr i monomi 6 y e 7 y. Doimo trovre un monomio, se esiste, tle che, moltiplicto per 7 y, di come risultto 6 y. Per determinre il coefficiente del quoziente, st dividere fr loro i coefficienti del dividendo e del divisore; per determinre l prte letterle dividimo fr loro le potenze con l stess se.

22 Si h, dunque: ( 6 y ) : (7 y ) = ( : 7) ( 6 : ) (y : y ) = 6 y = y. In definitiv: ( 6 y ) : (7 y ) = y. E fcile, poi, verificre che y 7 y = 6 y. ) clcolimo il risultto dell seguente divisione: ( m p ) : (9 m ) Doimo trovre, llor, un monomio, se esiste, tle che, moltiplicto per risultto m p. 6 9 m, di come Come nel cso precedente, per ottenere il coefficiente del quoziente, dividimo fr loro i coefficienti del dividendo e del divisore; in questo cso il risultto dell divisione è un numero rzionle dl momento che il primo coefficiente non è multiplo del secondo. Per determinre l prte letterle si procede llo stesso modo e, quindi, dividimo fr loro le potenze con l stess se. Osservimo che, nell prte letterle del divisore, non è presente l letter p, questo vuol dire che il suo esponente è 0. Si h, quindi: ( m p ) : (9 m ) = ( : 9) (m : m ) (p : p 0 ) = In definitiv: ( m p ) : (9 m ) = E fcile verificre che: m p 9 9 m = m p. 9 m p. 0 m p = 9 m p. 9 c) clcolimo il risultto dell seguente divisione: ( c d ) : ( c d ). Doimo trovre, quindi, un monomio, se esiste, tle che, moltiplicto per c d di come risultto c d. Procedendo come negli esempi precedenti, si ottiene: ( c d ) : ( c d ) = ( : ) ( : ) (c : c ) (d : d) = c d = c d. In definitiv: ( c d ) : ( c d ) = c d. Il risultto ottenuto non è un monomio perché un esponente dell prte letterle è un numero negtivo.

23 d) clcolimo il risultto dell seguente divisione: : ( ) f f m Doimo trovre, quindi, un monomio, se esiste, tle che, moltiplicto per f m di come risultto f. Osservimo che nel dividendo non è presente l letter m, quindi il suo esponente è 0. Procedendo come negli esempi precedenti, si ottiene: : ( ) = ( ) ( 0 : f : f m : m ) f f m In definitiv: : ( ) = 0 f m = f f m = f m. f Anche quest volt, il risultto ottenuto non è un monomio perché un esponente dell prte letterle è un numero negtivo. PROVA TU Complet le seguenti uguglinze: ) c : =... ; ) 8 m p : ( m p ) =... m... ; ) y : ( y ) =... y = ; ) c f : c f =... c f... ; ) 9 z q : q t =... z q... t... m Dgli esempi e dgli esercizi precedenti, si osserv che non sempre l divisione fr due monomi è ncor un monomio. Precismente: il quoziente è un monomio negli esempi ) e ) e negli esercizi ) e ); il quoziente non è un monomio negli esempi c) e d) e negli esercizi ), ) e ). Anlizzimo i risultti ottenuti, prestndo ttenzione ll prte letterle dei monomi dividendo e divisore: ), ), ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; l esponente di ciscun letter nel dividendo è mggiore dell esponente dell stess letter nel divisore. 7

24 Il grdo complessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi complessivi del dividendo e divisore; l esponente di ciscun letter nel quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti dell stess letter nel dividendo e divisore. ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; l esponente di ciscun letter nel dividendo è mggiore o ugule ll esponente dell stess letter nel divisore. Il grdo complessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi complessivi del dividendo e divisore; l esponente di ciscun letter nel quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti dell stess letter nel dividendo e divisore. c), ), ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; esiste, però, un letter del dividendo che h esponente minore di quello che h l stess letter nel divisore ; d), ) : un letter del divisore non è presente nel dividendo. Possimo, llor, generlizzre: Il quoziente fr due monomi è un monomio se l esponente di ciscun letter nel dividendo è mggiore o ugule dell esponente dell stess letter nel divisore. Se il quoziente è un monomio, si h che: Il grdo complessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi complessivi del dividendo e del divisore. Il coefficiente del quoziente è ugule l quoziente fr i coefficienti del dividendo e del divisore. L esponente di ciscun letter del quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti che quell letter h nel dividendo e nel divisore. 6 y : 7 y = y : quoziente dei coefficienti differenz degli esponenti (nel riqudro, i fini di un lettur più gevole, è riportto solo il clcolo dell esponente per l letter ). PROVA TU Quli, fr i seguenti quozienti, sono monomi? ) (c ) : ( c ); ) ( m h ) : ( h ) ; c) ( z y) : ( y t ) ; d) ( ) : ( ). 8

25 = Espressioni con i monomi Dl momento che le lettere rppresentno numeri rzionli, per le espressioni in cui sono presenti dei monomi vlgono le regole già viste per i numeri rzionli; precismente: se nelle espressioni sono presenti delle prentesi, si risolvono prim le prentesi tonde, poi le prentesi qudre e, successivmente, le prentesi grffe; le operzioni di moltipliczione e divisione si risolvono nell ordine in cui si presentno e hnno l precedenz sull operzione di somm lgeric; si eliminno le prentesi precedute dl segno, cmindo il segno ciscuno dei termini rcchiusi dlle prentesi; si eliminno le prentesi precedute dl segno, lscindo invrito il segno di ciscuno dei termini rcchiusi dlle prentesi. Esempi Semplific le seguenti espressioni: ) y ( ) y y y y = (eseguimo, prim, le operzioni rcchiuse nelle prentesi tonde e che indicno l somm lgeric di monomi simili) = y ( ) ( ) 6 y y 9 y 6 = = y y y y = (poiché l moltipliczione h l precedenz sull somm lgeric, eseguimo i prodotti ricordndo l regol dei segni e semplificndo dove possiile) y y y y = y y y y = ( ) = (poiché i monomi di quest somm lgeric sono tutti simili e, in prticolre, due sono opposti) = y y y y = ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = 8 y. [ ] : ( ) := (risolvimo le potenze indicte) = 8 6 : ( ) :( 6 ) =

26 (ricordimo che moltipliczioni e divisioni hnno l precedenz sull somm lgeric e si eseguono nell ordine in cui si presentno) = ( 8 ) :( 6 ) = (in prentesi tond è indict l somm lgeric di monomi simili; risolvimo, llor, l prentesi tond) = ( ) ( : ) = ( ) :( ) = ( ):( ) = 0 0 =. : = 66 = ( ) PROVA TU Semplific l seguente espressione: y y ( y ) : ( y ) y.. Mssimo Comun Divisore e minimo comune multiplo fr monomi Mssimo Comun Divisore Dti due monomi A e B, con B 0, si dice che A è divisiile per B, o che B è divisore di A, se esiste un monomio C tle che B C = A. In ltre prole, un monomio A è divisiile per un monomio B ( 0) se il quoziente fr A e B è ncor un monomio. Esempio Il monomio è un divisore di ; inftti : = 6 che è un monomio. Considerimo, desso, i seguenti monomi: A = 6 I divisori di A sono: B = c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; 6 ; 6; 6 ; 6 ; 6. 0

27 I divisori di B sono: ; ; ; c; ; ; c; c; c; c; ; ; ; ; c; ; ; c; c; c; c; ; ; ; ; c; ; ; c; c; c; c; ; c; c; c. In rosso sono indicti i divisori comuni fr i monomi A e B. Fr i divisori comuni, ce ne sono due che hnno grdo mggiore di tutti gli ltri: e. Il monomio (che h per coefficiente il MCD fr i coefficienti di A e B) si chim Mssimo Comun Divisore fr A e B e, come per i numeri nturli, si indic con MCD (A, B). In generle: si chim Mssimo Comun Divisore fr due o più monomi il divisore di grdo mggiore comune i monomi dti. Il coefficiente del MCD fr due o più monomi può essere ritrrio m si conviene di ssumere, se possiile, il MCD fr i coefficienti dei monomi dti. Anche fr i monomi, per determinre il Mssimo Comun Divisore non è necessrio scrivere ogni volt tutti i loro divisori; inftti esiste un regol prtic, nlog quell già vist per i numeri nturli. Il MCD fr due o più monomi è un monomio che h: come coefficiente: il MCD fr i vlori ssoluti dei coefficienti se i coefficienti sono interi; se i coefficienti non sono tutti interi; come prte letterle il prodotto delle lettere comuni tutti i monomi, ognun pres un sol volt e con il minimo esponente. Esempi ) Determinimo il MCD m q s, ms. i coefficienti dei monomi non sono interi, quindi il coefficiente del MCD è ; le lettere comuni i due monomi sono: m e s ; per l letter m l esponente più piccolo è, per l letter s l esponente più piccolo è ; quindi l prte letterle del MCD è m s. In definitiv: MCD m q s, ms = m s (in questo cso, il coefficiente non viene solitmente indicto).

28 ) Determinimo il MCD ( c, f ). i coefficienti, senz tener conto del segno, pur essendo interi, sono primi fr loro, quindi il loro MCD è ; le prti letterli dei due monomi non hnno lettere in comune. In definitiv: MCD ( c, f ) =. PROVA TU ) Scrivi tre divisori del monomio 8 c. ) Determin il MCD fr i seguenti monomi: ) 8 c; c. ) y z ; yt. c) f g ; h m. d) 8 s t ; ;. Minimo comune multiplo Dti due monomi A e B, si chim minimo comune multiplo fr A e B un monomio di grdo minimo fr i multipli comuni d A e B. Il minimo comune multiplo fr i monomi A e B si indic con mcm(a, B). Il coefficiente del mcm fr due o più monomi può essere ritrrio, m, nche in questo cso, si conviene di ssumere, se possiile, il mcm fr i coefficienti dei monomi dti. Per determinre il minimo comune multiplo fr due o più monomi esiste, così come per il MCD, un regol prtic: Il mcm fr due o più monomi è un monomio che h: come coefficiente: il minimo comune multiplo fr i vlori ssoluti dei coefficienti, se i coefficienti sono interi; se i coefficienti non sono interi; come prte letterle il prodotto di tutte le lettere dei monomi, ognun pres un sol volt e con il mssimo esponente.

29 Esempi ) Determinimo il mcm m q s, ms. i coefficienti dei monomi non sono interi, quindi il coefficiente del mcm è ; le lettere comuni i due monomi sono: m e s ; per l letter m l esponente più grnde è, per l letter s l esponente più grnde è ; inoltre l letter q non è comune lle prti letterli dei due monomi; quindi l prte letterle del mcm è m q s. In definitiv: mcm m q s, ms = m q s. ) Determinimo il mcm ( c, f ). il mcm fr i coefficienti è 6; le prti letterli dei due monomi non hnno lettere in comune, quindi l prte letterle del mcm è formt dl prodotto di tutte le lettere dei due monomi, cioè c f (le lettere possono essere scritte nche in ordine lfetico). In definitiv: mcm ( c, f ) = 6 c f. ) Determinimo il mcm ( y, 8 z ). il mcm (, 8) = 6, quindi il coefficiente del mcm è 6; le prti letterli dei due monomi hnno in comune l letter e l esponente mggiore è ; le lettere y e z non sono comuni. L prte letterle del mcm è, llor, y z. In definitiv: mcm ( y ; 8 z ) = 6 y z. PROVA TU Determin il minimo comune multiplo dei seguenti monomi: ) m q z ; z m. 6 ) 6 z m ; 6 z m. c) ; c. 7 d) h f ; 6 h p ; 8 f p.

30 ESERCIZI CAPITOLO I monomi Conoscenz e comprensione ) Che cos è un espressione lgeric? ) Qundo un espressione lgeric si dice rzionle? ) Che cos è un monomio? ) Quli prti si distinguono in un monomio? ) Quli, fr le seguenti espressioni lgeriche, sono monomi? f h z ) ; ) 6m p ; c) ; d) mre; e) 9. 6) I numeri e 8, intesi come monomi, sono simili? Giustific l tu rispost. 7) Per quli vlore di n, con n N, l espressione 7 h n k è un monomio? 8) Che cos si intende per grdo reltivo d un letter di un monomio? 9) Che cos si intende per grdo complessivo di un monomio? 0) Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse: ) Qulsisi numero nturle è un monomio. V F ) Il monomio nullo h grdo complessivo 0. V F c) Il coefficiente di d è 0. V F d) Il monomio y h grdo complessivo. V F e) In un monomio, il grdo reltivo d un letter può essere un numero V F non positivo. g) Il grdo complessivo di un monomio è sempre un numero positivo. V F h) Il grdo complessivo di un monomio può essere un numero non negtivo. V F i) Se il grdo complessivo di un monomio è, l su prte letterle è formt V F d un sol letter. l) In un monomio, il grdo reltivo d un letter ed il grdo complessivo V F possono essere uguli. ) Qundo due monomi sono simili? ) Uno solo dei seguenti monomi è simile g k ; qule? ) g k ; ) g k ; c) 7 k g ; d) gk ; e) g k.

31 ) Un sol delle seguenti ffermzioni è ver; qule? ) due monomi sono opposti se hnno coefficienti opposti; ) due monomi sono simili se hnno lo stesso grdo complessivo; c) due monomi simili hnno lo stesso coefficiente; d) due monomi sono uguli se hnno lo stesso coefficiente; e) due monomi simili hnno lo stesso grdo complessivo. ) Come operi per determinre l somm o l differenz fr due monomi? ) Come si esegue l moltipliczione fr due monomi? 6) In qule cso il quoziente di due monomi è ncor un monomio? 7) Come si esegue l divisione fr due monomi? 8) Un sol delle seguenti ffermzioni è fls; qule? ) il prodotto fr due monomi è sempre un monomio; ) l somm fr due monomi opposti è il monomio nullo; c) il grdo complessivo del prodotto fr due monomi simili è il doppio del grdo complessivo dei due fttori; d) il grdo complessivo del prodotto fr due monomi è ugule l prodotto dei grdi complessivi dei due fttori; e) il grdo complessivo del quoziente di due monomi simili è 0. 9) Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse: ) L somm fr due monomi è sempre un monomio. V F ) Se l somm fr due monomi è un monomio, i monomi sono simili. V F c) Il quoziente di due monomi simili è un numero rzionle. V F d) Il prodotto di due monomi simili è un monomio simile i due fttori. V F e) Il quoziente fr due monomi può essere un monomio. V F f) L differenz fr due monomi simili è un numero rzionle. V F g) Il grdo complessivo dell somm fr due monomi simili è ugule ll V F somm dei grdi complessivi dei due monomi. h) Se il quoziente fr due monomi è un monomio, il suo grdo complessivo V F è ugule ll differenz fr il grdo complessivo del dividendo e il grdo complessivo del divisore. i) Il grdo complessivo del prodotto di due monomi simili è il doppio del grdo V F complessivo di ciscuno dei fttori. 0) Come si determin il mssimo comun divisore fr due o più monomi? ) Come si determin il minimo comune multiplo fr due o più monomi?

32 Esercizi Espressioni lgeriche Trduci in simoli le seguenti proposizioni: ) Al doppio di ggiungi il triplo del qudrto di. ) Dividi il doppio del qudrto di g per l somm del triplo di h con il doppio di g. ) Sottri dl qudrto di il cuo dell somm tr e. ) Dividi l somm del doppio di z con l qurt prte di p per il triplo dell differenz fr z e t. ) Moltiplic l somm fr e y per l differenz fr il doppio di e l qurt prte di y. 6) Sottri dl cuo dell differenz fr s e il qudrto di t, il qudrto dell somm fr l metà di s e il qudrto del triplo di t. 7) Aggiungi l qudrto dell differenz fr m e k, il triplo dell somm del qudrto di m con il doppio di k. Trduci nel linguggio nturle le seguenti espressioni scritte nel linguggio simolico: 8) g k 9) (f h) f h 0) ) q s ( s q) y y y ) ( ) (c ) ) n ( n )( n ) 6 ) (m h ):(m h) ) ( y ) 6) Clcol il vlore che ssumono le seguenti espressioni lgeriche sostituendo lle lettere i vlori indicti: per = e = 7) k g k g k m h m mh 8) m h m h per k = per e g = m = e h = 6

33 9) y y y y y per = e y = 0) st s t s s t m m p p( m ) ) p m m( p ) per per m = s = e t = e p = ) L espressione ) se = e = ; ) se = e = ; c) se = = ; d) se = e = e) mi. perde di significto: ; ) Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse: è un numero intero. V F ) y Q / l espressione B(y) = y ssume il vlore 0. V F ) Z, il vlore dell espressione A() = ( ) c) Q, il vlore dell espressione F(, ) = è un numero negtivo. V F d) t Q, il vlore dell espressione P(t) = t t è un numero negtivo. V F k m ) Le seguenti ffermzioni si riferiscono ll espressione A(k, m) = m fls. Qule? ) m Q, A(k, m) < 0; ) k, m Q / A(k, m) Z; c) k, m Q / A(k, m) = 0; d) m Q, A(k, m) > 0; ; un sol di esse è e) A(, ) = 8. ) Solo un, fr le seguenti espressioni, non ssume mi il vlore zero. Qule? ) (z z z ); ) (m m ); c) ; d) z z. 7

34 8 Per quli vlori ttriuiti lle lettere, le seguenti espressioni perdono di significto? 6) k h k ; 7 ;. 7) 7 t t t ; y ; s s s. 8) ; k h hk h ; 6 p m p mp m. Monomi 9) Stilisci quli delle seguenti espressioni lgeriche sono monomi e riducile form normle: ) 8 6 yz z y y ) ( ) c) 6 7 y y d) 9 0) Si A = 0,, 9 6,,,,, g k m h m z t sole un insieme formto d espressioni lgeriche. Determin l rppresentzione tulre dell insieme P = { A / è un monomio}. ) Dto l insieme B = z y p m k f g h k 6,,,,, 8 7, determin l rppresentzione tulre di S = { B / è un monomio}. Determin, inoltre, un prtizione dell insieme B che conteng lmeno tre elementi, rppresentndo per crtteristic ogni elemento dell prtizione. Riduci form normle i seguenti monomi: ) ( ) ) y 8 ; ( ) m k m k ) t p t p p ; 6 8 z y z z

35 Per ciscuno dei seguenti monomi indic: ) y ; il coefficiente; il grdo reltivo ciscun letter; il grdo complessivo. y z t; c 6) k m z; h 6 ; p nt 7 7) s f 7 ; c; kt 8) s p ; k ; f g k 9) ; t z ; Scrivi i monomi con le crtteristiche indicte: 0) Coefficiente: ; grdo complessivo: ; grdo rispetto d :. ) Coefficiente: ; grdo complessivo: ; grdo rispetto : ; grdo rispetto c:. 9 ) Coefficiente: ; grdo complessivo: ; grdo rispetto p:. ) Coefficiente: ; grdo complessivo: 0. ) Coefficiente: ; grdo complessivo: 6; grdo rispetto d f : ; grdo rispetto k: 0. ) Coefficiente: 7 ; grdo complessivo: ; grdo rispetto d h: ; grdo rispetto d n:. 6) Si N e A(m, p) = m p ; quli vlori puoi ssegnre ffinchè tle espressione si un monomio? Qule vlore puoi ssegnre ffinchè A(m, p) si di grdo complessivo? 7) Si m N; qule vlore puoi ssegnre ll letter m ffinchè l espressione m y si un monomio di grdo 6 rispetto ll letter? Qule vlore puoi ssegnre ll letter m ffinchè l stess espressione si un monomio di grdo complessivo? 8) Si h Z; per qule vlore di h l espressione p h s è un monomio di grdo complessivo? Per qule vlore di h l stess espressione è di grdo rispetto ll letter p? 9

36 9) Sino, c interi; quli vlori puoi ssegnre lle lettere e c ffinchè l espressione m c q - si un monomio di grdo complessivo 0? Per quli vlori di l stess espressione non è un monomio? 0) Si un numero nturle; per qule vlore di l espressione 7 z è un monomio di grdo complessivo? ) Un dimensione di un rettngolo è t e l ltr è i suoi ; qul è l re del rettngolo? ) Il lto di un tringolo equiltero è s; qul è il suo perimetro? ) Qul è l lunghezz di un circonferenz di rggio r? E l superficie del cerchio delimitto d tle circonferenz? ) Qul è il volume del prllelepipedo di dimensioni,, c? ) Qul è l superficie lterle di un prism retto vente per se un pentgono regolre di lto h e ltezz tripl del lto del pentgono di se? 6) Qul è l superficie lterle di un cuo di lto l? 7) L ltezz di un pirmide se qudrt è e il lto di se è l terz prte dell ltezz; qul è il volume dell pirmide? 8) In un cilindro, il dimetro di se misur r e l ltezz è il triplo del rggio. Qul è l superficie lterle del cilindro? E il suo volume? Fr i seguenti monomi, individu quelli simili: 9) m k ; m k ; m k ; m k ; 8 m k ; m k 60) h p z ; 9 ; 7 hp z ; h p z ; p h z zh p ; h pz 6) lgo; lto; gol; gol; lto; lg 6) f k ; k f ; f k 7 ; k f ; 8k f ; 7k f 6) Scrivi tre monomi simili l monomio c. 6) Scrivi tre monomi simili l monomio y z 6. 6) Scrivi i monomi opposti dei seguenti monomi: y ; ; c. 0 0

37 66) Complet l seguente tell: Monomio Monomio opposto Monomio simile k s p y z m q s y 0 c 0 k m 7 z m 8 67) Le seguenti ffermzioni si riferiscono ll espressione A(,, c) = vere o flse: k k c ; stilisci se sono ) k N, A(,, c) è un monomio V F ) k Z, A(,, c) non è un monomio V F c) k N / A(,, c) è simile l monomio c V F d) Se k = 0, A(,, c) è l opposto di V F e) Se k {0,, }, A(,, c) è un monomio V F f) k Z / A(,, c) h grdo complessivo 0 V F g) Se k =, il grdo rispetto ll letter è V F h) Se k =, A(,, c) è ugule l monomio c V F

38 68) Le seguenti ffermzioni si riferiscono ll espressione B(m, p) = 9 m p m h h ; stilisci se sono vere o flse: ) h N, B(m, p) è un monomio V F ) h Z, B(m, p) non è un monomio V F c) h Z, B(m, p) è un monomio V F d) h N / B(m, p) è simile l monomio p V F e) Se h =, B(m, p) è di grdo 0 rispetto ll letter m V F f) Se h = 0, B(m, p) h grdo complessivo 0 V F g) h N / B(m, p) è simile l monomio m p 7 V F h) Se h =, B(m, p) è l opposto di p V F Operzioni con i monomi Somm lgeric Esegui le operzioni indicte: 69) 6 70) 7 [ ] 7), 0, 0 7) yz yz yz yz yz yz 7) 9 6 y y y y y 8 9 y 7) 7 t t t t t t t t 7) m k m k m k m k m k m k m k km 76) [ 6 ] 77) v z 7v 6z v 0v [0v z ]

39 78) 6km m m km m m m 7 km m 79) 80) 8) tz tz tz tz c c c 0 0 c 7 0 g h m v z g h m g h m v z g h m v z 0 6 8) 6c (9f c ) c (f 9c ) f [7c 9f] y y y y y 6 6 8) ( ) y y ) d h d h d h d h d h d h ( d h d h) 8) [ ( y )] 7 y ( y ) 0 dh [ ] 86) h ( 6hg hg) h hg h h hg hg 87) 88) 89) n n n, con n N n n n n, con n N 8 k k k k, con k N h hg n Inserisci l posto dei puntini i monomi che rendono ver l uguglinz: 90) y... = y 9)... = 0 9) 9)... = = 6 9) d d... 9d = d 9) 96) 97) dr dr dr... dr = dr... y y = y 6... y 0y = y

40 98) 99)... =... = 00) 0... = 0) y... z... = y 0) m y... y... = 6m y y 0) = 9 0) h... 9h... h = h 7 8 s s... s 0) = s Esempio Dti i monomi A = semplific l espressione: 9 k s e B = k s ; dopo ver sostituito d A e B le rispettive espressioni, A B (A B). Nell espressione ssegnt, doimo sostituire ll letter A e ll letter B i monomi indicti, fcendo molt ttenzione i segni. Si ottiene: A B (A B) = k s k m k s k s = (eliminimo le prentesi) = = k s k s In definitiv: A B (A B) = k s k s = k s k s Sino A = k, B = k 9 come nell esempio precedente: 06) (A C) B 07) (B C) (A B) 08) A (B C) B 09) B ( A C) A ( C) 0) (A C) B (C B) ) B (B A) (C A) e C = 7 k 6 tre monomi. Semplific le seguenti espressioni,

41 Moltipliczione ) Complet l seguente tell:. n 7 6 y n Esegui le seguenti moltipliczioni fr monomi: ; t z t 0 ) y ( y) 8 8 ; ( 7 c ) ( c ) ) y z 6 ( z 9 ) ) mp q mpq f gh 9 f g hk 6 8 ; ) ; y 0 7) c 9 0, ;, h f h 8 8) 7h ( hg ) ( h g ) 9) mt t mt m 8 7 y y 8 0) ( ) d d d ) ( )

42 ) y y 0,7 8 ) 7 7 ) m ( ), con m N 9 n 0 n ) ( s t ) ( s tv ) con n N 7 6) c 7 c 6 c n n n, con n N f f 7) k t t k t, con N 8 Inserisci l posto dei puntini il monomio che rende ver l uguglinz: 8) m.. = 6m 9) k s = k s 0) mtz = ) = m t z 7 ) p s... s = 0 7 ) d g g... h = ) 8 h z... h z v = h 7 9 s 6 d p 7 t h 6 z g 0 v ) k y = k k y, con k N 6) h h m p... m = h 7 h m p, con h N 0 7) p- p = p p, con p N 0 Esegui le operzioni indicte: 8) ( y y) ( ) [ 7 y] 9 9) ) m h g g mh mhg mhg m h g mhg

43 ) c c ( 0,cf 0, cf ) ) y y ( y y ) ) 7 sq t 6 t sqt qt 6 qt ) yz y ( y z ) ( 8 y z ) ) sq t 0 c f [ y ] sq t [ 0 ] 7 6) f k f f kf f f f k f kf 6 f k f k 0 6 kg kg k 0,k k k 7 7 7) ( ) 9 kg 8) 6 8 c c c c c 9) 6 6 y y y y y y yy m m m m m h m h m h mh 0) ( ) ( ) ( ) ) 7 y y y 0 m m h 8,kt kt t k kt t kt 7 7 ) h h q q q h h hq h h 9 8 ) kt 8 hq 6 ) y y y y y y y y y y y 9 7 ) c d cd cd d cd cd d c d d d ) m p 0 mp mp 9 m m mp mp 7 mp 6 p ( m m ) cd [ 7 mp]

44 Sino A = seguenti espressioni: 7) AB C 8) AB C 9) AB BC D 60) BD 8AC 6) AC BD A 6) B C AD 6), B = AB C D, C = 8 e D = 7 quttro monomi. Semplific le Potenze di monomi Clcol le seguenti potenze di monomi: 6) ( ) 7 ; ( y) ; ( ) 6) ( gs 6 h ) ; mt z ; 7 6 ( y v ) 66) d f ; hkm ; mt 67) ( m h) ; 6 0 fg ; 6 68) ( ch ) ; y ; c 69) 70) mt z ; kn st v ; g ; c c dh ; ( ) [ ] [ ] 7) ( h m ) 6 ; ( y) ; 7 y [ ] 7) ( m q) ; h g 0 [ ] 0 [ ] 7 7) ( y ) ; ( ) 8

45 Esempio Clcolimo le potenze dei seguenti monomi: ) ( n y n ), n N ; ) ( h p ) n ) Applicndo le proprietà delle potenze, ottenimo: ( n y n ) n = ( ) ( y n ) = n 6n y ) Applicndo le proprietà delle potenze, ottenimo: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n, n N Per stilire il segno di ( ) n doimo distinguere due csi: n pri o n dispri. n pri: ( ) n = n dispri: ( ) n = n n Si ottengono, quindi, i seguenti risultti: n pri: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n = n dispri: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n = n h n n h p n n p n Clcol le potenze dei seguenti monomi: 7) ( m y ), con m N ; ( ) n, con n N 7) m p h s, con m, p N ; ( m c) n, con m, n N 76) ( p y ) h k, con p, h N ; ( ) p Esempio Completimo le seguenti uguglinze:, con k, p N ) (.) = 8 6 z ; ) (.) = 8 9m p ) Determinimo il coefficiente dell se dell potenz. Osservimo che l esponente dell potenz è dispri ed il monomio ottenuto h coefficiente negtivo; deducimo, llor, che il coefficiente dell se dell potenz è preceduto dl segno ; inoltre, 8 =. L se dell potenz h come coefficiente. Determinimo, desso, l prte letterle. Poiché per determinre l esponente dell prte letterle di un potenz si moltiplicno fr loro gli esponenti, per clcolre gli esponenti dell prte letterle dell se dell potenz è necessrio eseguire l operzione invers; doimo, quindi, dividere per gli esponenti 6 e. Si ottiene: ( z) = 8 6 z 9

46 ) Determinimo il coefficiente dell se dell potenz. Osservimo che l esponente dell potenz è pri; il coefficiente dell se, llor, può essere preceduto dl segno o dl segno ; inoltre 9 =. Il coefficiente dell se dell potenz, llor, è oppure. Per determinre l esponente dell prte letterle, si procede come l punto ); dividimo, quindi, per gli esponenti 8 e. Si ottiene: ( p) m = 9 p 8 m oppure ( m p) = 8 9m p Complet le seguenti uguglinze: 77) 78) 79) (...) = 7m s 8 (...) = 6 9 (...) = 80) (...) = 8) (...) = 8) (...) = 8) 6 k 0 f 9 6 c 6 d 0 0 (...) = n 6m 8) ( )... = 0,09 y g Sostituisci l posto dei puntini i termini mncnti in modo d rendere vere le uguglinze: ) ( y ) = 7 y 86)... m = ) ( )... = ) (... p t ) = p t y = 6 y ) ( ) 90) c =... c 9) k... f = 7 k 6 f 0

47 9) t m p m = 9) ( ) n n f f = 9) ( ) n = m n 6 9) ( ) k h h y y = 96) n n n t z t z = Esempio Semplifichimo l seguente espressione: ( ) k k k m m m k m k m m Sommimo i termini simili rcchiusi nelle prentesi tonde; si h: ( ) k k m m k m k m = Eseguimo, prim di tutto le potenze = = mk k m k m che osserv ; si ottiene: k k m m k m k m 8 = Procedimo, desso, eseguendo le moltipliczioni: 6 8 k m k m k m = (i termini sono simili) = k m In definitiv: ( ) k m k k k m m m k m k m m = Semplific le seguenti espressioni: 97) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) 6 6 6

48 00) ( ) ( ) ( ) [8 ] 0) ( ) [ ] ( ) [ ] 0 g f g f [ f g ] 0) ( ) 0 km k k m k m k [] 0) ( ) ( ) [ ] [ 6 8 ] 0) ( ) y y y y 0) ( ) ( ) ( ) 6 [0] 06) ( ) ( ) ( ) 0 7 p t t pt pt pt t t 9 pt 07) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 y z z y y y y yz yz z y z y 8 7 y z y z 08) ( ) ( ) g f g g g f g f 6 8 f g f g 09) ( ) ( ) 0 c k c k kc c k kc c k k k 7 0 kc 0) y y y 99 8 y ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) h h h y y y, con h N ) ( ) ( ) ( ) [ ] m m m m m m m, con N ) ( ) ( ) ( ) () [ ] n n k n k c c, con k, n N ) ( ) ( ) ( ) m m m, con m N

49 Divisione 6) Complet l seguente tell: : y y y y y y y Esempio Eseguimo l seguente divisione: 9 st : st. 8 Osservimo, prim di tutto, che gli esponenti di ciscun letter del dividendo sono mggiori o uguli gli esponenti dell stess letter nel divisore; quindi, il quoziente è un monomio. Il coefficiente del quoziente si ottiene dividendo fr loro il coefficiente del dividendo ed il 9 coefficiente del divisore : e, poiché sono concordi, il segno del coefficiente è ; l prte 8 letterle è formt dlle lettere del dividendo venti per esponente l differenz fr gli esponenti del dividendo e quelli del divisore; si h, dunque: 9 st : st = 9 : s t = s t = s 8 8 ATTENZIONE 9 Considerimo l divisione dell esempio precedente: st : st 8 Osservimo che è un grve errore scriverl nel seguente modo: s t st = s t st 8 dove imo invertito il coefficiente del divisore e non l prte letterle.

50 Esegui, se possiile, le seguenti divisioni: 7) 8 : ( ); c : ( c ) 8) 7 : ; y : y 9) mk g : k g ; y : y 0) s t z : s tz ; f f : k 9 ) g : ( 7h g ) 7 6 h ; p k v : p kv 7 8 ) c : c ; 6m f : mf ) s tz : ( s t) ; 8 8 y : y 7 ) st z : ( st ) ; yz : yz 9 ) m n h : ( 8 m h), con n N n 6) k j : k j, con N, N 0 h 7) ( g h k ): ( g k ) k k k 8) ( f m ): ( f m) n n 9) ( h ): ( h ), con h N, con k N k, con n N 0) n 6 p t : pt n, con n N n 7 ) k k k m s : m s, con k N ) A qule insieme deve pprtenere k ffinchè il quoziente dell divisione ( k ): ( ) un monomio? ) N ) N 0 c) N {} d) A = { N / } e) B = {h N / h > } ) A qule insieme deve pprtenere ffinchè il quoziente dell divisione ( y ): ( y ) monomio? ) B = { N / > }; ) A = { N / }; c) F = { N / }; d) N {}; e) N {}. si si un

51 k k ) A qule insieme deve pprtenere k ffinchè il quoziente dell divisione ( ): ( t ) si un monomio? t non ) N {}; ) N {}; c) A = { N / }; d)a = { N / }; e) per qulsisi vlore di k il quoziente dell divisione è un monomio. Inserisci, se possiile, l posti dei puntini i monomi opportuni in modo che le seguenti uguglinze risultino vere: ) ( 8 c) : (...) 6) ( ) ( p... : t) = pt = 7) y : (...) h = 8) ( 6 k ): (...) y 6 z = z k... : m s = 7 7 9) ( )... : c f = 0) ( ) 7m s g 7 k = 8 ) g h : (...) ) (...): ( h ) f = h k... : c = c 9 ) ( ) 9 7 ) g f : (...) d =... : z = ) ( ) d k ) (...): h = 9 Semplific le seguenti espressioni: 7) y y y y : y y 0 y 7 8) : 6 6 9) ( ) : 8

52 6 0) ( ) ( ) yz : z [ y z ] ) ) y y y : 7 md m d : md 6 y 9 md ) 7 6 yz yz : y z y z y y y : y y 0 6y ) 6 6 y : y y : y y : r s t r s t r s t : r 9 s t 0 ) ( ) [-7r s t ] 7r st 7 9 6) mt mt mt : mt mt mt mt ) mk mk : k m m : m mk 8) 9) s 9 s 6 s : 7 6 s s t 6 s t : tvz tvz : tvz tvz s t 6 s [ ] ) c c : :( c) 6) 0 : : : [impossiile] 8 6) 6 : 9 7 [0] 6) 6 8 mh m : mh m h : m h 0 6) ( ) ( ) m 9 p s : s s ps : ps [ps] y y y y : y y : y 6) ( ) ( ) ( ) y 6

53 66) c : c : c c c [0] : : 9 0 t 9 t t t z t z [t ] 67) ( z ) : ( t z ) 68) 6 8 yz : yz yz yz yz 69) k 8 g 7 k g k g : kg kg kg k g [k g ] ) y : y : y ( y ) 6 y 6 8 7) : ( ) 6 6 7) 0 6 y : y : y y y y 0 y 9 6 7) ( ) ( ) m : m m m 6 m 7 : m m m 7) 7) mpq mpq mpq : mp q yz: y yz yz m p q 6 6 yz MCD e mcm fr monomi 76) Scrivi tutti i divisori del monomio. 77) Scrivi tre divisori del monomio k. 78) Le seguenti ffermzioni si riferiscono l monomio k. Stilisci se esse sono vere o flse: ) k non h divisori di grdo complessivo 0. V F ) I divisori di k di grdo complessivo sono, l mssimo,. V F c) Esistono divisori di k di grdo complessivo. V F d) Esistono lmeno tre divisori di k di grdo complessivo. V F e) Esiste un solo divisore di k che h grdo complessivo. V F f) Esiste un solo divisore di k di grdo rispetto ll letter k. V F g) Esistono lmeno quttro divisori di k di grdo rispetto ll letter. V F 7

54 79) Si A = m q 7 ). Solo uno dei seguenti monomi non è un divisore di A; qule? mq ; ) ; c) m q ; d) m 7 q ; e) 80) Scrivi tre divisori comuni i monomi 6 e z. 8) Dti i monomi A = s t e B = s t ; solo uno dei seguenti monomi è un divisore comune 9 d A e B; qule? ) s t ; ) s t ; c) s t ; d) s t ; e) s 9 8) Complet l seguente tell e clcol il MCD delle seguenti coppie di monomi: MCD y y z c z 7 y yz 9 c 0 z Determin il MCD fr i seguenti gruppi di monomi: 8) c; 8 c 8) c f ; 0 c f h 8) 6t y ; y t ; 8t y 86) 6 s m ; 87) y ; m ; ms y ; y 88) 89) g k ; 8 p t ; t f ; h ; m 8 f q

55 90) Complet l seguente tell e clcol il mcm delle seguenti coppie di monomi: mcm y y z c z 7 y yz 9 c 0 z Clcol il mcm tr i seguenti gruppi di monomi: 9) 7 p t ; 9 p 9) y ; 9) s k ; 9) 9) m q z k gf ; ; y z 8s h ; h k m z ; kf g ; k mq g 96) ; 97) f k ; 7 p ; 7 Clcol il MCD ed il mcm dei seguenti gruppi di monomi: ; g 98) ; 8 c ; 0c d 99) y z; 00) m p z ; 6 y ; 6 z m ; 0 z m p 0) 0) 8 k z ; h z 7 s p ; ; p k ; z p k 7 9

56 Prolemi 0) Un lto di un tringolo misur 8k e l ltezz d esso reltiv è i suoi. Qul è l re del tringolo? Determin l re del tringolo nel cso in cui k = m. [k ; 600 m ] 0) Un dimensione di un rettngolo misur h e l ltr è i suoi 6. Determin il perimetro e l re del rettngolo. Qul è l re del rettngolo se h = 8 cm? [h; 0h ; 7680 cm ] 0) L misur dell superficie di un qudrto è 6 ; l suo lto viene ggiunto un segmento ugule i suoi. Di qunto è umentt l superficie del qudrto? Qul è l misur dell superficie del nuovo qudrto? Qunto misur il perimetro di ciscuno dei due qudrti? [6 ; 00 ; ; 0] 06) Il lto di un rettngolo misur e il suo perimetro è. Qul è l re del rettngolo che si ottiene triplicndo il lto mggiore e dimezzndo il lto minore? [ ] 07) L se di un tringolo isoscele è k e il lto oliquo è i suoi. Qul è il perimetro del tringolo che si ottiene diminuendo l se di un segmento pri d del lto oliquo ed umentndo il lto oliquo di un segmento pri d dell se? Per qule vlore di k il perimetro di quest ultimo tringolo è 0 cm? [k; k = 6 cm] 08) Antonio e Bruno si dnno ppuntmento l centro commercile che dist d cs di Antonio. Dopo ver percorso del trgitto, Antonio incontr Luci e si ferm per slutrl; dopo ver percorso del trtto rimnente si ferm ncor per slutre Giorgio, un suo vecchio compgno di scuol. Bruno, non vedendolo rrivre, lo chim sul cellulre: Antonio, dove sei? Qunt strd devi fre ncor?. Antonio risponde: Sto rrivndo, devo fre ncor... Cde l line. Come vree completto l frse Antonio? Scrivi e semplific l espressione che risolve il prolem. [7] 09) Mrt h k liri di utori frncesi, inglesi, itlini, sttunitensi. Mrt h pensto, llor, di sistemrli in modo che su ogni ripino dell lireri ci sino liri di utori dell stess nzionlità. Mentre sistemv i liri si è ccort che di questi sono stti scritti d utori 0

57 itlini; dei rimnenti, 6 sono di utori di origine inglese e i sono di utori sttunitensi. Qunti sono i liri di scrittori di origine frncese? Qule, fr i seguenti vlori, puoi ttriuire k, ffinchè il prolem i soluzione? k ) k = ) k = 60 c) k = d) k = 0 e) k = 0) Un pizz dell città di Mnigoldi h l form di un rettngolo in cui un dimensione è è l ltr è i suoi. In onore di Lmus, grnde eroe di Mnigoldi, l centro dell pizz è stto costruito un edificio vente per se un tringolo equiltero equivlente i del rettngolo. 9 Qunto misur l superficie dell pizz estern ll edificio? [0 ] ) Frncesco deve plstificre un ddo il cui spigolo misur 8q. E sufficiente un foglio rettngolre di dimensioni q e q? Motiv l tu rispost. ) Clcol il perimetro e l re dell figur sottotnte. k m ) Osserv l seguente figur: 6m 8 k; mk Qul è l re dell prte non colort? Qul è l re dell prte colort? [8 ] [ ]

58 CAPITOLO 6 I polinomi 6. Definizioni Nell figur lto è rppresentt l pintin del cortile di un condominio. Scrivi un espressione che indichi il perimetro del cortile:..... Scrivi un espressione che indichi l re del cortile:. Entrme le espressioni precedenti indicno l somm di più monomi non tutti simili tr di loro; tli espressioni prendono il nome di polinomi. Si h, llor, l seguente definizione: Si chim polinomio l somm lgeric di più monomi. I monomi che formno il polinomio si chimno termini del polinomio. Osserv i termini che formno i seguenti polinomi e complet: A = c c e B = y 7 y. Il polinomio A contiene... monomi....; invece il polinomio B.... contiene monomi.. Il polinomio B si dice ridotto form normle. In generle: un polinomio si dice ridotto form normle se è l somm lgeric di monomi non simili fr di loro. Inoltre, un polinomio, ridotto form normle, si chim: inomio se è l somm lgeric di due monomi; trinomio se è l somm lgeric di tre monomi; qudrinomio se è l somm lgeric di quttro monomi. PROVA TU Stilisci se i seguenti polinomi sono ridotti form normle e, qulor non lo sino, riducili form normle: ) 9 6 ; ) p s ps p t ; 7 8 c) f h f h.

59 ATTENZIONE Osserv i seguenti polinomi : A = f f f ; B = p 0 0 y ; C = 0 0 ; D = 0 0 c f 0. Il polinomio A è l somm di monomi simili, quindi A = f ; il polinomio B è l somm fr un monomio e ltri monomi tutti nulli, quindi B = p ; il polinomio C è l somm fr un numero rzionle e monomi nulli, quindi C = ; infine, il polinomio D è l somm di monomi nulli, quindi D = 0. In tutti questi csi, in reltà, i polinomi sono dei monomi. D questi esempi possimo dedurre che: i monomi sono dei prticolri polinomi e, poiché, i numeri rzionli sono dei monomi, nche i numeri rzionli sono prticolri polinomi. Il polinomio formto d monomi nulli è chimto polinomio nullo. In modo nlogo qunto ftto per i monomi, nche per i polinomi si definiscono il grdo complessivo ed il grdo reltivo (ovvimente i polinomi devono essere ridotti form normle). Si chim grdo complessivo di un polinomio il mggiore fr i grdi complessivi dei suoi termini. Si chim grdo reltivo (o grdo rispetto) d un letter l esponente mggiore con cui quell letter compre nel polinomio. Il termine del polinomio di grdo (complessivo) zero è chimto termine noto. Se i termini del polinomio hnno lo stesso grdo complessivo, il polinomio si dice omogeneo. Esempi ) Si A = 6. L esponente mggiore dell letter è, quindi il grdo reltivo d è ; l esponente mggiore dell letter è, quindi il grdo rispetto è ; il monomio h grdo complessivo ; il monomio h grdo complessivo 7; il monomio 6 (termine noto del polinomio) h grdo complessivo 0; il mggiore fr i grdi complessivi è 7; llor, il grdo complessivo del polinomio A è 7.

60 ) Si C = 6m p m p. Tutti i termini del polinomio hnno grdo complessivo ; il polinomio è, dunque, un polinomio omogeneo (di terzo grdo). PROVA TU Per ciscuno dei seguenti polinomi indic il grdo complessivo ed il grdo reltivo ciscun letter; stilisci, inoltre, se esso è omogeneo: ) ) c) 6 ; 7 y y y ; 9 h m h m m p. Osserv, desso, i polinomi: P(, y) = y 6 y 8 y, Q(m, t) = m t m 9, S() = 6, T(k) = k k k 8 k, B() = 6, F(k) = k k k 8 k. Il polinomio P(, y) è di terzo grdo rispetto ll letter ; inoltre, in esso, l letter è presente con esponenti (che è il mggiore),,, 0 (il termine 6 y è di grdo 0 rispetto d ). Nel polinomio P(, y) sono presenti, quindi, tutti gli esponenti di, dl mggiore () fino ll esponente 0. Si dice, llor, che P(, y) è completo rispetto ll letter. Nel polinomio Q(m, t), il primo termine m t è di terzo grdo rispetto m, il secondo termine ( m ) è di secondo grdo rispetto m, l ultimo termine ( 9) è di grdo 0 rispetto m, cioè i termini del polinomio sono scritti in ordine decrescente rispetto l grdo reltivo m; si dice che il polinomio Q(m, t) è ordinto secondo le potenze decrescenti di m. Il polinomio S(), invece, è ordinto secondo le potenze crescenti di ; inftti il primo termine () è di primo grdo rispetto d, il secondo termine ( ) è di terzo grdo rispetto d, l ultimo termine ( 6 ) è di quinto grdo rispetto d.

61 Infine, il polinomio T(k) è completo rispetto ll letter k e ordinto secondo le potenze decrescenti dell letter k. Osserv, desso, con ttenzione i polinomi S() e B() e complet: i termini di S() sono tutti. quelli di.. ; osserv i polinomi T(k) e F(k) e complet: ciscuno dei termini di T(k) è. i termini di... I polinomi S() e B() si dicono uguli e si scrive S() = B(); i polinomi T(k) e F(k) si dicono opposti. In generle: un polinomio P è completo rispetto d un letter se in esso sono presenti tutte le potenze di quell letter, dll mggiore fino quell con esponente 0; un polinomio P è ordinto secondo le potenze decrescenti di un letter se i suoi termini sono scritti in ordine decrescente rispetto l grdo reltivo quell letter; un polinomio P è ordinto secondo le potenze crescenti di un letter se i suoi termini sono scritti in ordine crescente rispetto l grdo reltivo quell letter; due polinomi sono uguli se, prte l ordine, contengono gli stessi monomi; si chim opposto di un polinomio, il polinomio che si ottiene cmindo di segno ciscuno dei termini del polinomio dto. L opposto di un polinomio A si indic con A. Complet Se un polinomio non è ordinto rispetto d un letter, lo si può riscrivere in modo che si ordinto rispetto quell letter pplicndo l proprietà.. dell. fr monomi. Se un polinomio non è completo rispetto d un letter, lo si può rendere completo rispetto quell letter ggiungendo un monomio che i per coefficiente... e come prte letterle... con l esponente. PROVA TU ) Ordin il seguente polinomio secondo le potenze crescenti di e stilisci se esso è completo rispetto ll letter y: y y y.

