BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. 2

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1 BOOK IN PROGRESS MATEMATICA ALGEBRA PRIMO ANNO TOMO NR. ITIS Mjorn Brindisi (BR) ITC Tosi Busto Arsizio (VA) ITC Clrett Soverro (CZ) ISISS Scrine Lecce (LE) ITIS Buzzi Prto (PO) ITIS Ferrris Npoli (NA) ITC Pcioli Cre (CR) ITIS FerniI Frncvill Fontn (BR) LICEO SCIENTIFICO Gurci Soverto (CZ) ITI Mlignni Udine (UD) LICEO Brocchi Bssno del Grpp (VI) ITIS Volterr-Eli Ancon (AN) ITI Csst Guio (PG) ITIS Feri Iserni (IS)

2 In eori del Preside Frncesco Rossi che h sepre creduto in questo progetto e l h sepre sostenuto.

3 SOMMARIO DEL TOMO CAPITOLO : I MONOMI. Introduzione l clcolo letterle pg.. I onoi pg.. Operzioni con i onoi pg. 9 ESERCIZI CAPITOLO pg. CAPITOLO 6: I POLINOMI 6. Definizioni pg Operzioni con i polinoi pg. 6. Approfondiento: l insiee M dei onoi pg Approfondiento: l insiee P dei polinoi pg. 88 ESERCIZI CAPITOLO 6 pg. 9 CAPITOLO 7: SCOMPOSIZIONE IN FATTORI Introduzione pg Rccogliento totle pg Rccogliento przile pg. 7. Prodotti notevoli pg. 7. Trinoio crtteristico pg Appliczone del teore di Ruffini pg Esepi di riepilogo pg MCD e c fr polinoi pg. ESERCIZI CAPITOLO 7 pg. CAPITOLO 8: LE FRAZIONI ALGEBRICHE 8. Introduzione lle frzioni lgeriche pg Operzioni con le frzioni lgeriche pg Approfondiento sulle frzioni lgeriche pg. 77 ESERCIZI CAPITOLO 8 pg. 78

4 SOMMARIO DEL FASCICOLO CAPITOLO 9: EQUAZIONI 9. Uguglinze e identità pg. 9. Equzioni pg Clssificzione delle equzioni pg. 9. Equzioni equivlenti pg. 9. I Principi di equivlenz pg. 9.6 For norle e grdo di un equzione pg Conseguenze dei principi di equivlenz pg Equzioni di prio grdo in un incognit pg. 9.9 Equzioni frzionrie pg Equzioni letterli pg. 9. Equzioni di grdo superiore l prio pg Equzioni e prolei pg. 9 ESERCIZI pg. CAPITOLO 0: DISEQUAZIONI 0. Disequzioni pg Rppresentzione dell insiee soluzione di un disequzione pg Intervlli nuerici pg Principi di equivlenz pg Disequzioni nueriche intere di prio grdo pg Disequzioni frzionrie pg Disequzioni nueriche intere di grdo superiore l prio pg Esepi di riepilogo pg. 98 ESERCIZI pg. 0

5 IL CALCOLO LETTERALE (pri prte) CAPITOLO I onoi. Introduzione l clcolo letterle Nel corso dei tuoi studi hi già vuto odo di incontrre lettere l posto di nueri: d esepio, nelle forule che espriono l isur dell superficie di un figur geoetric, nelle forule che espriono il volue di un solido, nell proprietà crtteristic di un insiee, nell indicre le proprietà delle operzioni, ecc.. Così, se voglio deterinre il perietro di un qudrto di lto c, oltiplichio per quttro l isur del lto: Perietro = ( ) c = 0 c. Se ci l isur del lto, per deterinre il perietro del qudrto si oltiplic per quttro l nuov isur. Si può, llor, trovre un odo più generle per espriere l isur del perietro di un qudrto, qulunque si l isur del suo lto; precisente: se indichio con l il nuero che esprie l isur del suo lto, il perietro del qudrto è Perietro = l. Ancor un esepio: l re di un tringolo di se 6 c e ltezz reltiv 9 c è: A = 6 9 c = 7 c. Le operzioni eseguite consentono di deterinre l re di quei tringoli nei quli l se e l ltezz reltiv isurno 6 c e 9 c, non consentono di espriere l re di un qulsisi tringolo, note le isure dell se e dell ltezz reltiv: ecco, llor, che ci vengono in iuto le lettere. Se, in un tringolo, indichio con il nuero che esprie l isur dell se e con h il nuero che esprie l isur dell ltezz reltiv, possio dire che, in generle, l su re è: Altr ppliczione: A = h L proprietà couttiv dell so lgeric si esprie, in generle, con l scrittur: =..

6 Possio dire, llor, che in situzioni nelle quli è necessrio espriere proprietà generli è più utile usre lettere l posto di nueri. L introduzione del clcolo letterle è stt un ver e propri rivoluzione nello sviluppo dell tetic perché h ipleentto il processo di strzione e di generlizzzione. A questo sviluppo hnno contriuito nche illustri tetici itlini coe Niccolò Fontn, detto Trtgli, Girolo Crdno e Luigi Boelli. Esepi Trducio lcune frsi del linguggio nturle in for siolic utilizzndo lettere per indicre nueri: ) Il triplo del successivo di un nuero nturle. Indichio con n un nuero nturle; il suo successivo è n ; il triplo del suo successivo si ottiene oltiplicndo per il nuero n. Il triplo del successivo di un nuero nturle, in for siolic, è (n ), n N. ) Il successivo del triplo di un nuero nturle. Indichio con n un nuero nturle; il suo triplo si ottiene oltiplicndolo per, quindi è n; il successivo del triplo di n si ottiene ggiungendo l triplo di n. Il successivo del triplo di un nuero nturle, in for siolic, è n, n N. c) Al successivo di un nuero nturle sottri l terz prte del suo precedente. Indichio con n un nuero nturle; il suo successivo è n ; il suo precedente è n ; ricord che dividere per signific, nche, oltiplicre per, per cui l terz prte del suo precedente si ottiene oltiplicndo per il nuero n, quindi (n ). Al successivo di un nuero nturle sottri l terz prte del suo precedente, in for siolic è: (n ) (n ), n N.

7 ATTENZIONE Negli esepi precedenti, vri sicurente notto che per indicre il prodotto si è oesso il puntino ed è stto scritto sepliceente. L stess cos non si può fre se si vuole indicre il prodotto fr due nueri: 6 6. PROVA TU Trduci in for siolic le seguenti frsi del linguggio nturle: ) Al doppio del successivo di un nuero nturle ggiungi il successivo del doppio del nuero stesso. ) Al qudrto del successivo di un nuero intero sottri il qudrto del nuero stesso. In questo cpitolo ipreri d utilizzre lettere l posto di nueri e d operre con espressioni contenenti nueri e/o lettere. ATTENZIONE Il clcolo siolico h le sue regole che devono essere: en ssiilte; rispettte; uste in odo conspevole. Coincio questo nuovo rgoento con un definizione. Un espressione lgeric è un insiee di nueri e/o lettere legti fr loro d sioli di operzione. Le lettere presenti in un espressione lgeric sono chite vriili. Un espressione lgeric si dice rzionle se in ess sono presenti solo le operzioni di so lgeric, oltipliczione e divisione. Le espressioni lgeriche, in generle, si indicno con le lettere iuscole dell lfeto; se è necessrio indicre le vriili dell espressione, esse si rcchiudono fr prentesi tonde.

8 Così, d esepio, possio indicre con A(n) l espressione l punto ) degli esepi precedenti: A(n) = (n ), n N. Inoltre, il vlore di un espressione lgeric dipende dl vlore ttriuito lle vriili. Per l espressione A(n) io: n = 0 A(0) = ( 0 ) = = ; n = A() = ( ) = = 6; n = A() = ( ) = 6 = 8. Clcolio il vlore dell espressione E(, ) = per = e = si ottiene: E(, ) = per = e = si ottiene: E, = = ssegnndo lle lettere i vlori indicti: = ( ) ( ) = 9 89 = (dopo ver seplificto) = ; 60 = ; = 6 = = per = e = si ottiene: E(, ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0 =? 0 Quest frzione non h significto, perché in un divisione il divisore deve essere diverso d 0. In quest espressione lgeric non possio, quindi, ttriuire lle vriili uno stesso vlore, perché ltrienti il divisore è nullo e, pertnto, non è possiile eseguire l operzione di divisione. Possio, llor, dire che, in un espressione lgeric, è possiile ttriuire lle lettere qulsisi vlore, purchè le operzioni sino sepre eseguiili. PROVA TU Clcol il vlore delle seguenti espressioni lgeriche ssegnndo lle lettere i vlori indicti: ) h h = e = ; h = e = ; ) z z = e z = ; = e z =. Se =, qule vlore non è possiile ssegnre z? Perché?

9 . I onoi Considerio le seguenti espressioni lgeriche e vedio se esistono nlogie e differenze fr di esse: ) h ; ) ( ); c) q ; d) ; e) ; f ) ; g) d ; h) d d. Osservio che sono tutte espressioni lgeriche rzionli e, poiché ci occupereo solo di tli espressioni lgeriche, in seguito oettereo l ggettivo rzionle/i. Le espressioni c) e f ) possono essere scritte in ltr for: c) q = q ; f) = = =. Osservio ncor che tr le lettere: nelle espressioni c), d), e) è presente l sol operzione di oltipliczione; nelle espressioni ) e ) è presente, oltre ll oltipliczione, nche l operzione di so lgeric; nelle espressioni f) e g) è presente, oltre ll operzione di oltipliczione, nche l operzione di divisione; nell espressione h) sono presenti le operzioni di so lgeric, oltipliczione e divisione. Qunto sopr perette di dividere le espressioni lgeriche in tre gruppi, second delle operzioni che sono in esse contenute; precisente: ) espressioni che contengono solo l operzione di oltipliczione; ) espressioni che contengono le operzioni di oltipliczione e so lgeric; ) espressioni che contengono le operzioni di oltipliczione, divisione e/o so lgeric. In questo cpitolo ci occupereo solo delle espressioni di cui l punto ). Si h l seguente definizione: Si chi onoio un espressione lgeric (rzionle) in cui è presente soltnto l operzione di oltipliczione. Alcuni tetici considerno onoi nche espressioni nelle quli sono presenti potenze con esponente negtivo oppure è presente l operzione di divisione e chino tli espressioni onoi frtti. Per noi sono onoi quelle espressioni in cui è presente solo l oltipliczione. Definireo, nei prossii cpitoli, le espressioni di cui i punti ) e ).

10 Esepi è un onoio; non è un onoio, perché è presente l operzione di so lgeric; è un onoio; = non è un onoio, perché è presente l operzione di divisione fr lettere; c non è un onoio, perché uno degli esponenti è un intero negtivo; f è un onoio. 7 PROVA TU Fr le seguenti espressioni lgeriche, riconosci quelle che sono onoi: ; f ; 8 s z ; c ; 6dh ;. Definizione Un onoio si dice scritto in for norle qundo ogni letter, con eventule esponente, è presente un sol volt. Il onoio è scritto in for norle. Il onoio non è scritto in for norle. Il onoio, scritto in for norle, divent : [ = ( ) ] = Un onoio, in generle, è forto d un nuero e d lcune lettere: il nuero si chi coefficiente; le lettere forno l prte letterle. Così, nel onoio : è il coefficiente è l prte letterle coefficiente Se il coefficiente è, di solito, si oette: prte letterle = 6

11 Se il coefficiente è, di solito, si oette il nuero : s = s Si dice onoio nullo, e si indic con 0, un onoio che h coefficiente 0 (zero). Si chi grdo reltivo (o grdo rispetto) d un letter l esponente con cui l letter è presente nel onoio ridotto for norle. Si chi grdo coplessivo di un onoio l so dei grdi reltivi ciscun letter presente nel onoio. Considerndo ncor il onoio : il grdo reltivo ll letter è ; il grdo reltivo ll letter è ; il grdo coplessivo è 8. grdo reltivo d 8 grdo reltivo grdo coplessivo ATTENZIONE Se in un onoio è presente un letter senz esponente, è sottointeso che il suo esponente è e, quindi, il grdo reltivo quell letter è. Per esepio, nel onoio s l letter s non h esponente ; questo vuol dire che il suo esponente è (ricord che, in generle, = ). Il grdo reltivo d s è. Se in un onoio non è presente un letter, il grdo reltivo d ess è 0. Ad esepio, nel onoio il grdo reltivo d è 0. Qulsisi nuero rzionle ( 0) è un onoio di grdo 0 rispetto d un qulsisi letter e di grdo coplessivo 0. Così: = 0 c 0 (con 0, c 0) ; = 0 d 0 0 (con 0, d 0, 0). Per qunto precedenteente fferto, il nuero rzionle 0 è il onoio nullo. Al onoio nullo non viene ttriuito lcun grdo. 7

12 Secondo lcuni tetici, il grdo del onoio nullo è indeterinto perché esso può vere prte letterle qulsisi. Definizioni Due onoi non nulli che hnno prte letterle ugule si dicono siili. I onoi p e p sono siili. I onoi p e p non sono siili. Due onoi siili che hnno coefficienti uguli si dicono uguli. Due onoi siili che hnno coefficienti opposti si dicono opposti. Sono uguli i onoi 6 e 6. Sono opposti i onoi e. PROVA TU ) Coplet l seguente tell: Monoio Coefficiente Prte letterle v 8 6 z s Grdo reltivo z s v Grdo coplessivo ) Scrivi un onoio di grdo coplessivo e di qurto grdo rispetto ll letter c. ) Scrivi un onoio che si di secondo grdo rispetto ll letter, di terzo grdo rispetto ll letter e di prio grdo rispetto ll letter f. ) Dti i onoi: ) ; ) ; c) 9 ; scrivi, per ciscuno di essi, tre onoi siili; il suo opposto. 8

13 . Operzioni con i onoi Le lettere presenti nei onoi sono nueri rzionli; quindi, è possiile definire, fr onoi, le operzioni di so lgeric, oltipliczione e divisione, coe negli insiei nuerici. So lgeric Sul suo lettore MP, Luigi h inserito, inizilente, 0 rni usicli e, successivente, ltri ; in tutto, sul suo lettore, Luigi h inserito rni usicli. Rppresentio in for siolic l situzione precedente: se indichio con un rno usicle, Luigi, sul suo lettore MP h 0 =. Luigi vuole inserire sul suo lettore MP nche fil; se indichio con f un fil, l rppresentzione siolic del contenuto del lettore MP di Luigi è l seguente: f. Certente non possio dire che Luigi h 7 rni usicli nè che h 7 fil; sul suo lettore Luigi vrà rni usicli e fil; in sioli rine f. Questo esepio ci può iutre cpire eglio coe clcolre l so fr due o più onoi: 0 e sono due onoi siili: l loro so è, cioè ncor un onoio; e f sono due onoi, non sono siili; in questo cso l so dei due onoi ( f ) non è un onoio. Osservio, llor, che l so di due onoi dà origine risultti di tipo diverso; si hnno, inftti, i seguenti csi: ) so di onoi siili ; ) so di onoi non siili. So di onoi siili Dti i onoi siili s e s, deterinio l loro so ( s s ). In tutti i onoi è presente l sol operzione di oltipliczione e, poichè le lettere sono nueri rzionli, vle l proprietà distriutiv dell oltipliczione rispetto ll so lgeric: c = ( c). Nell so s s, i onoi s e s hnno in coune il fttore s ; si h, dunque: s s = s ( ) = 7 s. 9