62 ) Ordin il seguente polinomio secondo le potenze decrescenti di y e stilisci se esso è completo rispetto ll letter : 6 7 y y y y y. c) Riscrivi il seguente polinomio in modo che si completo rispetto ll letter h : h h h 9. 8 d) Complet i polinomi A() e B() in modo tle che essi sino uguli: A() =.... B() =..... e) Scrivi il polinomio opposto del polinomio A() dell esercizio precedente. Anche i polinomi sono delle espressioni lgeriche, quindi il loro vlore dipende d quelli che vengono ttriuiti lle vriili. Ad esempio: considerimo il polinomio B(m) = m m e determinimo il vlore che esso ssume qundo ll vriile m si ssegnno i vlori,,, 0. Se m = B() = = 8 6 = 6 6 = ; se m = B() = = 7 9 = 9 = 7; se m = B() = () () = (8) 6 = 6 6 = 8; se m = 0 B(0) = 0 0 = 0 0 =. Per i polinomi vle il seguente Principio d identità: Due polinomi nelle stesse vriili sono identici se ssumono gli stessi vlori qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili. 6. Operzioni con i polinomi Addizione e sottrzione Si chim somm di due polinomi A e B, e si indic con A B, il polinomio che si ottiene ddizionndo i monomi di A i monomi di B. Per esempio, dti i polinomi A(, y) = y y 9 e B(, y) = y y y, determinimo l loro somm. 6

63 A(, y) B(, y) = ( y y 9) ( y y y ) = (eliminndo le prentesi) = = y y 9 y y y = (riducendo i termini simili) = y y y 6. Si chim differenz fr due polinomi A e B, e si indic con A B, l somm fr il polinomio A e l opposto del polinomio B: A B = A ( B). Così, se A(, y) e B(, y) sono i polinomi dell esempio precedente, clcolimo l loro differenz. A(, y) B(, y) = A(, y) [B(, y)] = ( y y 9) ( y y y ) = = (eliminndo le prentesi) = y y 9 y y y = = (riducendo i termini simili) = 9 y 6 y y. Come già visto per le operzioni definite negli insiemi numerici, nche l differenz fr due polinomi si trsform in ddizione e le due operzioni diventno un unic operzione chimt somm lgeric. PROVA TU Dti i polinomi: A(, ) = 7 ; B(, ) = 9 6; C(, ) = ; D(, ) = 7 9. determin: ) A(, ) D(, ); ) D(, ) A(, ); c) B(, ) C(, ); d) B(, ) [A(, ) C(, )] ; e) [D(, ) A(, )] C(, ); f) D(, ) [A(, ) C(, )]. Complet Osservndo i risultti degli esercizi ) e ), si h che A(, ) D(, ) D(, ) A(, ). Generlizzndo, si può ffermre che per l operzione di somm lgeric fr polinomi vle l proprietà.... Osservndo i risultti degli esercizi e) e f), si h che: [D(, ) A(, )] C(, )... D(, ) [A(, ) C(, )]. Generlizzndo, si può ffermre che per l operzione di somm lgeric fr polinomi vle l proprietà.... 7

64 Moltipliczione di un monomio per un polinomio Clcolimo il seguente prodotto: m p ( m p m p ). Ricordndo che le lettere sono numeri rzionli, possimo pplicre l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll somm lgeric; si h: m p ( m p m p ) = m p m m p p m p ( m p ) = = 8 m p m p 8 m p. Si h, dunque, l seguente regol: Il prodotto di un monomio per un polinomio (o vicevers) è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicndo il monomio per ciscuno dei monomi che formno il polinomio. PROVA TU Esegui le seguenti moltipliczioni: ) ( ); ) y y y y. Complet Osservndo l esempio introduttivo e i risultti degli esercizi precedenti, si h che: il prodotto di un monomio per un polinomio è un.. ; il grdo complessivo del prodotto è ugule ll dei grdi dei due fttori. Moltipliczione di due o più polinomi Ci proponimo, desso, di clcolre il seguente prodotto: ( ) ( 6 ) Indichimo il polinomio con l letter P (P = ); l precedente moltipliczione divent: P ( 6 ) = (pplicndo l proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll somm lgeric) = P P 6 P = (sostituendo P il polinomio ) = ( ) ( ) 6 ( ) = 8

65 (pplicndo nuovmente l proprietà distriutiv) ( ) = 6 6 ( ) = = In definitiv: ( ) ( 6 ) = Se osservimo l rig ( ), notimo che ess contiene il prodotto di ciscun termine del primo polinomio per ciscun termine del secondo polinomio. Si h, llor, l seguente regol: Il prodotto di due polinomi è un polinomio ottenuto moltiplicndo ciscun monomio del primo polinomio per ogni monomio del secondo polinomio. E opportuno, poi, ridurlo form normle. ATTENZIONE Prim di eseguire l moltipliczione di due polinomi è opportuno che essi sino ridotti form normle. Per determinre il prodotto di tre o più polinomi, si esegue il prodotto fr i primi due e, dopo ver ridotto form normle il polinomio ottenuto, lo si moltiplic per il terzo polinomio e così vi. Se i polinomi sono più di tre, è opportuno pplicre l proprietà ssocitiv e moltiplicre i polinomi dti due due; dopo ver ridotto form normle, se necessrio, i polinomi così ottenuti, li si moltiplic fr di loro. Nel cso dell moltipliczione fr un monomio e due o più polinomi, è opportuno, prim, determinre il prodotto dei polinomi e, successivmente, moltiplicre il monomio per il polinomio così ottenuto. Esempi ) Clcolimo il seguente prodotto: ( ) ( ) ( ). Applicndo l proprietà ssocitiv, clcolimo il prodotto fr i primi due polinomi: [( ) ( )] ( ) = (6 9 ) ( ) = (sommimo i termini simili del polinomio rcchiuso nelle prime prentesi tonde): = (6 ) ( ) = = nell ultimo polinomio ottenuto non sono presenti monomi simili, quindi: 9

66 ( )( )( ) = = ) Clcolimo il seguente prodotto: ( )(y ) (y )(y ). Applichimo l proprietà ssocitiv come di seguito indicto e determinimo il prodotto fr il primo e secondo polinomio ed il prodotto fr il terzo e il qurto: [( )(y )] [(y )(y )] = (6 y y )(y y y ). I polinomi ottenuti non contengono termini simili, possimo, llor, seguire l moltipliczione: = y 6 y y 6 y 8 y y 8 y 6y y 6y y y y y = Riducimo form normle il polinomio ottenuto: = y y y y y 6y y 6y y y. Quindi: ( )(y ) (y )(y ) = = y y y y y 6y y 6y y y. c) Clcolimo il seguente prodotto: ( )( ) Applichimo l proprietà ssocitiv e determinimo, prim, il prodotto dei due polinomi: ( ) = 6 = Clcolimo, desso, il prodotto fr il monomio ed il polinomio ottenuto: =. In definitiv si h: ( )( ) =. PROVA TU ) Esegui le seguenti moltipliczioni fr polinomi: ) ( ) ( 7) ; ) m p mp m p mp. 60

67 Complet Osservndo l esempio introduttivo e i risultti degli esercizi precedenti, si h che: il prodotto di un polinomio per un polinomio è un.. ; il grdo complessivo del prodotto è ugule ll dei grdi dei due fttori. ) Dti i polinomi A = f h h f ; B = f h ; C = 9 f 6 f h clcol: ) A B; B A; ) A (B C); (A B) C; c) A ; B 0. Osserv i risultti ottenuti i punti ), ) e c) dell esercizio ) e complet: A B.. B A; quindi, per l moltipliczione fr polinomi vle l proprietà. ; A (B C).. (A B) C; quindi, per l moltipliczione fr polinomi vle l proprietà. ; è elemento. rispetto ll moltipliczione fr polinomi; nche per i polinomi vle l legge di.. del prodotto. Prodotti notevoli Complet l seguente tell come nell esempio dell prim rig: ( ) ( ) = = ( ) ( ) = (s t) (s t) = ( ) ( ) = ( m q) (q m) = Osservimo ttentmente l tell: i prodotti indicti in ciscun csell dell prim colonn sono prodotti fr inomi; i inomi sono prticolri : essi sono formti d due termini uguli e due opposti; eseguendo l moltipliczione dei inomi, nel prodotto si ottengono sempre due monomi opposti (second colonn); il prodotto è un inomio i cui termini sono due qudrti, uno dei quli è preceduto dl segno (terz colonn); è preceduto dl segno il qudrto del termine opposto nei inomi dti. 6

68 I prodotti indicti nell tell prendono il nome di somm per differenz. Inftti, se opportunmente ordinti o riscritti in modo equivlente, si possono sempre ricondurre l prodotto fr l somm di due termini per l differenz fr gli stessi termini. Possimo, quindi, generlizzre: se A e B sono due monomi, il prodotto fr l loro somm e l loro differenz è ugule ll differenz dei loro qudrti. In sintesi: (A B) (A B) = A B. In reltà, il risultto sopr esposto è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esempi ) Clcolimo il seguente prodotto: ( k) ( k). Osservimo che il prodotto indicto è il prodotto fr due inomi formti d un termine ugule ( ) ed uno opposto (k) ; possimo, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inomio i cui termini sono ( ) e (k), e, quest ultimo srà preceduto dl segno. Si ottiene: ( k) ( k) = ( ) (k) = 9 k. ) Clcolimo il seguente prodotto: f 6 f 6 Osservimo che il prodotto indicto è il prodotto fr due inomi formti d un termine ugule (6) ed uno opposto f ; possimo, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inomio i cui termini sono (6) e segno. Si ottiene: f e, quest ultimo, srà preceduto dl f 6 f 6 = (6) 9 f = 6 f. 6

69 c) Clcolimo il seguente prodotto: ( m s) (s m) Osservimo che il prodotto indicto è il prodotto fr due inomi formti d un termine ugule (s) ed uno opposto (m); possimo, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inomio i cui termini sono (s) e ( m ) e, quest ultimo, srà preceduto dl segno. Si ottiene: ( m s) (s m) = (s) (m) = s 6m PROVA TU Applicndo l regol precedente, clcol i seguenti prodotti: ) ( y) ( y); ) p h h h p h ; 7 7 c) m s m s. Complet l seguente tell come nell esempio dell prim rig: ( ) = ( ) ( ) = = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( y ) = ( s t ) = Osservimo ttentmente l tell: in ciscun csell dell prim colonn è indicto il qudrto di un inomio; clcolndo il qudrto come prodotto di due fttori uguli, si ottiene un polinomio contenente due termini uguli (terz colonn); ricord che sommre due termini uguli signific moltiplicre per quel termine (qurt colonn); il qudrto di un inomio (quint colonn) è un trinomio in cui due termini sono i qudrti dei monomi che formno il inomio e il terzo termine è il loro prodotto moltiplicto per. 6

70 Possimo, quindi, generlizzre: dti i monomi A e B, il qudrto del inomio A B è un trinomio formto dll somm dei qudrti dei due termini e dl doppio prodotto dei termini del inomio. In sintesi: (A B) = A AB B. L regol ppen espost è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esempi ) Determinimo il seguente qudrto: (6k ). Osservimo, prim di tutto, che (6k ) = [6k ( )]. Si trtt, evidentemente, del qudrto di un inomio formto di monomi A = 6k e B =. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: (6k ) = [6k ( )] = (6k ) 6k ( ) ( ) = 6 k k. ) Determinimo il seguente qudrto: y. Osservimo che y = y. Si trtt, llor, del qudrto di un inomio i cui termini sono A = Applicndo l regol prim definit, si ottiene: e B = y. y = = y = 6 9 c) Determinimo il seguente qudrto: ( ) 6 y y. I termini del inomio sono A = e B =. Applicndo l regol prim definit si ottiene: ( ) = () () = 9. y y = 6

71 Osservndo l tell e gli esempi precedenti, notimo che nello sviluppo del qudrto di un inomio il doppio prodotto è preceduto dl segno se i due monomi sono concordi, dl segno se i due monomi sono discordi. PROVA TU Determin il qudrto dei seguenti inomi: (m ) ; h y y ; ( f g h). 9 Complet l seguente tell come nell esempio dell prim rig: (m p s) = (m p s) (m p s) = ( ) = m m p m s m p p p s m s p s s = m p s mp ps ms ( f ) = ( y z ) = Osserv ttentmente l tell e complet: in ciscun csell dell prim colonn sono indicti qudrti di. ; clcolndo il qudrto come prodotto di... uguli, si ottiene un polinomio contenente lcuni termini due due. (terz colonn); ricord che sommre due termini uguli signific. quel termine (qurt colonn); il qudrto di un trinomio (quint colonn) è un. formto d termini: i.. dei monomi che formno il trinomio, il prodotto del primo.. per il. monomio moltiplicto per., il prodotto del primo.. per il.. monomio moltiplicto per, il prodotto del... monomio per il terzo.. moltiplicto per.. 6

72 Possimo, llor, generlizzre: Il qudrto di un trinomio è un polinomio formto d sei termini; precismente d: il qudrto di ogni termine; il doppio prodotto di ciscun termine per gli ltri due. In sintesi, se A, B, C sono monomi, si h: (A B C) = A B C AB AC BC. L regol sopr espost è più generle e vle nche se A, B, C sono tre qulsisi espressioni lgeriche. Esempi ) Clcolimo il seguente qudrto: ( h z ). Osservimo, prim di tutto, che ( h z ) = [( h ( z )]. Si trtt, dunque, del qudrto di un trinomio formto di monomi A =, B = h e C = z. Applichimo, llor, l regol sopr espost; si ottiene: ( h z ) = [( h ( z )] = (h) ( z ) h ( z ) h ( z ) = 9 h 6z h z 6hz. Clcolimo il seguente qudrto: m f. E, evidentemente, il qudrto del trinomio formto di monomi A = Applichimo l regol espost in precedenz: m, B = f e C =. m f = m ( ) f m m ( f ) ( f ) = = 6 m 6 f f m m f. 9 OSSERVAZIONE Tle procedimento può essere generlizzto per determinre il qudrto di un qulsisi polinomio: il qudrto di un polinomio è formto dll somm dei qudrti di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciscun termine per i termini successivi. Per esempio: ( c d) = c d c d c d cd 66

73 PROVA TU Determin il qudrto dei seguenti trinomi: ; ( m p ) ; h l m. Clcol le seguenti potenze come negli esempi: (m h) = (m h) (m h) = (m mh h ) (m h) = m m h m h mh mh h = m m h mh h ; ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = 6 = = 6. ( z) = ( z) ( z) = (... z ) ( z) = = ; = y = y... =.. = =.... =... ; (d ) =.. = = =. =.. Osserv i risultti ottenuti e complet: in ogni potenz hi clcolto il cuo di un ; il risultto è un polinomio formto d termini; i termini del polinomio ottenuto sono: i.. di ciscun termine del inomio dto; il.. del qudrto del. termine per il.. moltiplicto per ; il.. del qudrto del... termine per il..... moltiplicto per. 67

74 Possimo, llor, generlizzre: Il cuo di un inomio è un qudrinomio i cui termini sono: il cuo del primo monomio; il cuo del secondo monomio; il triplo prodotto del qudrto del primo monomio per il secondo monomio; il triplo prodotto del primo monomio per il qudrto del secondo monomio. In sintesi, se A e B sono monomi, si h: (A B) = A A B AB B. L regol sopr espost è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esempi ) Clcolimo il seguente cuo: ( f ) k. Osservimo, prim di tutto, che ( f ) [ ] k = k ( f ) Doimo, llor, clcolre il cuo di un inomio formto di monomi A = k e B = f. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: ( f ) [ ] = ( k ) ( k ) ( f ) k ( f ) ( f ) k = k ( f ) 6 = 7k 9k ( f ) 9k f 8 f ) Clcolimo il seguente cuo: = = 7k f 6 k f 6k f 8. h g. E evidente che doimo clcolre il cuo di un inomio formto di monomi A = h e B = g. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: h = g = 7 6 h h g h g g = g h h g g = h h g h g h g. 68

75 OSSERVAZIONE Rgionndo llo stesso modo, si potree ricvre un regol per determinre il cuo di un trinomio o di un qulsisi polinomio. Tle regol, tuttvi, è stnz compless e quindi è preferiile clcolre il cuo di un trinomio o di un qulsisi polinomio come prodotto di opportuni fttori. PROVA TU Clcol il cuo dei seguenti polinomi: p s ; ( g k ) h ; ( ) ; t w. Adesso sppimo clcolre il qudrto ed il cuo di un inomio; m è lecito, comunque, chiedersi: Esiste un metodo o un regol per clcolre l potenz di un inomio qundo l esponente è mggiore di? Esminimo, inizilmente, il cso in cui il inomio è formto d due monomi di primo grdo con coefficiente e, quindi, potenze del tipo ( ) n con n >. Il cso più generle (A B) n con A e B monomi qulsisi srà esminto in seguito. Determinimo, llor, lcune potenze (con esponente mggiore di ) del inomio ( ): ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = = 6. ( ) = ( ) ( ) = ( 6 ) ( ) = = 6 6 = = 0 0. Procedendo llo stesso modo, verific che: ( ) 6 = ( ) ( ) = Complet: ( ) 7 = ( ) 6 ( ) =... ; ( ) 8 = ( ) 7 ( ) =.... Per mggiore chirezz, fccimo un riepilogo: ( ) 0 = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 6 ; ( ) = 0 0 ; ( ) 6 = ; 69

76 ( ) 7 =... ; ( ) 8 =... ; Osserv i risultti ottenuti e complet inserendo, l posto dei puntini, un delle voci indicte in rosso: se 0 n 8, il risultto delle precedenti potenze è un polinomio formto d (n, n, n ) termini ; il grdo complessivo del polinomio ottenuto è.. (ugule, diverso) esponente; il polinomio ottenuto è un polinomio (omogeneo, non omogeneo); il polinomio ottenuto è ordinto secondo le potenze.... (crescenti, decrescenti) di e secondo le potenze (crescenti, decrescenti) di. Riepilogndo: l potenz di un inomio del tipo ( ) n è un polinomio: di grdo complessivo ugule ll esponente dell potenz; omogeneo; ordinto secondo le potenze decrescenti di un vriile e secondo le potenze crescenti dell ltr. Or sppimo determinre l prte letterle dei monomi che formno il polinomio sviluppo di ( ) n ; m come è possiile determinrne i coefficienti? Niccolò Fontn (mtemtico del Cinquecento), detto Trtgli, eliminndo l prte letterle dei monomi, si ccorse che i coefficienti potevno essere disposti in un tringolo, come mostrto nell seguente figur: Rig 0 70 ( ) 0 Rig ( ) Rig ( ) Rig ( ) Rig 6 ( ) Rig 0 0 ( ) Rig ( ) 6 Rig ( ) Rig n ( ) n Il precedente tringolo prende il nome, ovvimente, di Tringolo di Trtgli, nche se esso er già noto nell ntic Cin.

77 Anlizzimo le crtteristiche del tringolo di Trtgli: ogni rig inizi e termin con ; i termini equidistnti dgli estremi di ciscun rig sono uguli; ogni elemento di un rig, diverso d un estremo, è l somm dei due elementi dell rig precedente fr i quli viene incolonnto. Osserv, tl proposito, l rig e l rig del precedente tringolo [coefficienti di ( ) e ( ) ] riportt nell figur sottostnte: Alcune curiosità sul Tringolo di Trtgli L somm degli elementi di ciscun rig è un potenz di ; in prticolre n N, l somm degli elementi dell n sim rig è ugule n ; l prim line prllel quell oliqu formt d soli, contiene tutti i numeri nturli; l second line prllel quell oliqu formt d soli, contiene i numeri tringolri (si chim tringolre un numero nturle m che è l somm dei primi n numeri nturli consecutivi; d esempio: 6 = ; quindi 6 è un numero tringolre); tutti i numeri tringolri sono dell form Esempi ) Clcolimo ( ) 9. n( n ), con n N Lo sviluppo di ( ) 9 dà come risultto un polinomio omogeneo di grdo 9, formto d 0 termini e ordinto secondo le potenze decrescenti di e crescenti di. Possimo, dunque, scrivere l prte letterle dei termini che formno il polinomio: ( ) 9 = Per determinre i coefficienti, costruimo il Tringolo di Trtgli fino ll rig 9: Rig 0 ( ) 0 Rig ( ) Rig ( ) Rig ( ) Rig 6 ( ) Rig 0 0 ( ) Rig ( ) 6 Rig ( ) 7 Rig ( ) 8 Rig ( ) 9 7

78 Si h, dunque: ( ) 9 = ) Clcolimo (h ) 6. Quest potenz non semr del tipo ( ) 6, tuttvi possimo ricondurci d un potenz dello stesso tipo. Ponimo h = e = ; si h, llor: (h ) 6 = ( ) 6. ( ) 6 = Nel polinomio ottenuto, operimo l stess sostituzione: l posto di scrivimo h e l posto di scrivimo ; si ottiene: (h ) 6 = (h) 6 6(h) (h) () 0(h) () (h) () 6(h) () () 6 = 6h 6 6 h 6h 0 8h h h = = 6h 6 9h 0h 60h 60h h. c) Clcolimo 7 g k. Come nell esempio precedente, ponimo k = e g =. Si h, llor: 7 g k = ( ) 7. ( ) 7 = Nel polinomio ottenuto, operimo l stess sostituzione: l posto di scrivimo k e l posto di scrivimo 7 k g g ; si ottiene: = (k) 7 7 (k) 6 g (k) (k) g (k) 7 g = 7 g (k) g 6 g 7 (k) g = 8 k k 6 g k g 6 k g 6 8 k 8 g k g 0 k g g = 6 8 8

79 = 8 k 7 k 6 g 68 k g 70 k g 6 k g k g 7 kg g. 8 PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ( ) 8 ; (h f ) 0 ; ) ( y) 6 ; ( ). Divisione di un polinomio per un monomio Ricordndo che le lettere non sono ltro che numeri, in modo nlogo qunto già definito negli insiemi numerici, si h che: un polinomio A è divisiile per un monomio B non nullo se esiste un polinomio P che moltiplicto per il monomio B dà come prodotto il polinomio A. Ad esempio, il polinomio A = 8h g 6h g h è divisiile per il monomio B = h. Inftti, se moltiplichimo il polinomio P = h g hg per il monomio B ottenimo proprio il polinomio A (verific tu). L divisione fr un polinomio ed un monomio non nullo si esegue pplicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll somm lgeric e, quindi, dividendo ogni termine del polinomio per il monomio e sommndo i quozienti ottenuti. Possimo, llor, dedurre che un polinomio è divisiile per un monomio ( 0) se lo è ciscun termine del polinomio. Esempi Esegui le seguenti divisioni: ) (k m 0k m km) : (km). Applicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll somm lgeric, si ottiene: [k m : (km)] [0k m : (km)] [km : (km)] = k m km. In definitiv: (k m 0k m km) : (km) = k m km. 7

80 ) ( y y ) : (y) Applicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll somm lgeric, si ottiene: [ y : (y)] [ y : (y)] [ : (y)] Osservimo che l ultimo quoziente non è un monomio, quindi il polinomio y y non è divisiile per il monomio y. PROVA TU Esegui le seguenti divisioni: ) (6 9 ) : (); ) (f h f h f h) : (f h); c) (p 6 t p t 7p t) : (p t ). Divisione fr polinomi Per inizire, considerimo polinomi in un sol vriile. Un polinomio P() è divisiile per un polinomio T() (diverso dl polinomio nullo) se esiste un polinomio Q() tle che Q() T() = P(). Ad esempio, P() = è divisiile per T() = ; inftti se moltiplichimo T() per il polinomio S() = ottenimo il polinomio P() (verific tu). Se, invece, un polinomio P() non è divisiile per un polinomio T() (non nullo), si può dimostrre che esistono due polinomi Q() e R() tli che P() = Q() T() R(). Ad esempio, P() = non è divisiile per T() = ; tuttvi, se considerimo i polinomi Q() = 6 e R() = 9 0, si h che P() = Q() T() R() (verific tu). In nlogi con qunto definito per l divisione negli insiemi numerici, il polinomio P() prende il nome di dividendo, il polinomio T() ( 0) si chim divisore, il polinomio Q() è il quoziente e il polinomio R() si chim resto dell divisione. Ovvimente, se P() è divisiile per T(), il resto R() è il polinomio nullo. D questi primi esempi, è evidente che, ffinché il quoziente fr due polinomi si ncor un polinomio, il grdo complessivo del dividendo deve essere mggiore o ugule l grdo complessivo del divisore (nel cso dell uguglinz, il quoziente è un numero rzionle). Se i polinomi A e B contengono più vriili, non sempre il quoziente è ncor un polinomio. 7

81 Come procedere per determinre quoziente e resto nell divisione fr polinomi? Fccimo lcuni esempi: ) Esminimo il cso in cui dividendo e divisore sono polinomi in un sol vriile. Prim di eseguire l divisione è necessrio fre lcune osservzioni: il grdo complessivo del dividendo deve essere mggiore o ugule l grdo complessivo del divisore; il dividendo deve essere completo ed ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile; il divisore deve essere ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile e non è necessrio che si completo. Dti i polinomi P(h) = h h h h e T(h) = h h, determinimone quoziente e resto. Disponimo dividendo e divisore come in figur: h h h h h h Inizimo l divisione. ) Dividimo il primo termine del dividendo (h ) per il primo termine del divisore (h ) ; si ottiene: h h h h h h h Il monomio Q = h così ottenuto è il primo termine del quoziente. 7

82 ) Moltiplichimo Q per il divisore e riportimo il prodotto sotto il dividendo incolonnndo i termini simili; si ottiene l seguente figur: h h h h h h h 6h h h Adesso determinimo l differenz fr il dividendo ed il prodotto ottenuto. L differenz fr due polinomi ltro non è che l somm fr il primo polinomio e l opposto del secondo polinomio, quindi doimo cmire il segno tutti i termini del secondo polinomio; si ottiene: h h h h h h h 6h h h " h h c) Trscrivimo gli ultimi termini del dividendo ottenendo l seguente figur: h h h h h h h 6h h h " h h h Il polinomio R = h h h è chimto primo resto przile. Osservimo che il grdo complessivo di R è mggiore di quello del divisore; ripetimo, llor, le operzioni i punti ), ) e c) fr il primo resto przile e il divisore. 76

83 Dividimo, quindi, il primo termine di R (h ) per il primo termine del divisore (h ); si ottiene: h h h h h h h 6h h h h " h h h Il monomio Q = h è il secondo termine del quoziente. Moltiplichimo Q per il divisore e, per il motivo prim indicto, riportimo l opposto del prodotto sotto R incolonnndo i termini simili; dopo ver determinto l differenz fr R ed il prodotto ottenuto ed ver trscritto l ultimo termine di R, si h l situzione in figur: h h h h h h h 6h h h h " h h h h 8h h " 6h h Il polinomio R = 6h h è il secondo resto przile. Il grdo complessivo di R è ugule quello del divisore, quindi possimo continure l divisione ripetendo le operzioni i punti ), ) e c) fr R e il divisore. Dividimo, dunque, il primo termine di R (6h ) per il primo termine del divisore (h ); si ottiene: h h h h h h h 6h h h h 6 " h h h h 8h h " 6h h Il monomio Q = 6 è il terzo termine del quoziente. 77

84 Moltiplichimo S per il divisore e, per il motivo prim indicto, riportimo l opposto del prodotto sotto R incolonnndo i termini simili; dopo ver determinto l differenz fr R ed il prodotto ottenuto, si h l situzione in figur: h h h h h h h 6h h h h 6 " h h h h 8h h " 6h h 6h h 6 " h Il polinomio R = h h grdo complessivo minore di quello del divisore, quindi non possimo ripetere l operzione l punto ). L divisione è, così, termint. Il polinomio Q(h) = h h 6 è il quoziente ed il polinomio R(h) = h è il resto dell divisione. In definitiv l divisione fr P(h) = h h h h e T(h) = h h h per quoziente il polinomio Q(h) = h h 6 e per resto il polinomio R(h) = h. Verific che P(h) = Q(h) T(h) R(h). Complet: il grdo complessivo di P(h) è ; il grdo complessivo di T(h) è ; il grdo complessivo di Q(h) è ; il grdo complessivo di R(h) è.. ; possimo, llor, dedurre che il grdo complessivo di Q(h) è ugule ll fr i grdi complessivi di P(h) e T(h); il grdo complessivo di R(h) è.. del grdo complessivo di T(h). ) Eseguimo l divisione fr i polinomi A(k) = k k k e E(k) = k k. Osservimo che: il grdo del dividendo è mggiore del grdo del divisore; il dividendo non è completo rispetto ll vriile k; il dividendo non è ordinto secondo le potenze decrescenti di k; il divisore è ordinto secondo le potenze decrescenti di k. 78

85 Prim di eseguire l divisione doimo completre ed ordinre il dividendo; si ottiene: (k 0k k 0 k k 0 ) : (k k ) Procedendo come nell esempio precedente, disponimo i polinomi ed eseguimo l divisione: k 0k k 0k k 0 k k k k 6k k k k 7 " k k 0k k 0 k k 6k " k 6k k 0 k k k " 7k 6k 0 7k 7k " k Si h, quindi, che: Q(k) = k k k 7 e R(k) = k. In definitiv l divisione fr A(k) = k k k e E(k) = k k h per quoziente il polinomio Q(k) = k k k 7 e per resto il polinomio R(k) = k. Verific che A(k) = Q(k) E(k) R(k). Complet: il grdo complessivo di A(k) è ; il grdo complessivo di E(k) è ; il grdo complessivo di Q(k) è ; il grdo complessivo di R(k) è.. ; possimo, llor, dedurre che: il grdo complessivo di Q(k) è ugule ll fr i grdi complessivi di A(k) e E(k); il grdo complessivo di R(k) è.. del grdo complessivo di E(k). ) Eseguimo, desso, l divisione fr i polinomi: F(m, k) = 6m k m k 9mk k e S(m, k) = mk k. (6m k m k 9mk k ) : ( mk k ) I polinomi F e S contengono due vriili. In questo cso è necessrio scegliere rispetto qule delle due vriili voglimo eseguire l divisione. 79

86 Sceglimo l letter m. Osservimo che: il grdo reltivo m di F(m, k) è mggiore del grdo reltivo m di S(m, k); i polinomi F(m, k) e S(m, k) sono ordinti secondo le potenze decrescenti di m; il polinomio F(m, k) è completo rispetto m. Determinimo, quindi, quoziente e resto dell divisione procedendo come negli esempi precedenti. L divisione termin qundo il grdo rispetto m dell ultimo resto przile è minore del grdo rispetto d m del divisore. Si ottiene: 6m k m k 9mk k mk k 6m k m k m k mk 6k 6m " k 9mk k 6m k mk " mk k mk 6k " 7k Si h: Q(m, k) = m k mk 6k e R(m, k) = 7k. In definitiv: l divisione fr F(m, k) = 6m k m k 9mk k e S(m, k) = mk k, se sceglimo come vriile l letter m, h per quoziente il polinomio Q(m, k) = m k mk 6k e per resto il polinomio R(m, k) = 7k. Verific che F(m, k) = Q(m, k) S(m, k) R(m, k). Eseguimo, desso, l stess divisione scegliendo come vriile l letter k. Osservimo che: il grdo reltivo k di F(m, k) è mggiore del grdo reltivo k di S(m, k); i polinomi F(m, k) e S(m, k) non sono ordinti secondo le potenze decrescenti di k; il polinomio F(m, k) non è completo rispetto k. Prim di eseguire l divisione, quindi, è necessrio ordinre i polinomi F(m, k) e S(m, k) secondo le potenze decrescenti di k e completre F(m, k) rispetto ll letter k. 80

87 Anche in questo cso l divisione termin qundo il grdo rispetto k dell ultimo resto przile è minore del grdo rispetto k del divisore. Si ottiene: k 9mk m k 6m k 0m k 0m k mk k mk k mk m k 6m " mk m k 6m k 0m k 0m mk m k " m k 6m k 0m k 0m m k 0m k " 6m k 0m k 0m 6m k m k " m k 0m Si h: Q' (m, k) = k mk m k 6m e R' (m, k) = m k. L divisione fr F(m, k) = 6m k m k 9mk k e S(m, k) = mk k, qundo sceglimo come vriile l letter k, h per quoziente il polinomio Q' (m, k) = k mk m k 6m e per resto il polinomio R' (m, k) = m k. Verific che F(m, k) = Q' (m, k) S(m, k) R' (m, k). Osservimo che Q (m, k) Q' (m, k) e che R (m, k) R' (m, k). Le osservzioni ftte per il quoziente ed il resto delle divisioni degli esempi ) e ) sono più generli e vlgono per il quoziente ed il resto dell divisione fr due polinomi qulsisi in un vriile: Nell divisione fr due polinomi in un vriile il grdo complessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi complessivi, rispettivmente, del dividendo e del divisore; il resto è un polinomio di grdo complessivo minore del grdo complessivo del divisore. PROVA TU Esegui le seguenti divisioni fr polinomi: ( 8 6) : ( ); (6f g 6f f g) : (f fg g ). 8

88 Teorem del resto Aimo già osservto che, ssegnti due polinomi nell stess vriile A e B, esistono due polinomi Q e R tli che A = Q B R ; se R = 0, llor A è divisiile per B. E lecito chiedersi se esistono dei criteri di divisiilità tr polinomi come quelli che esistono fr numeri negli insiemi numerici. In ltre prole: è possiile stilire se un polinomio è divisiile per un ltro polinomio senz eseguire l divisione? A tl proposito, considerimo polinomi in un vriile e come divisori inomi di primo grdo. Si P(s) = s s 7s 6 un polinomio nell vriile s. Il resto dell divisione fr P(s) ed un inomio di primo grdo (ovvimente nell stess vriile) è un polinomio di grdo zero e, quindi, è un numero rzionle. Nell prim rig dell tell sono indicti lcuni divisori di primo grdo; completl inserendo nell second rig il resto dell divisione fr il polinomio P(s) e il inomio indicto nell prim rig. Per esempio, dividendo P(s) per il inomio s si ottiene come resto R =. Complet l tell inserendo nell second rig il vlore ssunto dl polinomio qundo ll vriile s sono ssegnti i vlori indicti. Ad esempio, P() = 7 6 = 7 6 = Divisore s s s s s Resto P() P() P() P() P() T. T. Anlizzimo e confrontimo le due telle (complet): i divisori dell tell sono inomi di grdo dove il coefficiente del termine di primo grdo è ; nell tell, i vlori ssegnti ll vriile sono l termine noto del divisore; l second rig dell tell è.. ll second rig dell tell. Possimo, llor, dire che il resto dell divisione fr P(s) ed un inomio di primo grdo, con coefficiente dell vriile, è.. l vlore che ssume il polinomio qundo ll vriile si ssegn il vlore l termine noto del divisore. Si trtt di un coincidenz csule, oppure no? 8

89 Considerimo, quindi, un ltro polinomio: T(m) = m m 6m m 6. Complet le telle e, simili quelle precedenti: Divisore m m m m m T() T() T() P() T() Resto 0 T. T. Anlizzimo e confrontimo le due telle: i divisori dell tell sono inomi di grdo dove il coefficiente del termine di primo grdo è ; nell tell, i vlori ssegnti ll vriile sono... termine noto del divisore; l second rig dell tell è.. ll second rig dell tell. Anche quest volt, possimo dire che il resto dell divisione fr T(m) ed un inomio di primo grdo, con coefficiente dell vriile, è.. l vlore del polinomio qundo ll vriile si ssegn il vlore l termine noto del divisore. Non si trtt di un coincidenz, m di un proprietà generle che voglimo dimostrre. Prim di tutto osservimo che: s = s (); s = s (); s = s (); m = m (); m = m (). I divisori considerti nelle precedenti telle, quindi, sono tutti dello stesso tipo; inftti essi sono dell form ( ) dove l letter indic un qulsisi numero rzionle. Dto il polinomio P() ed un inomio del tipo ( ), esistono due polinomi Q() e R (di grdo zero e, perciò, un numero rzionle) tli che: P() = Q() ( ) R; ssegnndo ll letter il vlore (opposto del termine noto del divisore), si ottiene: P() = Q() ( ) R poiché = 0, l precedente uguglinz divent: P() = Q() 0 R e, per l legge di nnullmento del prodotto, si ottiene: P() = 0 R ed infine: P() = R 8

90 Si h, llor, il seguente teorem, chimto Teorem del resto: Il resto dell divisione fr un polinomio P() ed un inomio del tipo ( ) è ugule l vlore che il polinomio ssume qundo ll vriile si ssegn il vlore opposto l termine noto del divisore. Dl momento che un polinomio è divisiile per un ltro polinomio se il resto dell divisione è nullo, per il teorem del resto si h che un polinomio P() è divisiile per un inomio del tipo ( ) se P() = 0. In sintesi P() divisiile per ( ) R = 0 (per il teorem del resto) P() = 0; vicevers: P() = 0 (per il teorem del resto) R = 0 P() divisiile per ( ). Si h llor il seguente Teorem di Ruffini: Condizione necessri e sufficiente ffinché un polinomio P() si divisiile per un inomio del tipo ( ) è che il polinomio si nnulli qundo ll vriile si ssegn il vlore opposto l termine noto del divisore. I numeri rzionli che nnullno un polinomio prendono il nome di zeri o rdici del polinomio. Esempi ) Senz eseguire l divisione, determinimo il resto dell seguente divisione: ( ) : ( ). Il divisore è un inomio di primo grdo e il coefficiente di è ; il termine noto del divisore è, quindi il suo opposto è. Indicto con P() il dividendo, pplichimo il teorem del resto e, nel dividendo, sostituimo ll letter il vlore ; si ottiene: R = P() = () () = (8) = 6 6 = 9. Si h, dunque: R = 9. ) Dto il polinomio S(h) = h 9h h, stilimo se è divisiile per i seguenti inomi: ) (h ); ) (h ); c) h. ) Stilimo se S(h) è divisiile per (h ). Il termine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolimo S(): 8

91 S() = 9 = = 8 8 = = = 0. In definitiv: S() = 0 (per il teorem di Ruffini) S(h) è divisiile per (h ). ) Stilimo se S(h) è divisiile per (h ). Il termine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolimo S(): S() = () 9 () () = (7) = In definitiv: = 8 6 = 0 = 0. S() 0 (per il teorem di Ruffini) S(h) non è divisiile per (h ). c) Stilimo se S(h) è divisiile per h. Il termine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolimo S : S = 9 = = 8 In definitiv: 7 8 = = 7 7 = 0. S = 0 (per il teorem di Ruffini) S(h) è divisiile per h. PROVA TU ) Senz eseguirl, determin il resto dell seguente divisione: ( k k 0 k k ) : (k ) ) Stilisci se il polinomio k k 0 k k è divisiile per (k ). Nell divisione di un polinomio P() per un inomio del tipo ( ), senz eseguire l divisione, possimo determinre il resto, il grdo del quoziente e stilire, inoltre, che esso è un polinomio ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile. Polo Ruffini, mtemtico del Settecento, scoprì un regol che consente di determinre i coefficienti dei monomi che formno il quoziente in un divisione di questo tipo. Quest regol prende il nome di Regol di Ruffini. Illustrimol con un esempio. 8

92 Determinimo quoziente e resto dell divisione (m m m m 6) : (m ). Scrivimo in un rig i coefficienti dei termini del dividendo ordinto secondo le potenze decrescenti di m e completo rispetto m. Trccimo due linee verticli: un sinistr del primo coefficiente del dividendo e l ltr prim del termine noto del dividendo; sltimo un rig e trccimo un line orizzontle. Al di sopr dell line orizzontle e sinistr dell prim line verticle scrivimo l opposto del termine noto del divisore (fig.): 6 fig. Trscrivimo il primo coefficiente l di sotto l line orizzontle (fig. ): 6 fig. Moltiplichimo il numero ppen scritto () per l opposto del termine noto del divisore (in questo cso ) e scrivimo il prodotto sotto il secondo coefficiente (fig. ): 6 6 fig. Scrivimo l somm dei numeri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. ): 6 6 fig. 86

93 Moltiplichimo il numero così ottenuto () per l opposto del termine noto del divisore (in questo cso ) e scrivimo il prodotto sotto il terzo coefficiente (fig. ): fig. Scrivimo l somm dei numeri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 6) fig. 6 Moltiplichimo il numero così ottenuto (8) per l opposto del termine noto del divisore (in questo cso 8 ) e scrivimo il prodotto sotto il qurto coefficiente (fig. 7): fig. 7 Scrivimo l somm dei numeri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 8): fig. 8 Moltiplichimo il numero così ottenuto (9) per l opposto del termine noto del divisore (in questo cso 9 ) e scrivimo il prodotto sotto il termine noto del dividendo (fig. 9): fig. 9 87

94 Scrivimo l somm dei numeri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 0): Coefficienti del quoziente fig. 0 resto L ultimo numero scritto è il resto dell divisione. I numeri dell ultim rig ll interno delle due linee verticli sono i coefficienti dei monomi che formno il quoziente. Scrivimo, llor, il quoziente e il resto dell divisione (m m m m 6) : (m ). Si h: Q(m) = m m 8m 9; R =. Esempio Applicndo l regol di Ruffini, determinimo quoziente e resto delle seguente divisione: (p p ) : (p ) Osservimo che il dividendo è un polinomio ordinto secondo le potenze decrescenti di p, m non è completo; è necessrio, quindi, renderlo completo. Si ottiene: (p 0p p ) : (p ) Lo schem per determinre i coefficienti del quoziente è il seguente: Poiché il dividendo è un polinomio di terzo grdo e il divisore è un inomio di primo grdo, il quoziente è un polinomio di secondo grdo; si ottiene quindi: Q(p) = p p ; R = 0. PROVA TU Applicndo l Regol di Ruffini, determin quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) (z z z) : (z ); ) (h h h ) : (h ). 88

95 6. Approfondimento: l insieme M dei monomi Indichimo con M l insieme formto d tutti i possiili monomi: M = { / è un monomio}. Si R l relzione così definit in M : R y è simile d y. Aiutndoti con degli esempi, verific che per l relzione R vlgono le seguenti proprietà: (complet) riflessiv inftti, ciscun.. è simile ; simmetric inftti, per ogni coppi di monomi (, y) tle che è... d y, nche y è. d ; trnsitiv inftti, per ogni tern di monomi (, y, z) tle che è... d y e y è... z, si verific che nche è.. z. L relzione essere simili, definit nell insieme M dei monomi, è, dunque, un relzione. L insieme formto di sottoinsiemi di M i cui elementi sono monomi simili è, llor, un. di M. Anlizzimo, desso, le proprietà delle operzioni definite in M. Dl momento che le lettere rppresentno dei numeri rzionli, le operzioni tr monomi sono delle operzioni tr numeri rzionli; vlgono, llor, per esse, le proprietà già viste nell insieme Q : Somm lgeric L operzione di somm lgeric non è intern ll insieme M; tuttvi vlgono per ess: proprietà commuttiv; proprietà ssocitiv. Si M * un sottoinsieme di M formto d monomi simili. Verific con degli esempi e complet le seguenti ffermzioni: L operzione di somm lgeric fr monomi simili è un operzione inri. M * è chiuso rispetto ll operzione di somm lgeric, inftti l somm di monomi simili è. i monomi dti. L operzione di somm lgeric in M * è ssocitiv. 89

96 Si 0 il monomio nullo, llor M * : 0 = = 0 ; quindi il monomio nullo è.... per l somm lgeric in M *. M *, (monomio opposto) M * / = 0 = ; quindi ogni elemento di M * mmette simmetrico rispetto ll... Possimo, llor, dire che (M *, ) è un... L operzione di somm lgeric in M * è commuttiv. (M *, ), quindi, è un gruppo... Moltipliczione L operzione di moltipliczione fr monomi è un operzione inri. L insieme M è chiuso rispetto ll operzione di moltipliczione. Come già visto per l somm lgeric, nche per l moltipliczione in M vlgono le seguenti proprietà: proprietà commuttiv; proprietà ssocitiv; proprietà distriutiv dell moltipliczione rispetto ll somm lgeric; legge di nnullmento del prodotto. Verific con degli esempi e complet le seguenti ffermzioni: M : = = ; quindi il monomio è.. rispetto ll operzione di moltipliczione in M. Non tutti gli elementi di M mmettono simmetrico rispetto ll operzione di moltipliczione; inftti, se, per esempio, considerimo il monomio, un monomio che.. per di per risultto. Possimo, llor, dire che (M, ) non è un.. rispetto ll operzione di moltipliczione. In quli insiemi l operzione di moltipliczione gode delle stesse proprietà dell operzione di moltipliczione fr monomi?.;. 6. Approfondimento: l insieme P dei polinomi. Nell insieme P dei polinomi sono stte definite le operzioni di somm lgeric e moltipliczione. Come detto in precedenz, le lettere rppresentno dei numeri rzionli, quindi le operzioni tr polinomi sono delle operzioni tr numeri rzionli; vlgono, llor, per esse, le proprietà già viste nell insieme Q. 90

97 Somm lgeric L operzione di somm lgeric fr polinomi è un operzione inri; inoltre, è un operzione intern ll insieme P; inftti l somm lgeric fr due polinomi è ncor un polinomio. Verific con degli esempi e complet le seguenti ffermzioni: per l somm lgeric fr polinomi vlgono le seguenti proprietà: proprietà ssocitiv; proprietà commuttiv; si 0 il polinomio nullo; llor A P: A 0 = A = 0 A, quindi il polinomio nullo è l elemento.. per l operzione di somm lgeric fr polinomi; A P, A (polinomio opposto) P / A A = 0 = A A; quindi ogni elemento di P mmette simmetrico rispetto ll.. Possimo, llor, dire che (P, ) è un... Moltipliczione L moltipliczione fr polinomi è un operzione inri; inoltre, l insieme P dei polinomi è chiuso rispetto ll operzione di moltipliczione; inftti, il prodotto fr due polinomi è ncor un polinomio. Verific con degli esempi e complet le seguenti ffermzioni: per l moltipliczione fr polinomi vlgono le seguenti proprietà: proprietà ssocitiv; proprietà commuttiv; proprietà distriutiv rispetto ll somm lgeric; legge di nnullmento del prodotto; si il polinomio unità ; llor A P: A = A = A, quindi il polinomio unità è l elemento per l operzione di moltipliczione fr polinomi; non tutti gli elementi di P sono simmetrizzili rispetto ll operzione di moltipliczione. Possimo, llor, dire che (P, ) non è un.... Ponimo, desso, l nostr ttenzione sull insieme Z degli interi e sull insieme P dei polinomi e, in prticolre, sulle proprietà delle operzioni definite in Z e in P e vedimo se ci sono nlogie e differenze. Nell insieme Z sono definite due operzioni interne: somm lgeric () e moltipliczione ( ): (Z, ) è un gruppo (elino); (Z, ) non è un gruppo, perché non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzili; 9

98 per l moltipliczione in Z vle l proprietà ssocitiv; per l moltipliczione in Z vle l proprietà distriutiv rispetto ll somm lgeric. Dicimo, llor, che (Z,, ) è un nello. Inoltre: l moltipliczione in Z è commuttiv, e quindi (Z,, ) è un nello elino. Dl momento che l moltipliczione in Z mmette elemento neutro, si dice che (Z,, ) è un nello con unità. Poichè per l moltipliczione in Z vle l legge di nnullmento del prodotto, si dice che (Z,, ) è un nello di integrità. Ricpitolndo: (Z,, ) è un nello elino di integrità con unità. Nell insieme P dei polinomi sono definite due operzioni interne: somm lgeric () e moltipliczione ( ): (P, ) è un gruppo (elino); (P, ) non è un gruppo, perché non tutti gli elementi di P sono simmetrizzili; per l moltipliczione in P vle l proprietà ssocitiv; per l moltipliczione in P vle l proprietà distriutiv rispetto ll somm lgeric. Possimo dire, llor, che nche (P,, ) è un nello. Inoltre: l moltipliczione in P è commuttiv, e quindi nche (P,, ) è un nello elino. Dl momento che l moltipliczione in P mmette elemento neutro, nche (P,, ) è un nello con unità. Poichè per l moltipliczione in P vle l legge di nnullmento del prodotto, nche (P,, ) è un nello di integrità. Possimo, pertnto, concludere che (Z,, ) e (P,, ) hnno l stess struttur: sono nelli elini di integrità con unità. 9

99 ESERCIZI CAPITOLO 6 Polinomi Conoscenz e comprensione ) Che cos è un polinomio? ) Qundo un polinomio si dice ridotto form normle? ) Che cos si intende per grdo complessivo di un polinomio? E per grdo reltivo ciscun letter? ) Qundo un polinomio si dice ordinto rispetto d un letter? E qundo si dice completo rispetto d un letter? ) Qundo un polinomio si dice omogeneo? 6) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) I numeri rzionli sono polinomi. V F ) I termini di un polinomio, ridotto form normle, sono sempre lmeno due. V F c) Un polinomio non h monomi simili. V F d) In un polinomio ridotto form normle, il grdo rispetto d un letter è V F ugule ll somm degli esponenti di quell letter. e) In un polinomio ridotto form normle, il grdo rispetto d un letter può V F essere ugule l grdo complessivo del polinomio. f) Il grdo complessivo di un polinomio è sempre positivo. V F g) Il grdo complessivo di un polinomio è sempre mggiore o ugule l mggiore V F dei grdi complessivi dei monomi che lo compongono. h) Se, in un polinomio, il grdo rispetto ciscun letter è, il grdo complessivo V F del polinomio è. i) Un polinomio omogeneo è sempre completo. V F l) Un polinomio completo può essere omogeneo. V F m) Un polinomio in un vriile, di grdo complessivo, non può vere più di due V F termini. 7) Le seguenti ffermzioni si riferiscono i polinomi A = z z e B = 7. Solo un di esse è fls; qule? ) I due polinomi hnno lo stesso grdo complessivo. ) Entrmi i polinomi sono ordinti. c) Nessuno dei due polinomi è omogeneo. d) Soltnto il polinomio B è completo. e) Soltnto il polinomio A è un trinomio. 9

100 8) Che cos fferm il principio di identità dei polinomi? 9) Come operi per clcolre l somm di due polinomi? E per clcolre l differenz? 0) Qule proprietà pplichi per clcolre il prodotto fr un monomio ed un polinomio? Applichi l stess proprietà per clcolre il prodotto fr due polinomi? ) Qule proprietà delle potenze pplichi per determinre il prodotto di due polinomi? ) Sino A e B due polinomi tli che il grdo complessivo di A si mggiore del grdo complessivo di B; un sol delle seguenti ffermzioni è ver; qule? ) Il grdo complessivo di A B è ugule ll somm dei grdi complessivi di A e B. ) Il grdo complessivo di A B è ugule l grdo complessivo di A. c) Il grdo complessivo di A B è ugule l grdo complessivo di B. d) Il grdo complessivo di A B è ugule ll differenz fr grdi complessivi di A e B. e) Nessun delle precedenti ffermzioni è corrett. ) Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse: ) Il grdo complessivo dell somm di due polinomi è zero soltnto se i V F due polinomi sono opposti. ) L somm di due polinomi omogenei è ncor un polinomio omogeneo. V F c) Se due polinomi sono opposti l loro differenz è il polinomio nullo. V F d) Il grdo complessivo del prodotto di due polinomi è ugule ll somm V F dei grdi complessivi dei due fttori. e) Il grdo complessivo del prodotto fr due polinomi è ugule l grdo V F complessivo di uno dei fttori soltnto se uno dei due fttori h grdo complessivo zero. f) Il quoziente di due polinomi è sempre un polinomio. V F g) Se due polinomi sono divisiili fr loro, il grdo complessivo del V F quoziente è ugule ll differenz fr i grdi complessivi del dividendo e del divisore. h) Il grdo complessivo del quoziente di due polinomi opposti è sempre V F ugule zero. ) Esponi le regole che consentono di determinre il qudrto e il cuo di un inomio. ) Che cos è e cos serve il tringolo di Trtgli? 6) Come procedi per determinre l potenz di un inomio del tipo ( ) n? 7) Che cos fferm il teorem del resto? E il teorem di Ruffini? 8) Qule operzione fr polinomi è possiile eseguire medinte l regol di Ruffini? In qule cso può essere ust? 9

101 Esercizi 9) Esprimi sotto form di polinomi le seguenti proposizioni: ) Ad un numero pri ggiungi i suoi tre successivi pri. ) Ad un numero dispri ggiungi il suo successivo. c) Ad un multiplo di sottri il suo precedente. d) Al doppio di un numero ggiungi il triplo del suo qudrto. e) Ai di un numero sottri il doppio di un numero y. f) Al triplo di un numero t sottri l terz prte del cuo di un numero s, quindi ggiungi il doppio prodotto fr t e s. g) All somm del doppio del qudrto di un numero con il triplo di un numero sottri l qurt prte del cuo di. 0) Esprimi con un polinomio il perimetro delle seguenti figure:.. ) Esprimi l re dell regione colort con un polinomio:. c c.. 9

102 ) Complet l seguente tell, come nell esempio dell prim rig: Espressione lgeric Polinomio Non polinomio m q k k h s s s 6 h t h t 0 0g f 6t 0 y y 8 7 ) Quli dei seguenti polinomi sono ridotti form normle? Riduci form normle quelli che non lo sono: ) p p ps ; ) y y y d) 7 c 9c ; e) ; c) ; ; f) f g fg gf g f ; 0 g) m h mh ; h) l) h h 9 ; m) k k ; h s h s hs ; i) k z z z z ; n) 0 8. Dei seguenti polinomi determin il grdo complessivo ed il grdo reltivo ciscun letter: ) ) 7 ; c 8c m h m h m h mh ;

103 6) 7 s t s t st ; k g k g k g 6 7) ; t ht t 0 9 8) 9 p t p t 7 pt pt ; 6 y 9y 7 y 9) Per qule vlore di h il polinomio - h c h c c h grdo 6 rispetto ll letter? Per qule vlore di h h grdo rispetto ll letter c? 0) Per qule vlore di n i polinomi ) ) y 7 y y e hnno grdo ugule? Stilisci quli dei seguenti polinomi sono omogenei: 9 n y y c c ; 6k k m km km ps s p ; m hz h z m ) y 8y ; y c yc y c ) Scrivi un trinomio omogeneo di grdo complessivo e di grdo rispetto d e d y. ) Scrivi un inomio omogeneo di grdo complessivo, di grdo rispetto ll letter c e di grdo rispetto ll letter f. 6) Scrivi un inomio omogeneo di grdo complessivo, di grdo rispetto ll letter m, di grdo rispetto ll letter k e di grdo rispetto ll letter s. 7) Si B = k ; con k N. ) Per quli vlori di k l espressione B è un polinomio? ) Per quli vlori di k il grdo reltivo ll letter è 0? c) Per quli vlori di k il grdo reltivo ll letter è? d) Per quli vlori di k il grdo reltivo ll letter è? e) Esistono vlori di k per i quli il grdo reltivo ll letter è un numero dispri mggiore di? Perché? f) Per qule vlore di k il grdo complessivo di B è? g) Per qule vlore di k l espressione B è un polinomio omogeneo? h) Per qule vlore di k il grdo complessivo di B è 6? i) Esistono vlori di k per i quli il grdo complessivo di B è un numero dispri? Perché? 97

104 8) Si A = y h y h, h N. ) Per quli vlori di h l espressione A è un polinomio? ) Per quli vlori di h il grdo complessivo di A è? c) Per quli vlori di h il polinomio A è omogeneo? d) Esiste un vlore di h per il qule il grdo complessivo di A è minore di? Perché? e) Per quli vlori di h il grdo reltivo d y è 0? f) Per quli vlori di h il grdo reltivo d y è? g) Esiste un vlore di h per il qule il grdo reltivo d y è mggiore di? 9) Rispetto quli lettere i seguenti polinomi sono ordinti? ) ) c) y y d) 98 m k mk m st s t e) 7 7 k p k p 6 f) c d cd c d c 0 0) Scrivi i seguenti polinomi in modo che sino ordinti secondo le potenze decrescenti di : ) c) 7 ) m m m m d) e) h h h f) y y y y y ) Scrivi i polinomi dell esercizio 0) in modo che sino ordinti secondo le potenze crescenti di. ) Sino A = e B = k ky k y due polinomi; un sol delle seguenti ffermzioni è ver. Qule? ) A e B sono completi rispetto ciscun delle lettere che in essi vi compiono. ) A e B sono completi rispetto d lmeno un delle lettere che in essi vi compiono. c) A è completo rispetto d entrme le lettere e B non è completo rispetto d lcun letter. d) A non è completo rispetto e B non è completo rispetto y. e) A e B non sono completi rispetto d lcun letter. Complet i seguenti polinomi inserendo l posto dei puntini monomi, scelti picere, in modo che il polinomio risulti completo; scrivi, successivmente, l opposto di ciscuno dei polinomi ottenuti: ) ) s 6