14 Anlizzio il risultto ottenuto: 7 s è un onoio siile si s che s e il suo coefficiente è l so dei coefficienti dei onoi s e s. In generle: l so di due o più onoi siili è un onoio, siile quelli dti, che h coe coefficiente l so dei coefficienti dei onoi dti. prte letterle ugule s s = 7 s so dei coefficienti So di onoi non siili Dti i onoi e non siili, deterinio l loro so ( ). Poiché i due onoi non sono siili e non hnno fttori in coune, non è possiile pplicre l proprietà distriutiv. E possiile solo indicre l loro so:. Coe puoi notre, in questo cso, l so dei due onoi non è un onoio. Un ltro esepio. Dti i onoi e non siili, deterinio l loro so ( ). I onoi non sono siili, hnno in coune il fttore e, quindi, è possiile pplicre l proprietà distriutiv, ottenendo: = ( ). Tle espressione non è, però, un onoio (l operzione in prentesi non si può, inftti eseguire) e, dunque, nche in questo cso, è possiile indicre solente l so:. In generle: L so di due o più onoi non siili si indic ponendo fr i due onoi il segno ; ess non è un onoio. Coe per i nueri rzionli, l differenz fr due onoi è l so fr il prio onoio e l opposto del secondo; d esepio: 6 = ( 6 ) = ( 6) = ; ( ) = = ( ) = 7. Anche per i onoi non c è distinzione fr le operzioni di ddizione e di sottrzione e si prl di un sol operzione chit so lgeric. Le regole esposte e gli esepi precedenti ci perettono di fferre che l insiee dei onoi non è chiuso rispetto ll operzione di so lgeric. 0

15 ATTENZIONE Se in un espressione lgeric lcuni terini sono siili e ltri non lo sono, si sono i terini siili seguendo l regol espost in precedenz e, successivente, si lsci indict l so lgeric. Esepi Seplifichio le seguenti espressioni: ) ( ) 6 ( ). Lierio l espressione dlle prentesi tonde: 6. I onoi non sono tutti siili tr di loro; è conveniente, llor, segnre con uno stesso siolo i onoi siili ed eliinre gli eventuli onoi opposti. Si ottiene: 6 = 6 = ed pplicndo l proprietà couttiv e l proprietà ssocitiv, si h: = ( 6 ) = ( 6) =. ) 6 ( ). Lierio l espressione dlle prentesi tonde: 6 = poiché i onoi sono tutti siili tr loro, si ottiene: = ( 6 ) =. c) 7. Osservio che i onoi nelle prentesi tonde sono siili tr loro e quindi possio deterinre l loro so. Si ottiene: 7 = = i onoi in prentesi qudre non sono tutti siili tr loro, per cui, segnndo quelli siili con uno stesso siolo e clcolndo l loro so, si ottiene: = = 8 = eliinio le prentesi qudre: poiché dvnti lle prentesi c è il segno, doio cire di segno i terini dentro le prentesi. Si h, quindi: = 8 =

16 i onoi di quest espressione non sono tutti siili tr loro, per cui, segnndo ncor un volt quelli siili con uno stesso siolo e clcolndo l loro so, si ottiene: = 8 = d) 9 s z 0 = 9 s z. 8 = 7. L ultio esepio ci perette di dire che l so di un generico onoio A con il onoio nullo è ncor il onoio A. PROVA TU Seplific le seguenti espressioni: ) t z t z (8 t z t z) ( t z t z ); ) [ ( 8 ) ] ( ); c) 9 6. Moltipliczione Ci proponio di deterinre il seguente prodotto: s ( t ). Poiché le lettere sono nueri rzionli, possio pplicre l proprietà couttiv: () s t. Applicndo, poi, l proprietà ssocitiv, si ottiene: [ ()] ( ) s t. Ed infine, pplicndo le proprietà delle potenze, si h: s t. In definitiv : s ( t ) = s t. Osserv il risultto ottenuto e coplet: il prodotto dei due onoi è ncor un..; il grdo coplessivo del prodotto è ugule ll. dei grdi coplessivi dei onoi dti; il coefficiente del prodotto è ugule l dei coefficienti dei onoi dti; l prte letterle del prodotto è fort d tutte le.. presenti nei onoi dti; l esponente dell letter, presente in entri i fttori, è ugule ll.. degli esponenti che h nei due fttori.

17 Possio, llor, generlizzre: il prodotto di due o più onoi è sepre un onoio; il coefficiente del prodotto è ugule l prodotto dei coefficienti dei onoi dti; l prte letterle del prodotto è fort d tutte le lettere presenti nei fttori; se nei fttori ci sono lettere uguli, tli lettere nel prodotto hnno esponente ugule ll so degli esponenti (che esse hnno nei singoli fttori); il grdo del prodotto di due o più onoi, diversi dl onoio nullo, è ugule ll so dei grdi dei singoli fttori. so degli esponenti s ( t ) = s t prodotto dei coefficienti Esepi ) 7 = (7 ) ( ) ( ) = 6 6 ; ) f g f = 8 ( f f ) g = 7 8 f g ; c) 0 = 0; d) =. Osservzioni Le regole esposte e gli esepi precedenti ci perettono di fferre che l insiee dei onoi è chiuso rispetto ll operzione di oltipliczione. Dll esepio c) deducio che il prodotto di due o più onoi è il onoio nullo se e solo se leno uno di essi è il onoio nullo. Anche per i onoi, quindi, vle l legge di nnullento del prodotto. Osservndo l esepio d) e generlizzndo, si può fferre che è l eleento neutro rispetto ll oltipliczione tr onoi.

18 PROVA TU Clcol i seguenti prodotti fr onoi: ) h 7 g h ( f h ); ) z z 0 ; c) c. 8 9 Potenz di un onoio Coe en si, il prodotto di più fttori uguli si chi potenz. L potenz di un onoio, dunque, non è ltro che il prodotto di più onoi uguli fr di loro, ripetuto tnte volte qunto indicto dll esponente. Clcolio l seguente potenz: ( f g ) = f g f g f g. Applicndo l proprietà couttiv e l proprietà ssocitiv, si ottiene: ( ) (f f f ) (g g g ) ( ). Poiché, il prodotto in ciscun prentesi tond è, su volt, un potenz, si ottiene: ( f ) (g ) = 6 f 6 g 9. In definitiv: ( f g ) = 6 f 6 g 9. Osserv il risultto ottenuto e coplet: l potenz di un onoio è ncor un nel qule: il coefficiente nuerico è l.. del coefficiente nuerico; ciscun letter h coe esponente il. fr l esponente di ciscun letter e l esponente dell potenz. Dll esepio precedente, possio dedurre l seguente regol: Per clcolre l potenz di un onoio, diverso dl onoio nullo, è sufficiente clcolre l potenz del coefficiente nuerico e oltiplicre ciscun esponente dell prte letterle per l esponente dell potenz. ( s ) = 6 s 6 Prodotto degli esponenti Potenz del coefficiente

19 Per le potenze di onoi vlgono le già note proprietà delle potenze; in prticolre ricordio che qulsisi onoio, diverso dl onoio nullo, elevto 0 è sepre ugule! Esepi ) ( ) 0 = ; ) ( c d ) = ( c d ) 6 c) = ( ) ( ) d) ( ) =. PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ( ) ; ) c ; c) ( ) [ ] ; [ ]. d) ( ) Divisione = () 6 () 6 (c ) 6 (d ) 6 = 6 6 c 8 d ; 7 = 9 ; 0 Ricorderi che, in precedenz, io definito il quoziente fr due nueri rzionli, coe quel nuero che oltiplicto per il divisore ( 0) dà per risultto il dividendo. Allo stesso odo definio il quoziente, se esiste, fr due onoi (dove, ovviente, il divisore è diverso dl onoio nullo). Provio, llor, d eseguire lcune divisioni: ) deterinio il quoziente fr i onoi 6 e 7. Doio trovre un onoio, se esiste, tle che, oltiplicto per 7, di coe risultto 6. Per deterinre il coefficiente del quoziente, st dividere fr loro i coefficienti del dividendo e del divisore; per deterinre l prte letterle dividio fr loro le potenze con l stess se.

20 Si h, dunque: 6 : 7 = ( : 7) ( 6 : ) ( : ) = 6 =. In definitiv: 6 : 7 =. E fcile, poi, verificre che 7 = 6. ) clcolio il risultto dell seguente divisione: p : 9. Doio trovre, llor, un onoio, se esiste, tle che, oltiplicto per risultto p. 9, di coe Coe nel cso precedente, per ottenere il coefficiente del quoziente, dividio fr loro i coefficienti del dividendo e del divisore; in questo cso il risultto dell divisione è un nuero rzionle dl oento che il prio coefficiente non è ultiplo del secondo. Per deterinre l prte letterle si procede llo stesso odo e, quindi, dividio fr loro le potenze con l stess se. Osservio che, nell prte letterle del divisore, non è presente l letter p, questo vuol dire che il suo esponente è 0. Si h, quindi: In definitiv: p : E fcile verificre che: 9 = ( : 9) ( : ) (p : p 0 ) = p : 9 = p 9 = 9 c) clcolio il risultto dell seguente divisione: p. 9 p. c d : c d. 0 p = 9 p. 9 Doio trovre, quindi, un onoio, se esiste, tle che, oltiplicto per c d di coe risultto c d. Procedendo coe negli esepi precedenti, si ottiene: c d : c d = ( : ) ( : ) (c : c ) (d : d) = c d = c d. In definitiv: c d : c d = c d. Il risultto ottenuto non è un onoio perché un esponente dell prte letterle è un nuero negtivo. 6

21 d) clcolio il risultto dell seguente divisione: Doio trovre, quindi, un onoio, se esiste, tle che, oltiplicto per f : f f di coe risultto f. Osservio che nel dividendo non è presente l letter, quindi il suo esponente è 0. Procedendo coe negli esepi precedenti, si ottiene: 0 f : f = : ( f : f ) ( : ) In definitiv: f = 0 f = : = f f. f Anche quest volt, il risultto ottenuto non è un onoio perché un esponente dell prte letterle è un nuero negtivo. PROVA TU Coplet le seguenti uguglinze: ) c : =... ; ) 8 p : ( p ) = ; ) : ( ) =... = ; ) c f : c f =... c f... ; ) 9 z q : q t =... z q... t... Dgli esepi e dgli esercizi precedenti, si osserv che non sepre l divisione fr due onoi è ncor un onoio. Precisente: il quoziente è un onoio negli esepi ) e ) e negli esercizi ) e ); il quoziente non è un onoio negli esepi c) e d) e negli esercizi ), ) e ). Anlizzio i risultti ottenuti, prestndo ttenzione ll prte letterle dei onoi dividendo e divisore: ), ), ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; l esponente di ciscun letter nel dividendo è ggiore dell esponente dell stess letter nel divisore. 7

22 Il grdo coplessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi coplessivi del dividendo e divisore; l esponente di ciscun letter nel quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti dell stess letter nel dividendo e divisore. ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; l esponente di ciscun letter nel dividendo è ggiore o ugule ll esponente dell stess letter nel divisore. Il grdo coplessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi coplessivi del dividendo e divisore; l esponente di ciscun letter nel quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti dell stess letter nel dividendo e divisore. c), ), ) : nell prte letterle del dividendo sono presenti tutte le lettere dell prte letterle del divisore; esiste, però, un letter del dividendo che h esponente inore di quello che h l stess letter nel divisore ; d), ) : un letter del divisore non è presente nel dividendo. Possio, llor, generlizzre: Il quoziente fr due onoi è un onoio se l esponente di ciscun letter nel dividendo è ggiore o ugule dell esponente dell stess letter nel divisore. Se il quoziente è un onoio, si h che: Il grdo coplessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi coplessivi del dividendo e del divisore. Il coefficiente del quoziente è ugule l quoziente fr i coefficienti del dividendo e del divisore. L esponente di ciscun letter del quoziente è ugule ll differenz fr gli esponenti che quell letter h nel dividendo e nel divisore. 6 : 7 = : quoziente dei coefficienti differenz degli esponenti (nel riqudro, i fini di un lettur più gevole, è riportto solo il clcolo dell esponente per l letter ). PROVA TU Quli, fr i seguenti quozienti, sono onoi? ) c : c ; ) h : h ; c) z : ( t ) ; d) : ( ). 8

23 = Espressioni con i onoi Dl oento che le lettere rppresentno nueri rzionli, per le espressioni in cui sono presenti dei onoi vlgono le regole già viste per i nueri rzionli; precisente: se nelle espressioni sono presenti delle prentesi, si risolvono pri le prentesi tonde, poi le prentesi qudre e, successivente, le prentesi grffe; le operzioni di oltipliczione e divisione si risolvono nell ordine in cui si presentno e hnno l precedenz sull operzione di so lgeric; si eliinno le prentesi precedute dl segno, cindo il segno ciscuno dei terini rcchiusi dlle prentesi; si eliinno le prentesi precedute dl segno, lscindo invrito il segno di ciscuno dei Esepi terini rcchiusi dlle prentesi. Seplific le seguenti espressioni: ) ( ) = (eseguio, pri, le operzioni rcchiuse nelle prentesi tonde e che indicno l so lgeric di onoi siili) = = ( ) ( ) 6 6 = = (poiché l oltipliczione h l precedenz sull so lgeric, eseguio i prodotti ricordndo l regol dei segni e seplificndo dove possiile) = ( ) = = (poiché i onoi di quest so lgeric sono tutti siili e, in prticolre, due sono opposti) = = ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 8. : [ ] : ( ) (risolvio le potenze indicte) 6 6 = [ 8 : ( )] : = = 9

24 (ricordio che oltipliczioni e divisioni hnno l precedenz sull so lgeric e si eseguono nell ordine in cui si presentno) 8 : = 6 = ( ) (in prentesi tond è indict l so lgeric di onoi siili; risolvio, llor, l prentesi tond) 6 6 [ 8 ] : = ( ) : = ( ) = 0 0 =. = : = ( : ) = PROVA TU Seplific l seguente espressione: ( ) : ( ).. Mssio Coun Divisore e inio coune ultiplo fr onoi Mssio Coun Divisore Dti due onoi A e B, con B 0, si dice che A è divisiile per B, o che B è divisore di A, se esiste un onoio C tle che B C = A. In ltre prole, un onoio A è divisiile per un onoio B ( 0) se il quoziente fr A e B è ncor un onoio. Esepio Il onoio è un divisore di ; inftti : = 6 che è un onoio. Considerio, desso, i seguenti onoi: A = 6 I divisori di A sono: B = c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6; 6 ; 6; 6 ; 6 ; 6. 0

25 I divisori di B sono: ; ; ; c; ; ; c; c; c; c; ; ; ; ; c; ; ; c; c; c; c; ; ; ; ; c; ; ; c; c; c; c;. In rosso sono indicti i divisori couni fr i onoi A e B. Fr i divisori couni, ce ne sono due che hnno grdo ggiore di tutti gli ltri: e. Il onoio (che h per coefficiente il MCD fr i coefficienti di A e B) si chi Mssio Coun Divisore fr A e B e, coe per i nueri nturli, si indic con MCD (A, B). In generle: si chi Mssio Coun Divisore fr due o più onoi il divisore di grdo ggiore coune i onoi dti. Il coefficiente del MCD fr due o più onoi può essere ritrrio si conviene di ssuere, se possiile, il MCD fr i coefficienti dei onoi dti. Anche fr i onoi, per deterinre il Mssio Coun Divisore non è necessrio scrivere ogni volt tutti i loro divisori; inftti esiste un regol prtic, nlog quell già vist per i nueri nturli. Il MCD fr due o più onoi è un onoio che h: coe coefficiente: il MCD fr i vlori ssoluti dei coefficienti se i coefficienti sono interi; se i coefficienti non sono tutti interi; coe prte letterle il prodotto delle lettere couni tutti i onoi, ognun pres un sol volt e con il inio esponente. Esepi ) Deterinio il MCD q s, s. i coefficienti dei onoi non sono interi, quindi il coefficiente del MCD è ; le lettere couni i due onoi sono: e s ; per l letter l esponente più piccolo è, per l letter s l esponente più piccolo è ; quindi l prte letterle del MCD è s. In definitiv: MCD q s, s = s (in questo cso, il coefficiente non viene solitente indicto).

26 ) Deterinio il MCD ( c, f ). i coefficienti, senz tener conto del segno, pur essendo interi, sono prii fr loro, quindi il loro MCD è ; le prti letterli dei due onoi non hnno lettere in coune. In definitiv: MCD ( c, f ) =. PROVA TU ) Scrivi tre divisori del onoio 8 c. ) Deterin il MCD fr i seguenti onoi: ) 8 c; c. ) z ; t. c) f g ; h. d) 8 s t ; ;. Minio coune ultiplo Dti due onoi A e B, si chi inio coune ultiplo fr A e B un onoio di grdo inio fr i ultipli couni d A e B. Il inio coune ultiplo fr i onoi A e B si indic con c(a, B). Il coefficiente del c fr due o più onoi può essere ritrrio,, nche in questo cso, si conviene di ssuere, se possiile, il c fr i coefficienti dei onoi dti. Per deterinre il inio coune ultiplo fr due o più onoi esiste, così coe per il MCD, un regol prtic: Il c fr due o più onoi è un onoio che h: coe coefficiente: il inio coune ultiplo fr i vlori ssoluti dei coefficienti, se i coefficienti sono interi; se i coefficienti non sono interi; coe prte letterle il prodotto di tutte lettere dei onoi, ognun pres un sol volt e con il ssio esponente.

27 Esepi ) Deterinio il c q s, s. i coefficienti dei onoi non sono interi, quindi il coefficiente del c è ; le lettere couni i due onoi sono: e s ; per l letter l esponente più grnde è, per l letter s l esponente più grnde è ; inoltre l letter q non è coune lle prti letterli dei due onoi; quindi l prte letterle del c è q s. In definitiv: c q s, s = q s. ) Deterinio il c ( c, f ). il c fr i coefficienti è 6; le prti letterli dei due onoi non hnno lettere in coune, quindi l prte letterle del c è fort dl prodotto di tutte le lettere dei due onoi, cioè c f. In definitiv: c ( c, f ) = 6 c f. ) Deterinio il c (, 8 z ). il c (, 8) = 6, quindi il coefficiente del c è 6; le prti letterli dei due onoi hnno in coune l letter e l esponente ggiore è ; le lettere e z non sono couni. L prte letterle del c è, llor, z. In definitiv: c ( ; 8 z ) = 6 z. PROVA TU Deterin il inio coune ultiplo dei seguenti onoi: ) q z ; z. 6 ) 6 z ; 6 z. c) ; c. 7 d) h f ; 6 h p ; 8 f p.

28 CAPITOLO I onoi Conoscenz e coprensione ) Che cos è un espressione lgeric? ) Qundo un espressione lgeric si dice rzionle? ) Che cos è un onoio? ) Quli prti si distinguono in un onoio? ) Quli, fr le seguenti espressioni lgeriche, sono onoi? f h z ) ; ) 6 p ; c) ; d) re; e) 9. 6) I nueri e 8, intesi coe onoi, sono siili? Giustific l tu rispost. 7) Per quli vlore di n, con n N, l espressione 7 h n è un onoio? 8) Che cos si intende per grdo reltivo d un letter di un onoio? 9) Che cos si intende per grdo coplessivo di un onoio? 0) Stilisci se le seguenti fferzioni sono vere o flse: ) Qulsisi nuero nturle è un onoio. V F ) Il onoio nullo h grdo coplessivo 0. V F c) Il coefficiente di d è 0. V F d) Il onoio h grdo coplessivo. V F e) In un onoio, il grdo reltivo d un letter può essere un nuero V F non positivo. g) Il grdo coplessivo di un onoio è sepre un nuero positivo. V F h) Il grdo coplessivo di un onoio può essere un nuero non negtivo. V F i) Se il grdo coplessivo di un onoio è, l su prte letterle è fort V F d un sol letter. l) In un onoio, il grdo reltivo d un letter ed il grdo coplessivo V F possono essere uguli. ) Qundo due onoi sono siili? ) Uno solo dei seguenti onoi è siile g ; qule? ) g ; ) g ; c) 7 g ; d) g ; e) g.

29 ) Un sol delle seguenti fferzioni è ver; qule? ) due onoi sono opposti se hnno coefficienti opposti; ) due onoi sono siili se hnno lo stesso grdo coplessivo; c) due onoi siili hnno lo stesso coefficiente; d) due onoi sono uguli se hnno lo stesso coefficiente; e) due onoi siili hnno lo stesso grdo coplessivo. ) Coe operi per deterinre l so o l differenz fr due onoi? ) Coe si esegue l oltipliczione fr due onoi? 6) In qule cso il quoziente di due onoi è ncor un onoio? 7) Coe si esegue l divisione fr due onoi? 8) Un sol delle seguenti fferzioni è fls; qule? ) il prodotto fr due onoi è sepre un onoio; ) l so fr due onoi opposti è il onoio nullo; c) il grdo coplessivo del prodotto fr due onoi siili è il doppio del grdo coplessivo dei due fttori; d) il grdo coplessivo del prodotto fr due onoi è ugule l prodotto dei grdi coplessivi dei due fttori; e) il grdo coplessivo del quoziente di due onoi siili è 0. 9) Stilisci se le seguenti fferzioni sono vere o flse: ) L so fr due onoi è sepre un onoio. V F ) Se l so fr due onoi è un onoio, i onoi sono siili. V F c) Il quoziente di due onoi siili è un nuero rzionle. V F d) Il prodotto di due onoi siili è un onoio siile i due fttori. V F e) Il quoziente fr due onoi può essere un onoio. V F f) L differenz fr due onoi siili è un nuero rzionle. V F g) Il grdo coplessivo dell so fr due onoi siili è ugule ll V F so dei grdi coplessivi dei due onoi. h) Se il quoziente fr due onoi è un onoio, il suo grdo coplessivo V F è ugule ll differenz fr il grdo coplessivo del dividendo e il grdo coplessivo del divisore. i) Il grdo coplessivo del prodotto di due onoi siili è il doppio del grdo V F coplessivo di ciscuno dei fttori. 0) Coe si deterin il ssio coun divisore fr due o più onoi? ) Coe si deterin il inio coune ultiplo fr due o più onoi?

30 Esercizi Espressioni lgeriche Trduci in sioli le seguenti proposizioni: ) Al doppio di ggiungi il triplo del qudrto di. ) Dividi il doppio del qudrto di g per l so del triplo di h con il doppio di g. ) Sottri dl qudrto di il cuo dell so tr e. ) Dividi l so del doppio di z con l qurt prte di p per il triplo dell differenz fr z e t. ) Moltiplic l so fr e per l differenz fr il doppio di e l qurt prte di. 6) Sottri dl cuo dell differenz fr s e il qudrto di t, il qudrto dell so fr l età di s e il qudrto del triplo di t. 7) Aggiungi l qudrto dell differenz fr e, il triplo dell so del qudrto di con il doppio di. Trduci nel linguggio nturle le seguenti espressioni scritte nel linguggio siolico: 8) g 9) (f h) f h 0) ) q s ( s q) ) ( ) (c ) ) n ( n )( n ) 6 ) ( h ):( h) ) ( ) 6) Clcol il vlore che ssuono le seguenti espressioni lgeriche sostituendo lle lettere i vlori indicti: per = e = 7) g g h h 8) h h per = e g = per = e h = 6

31 9) per = e = 0) st s t s s t p p( ) ) p ( p ) per s = e t = per = e p = ) L espressione ) se = e = ) se = e = ; c) se = = ; d) se = e = e) i. perde di significto: ; ; ) Stilisci se le seguenti fferzioni sono vere o flse: ) Z, il vlore dell espressione A() = ( ) è un nuero intero. V F ) Q / l espressione B() = ssue il vlore 0. V F c) Q, il vlore dell espressione F(, ) = è un nuero negtivo. V F d) t Q, il vlore dell espressione P(t) = t t è un nuero negtivo. V F ) Le seguenti fferzioni si riferiscono ll espressione A(, ) = fls. Qule? ) Q, A(, ) < 0; ), Q / A(, ) Z; c), Q / A(, ) = 0; d) Q, A(, ) > 0; ; un sol di esse è e) A(, ) = 8. ) Solo un, fr le seguenti espressioni, non ssue i il vlore zero. Qule? ) (z z z ); ) ( ); c) ; d) z z. 7

32 8 Per quli vlori ttriuiti lle lettere, le seguenti espressioni perdono di significto? 6) h ; 7 ;. 7) 7 t t t ; ; s s s. 8) ; h h h ; 6 p p p. Monoi 9) Stilisci quli delle seguenti espressioni lgeriche sono onoi e riducile for norle: ) 8 6 z z ) ( ) c) 6 7 d) 9 0) Si A = 0,, 9 6,,,,, g h z t sole un insiee forto d espressioni lgeriche. Deterin l rppresentzione tulre dell insiee P = { A / è un onoio}. ) Dto l insiee B = z p f g h 6,,,,, 8 7, deterin l rppresentzione tulre di S = { B / è un onoio}. Deterin, inoltre, un prtizione dell insiee B che conteng leno tre eleenti, rppresentndo per crtteristic ogni eleento dell prtizione. Riduci for norle i seguenti onoi: ) ( ) ) 8 ; ( ) ) t p t p p ; 6 8 z z z

33 Per ciscuno dei seguenti onoi indic: ) ; il coefficiente; il grdo reltivo ciscun letter; il grdo coplessivo. z t; c 6) z; h 6 ; p nt 7 7) s f 7 ; c; t 8) s p ; ; f g 9) ; t z ; Scrivi i onoi con le crtteristiche indicte: 0) Coefficiente: ; grdo coplessivo: ; grdo rispetto d :. ) Coefficiente: ; grdo coplessivo: ; grdo rispetto : ; grdo rispetto c:. 9 ) Coefficiente: ; grdo coplessivo: ; grdo rispetto p:. ) Coefficiente: ; grdo coplessivo: 0. ) Coefficiente: ; grdo coplessivo: 6; grdo rispetto d f : ; grdo rispetto : 0. ) Coefficiente: 7 ; grdo coplessivo: ; grdo rispetto d h: ; grdo rispetto d n:. 6) Si N e A(, p) = p ; quli vlori puoi ssegnre ffinchè tle espressione si un onoio? Qule vlore puoi ssegnre ffinchè A(, p) si di grdo coplessivo? 7) Si N; qule vlore puoi ssegnre ll letter ffinchè l espressione si un onoio di grdo 6 rispetto ll letter? Qule vlore puoi ssegnre ll letter ffinchè l stess espressione si un onoio di grdo coplessivo? 8) Si h Z; per qule vlore di h l espressione p h s è un onoio di grdo coplessivo? Per qule vlore di h l stess espressione è di grdo rispetto ll letter p? 9

34 9) Sino, c interi; quli vlori puoi ssegnre lle lettere e c ffinchè l espressione c q - si un onoio di grdo coplessivo 0? Per quli vlori di l stess espressione non è un onoio? 0) Si un nuero nturle; per qule vlore di l espressione 7 z è un onoio di grdo coplessivo? ) Un diensione di un rettngolo è t e l ltr è i suoi ; qul è l re del rettngolo? ) Il lto di un tringolo equiltero è ; qul è il suo perietro? ) Qul è l lunghezz di un circonferenz di rggio r? E l superficie del cerchio deliitto d tle circonferenz? ) Qul è il volue del prllelepipedo di diensioni,, c? ) Qul è l superficie lterle di un pris retto vente per se un pentgono regolre di lto h e ltezz tripl del lto del pentgono di se? 6) Qul è l superficie lterle di un cuo di lto l? 7) L ltezz di un piride se qudrt è e il lto di se è l terz prte dell ltezz; qul è il volue dell piride? 8) In un cilindro, il dietro di se isur r e l ltezz è il triplo del rggio. Qul è l superficie lterle del cilindro? E il suo volue? Fr i seguenti onoi, individu quelli siili: 9) ; ; ; ; 8 ; 60) h p z ; 9 ; 7 hp z ; h p z ; p h z zh p ; h pz 6) lgo; lto; gol; gol; lto; lg 6) f ; f ; f 7 ; f ; 8 f ; 7 f 6) Scrivi tre onoi siili l onoio c. 6) Scrivi tre onoi siili l onoio z 6. 6) Scrivi i onoi opposti dei seguenti onoi: ; ; c. 0 0

35 66) Coplet l seguente tell: Monoio Monoio opposto Monoio siile s p z q s 0 c 0 7 z 8 67) Le seguenti fferzioni si riferiscono ll espressione A(,, c) = vere o flse: c ; stilisci se sono ) N, A(,, c) è un onoio V F ) Z, A(,, c) non è un onoio V F c) N / A(,, c) è siile l onoio c V F d) Se = 0, A(,, c) è l opposto di V F e) Se {0,, }, A(,, c) è un onoio V F f) Z / A(,, c) h grdo coplessivo 0 V F g) Se =, il grdo rispetto ll letter è V F h) Se =, A(,, c) è ugule l onoio c V F

36 68) Le seguenti fferzioni si riferiscono ll espressione B(, p) = 9 p h h ; stilisci se sono vere o flse: ) h N, B(, p) è un onoio V F ) h Z, B(, p) non è un onoio V F c) h Z, B(, p) è un onoio V F d) h N / B(, p) è siile l onoio p V F e) Se h =, B(, p) è di grdo 0 rispetto ll letter V F f) Se h = 0, B(, p) h grdo coplessivo 0 V F g) h N / B(, p) è siile l onoio p 7 V F h) Se h =, B(, p) è l opposto di p V F Operzioni con i onoi So lgeric Esegui le operzioni indicte: 69) 6 70) 7 [ ] 7), 0, 0 7) z z z z z z 7) ) 7 t t t t t t t t 7) ) [ 6 ] 77) v z 7v 6z v 0v [0v z ]