105 ) ) 6 8 k... k 9 k Complet i seguenti polinomi inserendo l posto dei puntini monomi, scelti picere, in modo che il polinomio risulti omogeneo e completo rispetto ciscun letter: 7) t p... 8) 6k m... 9km... k m 9) 6 y... y y )... y y )... f... h f... 9 ) Riscrivi i polinomi degli esercizi ), 6), 7), 8), 9) in modo che risultino ordinti. Che cos osservi? ) Si B = 7t k t k 6t k. Stilisci se le seguenti ffermzioni sono vere o flse: ) k N, B è un polinomio. V F ) k N / B è completo. V F c) k N / B è un polinomio completo di grdo complessivo. V F Esempio ) Sino A = e B = h due polinomi. Per quli vlori di e h i polinomi sono identici? ) Sino F = y ky 8y e G = y 6y my due polinomi. Per quli vlori di k e m i polinomi F e G sono opposti? ) Per il principio di identità dei polinomi, due polinomi sono identici se ssumono lo stesso vlore qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili. In prtic, ffinchè due polinomi sino identici è necessrio che i polinomi sino formti d monomi uguli. I termini che hnno grdo ugule, llor, devono vere coefficienti uguli. Si h, quindi: = h =. I vlori richiesti sono: = h =. ) Due polinomi sono opposti se sono opposti i monomi che li compongono e, quindi, i monomi simili devono vere coefficienti opposti. Si h, llor: k = 6 m = 8 I vlori richiesti sono: k = m = 99

106 ) Per quli vlori di k e m il polinomio k è identico l polinomio m 9? ) Per quli vlori di e i polinomi y y e 8y 0y sono identici? 6) Per quli vlori di c e h i polinomi z ( c ) z 9 e z z hz 9 sono identici? 7) Per qule vlore di m i polinomi k 7mk k 8 e k k k m sono identici? 8) Per qule vlore di k i polinomi k k 00 e 6 sono identici? 9) Determin i vlori di,, c per i quli il polinomio N() = è identico l polinomio D() = ( ) ( c ). 60) Per quli vlori di e c i polinomi s 6s s e cs 6s s sono opposti? 6) Per quli vlori di h e k i polinomi k 7 h e 7 sono opposti? 6) Per quli vlori di m e p i polinomi m 9 e p sono opposti? 6) Per qule vlore di h i polinomi y hy 6y 7 e y 6y hy 7 sono opposti? 6) Si A() = 8. Determin: A(), A, A(), A(). 6) Si B(t) = t 8t 7t 8t. Determin: B(0), B(), B, B. 66) Si P(, ) = 6. Determin: P(, ), P,, P,. 67) Si D(m, k) = 68) Sino P() = P() = Q()? m k mk k. Determin: D(0, ), D(, ), D m e Q() = h Operzioni con i polinomi Somm lgeric Esegui le seguenti operzioni fr polinomi e riduci i termini simili: 69) ( t 9tz) ( tz 6 t) 70) 7) m t m t fg f g fg f g fg g 8 7) ( y ) ( y 7y ) ( 7y 7y ),. due polinomi; per qule vlore di h risult m t 8 f [y]

107 7) ( m m ) ( m m ) 7) [ m 8m ] 7) 76) 6 m mp p m mpp m mp p 77) zt z t zt z t 78) m mp 7 6 zt zt t 6 v vz z v vz z v vz 6 79) ( c 7y) ( y) ( 8 c y) [ c y] 6 80) y y y y y y 6 8) k s k s ks k s s ks k [ 0 ] 7 8 y y 6 8 ks ks s 8) 6 m q m q m q 7 m q 0 8) ( ) 8) cy c c y cy c cy c 9 c c c c c c 8 8 8) s t st st s t s st y 7 cy c 7 86) ( ) ( ) p p p p 6 p h h h h h h 87) ( ) ( ) t st 9 9p 8 p h h, con h N 0 [ 6 6 ] k k k k k k k 7 k 88) c c c c c c, con k N 0 c c Inserisci l posto dei puntini un monomio opportuno in modo che le seguenti uguglinze sino vere: 89) ( y... ) (... y...) = 6y y 90)... m k... = k m 9) ( m... ) (... m...) = m m 7

108 9) ( m... m) ( m......) = m m m 9) = =... 9) ( ) 9) Si A(k) = k 8 k k, determin: ) un polinomio B(k) tle che A(k) B(k) = k k k ; 8 ) un polinomio C(k) tle che A(k) C(k) = k k k ; c) un polinomio F(k) tle che F(k) A(k) = k k ; d) un polinomio G(k) tle che A(k) G(k) = 0; e) un polinomio P(k) tle che A(k) P(k) = ; f) un polinomio T(k) tle che A(k) T(k) = k; g) un polinomio D(k) tle che D(k) A(k) =. 96) Sino A =, B = polinomi; un sol delle seguenti ffermzioni è ver. Qule?, C= 7 tre 6 ) A B C h grdo complessivo. ) A C B h grdo complessivo. c) A (B C) è il polinomio nullo. d) (A B) C h grdo complessivo 0. e) Nessun delle precedenti ffermzioni è ver. 97) Sino A, B, C i polinomi dell esercizio precedente; determin e semplific le seguenti espressioni: ) (B A) (A C) ) C [(A B) (C A)] c) (B C) (A B) (C A) d) (B C) A (B C) e) {B [(A B) C ] (C A)} C 0

109 Moltipliczione di un monomio per un polinomio 98) Complet l seguente tell: A B A B A B 6 p k p 8 m k 7m 7 h m hm h m c z cz z Esegui le operzioni indicte: 99) ( ) 00) ( 7y y )( y) 0) 0) 0) 0) 0) 06) z zt t z h h hg g ck ck k c 7 0 y y y st s t p p p ) st s t sst t t 6 z z t t hg hg hg ck ck ck 8 6 y y y 6 7 s t st st p p p st st 0

110 0 08) ( ) z y z y 6 [z yz] 09) ( ) ) ( ) t s t t s 0 0 t st s ) ) h m k k m h k h m [0] ) ( ) c c c c c 6 [ c c ] ) ( ) ( ) z y z z y zy z y y y z ) ( ) ( ) ( ) [ ] { } y y y y y 6 [ y] 6) ( ) h h h, con h N {0,} 7) n n n, con n N n n 8) ( ) ( ) 6 m m m m, con m N [ m m ] 9) Complet l seguente tell, dove A è un monomio e B un polinomio: A B A B A B p 6 p p 6 k kg kg k 8 y y y k s k ks g k k g 6 m

111 Inserisci l posto dei puntini i monomi mncnti: 0) k (... ) = k... ) 6mqm mq q... p t... = 8 p t t ) ( ) 8 7 ) ( ) ) = k m mk m... = k m 7 ) c =... c 9 h p = h p h p h 6) ( ) 7) ( m...) (...) = m 6mh 8) f k(... fk ) = f k... 9)... k g... = k g kg 0) 6 y... =... y Trduci in simoli le seguenti proposizioni e semplific le espressioni ottenute: ) Al prodotto di due numeri consecutivi ggiungi il precedente del numero più piccolo. ) Moltiplic un numero pri per il suo successivo pri. ) Moltiplic un numero pri per l terz prte del suo successivo. ) Ai di un numero dispri ggiungi il triplo di un numero pri. p ) Di di un numero sottri l somm fr il doppio di e l metà di un numero ; moltiplic il risultto ottenuto per il triplo di. 6) Il lto di un tringolo misur l e l ltezz d esso reltiv è ugule ll su metà umentt di. Esprimi l re del tringolo. 7) Esprimi l re di un rettngolo vente un dimensione di misur k e tle che l differenz fr le due dimensioni è k. 8) Esprimi il volume di un prllelepipedo spendo che un delle dimensioni di se misur q, che l ltr è i suoi e che l somm dell dimensione mggiore dell se e dell ltezz è q. 0

112 Prodotto fr polinomi 9) Esprimi l re delle seguenti figure medinte un polinomio:... 0) Complet l seguente tell: A B A B A (A B) y y y y Esegui le operzioni indicte e riduci, eventulmente, i termini simili: ) ( h )( h h ) ) ( )( ) ) ( z )( z z ) ) ( )( ) ) ( 7y)( y) 6) ( d h)( d h ) 7) ( f s )( f s ) 8) m h m h 06

113 07 9) ( )( ) 7 m mh h m h 0) ( )( ) 8 6 z z z z ) ( ) 6 ) ( ) z z ) s k k s ) c c ) ( )( ) n n n n, con n N 6) ( )( ) k k k k m m m con m N 0 7) ( )( ) h k h h con h N k N 0 8) ( )( )( ) 9) 60) ( )( ) c h h c h 6) ( )( )( )( ) y y y y 6) ( ) ( ) ( )( ) p m p m mp m p m 6 p mp m 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) k h k h k h k h k h k h 6 [ 6 hk k ] 6) ) )( ( ) ( ) ( y y y y y [ 6 y y ] 6) ( ) ( ) [ ] 66) [ ( ) ( ) z t z z t t ][ ( )( ) ( ) z t z t z t ] [ 8 tz t z t z ] 67) 6 7 s z z s z s z s z s 9 s sz z 68) [ ( )( ) ( ) )] 8 0 )( ( 0) )( [( 6)] ( 6 [6 8 6] 69) ( )( ) ( ) [ ] y y y y y y y y y y 70) y y y y y y

114 7) m k mk k m k m mk 6k m. 6 mk mk k 8 7) hg ( g h ) hg ( h g ) ( h g hg ) 7) ( )( ) ( )( ) ( )( ) z z 7) ( ) z z z z z c c c c 6 7) y y y y y ( y) 8 y y hg h g hg [ z z z ] c c 8 y y Trduci in simoli le seguenti proposizioni e semplific le espressioni ottenute: 76) Sino, numeri nturli; moltiplic l differenz fr l metà di e l terz prte di per il successivo di. 77) Sino m un intero positivo e k un numero pri; ggiungi l doppio di m il triplo dell differenz fr il successivo di m e l metà di k, moltiplic il risultto ottenuto per il successivo dell metà di k. 78) Sino e y numeri interi; moltiplic l differenz fr il doppio di ed il successivo di y per l somm fr il triplo di y ed il precedente di. 79) Moltiplic l differenz fr i di un numero h e l metà di un numero s per l somm fr l metà di h e i di s; ggiungi l prodotto così ottenuto l somm fr l metà di h e il doppio di s. 80) Moltiplic l differenz fr il numero c umentto di ed il numero per l terz prte di c umentt di ; l risultto così ottenuto, ggiungi il prodotto fr l somm del doppio di c e per l differenz fr c e il triplo di. 8) L mdre di Luc h k nni ed il pdre h nni più dell mdre; Luc h l metà degli nni dell mdre. Qule srà il prodotto degli nni di Luc e dei suoi genitori fr nni? 8) Esprimi l re di un prllelogrmm spendo che l differenz fr un lto, di misur, e l ltezz d esso reltiv è. 8) Esprimi l superficie totle di un prllelepipedo se qudrt spendo che il lto dell se misur h e l ltezz super il lto di se di. 8) Esprimi il volume di un pirmide se rettngolre spendo che un dimensione di se misur 7 h, l ltr dimensione è i suoi diminuiti di e l ltezz è i dell dimensione minore dell se. 08

115 09 Prodotti notevoli Somm per differenz Clcol i seguenti prodotti: 8) ( )( ) m m 86) ( )( ) 87) f f 88) ( )( ) z z 89) h m h m 90) ( )( ) c k c k 9) ( )( ) z z 9) 8 8 9) 7 7 y y 9) 7 7 y y 9) z t s z t s 96) 97) ( )( ) f k g g f k 98) 6 6 k k 99) d g m m d g 00) yz yz 0) 7 7 c s s c 0) t s s s t s

116 0) h h h 9 0) ( y )( y)( y ) 0) k m m k m k 9 n m n m 06) ( )( ), con n, m N 07) h h, con h N {0} m k k m 08) y z z y, con m, k N k k k k 09) ( t )( t q ) q, con k N {0} Semplific le seguenti espressioni: 0) ( h k)( hk) ( h )( h) ( k)( k) [ 7h ] ) ( )( ) ( )( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] [8 8 ] ) m k m k k m m k k 9 8 [8 m ] ) ) y y ( y)( y) 6) m m ( m ) ( m )( m ) 7) k k k p p ( kp )( kp ) 8) ( )( ) h k h k k h h k h 9) ( )( ) ( )( )( ) 0) ( k )( k ) k( k ) ) ( ) ( ) ( ) y m k 6 6 h k k k

117 Inserisci l posto dei puntini i monomi mncnti: ) ( y )( y...) = y 9 )... = 9 )... = 9 h = 9 6h ) ( )( ) 6 6) k... (... ) = k 7) (... m )( m) =... 8) h... = s t = t 6s 9 8 9) ( ) 0) k... t... = t = 9 h 6 ) ( ) = s ) s ( ) Esempio Scrivimo il inomio h 9 come prodotto di due fttori. Osservimo che i termini del inomio sono prticolri ; inftti: k h = (h) oppure h = (h) 9 = oppure 9 = () Il inomio h 9 è, perciò, l differenz di due qudrti e, quindi è del tipo A B [in questo cso A = h e B = oppure (complet) A =.. e B =. ]. Ricordimo che A B = (A B) (A B); si h, dunque: oppure h 9 = (h ) (h ) h 9 = [h ( )] [h ()] = (h ) (h )

118 Scrivi, se possiile, i seguenti inomi come prodotto di due fttori: ) 6 y 9 ; 8z 9 ) z ; 9 8 ) 6 6 ; 6) 7) 9 t 9 v f g ; y ; 8) 6 ; 6 9) 0) ) ) h m ; 6 q 8 p 6 9s 6 9y 9 mg m; 9k h j 8 m ; d ; 6 6 f 9g z ) 8 c ; 0 9nz Esempio Clcolimo i seguenti prodotti: ) 9 ) 8 ) Osservimo che: = 0 e 9 = 0 si ottiene: 9 = (0 ) (0 ) = 0 = 600 = 99. ) Osservimo che: = 0 e 8 = 0 si ottiene: 8 = (0 ) (0 ) = 0 = 00 = 96 Clcol in modo rpido, come nell esempio, i seguenti prodotti: ) 7 ; 8 ; 77 8 ) 9 89; 8; 7 6) 8 ; 9 0 ; 8

119 Qudrto di un inomio Esempio Determinimo il qudrto dei seguenti inomi: ) ( ) z k m ) ( ) Ricordimo, prim di tutto, l regol che ci permette di determinre il qudrto di un inomio: ) Osserv che z = ( ) ( z) (A B) = A AB B. Ponimo A = e B = z, pplicndo l regol indict: [() (z)] = () ()(z) (z) = 9 z z. A B A A B B ) Osserv che k m = ( k ) ( m ). Ponimo A = k e B = m, pplicndo l regol indict: [(k ) (m )] = (k ) (k )(m ) (m ) = k 6 k m m. A B A A B B Determin il qudrto dei seguenti inomi come nell esempio precedente: 7) ( ) ; ( ) ; ( m ) 8) ( ) h ; ( 6 f ) ; ( 8m ) 9) ( 6 t ) ; ( s t ) ; ( 8p ) 0) y ; ; 7 k ) ; ; m k 8 ) k ; y y ; 7 s t ) s ; 6 z h ; 9 g k

120 ) ; c c ; z t ) 7 7 y ; 6 h t ht ; f f h 6) n m y, con n, m N 7) ( n m y ), con n, m N m 8) ( y k n ) k, con n, m N 9) ( m m ) Esempio, con m N Clcolimo in modo rpido: ) ) 8 c) 9 d) ) Osservimo che = 0 ; quindi: = (0 ) = 0 0 = = 60. ) Osservimo che 8 = 80 ; quindi: 8 = (80 ) = = = 67. c) Osservimo che 9 = 60 ; quindi: 9 = (60 ) = = = 8. d) Osservimo che: = ( ) ( ) = 0 60 = 600 = (0 ) = 0 0 = = 68 Si ottiene, dunque: = = 8 Clcol, in modo rpido, i seguenti qudrti: 60) 6 ; 9 ; 9 6) 7 ; 99 ; 0 6) ; 6 6) 6 6 ; 6) 0 8 7

121 Semplific le seguenti espressioni: 6) 66) ( g h) ( g h)( g h) 67) ( y )( y ) ( y ) y y y y 68) ( ) ( ) 69) ( k ) ( k ) ( k )( k ) 70) ( ) ( )( ) ( ) s s s s s 7) s s s s s 6 9 g 8gh h y y 9 0 y y [ 8 k ] [s 0s s 7] 6 s s 7) 7) m m m m m 7 z kz k 9 m 9m 8 7) 9 9 7) 8 9 y y y y Inserisci i monomi mncnti in modo che le seguenti uguglinze sino vere: y y y 76) (...) =... 77) ( )... = ) (...) = ) (... k ) = )... = ( ) 8) (...) = ) 6 t... = t t...

122 8) 6 y... = ( ) 8) (... ) = ) ( y...) = y 86) 87)... y y = (... ) s t... =... 6t 88) k... =... 6k... Esempi Clcolimo i seguenti prodotti: ) ( c)( c) ) ( k m )( k m) ( h s)( h s) c) In tutti i csi doimo eseguire il prodotto tr due polinomi che, ormi, dovresti essere in grdo di clcolre senz lcun difficoltà. Scrivi, pertnto, il risultto dei prodotti indicti: ) ( c)( c) =. ) ( k m )( k m) =. c) ( h s)( h s) = Un ttent nlisi dei termini dei polinomi, ci può permettere di determinrne il prodotto in modo più rpido. ) I polinomi ( c) e ( c) sono formti d due termini uguli, ( ), e un termine opposto, (c). Applicndo l proprietà ssocitiv, ottenimo: ( c)( c) = [( ) c] [( ) c] Ponimo A = ; il prodotto precedente divent: ( c)( c) = (A c) (A c) = (per l not regol) = A c. A A Operimo l sostituzione invers; si ottiene: ( c)( c) = A c = ( ) c = c. In definitiv: ( c)( c) = ( ) c = c. Come sicurmente vri notto, è lo stesso risultto ottenuto in precedenz. 6

123 ) I polinomi ( k m ) e ( k m) hnno due termini uguli, (k m), ed un termine opposto, (). Applicndo l proprietà commuttiv e l proprietà ssocitiv, ottenimo: ( k m )( k m) = [(k m) ] [(k m) ] Ponimo A = k m; il prodotto divent: ( m )( k m ) k = (A ) (A ) = (per l not regol) = A = A. A A Operimo l sostituzione invers; si ottiene: ( m )( k m ) k = A = (k m) = k mk m. In definitiv: ( k m )( k m) = (k m) = k mk m. Come sicurmente vri notto, è lo stesso risultto ottenuto in precedenz. c) I polinomi ( h s) e ( h s) l proprietà ssocitiv, possimo scrivere: ( )( ) hnno un termine ugule () e due opposti (h s). Applicndo h s h s = [ (h s)][ (h s)] =(operndo come in precedenz) = (h s) = = (h hs s ) = h hs s. Clcol i seguenti prodotti come nell esempio precedente: 89) ( )( ) 90) ( c)( c) 9) ( h s)( s h) 9) t z z t 9) y y y 9) z v v z 9) c c Semplific le seguenti espressioni: 96) ( )( ) ( )( ) ( ) [6 ] 97) k p p k k k p p k p m k m k k 98) ( m )( m ) [ m 7m 6] 7

124 99) y y y yy 9 y 9 00) h h h m m( h m) 0) ( )( ) ( )( ) ( ) c c c c 0) k k k k ( k ) ( k) 9 h h h m 6 c c c 8 k k k 9 Qudrto di un polinomio Determinimo il qudrto dei seguenti polinomi: ) ( y ) ) ( h k m ) ) Doimo determinre il qudrto di un trinomio; ricordimo l regol: (A B C) = A B C AB AC BC In questo cso A =, B = y, C = ; si ottiene: ( y ) = ( ) ( y) ( ) y ( ) y ( ) = = y y y. ) Doimo determinre il qudrto di un polinomio; ricordimo l regol: (A B C D) = A B C D AB AC AD BC BD CD In questo cso A = h, B = k, C = m, D = ; si ottiene: ( k m ) h = = ( h) ( k ) ( m) ( ) h k h ( m) h ( ) k ( m) k ( ) ( m) ( )= = h k m hk hm h k m k m. Determin il qudrto dei seguenti polinomi: 0) ( y ) ; ( ) c 0) 0) 06) ; s t ; f ; m t h k y 8

125 07) h g k ; ( n n n y y ) 08) 09) m q ; c z t y 0) n n n n con n N ) k w k con k N Inserisci i monomi mncnti in modo che le seguenti uguglinze risultino vere: ) ( ) y z y z yz = ) ( ) = =... 9 ) ( ) ) y... = y )... = = y z y z yz 7) ( ) Semplific le seguenti espressioni: 8) ( y ) ( y ) 6y( ) [8 0y 8 6 y] 9) m st m s t m( st) 0) ( y ) ( y ) ( y y ) 6y( y ) [ y 0y 0 y] [ 0 ] ) 9 6 ) 8 ) v z f z z v ( zf ) f ( f z) 9 z v v 9

126 A B A B A B B Cuo di un inomio Esempio Clcolimo il cuo dei seguenti inomi: ) ( y) ) Ricordimo l regol che consente di determinre il cuo di un inomio: ) In questo cso: A =, ( y) (A B) = A A B AB B B = y ; sostituendo si ottiene: = () () y (y) (y) = 8 y 9y 7y = = 8 6 y y 7y. ) In questo cso: A =, B = ; sostituendo si ottiene: A B A A A B B = ( ) ( ) ( ) 8 = 8 = ( ) A B A A B A B B =. Clcol i seguenti cui: ) ( ) ; ( ) y ) ( ) ; ( ) k 6) 7) y ; h m m ; m 8) ( ) s ; t z 9) ; c 0

127 0) k t ; g m m n n ) ( y ), con n N n n ) ( z ) t, con n N h ) h, con h N {} ) ( k m p k ) ), con k N n n, con n N Inserisci l posto dei puntini i monomi mncnti in modo che le seguenti uguglinze risultino vere: 6) 7) 8) y y y = (......) y z y z y z = (......) =... 9) 0) s... = 8 k s t... t k m = (......)... = 8 7 ) (...) ) c... = (......)... c... = 8 9 k... kg ) (...) 6 ) 8 z = 7 (...) )... hg = h 6... g. Semplific le seguenti espressioni: 6) ( ) ( ) 7 ( ) 7) ( ) 6 ( ) ( ) y y y y y [9 ] [ y y y y y y ]

128 8) ( y) ( y) 9) ( ) ( ) 7( )( ) 6( ) 0) s t s t st s t 6v 6v g 8vg 8g [] s s t st t 6 7 ) 6 h k k h k h k h kk h k h k ) ( ) ( ) ( ) h hk 8k 8 6 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) y z yz z 7y y y 6 z ) n m n m m m n n m Seguendo gli esempi di pg , clcol le seguenti potenze: 9 m ) ( h m) ; ( t) 6 6) ( ) k ; ( y) ; ( z) 6 ; ( ) 7 7) 8 s t ; k ; m mh 6 Semplific le seguenti espressioni: 8) ( y) y( y)( y) 8( y)( y) [ 6 y y ] 9) st ( st ) st ( st ) 9 st st 8 60) e e ee e 6) ( ) ( ) ( ) [] 6) ( p ) ( p ) 6) ( )( ) ( ) c c c c c r 8s r s r s s r s r s 6 6) ( )( ) ( )( ) 6) (m mh h)(h m mh) m (m mh)( h) 6 p 6cc s [9h mh]

129 66) ( ) ( )( ) 67) (y )(y ) (y )(y ) (y )(y ) (y ) [ 6y] 68) ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) [ ] 69) ( ) ( ) ( )( ) k k k k k k k k 7k 6k 70) ( ) ( ) [ ] 6 7) p p p p p p 6 [ ] 7) ( )( ) ( )( ) ( )( ) h h 7) h h h ( h ) ( h ) h ( h ) st s t st s t t s st st s t 7) ( ) 7) y z y z z ( y 6z) 6 h 6 [ 0 ] [z yz] 76) l( l ) ( l ) ( l) ( l )( l) ( 0l ) [ 0l] 77) ( f k)( k ) ( k ) ( k)( f k) ( f k ) 78) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 79) ( u )( u )( u ) ( u ) ( u ) p q q p q ppq p q p q p q 80) ( ) ( ) [ f kf f ] 6 9 u 8 8p q 8) [(m )( m ) (m 6)( m m 6)] [( m )( m 0) ( m )(m 0m 8)] 8) ( ) ( ) [6m 8m 6]

130 8) h z h z h z ( hz )( h z ) h z h z 8) p pq p q p p pq pq 9 p q 9 6 8) ( )( ) ( ) 86) ( k t t ) ( k t ) t ( k t )( k t ) t ( k t )( k t ) 6( t ) [6 t t ] 87) ( )( ) ( ) y y y y y ) ( s p) ( s p) ( s p)( s p) p( s p) ( s ) 9s s 8s( s ) 8 9 [8s 8sp 9 p 7] 89) 8 ( ) ) k k k k k 9) ( )( ) ( )( ) k k k k 6 6 9) m m m m m ( m ) 9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9) ( )( ) ( ) ( )( ) [ 0 ] 6 9) t t ( t )( t ) t t t ( t t ) 9 t t t 9 6 h h 7g 96) ( g h)( g h ) ( g h) ( g h) [ g( g gh) h ( 7g h) ( g )] ( ) [ ] ( y ) 7y ( y) y( y ) 97) ( y) ( y) ( y)( y) [g] [ 6 y ]

131 6 9 98) v v v v v v 99) ( ) ( ) 00) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 v [ c c c c 7 c 6 c( c) [0] 0) ( ) ( ) 6[(m ) m(m )] m m 9 0) ( y )( y )( y) y y( y) ( y ) 0) ( ) ( ) ( ) ( ) 0) ( kt) kt( k t) kt ( k t ) 06) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) s s s s s s [ 8m m 8] 8 y [ 8kt 8kt 8 kt] 6 [6s 6s 8s ] 07) 80 8 n n n n n 08) ( )( ), con n N n n n n 09) ( h )( h h ) h, con n N n n n n n n n n n 0) ( g ) ( d g )( d g ) 0d ( d g ) d, con n N n n n ) ( ) ( ) n z t, con n N 0 n n n n n n ) p m p m p m, con n N n n n n ) ( k ) k ( k ) ( k ) con k N Dti i polinomi A = m, B = m m, C = m, clcol: ) A B C [9m m ] ) (A B) (A B) C [0m m 8m 9] 6) A C ABC [m 78m m 6m ] 7) B C [7m m m m 7] 8) (A B) C [0m m 0m 60m 6] 9) (B C) A [m m 9]

132 Prolemi 0) Determin l re delle seguenti figure: ) Dti i numeri interi h e k, indic con A: l somm dei loro precedenti, B: il prodotto dei loro qudrti, C: il qudrto dell loro somm. Qule espressione si ottiene ggiungendo d A il doppio dell differenz fr B e C? Dopo ver semplificto l espressione ottenut, clcol il suo vlore nei seguenti csi: h = ; k = h = ; k = h = ; k = 0. ) Si n un numero nturle, dimostr che ( ) ( ) n n è multiplo di 8. ) Sino s e t due numeri interi, indic con T: il prodotto dei loro consecutivi, S: l somm dei loro successivi, L: il qudrto dell loro differenz. Qule espressione si ottiene sottrendo l cuo di S l differenz fr L e T? Dopo ver semplificto l espressione ottenut, clcol il suo vlore nei seguenti csi: s = ; t = s = ; t = s = ; t = 0. ) Si n un numero nturle, dimostr che [( )( n ) ] n è un qudrto. ) Sino n, m due numeri nturli, dimostr che ( n ) ( m ) 6 6) Sino n, m due numeri nturli, dimostr che [( ) ( m ) ] [ ] è un numero pri. n è un numero dispri.

133 7) Sino, due numeri nturli; spendo che = 89 e =, determin e. 8) Sino e y due numeri nturli; spendo che y = 6 e y =, determin e y. 9) Sino m e p due numeri interi. Al prodotto fr i loro consecutivi sottri l somm dei qudrti dei loro precedenti. 0) Qule, fr le seguenti espressioni, rppresent il qudrto del triplo del consecutivo di un numero intero n? ) [(n )] ) n c) (n ) d) (n ) e) (n ) [Olimpidi Mtemtic, 998] ) Spendo che y =, qunto vle y? ) ) y c) y d) y e) nessuno dei vlori precedenti [Olimpidi Mtemtic, 99] Divisione Esegui, se possiile, le seguenti divisioni e verific il risultto ottenuto: ) ( 8 6) : ( ) ) ( 6m m 8m ): ( 6m) ) ( h 0h h ) : ( h) ) t t t : t 6) ( 6k m k m km) : ( km) 7) y y y : y 8) m h mh : ( ) 9) : 7 0) h g hg g : hg 8 6 ) ( s t z s tz s z ): ( s z ) n n n n ) ( 6 ): ( ) n n n ) ( ): ( ), con n N {0}, con n N {} k k k ) ( ):( ), con k N {0} 7

134 Complet in modo che le uguglinze risultino vere: ) (...): ( m ) = m m 6) ( h...): (...) = h h 7) (...): ( c ) = c c 8) (... 6g h ): (...) = g h gh 9) k 9... : k =... k 6 0) : = 8 Semplific le seguenti espressioni: [ m 6m : m] [ m m ] : m ) ( ) ( )( ) [m m 7] 7 : s t s t s t t t ) ( ) { g h g h g } h gh gh g h :( h ) g { } : ( ) ) ( )( )( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) s 7 0 [ h ] ) ( ) ( ) ( )( ) k k :[ k k k k ] 6) ( ) ( ) ( 0 ) :( ) [ 7 ] k k k 6 7) ( )( ) g g g : g g g g 8) ( )( )( ) ( ) ( ) [k k k ]: k k 6 k : k k: k [impossiile] k k 6y y ] : y y y y y y y : y 9) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [y { t z t z t } z :( t) 60) ( )( ) ( )( ) ( ) [ y ] [] : 6) ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] 8

135 6) Nell prim colonn dell seguente tell è indicto il dividendo [P()], nell second colonn il divisore [B()], nell terz colonn il quoziente [Q()] e nell qurt colonn il resto [R()] dell divisione. Completl: P() B() Q() R() 8 Determin quoziente e resto nelle seguenti divisioni; verific, successivmente, il risultto ottenuto: 6) ( k 7k ) : ( k ) k [Q(k) = 6) ( 7 6 ):( ) [Q() = 6 6) ( m 6m m ) : ( m ) 6 66) ( h ): ( h h ) m [Q(m) = h [Q(h) = 67) ( 0y 7 y 6y ):( y y ) m k h h h ; R(h) = k ; R(k) = ] ; R() = ] m ; R(m) = m ] 7h h 7] [Q(y) = y ; R(y) = 0] 68) ( s s s ) : ( s s ) 69) ( t t t 9t ) : ( t t ) 7 7 Q( s) = s s ; R( s) = s t [Q(t) = t t ; R(t) = t ] 70) ( ):( ) [Q() = ; R() = ] 7) 7 s s s s 6s : s s [Q(s) = s s s ; R = 0] 7) t t : t t Q( t) = t; R( t) =t t 8 7) ( ):( ) 6 7) ( g g g ) : ( g g ) 7) : ( ) 8 Q( ) = ; R = 7 Q( g) = g g g ; R( g) =g g 7 9 Q( ) = ; R( ) = 9

136 Esegui le seguenti divisioni scegliendo prim un vriile e, successivmente, l ltr: 76) ( 6 c c c c ): ( c) 77) ( 6s k s k sk ): ( sk k 6s ) 78) h t ht h t t : h t 79) : 80) k k k ( k k ) 8) ( 6m m z mz z ):( m z ) 8) ( d 7 d d 7 d ):( d ) 8) z z t z t t : z zt t Teorem del resto Senz eseguire l divisione, determin il resto delle seguenti divisioni: 8) ( p p ) : ( p ) 8) ( s s s s ) : ( s ) 86) ( t t t ) : ( t ) 87) ( k k k 7) : ( k ) 88) ( m m m 9) : ( m ) 89) ( h 8h h h ):( h ) 90) ( 7 70 ):( ) 9) ( z z z 7z ):( z ) : 9) ( ) 9) v v v : v y y 6y : y 9) ( ) 0

137 Esempio Determinimo il resto delle seguenti divisioni: ) ( 7 ) : ( ) ; ) ( m km k ): ( m k) ) Il divisore è un inomio di primo grdo, m il suo coefficiente è diverso d, pertnto non possimo pplicre il Teorem del resto. E possiile, tuttvi, ricondursi l cso in cui è possiile pplicre il Teorem del resto? Per l proprietà invrintiv dell divisione, se dividimo dividendo e divisore per uno stesso numero h, il quoziente rimne invrito; mentre,il resto viene diviso per h. (Per convincerti di questo, puoi fre qulche esempio numerico). Allor, procedimo nel seguente modo: dividimo dividendo ( 7 ) e divisore ( ) 7 : per il coefficiente di (): pplicndo il teorem del resto, determinimo il resto di quest divisione; si ottiene: 7 il risultto ottenuto lo moltiplichimo per il coefficiente di (); quindi R = = ) Osservimo che il divisore è un inomio di primo grdo ed il coefficiente di m è ; llor, scegliendo come vriile (rispetto ll qule eseguire l divisione) l letter m, possimo pplicre il Teorem del resto. Sostituimo, llor, nel dividendo il termine k ; si ottiene: R = ( ) ( ) = k k k k = 6k k k = k Osservzione Se, invece, sceglimo come vriile (rispetto ll qule eseguire l divisione) l letter k, doimo procedere, prim, come l punto ) e, successivmente, come l punto ). Procedendo come negli esempi precedenti, determin il resto delle seguenti divisioni: 9) ( h h ) : ( h ) 96) ( m m ) : ( m ) 97) ( w 6w w w ):( w ) 98) ( y 8y y ):( y ) 99) ( 6s s 6s ) : ( s )

138 00) ( 6 ):( ) 0) ( t 6zt z ): ( t z) 0) ( c c c ): ( c) Stilisci se i seguenti polinomi sono divisiili per i inomi finco indicti: 0) m m 8m m ; m ; m ; m 0) ; ; ; 0) 7 6 ; ; ; 06) g g g 6 g ; g ; g ; g 07) 7 ; ; ; Per qule vlore dell letter k i seguenti polinomi sono divisiili per il inomio finco indicto? 08) k 09) m m 7m km m 0) s ks s s s ) z z z k z ) k 8 6 ) Dto il polinomio A(h) = h h, un sol delle seguenti ffermzioni è ver. Qule? ) h = h = sono zeri per A (h); ) A(h) è divisiile per h ; c) A(h) h, fr i suoi divisori, il inomio h ; d) Il resto nell divisione di A(h) per il inomio h è ; e) Nessun delle precedenti ffermzioni è ver. ) Le seguenti ffermzioni si riferiscono l polinomio B() = k ; un sol è fls. Qule? ) Se k =, = è uno zero per B(); ) Se k =, B() non è divisiile per ; c) Se k =, B() è divisiile per ; d) Se k = 0, B() B() = ; e) Almeno un delle precedenti ffermzioni è ver. ) Nell divisione ( t ( k) t ( k ) ): ( t ) kt il resto è se : ) k = ; ) k = ; c) k = ; d) k = ; e) per nessun vlore di k.

139 6) Per qule vlore dell letter k, t = è uno zero del polinomio F(t) = t t t kt 8? 7) Per qule vlore dell letter m, s = è uno zero del polinomio G(s) = s 6s s m? 8) Per qule vlore dell letter h, z = è uno zero del polinomio B(z) = z ( h ) z hz 8 z? Per ciscuno dei seguenti polinomi, stilisci se i numeri finco indicti sono degli zeri : 9) P() = = ; = ; = ; =. 0) A(h) = h h h h h = ; h = ; h = ; h = ) R(t) = t t 9t t t = ; t = ; t = ; t =. ) M() = 6 = ; = ; = ; =. ) P(h) = h h h h = ; h = ; h = ; h =. Applicndo l regol di Ruffini, determin quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) ( 6 ) : ( ) [Q() = ; R = 6] ) ( 6m m ) : ( m ) m [Q(m) = 6) ( h h h ) : ( h ) h [Q(h) = 7) ( s s) : ( s ) s [Q(s) = 8) z z z : z 9) ( ): ( ) [Q() = 0) ( g g 9g 9) : ( g ) m h m ; R = 8] h ; R = ] s s s ; R = 9] Q( z) = z z ; R = 8 6; R = 0] g [Q(g) = g g ; R = ] ) q q q q : q [Q(q) = 6 ) ( y y ) : ( y ) y [Q(y) = ) : 9 ) ( 7c 8c ) : ( c ) q q y y y y y ; R = 0] 0; R =9] = = Q( ) ; R 0 c [Q(c) = c c ; R = 6] ) ( 8 f 6 f f f ) : ( f ) f [Q(f ) = f f f ; R = ] 6) c 6 c c : c = = Q( c) c c ; R

140 Esempio Determinimo quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) ( f f 8 f 6) : ( f ) ) ( m 6hm 6 h mh ):( m h) ) Il divisore è un inomio di primo grdo, m il coefficiente del termine di primo grdo è diverso d ; non possimo, dunque, eseguire l divisione medinte l regol di Ruffini. Ricordimo, però, l proprietà invrintiv dell divisione: se dividimo dividendo e divisore per uno stesso numero n il quoziente non cmi, il resto, invece, viene diviso per il numero n. Dividimo, llor, dividendo e divisore per il coefficiente : ( f f 8 f 6) : ] :[( f ) : ] = ( f f f ) : f [ Possimo pplicre, desso, l regol di Ruffini, e determinre i coefficienti del quoziente; si ottiene: Coefficienti del quoziente R : Si h, llor: Q(f ) = f. Il resto dell divisione è R = =. ) Si il divisore che il dividendo sono polinomi in due vriili. Notimo, però, che il divisore è un inomio di primo grdo e il coefficiente dell letter m è. Possimo, quindi, eseguire l divisione scegliendo come vriile l letter m ed pplicre l regol di Ruffini: 6h 6h h h 8h h 0h h 0h 9h Coefficienti del quoziente resto Si h, quindi: Q(m, h) = m h hm 0 ; R(h) = 9h

141 Determin quoziente e resto delle seguenti divisioni: 7) ( 6 ) : ( ) [Q() = ; R = ] 8) ( t t 8t ): ( t ) t [Q(t) = t t t ; R = 0] 9) ( h h ) : ( h ) 0) ( 9 6k 6k 6k ) : ( k ) = = Qh ( ) h h h h ; R k [Q(k) = k k ; R = 6] ) m 6 m 9m m : ( m ) ) ( k m km 6k m ): ( m k) ) ( t 6 ): ( t ) 9 Qm = m m R= ( ) ; 8 ) s t s t : s t ) ( ): ( ) Prolemi 6) Un rettngolo di dimensioni m e t è isoperimetrico d un qudrto; Scrivi l espressione che esprime l re del qudrto. Clcol tle re per m = 0 cm e t = cm. 7) Si P() = c. Se si divide P() per si ottiene resto, se si divide P() per si 6 ottiene ncor resto. Qunto vle P()? 8) Un polinomio P() dà resto si qundo viene diviso per che qundo viene diviso per. Qul è il resto dell divisione di P() per? 9) Un numero di due cifre viene sommto l numero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide, quindi, l somm ottenut per l somm delle cifre del numero dto e si elev l qudrto il risultto. Che numero si ottiene? ) 6 ) 9 c) 00 d) e) dipende dlle cifre del numero [Olimpidi dell Mtemtic, 00] 0) Qul è l somm lgeric dei coefficienti del polinomio: ( ) ( ) [Olimpidi dell Mtemtic, 00] ) Comunque si prend un numero nturle n, il numero (n )(n )(n ) è divisiile per ) ) 6 c) 9 d)0 e) [Olimpidi dell Mtemtic, 00]

142 IL CALCOLO LETTERALE (second prte) CAPITOLO 7 Scomposizione in fttori Nel cpitolo precedente hi imprto d eseguire operzioni con i polinomi, in prticolre clcolre il prodotto di due o più polinomi. In questo cpitolo ci proponimo di ffrontre il prolem inverso: spendo che un polinomio è il prodotto di più polinomi, voglimo determinre i fttori di tle prodotto. Quest operzione si chim scomposizione in fttori (di un polinomio). Per esempio, è possiile verificre fcilmente che il polinomio è il prodotto fr e ; quindi, possimo scrivere: = ( )( ) quindi ( )( ) è l scomposizione in fttori del polinomio. Come fre per determinre i fttori? In lcuni csi, non è molto difficile. Ad esempio, considerimo il polinomio. Osservimo che il polinomio esprime l differenz di due qudrti; ricordndo i prodotti notevoli, possimo scrivere: = ( )( ) Osservndo i due esempi precedenti, notimo che il grdo complessivo di ciscuno dei fttori è minore del grdo complessivo del polinomio. Un prolem nlogo questo lo hi già ffrontto qundo hi imprto scomporre in fttori primi un numero nturle. Ricorderi, sicurmente, l definizione di numero primo (Tomo, pg. 8); or, nell insieme dei polinomi, l posto dei numeri primi, esistono polinomi che non possono essere scritti come prodotto di ltri polinomi di grdo inferiore; questi polinomi sono detti polinomi irriduciili. Si hnno, pertnto, le seguenti: Definizioni Un polinomio si dice irriduciile se non può essere ottenuto come prodotto di polinomi di grdo inferiore d esso. Un polinomio non irriduciile è detto riduciile. Scomporre un polinomio in fttori vuol dire scrivere quel polinomio come prodotto di polinomi irriduciili. Come per i numeri nturli, l scomposizione in fttori di un polinomio è unic, meno dell ordine. 6

143 I polinomi e sono riduciili; il polinomio è irriduciile. In generle, i polinomi di primo grdo sono polinomi irriduciili. Per scomporre un polinomio in fttori, esistono delle tecniche che, se en ssimilte, permettono di individure i fttori in modo stnz gevole. 7. Rccoglimento totle Ricordi l proprietà distriutiv? A B A C = A (..) (Complet) In lcuni esercizi del Tomo, hi imprto trsformre l somm di numeri interi in prodotto pplicndo tle proprietà. Scrivi, in sintesi, come si procede. Ricord, inoltre, che è possiile trsformre un somm di interi in un prodotto solo se i termini dell somm non sono primi fr loro. Dl momento che un polinomio è l somm di più monomi, tlvolt è possiile operre nello stesso modo. Esempio Considerimo il polinomio 6 8. Procedimo come è stto descritto in precedenz e determinimo il MCD fr i termini del polinomio: MCD ( 6, 8 ) = (questo è il fttore esterno). Dividimo il polinomio 6 8 per il MCD: ( 6 8 ) : =. = (6 : ) (8 : ) Pertnto, il polinomio ottenuto: può essere visto come il prodotto fr il MCD ed il quoziente 8 = ( ) = ( ). Aimo, così, scritto il polinomio 6 8 come prodotto di polinomi irriduciili di grdo inferiore d esso; quindi il polinomio 6 8 è stto scomposto in fttori. L tecnic ust nell esempio precedente prende il nome di rccoglimento totle o rccoglimento fttor comune. 7

144 OSSERVAZIONE Applichimo il procedimento ppen descritto l polinomio 6m. MCD ( 6m, ) = ; pertnto, pplicndo l proprietà distriutiv, ottenimo: m = ( m ) 6 Dunque, il polinomio 6m è il prodotto di due polinomi; osservimo, però, che uno dei due fttori non è di grdo inferiore d esso. Non possimo, perciò, dire di ver scomposto in fttori il polinomio 6m. Tuttvi, in csi del genere è sempre opportuno fre il rccoglimento totle di eventuli fttori numerici comuni i termini del polinomio. Tenendo conto dell esempio precedente e dell osservzione ppen ftt, possimo schemtizzre tle metodo nel modo seguente: determinimo il MCD fr i termini del polinomio; se MCD dividimo il polinomio per il MCD; scrivimo il polinomio dto come prodotto fr il MCD ed il quoziente ottenuto; se MCD =, non si può eseguire il rccoglimento totle. PROVA TU Applicndo il metodo del rccoglimento totle, scomponi in fttori i seguenti polinomi: ) k 0k ) h mh 9m h 7. Rccoglimento przile Esempi ) Considerimo il polinomio my mt y ty. Il MCD fr i termini del polinomio è, quindi non è possiile eseguire il rccoglimento totle. Tuttvi, osservndo ttentmente il polinomio, notimo che lcuni termini hnno dei divisori comuni (Complet): my e..; y e.. oppure my e...; y e.. oppure my e.; mt e. Applichimo l proprietà ssocitiv (se necessrio, nche quell commuttiv) e riscrivimo il polinomio dto come somm di due polinomi in modo tle che fr i termini di ciscuno dei due polinomi ci sino divisori comuni. 8

145 Per esempio, un modo di scrivere il polinomio nell form richiest è il seguente: my mt y ty = ( my mt) ( y ty) ( ) I termini del polinomio possono essere ssociti nche in modi diversi; scrivine lmeno un ltro: Considerimo l uguglinz ( ). Il MCD fr i termini del primo polinomio è diverso d, così come è diverso d nche il MCD fr i termini del secondo polinomio; per ciscuno di essi possimo, quindi, eseguire il rccoglimento totle: Si ottiene, dunque: = m( y t) my mt my mt y ty, y ty = ( my mt) ( y ty) = m( y t) y( y t) = y( y t) Ponimo A = y t, l uguglinz precedente divent: my mt y ty = m A y A = (rccogliendo fttor comune) = A(m y). Al posto di A riscrivimo y t ; si h = A(m y) = ( y t)( m y) my mt y ty In definitiv, imo ottenuto che: my mt y ty = ( y t)( m y) - - Il polinomio my mt y ty è il prodotto di due polinomi irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scomposto in fttori. ) Considerimo il polinomio k k. Il MCD fr i termini del polinomio è, quindi non possimo eseguire il rccoglimento totle. Osservimo che lcuni termini del polinomio hnno divisori comuni e, dunque, pplicndo l proprietà ssocitiv, scrivimo il polinomio come somm di polinomi: k k = ( k ) ( k ) Per il primo dei due polinomi possimo eseguire il rccoglimento totle [MCD(k, ) = ]. Il MCD fr i termini del secondo polinomio è e, dunque, non è possiile eseguire il rccoglimento fttor comune; ricordimo, tuttvi, che Si ottiene, llor: k 9 k = ( k ) k = ( k ) ( k ) = ( k ) ( k ) I due termini dell somm hnno un fttore comune ( k ) e, procedendo come nell esempio precedente, possimo eseguire il rccoglimento fttor comune; si ottiene: k k = ( k )( )

146 Questo modo di scomporre in fttori un polinomio prende il nome di rccoglimento przile. ATTENZIONE Scrivere un polinomio come somm di polinomi i cui termini hnno divisori comuni è, ovvimente, utile se, successivmente, i termini dell somm hnno un fttore comune. Tlvolt il modo di ssocire i monomi non consente, successivmente, di vere dei fttori comuni; in questo cso, llor, è necessrio cmire il modo di ssocire i monomi fr loro. Considerimo il polinomio ht st h s. Effettundo il rccoglimento przile ottenimo: ht st h s = ht ( ) st ( ) = (il polinomio non è ncor scomposto in fttori) = = ( t )( h s) Il polinomio ht st h s è or scomposto in fttori. Possimo schemtizzre tle metodo nel modo seguente: scrivimo il polinomio come somm di due o più polinomi in modo tle che i monomi di lmeno uno di essi ino dei fttori comuni; per ciscuno dei polinomi così determinti, eseguimo il rccoglimento totle ed ottenimo un somm di prodotti con un fttore comune; eseguimo, nuovmente, il rccoglimento totle. Il polinomio dto è, così, scomposto in fttori. PROVA TU Scomponi in fttori i seguenti polinomi ) m m k 8k k ) 0c c c) h6hk kg g 7. Prodotti notevoli Sicurmente ricorderi che: (A B) (A B) = A B (A B) = A AB B (A B C) = A B C AB AC BC (A B) = A A B AB B Queste uguglinze ti srnno molto utili nell scomposizione in fttori di un polinomio. 0

147 Esempi ) Scomponimo in fttori il polinomio k 9h. Osservndo ttentmente i termini del polinomio, notimo che: il polinomio è l differenz di due monomi; i due monomi sono dei qudrti; inftti k = (±k ) e 9h = (±h) Possimo, perciò, scrivere: k 9h = (±k ) (±h) e, quindi, il polinomio k 9h è l differenz di due qudrti. Ponimo A = k e B = h; si ottiene: k 9h = A B = (ricordndo qunto menzionto prim) = (A B) (A B) = = (k h) (k h) oppure, se ponimo A = k e B = h: k 9h = A B = (ricordndo qunto menzionto prim) = (A B) (A B) = = [k (h)] [k (h)] = (k h)(k h) In definitiv: k 9h = (k h) (k h) oppure k 9h = (k h)(k h) ) Scomponimo in fttori il polinomio g g 9. Ancor un volt, osservimo ttentmente i termini del polinomio; notimo che: il polinomio è un trinomio, due termini sono dei qudrti; inftti g = (±g) ; 9 = (±). Possimo pensre, llor, che il trinomio g g 9 si il qudrto di un inomio. Per verne conferm è sufficiente clcolre il doppio prodotto delle si dei due qudrti (senz tener conto del segno): g = g Tle prodotto, meno del segno, è ugule l terzo termine del polinomio; possimo, llor, ffermre che il polinomio è lo sviluppo del qudrto di un inomio. Inoltre, poichè il termine g è preceduto dl segno, le si dei due qudrti sono concordi. Se ponimo A = g e B =, si h: g g 9 = A AB B = (per qunto ricordto prim) = (A B) = (g ) ; oppure, se ponimo A = g e B =, si h: g g 9 = A AB B = (per qunto ricordto prim) = (A B) = (g ) In definitiv: g g 9 = (g ) oppure g g 9 = (g )

148 c) Scomponimo in fttori il polinomio h h. Ancor un volt, osservimo ttentmente i termini del polinomio: il polinomio è un trinomio; due termini sono dei qudrti; inftti h = ± h e = (±). Possimo pensre, llor, che nche il trinomio h h si il qudrto di un inomio. E sufficiente clcolre il doppio prodotto delle si dei due qudrti (senz tener conto del segno): h = h Tle prodotto, meno del segno, è ugule l terzo termine del trinomio; possimo, llor, ffermre che il polinomio è lo sviluppo del qudrto di un inomio. Inoltre, poiché il termine h è preceduto dl segno, le si dei due qudrti sono discordi. Se ponimo A = h e B =, si ottiene: h h = A AB B = (per qunto ricordto prim) = (A B) = h. Se ponimo A = h e B =, si ottiene: h h = A AB B = (per qunto ricordto prim) = (A B) = h. In definitiv: h h = h oppure h h = h d) Scomponimo in fttori il polinomio s t s t st. Seguendo il procedimento dell esempio precedente, complet. Ancor un volt osservimo ttentmente i termini del polinomio: il polinomio è formto d termini;.. termini sono dei qudrti; inftti: = (±.), s = (±.) e t = (±.). Questo lsci pensre che il polinomio potree essere il qudrto di un trinomio. Per verne conferm è sufficiente clcolre i doppi prodotti fr le si (senz tener conto del segno); si ottiene: s = t = st =.