37 78) ) 6c (9f c ) c (f 9c ) f [7c 9f] ) ( ) ) d h d h d h d h d h d h ( d h d h) 8) [ ( )] 7 ( ) 0 d h [ ] 8) h ( 6hg hg) h hg h h hg hg 8) 8) 86) n n n, con n N n n n n, con n N 8, con N h hg n Inserisci l posto dei puntini i onoi che rendono ver l uguglinz: 87)... = 88)... = 0 89) 0... = 6 90)... = 0 9) 9) 9) 9)... 0 =... =... = = 9)... z... = 96) 97) = = 98) h... 9h... h = h

38 Esepio Dti i onoi A = seplific l espressione: s e B = s ; dopo ver sostituito d A e B le rispettive espressioni, A B (A B). Nell espressione ssegnt, doio sostituire ll letter A e ll letter B i onoi indicti, fcendo olt ttenzione i segni. Si ottiene: A B (A B) = s s s = (eliinio le prentesi) = = s s In definitiv: A B (A B) = s s = s s Sino A = 9, B = coe nell esepio precedente: 99) (A C) B 00) (B C) (A B) 0) A (B C) B 0) B ( A C) A ( C) Moltipliczione 7 e C = 6 tre onoi. Seplific le seguenti espressioni, 0) Coplet l seguente tell:. n 7 6 n

39 Esegui le seguenti oltipliczioni fr onoi: ; t z t 0 0) ( ) 7 0) ; 0 06) c 9 0, ;, h f h 8 07) 7h ( hg ) ( h g ) 08) t t t ) ( ) d d d 0) ( ) ) 0,7 8 ) 7 7 ) ( ), con N ) c 7 6 n n n c f c f, con n N ) t t 8 t, con N Inserisci l posto dei puntini il onoio che rende ver l uguglinz: 6).. = 6 7) s = s 8) tz = 9) = t z 7 0) p s... s = 0 7 ) d g g... h = d s 6 p 7 t h g

40 ) 8 h z... h z v = 7 9 h 6 z 0 v ) =, con N ) h h p... = h 7 h p, con h N 0 ) p- p = p p, con p N 0 Esegui le operzioni indicte: 6) ( ) ( ) [ 7 ] 9 7) ) h g g h hg hg h g ) c c ( 0,cf 0, cf ) 0) ( ) ) ) 7 sq t 6 t 7 sqt qt 6 qt 7 f f f f f f f f f 6 6 g g 0, 7 7 ) ( ) ) c c c c ) 6 6 h h h h 6) ( ) ( ) ( ) 7) sq t h g 0 c f [ ] sq t f f 0 9 g 6 8 c 7 0 h 8, t t t t t t 7 7 8) h h q q q h h hq h h 9 8 9) t 8 h q 6 6

41 0) ) c d cd cd d cd cd d c d d d ) p 0 p p 9 p p p 6 p ( ) c d Sino A =, B =, C = 8 seguenti espressioni: ) AB C ) AB C ) AB BC D 6) BD 8AC Potenze di onoi Clcol le seguenti potenze di onoi: 7) ( 7 ) e D = 7 quttro onoi. Seplific le ; ( ) ; ( ) [ 7 p ] 8) ( h) ; 6 0 fg ; 6 9) ( ch ) ; ; c 0) ) t z ; n st v ; g ; c c dh ; ( ) [ ] [ ] ) ( h ) 6 ; ( ) ; 7 [ ] ) ( q) ; h g 0 [ ] 0 [ ] 7 ) ( ) ; ( ) 7

42 Esepio Clcolio le potenze dei seguenti onoi: ) ( ) n n, n N ; ) ( h p ) n ) Applicndo le proprietà delle potenze, ottenio: ( n n ) n = ( ) ( n ) = n 6n ) Applicndo le proprietà delle potenze, ottenio: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n, n N Per stilire il segno di ( ) n doio distinguere due csi: n pri o n dispri. n pri: ( ) n = n dispri: ( ) n = n n Si ottengono, quindi, i seguenti risultti: n pri: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n = n dispri: ( h p ) n n = ( ) ( ) n h ( p ) n = n h n n h p n n p n Clcol le potenze dei seguenti onoi: ) ( ), con N ; ( ) n, con n N 6) p h s, con, p N ; ( c) n, con, n N 7) ( p ) h, con p, h N ; ( ) p Esepio Copletio le seguenti uguglinze:, con, p N ) (.) = 8 6 z ; ) (.) = 8 9 p ) Deterinio il coefficiente dell se dell potenz. Osservio che l esponente dell potenz è dispri ed il onoio ottenuto h coefficiente negtivo; deducio, llor, che il coefficiente dell se dell potenz è preceduto dl segno ; inoltre, 8 =. L se dell potenz h coe coefficiente. Deterinio, desso, l prte letterle. Poiché per deterinre l esponente dell prte letterle di un potenz si oltiplicno fr loro gli esponenti, per clcolre gli esponenti dell prte letterle dell se dell potenz è necessrio eseguire l operzione invers; doio, quindi, dividere per gli esponenti 6 e. Si ottiene: ( z) = 8 6 z 8

43 ) Deterinio il coefficiente dell se dell potenz. Osservio che l esponente dell potenz è pri; il coefficiente dell se, llor, può essere preceduto dl segno o dl segno ; inoltre 9 =. Il coefficiente dell se dell potenz, llor, è oppure. Per deterinre l esponente dell prte letterle, si procede coe l punto ); dividio, quindi, per gli esponenti 8 e. Si ottiene: ( p) = 9 p Coplet le seguenti uguglinze: 8 oppure ( p) = 8 9 p 8) 9) 60) (...) = 7 s 8 (...) = 6 9 (...) = 6) (...) = 6) (...) = 6) (...) = 6) 6 0 f 9 6 c 6 d 0 0 (...) = n 6 6) (...) = 0,09 g Sostituisci l posto dei puntini i terini ncnti in odo d rendere vere le uguglinze: ) ( ) = 7 67)... = ) (... ) = ) (... p t ) = p t ) (... ) = 6 7) c =... c 7)... f = 7 6 f 9

44 0 7) t p = 7) ( ) n n f f = 7) ( ) n = n 6 76) ( ) h h = 77) n n n t z t z = Esepio Seplifichio l seguente espressione: ( ) Soio i terini siili rcchiusi nelle prentesi tonde; si h: ( ) = Eseguio, pri di tutto le potenze = = che osserv ; si ottiene: 8 = Procedio, desso, eseguendo le oltipliczioni: 6 8 = (i terini sono siili) = In definitiv: ( ) = Seplific le seguenti espressioni: 78) ( ) ( ) ) ( ) ) ( ) 6 6 6

45 8) ( ) ( ) ( ) [8 ] 8) ( ) [ ] ( ) [ ] 0 g f g f [ f g ] 8) ( ) 0 [] 8) ( ) ( ) [ ] [ 6 8 ] 8) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 6 [0] 87) ( ) ( ) ( ) 0 7 p t t pt pt pt t t 9 p t 88) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 z z z z z z 8 7 z z 89) ( ) ( ) g f g g g f g f 6 8 f g f g 90) ( ) ( ) 0 c c c c c c 7 0 c 9) ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) h h h, con h N 9) ( ) ( ) ( ) [ ], con N 9) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] n n n c c, con, n N 96) ( ) ( ) ( ), con N

46 Divisione 97) Coplet l seguente tell: : Esepio Eseguio l seguente divisione: 9 8 s t : st. Osservio, pri di tutto, che gli esponenti di ciscun letter del dividendo sono ggiori o uguli gli esponenti dell stess letter nel divisore; quindi, il quoziente è un onoio. Il coefficiente del quoziente si ottiene dividendo fr loro il coefficiente del dividendo ed il 9 coefficiente del divisore : e, poiché sono concordi, il segno del coefficiente è ; l prte 8 letterle è fort dlle lettere del dividendo venti per esponente l differenz fr gli esponenti del dividendo e quelli del divisore; si h, dunque: 9 8 s t : st = 9 : 8 s t = s t = 6 s ATTENZIONE Considerio l divisione dell esepio precedente: Osservio che è un grve errore scriverl nel seguente odo: 9 8 s t st = :9 9 s t s 8 t st : 8 dove io invertito il coefficiente del divisore e non l prte letterle. st

47 Esegui, se possiile, le seguenti divisioni: 98) 8 : ( ); c : ( c ) 99) 7 : ; : 00) g : g ; : ) 9s t z : s tz ; f f : 9 0) g : ( 7h g ) 7 6 h ; p v : p v 7 8 0) c : c ; 6 f : f 0) s tz : ( s t) ; 8 8 : 7 0) st z : ( st ) 9 06) n h : ( 8 h), con n N n 07) j : j, con N, N 0 h 08) ( g h ): ( g ) 09) ( f ): ( f ) n n 0) ( h ): ( h ), con h N, con N, con n N ) n 6 p t : pt n, con n N n 7 ) s : s, con N ) A qule insiee deve pprtenere ffinchè il quoziente dell divisione ( ): ( ) un onoio? ) N ) N 0 c) N {} d) A = { N / } e) B = {h N / h > } ) A qule insiee deve pprtenere ffinchè il quoziente dell divisione ( ): ( ) onoio? ) B = { N / > }; ) A = { N / }; c) F = { N / }; d) N {}; e) N {}. si si un

48 ) A qule insiee deve pprtenere ffinchè il quoziente dell divisione ( ): ( t ) si un onoio? t non ) N {}; ) N {}; c) A = { N / }; d) A = { N / }; e) per qulsisi vlore di il quoziente dell divisione è un onoio. Inserisci, se possiile, l posti dei puntini i onoi opportuni in odo che le seguenti uguglinze risultino vere: 6) ( 8 c) : (...) 7) ( ) ( p... : t) = pt = 8) : (...) h = 9) ( 6 ): (...) 6 z = z... : s = 7 7 0) ( )... : c f = ) ( ) 7 s g 7 = 8 ) g h : (...) ) (...) : ( h ) f = h... : c = c 9 ) ( ) 9 7 ) g f : (...) d =... : z = 6) ( )... : h = 9 7) ( ) d 8 Seplific le seguenti espressioni: 6 8 8) : 0 7 9) : 6 6 0) ( ) : 8

49 ) ( ) ( ) : z z 6 [ ] z ) : 0 9 : 6 9 ) : : 6 9 t s t s t s s s s s 6 s ) ( ) 7 : : 6 c c c ) 0 : 8 : : [ipossiile] 6) 6 : 9 7 [0] 7) 8 : 6 0 : h h h h 8) ( ) ( ) : 9 : ps ps s s s p [ps] 9) ( ) ( ) ( ) : : 0) : : c c c c c [0] ) ( ) ( ) 9 : : 0 : 9 t z t z t t z t z t [t ] ) : 6 8 g g g g g g g [ g ] ) ( ) 6 : : 9 ) ( ) 6 : ) 6 0 : : 0 6) ( ) ( ) 6 : :

50 MCD e c fr onoi 7) Scrivi tutti i divisori del onoio. 8) Scrivi tre divisori del onoio. 9) Le seguenti fferzioni si riferiscono l onoio. Stilisci se esse sono vere o flse: ) non h divisori di grdo coplessivo 0. V F ) I divisori di di grdo coplessivo sono, l ssio,. V F c) Esistono divisori di di grdo coplessivo. V F d) Esistono leno tre divisori di di grdo coplessivo. V F e) Esiste un solo divisore di che h grdo coplessivo. V F f) Esiste un solo divisore di di grdo rispetto ll letter. V F g) Esistono leno quttro divisori di di grdo rispetto ll letter. V F 0) Si A = q 7 ). Solo uno dei seguenti onoi non è un divisore di A; qule? q ; ) ; c) ) Scrivi tre divisori couni i onoi ) Dti i onoi A = s t 9 d A e B; qule? e B = ) s t ; ) 9 q ; d) 6 e z s t s t ; c) s t. 7 ; e) q ; solo uno dei seguenti onoi è un divisore coune ; d) s t ; e) ) Coplet l seguente tell e clcol il MCD delle seguenti coppie di onoi: s MCD z c z 7 z 9 c 0 z 6

51 Deterin il MCD fr i seguenti gruppi di onoi: ) c; 8 c ) c f ; 0 c f h 6) 6t ; t ; 8t 7) 6 s ; 8) ; ; s ; 9) 60) g ; 8 h ; p t ; t f ; f q 6) Coplet l seguente tell e clcol il c delle seguenti coppie di onoi: c z c z 7 z 9 c 0 z Clcol il c tr i seguenti gruppi di onoi: 6) 7 p t ; 9 p 6) ; 6) s ; 6) gf ; z 8s h ; h f g ; g 7

52 66) q z ; z ; q 67) 68) ; 7 f ; ; 7 p ; g Clcol il MCD ed il c dei seguenti gruppi di onoi: 69) ; 8 c ; 0c d 70) z; 7) p z ; ; 6 ; 6 z 0 z p 7) 7) 8 z ; h z 7 s p ; ; p ; z p 7 Prolei 7) Un lto di un tringolo isur 8 e l ltezz d esso reltiv è i suoi. Qul è l re del tringolo? Deterin l re del tringolo nel cso in cui =. [ ; 600 ] 7) Un diensione di un rettngolo isur h e l ltr è i suoi 6. Deterin il perietro e l re del rettngolo. Qul è l re del rettngolo se h = 8 c? [h; 0h ; 7680 c ] 76) L isur dell superficie di un qudrto è 6 ; l suo lto viene ggiunto un segento ugule i suoi. Di qunto è uentt l superficie del qudrto? Qul è l isur dell superficie del nuovo qudrto? Qunto isur il perietro di ciscuno dei due qudrti? [6 ; 00 ; ; 0] 77) Il lto di un rettngolo isur e il suo perietro è. Qul è l re del rettngolo che si ottiene triplicndo il lto ggiore e diezzndo il lto inore? [ ] 78) L se di un tringolo isoscele è e il lto oliquo è i suoi. Qul è il perietro del tringolo che si ottiene diinuendo l se di un segento pri d del lto oliquo ed uentndo il lto oliquo di un segento pri d dell se? Per qule vlore di il perietro di quest ultio tringolo è 0 c? [; = 6 c] 8

53 79) Frncesco deve plstificre un ddo il cui spigolo isur 8q. E sufficiente un foglio rettngolre di diensioni q e q? Motiv l tu rispost. 80) Antonio e Bruno si dnno ppuntento l centro coercile che dist d cs di Antonio. Dopo ver percorso del trgitto, Antonio incontr Luci e si fer per slutrl; dopo ver percorso del trtto rinente si fer ncor per slutre Giorgio, un suo vecchio copgno di scuol. Bruno, non vedendolo rrivre, lo chi sul cellulre: Antonio, dove sei? Qunt strd devi fre ncor?. Antonio risponde: Sto rrivndo, devo fre ncor... Cde l line. Coe vree copletto l frse Antonio? Scrivi e seplific l espressione che risolve il prole. [7] 8) Mrt h liri di utori frncesi, inglesi, itlini, sttunitensi. Mrt h pensto, llor, di sisterli in odo che su ogni ripino dell lireri ci sino liri di utori dell stess nzionlità. Mentre sistev i liri si è ccort che di questi sono stti scritti d utori itlini; dei rinenti, sono di utori di origine inglese e i sono di utori sttunitensi. 6 Qunti sono i liri di scrittori di origine frncese? Qule, fr i seguenti vlori, puoi ttriuire, ffinchè il prole i soluzione? ) = ) = 60 c) = d) = 0 e) = 8) Un pizz dell città di Mnigoldi h l for di un rettngolo in cui un diensione è è l ltr è i suoi. In onore di Lus, grnde eroe di Mnigoldi, l centro dell pizz è stto costruito un edificio vente per se un tringolo equiltero equivlente i del rettngolo. 9 Qunto isur l superficie dell pizz estern ll edificio? [0 ] 8) Osserv l seguente figur: Qul è l re dell prte non colort? [8 ] Qul è l re dell prte colort? [ ] 9

54 CAPITOLO 6 I polinoi 6. Definizioni Nell figur lto è rppresentt l pintin del cortile di un condoinio. Scrivi un espressione che indichi il perietro del cortile:..... Scrivi un espressione che indichi l re del cortile:. Entre le espressioni precedenti indicno l so di più onoi non tutti siili tr di loro; tli espressioni prendono il noe di polinoi. Si h, llor, l seguente definizione: Si chi polinoio l so lgeric di più onoi. I onoi che forno il polinoio si chino terini del polinoio. Osserv i terini che forno i seguenti polinoi e coplet: A = c c e B = 7. Il polinoio A contiene... onoi....; invece il polinoio B.... contiene onoi.. Il polinoio B si dice ridotto for norle. In generle: un polinoio si dice ridotto for norle se è l so lgeric di onoi non siili fr di loro. Inoltre, un polinoio, ridotto for norle, si chi: inoio se è l so lgeric di due onoi; trinoio se è l so lgeric di tre onoi; qudrinoio se è l so lgeric di quttro onoi. PROVA TU Stilisci se i seguenti polinoi sono ridotti for norle e, qulor non lo sino, riducili for norle: ) 9 6 ; ) p s ps p t ; 7 8 c) f h f h. 0

55 ATTENZIONE Osserv i seguenti polinoi : A = f f f ; B = p 0 0 ; C = 0 0 ; D = 0 0 c f 0. Il polinoio A è l so di onoi siili, quindi A = f ; il polinoio B è l so fr un onoio e ltri onoi tutti nulli, quindi B = p ; il polinoio C è l so fr un nuero rzionle e onoi nulli, quindi C = quindi D = 0. In tutti questi csi, in reltà, i polinoi sono dei onoi. D questi esepi possio dedurre che: ; infine, il polinoio D è l so di onoi nulli, i onoi sono dei prticolri polinoi e, poiché, i nueri rzionli sono dei onoi, nche i nueri rzionli sono prticolri polinoi. Il polinoio forto d onoi nulli è chito polinoio nullo. In odo nlogo qunto ftto per i onoi, nche per i polinoi si definiscono il grdo coplessivo ed il grdo reltivo (ovviente i polinoi devono essere ridotti for norle). Si chi grdo coplessivo di un polinoio il ggiore fr i grdi coplessivi dei suoi terini. Si chi grdo reltivo (o grdo rispetto) d un letter l esponente ggiore con cui quell letter copre nel polinoio. Il terine del polinoio di grdo (coplessivo) zero è chito terine noto. Se i terini del polinoio hnno lo stesso grdo coplessivo, il polinoio si dice oogeneo. Esepi ) Si A = 6. L esponente ggiore dell letter è, quindi il grdo reltivo d è ; l esponente ggiore dell letter è, quindi il grdo rispetto è ; il onoio h grdo coplessivo ; il onoio h grdo coplessivo 7; il onoio 6 (terine noto del polinoio) h grdo coplessivo 0; il ggiore fr i grdi coplessivi è 7; llor, il grdo coplessivo del polinoio A è 7.

56 ) Si C = 6 p p. Tutti i terini del polinoio hnno grdo coplessivo ; il polinoio è, dunque, un polinoio oogeneo (di terzo grdo). PROVA TU Per ciscuno dei seguenti polinoi indic il grdo coplessivo ed il grdo reltivo ciscun letter; stilisci, inoltre, se esso è oogeneo: ) ) c) 6 ; 7 ; h h p. 9 Osserv, desso, i polinoi: P(, ) = 6 8, Q(, t) = t 9, S() = 6, T() = 8, B() = 6, F() = 8. Il polinoio P(, ) è di terzo grdo rispetto ll letter ; inoltre, in esso, l letter è presente con esponenti (che è il ggiore),,, 0 (il terine 6 è di grdo 0 rispetto d ). Nel polinoio P(, ) sono presenti, quindi, tutti gli esponenti di, dl ggiore () fino ll esponente 0. Si dice, llor, che P(, ) è copleto rispetto ll letter. Nel polinoio Q(, t), il prio terine t è di terzo grdo rispetto, il secondo terine ( ) è di secondo grdo rispetto, l ultio terine ( 9) è di grdo 0 rispetto, cioè i terini del polinoio sono scritti in ordine decrescente rispetto l grdo reltivo ; si dice che il polinoio Q(, t) è ordinto secondo le potenze decrescenti di. Il polinoio S(), invece, è ordinto secondo le potenze crescenti di ; inftti il prio terine ( ) è di prio grdo rispetto d, il secondo terine ( ) è di terzo grdo rispetto d, l ultio terine ( 6 ) è di quinto grdo rispetto d.

57 Infine, il polinoio T() è copleto rispetto ll letter e ordinto secondo le potenze decrescenti dell letter. Osserv, desso, con ttenzione i polinoi S() e B() e coplet: i terini di S() sono tutti. quelli di.. ; osserv i polinoi T() e F() e coplet: ciscuno dei terini di T() è. i terini di... I polinoi S() e B() si dicono uguli e si scrive S() = B(); i polinoi T() e F() si dicono opposti. In generle: un polinoio P è copleto rispetto d un letter se in esso sono presenti tutte le potenze di quell letter, dll ggiore fino quell con esponente 0; un polinoio P è ordinto secondo le potenze decrescenti di un letter se i suoi terini sono scritti in ordine decrescente rispetto l grdo reltivo quell letter; un polinoio P è ordinto secondo le potenze crescenti di un letter se i suoi terini sono scritti in ordine crescente rispetto l grdo reltivo quell letter; due polinoi sono uguli se, prte l ordine, contengono gli stessi onoi; si chi opposto di un polinoio, il polinoio che si ottiene cindo di segno ciscuno dei terini del polinoio dto. L opposto di un polinoio A si indic con A. Coplet Se un polinoio non è ordinto rispetto d un letter, lo si può riscrivere in odo che si ordinto rispetto quell letter pplicndo l proprietà.. dell. fr onoi. Se un polinoio non è copleto rispetto d un letter, lo si può rendere copleto rispetto quell letter ggiungendo un onoio che i per coefficiente... e coe prte letterle... con l esponente. PROVA TU ) Ordin il seguente polinoio secondo le potenze crescenti di e stilisci se esso è copleto rispetto ll letter :.

58 ) Ordin il seguente polinoio secondo le potenze decrescenti di e stilisci se esso è copleto rispetto ll letter : 6 7. c) Riscrivi il seguente polinoio in odo che si copleto rispetto ll letter h : h h h 9. 8 d) Coplet i polinoi A() e B() in odo tle che essi sino uguli: A() =.... B() =..... e) Scrivi il polinoio opposto del polinoio A() dell esercizio precedente. Anche i polinoi sono delle espressioni lgeriche, quindi il loro vlore dipende d quelli che vengono ttriuiti lle vriili. Ad esepio: considerio il polinoio B() = e deterinio il vlore che esso ssue qundo ll vriile si ssegnno i vlori,,, 0. Se = B() = = 8 6 = 6 6 = ; se = B() = = 7 9 = 9 = ; se = B() = () () = (8) 6 = 6 6 = 8; se = 0 B(0) = 0 0 = 0 0 =. Per i polinoi vle il seguente Principio d identità: Due polinoi nelle stesse vriili sono identici se ssuono gli stessi vlori qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili. 6. Operzioni con i polinoi Addizione e sottrzione Si chi so di due polinoi A e B, e si indic con A B, il polinoio che si ottiene ddizionndo i onoi di A i onoi di B. Per esepio, dti i polinoi A(, ) = 9 e B(, ) =, deterinio l loro so.

59 A(, ) B(, ) = 9 = (riducendo i terini siili) = 6. Si chi differenz fr due polinoi A e B, e si indic con A B, l so fr il polinoio A e l opposto del polinoio B: A B = A ( B). Così, se A(, ) e B(, ) sono i polinoi dell esepio precedente, clcolio l loro differenz. A(, ) B(, ) = A(, ) [B(, )] = 9 ( ) = (eliinndo le prentesi) = 9 = (riducendo i terini siili) = 9 6. Coe già visto per le operzioni definite negli insiei nuerici, nche l differenz fr due polinoi si trsfor in ddizione e le due operzioni diventno un unic operzione chit so lgeric. PROVA TU Dti i polinoi: A(, ) = 7 ; B(, ) = 9 6; C(, ) = ; D(, ) = 7 9. deterin: ) A(, ) D(, ); ) D(, ) A(, ); c) B(, ) C(, ); d) B(, ) [A(, ) C(, )] ; e) [D(, ) A(, )] C(, ); f) D(, ) [A(, ) C(, )]. Coplet Osservndo i risultti degli esercizi ) e ), si h che A(, ) D(, ) D(, ) A(, ). Generlizzndo, si può fferre che per l operzione di so lgeric fr polinoi vle l proprietà.... Osservndo i risultti degli esercizi e) e f), si h che: [D(, ) A(, )] C(, )... D(, ) [A(, ) C(, )]. Generlizzndo, si può fferre che per l operzione di so lgeric fr polinoi vle l proprietà....

60 Moltipliczione di un onoio per un polinoio Clcolio il seguente prodotto: p ( p p ). Ricordndo che le lettere sono nueri rzionli, possio pplicre l proprietà distriutiv dell oltipliczione rispetto ll so lgeric; si h: p ( p p ) = p p p p ( p ) = = 8 p p 8 p. Si h, dunque, l seguente regol: Il prodotto di un onoio per un polinoio (o vicevers) è un polinoio i cui terini si ottengono oltiplicndo il onoio per ciscuno dei onoi che forno il polinoio. PROVA TU Esegui le seguenti oltipliczioni: ) ( ); ). Coplet Osservndo l esepio introduttivo e i risultti degli esercizi precedenti, si h che: il prodotto di un onoio per un polinoio è un.. ; il grdo coplessivo del prodotto è ugule ll dei grdi dei due fttori. Moltipliczione di due o più polinoi Ci proponio, desso, di clcolre il seguente prodotto: ( ) ( 6 ) Indichio il polinoio con l letter P (P = ); l precedente oltipliczione divent: P ( 6 ) = (pplicndo l proprietà distriutiv dell oltipliczione rispetto ll so lgeric) 6 = P P 6 P = (sostituendo P il polinoio ) = ( ) ( ) 6 ( ) =

61 (pplicndo nuovente l proprietà distriutiv) ( ) = 6 6 ( ) = = In definitiv: ( ) ( 6 ) = Se osservio l rig ( ), notio che ess contiene il prodotto di ciscun terine del prio polinoio per ciscun terine del secondo polinoio. Si h, llor, l seguente regol: Il prodotto di due polinoi è un polinoio ottenuto oltiplicndo ciscun onoio del prio polinoio per ciscun onoio del secondo polinoio. E opportuno, poi, ridurlo for norle. ATTENZIONE Pri di eseguire l oltipliczione di due polinoi è opportuno che essi sino ridotti for norle. Per deterinre il prodotto di tre o più polinoi, si esegue il prodotto fr i prii due e, dopo ver ridotto for norle il polinoio ottenuto, lo si oltiplic per il terzo polinoio e così vi. Se i polinoi sono più di tre, è opportuno pplicre l proprietà ssocitiv e oltiplicre i polinoi dti due due; dopo ver ridotto for norle, se necessrio, i polinoi così ottenuti, li si oltiplic fr di loro. Nel cso dell oltipliczione fr un onoio e due o più polinoi, è opportuno, pri, deterinre il prodotto dei polinoi e, successivente, oltiplicre il onoio per il polinoio così ottenuto. Esepi ) Clcolio il seguente prodotto: ( ) ( ) ( ). Applicndo l proprietà ssocitiv, clcolio il prodotto fr i prii due polinoi: [( ) ( )] ( ) = (6 9 ) ( ) = (soio i terini siili del polinoio rcchiuso nelle prie prentesi tonde): = (6 ) ( ) = =

62 nell ultio polinoio ottenuto non sono presenti onoi siili, quindi: ( )( )( ) = = ) Clcolio il seguente prodotto: ( )( ) ( )( ). Applichio l proprietà ssocitiv coe di seguito indicto e deterinio il prodotto fr il prio e secondo polinoio ed il prodotto fr il terzo e il qurto: [( )( )] [( )( )] = (6 )( ). I polinoi ottenuti non contengono terini siili, possio, llor, seguire l oltipliczione: = = Riducio for norle il polinoio ottenuto: = 6 6. Quindi: ( )( ) ( )( ) = = 6 6. c) Clcolio il seguente prodotto: ( ). Applichio l proprietà ssocitiv e deterinio, pri, il prodotto dei due polinoi: ( ) = 6 = Clcolio, desso, il prodotto fr il onoio ed il polinoio ottenuto: =. In definitiv si h: ( ) =. PROVA TU ) Esegui le seguenti oltipliczioni fr polinoi: ) ( ) ( 7) ; ) p p p p. 8

63 Coplet Osservndo l esepio introduttivo e i risultti degli esercizi precedenti, si h che: il prodotto di un polinoio per un polinoio è un.. ; il grdo coplessivo del prodotto è ugule ll dei grdi dei due fttori. ) Dti i polinoi A = clcol: f h h f ; B = ) A B; B A; ) A (B C); (A B) C; f h ; C = 9 f 6 f h c) A ; B 0. Osserv i risultti ottenuti i punti ), ) e c) dell esercizio ) e coplet: A B.. B A; quindi, per l oltipliczione fr polinoi vle l proprietà. ; A (B C).. (A B) C; quindi, per l oltipliczione fr polinoi vle l proprietà. ; è eleento. rispetto ll oltipliczione fr polinoi; nche per i polinoi vle l legge di.. del prodotto. Prodotti notevoli Coplet l seguente tell coe nell esepio dell pri rig: ( ) ( ) = = ( ) ( ) = (s t) (s t) = ( ) ( ) = ( q) (q ) = Osservio ttentente l tell: i prodotti indicti in ciscun csell dell pri colonn sono prodotti fr inoi; i inoi sono prticolri : essi sono forti d due terini uguli e due opposti; eseguendo l oltipliczione dei inoi, nel prodotto si ottengono sepre due onoi opposti (second colonn); il prodotto è un inoio i cui terini sono due qudrti, uno dei quli è preceduto dl segno (terz colonn); è preceduto dl segno il qudrto del terine opposto nei inoi dti. 9