149 Essi sono.. ( meno del segno) gli ltri termini del polinomio; quindi il polinomio s t s t st è lo sviluppo del qudrto di un trinomio. Poiché il termine s è preceduto d segno, le due si e s sono....; poichè il termine t è preceduto dl segno, le si e t sono discordi; poiché il termine st è preceduto dl segno, nche le si s e t sono... oppure e) Scomponimo in fttori il polinomio s t s t st = ( s t) s t s t st = ( s t) Osservimo ttentmente i termini del polinomio: il polinomio è formto d quttro termini; 6 8. due termini sono dei cui; inftti = () e 8 = (). Questo f pensre che il polinomio Per verne conferm st clcolre i tripli prodotti : () poss essere il cuo di un inomio. = e ( ) = Essi sono uguli, rispettivmente, gli ltri due termini del polinomio; si h, quindi: 6 8 = () In definitiv: ( ) ( ) ( ) 6 8 = ( ) f) Scomponimo in fttori il polinomio 8 m 9 m 7 m 7. Seguendo il procedimento dell esempio e), complet. Ancor un volt osservimo ttentmente i termini del polinomio: il polinomio è formto d termini; 8 m =... ( ) () = ( ).. termini sono dei cui; inftti: e 7 = ( ) Questo f pensre che il polinomio 8 m 9 m 7 m 7 poss essere il... di un inomio. Per verne conferm st clcolre i. prodotti : ( ) m =. e ( ) m = Essi sono., rispettivmente, gli ltri due termini del polinomio; si h, quindi:

150 8 m 9 m 7 m 7 = In definitiv: m ( ) m ( ) m () = m 8 m 9 m 7 m 7 = m 7. Trinomio crtteristico Prim di stilire che cos si un trinomio crtteristico, riflettimo sul prodotto di prticolri inomi: ) ( )( ) = = ; ) (h )(h ) = h h h 0 = h h 0; c) (t )(t ) = t t t 6 = t t 6; d) (m )(m 6) = m 6m m = m m I fttori delle precedenti moltipliczioni sono inomi di primo grdo nei quli il coefficiente del termine di primo grdo è ; nlizzimo, desso, il prodotto. Osservimo che: è un trinomio di secondo grdo con coefficiente del termine di grdo mssimo ugule ; il coefficiente del termine di primo grdo è ugule ll somm dei termini noti dei due fttori; il termine noto è ugule l prodotto dei termini noti dei due fttori. Un trinomio di questo tipo è detto trinomio crtteristico o trinomio notevole. Tenendo conto delle osservzioni precedenti, clcolimo i seguenti prodotti: (k 6) (k ) = k (6 )k 6 () = k k 8; (s )(s ) = s ( )s () () = s 6s 8. PROVA TU Determin i seguenti prodotti: ) ( )( 6); ) (z )(z ); c) ( 9) ( 6) Ci proponimo, desso, di fre il percorso inverso; cioè scrivere, qundo possiile, un trinomio come prodotto di due fttori.

151 Esempi ) Scomponimo in fttori il polinomio y y. Osservimo che il polinomio y y è un trinomio di secondo grdo ed il coefficiente del termine di secondo grdo è ; potree, perciò, essere un trinomio crtteristico ed essere scomposto nel prodotto di due inomi di primo grdo; si vree, dunque: y y = (y ) (y ) Se così fosse, il termine noto dovree essere il prodotto di due numeri interi e ed il coefficiente del termine di primo grdo l somm degli stessi numeri. Ci proponimo, llor, di stilire se esistono due numeri interi e tli che: = e = Dl ftto che il prodotto è positivo deducimo che i due numeri sono concordi; inoltre, poiché nche l loro somm è positiv, i numeri sono entrmi positivi. Nell prim e second colonn dell seguente tell sono riportti i vlori di e il cui prodotto è, nell terz colonn l somm degli stessi numeri: Si vede, llor, che i numeri richiesti sono = e = 8. Possimo, perciò, scrivere y y = (y ) (y 8) Il polinomio y y è il prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso e, quindi, è stto scomposto in fttori. ) Scomponimo in fttori il polinomio t t 6. Il polinomio t t 6 è un trinomio di secondo grdo con coefficiente del termine di secondo grdo ugule ; potree, perciò, essere un trinomio crtteristico e, quindi essere scomposto nel prodotto di due inomi di primo grdo: t t 6 = (t ) (t ) Doimo, llor, determinre due numeri e tli che: = 6 e = Poiché il prodotto è negtivo, i due numeri sono discordi e, dl momento che l somm è positiv, il numero positivo è quello che h vlore ssoluto mggiore.

152 Riportimo nell prim e second colonn dell seguente tell i possiili vlori di e il cui prodotto è 6 e nell terz colonn l loro somm: Si vede, llor, che i numeri richiesti sono = e = 9. Possimo, perciò, scrivere: t t 6 = (t ) (t 9). Il polinomio t t 6 è il prodotto di due fttori di grdo inferiore d esso e, quindi, è stto scomposto in fttori. c) Scomponimo in fttori il polinomio 6t t. Questo polinomio non è un trinomio crtteristico in qunto il coefficiente del termine di secondo grdo è. Tuttvi esso può essere scomposto nel prodotto di due inomi di primo grdo. Doimo determinre due numeri e tli che l loro somm si ugule l coefficiente del termine di primo grdo () ed il loro prodotto si ugule l prodotto fr il termine noto del polinomio ed il coefficiente del termine di secondo grdo [6 () = ]. Seguendo le osservzioni ftte nei due esempi precedenti puoi ffermre che i due numeri sono.. ed è positivo quello che h vlore ssoluto... Nell prim e second colonn dell seguente tell riportimo i possiili vlori di e il cui prodotto è, nell terz colonn l loro somm: 6 Si vede, llor, che i numeri richiesti sono = e =. Il termine di primo grdo del polinomio ( t) lo possimo scrivere, llor, come somm di due monomi simili d esso e venti, ciscuno di essi, per coefficiente uno dei due numeri trovti. 6

153 Quindi : t = t t. Il polinomio dto divent: 6t t = 6t t t. Scomponimo quest ultimo polinomio medinte il rccoglimento przile 6t t t = (6t t) (t ) = t(t ) (t ) = (t )(t ) In definitiv: 6t t t = (t )(t ) Il polinomio 6t t t è il prodotto di due fttori irriducili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scomposto in fttori. PROVA TU Scomponi in fttori i seguenti polinomi: ) p 9p ; ) t t 0 ; c) h h 7 ; d) k k ; e) Appliczione del teorem di Ruffini Nel precedente cpitolo hi imprto stilire se un polinomio P() è divisiile per un inomio del tipo ( ). Complet, dunque, l seguente proposizione (Teorem di Ruffini): un polinomio P() è divisiile per il inomio se e solo se P(.) =..; il numero prende il nome di. del polinomio. Ricordimo, inoltre, che: se un polinomio è divisiile per llor P() = Q()( ) dove Q() indic il quoziente fr P() e. Esempi ) Scomponimo in fttori il polinomio P() =. Prim di tutto determinimo il divisore del tipo, dove è uno zero del polinomio. A tl proposito, premettimo il seguente teorem: Se esiste un numero rzionle che nnull un polinomio, llor esso è un frzione che h per numertore uno dei possiili divisori del termine noto del polinomio e per denomintore uno dei possiili divisori del coefficiente del termine di grdo mssimo del polinomio. Se il termine di grdo mssimo h coefficiente, il numero rzionle che nnull il polinomio, se esiste, è uno dei divisori del termine noto. 7

154 Osservimo che è il termine noto di ; si D l insieme dei suoi divisori, llor D = {±, ±}. Stilimo, desso, se lmeno uno degli elementi di D è uno zero del polinomio; clcolimo, llor: P() = = = ( 0), quindi non è uno zero del polinomio; P() = () () () = = ( 0), quindi non è uno zero del polinomio; P() = = 8 = 0 ( 0), quindi non è uno zero del polinomio; P( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 = 0, quindi è uno zero del polinomio. Un divisore di è, llor, il inomio () =. Determinimo, desso, il quoziente fr e usndo l regol di Ruffini: 0 Quindi, Q() = Possimo, llor, scrivere che: ( ) : ( ) = Ricordndo l definizione di divisione, si h: = ( )( ) Il polinomio è irriduciile (verific); quindi il polinomio è stto scritto come prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso ed è, perciò, scomposto in fttori. ) Scomponimo in fttori il polinomio A(m) = m 7m m. Prim di tutto determinimo il divisore del tipo m, dove è uno zero del polinomio. Il coefficiente del termine di grdo mssimo è, il termine noto del polinomio è ; se esiste un numero rzionle che è uno zero del polinomio, esso è d ricercre fr tutte le possiili frzioni che hnno per numertore uno dei divisori di e per denomintore uno dei divisori di. Sino D l insieme dei divisori di, D l insieme dei divisori di e D l insieme delle frzioni fr le quli ricercre lo zero del polinomio: D = {±}; D = {±, ±} ; D = ±, ±. Stilimo, desso, se lmeno uno degli elementi di D è uno zero del polinomio; clcolimo, llor: 8

155 A() = 7 = 7 = 0; A() = ( ) ( ) ( ) A() = 7 = 7 = 8 0; 7 = 8 6 = 6 0; A() = ( ) ( ) ( ) 7 = 8 6 = 0 0; A = 7 = 7 = 0; quindi 9 9 è uno zero del polinomio. Un divisore di m 7m m, è, dunque, il inomio m. Determinimo, desso, il quoziente fr m 7m m e m usndo l regol di Ruffini: Quindi, Q(m) = m 6m. Possimo, llor, scrivere (m 7m m ) : m = m 6m. Ricordndo l definizione di divisione, si h: (m 7m m ) = m (m 6m ) ( ) Osservimo che il MCD fr i coefficienti di Q(m) è e, dunque, possimo eseguire il rccoglimento fttor comune; si ottiene: m 6m = (m m ); sostituendo nell uguglinz ( ): (m 7m m ) = m (m m ) = (m ) (m m ) In definitiv: (m 7m m ) =(m ) (m m ) Il polinomio A(m) è scomposto in fttori perché è il prodotto di due polinomi irriduciili di grdo inferiore d esso. PROVA TU Scomponi in fttori i seguenti polinomi: ) ; ) p p p p ; c) h h h h. 9

156 Somm e differenz di due cui Scomponi in fttori i seguenti inomi: ) k ; ) y 7; c) h 8; d) 7 6 Osservimo, prim di tutto, che i termini di ciscuno dei inomi d scomporre sono dei cui; in prticolre: i inomi lle lettere ) e ) esprimono l somm di due cui; i inomi lle lettere c) e d) esprimono l differenz di due cui. Per scomporre i inomi indicti pplic il teorem di Ruffini. Complet ) Uno zero di k è ; quindi un divisore di k è k... Determin il quoziente fr k e k pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q(k) =... Q(k) è un polinomio irriduciile; si ottiene, llor: k = (k )(.. ). ) Uno zero di y 7 è.; quindi un divisore di y 7 è y.. Determin il quoziente fr y 7 e y 7 pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q(y) =.. Q(y) è un polinomio irriduciile; si ottiene, llor: y 7 = (y )(. ). c) Uno zero di h 8 è. ; quindi un divisore di h 8 è h. Determin il quoziente fr h 8 e h pplicndo l regol di Ruffini:

157 Quindi, Q(h) =... Q(h) è un polinomio irriduciile; si ottiene, llor: h 8 = (h )( ). d) Uno zero di 7 6 è.; quindi un divisore di 7 6 è... Determin il quoziente fr 7 6 e pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q() =.. Nel polinomio Q() puoi eseguire il rccoglimento fttor comune: Q() =.. ( ). Si ottiene, llor: 7 6 = ( ) ( ). Riepilogndo: ) k = (k )(k k ); ) y 7 = (y )(y y 9); c) h 8 = (h )(h h ); d) 7 6 = ( )(9 6). Riflettimo sui risultti ottenuti: ciscuno dei inomi dti è il prodotto di due fttori: un inomio ed un trinomio; nei csi ) e ) il inomio è l somm delle si dei due cui; il trinomio è formto dll somm dei qudrti delle si meno il prodotto delle si; nei csi c) e d) il inomio è l differenz delle si dei due cui; il trinomio è formto dll somm dei qudrti delle si più il prodotto delle si. Questi trinomi vengono nche chimti flsi qudrti (perché?...). Le osservzioni ppen ftte sono più generli. Verific, pplicndo il teorem di Ruffini, che: = ( ) ( ) (con Q) = ( ) ( ) (con Q) Tli considerzioni vlgono, ovvimente, nche se l posto di ed ci sono delle espressioni lgeriche. In definitiv, imo che: A B = (A B) (A AB B ) A B = (A B) (A AB B )

158 Osservzione Due potenze che hnno si diverse ed esponenti uguli si dicono simili. Ad esempio, sono simili m 7 e p 7. Si verific che: se n è pri n n n n n n n è divisiile per l somm delle si; è divisiile per l differenz delle si; non è divisiile per l somm delle si : n non è divisiile per l differenz delle si. se n è dispri n n n n è divisiile per l differenz delle si; è divisiile per l somm delle si. Ad esempio, scomponimo in fttori il inomio. Osservimo che =. Poiché l esponente () è dispri, è divisiile per l differenz delle si, quindi è divisiile per il inomio. Applicndo l regol di Ruffini, determinimo il quoziente: Quindi, Q() = 8 6. Possimo, llor, scrivere: = ( ) ( 8 6). Il inomio è il prodotto di due polinomi irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso, quindi è stto scomposto in fttori. PROVA TU Scomponi in fttori i seguenti inomi: ) 8z 7; ) 8 m c) 8 k 6; d) t

159 7.6 Esempi di riepilogo Per scomporre un polinomio in fttori, spesso, le tecniche esposte in precedenz vengono uste contempornemente. Ecco, di seguito, lcuni consigli. Prim di tutto si determin il MCD fr tutti i termini del polinomio: se MCD esegui il rccoglimento totle ed nlizz, successivmente, il polinomio ottenuto; se MCD = nlizz il polinomio. Il polinomio ottenuto dopo il rccoglimento totle o il polinomio dto può essere: uno dei prodotti notevoli: se è un inomio può essere differenz di qudrti, somm o differenz di cui, somm o differenz di potenze simili; se è un trinomio può essere un qudrto di inomio o un trinomio crtteristico oppure si può scomporre medinte un opportuno rccoglimento przile; se è un qudrinomio può essere il cuo di un inomio oppure si può scomporre medinte il rccoglimento przile; se è formto d sei termini può essere il qudrto di un trinomio. un polinomio con lmeno quttro termini: si può scomporre con rccoglimenti przili; si può scomporre pplicndo il teorem di Ruffini. Tutto questo può essere rissunto nel seguente schem: Rccoglimento fttor comune Prodotto notevole Somm o differenze di potenze simili Rccoglimento przile Appliczione del teorem di Ruffini

160 Esempi ) Scomponimo in fttori il polinomio 8. Determinimo il MCD fr i termini del polinomio: MCD(, 8 ) =. Eseguimo il rccoglimento fttor comune; si ottiene: 8 = ( ). Il polinomio è riduciile (differenz di due qudrti): = ( ) ( ) quindi: 8 = ( ) = ( ) ( ). In definitiv: 8 = ( ) ( ) Il polinomio 8 è stto scritto come prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi 8 è stto scomposto in fttori. PROVA TU Scomponi in fttori i seguenti polinomi: ) 0m n m ; ) 8 y ; c) 7 y 6 ) Scomponimo in fttori il polinomio h m 8h m 7hm. Determinimo il MCD fr i termini del polinomio: MCD(h m, 8h m, 7hm ) = hm. Eseguimo il rccoglimento fttor comune; si ottiene: h m 8h m 7hm = hm (h 6hm 9m ) Il polinomio h 6hm 9m è riduciile; inftti osservimo che esso è formto d due qudrti (h, 9m ) e il terzo termine ( meno del segno) è il doppio prodotto delle due si dei qudrti. Esso, dunque, è il qudrto di un inomio: h 6hm 9m = (h m). Si ottiene, llor: h m 8h m 7hm = hm(h 6hm 9m ) = hm(h m). In definitiv: h m 8h m 7hm = hm(h m) Il polinomio h m 8h m 7hm è stto scritto come prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi h m 8h m 7hm è stto scomposto in fttori.

161 PROVA TU ) y 0y y ; ) c) 8 8 ; zt zt t ) Scomponimo in fttori il polinomio y 6 y 0 y. Determinimo il MCD fr i termini del polinomio: MCD( y,6 y, 0 y ) = y. Eseguimo il rccoglimento fttor comune; si ottiene: y 6 y 0 y = y( 8 ) Il polinomio 8 è un trinomio crtteristico e, quindi, 8 = ( )( ). Si ottiene, llor: y 6 y 0 y = y( 8 ) = y( )( ). In definitiv: y 6 y 0 y = y( )( ). Il polinomio y 6 y 0 y è stto scritto come prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi y 6 y 0 yè stto scomposto in fttori. PROVA TU ) ) c) gh gh 6g ; z z ; m p mp p ) Scomponimo in fttori il polinomio 6. Il MCD fr i termini del polinomio è ; nlizzimo, dunque, il polinomio. Esso non è uno dei prodotti notevoli; provimo d pplicre il rccoglimento przile. A tl fine osservimo che i primi due termini hnno un divisore comune così come gli ltri due. Applichimo, llor, il metodo del rccoglimento przile, si ottiene: 6 = ( ) (6 ) = ( ) 6 ( ) = = ( )( 6 ) Il polinomio 6 è il prodotto di due fttori di grdo inferiore d esso; tuttvi non possimo dire che esso è scomposto in fttori perché uno dei due fttori è riduciile. Inftti il inomio 6 è l differenz di due qudrti: 6 = ( )( ) quindi 6 = ( )( )( ).

162 Il polinomio 6 è il prodotto di tre polinomi, ciscuno di grdo inferiore d esso, m, ncor un volt, non è scomposto in fttori perché uno dei tre polinomi è riduciile; inftti il inomio è ncor l differenz di due qudrti: = ( )( ) quindi 6 = ( )( )( )( ). Nell ultimo prodotto ottenuto ci sono due fttori uguli; possimo, perciò, scrivere: 6 = ( ) ( )( ) Il polinomio 6 è il prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi è stto scomposto in fttori. L esercizio ppen svolto può essere così schemtizzto: 6 = ( ) (6 ) = ( ) 6 ( ) = = ( )( 6 ) = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( )( ). PROVA TU ) 8; ) 9 ( y) 6 ( y) ( y); c) ( y) 8y y ) Scomponimo in fttori il polinomio h hm m 9c. Il MCD fr i termini del polinomio è ; nlizzimo, llor, il polinomio: non è un prodotto notevole; il rccoglimento przile non port d vere dei fttori uguli. Un ttent osservzione dei termini del polinomio ci permette di ffermre che i primi tre termini formno il qudrto di un inomio; pplichimo, pertnto, l proprietà ssocitiv: h hm m 9c = (h hm m ) 9c = (h m) 9c L espressione così ottenut è un differenz di due qudrti, quindi: (h m) 9c = ( ) ( ) h m c h m c = (h m c)(h m c) In definitiv: h hm m 9c = (h m c)(h m c). 6

163 PROVA TU 9 ) y y ; ) 6 ; c) m 9z 6z. 6) Scomponimo in fttori il polinomio mn mn mn mn. Il MCD fr i termini del polinomio è mn; eseguimo, dunque, il rccoglimento fttor comune: mn mn mn mn= mn (m m 8m ) Osservimo che il qudrinomio m m 8m non è un prodotto notevole e non può essere scomposto in fttori medinte il rccoglimento przile; vedimo se è possiile scomporlo pplicndo il teorem di Ruffini. Puoi fcilmente verificre che m m 8m si nnull per m =, quindi esso è divisiile per il inomio m. Determinimo, or, il quoziente pplicndo l regol di Ruffini: 8 0 Quindi: Q(m) = m m e m m 8m = (m ) (m m ). Si h, llor che: mn mn mn mn= mn (m ) (m m ) Osservimo ncor i tre fttori ottenuti: notimo che il trinomio m m è il qudrto di un inomio; cioè m m = (m ). In definitiv, si ottiene: Il polinomio mn mn mn mn= mn(m ) (m ) mn mn mn mn è stto scritto come prodotto di più polinomi irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso, quindi è stto scomposto in fttori. L esercizio ppen svolto può essere così schemtizzto: mn mn mn mn= mn(m m 8m ) = = mn (m ) (m m ) = = mn (m ) (m ) PROVA TU ) 0 8 ; ) s y 9s y 6s y 6sy; c) 6. 7

164 7.7 Mssimo comun divisore e minimo comune multiplo fr polinomi In mnier nlog qunto ftto per i monomi, si hnno le seguenti definizioni: Il MCD fr due o più polinomi è, fr i divisori comuni, quello di grdo mssimo. Il mcm fr due o più polinomi è, fr i multipli comuni, quello di grdo minimo. Le regole per determinre il MCD ed il mcm fr polinomi non sono, poi, molto diverse, d quelle già viste per i monomi. Per determinre il MCD fr due o più polinomi, si procede come segue: si scompongono i polinomi in fttori; si moltiplicno i fttori comuni, presi un sol volt, con il più piccolo esponente. Il polinomio così ottenuto è il MCD fr i polinomi dti. Per determinre il mcm fr due o più polinomi, si procede come segue: si scompongono i polinomi in fttori; si moltiplicno i fttori comuni e non comuni, quelli comuni presi un sol volt con il mggiore esponente. Il polinomio così ottenuto è il mcm fr polinomi dti. Esempio Determinimo il MCD e il mcm fr i seguenti polinomi: t 8t ; t t t. Scomponimo i polinomi in fttori: t 8t = (rccoglimento fttor comune) = t (t ) = = t (t ) (t ). t t t = (rccoglimento fttor comune) = t (t t ) = = t (t ). In definitiv: t 8t = t (t ) (t ). In definitiv : t t t = t (t ). Osservimo che i fttori comuni nelle scomposizioni dei due polinomi sono t e (t ) e l esponente minore, per ciscuno di essi, è ; l esponente mggiore, invece, è. Si h, quindi: MCD(t 8t, t t t) = t (t ) mcm ( t 8t, t t t) = 6t (t ) (t ) PROVA TU Determin il MCD e il mcm fr i seguenti polinomi: y y ; y 8; 6y y 8

165 ESERCIZI CAPITOLO 7 Scomposizione in fttori Conoscenz e comprensione ) Qundo un polinomio si dice irriduciile? ) Cos vuol dire scomporre in fttori un polinomio? ) Qule proprietà pplichi qundo effettui il rccoglimento totle? ) In qule cso l somm di due potenze simili è divisiile per l somm delle si? ) In qule cso l differenz di potenze simili è divisiile per l differenz delle si? 6) Come procedi per stilire se un trinomio è il qudrto di un inomio? 7) Come procedi per stilire se un qudrinomio è il cuo di un inomio? 8) Che cos si intende per trinomio crtteristico? 9) Come procedi per scomporre un trinomio crtteristico? 0) Che cos è il MCD fr due o più polinomi? Qul è l regol che ti consente di determinrlo? ) Che cos è il mcm fr due o più polinomi? Qul è l regol che ti consente di determinrlo? ) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) Un polinomio completo di primo grdo è irriduciile. V F ) Tutti i trinomi di secondo grdo possono essere scomposti in fttori. V F c) Se due dei tre monomi di un trinomio sono dei qudrti, il trinomio V F è sicurmente il qudrto di un inomio d) L differenz di due qudrti si può scomporre, l mssimo, nel prodotto V F di due fttori. e) L somm di due potenze simili è sempre scomponiile in fttori. V F f) L differenz di due potenze simili è sempre scomponiile in fttori. V F g) Uno dei fttori dell scomposizione dell differenz di due potenze V F simili non può mi essere l somm delle si. h) Il numero dei fttori dell scomposizione di un polinomio P() è, V F l mssimo, ugule l grdo del polinomio. i) Il MCD fr due o più polinomi (di grdo mggiore di zero) è sempre V F un polinomio di grdo mggiore di zero. j) Il mcm fr due o più polinomi (di grdo mggiore di zero) è sempre V F un polinomio di grdo mggiore di zero. 9

166 Esercizi Scomponi in fttori i seguenti polinomi utilizzndo il rccoglimento totle: ) ; ; 8mz 6m ) h h; ; y y ) 7z 9 9z z ; 9 6 ; 8p y 6p y ) ) 6) 7) k k ; 8gh 6gh; 9 c ; y z y ; 0y y 0 ; c 8 c c c ; 0y 6 y 0 mt mt 6 8) 9) 0) ) ) 6 ; zt zt zt ; 6 y y y ; 6 gh gh gh; n n 9 ; n m n ) y y ; 9 9 Esempio 6 s s s 6 9 mk m m 9 9 yz y y n n n (con n N ) y n m n y m (con nm N, ) Scomponimo in fttori il polinomio ( ) ( ). Osservimo che ( ) ( ) = ( ) ( ). Notimo che i termini legti dl segno hnno un fttore ugule: il fttore ( ). Possimo, llor, pplicre l proprietà distriutiv; si ottiene: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ). In definitiv: ( ) ( ) = ( ) ( ). ) ( ) ( ) z; z( y) ( y) ) t (s t); ( ) ( ) ( s ) 6) ( m p) ( m p) ; ( ) ( ) ( ) 7) ( ) ; ( y y 60 )

167 8) ( )( ) ( ) ( )( ) 9) ( y) ( y)( y) ( y) 0) ( ) 8( ) ( ) Scomponi in fttori i seguenti polinomi utilizzndo il rccoglimento przile: ) z z ; mt mz m z ) gh gk h k ; ) c c c; v 6z tv tz ) ) 6) 7) 0 gf mf g gm ; kp 0kp 6 p ; y y y ; ; m m m hp hp h t t t t t 8 0 ds d s ys y 8) 9) y y 6 ; c c k k k y ky ky y Esempio Scomponimo in fttori il polinomio h hs h s. Dopo ver osservto superficilmente il polinomio e provto d ssocire i suoi termini in diversi modi, sremmo tentti di dire che esso non è scomponiile in fttori. In reltà, è necessri un riflessione più ttent. Osservimo che h h per coefficiente che può essere scritto come un frzione vente per denomintore ; inftti: h = h = h. Applichimo l proprietà ssocitiv e riscrivimo il polinomio: h hs h s = h h ( hs s) Possimo, desso, continure pplicndo il rccoglimento przile: h hs h s h h s h h h s = h h ( hs s) = ( ) ( ) = ( ) In definitiv: = ( ) h hs h s h h s. 0) ; y y y 6 v v uv u

168 ) ) ; z z z 9 mp t m mp t ; 6 z 8z z 6 ) ( ) ; ( ) ) ( ) f g hf hg ) y y y ; ( y) 0( y) y ( y)( y) y y y 6) 6tz( tz) tz z tvtz( vz)( t z) 7) 8) 9) 6 (con n N ) n n n n y y y (con n N 0 ) n n g g gm m (con n N ) n n n 0) s s s v v (con n N ) Scomponi in fttori, se possiile, i seguenti polinomi utilizzndo i prodotti notevoli: ) ) 9 t ; q ; 9 00y 8 6 ) 6 ; 9 y 6 ) ) 6) 7) 8) 6 0 6m h ; 6 8 6t 9s y ; c ; 9c ; 00y ; 9 d f 6 8gk ) 6 ; 0, 9 p 0, v 0) ) ) ) 6 dm f ; 9 9 k ; 9 m c 6c z k ; zt z k ; c 6

169 ) ) 6) 8 0 6k ; 7 g m 9 6 ; y 6 8 0, s 0,0m t ; 6 y 6 7) 8) 9) 60) c d z ; n ; k m 9 ; ( y ) ; m g h m n (con, nm N ) n 6n 6gk z (con k, n N ) 6 ( y ) 6) ( ) 6z ; ( ) y 9y 6) ( ) ; 6z ( z ) 6) 6) 6) ( ) ( ) ; ( y 0 y y) ( ) ; 0y ; 9( ) ( ( ) ( ) ) 66) 67) 6 9c c ; m m 6 9 ; 68) 69) 8 z 0z t t ; z z ; g 6g h 9h 9y 6y 70) 6 8 8; 7) 7) 7) 7) 8 6 m mpt p t h h ; 6 00 c 00c 6 6 ; k 9 k ; 8 y y; 9 9 h g hgm m y y ) 76) 77) 6 n ; n ; 6 8 ; k k 0, 0 y 00y 6 n n (con n N ) m m 9p 6p t t (con k, m N ) 6

170 78) c m cm c m 79) 9 y 6 y y 80) 8) 8) 8) 8) 8) 86) 87) 88) 89) 90) 9) 9) 9) 9) 9) 96) 97) 98) 99) 00) 6 h h h h h 6 v v v v v c c d c d c cd 9 9s 6t s 6t st m h m m h m 6m h 9 y 9 y y y 8y 0 0 k v kv kt t vt s s s f f f vz vz vz 8p 60 p 0 p 8 k k k z 6z tzt 8t 8 y 6y 8y 8 k 9k k 6 u 6u y t uy t 8y t y y y c c c h h h y 8 7 y 7 y 0) 0) 7 7 y y y 6 n n n 8z 6z z 7 (con n N ) 0) n n n (con n N ) 0) n n n (con n N ) 6

171 Scomponi in fttori, se possiile, i seguenti trinomi: 0) 06) 07) 08) 09) 0) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) d g k m y h z f k d ; g 6; k ; 7m 6; 6y ; h 0 ; z 6 ; f 8; 0k ; u 7u ; s s 8 ; t t 7 ; 9y 8y ; h h ; z t t s s 8 0 z 0t 9t 8 7s 0 7s 8 6 p 9p y y 8 7z 0z v v Esempio Scomponimo in fttori il trinomio Poiché il coefficiente di pensre l letter come un costnte. m m. m è, possimo considerre come vriile del polinomio l letter m e Il coefficiente del termine di primo grdo rispetto m è ed il termine di grdo zero (rispetto d m) è ; procedimo, llor, come nell scomposizione del trinomio crtteristico. A B= Determinimo due monomi A e B tli che: A B = I monomi richiesti sono simili fr loro e hnno come prte letterle ; per determinrne i coefficienti si procede come nel cso dei trinomi in un vriile. Si ottiene A = 6 e B =. Si h, llor: = ( m 6)( m ) m m Il trinomio m m è il prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scomposto in fttori. 9) 0) 8 ; h hmg 8m g ; 0 k 8sk s 6

172 ) ) ) ) c cy y ; y yz z ; z zt t ; g 8g ; t 8ut 0u k 8k k p pm m c 7c Esempio Scomponimo in fttori il trinomio 6. Il trinomio 6, ovvimente, non è di secondo grdo; tuttvi osservimo che tutti gli esponenti dell letter sono pri. Osservimo che ( ) = ; possimo, llor, porre = t ; si ottiene: 6 = ( ) 6 = t t 6 Il trinomio di qurto grdo è stto ricondotto d un trinomio di secondo grdo. Scomponimo, così, il trinomio di secondo grdo: t t 6 = ( t )( t ) Operimo, desso, l sostituzione invers e, l posto di t riscrivimo 6 = ( )( ) ; si ottiene: I due fttoti sono polinomi irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi il trinomio 6 è stto scomposto in fttori. ) 6) 7) 8) d s 8 ; d ; 9 6; 6 s 6 ; k y m p m p 6 6k 7 y 6 9) z 6z 6 ; 66 6 Applicndo l regol di Ruffini, scomponi in fttori, se possiile, i seguenti polinomi: 0) ) ) ) ) ( )( )( ) 6 ( y)( y y ) y y y ( m )( m )( m) m m 6m ( z )( z z z) z z z z 6 ( h )( h h ) h h h

173 ) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) ) 6) 7) 8) 9) 9 0 ( p )( p )( p p) p p p p ( t )( t )( t ) t 7t t 6 ( )( ) 0 ( )( )( ) ( t)( t )( t )( t ) t t t 8t 0 ( )( 8 6) ( c)( c c ) c c c c 8 6 ( y 8)( y ) 6 y y y ( k)( k k ) k k 7k ( y )( y )( y ) y y y y 6 ( z )( z ) z z 9z ( m )( m ) m m 6m ( h )( h)( h) h h h ( s p) ( s p) s p s p ( u v)( u v)( u v) u u v uv v ( )( ) 0) 9 Scomponi in fttori, se possiile, i seguenti polinomi, somm o differenze di potenze simili: ) ) ) 7 s ; 9 y ; k ; ; z ; 8 6 c ; k 6z 9 9 ) d ; 8 k 8m ; 7f 6 ) 7h ; ; 6 6ts 6) ; 6 8k ; 7 p h k 6 7) n ; z t ; n m 6 8 h h 8) k m ; z y ; 0 c 7 67

174 Scomponi in fttori i seguenti polinomi: 9) 60) 6) 6) 6) 6) 6) 66) 67) 68) 69) 70) 7) 7) 7) 7) 7) 76) 77) 78) 79) 80) m mp m( m p)( m p) ( )( ) 9 z z 7 9 ( z)( z) ( )( )( ) hm hm h 6 ( ) h m ( )( ) 7 st st h 8k 7 st s s ( h k)( h k)( h 9k ) ( )( ) y z y z y z ( y z ) ( )( ) 9 6 c ty ty t t( y )( y ) c 8 t s t s t ( c)( c9) 0 t( t s )( t s ) ch c h c ( c) c h 6z ( z)( z) 6 8 ( mg ) 6 mg mg mg 8h( h)( h) 6 8 h h h ( y )( y y ) y 6 6 ( p ) ( p p p p ) 6 p p p ( z )( z ) ( z ) z z z ( )( )( ) 68

175 8) 8) 8) 8) 8) sp s s p 69 ( s ) s p 8 9 ( )( )( ) g k g gk k ( g k )( g k ) ( c)( c c c ) c c c y ( y )( y y y 8y 6) 96 ( tz) ( t z) 86) ( ) ( ) ( ) 87) 88) t z zt t z t z ( f k)( f kf k ) f kf k f k ( ) 89) ( ) c d c ( d c)( d c) ( c)( c c c) 90) ( ) ( c) 9) 9) m 6mp 9p ( m p )( mp) 6 6 ( k )( k )( k ) k k k 9 9) 6 9) h h h ( h )( h) 9) ( ) ( c) ( c)( c) 96) 97) 98) 99) 8( y z)( y z)( y z )( y z ) 8y 8z y 6 y z y z y ( yz) s s y ( s y )( s y ) ( )( )( ) 6 ( y)( y y y ) 00) ( y) 6 y( y)( y) 9 ( y) 0) 0) 0) ( g )( g )( g g ) g g 8g z( z )( z )( z ) z z z z ( v )( v )( v )( v) v v v v 9

176 0) k ( k m)( k 0m) k 8mk 0m k 0) c 9c 06) 07) 08) ( c)( c) ( g )( g )( g ) g g g 8 6 m s t ms mt st m s t 9 0 ( )( )( )( ) ( y) ( 6 y) 09) ( y) ( y) ( y) ( y) 0) ) ) ) ) y ( y )( y ) y 6y y 7u 8u h ( u )( 7u ) h ( h )( h )( h )( h ) 9 6s s 6 ( s )( s ) ( v h v )( v v h ) ) ( ) v v v h h 8 6) ( ) k k ( k k k )( k k )( k k) y ( y)( y) 7) y ( y) ( y) y y (y ) 8) ( h t) ( h t) ( h t)( th) 9) c 9c 6c c c 6 Determin il MCD e il mcm fr i seguenti gruppi di monomi: 0) ) ) ) ) ; t 6; hm hm ; c c c 6 ; c 0c ; 8 t t t hm hm hm c 6c 8c 8c 0c 0 ; 0c c c ) 9 g ; g 9 g ; g g 6) 8v ; v 9v ; 6v v 7) ; ; 70

177 8) y 0y ; y 0 y ; 8y 6 y y 9) 9c ; c 8 ; 6c c 0) s 6; s ; s ) h s ; h hs s ; hs s 0hs ) 8zy z; zy zy ; z y zy zy ) 6p pm 6m ; p pm p m; p m pm pm m Prolemi ) Dopo ver semplificto l espressione ( ) ( ) ( 7), scomponi in fttori il polinomio ottenuto. ) Scomponi in fttori il polinomio che si ottiene semplificndo l seguente espressione: ( y ) ( y ) ( y ) ( y ). 6) Se il polinomio At () = t t 6 ( > 0 ) rppresent l re di un romo, quli polinomi rppresentno le digonli del romo? 7) Il polinomio Bs () = s s ( s > 0) rppresent l re di un tringolo rettngolo ABC. Determin l re di un qudrto che h il lto congruente ll ipotenus del tringolo rettngolo ABC. 8) Il volume di un prllelepipedo è del prllelepipedo? ( > 0 ). Quli sono le dimensioni 9 6 9) L superficie totle di un cuo è ( > 0). Un prllelepipedo rettngolo, se qudrt, h ltezz congruente llo spigolo del cuo; il lto dell se è un polinomio m q che h per rdici i numeri 0 e. Qul è l superficie totle del prllelepipedo? E il suo volume? 0) Per qule vlore di m il polinomio ) Si inomio? T( ) 7 m 6 6 m v v è lo sviluppo del qudrto di un 9 =. Determin il vlore di m ffinchè = si uno zero del polinomio. Scomponi in fttori il polinomio ottenuto. ) Si P( ) y = y y y. Determin i vlori di e ffinchè P(0) = e il polinomio i uno zero per y =. Scomponi in fttori il polinomio ottenuto. 7

178 CAPITOLO 8 Le frzioni lgeriche 8. Introduzione lle frzioni lgeriche Nel cpitolo (Tomo, pg. ) imo suddiviso le espressioni lgeriche rzionli in tre gruppi: ) espressioni che contengono solo l operzione di moltipliczione; ) espressioni che contengono le operzioni di moltipliczione e di somm lgeric; ) espressioni che contengono operzioni di moltipliczione, divisione e/o somm lgeric. Le espressioni del tipo ) sono chimte.. ; le espressioni del tipo ) sono chimte. In questo cpitolo ci occuperemo delle espressioni del tipo ). Nei precedenti cpitoli imo imprto d eseguire l divisione fr due polinomi e imo visto che non sempre due polinomi sono tr loro divisiili. Adesso, ricordimo qunto detto per i numeri nturli: se non è divisiile per, il quoziente fr e si indic con e si chim frzione. Considerimo, llor, i polinomi A() = 7 6 e B() = 7 6, il quoziente fr A() e B() è Q() = e il resto dell divisione è R() = 0 6 ( 0); quindi, A() non è divisiile per B(). In nlogi con i simoli usti per i numeri nturli, il quoziente fr A() e B() si indic con e prende il nome di frzione lgeric. Aimo, quindi, l seguente definizione: Se A e B sono due polinomi (B 0), l scrittur A B si chim frzione lgeric. Sempre in nlogi con le frzioni numeriche, A si chim numertore, B si chim denomintore; l line che sepr i due polinomi h il significto di divisione e si chim line di frzione. Poiché i monomi sono considerti polinomi, nche il quoziente fr due monomi è un frzione lgeric; poiché i numeri interi sono prticolri polinomi, nche i numeri rzionli sono frzioni lgeriche. Così come un frzione (numeric) che h per denomintore è un numero intero, un frzione lgeric che h per denomintore è un polinomio; quindi se A indic un polinomio A = A. Possimo, llor, dire che tutti i polinomi sono delle frzioni lgeriche. 7

179 Sppimo che, in un espressione lgeric, le lettere rppresentno dei numeri ed il suo vlore dipende di vlori ttriuiti lle lettere. Ad esempio, l frzione lgeric S(y) = y 6 y ssume il vlore 87 qundo ll letter y sostituimo il vlore 9; ssume, invece, il vlore Qul è il vlore di S(y) qundo y =? qundo ll letter y si ttriuisce il vlore. Se y =, S(y) ssume il vlore che è un frzione numeric priv di significto. 0 E fcile, inoltre, verificre che è l unico vlore per cui S(y) perde significto. E possiile, dunque, ttriuire d y qulsisi vlore purchè esso si diverso d. In generle, è possiile ssegnre lle vriili di un frzione lgeric qulsisi numero purchè esso non nnulli il polinomio l denomintore. Definizione Si chim dominio di un frzione lgeric, e si indic con D, l insieme formto di vlori che, ttriuiti lle lettere, non nnullno il polinomio l denomintore. Il dominio di un frzione lgeric viene chimto nche cmpo di esistenz (indicto con C. E.) oppure insieme di definizione (indicto con I. D.). Il dominio di S(y) è l insieme D = Q {}; oppure, in modo equivlente, C.E.: y. Usre un modo nziché un ltro per indicre i vlori che è possiile ssegnre lle vriili dell frzione dipende dlle frzioni stesse, come puoi osservre negli esempi seguenti. Esempi Determinimo il dominio delle seguenti frzioni lgeriche: ) c ; ) h ; c) k m k 9 ) Deve essere c 0. Or, un prodotto è diverso d zero qundo tutti i suoi fttori sono diversi d zero; quindi: c 0 0 c 0 0 c 0 C.E.: 0 c 0. ) Deve essere h 0. Or, l somm lgeric di due termini è divers d zero qundo i due termini non sono opposti; quindi: h 0 h h D = Q oppure C.E.: h. 7

180 c) Deve essere k 9 0. Il polinomio h grdo complessivo mggiore di ; llor si scompone in fttori: dunque: k 9 = (differenz di qudrti) = (k )(k ). Deve essere, k 9 0 (k )(k ) 0 (k ) 0 (k ) 0 k k PROVA TU k k D = Q, oppure C.E.: k k. Determin il dominio delle seguenti frzioni lgeriche: m ) ; st ) 6 7 ; c c g c) ; g g Per le frzioni lgeriche vlgono le proprietà già viste per le frzioni numeriche. Si h, llor l seguente: Definizione Due frzioni lgeriche Se due frzioni Proprietà invrintiv A B e C D (B 0 D 0) sono equivlenti se A D = C B. A B e C D sono equivlenti si scrive A B = C D. Se si moltiplicno numertore e denomintore di un frzione lgeric per uno stesso polinomio (ovvimente diverso d zero) si ottiene un frzione lgeric equivlente quell dt. Se si dividono numertore e denomintore di un frzione lgeric per uno stesso polinomio (ovvimente diverso d zero) si ottiene un frzione equivlente quell dt. Definizione Un frzione lgeric A B si dice ridott minimi termini qundo il MCD(A, B) =. L proprietà invrintiv viene utilizzt, per esempio, qundo è necessrio ridurre due frzioni lgeriche llo stesso denomintore oppure qundo è necessrio semplificre un frzione lgeric. 7

181 Esempi ) Riducimo le frzioni A = e B = llo stesso denomintore (con l condizione che i denomintori delle due frzioni sino diversi d zero). Il procedimento d seguire è nlogo quello usto per ridurre due frzioni numeriche llo stesso denomintore. Si h, quindi che: il mcm fr i due denomintore è il denomintore comune delle due frzioni; il numertore di ciscun delle nuove frzioni è il prodotto fr il numertore delle vecchie frzioni ed il quoziente fr mcm e vecchio denomintore. Per determinre il mcm doimo scomporre i polinomi in fttori: = ( ) = ( ) = ( )( ) = ( ) Quindi, mcm(, ) = ( )( ). Si ottiene, llor: A = ( ) ( )( ) ; B = ( ) ( )( ) ) Semplifichimo l frzione lgeric 7 6 h 7h 6h h h h. Determinimo, prim di tutto, il dominio dell frzione lgeric; perciò deve essere: h 7h 6h 0 (dopo ver scomposto in fttori) h(h )(h 6) 0 h 0 (h ) 0 (h 6) 0 h 0 h h 6 D = Q {0,, 6}. Doimo determinre il MCD fr il numertore e il denomintore dell frzione; scomponimo, llor, questi polinomi in fttori: h 7h 6h= h(h 7h 6) = h(h )(h 6) h 7h 6h = h(h 7h 6) = h(h )(h 6) Si h, llor: MCD( h 7h 6h, h 7h 6h) = h(h 6). Dividendo numertore e denomintore dell frzione per il MCD ppen determinto, si ottiene: 7 6 h 7h 6h h h h = = h h Osservimo che è stto possiile eseguire l semplificzione perché imo determinto, in precedenz, il dominio dell frzione. 7

182 OSSERVAZIONE Per ridurre un frzione i minimi termini, possimo procedere per semplificzioni successive, cioè dividere numertore e denomintore per un divisore comune e ripetere tle operzione fino qundo numertore e denomintore non hnno come divisore comune il numero. Così, per semplificre l precedente frzione, nziché dividere numertore e denomintore per il loro MCD, si può dividere, prim, per il monomio h e, successivmente, per il inomio h 6, dl momento che essi sono divisori comuni del numertore e del denomintore h h h h h h = h 7h 6h h h 7 6 Prticmente e. simolicmente si h: PROVA TU 7 6 ( )( 6) = ( h )( h6 ) ( )( h6) ( h)( h6) ( )( 6) ( )( h6) h h h h h h = h 7h 6h h h ) Complet, pplicndo l proprietà invrintiv: s... = ( s)( s) ( s)( s )( s 7)... = ( 7)( ) ( )( 7)( ) ) Semplific le seguenti frzioni: y y ; 6 8 ; = h h hg gh h g h = h h 8. Operzioni con le frzioni lgeriche Anche per le operzioni con le frzioni lgeriche continuno vlere proprietà e regole già viste per le frzioni numeriche. Somm lgeric L somm lgeric di due o più frzioni lgeriche venti lo stesso denomintore, di dominio D, è un frzione lgeric che h per denomintore lo stesso denomintore e per numertore l somm lgeric dei numertori. A C AC A C A C In simoli: = oppure = B B B B B B Per determinre l somm lgeric di due o più frzioni lgeriche, entrme di dominio di D, venti denomintori diversi, prim si riducono llo stesso denomintore e, successivmente, si oper come nel cso precedente. 76

183 Esempi Determinimo le seguenti somme lgeriche fr frzioni lgeriche: ) ) ; c c c c ; y 6y y y y y 6 ) Clcolimo. Prim di tutto, determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: 0 D = Q { }. Le due frzioni hnno lo stesso denomintore; l somm delle due frzioni è un frzione che h per numertore l somm di numertori delle due frzioni e per denomintore lo stesso denomintore. Quindi: ( ) = ( ) = = c c Clcolimo. c c Determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto. In questo cso non è semplice indicre il dominio come un sottoinsieme dei numeri rzionli perché nelle frzioni sono presenti più vriili; preferimo, perciò, indicre soltnto l relzione che deve intercorrere fr le vriili ffinchè le frzioni non perdno di significto. Deve essere, quindi: c 0. Le due frzioni hnno lo stesso denomintore; l differenz delle due frzioni è un frzione che h per numertore l differenz dei numertori delle due frzioni e per denomintore lo stesso denomintore. Quindi: c c c c = ( c ) ( c ) c c c = = c c 6. c ) Clcolimo. Determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: (Complet)... D = Q {.,.} 77

184 Riducimo le due frzioni llo stesso denomintore e, dunque, determinimo il mcm fr i polinomi l denomintore di ciscun di esse. Poiché questi polinomi sono irriduciili, si h: mcm (, ) = ( )( ). Quindi: = (per l proprietà invrintiv) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = (per l proprietà invrintiv) = ( )( ) Adesso simo in grdo di eseguire l operzione indict: = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = 6 ( )( ) = ( )( ) y 6y Clcolimo y y y y 6. Per ridurre le frzioni llo stesso denomintore è necessrio determinre il mcm fr i denomintori delle due frzioni; scomponimo tli polinomi in fttori e determinimo il mcm. = y y y ( ) ( )( ) 6= y y y y. ( y y y y ) ( y ) ( y ) mcm, 6 = Determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto ; è sufficiente che il mcm ppen determinto si diverso d zero (perché?); quindi (Complet): ( y ) ( y ) 0 y. y. y. y. D = Q {.,.}. Riducimo le due frzioni llo stesso denomintore: y ( ) y = (per l proprietà invrintiv) = ( y)( y) ( y) ( y) 6y = (per l proprietà invrintiv) = ( 6y )( y ) ( y )( y ) ( y) ( y) Adesso possimo eseguire l operzione indict: y 6y ( y ) ( y)( y) = = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) y y 6y y y y y y ( ) y y y y y 6 0 ( y) ( y) = = y y y y y 6 0 ( y) ( y) ; ( y)( y) ( 6y )( y) ( y) ( y) = y y = ( y ) ( y ).