64 I prodotti indicti nell tell prendono il noe di so per differenz. Inftti, se opportunente ordinti o riscritti in odo equivlente, si possono sepre ricondurre l prodotto fr l so di due terini per l differenz fr gli stessi terini. Possio, quindi, generlizzre: se A e B sono due onoi, il prodotto fr l loro so e l loro differenz è ugule ll differenz dei loro qudrti. In sintesi: (A B) (A B) = A B. In reltà, il risultto sopr esposto è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esepi ) Clcolio il seguente prodotto: ( ) ( ). Osservio che il prodotto indicto è il prodotto fr due inoi forti d un terine ugule ( ) ed uno opposto () ; possio, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inoio i cui terini sono ( ) e (), e, quest ultio srà preceduto dl segno. Si ottiene: ( ) ( ) = ( ) () = 9. ) Clcolio il seguente prodotto: f 6 f 6 Osservio che il prodotto indicto è il prodotto fr due inoi forti d un terine ugule (6) ed uno opposto f ; possio, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inoio i cui terini sono (6) e segno. Si ottiene: f e, quest ultio, srà preceduto dl f 6 f 6 = (6) 9 f = 6 f. 60

65 c) Clcolio il seguente prodotto: ( s) (s ) Osservio che il prodotto indicto è il prodotto fr due inoi forti d un terine ugule (s) ed uno opposto (); possio, quindi, pplicre l regol precedente. Il risultto è un inoio i cui terini sono (s) e ( ) e, quest ultio, srà preceduto dl segno. Si ottiene: ( s) (s ) = (s) () = s 6 PROVA TU Applicndo l regol precedente, clcol i seguenti prodotti: ) ( ) ( ); ) p h h h p h ; 7 7 c) s s. Coplet l seguente tell coe nell esepio dell pri rig: ( ) = ( ) ( ) = = = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( s t ) = Osservio ttentente l tell: in ciscun csell dell pri colonn è indicto il qudrto di un inoio; clcolndo il qudrto coe prodotto di due fttori uguli, si ottiene un polinoio contenente due terini uguli (terz colonn); ricord che sore due terini uguli signific oltiplicre per quel terine (qurt colonn); il qudrto di un inoio (quint colonn) è un trinoio in cui due terini sono i qudrti dei onoi che forno il inoio e il terzo terine è il loro prodotto oltiplicto per. 6

66 Possio, quindi, generlizzre: dti i onoi A e B, il qudrto del inoio A B è un trinoio forto dll so dei qudrti dei due terini e dl doppio prodotto dei terini del inoio. In sintesi: (A B) = A AB B. L regol ppen espost è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esepi ) Deterinio il seguente qudrto: (6 ). Osservio, pri di tutto, che (6 ) = [6 ( )]. Si trtt, evidenteente, del qudrto di un inoio forto di onoi A = 6 e B =. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: (6 ) = [6 ( )] = (6 ) 6 ( ) ( ) = 6. ) Deterinio il seguente qudrto:. Osservio che =. Si trtt, llor, del qudrto di un inoio i cui terini sono A = Applicndo l regol pri definit, si ottiene: e B =. = = = = 6 9 c) Deterinio il seguente qudrto: ( ) 6. I terini del inoio sono A = e B =. Applicndo l regol pri definit si ottiene: ( ) = () () = 9. 6

67 Osservndo l tell e gli esepi precedenti, notio che nello sviluppo del qudrto di un inoio il doppio prodotto è preceduto dl segno se i due onoi sono concordi, dl segno se i due onoi sono discordi. PROVA TU Deterin il qudrto dei seguenti inoi: ( ) ; h ; ( f g h). 9 Coplet l seguente tell coe nell esepio dell pri rig: ( p s) = ( p s) ( p s) = ( ) = p s p p p s s p s s = p s p ps s ( f ) = ( z ) = Osserv ttentente l tell e coplet: in ciscun csell dell pri colonn sono indicti qudrti di. ; clcolndo il qudrto coe prodotto di... uguli, si ottiene un polinoio contenente lcuni terini due due. (terz colonn); ricord che sore due terini uguli signific. quel terine (qurt colonn); il qudrto di un trinoio (quint colonn) è un. forto d terini: i.. dei onoi che forno il trinoio, il prodotto del prio.. per il. onoio oltiplicto per., il prodotto del prio.. per il.. onoio oltiplicto per, il prodotto del... onoio per il terzo.. oltiplicto per.. 6

68 Possio, llor, generlizzre: Il qudrto di un trinoio è un polinoio forto d sei terini; precisente d: il qudrto di ogni terine; il doppio prodotto di ciscun terine per gli ltri due. In sintesi, se A, B, C sono onoi, si h: (A B C) = A B C AB AC BC. L regol sopr espost è più generle e vle nche se A, B, C sono tre qulsisi espressioni lgeriche. Esepi ) Clcolio il seguente qudrto: ( h z ). Osservio, pri di tutto, che ( h z ) = [( h ( z )]. Si trtt, dunque, del qudrto di un trinoio forto di onoi A =, B = h e C = z. Applichio, llor, l regol sopr espost; si ottiene: ( h z ) = [( h ( z )] = (h) ( z ) h ( z ) h ( z ) = 9 h 6z h z 6hz. Clcolio il seguente qudrto: f. E, evidenteente, il qudrto del trinoio forto di onoi A = Applichio l regol espost in precedenz:, B = f e C =. f = ( ) f ( f ) ( f ) = = 6 6 f f f. 9 OSSERVAZIONE Tle procediento può essere generlizzto per deterinre il qudrto di un qulsisi polinoio: il qudrto di un polinoio è forto dll so dei qudrti di tutti i terini e dei doppi prodotti di ciscun terine per i terini successivi. Per esepio: ( c d) = c d c d c d cd 6

69 PROVA TU Deterin il qudrto dei seguenti trinoi: ; ( ) p ; h l. Clcol le seguenti potenze coe negli esepi: ( h) = ( h) ( h) = ( h h ) ( h) = h h h h h = h h h ; ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = 6 = = 6. ( z) = ( z) ( z) = (... z ) ( z) = = ; = =... =.. = =.... =... ; (d ) =.. = = =. =.. Osserv i risultti ottenuti e coplet: in ogni potenz hi clcolto il cuo di un ; il risultto è un polinoio forto d terini; i terini del polinoio ottenuto sono: i.. di ciscun terine del inoio dto; il.. del qudrto del. terine per il.. oltiplicto per ; il.. del qudrto del... terine per il..... oltiplicto per. 6

70 Possio, llor, generlizzre: Il cuo di un inoio è un qudrinoio i cui terini sono: il cuo del prio onoio; il cuo del secondo onoio; il triplo prodotto del qudrto del prio onoio per il secondo onoio; il triplo prodotto del prio onoio per il qudrto del secondo onoio. In sintesi, se A e B sono onoi, si h: (A B) = A A B AB B. L regol sopr espost è più generle e vle nche se A e B sono due qulsisi espressioni lgeriche. Esepi ) Clcolio il seguente cuo: ( f ). Osservio, pri di tutto, che ( f ) [ ] = ( f ) Doio, llor, clcolre il cuo di un inoio forto di onoi A = e B = f. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: ( f ) [ ] = ( ) ( ) ( f ) ( f ) ( f ) = ( f ) 6 = 7 9 ( f ) 9 f 8 f ) Clcolio il seguente cuo: = = 7 f 6 f 6 f 8. h g. E evidente che doio clcolre il cuo di un inoio forto di onoi A = h e B = g. Applicndo l regol espost in precedenz, si ottiene: h g = h h g h g g = 66 = g h h g g = h h g h g h g

71 OSSERVAZIONE Rgionndo llo stesso odo, si potree ricvre un regol per deterinre il cuo di un trinoio o di un qulsisi polinoio. Tle regol, tuttvi, è stnz copless e quindi è preferiile clcolre il cuo di un trinoio o di un qulsisi polinoio coe prodotto di opportuni fttori. PROVA TU Clcol il cuo dei seguenti polinoi: p g s ; ( ) h ; ( ) ; t w. Adesso sppio clcolre il qudrto ed il cuo di un inoio; è lecito, counque, chiedersi: Esiste un etodo o un regol per clcolre l potenz di un inoio qundo l esponente è ggiore di? Esinio, inizilente, il cso in cui il inoio è forto d due onoi di prio grdo con coefficiente e, quindi, potenze del tipo ( ) n con n >. Il cso più generle (A B) n con A e B onoi qulsisi srà esinto in seguito. Deterinio, llor, lcune potenze (con esponente ggiore di ) del inoio ( ): ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = = = = 6. ( ) = ( ) ( ) = ( 6 ) ( ) = = 6 6 = = 0 0. Procedendo llo stesso odo, verific che: ( ) 6 = ( ) ( ) = Coplet: ( ) 7 = ( ) 6 ( ) =... ; ( ) 8 = ( ) 7 ( ) =.... Per ggiore chirezz, fccio un riepilogo: ( ) 0 = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = ; ( ) = 6 ; ( ) = 0 0 ; ( ) 6 = ; 67

72 ( ) 7 =... ; ( ) 8 =... ; Osserv i risultti ottenuti e coplet inserendo, l posto dei puntini, un delle voci indicte in rosso: se 0 n 8, il risultto delle precedenti potenze è un polinoio forto d (n, n, n ) terini ; il grdo coplessivo del polinoio ottenuto è.. (ugule, diverso) esponente; il polinoio ottenuto è un polinoio (oogeneo, non oogeneo); il polinoio ottenuto è ordinto secondo le potenze.... (crescenti, decrescenti) di e secondo le potenze (crescenti, decrescenti) di. Riepilogndo: l potenz di un inoio del tipo ( ) n è un polinoio: di grdo coplessivo ugule ll esponente dell potenz; oogeneo; ordinto secondo le potenze decrescenti di un vriile e secondo le potenze crescenti dell ltr. Or sppio deterinre l prte letterle dei onoi che forno il polinoio sviluppo di ( ) n ; coe è possiile deterinrne i coefficienti? Niccolò Fontn (tetico del Cinquecento), detto Trtgli, eliinndo l prte letterle dei onoi, si ccorse che i coefficienti potevno essere disposti in un tringolo, coe ostrto nell seguente figur: Rig 0 ( ) 0 Rig ( ) Rig ( ) Rig ( ) Rig 6 ( ) Rig 0 0 ( ) Rig ( ) 6 Rig ( ) Rig n ( ) n Il precedente tringolo prende il noe, ovviente, di Tringolo di Trtgli, nche se esso er già noto nell ntic Cin. 68

73 Anlizzio le crtteristiche del tringolo di Trtgli: ogni rig inizi e terin con ; i terini equidistnti dgli estrei di ciscun rig sono uguli; ogni eleento di un rig, diverso d un estreo, è l so dei due eleenti dell rig precedente fr i quli viene incolonnto. Osserv, tl proposito, l rig e l rig del precedente tringolo [coefficienti di ( ) e ( ) ] riportt nell figur sottostnte: Alcune curiosità sul Tringolo di Trtgli L so degli eleenti di ciscun rig è un potenz di ; in prticolre n N, l so degli eleenti dell n si rig è ugule n ; l pri line prllel quell oliqu fort d soli, contiene tutti i nueri nturli; l second line prllel quell oliqu fort d soli, contiene i nueri tringolri (si chi tringolre un nuero nturle che è l so dei prii n nueri nturli consecutivi; d esepio: 6 = ; quindi 6 è un nuero tringolre); tutti i nueri tringolri sono dell for Esepi ) Clcolio ( ) 9. n( n ), con n N Lo sviluppo di ( ) 9 dà coe risultto un polinoio oogeneo di grdo 9, forto d 0 terini e ordinto secondo le potenze decrescenti di e crescenti di. Possio, dunque, scrivere l prte letterle dei terini che forno il polinoio: ( ) 9 = Per deterinre i coefficienti, costruio il Tringolo di Trtgli fino ll rig 9: Rig 0 ( ) 0 Rig ( ) Rig ( ) Rig ( ) Rig 6 ( ) Rig 0 0 ( ) Rig ( ) 6 Rig ( ) 7 Rig ( ) 8 Rig ( ) 9 69

74 Si h, dunque: ( ) 9 = ) Clcolio (h ) 6. Quest potenz non ser del tipo ( ) 6, tuttvi possio ricondurci d un potenz dello stesso tipo. Ponio h = e = ; si h, llor: (h ) 6 = ( ) 6. ( ) 6 = Nel polinoio ottenuto, operio l stess sostituzione: l posto di scrivio h e l posto di scrivio ; si ottiene: (h ) 6 = (h) 6 6(h) (h) () 0(h) () (h) () 6(h) () () 6 = 6h 6 6 h 6h 0 8h h h = = 6h 6 9h 0h 60h 60h h. c) Clcolio 7 g. Coe nell esepio precedente, ponio = e g =. Si h, llor: 7 g = ( ) 7. ( ) 7 = Nel polinoio ottenuto, operio l stess sostituzione: l posto di scrivio e l posto di scrivio 7 g g ; si ottiene: = () 7 7 () 6 g () () g () 7 g = g () g 7 () g 6 g = g g g 0 6 g g g = g 8 70

75 = g 68 g 70 g 6 g g 7 g g. 8 PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ( ) 8 ; (h f ) 0 ; ) ( ) 6 ; ( ). Divisione di un polinoio per un onoio Ricordndo che le lettere non sono ltro che nueri, in odo nlogo qunto già definito negli insiei nuerici, si h che: un polinoio A è divisiile per un onoio B non nullo se esiste un polinoio P che oltiplicto per il onoio B dà coe prodotto il polinoio A. Ad esepio, il polinoio A = 8h g 6h g h è divisiile per il onoio B = h. Inftti, se oltiplichio il polinoio P = h g hg per il onoio B ottenio proprio il polinoio A (verific tu). L divisione fr un polinoio ed un onoio non nullo si esegue pplicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll so lgeric e, quindi, dividendo ogni terine del polinoio per il onoio e sondo i quozienti ottenuti. Possio, llor, dedurre che un polinoio è divisiile per un onoio ( 0) se lo è ciscun terine del polinoio. Esepi Esegui le seguenti divisioni: ) ( 0 ) : (). Applicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll so lgeric, si ottiene: [ : ()] [0 : ()] [ : ()] =. In definitiv: ( 0 ) : () =. 7