185 PROVA TU Esegui le operzioni indicte: m m m m m ; z k kz k k z k ) f f f 9 f f ; s t ts s s sts t ) Moltipliczione fr frzioni lgeriche Il prodotto di due frzioni lgeriche, entrme di dominio D, è un frzione lgeric che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori. In simoli: A C A C = B D B D Esempi Clcolimo i seguenti prodotti: ) p 6 p p ) p p 6p 9 ) Determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto. I denomintori delle frzioni lgeriche sono polinomi irriduciili; quindi, deve essere: (Complet) 0 0 D = Adesso possimo clcolre il prodotto: = ( )( ) ( )( ) = 79 6 =. 6 ) Determinimo l insieme D in cui entrme le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: (Complet) p 0 Adesso possimo clcolre il prodotto: p 6p 9 0 p. ( ) 0 p. p.. ( p ) p ( p ) ( p )( p) p 6 p p = (scomponendo in fttori i polinomi riduciili) = p p 6p 9 Osservimo che MCD[ p( p ) ( p );( p )( p ) ] = ( p )( p ) ottenut è riduciile; quindi, pplicndo l proprietà invrintiv si ottiene: ( p ) p ( p ) ( p )( p) p 6 p p = p p 6p 9 e, quindi, l frzione = p p

186 OSSERVAZIONE Nel precedente prodotto vremmo ottenuto lo stesso risultto se, prim di eseguire l moltipliczione, vessimo semplificto in croce le frzioni lgeriche; inftti numertore di un e denomintore dell ltr hnno divisori comuni. ( p ) p( p ) p ( p ) p 6 p p = p p 6p 9 80 p = p E sempre opportuno, come fr i numeri rzionli, prim di eseguire l moltipliczione fr due o più frzioni lgeriche, semplificre le frzioni stesse; inftti: si eseguono moltipliczioni fr un minor numero di polinomi; il prodotto delle frzioni lgeriche (dopo l semplificzione) è un frzione lgeric irriduciile. Potenz di un frzione lgeric L definizione di potenz, con esponente un numero nturle, di un frzione lgeric è nlog quell che è stt dt per l potenz di un numero rzionle e, per determinre tle potenz, si segue il procedimento già visto per le potenze di un numero rzionle; si h, quindi: l potenz di un frzione lgeric è un frzione lgeric che h come numertore l potenz del numertore dell se e come denomintore l potenz del denomintore dell se. In simoli: n A = B ( A) ( B) n n Per le potenze delle frzioni lgeriche vlgono tutte le proprietà già viste per le potenze nell insieme Q. Esempio y Clcolimo l seguente potenz y Determinimo il dominio dell frzione lgeric; deve essere: (Complet) y... y... Possimo, or, clcolre l potenz: ( y ) 8 y 9y = = y y y ( y)

187 PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ) m k ; g ; g ( ) Quoziente fr frzioni lgeriche Continundo l nlogi con i numeri rzionli, si h l seguente Definizione Si chim reciproc o invers di un frzione lgeric A B ( 0) l frzione B A che si ottiene d quell dt scmindo fr loro numertore e denomintore. Osservimo che: l reciproc di un frzione lgeric esiste soltnto se il suo numertore è diverso d zero (perché?); il prodotto fr un frzione lgeric e l su reciproc è ; inftti A B B A =. Come per i numeri rzionli, il quoziente A : C di due frzioni lgeriche è ugule l prodotto fr B E l prim frzione e l reciproc dell second; in simoli: A C : B E = A E B C = A E BC È opportuno ricordre che, ffinchè si possiile determinre il quoziente di due frzioni lgeriche, deve essere B 0 C 0 E 0. Esempi Clcolimo i seguenti quozienti: ) : ; ) m m m m m 8 s s : hs h s ) Prim di tutto determinimo l insieme D in cui è possiile eseguire l divisione; deve essere: m 0 m m D = Q {0,, }. m m m Adesso possimo determinre il quoziente richiesto: m m : m m m = m m m m m = m m m ( ) m m = m m

188 ) Osservimo che lcuni polinomi sono riduciili; llor, prim di determinre le condizioni per le quli è possiile eseguire l divisione indict, scomponimo i polinomi in fttori; si ottiene: s s : = hs h s s s : h s s ( ) Determinimo, desso, le condizioni per poter eseguire l divisione; deve essere: ( ) ( ) ( ) h s 0 s 0 s 0 h 0 s 0 s 0 h 0 s s 0 Possimo, desso, eseguire l divisione: s s s s : = : hs h s - h s s PROVA TU Esegui le seguenti divisioni: ( ) = h( s ) s s = s h ) ) c) : : : Ancor sulle potenze In precedenz imo visto come si determin l potenz di un frzione lgeric qundo l esponente è un numero nturle. Vedimo, desso, come si determin l potenz di un frzione lgeric nel cso in cui l esponente è un intero negtivo. Anche in questo cso, si procede come già visto per le potenze con esponente intero negtivo dei numeri rzionli. Quindi, l potenz con esponente intero negtivo di un frzione lgeric è un potenz che h come se l reciproc dell se e come esponente il vlore ssoluto dell esponente. In simoli, se n > 0: Esempio n n A B = B A t Clcolimo t Come l solito, determinimo il dominio dell frzione lgeric: (Complet) t 0 (perché?) t... t... t... D = Q {.,.}. 8

189 Adesso, clcolimo l potenz: t t = t t = ( t ) t = 8t t 6t. t PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) m k ; ) 7 9 Espressioni con le frzioni lgeriche Per semplificre un espressione contenente frzioni lgeriche si seguono le regole già viste per l semplificzione di un espressione numeric. Esempio: Semplificre l seguente espressione: y y : y y y y y y y Prim di tutto, dovremmo determinre le condizioni per le quli è possiile eseguire tutte le operzioni indicte; è opportuno, tuttvi, nlizzre i denomintori di tutte le frzioni e vedere se lmeno uno di essi è riduciile. In tl cso conviene scomporre tli polinomi in fttori. Anlizzimo, dunque, i denomintori delle frzioni lgeriche presenti nell espressione dt; notimo che l unico polinomio riduciile è il polinomio y, gli ltri denomintori sono polinomi irriduciili ( y è un flso qudrto e, ricord, non si nnull mi qulunque si il vlore ttriuito lle vriili). Dopo ver scomposto y in fttori, si ottiene: y y : = y y y y y y y y y y = y y : ( )( ) y y y y y y Determinimo, desso, le condizioni per le quli è possiile eseguire le operzioni indicte: y y y y y y Continuimo semplificre l espressione; prim doimo determinre l somm lgeric indict nell prentesi tond, possimo nche svolgere l potenz; si ottiene: ( ) = ( ) y y y : = ( y)( y y ) y y y ( y ) 8 ( )

190 = y y y : = (eseguendo l divisione) = ( y)( y y ) y y y ( y ) = = = = = y y y = ( y)( y y ) y y y ( y ) y = (sommimo le frzioni in prentesi) = y( y y ) y y ( y ) ( ) = y y y y y y y y y y ( ) ( y ) ( ) ( y ) ( y y) ( ) ( ) y y y y ( y ) y y y y PROVA TU ( ) ( ) = (rccoglimo fttor comune ) = = (il trinomio l numertore è il qudrto di un inomio) = = y y y ( ). Semplific l espressione u v u v u v u u uv 8. Approfondimenti sulle frzioni lgeriche Nell insieme F delle frzioni lgeriche imo definito le operzioni di somm lgeric e di moltipliczione. Verific, con degli esempi, che l somm fr frzioni lgeriche è un operzione intern; inoltre: gode dell proprietà ssocitiv e commuttiv; mmette elemento neutro; esso è il numero rzionle..; per ogni frzione lgeric esiste il simmetrico; ess è l frzione... Possimo, dunque, dire che l insieme delle frzioni lgeriche, rispetto ll somm, è un.... Verific, nche con degli esempi, che l moltipliczione fr frzioni lgeriche è un operzione intern; inoltre: gode dell proprietà ssocitiv e commuttiv; mmette elemento neutro; esso è l frzione. ; ciscun frzione lgeric ( 0) mmette simmetrico che è l frzione... vle l legge di nnullmento del prodotto. Possimo dire che l insieme delle frzioni lgeriche, rispetto ll moltipliczione, non è un... m se... 8

191 ESERCIZI CAPITOLO 8 Frzioni lgeriche Conoscenz e comprensione ) Che cos si intende per frzione lgeric? ) Che cos è il dominio di un frzione lgeric? ) Come procedi per determinre il dominio di un frzione lgeric? ) Qundo un frzione lgeric si dice ridott i minimi termini? ) Qundo due frzioni lgeriche si dicono equivlenti? 6) Come procedi per trsformre un frzione lgeric in un ltr d ess equivlente? 7) Come procedi per semplificre un frzione lgeric? 8) Verific che, nell insieme delle frzioni lgeriche, l relzione essere equivlenti è un relzione di equivlenz. 9) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) L espressione non è un frzione lgeric. V F ) Un polinomio è un frzione lgeric. V F c) L espressione y non è un frzione lgeric. V F d) Le lettere presenti in un frzione lgeric non possono ssumere il vlore zero.v F e) Un numero rzionle non è un frzione lgeric. V F f) Il dominio di un frzione lgeric è sempre un sottoinsieme proprio di Q. V F g) L differenz fr due frzioni lgeriche è sempre un frzione lgeric. V F h) Il rpporto fr due frzioni lgeriche è sempre un frzione lgeric. V F k k i) L frzione è ridott i minimi termini. k V F c j) L espressione è equivlente c V k) L frzione lgeric 6 8 ssume il vlore zero per =. V F s s s l) L frzione è equivlente ll frzione solo se s. s s s V F 0) Sino A e B due frzioni equivlenti; quli delle seguenti ffermzioni sono vere? ) A B = 0; ) A B = A ; c) A B = B ; d) A (B) = B ; e) A = B 8 F

192 ) Dell frzione lgeric t t si può dire che: t t ) è equivlente ll frzione per qulsisi vlore di t ; t t ) si nnull per un solo vlore di t ; c) ssume il vlore per t = ; d) se t >, è negtiv; e) il suo dominio è l insieme Q. ) Le seguenti proposizioni si riferiscono ll frzione lgeric A(m) = vere o flse: m. Stilisci se sono m ) A(m) perde significto se m = 0. V F m m ) A(m) è equivlente ll frzione. m V F c) A(m) è ridott i minimi termini. V F d) A(m) è sempre positiv. V F e) A(m) ssume il vlore zero se m =. V F f) A(m) è equivlente. V F g) A(m) è sempre non negtiv. V F h) Esiste lmeno un vlore di m per il qule A(m) ssume il vlore. V F i) Esiste un solo vlore di m per il qule A(m) ssume il vlore zero. V F j) A(m) ssume il vlore zero se m =. V F k) A(m) è equivlente m 0. m 6 V F 0 m l) Se m llor =. V F m ) Qule delle seguenti frzioni h per dominio l insieme Q? ) s ; ) ; c) h t ; d) h t 6 ; e) y y v ) Il dominio dell frzione lgeric v 9 è:, ) Q { } ) Q c) Q { } d) Q { } e) Q { 9} 86

193 ) Qule, fr i seguenti polinomi, devi inserire l posto dei puntini in modo che il dominio dell 8 frzione lgeric... ) ) si Q { }? c) d) e) 6 6) Qule, fr i seguenti polinomi, devi inserire l posto dei puntini in modo che l frzione... lgeric si mggiore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere? m h ) h ) h c) m d) m 7m e) 9m m 7) Qule, fr i seguenti polinomi, devi inserire l posto dei puntini in modo che l frzione... lgeric si minore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere? 8 t ) t ) t c) t d) t e) t 8) Qule, fr i seguenti polinomi, devi inserire l posto dei puntini in modo che l frzione 6f 7 lgeric si mggiore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere?... ) f ; ) f ; c) 7 f ; d) f ; e) f v 9) Il dominio dell frzione lgeric è: v 9 ) Q { 9} ) Q { 9} c) Q { } d) { } 0) Per quli vlori di le frzioni ) Q { 0} ; ) { } e Q ; c) sono equivlenti? Q e) Q Q d) Q { } e) Q { ±} Esercizi Determin il dominio delle seguenti frzioni lgeriche: ) z ; g g ; h 7 h ) m m t ; 7t k kt ; y y 6 t t ) ( y )( y ) ; ) u u 8 ( ) u u ; c ) 6ht ht h d d 6 87

194 d 6) d 8 ; s 7 s 8 z 7) z 0z ; p 8) p p ; s t s st6t 9) m 0) 9m h 6; c ; Inserisci l posto dei puntini il polinomio mncnte in modo che le seguenti uguglinze risultino vere: m... 0 f ) = = = f... 6 f... ) ) ) )... 7 mh mh... = = = 9m 9 m m... 9m h 9m mhm 6 t... t 6... = = = t t t t... k k 9... k = = = ks... 8 ks = = = Stilisci quli delle seguenti frzioni lgeriche sono tr loro equivlenti: 8d 6) d 6 ; d d ; 8d d ; 8d ; d 6d 8d 8d d d d 6 7) m m ; m m m m m ; ; ; m m m m 8) y ; 6 y ; y ; y ; y 9) z z ; z z ; z ; z z z ; z 0) h h h h h h h h h ; ; ; 9h h 9h 9h ; 9h ) km ; k m km km kmmkm ; k k ; m m 88

195 Dopo verne determinto il dominio, riscrivi le seguenti frzioni in modo che ino lo stesso denomintore: ) z ; z 6 ; ) c ; c ; 7 6 ) 6vt v t ; t 8vt t v vt t ; ) ; ; 6) 9 6 ; 9 6 7) m m h h h m m hm h ; h 9 h 8) ; ; 9h 6h 6h h h 9h 9h 9) q q q ; 7q q q ; q q 7q 6z 0) 8z ; 8z z ; z z ) 7s s 8 ; s 8 s 6 ; s s s Dopo verne determinto il dominio, semplific le seguenti frzioni lgeriche: ) y ; 6st ; t 0 zv zv ;; s z y ) 9z 7y ; mgh m ; k k y z ; mgh; k ) 6 9ghc ; gh ; 8f m 6 f m gc m h f ; ; ) k s ; ; 6k 6s 6 8 ; ; 6) ; c ; c 0 p 0s p s c ; ; c 89

196 0,8 0,8y 7) ; 0, y 8) 6 gk g gk n n n ; 8hs h s n ; ; d du d n 9k n k n n ( y) g k d u ; ; y k d s ; ; n h k 0,v s 9) 0,v s c c 60) ; c c n 6 n gd d 6) ; d gd z y 6) ; z y c cf 6) ; c cf f 8t t 6) ; 7t t y 6) ; 9 9y f h f h h 66) f h h y 67) ; 7 7y v v 9 68) 6 ; v 9 y y y 69) ; y y y q 6q 70) ; q q 8 s sp p 7) ; s p m m 6 7) ; m mt m t 6 7) ; mt m ( y) z 7) ; y z ; y y 7) ; ; y 0, z ; n y 0,z m mt ; 6m u u n n n n ; y ; y k k k hz h ; zh h 6 y 6y y 8 8 6ks ks 6ks ksks y y y y u u u c c h h ht t n n n s y u ; ; v z mt c; ; 6m h ; ; t z y ; y y y cc ( f) ( k) ; c f k t z ; t h ( ) ; y ( y) y f ; h ( ) ( y ); k( k ) v y ; v y y u ; y y u q ; c c q c ( ) v vz 6z 6v z y y c c c c 9 9 k k k k 6k k 6k k k6 k 0 s p ;( v z ) s p m y ; m m ; m ( c ) k y z; y ; k ( ) 90

197 76) ( k f) g k f g ; 6m 6h m 6mh h k f g; ( m mh h ) m h 77) t t t ; t c c c t c ; t c 78) k 8k ; k k 0 t t t k t ; k 6 t 79) v v ; v v ; 80) ( m s) ( ms) ; m yz y yz y z 6yz s y ; m ( y z ) 8) d c d d c dc ; g g gk k g k d c g ; d c g gk k 8) u 0u ; u u v t vt v t t u ; v t u v t 8) k ss ; k ksk h 7 h 6h 9 k s ; h h k h 9 8) t t t ; t 8 f f 6 f f t t ; f t t f 8) 8z ; z k h hk k h k h z z k h ; z 86) k hkh k k h h ; m 8 m m k h ; m m k h m 87) 6 7 ; 8k 6hk h k7h k 9h hk ; k h 88) ; c c ; c 89) 6 ; u u u u ( )( ) u ; u 90) 6d d ; d d p p 7p 6 p p d ; p d 9) k k k ; k k hk h k h ( k ) k h ; k h k 9

198 Operzioni con le frzioni lgeriche Somm lgeric Eseguire le operzioni indicte: 9) ; ; s t p p ; ; st p s t p h g 9) ; g h ; t t y y h g t y ; ; gh t y 9) 9) v ; v h p ; h p ; 6d d z z z ; ; v d 6z ( v ) ( d ) 7 u z y h p ; ; ; uz u y y hp z y 96) ; s v sv t t ; s v ( ) ; t ; sv 6 97) m k m k m k m m 6m ) c f c f c f c f cf c f cf c 99) ; c c g t gt 00) g t gt g t z z 0) z z z z z q q 0) q 9 q q c ( c ) g t g t z q 9q q 9 0) k k k k k k k [ ] 0) h t h t ht ht h t h t h t h t u u u 0) u u u u uu [ ] u u 06) y 9 z y z yz y y yz z z yz z y [ ] 9

199 07) 08) k k k k k k k k k k k k k vv ( ) v 09) v v v v v ( v) 0) y 8 y 8 y 6y y ) 6t t 6t 6t t 6t 6 y 6t ) ) k k k k k k k k k k ) n n n n n n n n ) 6) h h h h h h h [ ] 9 ( h ) c c c 7) c c c c c c c 8) 9) 0) ) p p p p p p p p p y y y y y y y y y y y 6 6 p p [ 0 ] ( ) ) s k s k s k sk s k ) k k k k k k k k k k k 9 k k

200 Prodotto e divisone fr frzioni lgeriche Esegui le operzioni indicte: ) ) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) 7 y y y 8yz 0 6 9yz c 6c : yz y z y t t t 6 t t t v 9z 6z vz v 6vz 9z s s s s s s s : s : 6 g g g g g g m n mn m mn m m n mn m n mn m n : 9 6 : z c t ( v z) ( z) v v [ ] g g m n 9 6 9d 6d d d 6d d d d ) : ( d ) 6) y : y y : y y y y y y y d y y c c c cf c 6cf 9f c 9cf 7) : c ( c f ) m m m 8) ( m ) :( m m ) [ ] 9) h h 6 h 6 6h h 8 8 h h h 9

201 0) t t : t t t t t ) k 6k k8 k 8k6 8 k k 6k 6 ) ( y ) y 8 : y y y [ ] ) ) ) 6) 7) 8) 9) 7 6 : : 6 6 v v : v v v v k k k 7 k k k : : y y 0 y y y 6 9 : 8 6 y y y y 8 : y y y y y v [ ] v 9 v k k [ ] y y 0 p 7 p : p p p p p p p 0) 7 p ( p p ) p ) c c c c 8 : c c c c c c 8 8 ) : 8 c c ) s t st st t s s t st s t t s s t ts ) : s t s t 8 ) : p p p p p 6 p p 9

202 Potenze di frzioni lgeriche Esempio Dopo verne determinto il dominio, clcolimo le seguenti potenze pplicndo, se possiile, le proprietà delle potenze: ) p p ; ) 9 ) Determinimo il dominio dell frzione lgeric. Il denomintore dell frzione lgeric deve essere diverso d zero; inoltre, poiché uno degli esponenti è negtivo, nche il numertore deve essere diverso d zero. Si h: Il dominio è, llor, l insieme D = { 0, } Clcolimo, desso, l potenz. p 0 p 0 p 0 p Q. Applichimo le proprietà delle potenze; si ottiene: p p = p p 8 = p p 8 p 8 8 = ( p ) 8 ) Determinimo il dominio dell frzione lgeric. Il denomintore deve essere diverso d zero; quindi ( )( ) ( ) ( ) ±. Il dominio è l insieme D = Q ±. Clcolimo, desso, l potenz. Osservimo che si il numertore che il denomintore dell frzione sono polinomi riduciili; il numertore è il qudrto di un inomio, il denomintore è l differenz di due qudrti. Si ottiene: 9 Applichimo le proprietà delle potenze: = ( ) ( )( ) 9 = ( ) ( )( ) = 0 ( ) ( ) ( ) 96

203 97 Dopo verne determinto il dominio, clcol le seguenti potenze pplicndo, se possiile, le proprietà delle potenze: 6) c ; ht z ; y z 7) ( ) h h ; ( ) ( ) ; ( ) y y 8) k m m ; z y ; t t 9) n s n s ; c c ; q mp 60) ; y y ; 6 m n m 6) q p q pq p ; c c 6) g g g g g ( ) 6 g 6) h h h h h ( ) h h 6) z z t t ( ) 6 6 z t 6) ( )( ) y y y ( ) 8 6 y y 66) ( ) c ( ) c 67) ( ) 6 k k k k k k k ( ) 9 k 68) 6 ( )

204 69) 70) ( ) t t t 7 t t 9 t 7t 0 ( ) ( ) 0 ( t ) ( t ) 7) ( z y) z 9z 7z7 z y z ( z )( z y) 7) p q q p p q q p pq p q p q q p 6 6 7) 7) s z ( s z) y y : : s s ( y) y sz z sz z c 7) : c 76) y y : y f h f 6 : f f f f h h f f h s sz z ( s z) ( ) y y y c 6 6 f h ( f ) 6 ( f h) 8 77) p q p q : p ( p pq q )( p q) ( p q) 78) ( ) 79) p y ( y ) ( ) p q pq q q q p q p q q 6 ( ) y 9 ( q) ( p q) 80) 8) c 8 c : c c c c c ( s ) ( s) 7 ( s ) ( s) s : 7 s c 8 ( s ) 7 ( s) 7 8) 6 s t : t s s t t s ( ) s t 98

205 99 Riscrivi le seguenti espressioni come frzioni lgeriche e, se possiile, semplificle: 8) ( ) 8 m k g ; ( ) c 8) ( ) ( ) s s s s 8) ( ) ( ) ( ) z z z 86) ( ) ( ) m g m g m mg g Esercizi di riepilogo Semplific le seguenti espressioni: 87) 6 y t t z y t z y 7 t y 88) uv u v u u v u v u ( )( ) u v u v u 89) ( )( ) 6 90) l m m l l m lm l m l m l m l l m l ml m l 9) ( ) 9 8 9) r r s s s r s r r s s r r s ( ) 6 6s s r 9) : g g g g g g g g g ( ) 8 g g g 9) u u u u u u u u u u u 9) 96) ( ) r r r r r r r r r r r r r

206 00 97) : q pq p q q p q p q p pq q p q p q p q p p q p q 98) ml l m l ml m m l l l l m ( ) l ml 99) ( ) 00) ( ) 0) ( ) : y y y y 0) y y : 0 0) ( ) 0) y y y y y y y y y y y y y ( ) y 0) ) n m n m n mn m m n m n m n m ( )( ) m n mn m n m n 07) 0 6 : m n mn n mn m n mn m n m n m n mn n m m m ( ) ( )( ) n n m m n m n 08) : y y y y y y y y y ( ) y y y 09) : 6 l l l l l l l l l l l 0) 0 9 w w w w w w w w w w w ( ) w w w

207 0 ) fg g f g f f g f g f g fg f g f f : g f f fg g ) v u v u uv u uv u v u v uv u ( ) ( ) u u v u v ) r r r r r r r r r r 7 r r ) ( ) ) d cd d cd d d d cd ( ) ( ) d d 6) s r rs s r rs s r s r s r s r ( ) r s 7) 6 6 : 7 8) rs r s rs r s rs s r r s s r s r s r s r s r s r 0 ( ) r s rs r s 9) p p p p p p p p ( )( ) p p p 0) c c c c c c c c c c c c 6 c c ) : ( )

208 c d c d c cd d ) c d c d cd c c c d d 6d ( c d) ) y 6 y y y 6 6y 8 y y 6y y y y y 6 6y y y y ) e e f e f e f e f f e f e f f e ef e f ef ( e f )( e f ) Quesiti ) L frzione ) ; ) ( 0) è equivlente : c) ; d) 6) Un dimensione di un rettngolo è Determin l re del qudrto isoperimetrico l rettngolo. ( ) e l ltr è i suoi. e) k k 7) Sino F = e G = due frzioni lgeriche. Nel cso in cui le due frzioni k k non perdno di significto, qunto vle l espressione FG? ) ; ) ; c) k k ; d) ; e) k k 8) Sino F = e G = due frzioni lgeriche. k k Nel cso in cui le due frzioni non perdno di significto, per qule vlore di k l espressione G F F G ssume il vlore 9? ) k = ; ) k = ; c) per qulsisi vlore di k ; d) mi; e) nessun delle precedenti risposte è corrett. 9) Determin il perimetro di un qudrto che h il lto congruente ll digonle di un ltro qudrto l cui re è y y 6y 9. 0

209 0) Delle frzioni A = ) hnno lo stesso dominio; ) ssumono lo stesso vlore per = ; e B = c) nel loro dominio, l loro somm è sempre positiv. non è vero che: ) Delle frzioni D = e F = 76 possimo dire che: ) sono equivlenti; ) ssumono lo stesso vlore per = ; c) se non perdono di significto, l loro differenz è zero; d) se non perdono di significto, il loro rpporto è ; e) tutte le predente ffermzioni sono flse. ) Sino, y numeri rzionli con > y > 0. Allor ) y ( y ) y y y y 6 6 ; ) y ( y) ; c) y ( y) ) Se = ( 0), qunto vle è ugule : ; d) ( y ) [M. Goino, Trining Olimpico]? [Olimpidi Mtemtic, 99] n ) Per qunti interi reltivi n si h che è un numero intero divisiile per? n ) ; ) ; c) ; d) 8; e) più di 8 [Olimpidi Mtemtic, 00] ) Trov tutti gli interi n tli che n n 8 si intero. n [Olimpidi Mtemtic] 6) Per qunti vlori dell intero n l espressione n 9 è un intero positivo? n 7 ) Nessuno; ) ; c) ; d) ; e) infiniti 7) Trov tutti gli interi minori di 00 tli che si intero. [M. Goino, Trining Olimpico] 0

210 Indovinello: Un mttone pes un Kg più mezzo mttone. Qunto pes il Risolvimo con le equzioni = mttone? E proprio il cso di dirlo: queste equzioni sono UN MATTONE!!!! 0

211 CAPITOLO 9 EQUAZIONI 9. Uguglinze e identità Spesso, nei cpitoli precedenti, ti è stto chiesto di scrivere con i simoli dell mtemtic lcune frsi. Fccimolo ncor un volt. Considerimo le seguenti proposizioni: ) il rpporto fr il cuo di ed il qudrto di è ; ) il qudrto di 7 è 9; c) il doppio di diminuito di è 8; d) l somm fr il cuo di e il qudrto di non è il triplo di 8; e) il triplo di umentto di è minore del doppio di 7. Riscrivimole con i simoli del linguggio mtemtico: ) ) : = 7 = 9 c) = 8 d) 8 e) < 7 Anlizzimo le proposizioni: nell formlizzzione delle proposizioni ), ), c) è stto usto il simolo = ; nell formlizzzione dell proposizione d) è stto usto il simolo ; nell formlizzzione dell proposizione e) è stto usto il simolo <. Prescindendo dl ftto che sino vere o flse, le proposizioni ), ), c) sono chimte uguglinze, le proposizioni d), e) sono chimte disuguglinze. Possimo, perciò, dire che: Si chim uguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni numeriche, compre il simolo =. Si chim disuguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni numeriche, compre il simolo oppure i simoli >, <,,. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chim uguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere ugule. Si chim disuguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere diverso, essere mggiore, essere minore, essere mggiore o ugule, essere minore o ugule. Fccimo, desso, un semplice gioco. 0

212 Esegui le operzioni indicte: ) Pens un numero. ) Ad esso ggiungi. ) Rddoppi il numero ottenuto. ) Dl nuovo numero sottri 0. ) Dimezz il numero così ottenuto. 6) Sottri, ll ultimo numero ottenuto, il numero che hi pensto ll inizio. Il numero finle è, sicurmente,! Puoi provre fre lo stesso gioco con un tuo mico; ti ccorgeri che, qulunque si il numero inizile, il risultto finle è sempre. Formlizzimo le operzioni eseguite. Poiché non conoscimo il numero pensto, tle numero lo indichimo con un letter dell lfeto. Generlmente, per indicre numeri non noti si us l letter che prende il nome di incognit o vriile. L espressione che trduce le operzioni dl punto ) l punto 6) è l seguente: ( ) 0 : Dl momento che il risultto finle è, possimo scrivere: ( ) 0: = Anche in quest scrittur, fr le due espressioni, è presente il segno = ; è, dunque, un uguglinz. Tuttvi, diversmente dlle precedenti, l espressione che compre prim del segno = è un espressione letterle. Aimo già osservto che il risultto finle è qulunque si il numero inizile; questo vuol dire che l uguglinz è ver qulunque si il vlore ttriuito ll letter. Un ltro esempio. L proposizione pert: Il doppio di un numero diminuito del numero stesso è il numero stesso, scritt con i simoli dell Mtemtic, divent: = Quest proposizione è ver qulunque si il vlore ttriuito ll letter. Inftti, ttriuimo d qulche vlore numerico: se =, si ottiene: ( ) ( ) = 06 = = (V)

213 se =, si ottiene: = 6 = = (V) se =, si ottiene:.. (COMPLETA). Del resto, svolgendo le operzioni nell espressione che precede il segno =, si ottiene: = che è ver per qulsisi vlore di. Un scrittur, te en not, nell qule è presente il segno = fr due espressioni letterli è l seguente: ( ) = Qulunque vlore ttriuimo lle lettere e ess è sempre ver. Inftti, ssegnimo lle lettere e diversi vlori numerici: se = e =, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) = se = e =, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = 6 0 =. Uguglinze di questo tipo prendono il nome di identità. 07 = 9 = ; Si definisce identità un uguglinz fr due espressioni letterli che è verifict qulunque si il vlore ttriuito lle lettere che in ess vi compiono. Le due espressioni che compiono, rispettivmente, sinistr e destr del simolo = vengono chimte primo memro e secondo memro. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si definisce identità un proposizione pert, di dominio D, nell qule il predicto è essere ugule che è ver qulunque si il vlore, pprtenente D, ttriuito lle vriili. 9. Equzioni Per introdurre questo rgomento prtimo d lcuni semplici prolemi: ) Trov un numero nturle che sommto l suo doppio di 8. ) L somm di due numeri interi è. c) Il qudrto di un numero rzionle è 9. Formlizzimo, con i simoli dell Mtemtic, i prolemi proposti. ) Non conoscendo il numero richiesto lo indicheremo con letter e, conseguentemente, il suo doppio srà. Visto che l somm del numero col suo doppio deve dre 8, si ottiene: =8.

214 Inoltre, il numero d trovre deve essere un numero nturle, quindi il dominio dell proposizione è N. L formlizzzione del prolem è, dunque: = 8, N (D = N). ) I due numeri non noti li indichimo, rispettivmente, con le lettere e y; poiché l loro somm deve essere, si ottiene: y =. Dl momento che doimo trovre un coppi di numeri interi, il dominio dell proposizione è Z (Z Z). L formlizzzione del prolem è l seguente: y =, (, y) Z (D = Z ). c) Indicto il numero richiesto con l letter, il suo qudrto srà e, dovendo essere ugule 9, si ottiene: = 9. Il numero richiesto deve essere un numero rzionle, quindi il dominio dell proposizione è Q. L formlizzzione dell proposizione è l seguente: = 9, Q (D = Q). Come puoi notre, nell formlizzzione mtemtic dei prolemi proposti compre il segno = fr due espressioni letterli. Possimo, però, dire che sono delle identità? Esminimole un per un: ) =8 Stilimo per quli vlori di, se esistono, l uguglinz =8 è verifict: = 7 7 = 8 FALSO = 0 = 8 FALSO = 6 6 = 8 VERO Solo se = 6 l scrittur =8 risult ver, per ltri vlori ttriuiti d ess è fls; =8 non è, dunque, un identità. ) y = Stilimo per quli vlori di e di y, se esistono, l uguglinz y = è verifict: = y = = FALSO = y = 6 6 = VERO = y = () = FALSO = y = 7 (7) = VERO Anche in questo cso, per lcuni vlori ttriuiti lle lettere e y, y = è fls e per ltri è ver; y = non è, dunque, un identità. 08

215 c) = 9 Stilimo per quli vlori di, se esistono, l uguglinz = 9 è verifict. Ricorderi che, per le proprietà delle potenze, è sempre non negtivo; quindi = 9 è fls qulunque si il vlore ttriuito ll letter ; = 9, dunque, non è un identità. Simo, dunque, di fronte nuovi tipi uguglinze: per lcuni vlori ttriuti lle lettere risultno vere, per ltri risultno flse o, ncor, mi verificte. Tli uguglinze si chimno equzioni. Si hnno, llor, le seguenti definizioni: Si chim equzione lgeric un uguglinz fr due espressioni lgeriche in un o più vriili. L insieme l qule devono pprtenere le vriili si chim dominio dell equzione. I vlori per i quli l uguglinz risult ver si chimno soluzioni (o rdici) dell equzione; possimo dire che questi vlori verificno o soddisfno l equzione. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chim equzione un proposizione pert in cui il predicto è essere ugule. Il dominio dell proposizione pert è nche il dominio dell equzione. Gli elementi del dominio che rendono ver l proposizione pert si chimno soluzioni (o rdici) dell equzione. Approfondimento Sono equzioni lgeriche quelle equzioni nelle quli compiono le operzioni di somm lgeric, moltipliczione, divisione e estrzione di rdice, cioè equzioni del tipo: ) = ; ) = Il concetto di equzione è, tuttvi, più generle. Ad esempio, nche uguglinze del tipo: c) = 8, d) sen() = 0, e) ln() = sono equzioni. Poiché in esse sono presenti, oltre lle usuli operzioni, ltri simoli (o opertori ) mtemtici non sono equzioni lgeriche e sono chimte equzioni trscendenti. Affronteri questi rgomenti nei prossimi nni. Le equzioni lgeriche nelle quli compiono soltnto le operzioni di somm lgeric, moltipliczione e divisione sono dette equzioni lgeriche rzionli; le equzioni lgeriche nelle quli le vriili compiono sotto il segno di rdice sono dette equzioni irrzionli. 09

216 Sintetizzimo, nello schem seguente, qunto ppen detto. Equzioni rzionli Equzioni lgeriche Equzioni Equzioni irrzionli Equzioni trscendenti Per il momento, prleremo soltnto delle equzioni lgeriche rzionli e le indicheremo con l prol equzioni PROVA TU ) Stilisci se il numero = è soluzione dell equzione ( ) ) Stilisci se il numero = è soluzione dell equzione = 7 SI NO 6 = SI NO ) Stilisci se l coppi (, y) = (,) è soluzione dell equzione y = SI NO Risolvere un equzione signific determinre tutte le sue soluzioni. L insieme formto d tutte le soluzioni prende il nome di insieme soluzione dell equzione e, generlmente, viene indicto con l letter S. Possimo nche dire, con il linguggio dell Logic, che l insieme soluzione di un equzione è l insieme di verità dell proposizione pert. ATTENZIONE Anche in un equzione le due espressioni che compiono rispettivmente sinistr e destr del simolo = vengono chimte primo memro e secondo memro. L identità è un prticolre equzione. Un equzione, di dominio D, è un identità S = D. Soluzioni di un equzione Considerimo le equzioni degli esempi precedenti e determinimo l insieme S delle soluzioni: ) = 8 = 8 = 6. Esiste, dunque, un solo numero nturle che verific l equzione, quindi S = {6}. S è un insieme finito. 0

217 ) y = Aimo già osservto che quest equzione h più di un soluzione. Qunte sono le soluzioni? Osservimo che qulunque si il vlore ssegnto d, esiste sempre un vlore che sostituito d y rende ver l uguglinz. L insieme S, llor, contiene infiniti elementi e, come en si, è opportuno rppresentrlo per crtteristic. Si h, dunque: S = {(, y) Z / y =.} (COMPLETA). c) = 9 Sppimo che non esiste un numero rzionle che verific quest equzione, quindi, in questo cso si h che S =. In se l numero di soluzioni e, conseguentemente, in se l numero di elementi che compongono l insieme soluzione, possimo, llor, clssificre l equzione in tre differenti modi: EQUAZIONE NUMERO DI SOLUZIONI INSIEME SOLUZIONE Determint L uguglinz è verifict per un numero finito di vlori. S = {..., } è un insieme finito Indetermint Impossiile Esempi L uguglinz è verifict per un numero infinito di vlori ttriuiti lle vriili; esistono quindi infinite soluzioni. Non esiste lcun vlore che soddisfi l uguglinz che, di conseguenz, non è mi verifict. Quindi non esiste lcun soluzione. S D e S è un insieme infinito S = S è l insieme vuoto = 8 equzione determint S = {} = 6 identità S = Q y = 0 equzione indetermint S è un insieme infinito = equzione impossiile S = ATTENZIONE Considerimo, ncor, l equzione y =, m quest volt il suo dominio si D = N. Qunte sono le sue soluzioni? Sono ncor infinite? { } E fcile verificre che S ( 0, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(,0) =. L insieme delle soluzioni S è un insieme finito e, quindi, quest equzione è determint.

218 Clssifichimo, desso, le seguenti equzioni in se l numero delle soluzioni: ) = di dominio D = Q ; ) = di dominio D = Z. Cso ): S = ; S è un insieme finito e, dunque, l equzione è determint. Cso ): S = ; S non contiene lcun elemento, quindi l equzione è impossiile. Dgli esempi precedenti, vri notto che, cmindo il dominio, un stess equzione può essere determint o indetermint, e, ncor, determint o impossiile. Allor, prim di clssificre un equzione in se l numero delle sue soluzioni, è necessrio prestre molt ttenzione l dominio dell equzione stess. Se non è esplicitmente indicto, si conviene considerre come dominio di un equzione l insieme più grnde nel qule non perdno di significto le espressioni lgeriche dell equzione stess. PROVA TU ) Un equzione si dice determint qundo mmette: infinite soluzioni nessun soluzione un numero finito di soluzioni ) Un equzione si dice indetermint qundo mmette: infinite soluzioni nessun soluzione un numero finito di soluzioni ) Un equzione si dice impossiile qundo mmette: infinite soluzioni nessun soluzione un numero finito di soluzioni ) L insieme S = {; } è l insieme soluzione di un equzione: impossiile indetermint determint 9. Clssificzione delle equzioni Considerimo le seguenti equzioni: ) 0 8= 7 ; ) = 0; c) y = y d) 6 y = ; e) =. 7 y y Le equzioni ), c), d) non contengono ltre lettere oltre ll vriile ( o y): si dice che sono equzioni numeriche. Nelle equzioni ), e), oltre ll vriile ( o y), è presente un ltr letter: si dice che sono equzioni letterli. Nelle equzioni ), ), c) l vriile non compre mi l denomintore: si dice che sono equzioni intere.

219 Nelle equzioni d), e) l vriile compre l denomintore delle frzioni: si dice che sono equzioni frtte o frzionrie. Si hnno, dunque, le seguenti definizioni: Un equzione si dice numeric se, oltre lle vriili, non contiene ltre lettere. Un equzione si definisce letterle se, oltre ll incognit, contiene nche ltre lettere che prendono il nome di prmetri. Un equzione si dice inter se l incognit non compre l denomintore dell equzione. Un equzione si dice frzionri se l incognit compre in uno o più denomintori. Lo schem seguente rissume le precedenti definizioni: Equzioni intere Equzioni numeriche Equzioni frtte Equzioni Equzioni intere Esempi Equzioni letterli Equzioni frtte Clssifichimo le seguenti equzioni: ) = ; ) = ; c) m = 0. h ) L unic letter () presente nell equzione non compre l denomintore dell frzione; l equzione è, dunque, un equzione numeric inter. ) L unic letter () presente nell equzione compre nche l denomintore dell frzione; l equzione è, dunque, un equzione numeric frtt. c) Nell equzione sono presenti due lettere (m, h). Si possono presentre, llor, tre csi: entrme le lettere sono le vriili dell equzione: oltre queste non sono presenti ltre lettere e un di esse (h) è presente nel denomintore di un frzione; l equzione è un equzione numeric frtt; l letter m è l unic vriile: oltre ll vriile è presente un ltr letter (h), l vriile non compre l denomintore dell frzione; l equzione è un equzione letterle inter; l letter h è l unic vriile: oltre ll vriile è presente un ltr letter (m); l vriile compre nel denomintore dell frzione; l equzione è un equzione letterle frtt.

220 E consuetudine indicre le vriili di un equzione con le lettere, y, z. Esse, tuttvi, possono essere indicte con un qulsisi letter dell lfeto. Qulor nell equzione sino presenti lettere diverse dlle solite o vi si miguità per stilire quli sono le vriili, è opportuno specificre qule o quli lettere sono d considerre vriili. PROVA TU Complet l seguente tell: ) 6 = ) = ) 6 = 6 ) = 6 ) = inter frzionri inter frzionri inter frzionri inter frzionri inter frzionri numeric letterle numeric letterle numeric letterle numeric letterle numeric letterle 6) inter = (vriile ) frzionri 7) inter = (vriile ) frzionri numeric letterle numeric letterle 9. Equzioni equivlenti Determinimo l insieme soluzione S delle seguenti equzioni: ) =0; ) = ; c) 9= 0; d) = 0. ) S = {}; ) S = {}; c) S = {, }; d) S = {}. Osservimo che: gli insiemi soluzione delle equzioni ) e ) sono uguli: le due equzioni si dicono equivlenti; gli insiemi soluzione delle equzioni c) e d), invece, pur vendo un elemento in comune, [esiste, quindi, un vlore di () che le soddisf entrme], sono diversi tr loro: le due equzioni non sono equivlenti.

221 Si h, llor, l seguente definizione: Due equzioni si dicono equivlenti se hnno lo stesso insieme soluzione. ATTENZIONE Esercizio trppol Stilimo se le seguenti equzioni sono equivlenti: ) = ) ( ) 7= ( 9) 7( ) Come procedimo? Indichimo con S e con S, rispettivmente, l insieme soluzione delle equzioni ) e ). Sicurmente simo in grdo di determinre l soluzione dell equzione ): = ed ffermimo, con certezz, che ess è l unic soluzione. Si h, quindi: S = {}. Non ltrettnto si può dire dell equzione ); risult stnz difficile determinre S. Come proseguire, llor? Viene in mente di stilire se = è soluzione dell equzione ), cioè di vedere se il vlore = rende ver l uguglinz. Operndo l sostituzione, si ottiene: ( ) 7 = ( 9 ) 7 ( ) ed, effettundo le operzioni indicte, si h: 6 = 6 VERA! Il vlore = verific l uguglinz e, quindi, è soluzione dell equzione ). Possimo, llor, concludere che le equzioni ) e ), vendo l stess soluzione, sono equivlenti. Ritieni che il procedimento seguito si corretto? SI NO Attenzione, Esistono ltri numeri rzionli che soddisfno l equzione )? Provimo: = 0 ( 0 ) 0 7 0( 0 9 0) 7 0 ( 0) = 0 = 0 VERA! = ( ) 7 ( 9 ) 7 ( ) = = VERA! = ( ) ( ) 7 = ( ) 9 ( ) 7 ( ) ( ) Come possimo osservre, llor, esistono ltri numeri rzionli che soddisfno l equzione ). 8 = 8 VERA!

222 Le equzioni ) e ), dunque, non sono equivlenti. Qul è l errore commesso nel rgionmento seguito in precedenz? Stilendo che soddisf l equzione ) imo solo dimostrto che S, m non imo dimostrto che è l unic soluzione dell equzione ), cioè che è l unico elemento di S. Ricordimo, llor, che: per stilire se due equzioni sono equivlenti non è sufficiente verificre che le soluzioni di un sino nche soluzioni dell ltr; è, inftti, necessrio stilire che gli insiemi soluzione delle due equzioni sino uguli. 9. I principi di equivlenz Considerimo le seguenti equzioni: ) = (D = Q); ) 6 8 = (D = Q) 8 E molto fcile determinre l insieme soluzione dell equzione ); esso è S =. Determinre l insieme soluzione dell equzione ), invece, non è ltrettnto semplice; eppure le due equzioni sono equivlenti (fidti!). Anche l equzione 9 0= 6 (D = Q) è equivlente (fidti!) ll equzione ); sicurmente, però, ess è più semplice dell equzione ). E possiile, llor, trsformre l equzione ) in equzioni d ess equivlenti, vi vi più semplici (fino ll form dell equzione )), in modo d poterne determinre, in mnier rpid, l insieme soluzione S? L rispost è ffermtiv: per operre quest trsformzione st osservre due semplici regole chimte principi di equivlenz. Primo principio di equivlenz Se d entrmi i memri di un equzione (di dominio D) si ggiunge o si sottre uno stesso numero o un stess espressione lgeric (vente lo stesso dominio dell equzione), si ottiene un equzione equivlente ll dt. Secondo principio di equivlenz Se si moltiplicno o si dividono entrmi i memri di un equzione (di dominio D) per uno stesso numero diverso d zero, o per un espressione lgeric che non si nnulli mi e che non perd di significto in D, si ottiene un equzione equivlente quell dt.

223 Il primo principio di equivlenz può essere così schemtizzto: Equzione inizile: memro = memro Equzione equivlente: memro ± numero oppure espressione lgeric = memro ± Il secondo principio di equivlenz può essere, così, schemtizzto: numero oppure espressione lgeric Equzione inizile: memro = memro Equzione equivlente: memro o : numero oppure espressione lgeric 0 = memro o : numero oppure espressione lgeric 0 I principi di equivlenz sono conseguenz delle seguenti proprietà delle uguglinze numeriche:,, c Q : = c = c;,, c Q : = c = c., Q, c Q {0} : = ATTENZIONE =. c c Perché il numero o l espressione lgeric per cui dividimo entrmi i memri dell equzione deve essere divers d zero? L divisione per zero non è definit. Perché il numero per cui moltiplichimo entrmi i memri dell equzione deve essere diverso d zero? Osserv i due esempi seguenti. L uguglinz = è sicurmente fls. Se moltiplichimo entrmi i memri per zero ottenimo 0 = 0 e l uguglinz d fls si trsform in ver. Cos impossiile! L equzione = è soddisftt per = ; quindi S = {}. Se moltiplichimo entrmi i memri per zero ottenimo 0 = 0 0= 0che è un identità; quindi S = Q. E evidente che le due equzioni non sono equivlenti. Un equzione determint si è trsformt in un identità! 7

224 Perché l espressione lgeric per l qule moltiplichimo entrmi i memri dell equzione deve essere sempre divers d zero? Considerimo l equzione = 0 che è soddisftt per = ; quindi S = {}. Moltiplichimo mo i memri dell equzione per l espressione lgeric che ssume il vlore zero per = ; si ottiene: ( ) = ( ) (per il principio di equivlenz) ( ) ( ) 0 (rccoglimento fttor comune) ( )( ) del prodotto) 0= 0 = 0 = =. L insieme soluzione è, dunque, S = {, }. 0 = 0 0 = 0 (per l legge di nnullmento I due insiemi soluzione sono diversi. Le due equzioni, dunque, non sono equivlenti. 9.6 Form normle e grdo di un equzione Un equzione si dice ridott form normle qundo il primo memro è un polinomio (ovvimente ridotto form normle) e il secondo memro è 0 (zero); cioè è del tipo P = 0 (dove l letter P indic in polinomio). Esempi L equzione y = 0 è ridott form normle, perché è del tipo P(, y) = 0. L equzione = 0 non è ridott form normle, perché il primo memro 7 dell equzione non è un polinomio. L equzione y = non è ridott form normle, perché il secondo memro dell equzione è diverso d zero. Ridurre form normle un equzione signific trsformrl in un d ess equivlente del tipo P = 0 (dove l letter P indic un polinomio). Per ridurre un equzione form normle, si pplicno i principi di equivlenz. Esempi Riducimo form normle le seguenti equzioni: ) y = ; ) equivlenz ed ggiungimo d entrmi i memri dell equzione il numero ; si ottiene: 8 t ( ) t = D= Q { 0} t ) Poiché il secondo memro dell equzione deve essere zero; pplichimo il primo principio di

225 y = y = 0 L equzione così ottenut, equivlente quell dt, è ridott form normle. ) Applichimo il secondo principio di equivlenz e moltiplichimo per t (sicurmente 0) mo i memri dell equzione; si ottiene: ( ) t t t = t t t t =. Applichimo il primo principio di equivlenz e ggiungimo d mo i memri dell equzione ottenut; si h: t t = t t =. 0 L equzione così ottenut, equivlente quell dt, è ridott form normle. Si chim grdo di un equzione, ridott form normle, il grdo (complessivo) del polinomio che compre l primo memro dell equzione. ATTENZIONE Se l equzione h un sol incognit, per determinrne il grdo non è necessrio ridurl form normle, m, dopo verl trsformt in un equzione inter d ess equivlente, il suo grdo è ugule l mssimo esponente dell incognit. Esempi L equzione grdo. L equzione = 0 h grdo perché il polinomio l primo memro dell equzione h y y = 0 (vriili, y) h grdo perché il polinomio l primo memro dell equzione h grdo. Per determinre il grdo dell equzione equzione inter d ess equivlente. t = è necessrio, prim, trsformrl in un t 7 Applichimo, dunque, il secondo principio di equivlenz e moltiplichimo mo i memri dell equzione per t : ( ) t t = t t 7 t t =. 7 Il mssimo esponente dell incognit è, quindi l equzione dt h grdo. 9

226 PROVA TU ) Le seguenti equzioni sono ridotte form normle? ) = SI NO 0 ) y = y SI NO c) = 0 SI NO ) Riduci form normle le seguenti equzioni: ) = ) z = ) Determin il grdo delle seguenti equzioni: ) = 0; ) 0 z z = ; c) y = 0 (vriili, y). 9.7 Conseguenze dei principi di equivlenz Vedimo, con lcuni esempi, come il primo principio di equivlenz ci consente di risolvere un equzione: ESEMPIO Equzione inizile: = Applichimo primo principio Aggiungimo i due memri = (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = 7 Applichimo primo principio Sottrimo i due memri = 7 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = 7 L soluzione dell equzione è = 7, quindi S = {7}. L equzione è determint. ESEMPIO Equzione inizile: 7= 7 Applichimo primo principio Sottrimo 7 i due memri 77= 7 7 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. Anche quest equzione è determint. Applicre il primo principio di equivlenz d ogni termine dell equzione può rendere lunghissimo il processo di trsformzione delle equzioni; sono stte dedotte, llor, delle regole che consentono di velocizzre tle processo. 0

227 Osservimo ttentmente i pssggi dell esempio : il numero è scomprso dl primo memro e comprso l secondo così come l espressione lgeric è scomprs dl secondo memro e comprs l primo: = e = 7 M fccimo ene ttenzione i segni: l primo memro c è e l secondo ; l secondo memro c è e l primo. Possimo quindi ffermre che qundo si elimin un termine d un memro, utilizzndo il primo principio di equivlenz, esso compre nell ltro con il segno cmito. Si h, llor, l seguente regol (dett regol del trsporto): Regol del trsporto In un equzione, se si trsportno dei termini d un memro ll ltro, cmindo loro il segno, si ottiene un equzione equivlente quell dt. = = = 7 Osservimo, desso, il pssggio dell esempio : si può notre che nel testo il numero 7 compre in entrmi i memri e dopo l ppliczione del primo principio esso è scomprso d entrmi i memri : 7 7 = 7 7. Possimo quindi ffermre che il numero 7 è stto semplificto e formulre l seguente regol, dett regol dell cncellzione: Regol dell cncellzione o di eliminzione di termini uguli In un equzione, se si semplificno termini uguli che si trovno in entrmi i memri dell equzione, si ottiene un equzione equivlente quell dt. 7 = 7 = Applicndo il primo principio fremo in modo d vere solo il termine con l incognit l primo memro e solo il termine noto l secondo.

228 ATTENZIONE Ricord che le espressioni lgeriche che utilizzimo nell ppliczione del primo principio non devono ggiungere condizioni di esistenz ll equzione stess restringendone il dominio. Se, dopo ver pplicto il primo principio di equivlenz, il termine con l incognit h un coefficiente diverso d, come possimo procedere per determinre il vlore di che soddisf l equzione? Utilizzimo, tl fine, il secondo principio di equivlenz. Vedimo, con lcuni esempi, come il secondo principio di equivlenz ci iut risolvere un equzione: ESEMPIO Equzione inizile: = 9 Applichimo primo principio Trsportimo e = 9 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente L soluzione dell equzione è = 6, quindi S = { 6 }. L equzione è determint. = 6 = = 6 Come per il primo principio, nche dl secondo posso dedurre delle regole che ci permettono di risolvere un equzione. Scoprimole con ltri esempi: ESEMPIO Equzione inizile: 8= 7 Applichimo primo principio Trsportimo e 8 = 7 8 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = Applichimo secondo principio Moltiplichimo tutto per ( ) =( ) (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è determint. Possimo, pertnto, ffermre che per cmire il segno tutti i termini di un equzione doimo pplicre il secondo principio di equivlenz, moltiplicndo per tutti i suoi termini. Possimo quindi formulre l seguente regol (regol del cmimento di segno): Cmimento di segno In un equzione, se si cmino i segni di tutti i termini di entrmi i memri, si ottiene un equzione equivlente quell dt.

229 Ecco un ltro esempio: ESEMPIO Equzione inizile: 0 = Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri dell equzione per ( ) = ( ) 0 : : (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = Applichimo primo principio Trsportimo e = (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è determint. Aimo potuto pplicre il secondo principio e dividere entrmi i memri per perché tutti i termini presentvno come fttore comune. Possimo, llor, formulre l seguente regol: Semplificzione di fttori comuni Se si dividono tutti i termini dei due memri di un equzione per uno stesso fttore comune si ottiene un equzione equivlente ll dt. Finor imo nlizzto esempi reltivi equzioni con coefficienti interi, m come doimo comportrci in presenz di frzioni numeriche? Nuovmente ci iut il secondo principio di equivlenz. Vedimo come: ESEMPIO 6 Riducimo tutte le frzioni llo stesso denomintore Applichimo secondo principio Equzione inizile: m.c.m. (6; ; ) = Moltiplichimo entrmi i memri per il denomintore comune Semplifico il Equzione equivlente = 6 ( ) 6 = ( ) 6 = ( ) 6 = (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente 0= 9 Applichimo primo principio Trsportimo 9, e 0 9= 0 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente 7 = 8 Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè per 7 (svolgimo i clcoli ) Equzione equivlente 7 8 = = 7 7 =

230 L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è determint. Dopo ver ridotto entrmi i memri llo stesso denomintore, imo pplicto il secondo principio ed eliminto tle denomintore. Possimo, quindi, formulre l seguente regol: Eliminzione dei denomintori Se si moltiplicno entrmi i memri di un equzione coefficienti frzionri per uno stesso numero opportuno (denomintore comune) si ottiene un equzione equivlente ll dt con coefficienti interi. PROVA TU Nelle seguenti equzioni indic il principio di equivlenz utilizzto: ) y 8= 0 y = 8 principio di equivlenz ) 6 = 6 = principio di equivlenz c) m= m m= m principio di equivlenz d) 7 = = principio di equivlenz 7 Indic se le seguenti coppie di equzioni sono equivlenti: ) = = SI NO ) = = SI NO c) = 6 = 0 SI NO d) = 0 = SI NO Determin l insieme soluzione S delle seguenti equzioni come negli esempi precedenti: ) 6 = ) t t = 9.8 Equzioni di primo grdo in un incognit Le considerzioni fin qui svolte sono di crttere generle e vlgono per qulsisi tipo di equzione. D questo punto in poi, tuttvi, ci occupimo soltnto di equzioni di primo grdo in un incognit. Se pplichimo i principi di equivlenz possimo sempre trsformre un equzione di primo grdo inter in un, d ess equivlente, che i un solo termine contenente l vriile l primo memro ed un solo termine noto l secondo memro.

231 Così, se indic l vriile, l equzione trsformt vrà l form = (, Z). Un equzione di primo grdo in un incognit si dice ridott form normle nche qundo si present nell form =. Un equzione di primo grdo è dett equzione linere. Un volt che l equzione (di primo grdo in un incognit) è stt ridott form normle, è fcile stilire se ess è determint, indetermint o impossiile. Riprendimo l tell vist in precedenz ed ggiungimo l form normle nei tre diversi csi. TIPO DI EQUAZIONE NUMERO DI SOLUZIONI FORMA NORMALE INSIEME SOLUZIONE Determint L uguglinz è verifict per un numero finito di vlori. = 0 = S = è un insieme finito Indetermint (Identità) L uguglinz è verifict per ogni vlore ttriuito ll incognit; esistono, quindi, infinite soluzioni. L equzione è un identità. = = 0 = 0 0 = 0 (sempre ver) S = Q è un insieme infinito Impossiile Non esiste lcun vlore che soddisfi l uguglinz che, di conseguenz, non è mi verifict. Quindi non esiste nessun soluzione. = = = (sempre fls) S = è l insieme vuoto Esempi: ) = determint, ) 0 = 0 indetermint, c) 0 = 7 impossiile PROVA TU Stilisci se le seguenti equzioni sono determinte, indeterminte o impossiili: ) 6= 6.. ) = 7.. c) 6= 6.. d) = ( ).. e) =..

232 Vedimo or di schemtizzre i pssggi necessri per risolvere un equzione linere: Equzione inizile NO Equzione con coefficienti SI Riducimo llo stesso denomintore entrmi i memri Applichimo principio e semplifichimo denomintore comune Sviluppimo i clcoli indicti Applichimo principio e trsportimo termini in l primo memro, termini noti l secondo Riducimo form normle 0 = ( 0) Equzione impossiile = ( 0) Equzione determint 0 = 0 Equzione indetermint S = S = S = Q 6

233 Nel cso di un equzione determint, per verificre l correttezz dell soluzione, è sufficiente controllre che, dopo ver sostituito l soluzione trovt ll incognit, l equzione si trsform in un uguglinz ver. Esempio Risolvimo in Q l seguente equzione e verifichimo l correttezz dell soluzione ottenut: Equzione inizile Riducimo llo stesso denomintore Semplifichimo il denomintore ( principio) = 6 ( ) ( ) ( ) 6 = ( ) 6 ( ) ( ) = Sviluppimo i clcoli = 9 Trsportimo i termini ( principio) 6 = Riducimo i termini simili e vluto l form normle Equzione determint: divido per ( principio) = = Scrivimo soluzione e insieme soluzione = S = { } Verifichimo or l correttezz dell soluzione sostituendo d. ( ) ( ) ( ) 0 = = = = 6 6 L ultim uguglinz ottenut è ver; l soluzione trovt, dunque, è corrett. PROVA TU Risolvi in Q le seguenti equzioni e, ove possiile, verific l correttezz dell soluzione ottenut: ) ( ) = ( ) S = { } ) ( ) = ( )( ) 0 S = { 0} ) = ( )( ) ) S = Q 8 7 = S = ) = 6 7 S = { 60}

234 9.9 Equzioni frzionrie (o frtte) Finor imo risolto solo equzioni numeriche intere, or vedimo come procedere per determinre le soluzioni di equzioni numeriche frzionrie. ATTENZIONE Ricord: equzione frzionri non signific che i coefficienti sono frzioni m che l incognit compre l denomintore. Ad esempio le seguenti equzioni sono equzioni frzionrie 8 = = ; ; non è, invece, un equzione frzionri l equzione = Alcuni dei termini delle equzioni frzionrie sono frzioni lgeriche e, quindi, tli termini perdono significto per i vlori che nnullno i denomintori. E, dunque, necessrio, prim di eseguire qulsisi trsformzione dell equzione dt, determinre le condizioni di esistenz (C.E.) delle frzioni lgeriche che vi compiono e, quindi, quello che viene chimto dominio D dell equzione. Si chim dominio D di un equzione frzionri l insieme formto d quei vlori per i quli tutti i termini dell equzione non perdono di significto. Il vlore d ssegnre ll incognit, ffinchè poss essere considerto soluzione dell equzione frzionri, deve pprtenere l dominio dell equzione. Con prticolre riferimento lle equzioni frzionrie, è importnte ricordre che: in un equzione l insieme soluzione S dell equzione è un sottoinsieme del dominio dell equzione stess. In simoli S D. Dl momento che sppimo risolvere equzioni numeriche intere, per risolvere un equzione frzionri doimo, prim di tutto, trsformrl in un equzione numeric inter d ess equivlente e, successivmente, pplicre il procedimento visto nel prgrfo precedente. Quli sono i pssggi che permettono quest trsformzione? Determinimo il minimo comune multiplo fr i polinomi che compiono l denomintore delle frzioni lgeriche presenti nell equzione: esso srà il loro denomintore comune. Riducimo tutte le frzioni lgeriche llo stesso denomintore. 8

235 Determinimo il dominio dell equzione imponendo che ciscun fttore non numerico del m.c.m. si diverso d zero. Applichimo il principio di equivlenz: moltiplichimo mo i memri dell equzione per il loro denomintore comune e semplifichimo il denomintore. A questo punto l equzione è inter e simo in grdo di trovrne l soluzione. Tuttvi, possimo essere sicuri che l soluzione dell equzione numeric inter ottenut si nche soluzione dell equzione frzionri inizilmente ssegnt? Se l equzione inter ottenut è determint, doimo stilire se l su soluzione pprtiene l dominio dell equzione; se vi pprtiene, ess è nche soluzione dell equzione frzionri; se, invece, non vi pprtiene, l equzione è impossiile. ATTENZIONE Se l equzione frzionri è indetermint, l insieme soluzione non è Q ensì il dominio D dell equzione perchè vnno esclusi i vlori che nnullno i denomintori. Esempi Esempio Equzione inizile = Scomponimo in fttori = i denomintori ( ) ( )( ) ( ) = ( )( ) ( )( ) Determinimo il m.c.m. e riducimo llo stesso denomintore Determinimo dominio il Scrivimo il dominio D D = Q { ; 0;} Applichimo principio e semplifichimo il denomintore Riducimo form normle Vlutimo ccettilità soluzione ( )( ( ) ) = ( )( ) ( )( ) 9 = = = = D? Sì, perché i vlori che D sono ; 0; Insieme soluzione S= { } ( )( )

236 Esempio t t Equzione inizile = t t t Scomponimo in fttori t t = i denomintori ( t )( t ) t ( t )( t ) Determinimo il m.c.m. e riducimo llo stesso denomintore Determinimo dominio il t t 8 t t t 8 t t = = t t t t t t t t t t t t ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) t t t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t t Scrivimo il dominio D D = Q { ;0; } Applichimo principio e semplifichimo il denomintore Riducimo form normle e determinimo t Vlutimo ccettilità dell soluzione Insieme soluzione t t ( )( t ) t 8 t( t )( t ) t( t )( t ) = = t 8 t t t t ( )( t ) t t t = 8 t = D? No, perché è uno dei vlori esclusi dl dominio S = Esempio Equzione inizile ( ) Riducimo llo stesso denomintore Determinimo il dominio ( ) ( ) = = = = 0 Scrivimo il dominio D D= Q { } Applichimo principio e semplifichimo il denomintore Riducimo form normle Insieme soluzione ( ) = ( ) ( ) ( ) = 0 = 0 S = D 0

237 Vedimo or di schemtizzre i pssggi necessri per risolvere un equzione frzionri: Equzione inizile Scomponimo i denomintori Determinimo il m.c.m. Riducimo llo stesso denomintore entrmi i memri Ponimo ciscun fttore (non numerico) 0 Determinimo il dominio D Applichimo il principio e semplifichimo i denomintori Riducimo form normle 0 = = 0 = 0 0 ( 0) ( ) Equzione impossiile = Equzione indetermint S = NO D? S = D SI S = SI

238 PROVA TU Risolvi in Q le seguenti equzioni: ) 8 = S = Q { } ) = S = ) 6 = 8 S = 9.0 Equzioni letterli Come imo già osservto, un equzione si dice letterle se in ess compiono, oltre ll incognit, ltre lettere. I coefficienti e il termine noto vrino, quindi, second dei vlori ssunti d tli lettere quindi dovremo individure per quli di questi vlori l equzione srà determint, indetermint o impossiile. Vedimo, desso, con lcuni esempi, come si procede per determinre l soluzione di equzioni letterli intere. Esempi Equzione inizile (ridott form normle) Determinimo i vlori di che non nnullno il coefficiente di y Sostituimo d il vlore per il qule si nnull il coefficiente di y Soluzione dell equzione Esempio ( ) y= 6 ( Q ) 0 0y = 6 0y = Se Q { } DISCUSSIONE Se, pplichimo il principio di equivlenz: 6 6 y = S = (Equzione determint) = S = (equzione impossiile) 6 S = Se { } ( = ) S =

239 Esempio Equzione inizile (ridott form normle) il coefficiente di non dipende dll letter Soluzione dell equzione = DISCUSSIONE Applichimo il principio di equivlenz: = Q Q, S = (equzione determint) S = Esempio Equzione inizile (ridott form normle) k 9 k = k ( k ) ( k Q ) Condizione sul denomintore k 0 k Determinimo i vlori di k che non nnullno il coefficiente di ( k k) k( k ) 0 0 k 0 k DISCUSSIONE Se k = l equzione perde significto Se k 0 k l equzione è determint. Applichimo il principio di equivlenz: ( k ) = k k( k ) = S = k( k ) k( k ) Sostituimo k i vlori per i quli si nnull il coefficiente di k = 0 0 = 0 = k = 0 = 0 = 0 0 k = 0 S = equzione impossiile k = S = Q equzione indetermint Soluzione dell equzione k Q {,0,} S = k( k ) k = Equzione perde significto { } ( k ) { 0} ( k 0) k = S = { } ( k ) k = S = Q

240 Esempio Equzione inizile m( m ) = ( ), ( m Q ) DISCUSSIONE Riducimo form normle Determinimo i vlori di m che non nnullno il coefficiente di m m= m = m (operimo il rccoglimento fttor comune) m = m ( ) ( )( ) m m m 0 0 m 0 m 0 m m Sostituimo d m i vlori m= 0= 0= per i quli si nnull il coefficiente di m= 0= 0 =0 Soluzione dell equzione se m Q {, } Se m ±, pplichimo il principio di equivlenz: m = ( m ) ( m ) m (equzione determint) se m = S = (equzione impossiile) se m= S = Q (equzione indetermint) S = m se m { } (m = ) S = se m { } (m = ) S = Q Esempio Equzione inizile (ridott form normle) Determinimo l relzione fr h e k per l qule non si nnull il coefficiente di y Sostituimo d h (k) il vlore per il qule si nnull il coefficiente di y Soluzione dell equzione ( ) k h y = 7h k (vriile y) DISCUSSIONE kh 0 h k h se h k k, pplichimo il o, in mnier equivlente, principio di equivlenz: h 7h k kh 0 k y = k h (equzione determint) se h= k k 0 S= (equzione impossiile) h= k 0y = k se h= k k = 0 k = 0 h= 0 0 y = 0 S= Q (equzione indetermint) 7h k se h k S = k h h= k k 0 S = k = 0 h= 0 S = Q

241 Il procedimento seguito per risolvere le precedenti equzioni letterli prende il nome di discussione dell equzione. Tle procedimento può essere, così, sintetizzto (ovvimente, se è l vriile dell equzione): se necessrio determinimo le C.E. rispetto l prmetro; l equzione perde significto per i vlori del prmetro che nnullno i denomintori; riducimo l equzione in form normle = ; vlutimo i vlori del coefficiente di, cioè, e del termine noto ; l equzione è determint per i vlori che rendono il coefficiente 0 (indipendentemente di vlori che può ssumere ); l equzione è impossiile per quei vlori che rendono il coefficiente = 0 e 0; l equzione è indetermint per quei vlori per i quli = 0 e = 0. ATTENZIONE Risolvere un equzione letterle non signific stilire qule si l insieme soluzione soltnto nel cso in cui ess risulti determint, m vuol dire determinrne l insieme soluzione nlizzndo tutti i possiili vlori ttriuiili lle lettere che in ess compiono. PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: m t = m ) ( ) k k k = k ) ( ) ) ( ) y = Le equzioni che imo imprto risolvere negli esempi precedenti sono equzioni letterli intere; m, come si procede per risolvere un equzione letterle frzionri? In questo cso ll nostr discussione doimo ggiungere ulteriori considerzioni. Inftti un volt trovt l soluzione, nel cso di equzione determint, dovrò escludere i vlori del prmetro che rendono tle soluzione ugule i vlori che non pprtengono l dominio dell equzione.

242 Esempio Risolvimo l equzione = k Equzione inizile Determinimo il m.c.m. e riducimo llo stesso denomintore Determinimo dominio il Applichimo principio e semplifichimo il denomintore Riducimo form normle Determinimo i vlori di k che non nnullno il coefficiente di Stilimo i vlori di k per i quli D ( = 0, = ) Sostituimo k il vlore per il qule si nnull il coefficiente di Soluzione dell equzione ( ) ( ) k = DISCUSSIONE ( ) ( ) ( ) ( ) k k = = ( ) { } 0 D= Q ;0 ( ) k = ( ) ( ) ( ) = k ( ) k= k = k 0 k = 0 k k = = k k = k k = 0 = k Q {, } {, } ( ) se k, pplichimo il principio di equivlenz: = = k k (l equzione può essere determint) se k =, S = (equzione impossiile) se k k = k (equzione determint) Se k = S = (equzione impossiile) S = k k k = k = S = PROVA TU Risolvi l seguente equzione: k k = 6

243 9. Equzioni in un incognit di grdo superiore l primo Considerimo le seguenti equzioni, già ridotte form normle: ) t = 0; ) y y = 0; c) = 0 E evidente che esse sono equzioni numeriche intere, m non di primo grdo; il loro grdo è mggiore di uno. Sremo, llor, in grdo, di risolverle? Ci provimo! Poiché sppimo risolvere soltnto equzioni di primo grdo, ncor un volt doimo cercre di operre delle trsformzioni in modo tle che, dlle equzioni ssegnte, ci si poss ricondurre d equzioni di primo grdo. L prim cos d fre è quell di riscrivere i polinomi primo memro dell equzione in modo che in essi compino polinomi di primo grdo; quest operzione l possimo fre medinte l scomposizione in fttori. Esminimo, llor, le equzioni un ll volt: ) 0 t = (scomponimo in fttori) ( t ) ( t )( t ) = 0 = 0. ) Il primo memro dell equzione ottenut è il prodotto di più fttori; doimo, llor, determinre i vlori di t che nnullno questo prodotto. Applichimo l legge di nnullmento del prodotto: ( t )( t ) = 0 t = 0 t = 0 Aimo, così, ottenuto due equzioni di primo grdo che simo in grdo di risolvere; si ottiene: t = 0 t = 0 t = t = L ultim proposizione pert ottenut è un proposizione molecolre con l operzione di disgiunzione inclusiv; ricordimo, llor, che ll operzione vel tr proposizioni perte corrisponde l operzione di unione fr i rispettivi insiemi di verità. L insieme soluzione dell equzione è, dunque, dto dll unione dei due insiemi soluzione delle equzioni di primo grdo; quindi, S = {,}. y y = 0 (scomponimo in fttori) ( y)( y ) = 0. Il primo memro dell equzione così ottenut è il prodotto di due fttori; doimo, llor, determinre quei vlori che nnullno tle prodotto. Applichimo, dunque l legge di nnullmento del prodotto: ( y )( y ) = 0 y = 0 y = 0 Risolvimo le equzioni di primo grdo ottenute: y = 0 y = 0 y= y= 7

244 Ricordndo qunto osservto nell esempio ), si h che l insieme soluzione dell equzione è dto dll unione dei due insiemi soluzione delle equzioni di primo grdo; quindi, S = {,}. c) = 0 [scomponimo in fttori (rccoglimento przile o usndo il teorem del resto)] ( )( ) = 0. Il primo memro dell equzione ottenut è il prodotto di due polinomi; di questi solo uno è di primo grdo. Applicndo l legge di nnullmento del prodotto, si ottiene: ( )( ) Risolvimo le equzioni di primo grdo ottenute: = 0 = ; = 0 = 0 = 0. = 0 [il primo memro è l somm fr un termine non negtivo ( 0) ed uno positivo] S =. Ricordndo qunto osservto nell esempio ), si h che l insieme soluzione dell equzione è dto dll unione dei due insiemi soluzione delle equzioni; quindi, S = { }. PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: ) 0= 0; ) z 7z 8= 0; c) = 0 ATTENZIONE Aimo già visto che per determinre l insieme soluzione di lcune equzioni non è necessrio pplicre procedimenti generli, m è sufficiente porre mggiore ttenzione e riflettere sull form dell equzione stess. Esempi ) Qul è l insieme soluzione dell equzione =? E un equzione numeric inter di qurto grdo e non conoscimo procedimenti o regole che consentno di risolvere equzioni di questo tipo. Osservimo, tuttvi, il primo ed il secondo memro dell equzione: primo memro: indic l somm di due termini non negtivi, quindi sicurmente è sempre non negtivo; 8

245 secondo memro: è un numero negtivo. E ovvio, questo punto, che un numero non negtivo non poss essere mi ugule d un numero negtivo. L equzione, dunque, è impossiile e, quindi, S =. ) Qul è l insieme soluzione dell equzione z y 7 0 =? Anche quest equzione è un equzione numeric inter di secondo grdo, m h due vriili (, y); fino d or non imo mi incontrto equzioni di questo tipo. Ancor un volt gurdimo con molt ttenzione il primo ed il secondo memro dell equzione: primo memro: z y indic l somm di tre termini dei quli due ( z e sicurmente non negtivi ed il terzo (7) mggiore di zero; tle somm, perciò, è positiv qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili; secondo memro: 0. E ovvio che un numero positivo non potrà mi essere ugule zero. Non esiste, dunque, lcun coppi di numeri rzionli che rende ver l uguglinz. L equzione è impossiile e, quindi, S =. c) Risolvimo l equzione = 0. L equzione propost non è riconduciile d lcun delle equzioni che imo imprto risolvere in questo cpitolo; in ess è presente il simolo di vlore ssoluto di un numero. se 0 Ricordimo che = 0, Q se < 0 Il termine è, quindi, non negtivo. Ancor un volt, osservimo ttentmente mo i memri dell equzione: primo memro: indic l somm di un termine non negtivo ( ) e di un termine positivo (); tle somm, perciò, è positiv qulunque si il vlore ttriuito ll vriile; secondo memro: 0. Come negli esempi precedenti, un numero positivo non potrà mi essere ugule zero. L equzione, dunque, è impossiile e, quindi, S =. Consiglio Per determinre l insieme soluzione di un equzione, tlvolt, non è sempre necessrio pplicre regole e procedimenti generli, tlvolt st osservre con molt ttenzione l su form. y ) 9

246 PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: ) = 0; ) y 9= 0; c) = 0 9. Equzioni e prolemi In molti miti, non solo in quello mtemtico, possimo trovre dei prolemi che si risolvono fcilmente con l uso delle equzioni: in questi csi si costruisce il modello mtemtico del prolem. Anche per l costruzione del modello mtemtico possimo seguire un semplice schem: Cos mi chiede il prolem?. Individure l richiest del prolem Qule quntità posso indicre con?. Scegliere l incognit (richiest) Quli vlori può ssumere?. Porre condizioni ccettilità o dominio del prolem Quli elementi dipendono d?. Scrivere ltri elementi in funzione di Qule relzione mi consente di trovre?. Impostre equzione risolvente Determino il vlore di 6. Risolvere l equzione Posso ccettre il vlore che ho trovto? 7. Controllre ccettilità dell soluzione Scrivo l rispost l prolem 8. Scrivere insieme soluzione o rispost Applichimo or il nostro schem d un simptico prolem: Cunegond, snt di professione e mtemtic per diletto. Un poveretto vev pochi soldi. Allor pregò Snt Cunegond che gli rddoppisse i denri, in cmio egli vree donto 8 d un ltro povero. Snt Cunegond esudì i suoi desideri ed egli diede 8 d un povero. Visto che l cos funzionv, il poveretto ripregò Snt Cunegond che gli rddoppisse i denri: in cmio egli vree donto ncor 8 d un povero. Snt Cunegond lo esudì ed egli mntenne l prol. Non contento, si rivolse di nuovo Snt Cunegond per frsi rddoppire i denri; in cmio vree donto ltri 8 d un povero. Snt Cunegond lo esudì ncor ed egli donò 8 d un povero. M, in questo modo, il poveretto si ritrovò senz un euro. Qunti soldi vev ll'inizio? 0

247 Seguendo lo schem descritto in precedenz, costruimo il modello del prolem.. Individure l richiest del prolem Cpitle inizile (denro). Assegnre incognit (richiest) = cpitle inizile. Porre condizioni ccettilità Q (numero positivo, eventulmente decimle). Scrivere ltri elementi in funzione di = denro rddoppito Dopo l prim volt egli rddoppi il cpitle (), m dà 8 d un povero per cui il cpitle rimsto è 8. Impostre equzione risolvente Dopo l second volt il cpitle rimsto è ( 8) 8 Dopo l terz volt il cpitle rimsto è [( 8) 8] 8 6. Risolvere l equzione M sppimo che questo punto è rimsto... l verde, dunque [( 8) 8] 8 = 0 [ 6 8] 8 = = 0 8 = 6 = 7 7. Controllre ccettilità dell soluzione 7 Q, quindi, l soluzione è ccettile 8. Scrivere insieme soluzione o rispost S = {7} oppure (Rispost) Il poveretto, inizilmente, vev 7 PROVA TU Risolvi questi prolemi di divers tipologi dopo verli formlizzti trmite equzione: ) L somm di due numeri pri consecutivi è 0. Determin i due numeri. [ ;6 ] ) L età di un pdre è tripl di quell del figlio e l loro differenz è di 6 nni. Clcol le due età. [ 9; ] c) Il contenuto di due recipienti pes complessivmente 80 Kg. Se si spostno Kg d un recipiente ll ltro, i due recipienti hnno lo stesso peso. Clcol il peso, in kg, del contenuto di ciscun recipiente. [ ;] d) I cteti di un tringolo rettngolo sono uno doppio dell ltro e l loro somm misur cm. Determin l misur delle due dimensioni. [; 8] e) Il perimetro di un rettngolo misur 0 m e l se è i dell ltezz. Clcol le dimensioni, in m, dei due lti. [ ;]

248 ESERCIZI CAPITOLO 9 Equzioni Conoscenz e comprensione ) Che cos si intende per uguglinz? E per disuguglinz? ) Di l definizione di identità e di equzione in tutti i modi che conosci. ) Che cos si intende per soluzione di un equzione? ) Che cos è il dominio di un equzione? ) Che cos è l insieme soluzione di un equzione? 6) Come puoi clssificre le equzioni in se lle sue soluzioni? 7) Vero o Flso? ) Un equzione determint h un sol soluzione. V F ) Un equzione indetermint h lmeno due soluzioni. V F c) Un equzione indetermint h un numero finito di soluzioni. V F d) Un identità è un equzione indetermint. V F e) Un equzione indetermint è un identità. V F f) Un equzione mmette sempre lmeno un soluzione. V F g) Si D = { Z / 0 } < < il dominio di un equzione; se S = D V F l equzione è indetermint. 8) Qule dei vlori finco indicti è soluzione di ciscun delle seguenti equzioni? ) = = ; = ; = ; 0 ) ( m )( m ) m 6 m( m ) = = m = 6; m = ; m = ; m = c) t( t ) = ( t )( t ) t = ; t = ; t = ; t = 9) Un sol delle seguenti equzioni non è rzionle; qule? ) ( ) = ; ) s = s ; c) ( t ) = t; d) = ; m = m. e) ( )

249 0) Come puoi clssificre le equzioni in se ll loro form? ) Complet l seguente tell come nell esempio dell prim rig: EQUAZIONE NUMERICA LETTERALE INTERA FRATTA t = 0 0 = = m m p = (vr. m) p m m p = p (vr. p) y y = k k ) L equzione m= è: ) numeric inter; ) letterle inter; c) numeric frtt; d) letterle frtt; e) non può essere clssifict. ) Un sol delle seguenti proposizioni è ver. Qule? ) Un equzione con lmeno due lettere è sicurmente un equzione letterle. ) Se in un equzione compiono delle frzioni, l equzione è frzionri. c) Se in un equzione lmeno un letter è presente l denomintore, l equzione è sicurmente frzionri. d) Un equzione nell qule compre un sol letter è sicurmente un equzione numeric. e) In un equzione inter non sono presenti coefficienti frzionri. ) L insieme S = { } non è l insieme soluzione di un sol delle seguenti equzioni. Qule? ) 8= 0; ) ( s )( s ) s( s ) 6= 0; c) y y ( y ) = ; d) e) t = t ; t 6= t

250 ) Qundo due equzioni si dicono equivlenti? 6) Si E l insieme di tutte le equzioni; verific che l relzione essere equivlenti definit nell insieme E è un relzione di equivlenz. 7) Le seguenti equzioni sono equivlenti? ) 8= ; y = SI NO = ; = SI NO ) ( ) c) z z = z; y y = 8 SI NO d) t t = t ; z z = z SI NO e) = ; m = m m SI NO 8) Qule delle seguenti equzioni è equivlente ll equzione y 6= 0? ) y = 0; ) = ; c) z = 8; d) 6m = ; e) t = t. 9) Che cos fferm il primo principio di equivlenz? E il secondo? 0) Qule principio si pplic per cmire di segno tutti i termini di un equzione? ) Qule principio si pplic per spostre un termine d un memro ll ltro di un equzione? ) Delle equzioni m m ) sono equivlenti nell insieme Q; = e ( )( ) ( ) ) sono equivlenti nell insieme A = { } e) non possono essere mi equivlenti. m m = m si può dire che: Q ; c) sono equivlenti nell insieme A = Q { } ; d) sono equivlenti nell insieme A = Q { } ; e) sono equivlenti nell insieme A = { } Q 0,. ) Le equzioni t t t t = e = m m 6 ) sono equivlenti m Q ; ) sono equivlenti m { } Q ; c) sono equivlenti m { 0} Q ; d) sono equivlenti m { } Q ;

251 ) Qundo un equzione si dice ridott form normle? ) Come procedi per determinre il grdo di un equzione? 6) Complet l seguente tell come nell esempio dell prim rig: y y 0 EQUAZIONE GRADO TERMINE NOTO = 7 = 0 = yy = 0 t t 8t = t 7 = ( ) z = z z 7) Vero o Flso? ) Se un equzione è ridott form normle, i suoi coefficienti sono interi. V F ) Il grdo di un equzione ridott form normle è ugule l mggiore V F degli esponenti che in ess compiono. c) Un equzione frtt non è ridott form normle. V F d) Se tutti gli esponenti delle lettere di un equzione sono uguli d, V F l equzione è sicurmente di primo grdo. 8) Un sol delle seguenti equzioni è di secondo grdo. Qule? ) = ; = ; ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) = ( ) ; y y = y ; d) ( )( ) e) ( z )( z ) =. 9) Le seguenti proposizioni si riferiscono ll equzione ( ) = : ) se l equzione è di secondo grdo, l su vriile è l letter. V F ) se l equzione è di terzo grdo, è un equzione numeric. V F c) il suo grdo è sempre mggiore di. V F

252 0) Dell equzione = 0 si può dire che: ) è ridott form normle; ) è di primo grdo; c) h per soluzione = ; d) è un equzione impossiile; e) è un equzione determint. y ) Dell equzione = 0 y y y y si può dire che: ) è equivlente ll equzione t = 0; ) è definit per qulsisi vlore di y; c) h un sol soluzione; d) è ridott form normle; e) h più di due soluzioni. ) Si S l insieme soluzione dell equzione m ( m ) ( m )( m ) =. Allor: ) S N; ) S Z ; c) S Z = ; d) S = ; e) S = Q ) Il dominio D dell equzione 0 = ) D = Q; ) D = { 0,} Q ; è: c) D = { 0} Q ; d) D = Q {, 0} ; e) D = Q { 0,, } ) Qunte sono le soluzioni dell equzione ( y ) ( y ) y( y ) ( y ) come dominio l insieme D = { m Z / < m< } ) 0; ) ; c) ; d) più di due, m in numero finito; e) infinite = vente ) Per qule vlore del prmetro k l equzione 6( k m) m k( m) m( m )( k ) impossiile? = è ) 7 k = ; ) k Q,S ; c) k = 7 ; d) k = e) 6 k = 7

253 6) Le seguenti ffermzioni si riferiscono ll equzione ( ) ( ) ( )( ) Soltnto un di esse è fls; qule? ) è un equzione di primo grdo; ) è un equzione determint; c) non h soluzioni in N; d) h un sol soluzione; e) h soluzioni in Q. 7) Per qule vlore del prmetro m l equzione ( ) ) m = 0; ) m = ; c) =. m m= m è indetermint? m = ; d) 8) Solo due, fr le seguenti equzioni, sono fr loro equivlenti. Quli? m = ; e) m = ) = 0; ) h h = 0 ; c) 6 m m = 0 ; 6 d) k k = 0 ; e) s = 0. 9) Solo un delle seguenti equzioni non è equivlente lle ltre, qule? ) k k = 0; ) h h = 0 ; c) s s 0 = ; d) m m= 0 ; e) t t = ) Per qule vlore del prmetro k le equzioni sono equivlenti? ) per nessun vlore di k; ) k = ; c) = e k = ( ) k = ; d) k = ; e) k =. ) Se si sottre dll qurt prte del successivo di un numero intero il doppio del precedente del triplo del numero stesso, si ottiene 8. Qule, fr le seguenti equzioni, è l formlizzzione mtemtic dell frse precedente? 8 = ; ) ( ) = 8 ; ) ( ) 8 = ; c) ( ) ( ) d) = 8; 8 = e) ( ) ( ) 7

254 ESERCIZI Stilisci se le seguenti uguglinze sono delle identità: ) = ( ) ) ( p ) ( p ) = ( p ) ) ( ) s t s 7t = s t s 7t ) ( )( ) = ) ( y) ( y)( y) = ( y y ) 6) ( h m)( h m)( h m) = h m 7) ( f g)( f g)( f g) = ( f g) Riduci form normle le seguenti equzioni: 8) y y = 6y y; z z = z z ; = 8 m m q q q m = mq; 9) ( ) ( ) ; t t t = = Dopo verle ridotte form normle, determin il grdo delle seguenti equzioni: 0) = ; ( ) ( ) = ( ) g g ) = g g ; m( p ) 6p( m ) ( m p) = (vriili m, p) k k ) = (vriili h, k); = (vriile k) k h k h Associ d ogni equzione quell, fr quelle sottoelencte, d ess equivlente indicndo qule principio di equivlenz è stto pplicto: ) = 7 ) 6 = ; ) 6 = 8; c) =. ) = ) = 0 ; ) = ; c) =. ) 7= ) 7 = ; ) 8 7= ; c) 7 =. 6) = 6 ) = 6 ; ) = 6 ; c) = 6. 8

255 A finco di ciscun equzione, scrivine un d ess equivlente: 7) 7 =. 8) 7 y = 8y. 9) z = z. p = p p. 0) ( ) ( ) ) = ) ( ) ( ) ( )( ).. =.. Scrivi, per ciscun delle seguenti equzioni, due equzioni d ess equivlenti ottenute pplicndo il primo principio di equivlenz: ) ) 7 g = g )..; ).. = )..; ).. ) t = t 6) )..; ).. = )..; ).. Scrivi, per ciscun delle seguenti equzioni, due equzioni d ess equivlenti ottenute pplicndo il secondo principio di equivlenz: y 7 7) = )..; ).. 8) h = )..; ).. 9) q = q )..; ).. 0) 6 m= m )..; ).. 9

256 ) Per ciscuno degli insiemi S = { 6}, S = { }, S { 0} scrivi quttro equzioni di cui essi sino l insieme soluzione. =, S = { }, S { } =, S {,} 7 6 =, ) Nelle seguenti telle sono risolte lcune equzioni. Giustific, nell prim colonn, i pssggi eseguiti indicndo qule principio di equivlenz è stto pplicto (come negli esempi di pg. 7 e succ.): EQUAZIONE = 6 6 = 6 6 = = = S = { } EQUAZIONE = 7 = 7 = = = S = { } EQUAZIONE = = = = = = 9 ( ) = 9 9 = S = { } 9 0

257 ) Stilisci, per ciscun delle seguenti equzioni, se i numeri finco indicti ne sono soluzione: ) 6m = m m = ; m = ; m = ; m = ) = k = ; k k 6 0 6) ( t ) ( t) 7) 8) Esempio k = ; = t = ; t = 0 ; = z = ; 6 z 6z 8z 0 = Determin per qule vlore del prmetro m l equzione vlore z =. k = ; z = ; z = ; = ; = ; = ; mz z m 0 k = t = ; t = z = = = h per soluzione il Poichè z = è soluzione dell equzione, il vlore, sostituito ll vriile z, rende ver l uguglinz. Operimo, dunque, l sostituzione; si ottiene: ( ) m m= 0 8m 9 m= 0 m 9 = 0 Aimo, così, ottenuto un nuov equzione nell vriile m; risolvimo tle equzione: m 9 = 0 m = 9 Il vlore 9 m = = m =, così determinto, è l rispost l quesito proposto. Determin per qule vlore del prmetro m le seguenti equzioni hnno come soluzione il vlore finco indicto: 9) 0) t mt = 0 t = mh h mh = 0 h = s s m = s m s = ) ( )( ) m = m 9 = ) ( )( ) ) m( m t) ( m t) t( m t) = t = ) my my = m y =

258 Equzioni numeriche intere Risolvi, nell insieme Q, le seguenti equzioni ed esegui l verific: = ) ( ) 7m m = m 6) ( ) 7) ( )( ) ( ) = ( ) 8) ( g ) ( g ) = 6 9) ( ) ( ) ( ) y y = y y 6y 0) ( t ) t( t ) t( t ) 6 = ) ) = z z z z = ) ( )( ) ( ) = ) ( )( ) ( ) ( ) t t t = t ) s s s = 8 Risolvi, nell insieme finco indicto, le seguenti equzioni: 6) ( m ) m ( m) = (in Z) t t 7) t = (in N) 8) ( )( ) ( ) = 8 (in Z ) 9) 7( ) ( ) ( ) ( ) = (in Q) = 6 (in Q ) 60) ( )( ) z z 9 = z 6 (in N 0 ) 6) ( ) ( ) 6) ( )( ) ( ) ( ) s s = s s (in Z ) 6) ( w ) w( w ) w( w)( w ) 6 = (in Z {0}) m m 6) = m (in A = { N /< 0} ) k 6) k( k ) = k( k ) in A= { Q / 0 < < } ( )

259 66) ( y) ( y )( y ) = ( y)( y ) ( in A= { Z / < < 0} ) 67) ( )( ) ( 6)( 6 ) = 0 ( in A= { Q / < < } ) Risolvi, nell insieme Q, le seguenti equzioni motivndo ciscuno dei pssggi eseguiti: S = { } 7 = S = { 8} = z 8 S = { } = S = { } 68) t = t 69) ( )( ) 70) z 7) ( m ) 0( m ) m 6 7) ( ) = ( ) [ S = Q ] 7) y 6y = ( y) y S= { } 7) = ( )( ) S= { } 7 = S = { 6} 6 = S = { } p p p p = S = { 7} 7 7 = S = { } 7) ( ) 76) 8s 6 s ( s ) 0 77) ( ) 78) t t ( t t) t( t ) 79) ( ) = ( )( ) ( ) [ S = ] Risolvi le seguenti equzioni: 80) = ; z z 8) 7 = ; ( ) = S= { }; S= { 8} = S = { 7 }; S= { } 8) m = 7( m ) ; ( ) 9y y y 7y 8) 8 t = t 7 t; s 6s s 8) = S = { }; S= { 0} = S = { }; S= Q 7 h = h h S = { 7 }; S= { } = ;

260 8) ( )( ) = S= { } = S= {} ; S= { } 0 k = k 6k S= {} ; S= { } 9 y y y = 6 y y S= {} ; S= { } z z z = S = { }; S= { } 86) ( z ) = ( z ) ; ( p) ( p )( p ) ( p ) 87) ( ) = ; ( ) 88) ( ) = ( ) ; ( )( ) ( ) = ; 89) w ( w ) 8 90) ( ) = 6 9 [ S = Q ] 9) ( z ) z ( z ) = ( z ) [ S = ] 9) q q q q 0 6 = S = { } 9) k ( k ) ( k) = ( k) 9) ( ) ( ) = 7( ) ( ) 7 { } S= 0 S = ( t ) 9) ( t ) = ( t) t S = { } 96) m ( m ) = ( m) S= { } 97) ( ) z 8 z = z 8 S = 7 98) ( d )( d) = ( d ) S= { } 99) ( y) y ( y ) = ( y ) [ S = ] = S = { } 00) ww ( ) w w ( w ) 0) ( k )( k ) ( k )( k) = S= { } 0) ( h ) ( h)( h ) = h( h) ( h ) [ S = Q ] = S = { } 0) ( ) ( ) t t t 6t t t t 0) ( j ) ( j ) ( j) = j ( j) [ S = Q]

261 0) ( ) ( ) = 7 ( ) 06) ( ) ( ) ( ) ( ) [ S = ] 7 = S = { 6} 7 = S = { } 07) ( ) ( ) 08) f ( f ) = ( f ) [ S = ] = S = { } = S = { } 09) ( z ) ( z ) 8z( z ) ( z ) ( z )( z) 0) k 0 ) ) m m m 6 = [ S = Q ] g g 8 g = 0 S = { } ) ( ) 8 = 6 [ S = Q ] = { } S = ) ( h ) 6h 7 h ( h) 6 y y y = y ) ( )( ) [ S = ] 6) 7) p p = p p ( d ) ( d ) d ( 8d) d [ S = ] 9 = S = { } 8) ( w ) ( w) = ( w) ( w ) S= { 0} 9) ( ) = 7 ( 6) 0) z 6 z z 6 [ S = ] = [ S = Q ] e e= e e e ) ( )( ) ) k k k k 6 S = = S= { }

262 s s s s 7s = s ) ( )( ) ( ) ) { } S= = S= { } ) y ( y y ) ( y ) 6 = 0 S= { } S = { } 6) ( t ) ( t) ( t ) t = t( t t) ( t ) k k k 7) = S 6 = 8) ( p ) p( p ) ( p )( p p ) 9) = [ S = Q] ( d ) ( d ) ( d )( d ) 7 = S = { } d 0) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( 6) S= { } ) s s 7s 6 = S= { 7} 6 8 = 0 S = { 7} m m m m = mm m m { } 9 S = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 8) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) = [ S = ] t t t ) t 9 = 0 S = { } ) ( ) 6) ( y y )( y y ) ( y ) y( y 0) y( y ) = [ S = ] 6 6 7) c c c c = [ S = Q] 8) ( z) ( z )( z z ) = z 7( z ) 9) 7 S = 8 ( w )( w ) ( w ) ( w ) = { } S = w w = 0) ( ) ( ) ) ( y )( y ) y y ( y )( y) 9 y y = [ S = ] [ S = Q ]

263 Equzioni numeriche frtte Risolvi le seguenti equzioni: ) = t ) = t t t t ) ) 6) 7) = t t t 6 t S = 7 { } [ S = ] S = 9 = S= { 7} = 0 m m m = m m m f f f 8) = f f 7f 6 f 6 9) 0) = S = { } S = { } S= 9 6 S = { } h = h 0 S = { } = 0 S = { 6} h h ) ) ) = k k ( y ) 7 = y y y y [ S = ] [ S= D] v v ) = v v v v { } S= ) 9z z = 9z z z 6) = 6 7) = { } S= [ S = ] S = { } 7

264 S = { } w w 8) w = w w w w h h h 9) = h h h6 h h 6 60) 6) z z = 0 z z z z ( ) ( )( ) k k k k k k k = k k k k k 6 S = [ S = ] { } S= 0 6) 6) 6) 6) ( w ) w w 7 = w w w w ( d ) ( d ) ( d)( d ) = d d d d ( ) = 9 9 ( s )( s) 9s( s ) s = 0 s 9s s 7s S = 9 [ S = ] [ S= D] { } S= 0 66) 67) 68) j 6j 0 j = j j 8 j6 j 8 j 6 j 8 [ S = ] ( m)( m) = S = { } m m 0m m 6 p p p = p p p 69) = t 70) = t t 9t 6 7) = [ S= D] { } S= [ S = ] S = { 0} h 0h = S = { 89} 7) h 7 h h h 6h h 7) 7) ( y )( y ) y = y y y y 9 : = [ S = ] 8 S = { }

265 k k k 7) = k k k 9 76) 77) ( ) 8 = { } S= Q ± [ S = ] s s8 ( s )( s9) 0 = S = { } s s s s s s 6 78) = ) ( m )( m) = m m m m m [ S = ] S = { 7 } z 8 8 = 0 z z z z8 z z z 8z 80) 8) w w w 8w w 7w 6 = 0 w w w w 9 9w 6w [ S= D] S = { 8} 8) v v v = v v v v 9 [ S = ] 8) = 7 y y y y 6y 6 6 S = 8) ( t ) t t t = t t t t { } S= 8 0 8) = g g g g g g g [ S = ] 86) 87) 88) 8 = k k k k = k k k k k k q q 6 = q q q q 8 { } S= 0 { } S= { } S= 89) m = 0 m 7m 6 m m 90) e e 7e = e e e 6e 8 9 S = { } S= 9

266 9) 9) 9) d d d = d ( d ) = r r r r = r r r [ S = ] S = { } [ S= D] Equzioni letterli intere Risolvi le seguenti equzioni rispetto ll vriile indict: 9) ( l k) ( l k) = k (vr. l) l = k 7 9) ( l k) ( l k) = k 7 (vr. k) k = l c 96) c = c (vr. ) c Q {} 0 S = { }; c {} 0 S= c 97) c = c (vr. c) Q {} S = { }; {} S= 98) ( h ) = h (vr. h) Q {} S = { }; {} S= h 99) ( h ) = h (vr. ) h Q { } S = { }; h { } S= h 6m 00) k( m ) = m( k ) (vr. k) m Q {} S = { }; m {} S= m k 0) k( m ) = m( k ) (vr. m) k Q { 6} S = { }; k { 6} S= k 6 0) ( s) s( ) = s (vr. ) s Q { } S= {} ; s { } S= Q 0) ( s) s( ) = s (vr. s) Q {} S = { }; {} S= Q sh v 0) v = (vr. s) {} 0 S h Q = { }; h {} 0 S= h sh v 0) v = (vr. h) {} 0 S s Q = { }; s {} 0 S= s 06) h s 0 S = ; 0 S= s = (vr. h) Q {} { } {} 60

267 07) 08) 09) 0) h s = (vr. ) h Q {} { } h {} s s s ( ) h 6 s 0 S = ; 0 S= h s 0 S = ; 0 S= h = (vr. ) h Q {} { } h {} ( ) h = (vr. ) h Q {} { } h {} s 0 S = ; 0 S= h ( ) h s = (vr. h) { } Risolvi le seguenti equzioni: S = h; = S= ) ( k ) k = ( k) k Q { } { } k { } ) y t = t Q { } { t} h { } S= 0 ; S= Q 0 S = ; 0 l'eq. perde di significto ) ( y ) y( ) = ( 7) ( ) Q { } { } { } ) S= ; S= Q S = ; S= = Q {} { } {} z z = z ) ( ) ( )( ) 6) ( m ) m( ) m ( 6 ) Q, S = ; { } S = ; {} S= Q { } { } 6m S = ; S= Q m = m Q {} { } m {} 7) ( ) ( ) c c = c c 8) ( y c)( y c) ( y c)( y ) c Q, S = ; c c {} S = ; c { } S= Q c { } { } c( c ) = c Q { } c { } S = ; S= c 9) z( h ) ( z h)( z h) = z h Q { } { h } h { } 0) k( ) ( k) k( k ) S= ; S= Q = k Q { } { k} k { } ) ( z)( z) ( )( z ) = ( z)( z) S = ; S= Q { } { } Q S= ; { } S= Q

268 ) ( h h ) h ( ) = ( h)( h ) ( 7h) z z ) = ) ( ) ( ) = ( ) ) z z z = m m c z c z c = cz 6) ( ) ( ) 6 h Q { } { h } { } S ; h, S = ; h = h {} S= Q Q { 0, } S = { }; { } S = ; {} 0 l'equzione perde significto Q, 0, S = ; {} S = ; {, 0} S = Q { } { } m Q 0,,, S = ; m m m {, } S = ; m { 0, } l'equzione perde significto ( c c ) c Q { 0,,} S = ; c c c { 0, } S = ; c {} S= Q 9m { } { } 7) k( y ) ( k y) = ( k )( k ) { } r p = p r 8) ( ) ( ) 9) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) k S = k ; k = S= Q p r r p S = ; p r r = p= 0 S = Q ; r = p( p 0) S= { } {} { } Q S= ; S= Q

269 0) ( )( h h ) ( )( h ) = h h h h ) ( z m) m( z ) = m( z )( z) ) ( )( ) y y y = z kz ) = 0 m k m k h h ) = h h h h ) ( ) = ( ) y c y c y c c c c c c 6) = ( ) c c y h Q, 0, S = ; h h {} 0 S = ; h {,} l'equzione perde significto { } { } m Q { 6} { 6m} { } S 6 { } m S = ; m = ( ± ) S = ; = = 0 S = Q ; = ( 0) S = ; =± l'equzione perde significto { } ( k ± m k m) S= 0 ; k = m S = Q; k =± m l'equzione perde significto h( h ) Q { } h { } S ; h,, S = ; h = h {, } l'equzione perde significto ( 0 ) S = ; 0 = S = ; = = 0 S = Q; c Q { } { c } { } S ; c ±, 0, S = ; c = c { ±,0} l'equzione perde significto 6

270 7) z z = 6 Q { } ( )( ) { } S Q ; {, } l'equzione perde significto,, S= { }; = k 7k 8) k k = 8k 6 0k k Equzioni letterli frtte 9 Q { } { k} 9 { } S Q ; { } k ±,, S= ; k = k ±, l'equzione perde significto Risolvi le seguenti equzioni: 9) 0) s = y y k ( s ) s Q {, } S = ; s {, } S = s k( ) = ( k ) k Q { } k { } z = z ) ( m ) ) z z = z z z z 0,, S = ; 0,, S = k m m Q {} S = ; m {} S= ( m ) Q { } {} { } S= ; S= D k k k ) = k Q {, } S = ; k {, } S = ( k ) ) ( ) y y( m) m y = y y y 9 6m { } { } m { } m Q,, S = ;,, S= 0 0m 0 ) 6) ( ) g z g z z z z z g g z = 8 ( ) ( )( ) = { ( g ) } g { } g Q,, S = ;,, S= 7 7 7g { } { } { } Q,, S = ;,, S = 9 6

271 7) 8) 9) 0) ) ) z h h = zh z h = { } { } { } h Q 0 S = h ; h 0 S= { } Q { } ( ) { } ( y )( y) 0 = Q { } { } { } y y y y S= ; l'equzione perde significto 0,, S = ; 0,, S = h h h = h Q { } { } h h { } z h z h z hz h y y y = ( ) y y y y y y m m = m m m Equzioni di grdo superiore l primo Risolvi le seguenti equzioni: ) ) ) 6) 7) 8) = 0 9 0,,,6 S = ; 0,,,6 S= Q { } { } {} 0 S D; { } S, 0 S = ; = = m Q,0,, S = ; m m { 0,, } S = ; m { } l'equzione perde significto m { } { } S= { 0, } z = 0 S = { ± } = 0 k 9 k = 0 6t 7t = 0 h h h = 0 9) ( m )( m ) { } S= 7, S = { } { } S =, { } S= ±, = = { } 60) ( 7s)( s ) = 9( s) S 0, [S = ] 6) c 6c = ( c)( c ) S= { ± } 6) m m m = 0 6 { } S= 0,

272 6) ( y ) ( y )( y ) = ( y )( y) y 7 S= {,} = S = { } 6) ( )( ) ( ) ( ) 6) 66) z 8z = 0 t t t 6= 0 p p ) = p p p 68) 66 { } S= ± { } S=, S= {, } r ( r )( r ) = 8 S= {, } r r r r r Determin l insieme soluzione delle seguenti equzioni : 69) 70) 7) = 0; z y = 9s = 0; ; = 0 S = ;S={ 0} = [ S = ;S= ] m m = [ S = ;S= ] 6 t 9z 7) ( ) = 0; ( ) 7) t y = 0; k k = S= { 0 };S= z k 7) = 0; 0 7) z z = 0; = 0 [ S = ;S= ] h = [ S = ;S= ] y y = 0 76) ; = 0 77) 78) 79) 80) 8) 8) 8) [ S = ;S= ] k = S = ;S={ ± } 6 = 0 [S = ] s s s s = s s = 0 m m = 0 k k k k [S = ] { } S=, { } S= ± = 0 S= { } 6 = 0 t 0t 7t = 0 { } S= ± { } S=

273 Prolemi Esempi ) Due numeri dispri consecutivi sono tli che ggiungendo l mggiore il doppio del minore si ottiene 07. Quli sono i due numeri? Risolvimo il prolem schemtizzndo i pssggi d seguire (teori, pg. 8).. Individure l richiest del prolem Due numeri dispri consecutivi. Assegnre incognit numero dispri: n numero dispri: n. Porre condizioni ccettilità n N. Scrivere ltri elementi in funzione di n il doppio del minore: (n ). Impostre equzione risolvente 6. Risolvere l equzione Somm del mggiore con il doppio del minore: n (n ) Quest somm deve essere ugule 07: n (n ) = 07 n n = 07 6n = 07 6n = 0 0 n = n = Controllre ccettilità dell soluzione 7 N, quindi, l soluzione è ccettile 8. Scrivere insieme soluzione o rispost numero dispri: 7= = numero dispri: 7 = = 7 ) L somm di due numeri interi, tli che l metà del mggiore è ugule l triplo del minore, è 0. Quli sono i due numeri? Risolvimo il prolem schemtizzndo i pssggi d seguire.. Individure l richiest del prolem Due numeri interi l cui somm è 0. Assegnre incognit numero intero mggiore:. Porre condizioni ccettilità Z. Scrivere ltri elementi in funzione di numero intero minore: 0 metà del mggiore: triplo del minore: 0 ( ) 67

274 . Impostre equzione risolvente 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insieme soluzione o rispost Metà del mggiore ugule triplo del minore: ( ) ( ) = 0 = 6 0 = = = = Z, quindi, l soluzione è ccettile numero mggiore: 8 numero minore: 0 8 = ) Un numero nturle di due cifre è tle che l cifr delle decine è l metà di quell delle unità; l differenz fr il doppio del numero e quello che si ottiene scmindo fr loro le due cifre è 9. Qul è il numero?. Individure l richiest del prolem Le cifre del numero nturle. Assegnre incognit Cifr delle decine: d Cifr delle unità: d. Porre condizioni ccettilità d N 0 d 9. Scrivere ltri elementi in funzione di n Numero di due cifre: 0d d Numero con le cifre scmite: 0 d d. Impostre equzione risolvente Differenz fr il doppio del numero e quello con le cifre scmite: (0d d) (0 d d) Quest differenz deve essere ugule 9: (0d d) (0 d d) = 9 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insieme soluzione o rispost (0d d) (0 d d) = 9 d d = 9 d = 9 d = N, 0 d 9 quindi, l soluzione è ccettile Cifr delle decine: ; Cifr delle unità: 6; Il numero richiesto è 6. 68