76 ) ( ) : () Applicndo l proprietà distriutiv dell divisione rispetto ll so lgeric, si ottiene: [ : ()] [ : ()] [ : ()] Osservio che l ultio quoziente non è un onoio, quindi il polinoio non è divisiile per il onoio. PROVA TU Esegui le seguenti divisioni: ) (6 9 ) : (); ) (f h f h f h) : (f h); c) (p 6 t p t 7p t) : (p t ). Divisione fr polinoi Per inizire, considerio polinoi in un sol vriile. Un polinoio P() è divisiile per un polinoio T() (diverso dl polinoio nullo) se esiste un polinoio Q() tle che Q() T() = P(). Ad esepio, P() = è divisiile per T() = ; inftti se oltiplichio T() per il polinoio S() = ottenio il polinoio P() (verific tu). Se, invece, un polinoio P() non è divisiile per un polinoio T() (non nullo), si può diostrre che esistono due polinoi Q() e R() tli che P() = Q() T() R(). Ad esepio, P() = non è divisiile per T() = ; tuttvi, se considerio i polinoi S() = 6 e R() = 9 0, si h che P() = S() T() R() (verific tu). In nlogi con qunto definito per l divisione negli insiei nuerici, il polinoio P() prende il noe di dividendo, il polinoio T() ( 0) si chi divisore, il polinoio Q() è il quoziente e il polinoio R() si chi resto dell divisione. Ovviente, se P() è divisiile per T(), il resto R() è il polinoio nullo. D questi prii esepi, è evidente che, ffinché il quoziente fr due polinoi si ncor un polinoio, il grdo coplessivo del dividendo deve essere ggiore o ugule del grdo coplessivo del divisore (nel cso dell uguglinz, il quoziente è un nuero rzionle). Se i polinoi A e B contengono più vriili, non sepre il quoziente è ncor un polinoio. 7

77 Coe procedere per deterinre quoziente e resto nell divisione fr polinoi? Fccio lcuni esepi: ) Esinio il cso in cui dividendo e divisore sono polinoi in un sol vriile. Pri di eseguire l divisione è necessrio fre lcune osservzioni: il grdo coplessivo del dividendo deve essere ggiore o ugule l grdo coplessivo del divisore; il dividendo deve essere copleto ed ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile; il divisore deve essere ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile e non è necessrio che si copleto. Dti i polinoi P(h) = h h h h e T(h) = h h, deterinione quoziente e resto. Disponio dividendo e divisore coe in figur: h h h h h h Inizio l divisione. ) Dividio il prio terine del dividendo (h ) per il prio terine del divisore (h ) ; si ottiene: h h h h h h h Il onoio Q = h così ottenuto è il prio terine del quoziente. 7

78 ) Moltiplichio Q per il divisore e riportio il prodotto sotto il dividendo incolonnndo i terini siili; si ottiene l seguente figur: h h h h h h h 6h h h Adesso deterinio l differenz fr il dividendo ed il prodotto ottenuto. L differenz fr due polinoi ltro non è che l so fr il prio polinoio e l opposto del secondo polinoio, quindi doio cire il segno tutti i terini del secondo polinoio; si ottiene: h h h h h h h 6h h h " h h c) Trscrivio gli ultii terini del dividendo ottenendo l seguente figur: h h h h h h h 6h h h " h h h Il polinoio R = h h h è chito prio resto przile. Osservio che il grdo coplessivo di R è ggiore di quello del divisore; ripetio, llor, le operzioni i punti ), ) e c) fr il prio resto przile e il divisore. 7

79 Dividio, quindi, il prio terine di R (h ) per il prio terine del divisore (h ); si ottiene: h h h h h h h 6h h h h " h h h Il onoio Q = h è il secondo terine del quoziente. Moltiplichio Q per il divisore e, per il otivo pri indicto, riportio l opposto del prodotto sotto R incolonnndo i terini siili; dopo ver deterinto l differenz fr R ed il prodotto ottenuto ed ver trscritto l ultio terine di R, si h l situzione in figur: h h h h h h h 6h h h h " h h h h 8h h " 6h h Il polinoio R = 6h h è il secondo resto przile. Il grdo coplessivo di R è ugule quello del divisore, quindi possio continure l divisione ripetendo le operzioni i punti ), ) e c) fr R e il divisore. Dividio, dunque, il prio terine di R (6h ) per il prio terine del divisore (h ); si ottiene: h h h h h h h 6h h h h 6 " h h h h 8h h " 6h h Il onoio Q = 6 è il terzo terine del quoziente. 7

80 Moltiplichio S per il divisore e, per il otivo pri indicto, riportio l opposto del prodotto sotto R incolonnndo i terini siili; dopo ver deterinto l differenz fr R ed il prodotto ottenuto, si h l situzione in figur: h h h h h h h 6h h h h 6 " h h h h 8h h " 6h h 6h h 6 " h Il polinoio R = h h grdo coplessivo inore di quello del divisore, quindi non possio ripetere l operzione l punto ). L divisione è, così, terint. Il polinoio Q(h) = h h 6 è il quoziente ed il polinoio R(h) = h è il resto dell divisione. In definitiv l divisione fr P(h) = h h h h e T(h) = h h h per quoziente il polinoio Q(h) = h h 6 e per resto il polinoio R(h) = h. Verific che P(h) = Q(h) T(h) R(h). Coplet: il grdo coplessivo di P(h) è ; il grdo coplessivo di T(h) è ; il grdo coplessivo di Q(h) è ; il grdo coplessivo di R(h) è.. ; possio, llor, dedurre che il grdo coplessivo di Q(h) è ugule ll fr i grdi coplessivi di P(h) e T(h); il grdo coplessivo di R(h) è.. del grdo coplessivo di T(h). ) Eseguio l divisione fr i polinoi A() = 6 e E() =. Osservio che: il grdo del dividendo è ggiore del grdo del divisore; il dividendo non è copleto rispetto ll vriile ; il dividendo non è ordinto secondo le potenze decrescenti di ; il divisore è ordinto secondo le potenze decrescenti di. 76

81 Pri di eseguire l divisione doio copletre ed ordinre il dividendo; si ottiene: ( ) : ( ) Procedendo coe nell esepio precedente, disponio i polinoi ed eseguio l divisione: Si h, quindi, che: " " 6 0 " " 8 Q() = e R() = 8. In definitiv l divisione fr A() = 6 e E() = h per quoziente il polinoio Q() = e per resto il polinoio R() = 8. Verific che A() = Q() E() R(). Coplet: il grdo coplessivo di A() è ; il grdo coplessivo di E() è ; il grdo coplessivo di Q() è ; il grdo coplessivo di R() è.. ; possio, llor, dedurre che: il grdo coplessivo di Q() è ugule ll fr i grdi coplessivi di A() e E(); il grdo coplessivo di R() è.. del grdo coplessivo di E(). ) Eseguio, desso, l divisione fr i polinoi: F(, ) = 6 9 e S(, ) =. (6 9 ) : ( ) I polinoi F e S contengono due vriili. In questo cso è necessrio scegliere rispetto qule delle due vriili voglio eseguire l divisione. 77

82 Sceglio l letter. Osservio che: il grdo reltivo di F(, ) è ggiore del grdo reltivo di S(, ); i polinoi F(, ) e S(, ) sono ordinti secondo le potenze decrescenti di ; il polinoio F(, ) è copleto rispetto. Deterinio, quindi, quoziente e resto dell divisione procedendo coe negli esepi precedenti. L divisione terin qundo il grdo rispetto dell ultio resto przile è inore del grdo rispetto d del divisore. Si ottiene: " " 6 " 7 Si h: Q(, ) = 6 e R(, ) = 7. In definitiv: l divisione fr F(, ) = 6 9 e S(, ) =, se sceglio coe vriile l letter, h per quoziente il polinoio Q(, ) = 6 e per resto il polinoio R(, ) = 7. Verific che F(, ) = Q(, ) S(, ) R(, ). Eseguio, desso, l stess divisione scegliendo coe vriile l letter. Osservio che: il grdo reltivo di F(, ) è ggiore del grdo reltivo di S(, ); i polinoi F(, ) e S(, ) non sono ordinti secondo le potenze decrescenti di ; il polinoio F(, ) non è copleto rispetto. Pri di eseguire l divisione, quindi, è necessrio ordinre i polinoi F(, ) e S(, ) secondo le potenze decrescenti di e copletre F(, ) rispetto ll letter. 78

83 Anche in questo cso l divisione terin qundo il grdo rispetto dell ultio resto przile è inore del grdo rispetto del divisore. Si ottiene: " " " " 0 Si h: Q' (, ) = 6 e R' (, ) =. L divisione fr F(, ) = 6 9 e S(, ) =, qundo sceglio coe vriile l letter, h per quoziente il polinoio Q' (, ) = 6 e per resto il polinoio R' (, ) =. Verific che F(, ) = Q' (, ) S(, ) R' (, ). Osservio che Q (, ) Q' (, ) e che R (, ) R' (, ). Le osservzioni ftte per il quoziente ed il resto delle divisioni degli esepi ) e ) sono più generli e vlgono per il quoziente ed il resto dell divisione fr due polinoi qulsisi in un vriile: Nell divisione fr due polinoi in un vriile il grdo coplessivo del quoziente è ugule ll differenz fr i grdi coplessivi, rispettivente, del dividendo e del divisore; il resto è un polinoio di grdo coplessivo inore del grdo coplessivo del divisore. PROVA TU Esegui le seguenti divisioni fr polinoi: ( 8 6) : ( ); (6f g 6f f g) : (f fg g ). 79

84 Teore del resto Aio già osservto che, ssegnti due polinoi nell stess vriile A e B, esistono due polinoi Q e R tli che A = Q B R ; se R = 0, llor A è divisiile per B. E lecito chiedersi se esistono dei criteri di divisiilità tr polinoi coe quelli che esistono fr nueri negli insiei nuerici. In ltre prole: è possiile stilire se un polinoio è divisiile per un ltro polinoio senz eseguire l divisione? A tl proposito, considerio polinoi in un vriile e coe divisori inoi di prio grdo. Si P(s) = s s 7s 6 un polinoio nell vriile s. Il resto dell divisione fr P(s) ed un inoio di prio grdo (ovviente nell stess vriile) è un polinoio di grdo zero e, quindi, è un nuero rzionle. Nell pri rig dell tell sono indicti lcuni divisori di prio grdo; copletl inserendo nell second rig il resto dell divisione fr il polinoio P(s) e il inoio indicto nell pri rig. Per esepio, dividendo P(s) per il inoio s si ottiene coe resto R =. Coplet l tell inserendo nell second rig il vlore ssunto dl polinoio qundo ll vriile s sono ssegnti i vlori indicti. Ad esepio, P() = 7 6 = 7 6 = Divisore s s s s s Resto P() P() P() P() P() T. T. Anlizzio e confrontio le due telle (coplet): i divisori dell tell sono inoi di grdo dove il coefficiente del terine di prio grdo è ; nell tell, i vlori ssegnti ll vriile sono l terine noto del divisore; l second rig dell tell è.. ll second rig dell tell. Possio, llor, dire che il resto dell divisione fr P(s) ed un inoio di prio grdo, con coefficiente dell vriile, è.. l vlore che ssue il polinoio qundo ll vriile si ssegn il vlore l terine noto del divisore. Si trtt di un coincidenz csule, oppure no? 80

85 Considerio, quindi, un ltro polinoio: T() = 6 6. Coplet le telle e, siili quelle precedenti: Divisore P() P() P() P() P() Resto T. T. Anlizzio e confrontio le due telle: i divisori dell tell sono inoi di grdo dove il coefficiente del terine di prio grdo è ; nell tell, i vlori ssegnti ll vriile sono... terine noto del divisore; l second rig dell tell è.. ll second rig dell tell. Anche quest volt, possio dire che il resto dell divisione fr T() ed un inoio di prio grdo, con coefficiente dell vriile, è.. l vlore del polinoio qundo ll vriile si ssegn il vlore l terine noto del divisore. Non si trtt di un coincidenz, di un proprietà generle che voglio diostrre. Pri di tutto osservio che: s = s (); s = s (); s = s (); = (); = (). I divisori considerti nelle precedenti telle, quindi, sono tutti dello stesso tipo; inftti essi sono dell for ( ) dove l letter indic un qulsisi nuero rzionle. Dto il polinoio P() ed un inoio del tipo ( ), esistono due polinoi Q() e R (di grdo zero e, perciò, un nuero rzionle) tli che: P() = Q() ( ) R; ssegnndo ll letter il vlore (opposto del terine noto del divisore), si ottiene: P() = Q() ( ) R poiché = 0, l precedente uguglinz divent: P() = Q() 0 R e, per l legge di nnullento del prodotto, si ottiene: P() = 0 R ed infine: P() = R 8

86 Si h, llor, il seguente teore, chito Teore del resto: Il resto dell divisione fr un polinoio P() ed un inoio del tipo ( ) è ugule l vlore che il polinoio ssue qundo ll vriile si ssegn il vlore opposto l terine noto del divisore. Dl oento che un polinoio è divisiile per un ltro polinoio se il resto dell divisione è nullo, per il teore del resto si h che un polinoio P() è divisiile per un inoio del tipo ( ) se P() = 0. In sintesi P() divisiile per ( ) R = 0 (per il teore del resto) P() = 0; vicevers: P() = 0 (per il teore del resto) R = 0 P() divisiile per ( ). Si h llor il seguente Teore di Ruffini: Condizione necessri e sufficiente ffinché un polinoio P() si divisiile per un inoio del tipo ( ) è che il polinoio si nnulli qundo ll vriile si ssegn il vlore opposto l terine noto del divisore. I nueri rzionli che nnullno un polinoio prendono il noe di zeri o rdici del polinoio. Esepi ) Senz eseguire l divisione, deterinio il resto dell seguente divisione: ( ) : ( ). Il divisore è un inoio di prio grdo e il coefficiente di è ; il terine noto del divisore è, quindi il suo opposto è. Indicto con P() il dividendo, pplichio il teore del resto e, nel dividendo, sostituio ll letter il vlore ; si ottiene: R = P() = () () = (8) = 6 6 = 9. Si h, dunque: R = 9. ) Dto il polinoio S(h) = h 9h h, stilio se è divisiile per i seguenti inoi: ) (h ); ) (h ); c) h. ) Stilio se S(h) è divisiile per (h ). Il terine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolio S(): 8

87 S() = 9 = = 8 8 = = = 0. In definitiv: S() = 0 (per il teore di Ruffini) S(h) è divisiile per (h ). ) Stilio se S(h) è divisiile per (h ). Il terine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolio S(): S() = () 9 () () = (7) = In definitiv: = 8 6 = 0 = 0. S() 0 (per il teore di Ruffini) S(h) non è divisiile per (h ). c) Stilio se S(h) è divisiile per h. Il terine noto del divisore è ; il suo opposto è. Clcolio S : S = 9 = = In definitiv: 7 8 = = 7 7 = 0. S = 0 (per il teore di Ruffini) S(h) è divisiile per h. PROVA TU ) Senz eseguirl, deterin il resto dell seguente divisione: ( 0 ) : ( ) ) Stilisci se il polinoio 0 è divisiile per ( ). Nell divisione di un polinoio P() per un inoio del tipo ( ), senz eseguire l divisione, possio deterinre il resto, il grdo del quoziente e stilire, inoltre, che esso è un polinoio ordinto secondo le potenze decrescenti dell vriile. Polo Ruffini, tetico del Settecento, scoprì un regol che consente di deterinre i coefficienti dei onoi che forno il quoziente in un divisione di questo tipo. Quest regol prende il noe di Regol di Ruffini. Illustriol con un esepio. 8

88 Deterinio quoziente e resto dell divisione ( 6) : ( ). Scrivio in un rig i coefficienti dei terini del dividendo ordinto secondo le potenze decrescenti di e copleto rispetto. Trccio due linee verticli: un sinistr del prio coefficiente del dividendo e l ltr pri del terine noto del dividendo; sltio un rig e trccio un line orizzontle. Al di sopr dell line orizzontle e sinistr dell pri line verticle scrivio l opposto del terine noto del divisore (fig.): 6 fig. Trscrivio il prio coefficiente l di sotto l line orizzontle (fig. ): 6 fig. Moltiplichio il nuero ppen scritto () per l opposto del terine noto del divisore (in questo cso ) e scrivio il prodotto sotto il secondo coefficiente (fig. ): 6 6 fig. Scrivio l so dei nueri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. ): fig.