275 Formlizz con i simoli dell mtemtic i seguenti quesiti e, successivmente, determin l loro soluzione: 8) Aggiungendo d un numero si ottiene. Qul è questo numero? [] 8) Se d un numero si sottre si ottiene. Qul è il numero? [] 86) L somm di due numeri consecutivi è ; quli sono i due numeri? [; 6] 87) L somm di due numeri nturli consecutivi pri è 98. Quli sono i due numeri? [8; 0] 88) Tre numeri nturli consecutivi sono tli che il triplo del minore è ugule ll somm degli ltri due. Quli sono i tre numeri? [; ; ] 89) L somm di quttro numeri dispri consecutivi è 6; quli sono i quttro numeri? [; ; ; 7] 90) Se l doppio di un numero si ggiunge si ottiene il triplo del numero stesso umentto di. Qul è il numero? [] 9) Mrt e Luci vogliono fre un reglo Vleri e mettono insieme i loro risprmi: 0. Mrt si ccorge che l qurt prte dei suoi risprmi è ugule ll sest prte dei risprmi di Luci. Qul è l prte mess d Luci? [7] 9) Il triplo di un numero umentto dell su qurt prte è ugule l numero stesso umentto di 7. Qul è il numero? [] 9) L somm di un numero con il suo qudruplo è. Qul è questo numero? [] 9) Qul è quel numero che sommto ll su metà ed ll su terz prte dà 0? [ 0 ] 9) L differenz fr un numero e l terz prte del suo consecutivo è 7. Qul è il numero? [ ] 96) Quttro numeri consecutivi sono tli che l somm fr il doppio del primo e il triplo del secondo è ugule ll differenz fr il mggiore moltiplicto per ed il triplo del terzo. Quli sono i quttro numeri? [; ; ; ] 97) L somm dei di un numero con i suoi è. Qul è questo numero? [ 0 ] 98) L differenz fr due numeri è ; l somm fr l terz prte del mggiore con l metà del minore è ugule l numero più piccolo. Quli sono i due numeri? [ ; 6 ] 99) L somm di due numeri interi, tli che il doppio di uno è ugule l triplo dell ltro, è 0. Quli sono i due numeri? [6; 0] 69

276 00) Due urne contengono in tutto 000 plline. Se si ggiunge ll second urn l sest prte delle plline dell prim urn i due recipienti hnno lo stesso numero di plline. Come sono distriuite, inizilmente, le plline nelle due urne? [00; 600] 0) Giulio, Teres e Mrco si dividono 00 in modo che Giulio ne i il doppio di Teres e Teres il triplo di Mrco. Qunto riceverà ciscuno di loro? [ 0;60;0 ] 0) Nonn Ad regl i suoi quttro nipotini, Clr, Mrco, Giorgi e Luc, 0 crmelle dividendole in modo che Clr ne ricev il triplo di Mrco, Giorgi ne ricev 0 in più del doppio di Clr e Luc ne ricev l stess quntità di Mrco. Qunte crmelle riceve ciscuno dei nipotini di nonn Ad? [ 0;0; 70;0 ] 0) Mrio h nni e su figli Giuli ne h. Fr qunti nni l età di Mrio srà quttro volte quell di Giuli? [ 7 ] 0) L somm di due segmenti misur 80 cm ed un segmento è i 7 dell ltro. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segmenti? [; 6] 0) In un prcheggio sono presenti 0 mezzi fr iciclette e utomoili e, in totle, ci sono 6 ruote. Qunte sono le iciclette e qunte sono le utomoili? [; 8] 06) Un negozinte h venduto 60 confezioni contenenti oppure 6 ottiglie di irr. Spendo che le confezioni d ottiglie vendute sono stte il qudruplo di quelle d 6, qunte confezioni d ottiglie sono stte vendute? [0] 07) Due numeri interi sono uno i dell ltro e l loro somm è 90; quli sono i due numeri? [0; 0] 08) Luc vuol sistemre tutti i suoi liri sui tre ripini dell lireri. Riponendo i 8 dei liri sul primo ripino e i ne ripone sul primo ripino e i 7 i liri di Luc? sul secondo, ne rimngono 0 d sistemre sul terzo ripino; se, invece, sul secondo, il terzo ripino ne conterrà 66. Qunti sono [ ] 09) L differenz fr il doppio dei qudrti di due numeri nturli consecutivi è 70. Quli sono i due numeri? [7; 8] 0) Due mici si dividono 7 figurine in modo che uno ne i gli 8 dell ltro. Qunte figurine h ciscuno di essi? [; 7] 70

277 ) Mt, Geo, Tecno sono tre squdre che prtecipno l cmpionto di pllvolo. I punti totli, in clssific, delle tre squdre sono 9, inoltre Geo h il doppio dei punti di Mt e Tecno h i dei punti di Geo. Qunti punti h, in clssific, ciscun delle tre squdre? [9; 8; ] ) Se si ggiunge l qudrto del più piccolo di tre numeri consecutivi, si ottiene il prodotto degli ltri due. Quli sono i tre numeri? [; ; ] ) Un numero nturle di due cifre è tle che l cifr delle unità è l metà di quell delle decine; se d esso ggiungimo il numero ottenuto scmindo fr loro le due cifre, si ottiene. Qul è il numero? [8] ) In un i ci sono glline e gtti per un totle di 9 teste e 76 zmpe. Qunte sono le glline e qunti sono i gtti? [0; 9] ) Nello scorso nno scolstico i 6 7 degli lunni dell A sono stti promossi; l qurt prte dei rimnenti lunni è stt occit, mentre lunni hnno vuto l sospensione del giudizio. D qunti lunni er formt l A? [8] 6) L somm di due numeri nturli è ed il loro prodotto è 0. Quli sono i due numeri? [; 8] 7) Un numero nturle di tre cifre è tle che l cifr delle centini è il triplo di quell delle decine e quell delle decine è l metà di quell delle unità. L metà del numero che si ottiene scmindo l cifr delle centini con quell delle decine è. Qul è il numero? [6] 8) Ad un corso di music, ieri i presenti erno degli iscritti ed oggi, presentndosi due persone in più di ieri, sono presenti i 6 7 music? degli iscritti. Qunti sono gli iscritti l corso di 9) Se l prodotto di due numeri dispri consecutivi si sottre 7 si ottiene il qudrto del numero che precede il più piccolo dei due numeri dispri. Quli sono i due numeri? [ 7; 9 ] 0) In un clsse, il numero delle rgzze è il triplo di quello dei rgzzi. Se le rgzze fossero 0 di meno il loro numero sree l metà di quello dei rgzzi. Qul è il numero delle rgzze? ) L cifr delle unità di un numero nturle di due cifre è ugule quell delle decine diminuit di ; inoltre questo numero è il triplo del numero che si ottiene sottrendo l numero ottenuto scmindo le due cifre. Qul è il numero? [7] [ ] [ ] 7

278 ) Su uno scuolus ci sono rgzzi e rgzze ed il numero delle rgzze è doppio di quelle dei rgzzi. Se ci fossero 0 rgzze in meno, il loro numero sree l terz prte di quello dei rgzzi. Qul è il numero dei rgzzi e qule quello delle rgzze? [6; ] ) Un gruppo di persone, prim di inizire l giornt lvortiv, è solito ritrovrsi l r per fre colzione. Se il gruppo è l completo ciscuno spende ; se mncno persone il contriuto di ciscuno viene umentto del 0%. Qunte sono le persone del gruppo? [0] ) In un numero plindromo n di tre cifre, l somm delle due cifre distinte è 8. L differenz fr il numero plindromo che si ottiene scmindo fr loro le cifre distinte e è il qudruplo del numero n. Qul è il numero n? (Un numero si dice plindromo se leggendolo d sinistr verso destr e vicevers esso non cmi). [7] ) Se si divide l differenz fr il doppio di un numero e per l differenz fr il numero stesso e 0 si ottiene un frzione equivlente 7. Qul è il numero? [] 6) L somm di due numeri è 0 ed il loro rpporto è equivlente ; quli sono i due numeri? 7 [, ] 7) L somm fr il numertore e il denomintore di un frzione è. Se l numertore si ggiunge e l denomintore si sottre l frzione è equivlente d. Quli sono il numertore e il denomintore dell frzione? [, ] 8) Se l numertore e l denomintore dell frzione 6 si sottre uno stesso numero, l frzione che si ottiene è equivlente ; qul è questo numero? [6] 7 9) L differenz fr il numertore e il denomintore di un frzione è. L frzione che si ottiene sottrendo 0 dl triplo del numertore e ggiungendo l denomintore è equivlente d. Quli sono il numertore ed il denomintore dell frzione? [, ] 0) Un numero nturle di due cifre è tle che l cifr delle decine è ugule l doppio dell cifr delle unità diminuito di ed il rpporto con il numero che si ottiene scmindo le due cifre è equivlente 6. Qul è il numero? [] ) Il presidente di un ssocizione è stto scelto fr due cndidti A e B. Il cndidto A h ottenuto il doppio dei voti di B. Tre memri dell ssocizione hnno votto sched inc, mentre ciscuno degli ltri h votto o solo per A o solo per B. In questo modo A h ottenuto il 6% dei voti possiili. D qunti memri è compost l ssocizione? [7] [Kngourou, 00] 7

279 ) Pietro e Polo festeggino il loro onomstico in pizzeri con i loro mici. All fine dell cen il conto viene diviso in prti uguli tr tutti i presenti e ciscuno dovree pgre Euro. Con grnde generosità però, gli mici decidono di offrire l cen Pietro e Polo; il conto viene nuovmente diviso in prti uguli tr gli mici di Pietro e Polo (cioè tutti i presenti esclusi Pietro e Polo), e ciscuno di loro pg 6 Euro. Qunti sono gli mici di Pietro e Polo? ) 6, ) 8, c) 0, d), e) 6 [Olimpidi Mtemtic, Giochi di Archimede 008] ) Un giornle cost 0,90 Euro; chi lo cquist viene offerto un supplemento fcolttivo del costo di,0 Euro. A fine giornt sono stte vendute copie del giornle e l incsso complessivo dell vendit del giornle e dei reltivi supplementi è stto di 9,70 Euro. Qunti supplementi sono stti cquistti? ) meno di 66, ) più di 67 e meno di, c) più di e meno di 00, d) più di 0 e meno di 66, e) più di 66. [Olimpidi Mtemtic, Giochi di Archimede 007] ) Un secchio pieno di si pes complessivmente 9 kg, riempito per metà di si pes kg. Qunto pes il secchio vuoto? ) 0, kg ) kg c) kg d), kg e) il peso del secchio non può essere determinto. [Olimpidi Mtemtic, Giochi di Archimede 996] ) Crlo e Drio si sono sottoposti d uno stesso test; Crlo h totlizzto l 8% dei punti disponiili, Drio il 90%. In questo modo Crlo h totlizzto un punto in meno di Drio. Qunti erno i punti disponiili? ) 0; ) 8; c) 7; d) ; e) [Kngourou, 00] 6) I quttro cvlieri dell Apoclisse, Cresti, Guerr, Morte e Inquinmento, stnno per mngire insieme qundo Morte si ccorge di non vere soldi. Gli ltri decidono di drgli ciscuno l stess somm di denro. Cresti dà, così, di quello che vev in tsc, Guerr gli dà del denro che h in tsc e Inquinmento gli dà di qunto ne vev lui. Dopo ver pgto ciscuno il proprio psto si ccorgono di essere stti fortunti perché sono rimsti tutti senz soldi. Quello che h pgto di meno tr i quttro h pgto Qunto è costto il psto più cro? [.60] [Copp Fermt 008] 7

280 7) Polo h cquistto un oggetto ottenendo lo sconto del % sul prezzo originle e lo h pgto 06,. Qul er il prezzo originle? ) meno di ; ) ; c) ; d) 7; e) meno di 8 [Olimpidi Mtemtic, Giochi di Archimede 006] Prolemi di geometri 8) Due segmenti AB e CD sono tle che AB = CD e l somm delle loro lunghezze è 8 cm. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segmenti? [ 8cm; 0cm ] 9) Due segmenti ST e MP sono tle che ST = MP e l differenz fr le loro lunghezze è 8 cm. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segmenti? [ cm; cm] 0) Due segmenti DE e FH sono tle che DE = 8 FH e l differenz fr le loro lunghezze è 9 cm. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segmenti? [ 6 cm; 0 cm ] ) Due segmenti FG e KM sono tle che FG = 8 KM e l somm delle loro lunghezze è cm. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segmenti? [ 6cm; 6cm ] ) Uno steccto è formto d cinque trtti rettilinei; il secondo trtto è i del primo, il terzo trtto è i del primo, il qurto trtto è 6 del primo e il quinto trtto è del primo. Se l lunghezz totle dello steccto misur cm, qunto misur il primo trtto? [ cm ] ) Il perimetro di un rettngolo misur 0 cm ed un dimensione è i dell ltr. Qul è l re del rettngolo? [ cm ] ) Un qudrto è equivlente d un rettngolo il cui perimetro misur 98 cm ed un dimensione è i dell ltr. Qul è l re del qudrto? [88 cm ] ) L re di un rettngolo misur 60 cm ed un dimensione è i perimetro? dell ltr; qul è il suo [ cm ] 6) Due ngoli complementri sono tli che il triplo di uno diminuito di 0 è il doppio dell ltro. Qul è l mpiezz di ciscuno dei due ngoli? [8 ; ] 7

281 7) L somm di tre ngoli è congruente d un ngolo pitto; il primo ngolo è triplo del secondo ed il terzo è l metà del secondo. Qul è l mpiezz di ciscuno dei tre ngoli? [0 ; 0 ; 0 ] 8) L ngolo l vertice di un tringolo isoscele è il triplo di ciscuno degli ngoli ll se. Qul è l mpiezz di ciscuno degli ngoli del tringolo? [08 ; 6 ] 9) Uno degli ngoli interni di un tringolo è i dell ngolo esterno dicente d esso; gli ltri 7 due ngoli sono tli che se si ggiungono 8 ll terz prte di uno si ottiene l mpiezz dell ltro ngolo. Quli sono le mpiezze degli ngoli del tringolo? [ 78 ; 6 ; 9 ] 0) Due dei quttro ngoli interni di un qudriltero sono uno i 7 dell ltro; gli ltri due ngoli interni, congruenti fr loro, sono i del più piccolo degli ltri due ngoli. Qul è l mpiezz del mggiore degli ngoli del qudriltero? [0 ] ) L somm delle lunghezze dei cteti di un tringolo rettngolo misur cm ed uno è i 7 dell ltro. Qul è l re del tringolo rettngolo? 0 cm ) Le dimensioni di un rettngolo sono un i dell ltr e l differenz fr i 7 del lto mggiore e l qurt prte del lto minore misur 8 dm. Qul è l misur dell re del rettngolo? [980 dm ] ) Il perimetro di un prllelogrmm misur 0 cm e l somm fr i del lto mggiore e con i 8 del lto minore misur 8 cm. Qul è l misur dei lti del prllelogrmm? [6 cm; 6 cm] ) L re del rettngolo FGKL misur 00 cm e il lto FG è i 7 del lto GK. Determin l posizione, sul lto FG, del punto S tle che il rpporto fr le ree del tringolo FSL e del trpezio SGKL si. FM = cm ) L misur del rggio di un circonferenz, esprss in centimetri, è ugule l più piccolo dei due numeri tli che l loro somm è 0 cm ed uno è 9 circonferenz? dell ltro. Qul è l lunghezz dell [π cm] 7

282 Per risolvere i seguenti prolemi è necessrio utilizzre il Teorem di Pitgor. 6) Determin il perimetro di un trpezio isoscele spendo che l ltezz misur cm, l somm delle si misur 0 cm e l se minore è metà dell se mggiore. [ 6 cm ] 7) Il lto oliquo e l ltezz di un trpezio isoscele misurno, rispettivmente, cm e cm e l se minore è i dell se mggiore. Determin il perimetro del trpezio. [76 cm] 8) Determin il perimetro di un trpezio rettngolo spendo che l ltezz misur cm, l somm delle si misur cm e l se minore è metà dell se mggiore. [ 0 cm ] 9) Determin il perimetro di un trpezio isoscele spendo che l ltezz misur cm, l somm delle si misur 0 cm e l se minore è dell se mggiore. [ 60 cm ] 60) Il lto di un qudrto è congruente ll digonle di un rettngolo il cui perimetro misur 98 cm ed un dimensione è i 9 0 dell ltr. Qunto misur il perimetro del qudrto? [6 cm] 6) Le digonli di un romo sono un i 7 dell ltr e l loro somm misur 60 cm. Qunto misur il suo perimetro? (Approssim il risultto ll prim cifr decimle) [ 9, cm] 6) L ltezz di un trpezio rettngolo misur 60 cm, l se minore è i dell se mggiore e l loro somm misur cm. Qunto misur il perimetro del trpezio? [ 76 cm ] 6) I cteti di un tringolo rettngolo sono uno i 6 6 dell ltro e l loro somm misur 79 cm. Qunto misur il perimetro del qudrto costruito sull ipotenus del tringolo rettngolo? [ 60 cm] 6) L differenz fr i due cteti di un tringolo rettngolo misur cm; il cteto mggiore è i dell ipotenus e l loro somm misur 7 cm. Qul è l misur dell re del tringolo e quell del cteto minore? Qul è l misur dell ltezz reltiv ll ipotenus? cm ; 9 cm; 7, cm 6) Le digonli di un romo sono un i dell ltr e l somm fr i 7 dell digonle minore con i 9 dell digonle mggiore misur 0 cm. Qul è l misur del perimetro del romo? 76 [80 cm]

283 CAPITOLO 0 DISEQUAZIONI 0. Disequzioni Ricordimo che: si chim disuguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni numeriche, compre il simolo oppure i simoli >, <,,. Oppure, nel linguggio dell Logic: si chim disuguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere diverso, oppure essere mggiore, essere minore, essere mggiore o ugule, essere minore o ugule. Considerimo, desso, le seguenti proposizioni: ) Se si ggiunge l triplo di un numero si ottiene un numero mggiore di. ) Il qudrto di un numero è minore di 9. c) Il qudrto di un numero è mggiore di. d) Il prodotto di due numeri è mggiore o ugule ll loro differenz. Formlizzimo, con i simoli dell Mtemtic, le proposizioni proposte. ) Indicto con il numero d determinre (ovvimente può essere ust un qulsisi letter dell lfeto), il suo triplo è ; si ottiene: primo e secondo memro dell disequzione. 77 >, Q. ) Indicto con il numero d determinre, il suo qudrto è ; si ottiene: < 9, Q. c) Indicto con il numero d determinre, il suo qudrto è ; si ottiene: >, Q. d) Indicti con e y i numeri d determinre, il loro prodotto è y e l loro differenz è y; si ottiene: y y, (, y) Q. Nell formlizzzione delle precedenti proposizioni sono stti utilizzti i simoli >, < e ; però lmeno un delle espressioni che compre prim o dopo il segno di > o < o è un espressione letterle: esse prendono il nome di disequzioni. Le espressioni che precedono e seguono i simoli di disuguglinz si chimno, rispettivmente,

284 Provimo dre un rispost i prolemi proposti. ) >, Q Assegnimo d lcuni vlori e stilimo se l disuguglinz ottenut è ver o fls: = ( ) > > FALSA = > > FALSA = 7 7 > > FALSA = 8 8 > 8 > VERA = 0 0 > > VERA = > 0 > VERA E fcile, questo punto, cpire che qulsisi vlore > 7 rende ver l disuguglinz. L proposizione, dunque, per lcuni vlori di (tutti i vlori 7) è fls e per ltri (tutti i vlori > 7) è ver. Il prolem non h un sol soluzione, m h infinite soluzioni. ) < 9, Q Assegnimo d lcuni vlori e stilimo se l disuguglinz ottenut è ver o fls: = ( ) < 9 6 < 9 FALSA = ( ) < 9 9 < 9 FALSA = 9 9 < < VERA = = = < 9 < 9 VERA < 9 < 9 VERA < 9 9 < 9 FALSA = < 9 9 < FALSA Con qulche ltro tenttivo, ti ccorgeri che si ottiene un disuguglinz ver se ttriuimo d vlori compresi fr e. Esistono, dunque, dei numeri rzionli per i quli l disuguglinz è ver ed ltri per i quli è fls. Anche questo prolem non h un sol soluzione, m h infinite soluzioni. c) >, Q Poiché qulsisi potenz con esponente pri è un numero mggiore o ugule zero, qulunque numero rende ver l disuguglinz. Quindi, qulsisi numero rzionle è soluzione del prolem. 78

285 d) y y, (, y) Q Anche per questo prolem, esistono delle coppie (, y) che rendono ver l disuguglinz ed ltre coppie (, y) che l rendono fls. Ad esempio: [COMPLETA, come negli esempi ) e )] ( y, ) = (, ) ( ) ( ), =, ( y) ( y, ) =, Per questo prolem, non è semplice determinre tutte le soluzioni. All luce degli esempi ppen ftti, possimo dre le seguenti definizioni: Si chim disequzione un disuguglinz fr due espressioni letterli in un o più vriili. I vlori che sostituiti lle vriili rendono ver l disuguglinz si chimno soluzioni dell disequzione. Risolvere un disequzione signific determinre tutte le sue soluzioni. Si chim insieme soluzione dell disequzione l insieme formto d tutte le sue soluzioni e, in generle, si indic con l letter S. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chim disequzione un proposizione pert (di dominio D) nell qule il predicto è essere mggiore, oppure essere minore, essere mggiore o ugule, essere minore o ugule. Si chim soluzione di un disequzione quell elemento del dominio che rende ver l proposizione pert. Si chim insieme soluzione dell disequzione l insieme di verità dell proposizione pert e, in generle, si indic con l letter S. Come per le equzioni, nche per le disequzioni le vriili o incognite sono, generlmente, indicte con le lettere, y, z; tuttvi è possiile usre qulsisi ltr letter dell lfeto. Se non è esplicitmente indicto, si conviene che le vriili dell disequzione pprtengno ll insieme più mpio che conoscimo. 79

286 Come per le equzioni, si hnno le seguenti definizioni che consentono di clssificre le disequzioni: Se, nelle espressioni letterli, compiono solmente le operzioni di somm lgeric, moltipliczione, divisione oppure estrzione di rdice, l disequzione è dett disequzione lgeric. Se, nelle espressioni letterli, l vriile non compre mi sotto il segno di rdice, l disequzione lgeric è dett disequzione rzionle. Se, nelle espressioni letterli, l vriile è presente sotto il segno di rdice, l disequzione lgeric è dett disequzione irrzionle. Sintetizzimo, nello schem seguente, qunto ppen detto: Disequzioni lgeriche Disequzioni rzionli Disequzioni Disequzioni trscendenti Disequzioni irrzionli Come per le equzioni, possimo clssificre le disequzioni nel modo seguente: un disequzione si dice numeric se, oltre lle vriili, non contiene ltre lettere. un disequzione si dice inter se l vriile non compre l denomintore dell disequzione; un disequzione si dice frzionri o frtt se l vriile compre in uno o più denomintori; un disequzione si dice letterle se, oltre ll incognit, contiene ltre lettere. Lo schem seguente rissume le precedenti definizioni: Disequzioni numeriche Disequzioni intere Disequzioni frtte Disequzioni Disequzioni intere Disequzioni letterli Disequzioni frtte 80

287 Esempi Le disequzioni ) y > ; ) y y < 6 sono disequzioni lgeriche rzionli perché in esse sono presenti solo le operzioni di somm lgeric, moltipliczione, divisione; inoltre l disequzione ) è un disequzione numeric frtt, perché non sono presenti ltre lettere oltre ll vriile ed ess compre l denomintore delle frzioni; l disequzione ) è un disequzione numeric inter, perché non sono presenti ltre lettere oltre ll vriile ed ess non è presente l denomintore. L disequzione > è un disequzione lgeric irrzionle, perché l vriile è presente sotto il segno di rdice. L disequzione < è un disequzione letterle inter perché, oltre ll vriile, è presente un ltr letter (); inoltre l vriile non è presente l denomintore di lcun frzione. In un disequzione rzionle inter in un vriile, il grdo dell disequzione è ugule l mssimo esponente dell vriile. Esempi L disequzione L disequzione > è di terzo grdo perché il mssimo esponente dell vriile è. y > 0 (vriile y) è di primo grdo perché il mssimo esponente dell vriile è. In questo cpitolo ci occuperemo solo di disequzioni rzionli numeriche in un vriile; in prticolre di disequzioni numeriche intere di primo grdo o, in qulche modo, d esse riconduciili. PROVA TU ) Clssific le seguenti disequzioni: ) 6 y > y ; ) < ; > ) Determin il grdo delle seguenti disequzioni: z z ; m > m (vriile ) 8

288 0. Rppresentzione dell insieme soluzione di un disequzione Considerimo le disequzioni > e < 9 già viste nel precedente prgrfo e indichimo con S e S, rispettivmente, gli insiemi soluzione delle due disequzioni. ) > L insieme S h infiniti elementi; l rppresentzione più opportun, dunque, è quell per crtteristic: S = { / > 7} Q. L insieme S, dunque, è un sottoinsieme di Q formto d tutti i numeri che seguono un numero fissto (il numero 7); lcuni utori, per comodità, lo indicno semplicemente con > 7. In reltà, > 7 è ncor un disequzione.. di immedit soluzione. ) < 9 L insieme S dell disequzione h infiniti elementi; l rppresentzione più opportun, dunque, è quell per crtteristic: S = { / < < } Q. L insieme S è, dunque, un sottoinsieme di Q formto d tutti i numeri che sono compresi fr due numeri fissti (i numeri e ) e, come osservto in precedenz, l insieme soluzione è, tlvolt, indicto con < <. In generle, l insieme soluzione S di un disequzione è formto d: tutti i numeri che seguono un numero ; tutti i numeri che precedono un numero ; tutti i numeri che sono compresi fr due numeri e. Se nell disequzione sono presenti i simoli o, nche i numeri o sono soluzione dell disequzione stess. L insieme soluzione S di un disequzione può essere rppresentto nche in ltri modi. Rppresentzione grfic Rppresentimo grficmente S = { / > 7} Q : riportimo sull rett orientt il numero 7; prtire dl punto dell rett orientt coincidente con il numero 7, trccimo un piccolo segmento perpendicolre ll rett orientt stess; poiché i numeri mggiori di 7 sono situti ll su destr, prtire dll estremo liero del segmento disegnimo un line ross verso destr con trtto continuo; poiché i numeri sinistr di 7 non sono soluzioni dell disequzione, prtire dll estremo liero del segmento disegnimo un line verso sinistr con trtto trtteggito. 8

289 L insieme S è rppresentto nell seguente figur: 7 S Rppresentimo grficmente S = { / < < } Q : riportimo sull rett orientt i numeri e ; prtire di punti pprtenenti ll rett orientt coincidenti con i numeri e, trccimo due piccoli segmenti (uguli) perpendicolri ll rett orientt; poiché le soluzioni dell disequzione sono compresi fr e, unimo gli estremi lieri dei due segmenti con un line ross con trtto continuo; poiché i numeri sinistr di e destr di non sono soluzioni dell disequzione, trccimo, sinistr e destr dell line continu, un line trtteggit. L insieme S è rppresentto nell seguente figur: S Come sicurmente hi notto, nell rppresentzione dei numeri sull rett orientt non imo riportto né lo 0 né l unità di misur, m, dove necessrio, è stto rispettto soltnto l ordinmento dei numeri stessi. Per l rppresentzione degli insiemi soluzione di disequzioni, l rppresentzione dello 0 e l unità di misur sono elementi trscurili ( meno che 0 non si interessto come soluzione); è fondmentle, invece, in ogni cso, rispettre l ordinmento dei numeri. Riepilogndo: nell rppresentzione grfic dell insieme soluzione di un disequzione l line continu indic gli elementi che sono soluzione dell disequzione; l line trtteggit indic gli elementi che non sono soluzione dell disequzione. Tlvolt non è necessrio evidenzire l insieme che non è soluzione dell disequzione e si omette di trccire l line trtteggit. Ipotizzndo che S = { Q/ } rppresentzione grfic è l seguente: si l insieme soluzione di un disequzione, l su dove il simolo in corrispondenz del numero indic che esso è un delle soluzioni dell disequzioni. 8

290 0. Intervlli numerici Gli insiemi numerici formti d tutti i numeri mggiori o minori di un certo numero ( > o < ) e gli insiemi numerici formti d tutti i numeri compresi fr due numeri e ( < < ) sono chimti intervlli numerici; i numeri e sono chimti estremi dell intervllo. Gli estremi di un intervllo numerico pprtengono llo stesso se compiono i simoli,. L insieme soluzione di un disequzione è, in generle, un intervllo numerico e, quindi, viene nche chimto intervllo delle soluzioni. Gli intervlli numerici possono essere rppresentti nche nel seguente modo: Se l intervllo considerto è formto d tutti i numeri compresi fr e, si scrivono gli estremi e in ordine crescente, seprti d un virgol e rcchiusi fr prentesi qudre rivolte verso l esterno oppure verso l interno; se le prentesi qudre sono rivolte verso l esterno, gli estremi dell intervllo non sono inclusi nell intervllo stesso; se le prentesi qudre sono rivolte verso l interno gli estremi dell intervllo sono inclusi nell intervllo stesso. Se l intervllo numerico considerto è formto d tutti i numeri mggiori di un certo numero, il secondo estremo viene indicto con il simolo (si legge più infinito ). Se l intervllo numerico considerto è formto d tutti i numeri minori di un certo numero, il primo estremo viene indicto con il simolo (si legge meno infinito ). I simoli e non sono numeri m indicno soltnto che l intervllo numerico considerto non h limite, rispettivmente, destr e sinistr; sono, perciò, sempre esclusi dll intervllo. In tell imo rppresentto, nei diversi modi, lcuni intervlli numerici. Intervllo Rppresentzione Rppresentzione grfic > ], [ < ], [ < < ], [ [, [ 0 ],0] 7 [, 7 ] < [, [ < 8 ], 8 ]

291 OSSERVAZIONE Sppimo che d ogni numero rzionle corrisponde un punto sull rett, m d ogni punto dell rett non corrisponde un numero rzionle. Non è, quindi, del tutto lecito rppresentre l insieme soluzione di un disequzione di dominio Q con un line continu ( tle line pprtengono nche punti in corrispondenz iunivoc con numeri non rzionli). Per comodità, tuttvi, rppresenteremo con un line continu l insieme soluzione dell disequzione. ATTENZIONE In generle, l insieme soluzione di un disequzione è rppresentto d un intervllo, m, come spesso si verific, esistono dei csi prticolri. Determinimo l insieme soluzione dell disequzione ( ) < 0. Il primo memro dell disequzione è un potenz con esponente pri; per le proprietà delle potenze, dunque, esso, qulunque si il vlore ttriuito ll vriile, è un numero non negtivo. Non esiste, llor, lcun numero rzionle che rende ver l proposizione; dunque S =. Determinimo l insieme soluzione dell disequzione ( ) 0. Ess, dl punto di vist logico, è un proposizione molecolre; inftti: ( ) 0 ( ) ( ) 8 < 0 = 0 L insieme soluzione S è, perciò, dto dll unione degli insiemi soluzione di ciscun delle due proposizioni che l compongono: ( ) < 0 S = ( perchè?) ( ) = 0 S = { } {} S= S S = S S= In questo cso, dunque, l insieme soluzione dell disequzione non è un intervllo, m è formto d un solo elemento. PROVA TU ) Rppresent, nei diversi modi possiili, i seguenti intervlli numerici: ) 6; < 0 ) < 8 ; 0 ) Determin l insieme soluzione delle seguenti disequzioni: ) ( ) 0; ( ) ) 0 < 0 ; ( ) < 0

292 0. Principi di equivlenz Ancor in nlogi con qunto detto per le equzioni, si h l seguente definizione: Due disequzioni sono equivlenti se hnno lo stesso insieme soluzione. Considerimo le due disequzioni: ) > e ) > E immedito determinre l insieme soluzione dell disequzione ); inftti sostituendo d qulsisi numero mggiore di si ottiene un disuguglinz ver. Si h, quindi, S = ], [. Non ltrettnto si può dire dell insieme soluzione dell disequzione ). E possiile, come per le equzioni, trsformre un disequzione in un d ess equivlente simile ll disequzione )? L rispost è ffermtiv ed nche quest volt è sufficiente seguire due semplici regole chimte, ncor un volt, principi di equivlenz. Prim di enuncire i principi di equivlenz per le disequzioni, verific, con qulche esempio, che per le disuguglinze numeriche vlgono le seguenti proprietà:,, c Q : < c < c;, Q, c Q : < c < c, Q, c Q : < c > c, Q {0} : < > I principi di equivlenz si sno su queste proprietà: Primo principio di equivlenz Se si ggiunge o si sottre d mo i memri di un disequzione, di dominio D, uno stesso numero o un stess espressione lgeric, vente lo stesso dominio, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Secondo principio di equivlenz Se si moltiplicno o si dividono entrmi i memri di un disequzione per uno stesso numero positivo, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Se si moltiplicno o si dividono entrmi i memri di un disequzione per uno stesso numero negtivo e si cmi il verso dell disequzione, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Osserv che cmire il verso di un disequzione signific che il simolo > divent <, il simolo < divent >, il simolo divent, il simolo divent. 86

293 Vedimo, desso, come i principi di equivlenz ci iutno trsformre l disequzione ) in un disequzione dello stesso tipo dell disequzione ). ESEMPIO Disequzione inizile: > Applichimo primo principio Aggiungimo i due memri > (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente > Applichimo primo principio Sottrimo i due memri > (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente > L insieme soluzione è S = { Q / > } oppure S = ] [,. L disequzione ) e l disequzione ) hnno lo stesso insieme soluzione e, quindi, sono equivlenti. Rppresentimo grficmente l insieme S. S Interpretimo l rppresentzione grfic dell insieme S. Nell intervllo ],[ è riportt l line trtteggit; questo vuol dire che gli elementi di tle intervllo non sono soluzioni dell disequzione. In tle intervllo, dunque, l espressione non è mggiore dell espressione ; quindi, <. Nell intervllo ], [ è riportt l line continu; gli elementi di tle intervllo, dunque, sono soluzioni dell disequzione. In tle intervllo risult, llor, che >. Come puoi notre, riflettendo sui pssggi eseguiti per trsformre l disequzione ssegnt in un d ess equivlente di immedit soluzione, un conseguenz del primo principio di equivlenz è del tutto nlog ll regol del trsporto già vist per le equzioni, quindi: In un disequzione, se si trsportno dei termini d un memro ll ltro cmindo loro il segno, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. In modo nlogo vle l regol di cncellzione: In un disequzione, se si semplificno termini uguli che si trovno in entrmi i memri dell disequzione, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. 87

294 Ancor qulche esempio: ESEMPIO Disequzione inizile: < 9 Applichimo primo principio Trsportimo e < 9 (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente < 0 Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè (> 0, il verso non cmi) (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente L insieme soluzione è S = { Q / < } oppure S = ] [ Rppresentimo grficmente l insieme S.,. 0 < 0 < < S Complet: Nell intervllo ],[ è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... 9; Nell intervllo ], [ è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... 9; ESEMPIO Disequzione inizile: 8 0 Applichimo primo principio Trsportimo 8 8 Applichimo secondo principio Disequzione equivlente 8 Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè (< 0, il verso cmi) (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente L insieme soluzione è S = { Q / } oppure S = [ [,. 8 8 Rppresentimo l insieme S. S 88

295 Complet Nell intervllo ],[ è riportt l line ; in tle intervllo risult ; nell intervllo ], [ è riportt l line... ; in tle intervllo risult ; 8 = 0 se = ESEMPIO Disequzione inizile: > ( ) (Svolgimo i clcoli ) > Applichimo primo principio Trsportimo e > (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente > 8 Applichimo secondo principio Moltiplichimo per (<0, il verso cmi) ( ) ( ) <8 (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente < 8 Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè (> 0, il verso non cmi) 8 < (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente 8 < < 8 8 L insieme soluzione è S = Q / < oppure S = Rppresentimo l insieme S. 8 S 8,. Complet 8 Nell intervllo, è riportt l line.. ; in tle intervllo risult ( )... ; 8 nell intervllo, è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... ( ). 89

296 Osservndo i pssggi eseguiti nell esempio, deducimo un conseguenz del secondo principio di equivlenz; precismente: Se, in un disequzione, si cmi il verso ed il segno di tutti i termini, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Negli esempi precedenti, imo risolto disequzioni intere di primo grdo coefficienti interi. Se fr i coefficienti di un disequzione ce n è lmeno uno che non è intero, si procede come già visto per le equzioni. Osserv, dunque, ttentmente, l esempio seguente: ESEMPIO Riducimo llo stesso denomintore Applichimo secondo principio Disequzione inizile: Moltiplichimo mo i memri per 6 ( > 0, il verso non cmi ) y y y 6y 6 6 y 6y (Svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente y 6y Applichimo primo principio Trsportimo e 6y y6y (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente y 6 Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di y cioè (< 0, il verso cmi) y 6 (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente y 6 6 y L insieme soluzione è S = 6 y Q / y oppure S = 6,. Rppresentimo l insieme S. S 6 90

297 Complet Nell intervllo 6, è riportt l line. ; in tle intervllo risult y... y ; nell intervllo 6, è riportt l line ; in tle intervllo risult y... y ; y = y se y = Osservndo gli esempi svolti, possimo ffermre che, pplicndo i principi di equivlenz, un disequzione numeric inter di primo grdo, nell vriile, può essere sempre scritt nell form > <. PROVA TU ) Complet come negli esempi precedenti: Disequzione inizile: > 7 Applichimo primo principio Trsportimo. e. (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente Applichimo secondo principio Moltiplichimo per (< 0, il verso..) (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente Dividimo entrmi i memri Applichimo secondo principio per il coefficiente di cioè (. 0, il verso.. cmi) (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente L insieme soluzione è S =.. oppure S =.. Rppresent grficmente l insieme S e complet... Nell intervllo,... è riportt l line. ; in tle intervllo risult... 7 ; nell intervllo...,... è riportt l line. ; in tle intervllo risult

298 Disequzione inizile: > Riducimo llo stesso denomintore Applichimo secondo principio (Svolgimo i clcoli ) Applichimo primo principio Moltiplichimo mo i memri per. ( > 0, il verso non cmi ) ed elimino il denomintore Disequzione equivlente Trsportimo.. (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente Applichimo secondo principio Dividimo entrmi i memri per il coefficiente di cioè.. (. 0, il verso.) (svolgimo i clcoli ) Disequzione equivlente L insieme soluzione è S =.. oppure S =.. Rppresent grficmente l insieme S e complet... Nell intervllo,... è riportt l line ; in tle intervllo risult... ; nell intervllo...,... è riportt l line ; in tle intervllo risult.... ) Dopo ver determinto l insieme soluzione delle seguenti disequzioni, rppresentlo in tutti i modi possiili: ) ( z ) z y y ) 9

299 0. Disequzioni numeriche intere di primo grdo Schemtizzimo, or, i pssggi necessri,in generle, per risolvere un disequzione numeric inter di primo grdo (per opportunità, l vriile è stt indict con ): Disequzione inizile NO Disequzione coefficienti con SI Riducimo llo stesso denomintore mo i memri Applichimo principio e semplifico denomintore comune Sviluppimo i clcoli indicti Applichimo principio e trsportimo i termini con vriile l primo memro, termini noti l Riducimo nell form > < > 0? > < SI (il verso non cmi) NO < 0? < > SI (il verso cmi) Se = 0 l disequzione è dell form 0 > < di immedit soluzione. 9

300 ATTENZIONE Come detto in precedenz, non sempre è necessrio seguire schemi e procedimenti generli per risolvere un disequzione; esistono csi prticolri. Risolvimo le seguenti disequzioni: ) > 0; ) < 0 ) Il prodotto fr due numeri è positivo se i due numeri sono concordi. Poiché > 0, ffinchè si mggiore di zero deve essere > 0. In simoli > 0 > 0 S= ] 0, [ ) Il prodotto fr due numeri è negtivo se i due numeri sono discordi. Poiché < 0, ffinchè si minore di zero deve essere > 0. In simoli < 0 > 0 S= ] 0, [ PROVA TU Risolvi le seguenti disequzioni come negli esempi precedenti: ) y > 0; 0 z < ) > 0; 6 < Disequzioni frzionrie o frtte Riscrivimo con i simoli dell Mtemtic l seguente proposizione: Se d un numero rzionle si ggiunge e si divide l somm ottenut per il triplo del numero stesso si ottiene un numero positivo. Indicto con il numero non noto, l precedente proposizione, in simoli, divent: > 0 In quest disequzione, l vriile è presente l denomintore dell frzione; si trtt, dunque, di un disequzione frtt. Come procedere per determinrne l insieme soluzione? A tl proposito, ricordimo che: un frzione è positiv se numertore e denomintore sono concordi; un frzione è negtiv se numertore e denomintore sono discordi. 9

301 L insieme soluzione dell disequzione è, dunque, formto d tutti quei numeri per i quli numertore e denomintore dell frzione sono concordi. Numertore e denomintore devono, llor, essere entrmi positivi oppure entrmi negtivi. Studimo, llor, il segno di numertore e denomintore. Ponimo si il numertore ( ) che il denomintore () dell frzione mggiori di zero: ] [ > 0 > S =, ] [ > 0 > 0 S = 0, Rppresentimo nello stesso grfico gli insiemi S e S : > 0 > 0 Ricordimo che l line continu indic l intervllo in cui l disequzione è verifict; l line trtteggit indic l intervllo in cui l disequzione non è verifict. L rett dei numeri rimne divis in tre intervlli: ], [ ; ],0[ ; ] [ 9 0,. Esminimo il segno di numertore e denomintore dell frzione in ciscuno di tli intervlli: ], [ : l disequzione > 0 non è verifict (line trtteggit), quindi < 0; l disequzione > 0 non è verifict (line trtteggit), quindi < 0. Numertore e denomintore sono concordi (entrmi negtivi), quindi > 0. Gli elementi di questo intervllo sono soluzioni dell disequzione ],0[ : l disequzione > 0 è verifict (line continu); quindi > 0; > 0. l disequzione > 0 non è verifict (line trtteggit), quindi < 0. Numertore e denomintore sono discordi (il primo positivo ed il secondo negtivo), quindi < 0. Gli elementi di questo intervllo non sono soluzioni dell disequzione ] 0, [ : l disequzione > 0 è verifict (line continu); quindi > 0; > 0. l disequzione > 0 è verifict (line continu), quindi > 0. Numertore e denomintore sono concordi (entrmi positivi), quindi > 0. Gli elementi di questo intervllo sono soluzioni dell disequzione > 0. 0

302 L insieme soluzione dell disequzione > 0 è, llor, S = ], [ ] 0, [. Si è soliti indicre il segno di un frzione lgeric nello stesso grfico come si può vedere di seguito: 0 > 0 > 0 Osservimo che, procedendo nel modo ppen descritto, non solo risolvimo l disequzione propost, m simo in grdo di stilire per quli vlori l frzione lgeric è positiv e per quli vlori l stess frzione risult negtiv. In definitiv determinimo le soluzioni di entrme le disequzioni: > 0 < 0 e, quindi, quello che, comunemente, viene chimto segno dell frzione. Osserv gli esempi seguenti: ESEMPIO Numertore > 0 Denomintore > 0 Risolvimo le due disequzioni Disequzione inizile: < 0 > 0 > 0 > 0 > S =, ] [ > 0 > S =, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) S S Verso disequzione inizile < 0 Intervllo nel qule numertore e, denomintore sono discordi Insieme soluzione S =, 96

303 ESEMPIO Numertore 0 Denomintore > 0 (il denomintore deve essere 0) Risolvimo le due disequzioni Disequzione inizile: > 0 [ [ ] [ 0 0 S =, > 0 < S =, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) S S Verso disequzione inizile 0 Intervlli nei quli numertore e denomintore sono discordi Vlore di per il qule 0 = 0 ], [ ; ], [ = Insieme soluzione S = ], ] ], [ ESEMPIO Numertore > 0 Denomintore > 0 Risolvimo le due disequzioni Studio del segno dell frzione: > 0 > 0 ] [ > 0 < S =, ] [ > 0 > 0 S = 0, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) S S 0 Segno dell frzione ],0[ ], [ < 0 ] 0,[ > 0 = = 0 97

304 PROVA TU ) Risolvi le seguenti disequzioni: y 6z > 0 ; < 0; 6y z ) Determin il segno delle seguenti frzioni: 7y y ; z z z 0 ; 0 z Se sei un ttento osservtore, ti sri ccorto che le disequzioni frtte ppen risolte hnno un crtteristic comune: il secondo memro è sempre 0. E se il secondo memro è un espressione lgeric divers d zero? Il prolem si risolve fcilmente: è sufficiente pplicre il primo principio di equivlenz e trsportre tutti i termini dl secondo l primo memro dell disequzione. ESEMPIO Disequzione inizile: y y y > y y y y y Trsportimo e l primo memro > 0 y y y y( y ) ( y ) Riducimo llo stesso denomintore > 0 ( y ) y y y yy y > 0 > 0 Svolgimo i clcoli ( y ) ( y ) (il secondo memro è 0 ) y Disequzione equivlente > 0 y Numertore > 0 Denomintore > 0 Risolvimo le due disequzioni ( ) y > 0 (y ) > 0 y > 0 y > S = ], [ ( y ) > y > y > = ] [ 0 0 S, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) S S Verso disequzione equivlente > 0 Intervlli nei quli numertore e denomintore sono concordi ], [ ; ], [ Insieme soluzione S = ], [ ], [ 98

305 ESEMPIO 6 Trsportimo z l primo memro Riducimo llo stesso denomintore Svolgimo i clcoli Disequzione equivlente Numertore > 0 Denomintore > 0 Risolvimo le due disequzioni Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) Disequzione inizile: z z < z z z < 0 z z z z z ( ) ( )( ) ( ) ( ) z z z z 6 6 ( z ) < 0 < 0 z z z z < 0 < ( z ) ( z ) (il secondo memro è 0 ) z < 0 ( z ) z > 0 (z ) > 0 z > 0 z > z < S =, ( z ) > 0 z > 0 z > z > S =, Verso disequzione equivlente < 0 Intervlli nei quli numertore e denomintore sono discordi Insieme soluzione S S, ;,, ;, ATTENZIONE A Per determinre le soluzioni di disequzioni del tipo B ( ) 0 ( ) > oppure A( ) B( ) < 0 potremmo porre numertore e denomintore entrmi minori di zero e determinre gli intervlli in cui essi sono concordi o discordi. E per comodità e consuetudine che li ponimo entrmi mggiori di zero. 99

306 PROVA TU Risolvi le seguenti disequzioni: ) > ; ) < 0.7 Disequzioni numeriche intere di grdo superiore l primo Riscrivimo, nel linguggio mtemtico, l seguente proposizione: Se d un numero rzionle ggiungimo 6 e moltiplichimo l somm ottenut per il triplo del numero stesso, ottenimo un numero positivo. Indicto con il numero non noto, l formlizzzione dell proposizione è l seguente: ( 6) > 0 che, per consuetudine, riscrivimo nell form ( 6) > 0 Quli numeri rzionli rendono ver l proposizione? Doimo, dunque, risolvere un disequzione. A tl proposito, ricordimo che: il prodotto di due numeri è positivo se i due numeri sono concordi; il prodotto di due numeri è negtivo se i due numeri sono discordi. Doimo, quindi, stilire per quli vlori ttriuiti ll vriile i due fttori sono concordi. E necessrio, dunque, studire il segno di ciscuno dei due fttori. Procedimo come già ftto per le disequzioni frtte: ESEMPIO Disequzione inizile: ( 6) > 0 Ciscun fttore > 0 > 0 ; 6 > 0 Risolvimo le due disequzioni ] [ ] [ > 0 > 0 S = 0, 6> 0 > 6 S = 6, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) 6 0 S S Verso disequzione inizile > 0 Intervlli nei quli i fttori sono concordi ] 6; [ ] 0, [ Insieme soluzione S= ] 6[ ] 0, [ 00

307 ESEMPIO Disequzione inizile: Scomponimo in fttori il primo memro ( z )( z ) Ciscun fttore > 0 Risolvimo le due disequzioni Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) < z z 0 < 0 z > 0 z > 0 z > 0 z > S =, z > 0 z > S =, Verso disequzione inizile < 0 Intervlli nel qule i fttori sono discordi Insieme soluzione ESEMPIO z > 0 z > 0, S=, Disequzione inizile: Scomponimo in fttori il primo memro ( y )( y )( y ) ] [ y y y 0 0 Ciscun fttore 0 y 0; y 0; y 0 Risolvimo le disequzioni [ [ [ [ y 0 y S =, y 0 y S =, y 0 y S =, Rppresentimo grficmente S, S e S (nello stesso grfico) y 0 y 0 y 0 Verso disequzione inizile 0 Intervlli con il segno, ; Vlori di y per i quli y y y 0 ], [ = y {,,} Insieme soluzione S=, [, [ 0

308 OSSERVAZIONE Qulsisi disequzione numeric inter, pplicndo i principi di equivlenz, può essere mess nell form A() > 0 oppure A() < 0, dove A() è un polinomio coefficienti interi. Se A() è un polinomio riduciile, si procede come descritto negli esempi precedenti. ESEMPIO Svolgimo i clcoli Trsportimo tutti i termini dl secondo l primo memro Disequzione inizile: ( ) > ( ) ( ) > 6 6 > 6 6 > > 0 (il secondo memro è 0 ) Scomponimo in fttori il primo memro ( )( ) > 0 Ciscun fttore > 0 Risolvimo le due disequzioni > 0 > 0 ] [ > 0 > S =, ] [ > 0 > S =, Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) > 0 > 0 Verso disequzione inizile > 0 Intervlli nel qule i fttori sono concordi ], [ ; ], [ Soluzione disequzione ], [ ], [ PROVA TU Risolvi le seguenti disequzioni: ) ( ) < 0; ) z z 8> 0; c) 0; d) ( )( ) ( ) <. 0

309 0.8 Esempi di riepilogo Osserv con molt ttenzione i seguenti esempi: ESEMPIO Scomponimo in fttori il numertore dell frzione Ciscun fttore del numertore > 0 Denomintore > 0 Risolvimo le disequzioni Disequzione inizile: 6 > 0 ( ) > 0 > 0 > 0 > 0 ] [ > 0 > 0 S = 0, ] [ > 0 > S =, ] [ > 0 > S =, Rppresentimo grficmente S, S e S (nello stesso grfico) > 0 > 0 > 0 0 Verso disequzione inizile > 0 Intervlli con il segno ], 0 [ ; ], [ Insieme soluzione S= ],0[ ], [ ESEMPIO Disequzione inizile: 0 Riducimo llo stesso denomintore e 0 0 svolgimo i clcoli: ( ) ( ) Numertore 0 Ciscun fttore del denomintore > 0 0; > 0; > 0 Risolvimo le disequzioni 0 S =, > 0 S = ] 0, [ > 0 > S =, ] [ 0

310 Rppresentimo grficmente S, S e S (nello stesso grfico) 0 > 0 > 0 0 Verso disequzione inizile 0 Intervlli con il segno Vlore di per il qule 0 =, ; = ] 0, [ Insieme soluzione S =, ] 0,[ ESEMPIO Scomponimo in fttori numertore e denomintore dell frzione Ciscun fttore del numertore 0 Ciscun fttore del denomintore > 0 Risolvimo le disequzioni Studio del segno dell frzione: ( )( ) ( )( ) 0; 0; > 0; > 0 [ [ ] ] ] [ ] [ 0 S =, 0 S =, > 0 > S =, > 0 > S =, Rppresentimo grficmente S, S, S e S (nello stesso grfico) 0 0 > 0 > 0 Segno dell frzione ], [ ],[ ], [ < 0 ], [ ],[ > 0 {, } = 0 0

311 ESEMPIO Applichimo il principio e trsportimo il termine l primo memro y y Riducimo llo stesso denomintore e svolgimo i clcoli Disequzione equivlente Numertore > 0 Ciscun fttore del denomintore > 0 Risolvimo le disequzioni Disequzione inizile: < y y y y 0 y y y y < ( y ) ( y ) ( y )( y ) < 0 y y < 0 ( y )( y ) y < 0 ( y )( y) y ( y )( y) y > 0 y > 0 y > 0 < 0 ] [ y > 0 y > 0 S = 0, ] [ y > 0 y > S =, ] [ y > 0 y > S =, Rppresentimo grficmente S, S e S (nello stesso grfico) y > 0 y > 0 y > 0 0 Verso disequzione equivlente < 0 Intervlli con il segno ], [ ; ] 0, [ Insieme soluzione S = ], [ ] 0,[ 0

312 ESEMPIO Numertore > 0 Denomintore > 0 Insieme soluzione Disequzione inizile: k > 0 k ( ) 0 S chè? k > = Q per k > = Q ( ) 0 S perchè? (numertore e denomintore sono sempre positivi e, quindi, sempre concordi) S = Q ESEMPIO 6 Disequzione inizile: y y > 0 y Scomponimo in fttori il numertore Numertore > 0 Denomintore > 0 ( y ) y > 0 ( y ) > 0 S = Q { } ( perchè? ) y > 0 y > S = ], [ Rppresentimo grficmente S e S (nello stesso grfico) (Il simolo in corrispondenz di indic che tle vlore non è soluzione dell disequzione) (y ) > 0 y > 0 Intervlli con il segno ], [; ], [ Insieme soluzione S= ], [ ], [ = ], [ { } PROVA TU ) Risolvi le seguenti disequzioni come negli esempi precedenti: < 0 ; 0 > 0 ; h h > 0 h ) Determin il segno delle seguenti frzioni: ) 6 ; ) 06

313 ESERCIZI CAPITOLO 0 Disequzioni Conoscenz e comprensione ) Vero o flso. ) 7 < 8 V F ) 7 > 8 V F c) 7 > V F d) () (7) > () () V F e) < 7 V F f) 9 < 7 9 V F g) > V F h) 7 > 7 V F ) Medinte qule operzione si ottiene, prtire dll prim, l second disuguglinz? ) < < ) > < 6 c) 9 > 0 > 7 7 d) < 7 < e) > < ) Di l definizione di disequzione in tutti i modi che conosci. ) Se = 0, l disequzione < 0 è: ) Impossiile ) Sempre verifict o impossiile c) Determint d) Sempre verifict e) Impossiile o determint 07

314 ) Due disequzioni sono equivlenti se : ) entrmi i memri sono moltiplicti o divisi per uno stesso numero. ) d entrmi i memri si somm o si sottre lo stesso numero negtivo e si cmi il verso dell disequzione. c) entrmi i memri sono moltiplicti o divisi per uno stesso numero positivo. d) entrmi i memri sono moltiplicti o divisi per uno stesso numero diverso d zero. 6) Qule, fr le seguenti, non è un disequzione lgeric rzionle inter? ) z z > ; ) y y< 0; c) t 0 ; d) h < 0 t 7) Vero o flso. ) L disequzione t t 0 è un disequzione lgeric. V F ) L disequzione < 0 è di secondo grdo. V F c) L disequzione d) L disequzione m hm 0 può essere inter. V F m m hm 0 8) Che cos si intende per soluzione di un disequzione? 9) Che cos è l insieme soluzione di un disequzione? 0) Un sol delle seguenti ffermzioni è corrett; qule? può essere numeric. V F m ) Un disequzione h sempre un numero finito di soluzioni; ) Un disequzione di primo grdo h un sol soluzione; c) Un disequzione h sempre un numero infinito di soluzioni; d) Un disequzione può vere un numero finito di soluzioni; e) Se un disequzione h lmeno un soluzione, llor ne h infinite. ) Che cos si intende per intervllo numerico? ) Come puoi rppresentre un intervllo numerico? ) Rppresent grficmente l insieme A = { Q / < } ) Con qule delle seguenti scritture puoi indicre l intervllo <? ) [, ]; ) ], ]; c) ], [; d) [, [; e) (, ). ) Con qule delle seguenti scritture puoi indicre l intervllo y < 9? ) [,9[ ; ) [,9]; c) ] 9, [ ; d) ],9]; e) ],9[ 6) Con qule delle seguenti scritture puoi indicre l intervllo t >? ) ], ]; ) [, ] ; c) [, [ ; d) ],[ ; e) ], [ 08

315 7) Qule intervllo è rppresentto nell seguente figur? ) [, [ ; ) ], [ ; c) ], ] ; d) [, ] ; e) ], [ 8) Qule intervllo è rppresentto nell seguente figur? 7 ) [, 7 ] ; ) ], 7 ] c) [, 7 [ ; d) [ 7, [ ; e) ], 7 [ 9) Qule, fr le seguenti figure, è l rppresentzione dell intervllo 8? ) 8 ) c) d) e) ) Qundo, due disequzioni si dicono equivlenti? ) Che cos fferm il primo principio di equivlenz delle disequzioni? E il secondo? ) Qule delle seguenti proposizioni è fls? ) Se, d mo i memri di un disequzione, si ggiunge un numero negtivo, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. ) Se si moltiplicno mo i memri di un disequzione per un numero positivo, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. c) Se si dividono mo i memri di un disequzione per un numero negtivo e si cmi il verso dell disequzione, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. d) Se si moltiplicno mo i memri di un disequzione per un numero non negtivo, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. ) Qule, fr le seguenti disequzioni, non è equivlente ll disequzione <? ) < ; ) 6< 0 ; c) < ; d) 9 6 < ; e) 8<. 09

316 ) Q è l insieme soluzione di un sol delle seguenti disequzioni; qule? 6 ) ( ) > ; ) ( ) c) ( ) d) ( ) 6 > ; 6 > ; > 6; e) ( ) > ) L insieme soluzione di un sol delle seguenti disequzioni è un insieme finito. Qule? ) ( ) 0; ) ( ) > 0; c) ( z ) > 0; d) ( t ) > 0; e) ( m ) 0. 6) L insieme vuoto non è soluzione di un sol delle seguenti disequzioni; qule? ) ( ) < ( ) ) ; h 0; c) ( )( ) < ( ) ( ) ; d) ( ) < ( ) ; e) ( m ) > m( m ) 7) Un sol delle seguenti disequzioni è equivlente ll disequzione > 0; qule? ) ( )( ) > 0; ) ( )( ) < 0; c) ( ) > 0; d) ( ) > 0; 8) L intervllo ], ] ], [ è l insieme soluzione di: e) < 0. ) ( s )( s ) 0; ) h d) 0; e) h m 0; m z 0. z 0 c) ( )( ) > 0;

317 ESERCIZI Risolvi le seguenti disequzioni numeriche intere di primo grdo: ) > 0; 9 0 ) 0 > 0; < S =, ;S=], [ m < S =, ;S = ], [ ) y > 0; 6t t S= ] 0, [;S=[, [ ) ; z < s 0 9 S =, ;S = ],0] ( m ) < 0 S =, ;S = ], [ ) 7 ; 6 v ( v ) 6) k k ; S, ;S, = = 7) ( )( ) ( ) S, = 8) h > ( h ) h [ S = ] 9) z > z 6 S, = 0) 6 6 S = ],0] ) t ( t ) > t 6 S= ], [ 7 ) k k > S, = ) ( y ) ( y )( y ) [ S = Q ] ) z z S, = ) ( ) 6 S, = 7 6) ( t )( t ) t < t( t) t 9t [ S = Q ] 7) ( ) ( )( ) < 8 S = ], [ 8) m 8 0 < S, =

318 9) 0) ) ) ) ) s s > s 9 6 h7 h > 9 p p p p < 6 r 7 6 > r r t 9 t t 8 h 7 h h 9 6 S, = S, = S, = 7 S, = [ S = ] ] ] S =, 7w 8 w 6 6 ) ( w ) ] ] S =,0 6) ( ) S= [, [ 7) ( y ) y( y ) > y y 7 S = ], [ 8) ( ) ( ) > 8 6 9) ( h ) ( h ) ( h ) ( h )( h h ) 6h( h) 7 S, = 9 S = ],] 0) ( s ) ( s )( s ) 7( s )( s) 8 S, = ) ( ) < 0 ( ) ) ( z ) ( z ) ( z ) 8 > 6 6 ) ( z) ( z ) ( z )( z ) ( z ) 8( z 6) ) ( ) S =, S, = 8 S= [, [ ( )( ) d d d 9 d < d d d k 6 S =, ) ( k ) < ( k ) k [ S = ]

319 < [ S = Q ] 6) ( m ) ( m )( m) ( m )( m m ) ( m ) 7) ( ) ( ) v v ( ) v v v < ] [ S =, 8) < 7 S, = 0 9) ( )( ) ( 7) ( )( ) < ( ) ( ) ( ) S= ] 0, [ 0) ( ) ( )( ) ( )( ) y y y y y y) > ( y) [S = ] 8 ) ( d)( d ) ( d ) ( d ) ( d 8) ) S, = S = ], ] ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Risolvi le seguenti disequzioni numeriche frzionrie: ) 7m 9 > 0; 0 m 9 S ] 0, [;S, = = 7 ) h > 0; 6h k S,, ;S ],0 [, k = = ) 8 > ; 0 0 6v S ], [;S, = = 6 6) t 0; t 6 8v 0 v 9 S, = ;S=],] 7) 8) 9) 7 ; < 0 6 c s 8 t < ; > s t g g g < g g 60g S, = ;S = ], [ 8 ] [ ] [ [ [ S=,0 ;S =,, 7 S =, 8 0) 7 ; z 0 c 8 S, ;S, = = ) > 0; w y > y y S, = ], [; S = ], [

320 ) 8 k > ; k > 6 S ], [, ;S, = = ) z ; z < < S, = ], [;S=] 0,[ ) 7 < S =, ) ( p) p 7 ( p ) [ [ S=,7 6) 9s s 7s s < ] [ S,0, = 7) 8) 9) 60) 6) 6) 6) y y 0 y y 0 6 m m m < m 9 > f f f f 6f f ( ) 7 6 ( )( ) < 6 66 S,, = S =, S, = 8 S ], [, = S =, [, [ S, = 7 S =, 9 Risolvi le seguenti disequzioni numeriche di grdo superiore l primo: 6) ( ) > 0; ( s )( s ) < 0 S = ], [ ] 0, [ ;S=],[ 6) ( t ) < 0; ( h) > 0 S = ;S = ],[ 66) 67) 0; r r > m 0 < 0 ; S = Q{ } ;S= Q t 0 S =, ], [;S=[,]

321 68) 69) 9z z 0; v v < 0; > { } y 8y S = ;S= 0, s [ S = ;S= Q ] 70) 7) 7 8 w 0 ; 6 < 0 m 0 m 8 8 S=, ;S,, = > S= ] 0, [;], [ 7) 0 S =, 0, 7) ( p ) ( p ) 7) > 0 h 7 h S, = {} [ S = ] 7) 76) 6 y k k k > ] [ S,0, = 7y 6< 0 S = ], [ ],[ 77) 78) > ( ) ] [ S =, [ [ S= 0, 79) 80) 8) 8) 7 S,, = ] ] ( ) s s > 0 8 S =, [, [ [ S=Q ] > S= ], [ ], [ 8) w 7w> 6 w 8) ( ) z z > 0 S, = [, [ [ S = ] 8) 86) y y 9 m m 0 9 [ S=Q ] [ S = ]

322 87) 88) 89) 8< 0 S = ],[ { } 9 h h h 9 z z z [ S=Q ] 8 8> 0 S= ], [ { } Studi il segno delle seguenti frzioni: 90) m m ; m 9 6 ; 8 t 7 t 9) ( p ) p ; 6 y ; y v v v v 9) k k k ; s s s ; z z 9) w w ; w 6d d d 6 ; 0 Risolvi le seguenti disequzioni di vrio tipo: 9) 9) 96) 97) 98) 99) 00) 0) 0 k : k k k k k ( ) > 0 ( s ) s 8 0 s s 6 > 0 v < ( v ) ( v) ( v) S, = [, [ S, = ], [ 9 S=, ], [ 7 ] [ { } S=, 0 S =, ] ] ] ] ] [ S =,,, ] [ { } S=, S =, 6

323 0) 0) 0) 0) t t t 0 z z z z S, = [ 0,] S= { } 7w w > 0 { } S= Q k k S= { 0} 06) ( ) ( )( ) ( ) ( 7) > [ S = ] 07) ( ) ( )( ) ( ) 08) t t t t t t t [ S = Q ] c c < 0 c c S=, ] [ { } 09) y > 0 y [ S=Q ] 0) m m m m m m S = ], ] m ) ) ) > 8 w ( w ) < w w w w w h h 6h h 0 ] [ S =, S =,0, S, = {} 0 v > v ) ( v ) ) y( y) ( y )( y ) < ( y ) s 6) 0 s s s 7) ( ) 7 < 0 { } S= Q 0 S =, [ [ [ [ S=,,0 [ S= ] 8) < 9) S ], [;, ;], [ = ( ) q q q < 0 q q 7 ] [ ] [ ] [ S =, ; 0, ;,

324 Quesiti vri Formlizz con un disequzione e, successivmente, risolvi i seguenti prolemi: 0) Mrt decide di prtecipre d un corso di cucin che prevede, l mssimo, 0 lezioni. Le vengono ftte due proposte di pgmento: propost A: l termine di ciscun lezione Mrt pgherà 9.0; propost B: Mrt pgherà nticiptmente più un tss di per le 0 lezioni. Dopo un reve riflessione, Mrt opt per l propost B Qul è il numero minimo di lezioni lle quli dovrà prtecipre Mrt ffinchè l propost B risulti, economicmente, più conveniente? [7] ) Un ziend vinicol immette sul mercto un nuov qulità di vino l prezzo di.0 l litro. L produzione del vino h un costo fisso di 900 l qule è necessrio ggiungere il % del costo fisso per il lncio pulicitrio ed il %, sempre del costo fisso, qule contriuto per le spese di spedizione verso i diversi rivenditori; l ziend prevede di gudgnre, d questo nuovo prodotto, lmeno Qunti litri di vino, l minimo, dovrà immettere sul mercto? [07] ) Roert si rec l r per l solit colzione: un cffè, l costo di 0.80, e un cornetto, l costo di.0. Mentre consum l su colzione, Roert vede sul ncone del r un contenitore di cioccoltini che costno 0. l uno e non s resistere ll tentzione di cquistrne qulcuno; nel suo orsellino, Roert h soltnto.7. Qunti cioccoltini, l mssimo, potrà cquistre? [] ) Il flcone d l del detersivo usto d Pol per il suo ucto cost.0. Lo stesso detersivo, l centro commercile, è in offert con uno sconto del 0%. Pol clcol che, per rggiungere il centro commercile distnte d cs su km 7, occorrono 0.7 l di enzin che cost.7 l litro. Se Pol vuole risprmire lmeno, qunti flconi di detersivo, l minimo, deve cquistre? [] ) Un ziend produce delle viti specili per lcuni mcchinri che vende l prezzo di 0.7 l uno. L produzione di queste viti comport un costo fisso di 780 e di 0. per ogni vite prodott. Qul è il numero minimo di viti che l ziend deve produrre per rimnere in ttivo? [69] ) Il commesso di un negozio di iglimento gudgn l giorno e, in più, 0.80 per ogni cpo venduto. Qunti cpi di iglimento, l minimo, deve vendere in un giorno se vuole gudgnre lmeno 70 in un giorno? [] 8

325 6) L differenz di due numeri nturli è 6 e l metà dell loro somm è minore di. Quli possono essere i due numeri? [0 e 6; e 7] 7) In un frzione numertore e denomintore sono interi positivi e l loro differenz è ; se si dimezz il numertore e si triplic il denomintore si ottiene un frzione minore di. Qul è il più piccolo vlore che può ssumere il numertore dell frzione? [7] 8) Dte le equzioni: ( ) ( ) = e ( ) ( ) = 7 Per quli vlori di l somm delle loro soluzioni è minore di? ] [,, 9) Consider l proposizione: L somm di due numeri nturli è 0 e l differenz dei loro qudrti è minori di 0. Qunti sono gli elementi del suo insieme di verità? [8] 0) Si P() = h 0un polinomio. Quli vlori può ssumere l letter h ffinchè P() si mggiore di? h, 9 ) Per quli vlori di l soluzione dell equzione ( z ) = ( z ) è negtiv? ] 0,[ ) Per quli vlori di k il resto dell divisione ( ) k : è mggiore di? 7 k, ) Per quli vlori di m l soluzione dell equzione ( ) ( ) non positivo? ) Per quli vlori di il resto dell divisione ( ) m y m y m = m è un numero 8z z z : z m ],] { } è un numero non negtivo?, 6 ) Qul è il più grnde degli interi positivi n tli che l medi ritmetic dei numeri d n si minore di 00? ) 00; ) 00; c) 00; d) 00; e) 00 [Olimpidi dell Mtemtic, 00] 9

326 PROBLEMI DI SCELTA 6) L plestr Slus offre i clienti le seguenti triffe: A. Per ogni singolo ingresso 7,00 B. Per un onmento mensile (indipendentemente dl numero di 9,00 ingressi) 0,00 fisse,00 C. Formul promozionle ingresso Determinre l triff mensile più conveniente in funzione del numero di ingressi. [fino 7 ingressi l triff A.; in tutti gli ltri csi l C.] 7) Un rivenditore di uto sportive deve scegliere fr le seguenti proposte di retriuzione mensile: 800,00 fisse indipendentemente dl ftturto 000,00 fisse e 00,00 per ogni ordine 0 per ogni ordine Determinre l retriuzione più conveniente in se l presunto numero di ordini. [fino 6 ordini l prim retriuzione; in tutti gli ltri csi l terz] 8) Un utente riceve per post un deplint che promuove due triffe di un cert compgni di servizi elettrici: Tipologi di triff Costo fisso Costo l KWh A,00 0,0 /KWh B 0,00 0,0 /KWh Determinre l triff che minimizz l spes mensile l vrire del consumo. 9) Per il noleggio di un furgone, un ziend riceve due proposte di spes Spes fiss di 0,00 con l ggiunt di un spes consumo di Km percorso Spes fiss di 80,00 con l ggiunt di un spes consumo di,0 Km percorso Determinre l scelt più conveniente in funzione dei chilometri che si intende percorrere. [fino 60Km conviene l prim triff; 60 Km l spes è di 70 ] 0

327 0) Un impres deve stipulre un contrtto con un impres di pulizie e riceve le seguenti proposte: 6000,00 nnui indipendentemente dgli interventi 00,00 nnui cui ggiungere 00,00 intervento 00,00 intervento Determinre l offert più conveniente in funzione del numero degli interventi richiesti in un nno. fino l propost c; d 8 interventi l propost ; per ogni ltro cso l propost ) Per il trsporto mensile di mteri prim per l su produzione, un ziend può scegliere fr due lterntive: ) 000,00 fissi più 00,00 d ogni viggio ) 000,00 fissi più 0,00 d ogni viggio Determinre l scelt ottim in modo d minimizzre il costo. [ fino 0 trsporti l ; per gli ltri csi l ] ) Per l produzione di un rticolo, un ditt può scegliere fr tre tipi di mcchinri con le seguenti crtteristiche: Tempo per l Mcchinrio Tempo per l vvio produzione di un rticolo A 0 B C 0 Determinre l mcchin più conveniente in funzione dell produzione giornlier, tenendo conto che l mssim produzione giornlier è di 60 rticoli. ) Per l mnutenzione nnule dell scensore, l Assemle dei Condomini, è tenut votre sulle proposte vute d tre ditte. L prim ditt propone un quot fiss di 000,00 ; l second propone 00,00 intervento; l terz propone un formul mist con quot fiss di 000,00 e 00,00 intervento. Determinre l scelt più conveniente in funzione del numero di interventi. se si presumono fino interventi, conviene l second offert; per un numero superiore di interventi l prim offert

328 ) Per l orgnizzzione di un viggio di istruzione di tre giorni, un Istituto di Istruzione Superiore riceve d tre genzie le seguenti offerte per un gruppo di 0 studenti ) 0,00 person, tutto compreso, indipendentemente dl trgitto ) 0,00 person per l lloggio in lergo cui ggiungere,00 Km c) 0,00 person per l lloggio in lergo cui ggiungere,00 Km Determinre l offert più conveniente in funzione dei chilometri percorsi. fino 00 Km conviene l ; d00 km 00 km conviene l c; per gli ltri csi l ) Per un contrtto telefonico, un ziend ottiene tre proposte d gestori di telefoni: ) 0,00 mensili tutto compreso ) 0,00 fissi per l line ADSL, più 0,0 chimt verso numeri fissi o cellulri c) 0,00 fissi più 0,0 chimt verso numeri fissi o cellulri Determinre l offert più conveniente in funzione del numero di chimte. Fino 00 chimte l ; d00 chimte l c; per tutti gli ltri csi l 6) Un Dirigente Scolstico riceve le seguenti offerte reltive lle Uscite Didttiche di un giornt: ) 00,00 indipendentemente dll distnz ) 00,00 fissi più 0,0 Km c) 0,0 chilometro percorso e nessun spes fiss Determinre l scelt più conveniente in funzione dei chilometri percorsi. fino 000 Km conviene l c; d000 Km 0 Km conviene l ; negli ltri csi l 7) Per orgnizzre l meglio il loro mtrimonio, un coppi di sposi può scegliere tr tre proposte: ) Incricre un Agenzi che si occuperà di tutt l complet orgnizzzione spendendo 0000,00. ) Spendere 80,00 person invitt l Ristornte e incricre un ditt che si occupi di tutto il resto l costo di 0000,00 c) Spendere 00,00 person invitt spendo che in quest quot più mpi sono comprese nche omoniere e ddoi. Determinre l scelt più conveniente in funzione del numero di invitti. fino 00 invitti conviene l triff c; oltre quest quot l

329 8) Ad un cliente di un Bnc vengono fornite tre proposte per l gestione dei costi del conto corrente ncrio: ) 60,00 fisse, indipendentemente dlle operzioni effettute ) Costo fisso nnuo di 0,00 e 0,0 su ogni operzione ncri c) Zero costi fissi m 0,80 su ogni operzione ncri Determinre l scelt più conveniente. fino 7 operzioni l propost c; poi sempre l 9) Per l relizzzione di un mnuftto si può scegliere un delle seguenti strtegie produttive le cui spese sono così riportte: A: 0,08 pezzo relizzto e,00 fisse. B: 0,0 pezzo relizzto fino d un numero totle di 0 pezzi; 0,09 per ogni ltro pezzo eccedente il numero di 0. C: 0,07 pezzo relizzto con l ggiunt di 0,00 di spese fisse. Determinre l strtegi più conveniente che minimizz i costi di produzione. fino 70 pezzi conviene B; d7 00 pezzi conviene A; quindi C 0) Per il contrtto di lvoro, un rppresentnte può scegliere fr le seguenti proposte: ) 00,00 mensili ) slrio fisso di 000,00 e 0,00 di incentivo d ogni ordine c) slrio fisso di 800,00 e premio di produzione 0,00 per ogni ordine. Qule slrio srà più remunertivo in funzione degli ordini mensili che si presume di poter grntire? fino ordini l propost ; poi sempre l propost c

330 CAPITOLO Elementi di Sttistic descrittiv. Introduzione Questo percorso, senz l pretes di essere esustivo, vuole vvire, con un linguggio semplice e ricco di esempi, l pproccio d un serie di prolemi molto vicini ll vit rele che fccino comprendere gli studenti l importnz e l uso quotidino dell mtemtic.?? Che cos è l sttistic? L sttistic deve il suo nome l ftto che è nt come metodo di rccolt, studio e nlisi dei dti reltivi ll popolzione, utilizzti per il governo degli stti. L uso dell sttistic è trsversle ed esteso tutti i cmpi (scientifico, socio-economico, politico etc.) nei quli si necessrio descrivere o nlizzre un fenomeno su un popolzione (o universo) costituito d elementi (o unità) oggetto dell osservzione. Gli strumenti mtemtici utilizzti per descrivere e sintetizzre un certo fenomeno costituiscono l sttistic descrittiv. Fsi di un indgine sttistic. Progettzione L definizione degli oiettivi di un indgine sttistic e l conoscenz del fenomeno oggetto di studio sono elementi fondmentli per l progettzione dell indgine stess e degli strumenti di rilevzione dei dti (questionri, misurzione dirett, etc.).. Rilevzione dei dti I dti sono definiti primri qundo sono il risultto di un rilevzione dirett, mentre sono definiti secondri nei csi in cui sono rccolti d puliczioni, nnuri, internet o ltre fonti. L rilevzione può essere effettut ttrverso: con strumenti di misur per interviste, questionri o l osservzione di fenomeni scientifici. Elorzione I dti originri (o grezzi) vengono clssificti e sintetizzti per procedere poi ll fse successiv.. Presentzione, che vviene ttrverso telle e grfici, medie e indici.

331 . Interpretzione degli esiti Lo scopo per cui si vvi un indgine sttistic è sempre quello di comprendere le dinmiche di un fenomeno, generlmente per poter effetture previsioni sull su evoluzione e sviluppo. M l interpretzione dei dti forniti d un rilevzione richiede, oltre ll conoscenz del processo di rccolt ed elorzione, nche un conoscenz del fenomeno oggetto di studio. Le fsi che pprofondiremo, come prettmente tecniche (mtemtico-sttistiche), sono le fsi (elorzione) e (presentzione dei dti.) ATTENZIONE Prim di proseguire, dovri iturti d usre lcuni simoli del linguggio mtemtico. SIMBOLI per ogni vlore dell indice i in form più comptt si scrive i l somm di n ddendi... n n in form più comptt si scrive n i = i il prodotto di n fttori... n n in form più comptt si scrive n i = i. Elementi di se Presso l Istituto C. Colomo si è deciso di effetture tre indgini tr lcuni lunni dell scuol. Il dirigente scolstico h scelto di effetture tli indgini nell clsse G. Agli lunni di quest clsse viene chiesto qule si. il mezzo di trsporto itulmente utilizzto per recrsi d cs scuol;. il numero di liri presenti l momento in crtell;. l somm delle monete disposizione per cquistre iite o merendine. Prim di procedere imprimo lcuni termini che si usno in sttistic: popolzione (o universo) è il gruppo di persone o di oggetti su cui si indg. Si prl di censimento se l indgine viene condott sull inter popolzione, si prl di rccolt cmpionri se l indgine viene condott soltnto su un prte dell popolzione, prte che viene dett cmpione. unità sttistiche sono i singoli elementi di un popolzione o di un cmpione. Indicheremo con N il numero totle delle unità sttistiche su cui si indg.

332 crttere è l crtteristic degli elementi dell popolzione oggetto dell indgine. Tle crtteristic viene nlizzt ttrverso le vrie modlità con cui si mnifest. Un crttere si dice quntittivo se si present con modlità descritte d numeri, in cso contrrio si dice qulittivo. Il dirigente dell istituto h dunque scelto come cmpione dell scuol l clsse G. Le unità sttistiche sono i singoli lunni di tle clsse e d essi il dirigente chiede di fornire le vrie modlità con cui si mnifestno i crtteri oggetto delle tre indgini. indgine. crttere: mezzo di trsporto itulmente utilizzto per recrsi d cs scuol modlità i = piedi = iciclett = motorino o scooter = utomoile = utous o pullmn = treno 6 indgine. crttere: numero di liri presenti l momento in crtell modlità i = 0 = = = = Nell indgine il crttere è..,mentre nell indgine è.. indgine. crttere: somm delle monete disposizione per cquistre iite o merendine In questo cso risult complesso fornire le vrie modlità con cui tle crttere può mnifestrsi, perché è molto proile che gli lunni posseggno monetine con somme molto diverse tr loro; si può superre l ostcolo rppresentndo le modlità del crttere quntittivo utilizzndo le clssi. 6

333 clsse [ ; ) è un insieme dei numeri compresi tr due vlori detti e. Generlmente si consider il numero compreso nell clsse ed il numero escluso, inftti il vlore di srà il primo estremo pprtenente ll clsse successiv. Possimo pensre clssi dove oppure clssi più mpie dove = 0 = 0, i i i = 0 = i i i = 0 = i 0, = 0 = i nei due csi si ottiene: clsse [ i ; i ) clsse [ i ; i ) [ ) [ 0;0, ) [ ) [ 0; ) ; = ; = [ ) [ 0,; ) [ ) [ ; ) ; = ; = [ ) [ ;, ) [ ) [ ; ) ; = [ ) [,; ) ; = [ ) [ ;, ) ; = [ ) [,; ) 6 ; 6 = ; = PROVA TU ) A qule clsse pprtiene,0 nel primo cso?.. E nel secondo?. ) A qule clsse pprtiene nel primo cso?.. E nel secondo?. Prim di procedere ecco ltre due definizioni: frequenz ssolut crttere frequenz reltiv unità sttistiche F i è il numero di volte con cui si present un modlità del Fi fi = è il rpporto tr l frequenz ssolut ed il numero totle delle N Si può scegliere di esprimere l frequenz reltiv con un frzione propri, con un numero decimle compreso tr 0 ed oppure con numero percentule compreso tr 0 e 00. Or possimo riprendere in esme le tre indgini e comincire rccogliere le risposte dgli lunni. 7

334 indgine. mezzo di trsporto itulmente utilizzto per recrsi d cs scuol: modlità Frequenz ssolut frequenz reltiv = piedi F = f = 0, = iciclett F = 0 f = 0 = motorino o scooter F = 0 f = 0 = utomoile F = f = 0, = utous o pullmn F = 8 f = 0, = treno F = f = 0, I vlori dell terz colonn sono stti ottenuti clcolndo il rpporto tr il vlore dell frequenz ssolut ed il numero totle N degli lunni dell clsse. M qunti sono gli lunni dell G?. Avri certmente notto che il numero N degli lunni è N = e che f =. i F i i i indgine : numero di liri presenti l momento in crtell: modlità frequenz ssolut frequenz reltiv 0 0, 0,0 0,0 PROVA TU Complet l tell con i vlori mncnti delle frequenze reltive indgine : somm delle monete disposizione per cquistre iite o merendine Gli lunni dichirno di vere disposizione le seguenti somme in euro:,0 0, 0,0 0 0,0 0,70,7,0 0,80 0,0,,0,0 0,90,0 0. Nell tell le modlità sono espresse in clssi di mpiezz mezzo euro ; nell tell le modlità sono espresse in clssi di mpiezz un euro : 8

335 clsse frequenz frequenz reltiv [ 0 ;0, ) 0, [ 0,; ) 0, [ ;, ) 7 0, [,; ) 0 0 [ ;, ) 0, [,; ) 0, clsse frequenz frequenz reltiv [ 0 ; ) 9 0, [ ; ) 7 0, [ ; ) 0, [ ; ) 0,0 [ ; ) 0,0 T. t.. Rppresentzioni grfiche Vedimo or lcune possiili rppresentzioni grfiche dei dti sttistici e loro frequenze: ortogrmm su di un sse orizzontle si segnno le modlità ssegnndo ciscun un segmento di ugul lunghezz su di un sse verticle si segnno i vlori delle frequenze (ssolute o reltive) si costruiscono poi dei rettngoli; ciscuno di questi h per se il segmento riportnte l modlità e per ltezz l reltiv frequenz istogrmm su di un sse orizzontle si segnno i vlori degli estremi delle clssi con cui si sono espresse le modlità su di un sse verticle si segnno i vlori delle densità di frequenz d i Fi = si costruiscono poi dei rettngoli; ciscuno di questi h per se il segmento-clsse e per ltezz l densità di frequenz, in questo modo l re di ogni rettngolo rppresent l frequenz dell modlità reogrmm (o digrmm tort) si suddivide un cerchio in settori circolri in modo che in ogni settore circolre l ngolo l centro i mpiezz proporzionle ll frequenz dell modlità che tle settore circolre rppresent 60 F α i i = oppure α i = 60 f i N 9 i i

336 digrmm crtesino sull sse orizzontle si segnno i vlori numerici delle modlità; sull sse verticle si segnno i vlori delle frequenze (ssolute o reltive); si segnno, nel pino crtesino, i punti di coordinte ( i ; F i ); l insieme dei punti ottenuti è detto nuvol di punti; congiungendo i punti si ottiene un poligonle che mostr l form dell distriuzione delle frequenze. Rppresentimo i dti rilevti nelle tre indgini con le diverse rppresentzioni grfiche indgine. ortogrnmm freq uenze piedi ici moto uto us treno mezzi di trsporto Areogrmm mezzi di trsporto treno; ; % piedi; ; % ici; 0; 0% moto; 0; 0% us; 8; 0% uto; ; 0% indgine. digrmm crtesino frequenze numero liri 0

337 indgine. istogrmm densità di frequenz 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ,0 0,0- -,0,0- -,0,0- clssi. Indici di posizione Si chim indice di posizione un vlore che rppresent sinteticmente un insieme di dti. Vedremo lcune situzioni prolemtiche che richiedono l uso di questi indici di posizione e di essi dremo le definizioni. Prolem L pulicità Un rete televisiv h rccolto i dti di scolto nei giorni invernli nell fsci orri 0-. Rppresentimo i dti con un tell di frequenze: In qule giorno un genzi di pulicità potree consiglire d un proprio cliente di inserire uno spot pulicitrio? L rispost è... perché è il giorno che present il numero più lto di spetttori. F lunedì mrtedì mercoledì giovedì venerdì sto domenic MODA Si definisce mod il dto che, in un distriuzione, si present con frequenz mggiore: M O = h dove i, Fh Fi Fi Se l distriuzione è espress in clssi, l clsse modle srà quell che present mggiore. i i Nel prolem Mo = = mercoledì perché F è l frequenz mggiore. =

338 Prolem Il premio In un gr di mtemtic studenti di un clsse hnno riportto i seguenti punteggi: Il professore decide di ssegnre un premio tutti gli studenti con punteggio superiore quello conseguito dll metà meno rillnte dell clsse. Qule punteggio occorre superre per ottenere il premio? Per risolvere il prolem è necessrio disporre i punteggi in ordine crescente: = 0, = 0, =, =, =, =, =, 6 7 =, = 60, = 60, = 70, = 7, = 7, = 77, = 77, = 80, = 8, = 8, = 88, = 90, = 90, e, successivmente, individure quello che occup l posizione centrle. Otterrnno, dunque, il premio tutti gli studenti con punteggio superiore. MEDIANA Dopo ver ordinto i dti in modo crescente, si definisce medin il dto che occup l posizione centrle. Si,,......, l sequenz ordint dei dti n se n è dispri l medin M e è il dto di indice n se n è pri l medin M e è dt dll semisomm dei n n dti di indici ed Nel prolem, dopo ver disposto i dti in ordine crescente, si h Me = = 70. Prolem Il viggio Un gruppo di mici prte d Bri per un viggio in uto. = L tpp Bri Venezi di 70 km viene percors un velocità medi di 9 km/h; l tpp Venezi Firenze di 60 km 6 km/h; l tpp Firenze Rom di 60 km 0 km/h; l tpp Rom Bri di 0 km km/h. Qul è l velocità medi dell intero percorso? Per rispondere occorre mettere rpporto l intero spzio percorso ed il tempo impiegto.

339 Lo spzio totle percorso è s tot = 70 km......= 0 km. s Ricordimo che possimo ottenere il tempo impiegto per ogni tpp con l formul t = : v Se indichimo con t il tempo impiegto per ndre d Bri Venezi, con t il tempo impiegto per ndre d Venezi Firenze, con t il tempo impiegto per ndre d Firenze Rom e con t il tempo impiegto per ndre d Rom Bri; si ottiene: 70 9 = h, t = h, t = h, t t 60 6 Il tempo totle srà l somm dei tempi t, t, t, t : t = t t t t tot = h... L velocità medi, quindi, srà: Riscrivimo l formul in un ltro modo: ( ) s km tot vmedi = vmedi = = 88,6 km/ h t tot h vmedi = km/ h= 88,6 km/ h Ricordndo il significto di moltipliczione, possimo pensre che ogni reciproco di velocità si un dto che compre tnte volte qunt è il numero di chilometri del trtto percorso con tle velocità, ottenimo così l seguente tell: F Dunque, inserendo i simoli introdotti, l formul divent: 0 N vmedi = km/ h= = 88,6 km/ h F i i i

340 MEDIA ARMONICA Si definisce medi rmonic il dto A che, sostituito ogni dto, ne conserv l somm dei reciproci. In simoli: A = i N Fi i Prolem Il tsso Un somm di denro viene impiegt per tre nni in un nc che pplic il primo nno il tsso del,%, il secondo nno del,% ed il terzo nno del,0%. Qul è il tsso medio pplicto nei tre nni? Detto C il cpitle inizile, i montnti clcolti con i tre diversi tssi sono i seguenti: M = C 0,0C =, 0 C = ( t ) C M 0 = M 0,0M =, M = ( t ) M M 00 = M 0,00M =, M = ( t ) M e dlle tre formule si ricv M ( t )( t )( t ) C =,00,0,0 C =, C = Per clcolre il tsso medio, ponimo i tre tssi uguli tr loro: t t = t = t = = Il tsso richiesto risolve l equzione ( t ), t =, =,09 Il tsso medio pplicto nei tre nni, quindi, vle.. MEDIA GEOMETRICA Si definisce medi geometric il dto G che, sostituito ogni dto, ne conserv il prodotto. In simoli: G = ( F) N i i i Nel prolem, prtire di dti = 0, 0 = 0, 0 = 0, 00, si h = ( 0,0) ( 0,0)( 0,00) =, 09 G perciò t = G = 0,09 =,9%

341 Prolem L pgell Giulino consegn i genitori l pgell di fine nno. L istituto cui è iscritto offre tutti gli studenti che presentno un pgell con medi superiore ll 8, l esonero dl pgmento del contriuto di iscrizione ll nno successivo. I genitori di Giulino hnno diritto tle esonero? Dopo ver clcolto l somm di tutti i dieci voti e verl divis per 0 si ottiene e dunque i genitori di Giulino Lingu e lettertur itlin 7 Stori 8 Geogrfi 7 Lingu Inglese 8 Mtemtic 9 Scienze 8 Diritto 7 Economi ziendle 7 Informtic 8 Educzione fisic 9 MEDIA ARITMETICA Si definisce medi ritmetic il dto M che, sostituito ogni dto, ne conserv l somm. In simoli: M = i ( F ) i N i Nel prolem l medi ritmetic dei dti è dt d M = = = 7, prolem 6 Il Nilo Sesostris, contdino egizino, possiede otto diversi ppezzmenti qudrti di terreno, i cui lti misurno, rispettivmente,: = 0 u = u = u = 8 u = u 6 = 6 u 7 = u 8 = 9 u. Dopo ogni pien del Nilo è costretto riperimetrre i suoi possedimenti. Quest nno desider fre in modo che i suoi ppezzmenti sino otto qudrti con il lto di ugul misur. Qunto dovrà misurre ll incirc il lto di questi ppezzmenti? Sesostris deve innnzitutto clcolre qunto terreno possiede; dovrà, quindi, sommre le ree di ogni ppezzmento (re del qudrto = l ) A totle = (0 u) ( u) ( u) (8 u) ( u) (6 u) ( u) (0 u) = = ( ) u = 8 u Tle terreno v diviso in otto prti uguli di re..e di lto circ..

342 MEDIA QUADRATICA Si definisce medi qudrtic il dto Q che, sostituito ogni dto, ne conserv l somm dei qudrti. In simoli: Q = i ( ) i N F i Nel prolem 6 l medi qudrtic dei dti è dt d Q = u = u = 8 8 6,7u u Prolem 7 L ssunzione Per essere ssunti presso l ditt ZVUT occorre presentre lcuni dti ed ottenere il punteggio più lto fr tutti gli spirnti cndidti. Si presentno i signori Antonio Alippi e Bruno Binchi con i seguenti titoli: Antonio Bruno età 8 voto diplom voto lure 9 86 numero figli 0 Per ottenere il punteggio totle il signor Colomo, responsile delle ssunzioni, clcol l medi dei dti dopo ver ssegnto ciscuno di essi dei pesi che ne indichino e ne differenzino in qulche modo l importnz. Ad esempio può scegliere di ttriuire i seguenti pesi: p = 0, p =, p = p = 6 per l età degli spirnti, per il voto di diplom, per il voto di lure, per il numero di figli. Come puoi osservre il Signor Colomo dà molt importnz l numero di figli. Questi p i vengono utilizzti qusi come frequenze con le quli pesre l presenz in modo più o meno influente di ciscun dto. Chi verrà ssunto? 6

343 Tenendo conto di tli pesi il punteggio del signor Antonio Alippi vle: 8 0, 80, 9 0 =., 0,, 6 mentre il punteggio del signor Bruno Binchi vle: 0, 76, ,, 6 =..., dunque verrà ssunto.. MEDIA PONDERATA Dopo ver fornito i pesi clcolto: P = OSSERVAZIONE i i ( p ) i p i p i reltivi i dti i, si definisce medi pondert il dto P così i. Se tutti i pesi vlgono, il vlore dell medi pondert coincide con il vlore dell medi ritmetic. i i Se si lvor con clssi [ i ; i ) si può scegliere i = e p i = f i Nel prolem 6, le medie ponderte dei due spirnti sono P =, P =, 6; quindi, verrà ssunto... Indici di vriilità Si chim indice di vriilità un vlore che inform sul modo in cui i vlori di un distriuzione sono più o meno dispersi. Anche qui prtiremo d un situzione prolemtic che richied l uso di questi indici di vriilità e di essi dremo le definizioni. prolem 8 L clsse più tletic L IA e l IB si contendono il titolo di clsse tletic. L insegnnte h rccolto i voti di Educzione Fisic del primo qudrimestre di entrme le clssi e deve decidere chi dre l vittori. clsse A: 6, 8, 7, 6, 6, 8, 6, 8, 8, 8, 7, 9, 6, 7, 6, 6, 8, 7, 6, 7. clsse B: 9, 8, 8, 9,,,, 8, 9,,, 8, 7, 7, 9, 0, 8, 0,, 6. 7 Antonio Bruno

344 Riportimo i dti in due telle di frequenz: F 8 6 IA y F IB Suito colpisce il diverso intervllo in cui rientrno i voti delle due clssi: CAMPO di VARIAZIONE 6 9 y 0 i i Si,,... n un sequenz ordint di dti, si definisce cmpo di vrizione l differenz..., tr il dto mggiore ed il dto minore; quindi, il compo di vrizione è dto d: Per l clsse A il un cmpo di vrizione vle 9 6 =. Per l clsse B il cmpo di vrizione vle 0 = 7. Ci chiedimo, desso, come i voti delle due clssi sino distriuiti nel rispettivo cmpo di vrizione. Comincimo col clcolre l medi ritmetic per le due clssi: M IA = = IB 0 M = = 7 0 Questo indice di posizione non iut l insegnnte! Con un po di pzienz, il docente prepr due telle, un per ogni clsse, dove riport le differenze tr ogni voto e l reltiv medi ritmetic: n i M 0 F 8 6 IA yi M 0 F IB Tli differenze sono chimte scrti. 8

345 Notimo che lcuni scrti sono negtivi, ltri nulli o positivi. Sommndoli tr di loro potreero compensrsi e quindi sprire, cioè risultre non visiili: per evitre questo, conviene clcolre l medi degli scrti prendendoli, o in vlore ssoluto, o l qudrto. SCARTO SEMPLICE MEDIO Si chim scrto semplice medio il numero s così definito: s = ( i M Fi) E un vlore che fornisce un misur di qunto i dti si discostno dll medi. Le medie ritmetiche dei vlori ssoluti degli scrti delle due clssi vlgono: 6 8 s IA = = 0,8 s IB = =, Questi vlori ci dicono che medimente i voti dell clsse IA si discostno di 0,8 dll medi, mentre quelli dell clsse IB si discostno di,9. i N. SCARTO QUADRATICO MEDIO Si chim scrto qudrtico medio il numero σ così definito: σ= i ( ) i M F i. N E un indice più sensiile del precedente, perché evidenzi mggiormente le vrizioni nell distriuzione dei dti intorno ll medi. Lo scrto qudrtico medio viene nche detto devizione stndrd. Il qudrto dell devizione stndrd ( σ ) è chimto vrinz: Clcolimo l medi qudrtic degli scrti per ciscun clsse: ( ) ( ) ( ) σ IA = = = 0, ( ) ( ) σ IB = = =,6 0 0 σ = i ( ) i M F i N Possimo confermre che l vriilità dei voti nell clsse IB è decismente molto più lt rispetto ll vriilità dei voti nell clsse IA. L insegnnte decide llor di dre l vittori ll clsse.. dove.... 9

346 LE 0 SBARRE DI FERRO Le misure, espresse in metri, di 0 srre di ferro sono le seguenti: 0,8 0,, 0,7 0,8,, 0,8 0,6 0,7,, 0,6, 0,7 0,7 0,8, 0,7 0,8 0,8 Preprimo l tell delle frequenze e sceglimo di rppresentrle grficmente medinte il digrmm crtesino; ottenimo, così, l form dell distriuzione delle frequenze. 0 F 9 8 0, 7 0,6 0,7 0,8 6 frequenze 6 9, 6, 0 0 0,, lunghezze delle srre Clcolimo, desso, l medi ritmetic, gli scrti d ess e lo scrto qudrtico medio: M = 0,,,, ,, = 7,6 0 = 0,9 Scrti dll medi 0, 0,9 = 0, 0,6 0,9 = 0, 0, 7 0,9 = 0, 0,8 0,9 = 0, 0,9= 0,08, 0,9 = 0, 8, 0,9 = 0, 8 0

347 Scrto qudrtico medio ( 0, ) ( 0,) ( 0, ) ( 0,) 6 ( 0, 08) 9 ( 0, 8) 6 ( 0, 8) σ = = 0 0,76 0,08 0, 0,086 0,076 0,70 0,0 = = 0,68 = = 0,089 0, 0 Possimo or osservre che: nell intervllo( M σ; M σ) ( 0, 7;, ) = risultno compresi dei vlori inizili: 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Tli vlori rppresentno il 0% dei dti. nell intervllo( M σ; M σ) ( 0, 8;,6 ) = risultno compresi 9 dei vlori inizili: 0,8 0,, 0,7 0,8, 0,8 0,6 0,7,, 0,6, 0,7 0,7 0,8, 0,7 0,8 0,8 Tli vlori rppresentno il 96, 6% dei dti nell intervllo( M σ; M σ) ( 0, 6;,8 ) = risultno compresi tutti i vlori inizili, il 00% dei dti. Il cso rientr tr quei fenomeni che si vvicinno ll cosiddett distriuzione gussin. In tli distriuzioni il grfico che si ottiene col digrmm crtesino h un crtteristic form cmpn e nel cso si poss disporre di dti sempre più numerosi, tle grfico tende sempre più d ssomiglire ll curv normle o curv di Guss. esempio di curv di GAUSS (distriuzione normle)

348 In tle grfico, sull sse orizzontle sono riportti gli scrti dll medi ( i M ) e su quello verticle le frequenze reltive. Le frequenze più lte si trovno ttorno l vlore dell medi (scrto nullo) e l rppresentzione grfic h proprio il tipico spetto di un cmpn. Tle cmpn risult lt e strett se il vlore di σ è reltivmente piccolo, mentre se σ h un vlore più lto l cmpn ppre più schiccit orizzontlmente. Si può dimostrre che, nel cso si i che fre con un distriuzione gussin, ccde che: nell intervllo ( M σ; M σ) nell intervllo ( M σ; M σ) nell intervllo ( M σ; M σ) si concentrno il 68,7% dei vlori; si concentrno il 9,% dei vlori; si concentrno il 99,7% dei vlori.

349 ESERCIZI CAPITOLO Elementi di Sttistic descrittiv Conoscenz e comprensione ) Quli sono le fsi di un indgine sttistic? ) In che diversi modi può vvenire l rccolt dei dti? ) Che cos si intende per popolzione? Aspett che or lo so, in sttistic l popolzione è il gruppo di persone o di oggetti su cui si indg ) Qundo si prl di censimento? Te ne ricordi uno importnte nell stori? ) In qule cso un crttere si dice quntittivo? Fi un esempio. 6) Definisci frequenz ssolut, reltiv, percentule. 7) Che cos è un ortogrmm? 8) Che cos è un istogrmm? 9) Che cos è un reogrmm? 0) Definisci lmeno indici di posizione centrle. ) Complet: ) Si definisce medi ritmetic il dto M che, sostituito ogni dto, ne conserv ) Si definisce medi qudrtic il dto Q che, sostituito ogni dto, ne conserv c) Si definisce medin il dto Me che, dopo ver ordinto i dti in modo.., occup l posizione ) Che cos è lo scrto semplice medio? A che cos serve? ) Che cos è lo scrto qudrtico medio? A che cos serve? ) VENTI FAMIGLIE Nell seguente tell sono rppresentti i dti reltivi ll situzione di 0 fmiglie per qunto rigurd il numero di componenti, il reddito, il titolo di studio del cpofmigli e l zon di residenz in Itli.

350 FAMIGLIA NUMERO dei COMPONENTI REDDITO in miglii di euro TITOLO DI STUDIO del cpofmigli ZONA di RESIDENZA 8 Elementre nord Medie inferiori centro 0 Medie inferiori nord Medie Superiori nord 0 Lure sud 6 0 Medie inferiori sud 7 Medie inferiori centro 8 80 Medie Superiori centro 9 60 Lure sud Lure nord 7 90 Lure nord Medie Superiori centro 6 Medie Superiori sud 7 Medie Superiori sud 60 Elementri nord 6 Medie inferiori nord 7 Medie inferiori centro 8 8 Elementri nord Medie Superiori sud 0 8 Lure sud Se simo interessti indgre sul numero di componenti per fmigli, possimo orgnizzre un tell chiedendoci qunte sino le fmiglie con un componente, qunte quelle con due, con tre ecc. Completl COMPONENTI FREQUENZA ASS FREQUENZA REL FREQUENZA % su 0 cioè /0 = 0. 0% su 0 cioè /0 = 0. su 0 cioè /0 = 0. 0% su 0 cioè... 0%... cioè /0 = % PROVA TU Costruisci le telle delle frequenze rigurdnti: ) il titolo di studio del cpofmigli, ) il reddito; c) l zon di residenz.

351 Esercizi ) Si effettu un indgine sul tipo di merend preferit durnte l intervllo d 0 insegnnti dell Istituto Bertcchi, ottenendo le seguenti risposte: trlli, rioches, foccci, trlli, cioccolto, trlli, yogurt, gelto, foccci, rioches, rioches, yogurt, gelto, cioccolto, rioches, trlli, yogurt, gelto, gelto, cioccolto, trlli, gelto, yogurt, trlli, trlli, cioccolto, cioccolto, trlli, trlli, foccci, rioches, trlli, trlli, cioccolto, yogurt, trlli, trlli, trlli, trlli, trlli, trlli, trlli, gelto, foccci, yogurt, cioccolto, trlli, gelto, trlli, cioccolto. Compil l tell delle frequenze, trovndo nche frequenz reltiv e percentule. ) In quest tell sono rppresentti i dti reltivi ll scelt di fcoltà universitrie degli studenti di un clsse quint di un istituto superiore. fcoltà universitrie numero percentule studenti studenti economi 7 0,88% giurisprudenz,76% informtic 8. ingegneri,706% lettere. lingue strniere. scienze. nessun/non dichirto. Il crttere oggetto di studio è... e le modlità sono le denominzioni delle fcoltà. L second colonn rppresent le frequenze ssolute (numero studenti) collegte ciscun fcoltà. L terz colonn (d completre) rppresent le frequenze... L rppresentzione grfic sottostnte si chim...(o digrmm tort ) dell scelt delle fcoltà universitrie d prte degli studenti di quint clsse.