89 Moltiplichio il nuero così ottenuto () per l opposto del terine noto del divisore (in questo cso ) e scrivio il prodotto sotto il terzo coefficiente (fig. ): fig. Scrivio l so dei nueri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 6) fig. 6 Moltiplichio il nuero così ottenuto (8) per l opposto del terine noto del divisore (in questo cso 8 ) e scrivio il prodotto sotto il qurto coefficiente (fig. 7): fig. 7 Scrivio l so dei nueri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 8): fig. 8 Moltiplichio il nuero così ottenuto (9) per l opposto del terine noto del divisore (in questo cso 9 ) e scrivio il prodotto sotto il terine noto del dividendo (fig. 9): fig. 9 8

90 Scrivio l so dei nueri così incolonnti l di sotto dell line orizzontle (fig. 0): Coefficienti del quoziente fig. 0 resto L ultio nuero scritto è il resto dell divisione. I nueri dell ulti rig ll interno delle due linee verticli sono i coefficienti dei onoi che forno il quoziente. Scrivio, llor, il quoziente e il resto dell divisione ( 6) : ( ). Si h: Q() = 8 9; R =. Esepio Applicndo l regol di Ruffini, deterinio quoziente e resto delle seguente divisione: (p p ) : (p ) Osservio che il dividendo è un polinoio ordinto secondo le potenze decrescenti di p, non è copleto; è necessrio, quindi, renderlo copleto. Si ottiene: (p 0p p ) : (p ) Lo sche per deterinre i coefficienti del quoziente è il seguente: Poiché il dividendo è un polinoio di terzo grdo e il divisore è un inoio di prio grdo, il quoziente è un polinoio di secondo grdo; si ottiene quindi: PROVA TU Q(p) = p p ; R = 0. Applicndo l Regol di Ruffini, deterin quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) (z z z) : (z ); ) (h h h ) : (h ). 86

91 6. Approfondiento: l insiee M dei onoi Indichio con M l insiee forto d tutti i possiili onoi: M = { / è un onoio}. Si R l relzione così definit in M : R è siile d. Aiutndoti con degli esepi, verific che per l relzione R vlgono le seguenti proprietà: (coplet) riflessiv inftti, ciscun.. è siile ; sietric inftti, per ogni coppi di onoi (, ) tle che è... d, nche è. d ; trnsitiv inftti, per ogni tern di onoi (,, z) tle che è... d e è... z, si verific che nche è.. z. L relzione essere siili, definit nell insiee M dei onoi, è, dunque, un relzione. L insiee forto di sottoinsiei di M i cui eleenti sono onoi siili è, llor, un. di M. Anlizzio, desso, le proprietà delle operzioni definite in M. Dl oento che le lettere rppresentno dei nueri rzionli, le operzioni tr onoi sono delle operzioni tr nueri rzionli; vlgono, llor, per esse, le proprietà già viste nell insiee Q : So lgeric L operzione di so lgeric non è intern ll insiee M; tuttvi vlgono per ess: proprietà couttiv; proprietà ssocitiv. Si M * un sottoinsiee di M forto d onoi siili. Verific con degli esepi e coplet le seguenti fferzioni: L operzione di so lgeric fr onoi siili è un operzione inri. M * è chiuso rispetto ll operzione di so lgeric, inftti l so di onoi siili è. i onoi dti. L operzione di so lgeric in M * è ssocitiv 87

92 Si 0 il onoio nullo, llor M * : 0 = = 0 ; quindi il onoio nullo è.... per l so lgeric in M *. M *, (onoio opposto) M * / = 0 = ; quindi ogni eleento di M * ette sietrico rispetto ll... Possio, llor, dire che (M *, ) è un... L operzione di so lgeric in M * è couttiv. (M *, ), quindi, è un gruppo... Moltipliczione L operzione di oltipliczione fr onoi è un operzione inri. L insiee M è chiuso rispetto ll operzione di oltipliczione. Coe già visto per l so lgeric, nche per l oltipliczione in M vlgono le seguenti proprietà: proprietà couttiv; proprietà ssocitiv; proprietà distriutiv dell oltipliczione rispetto ll so lgeric; legge di nnullento del prodotto. Verific con degli esepi e coplet le seguenti fferzioni: M : = = ; quindi il onoio è.. rispetto ll operzione di oltipliczione in M. Non tutti gli eleenti di M ettono sietrico rispetto ll operzione di oltipliczione; inftti, se, per esepio, considerio il onoio, un onoio che.. per di per risultto. Possio, llor, dire che (M, ) non è un.. rispetto ll operzione di oltipliczione. In quli insiei l operzione di oltipliczione gode delle stesse proprietà dell operzione di oltipliczione fr onoi?.;. 6. Approfondiento: l insiee P dei polinoi. Nell insiee P dei polinoi sono stte definite le operzioni di so lgeric e oltipliczione. Coe detto in precedenz, le lettere rppresentno dei nueri rzionli, quindi le operzioni tr polinoi sono delle operzioni tr nueri rzionli; vlgono, llor, per esse, le proprietà già viste nell insiee Q. 88

93 So lgeric L operzione di so lgeric fr polinoi è un operzione inri; inoltre, è un operzione intern ll insiee P; inftti l so lgeric fr due polinoi è ncor un polinoio. Verific con degli esepi e coplet le seguenti fferzioni: per l so lgeric fr polinoi vlgono le seguenti proprietà: proprietà ssocitiv; proprietà couttiv; si 0 il polinoio nullo; llor A P: A 0 = A = 0 A, quindi il polinoio nullo è l eleento.. per l operzione di so lgeric fr polinoi; A P, A (polinoio opposto) P / A A = 0 = A A; quindi ogni eleento di P ette sietrico rispetto ll.. Possio, llor, dire che (P, ) è un... Moltipliczione L oltipliczione fr polinoi è un operzione inri; inoltre, l insiee P dei polinoi è chiuso rispetto ll operzione di oltipliczione; inftti, il prodotto fr due polinoi è ncor un polinoio. Verific con degli esepi e coplet le seguenti fferzioni: per l oltipliczione fr polinoi vlgono le seguenti proprietà: proprietà ssocitiv; proprietà couttiv; proprietà distriutiv rispetto ll so lgeric; legge di nnullento del prodotto; si il polinoio unità ; llor A P: A = A = A, quindi il polinoio unità è l eleento per l operzione di oltipliczione fr polinoi; non tutti gli eleenti di P sono sietrizzili rispetto ll operzione di oltipliczione. Possio, llor, dire che (P, ) non è un.... Ponio, desso, l nostr ttenzione sull insiee Z degli interi e sull insiee P dei polinoi e, in prticolre, sulle proprietà delle operzioni definite in Z e in P e vedio se ci sono nlogie e differenze. Nell insiee Z sono definite due operzioni interne: so lgeric () e oltipliczione ( ): (Z, ) è un gruppo (elino); (Z, ) non è un gruppo, perché non tutti gli eleenti di Z sono sietrizzili; 89

94 per l oltipliczione in Z vle l proprietà ssocitiv; per l oltipliczione in Z vle l proprietà distriutiv rispetto ll so lgeric. Dicio, llor, che (Z,, ) è un nello. Inoltre: l oltipliczione in Z è couttiv, e quindi (Z,, ) è un nello elino. Dl oento che l oltipliczione in Z ette eleento neutro, si dice che (Z,, ) è un nello con unità. Poichè per l oltipliczione in Z vle l legge di nnullento del prodotto, si dice che (Z,, ) è un nello di integrità. Ricpitolndo: (Z,, ) è un nello elino di integrità con unità. Nell insiee P dei polinoi sono definite due operzioni interne: so lgeric () e oltipliczione ( ): (P, ) è un gruppo (elino); (P, ) non è un gruppo, perché non tutti gli eleenti di P sono sietrizzili; per l oltipliczione in P vle l proprietà ssocitiv; per l oltipliczione in P vle l proprietà distriutiv rispetto ll so lgeric. Possio dire, llor, che nche (P,, ) è un nello. Inoltre: l oltipliczione in P è couttiv, e quindi nche (P,, ) è un nello elino. Dl oento che l oltipliczione in P ette eleento neutro, nche (P,, ) è un nello con unità. Poichè per l oltipliczione in P vle l legge di nnullento del prodotto, nche (P,, ) è un nello di integrità. Possio, pertnto, concludere che (Z,, ) e (P,, ) hnno l stess struttur: sono nelli elini di integrità con unità. 90

95 CAPITOLO 6 Polinoi Conoscenz e coprensione ) Che cos è un polinoio? ) Qundo un polinoio si dice ridotto for norle? ) Che cos si intende per grdo coplessivo di un polinoio? E per grdo reltivo ciscun letter? ) Qundo un polinoio si dice ordinto rispetto d un letter? E qundo si dice copleto rispetto d un letter? ) Qundo un polinoio si dice oogeneo? 6) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) I nueri rzionli sono polinoi. V F ) I terini di un polinoio, ridotto for norle, sono sepre leno due. V F c) Un polinoio non h onoi siili. V F d) In un polinoio ridotto for norle, il grdo rispetto d un letter è V F ugule ll so degli esponenti di quell letter. e) In un polinoio ridotto for norle, il grdo rispetto d un letter può V F essere ugule l grdo coplessivo del polinoio. f) Il grdo coplessivo di un polinoio è sepre positivo. V F g) Il grdo coplessivo di un polinoio è sepre ggiore o ugule l ggiore V F dei grdi coplessivi dei onoi che lo copongono. h) Se, in un polinoio, il grdo rispetto ciscun letter è, il grdo coplessivo V F del polinoio è. i) Un polinoio oogeneo è sepre copleto. V F l) Un polinoio copleto può essere oogeneo. V F ) Un polinoio in un vriile, di grdo coplessivo, non può vere più di due V F terini. 7) Le seguenti fferzioni si riferiscono i polinoi A = z z e B = 7. Solo un di esse è fls; qule? ) I due polinoi hnno lo stesso grdo coplessivo. ) Entri i polinoi sono ordinti. c) Nessuno dei due polinoi è oogeneo. d) Soltnto il polinoio B è copleto. e) Soltnto il polinoio A è un trinoio. 9

96 8) Che cos ffer il principio di identità dei polinoi? 9) Coe operi per clcolre l so di due polinoi? E per clcolre l differenz? 0) Qule proprietà pplichi per clcolre il prodotto fr un onoio ed un polinoio? Applichi l stess proprietà per clcolre il prodotto fr due polinoi? ) Qule proprietà delle potenze pplichi per deterinre il prodotto di due polinoi? ) Sino A e B due polinoi tli che il grdo coplessivo di A si ggiore del grdo coplessivo di B; un sol delle seguenti fferzioni è ver; qule? ) Il grdo coplessivo di A B è ugule ll so dei grdi coplessivi di A e B. ) Il grdo coplessivo di A B è ugule l grdo coplessivo di A. c) Il grdo coplessivo di A B è ugule l grdo coplessivo di B. d) Il grdo coplessivo di A B è ugule ll differenz fr grdi coplessivi di A e B. e) Nessun delle precedenti fferzioni è corrett. ) Stilisci se le seguenti fferzioni sono vere o flse: ) Il grdo coplessivo dell so di due polinoi è zero soltnto se i V F due polinoi sono opposti. ) L so di due polinoi oogenei è ncor un polinoio oogeneo. V F c) Se due polinoi sono opposti l loro differenz è il polinoio nullo. V F d) Il grdo coplessivo del prodotto di due polinoi è ugule ll so V F dei grdi coplessivi dei due fttori. e) Il grdo coplessivo del prodotto fr due polinoi è ugule l grdo V F coplessivo di uno dei fttori soltnto se uno dei due fttori h grdo coplessivo zero. f) Il quoziente di due polinoi è sepre un polinoio. V F g) Se due polinoi sono divisiili fr loro, il grdo coplessivo del V F quoziente è ugule ll differenz fr i grdi coplessivi del dividendo e del divisore. h) Il grdo coplessivo del quoziente di due polinoi opposti è sepre V F ugule zero. ) Esponi le regole che consentono di deterinre il qudrto e il cuo di un inoio. ) Che cos è e cos serve il tringolo di Trtgli? 6) Coe procedi per deterinre l potenz di un inoio del tipo ( ) n? 7) Che cos ffer il teore del resto? E il teore di Ruffini? 8) Qule operzione fr polinoi è possiile eseguire edinte l regol di Ruffini? In qule cso può essere ust? 9

97 Esercizi 9) Esprii sotto for di polinoi le seguenti proposizioni: ) Ad un nuero pri ggiungi i suoi tre successivi pri. ) Ad un nuero dispri ggiungi il suo successivo. c) Ad un ultiplo di sottri il suo precedente. d) Al doppio di un nuero ggiungi il triplo del suo qudrto. e) Ai di un nuero sottri il doppio di un nuero. f) Al triplo di un nuero t sottri l terz prte del cuo di un nuero s, quindi ggiungi il doppio prodotto fr t e s. g) All so del doppio del qudrto di un nuero con il triplo di un nuero sottri l qurt prte del cuo di. 0) Esprii con un polinoio il perietro delle seguenti figure:... ) Esprii l re dell regione colort con un polinoio: c c.. 9

98 ) Coplet l seguente tell, coe nell esepio dell pri rig: Espressione lgeric Polinoio Non polinoio q h s s s 6 h t h t 0 0g f 6t ) Quli dei seguenti polinoi sono ridotti for norle? Riduci for norle quelli che non lo sono: ) p p ps ; ) d) 7 c 9c ; e) ; c) ; ; f) f g fg gf g f ; 0 g) h h ; h) l) h h 9 ; ) ; h s h s hs ; i) z z z z ; n) 0 8. Dei seguenti polinoi deterin il grdo coplessivo ed il grdo reltivo ciscun letter: ) ) 7 ; c 8c h h h h ; 7 6 9

99 6) 7 s t s t st ; g g g 6 7) ; t ht t 0 9 8) 9 p t p t 7 pt pt ; ) Per qule vlore di h il polinoio - h c h c c h grdo 6 rispetto ll letter? Per qule vlore di h h grdo rispetto ll letter c? 0) Per qule vlore di n i polinoi ) ) hnno grdo ugule? 7 e Stilisci quli dei seguenti polinoi sono oogenei: 9 c c ; 6 ps s p ; ) 8 ; hz h z c c n ) Scrivi un trinoio oogeneo di grdo coplessivo e di grdo rispetto d e d. ) Scrivi un inoio oogeneo di grdo coplessivo, di grdo rispetto ll letter c e di grdo rispetto ll letter f. 6) Scrivi un inoio oogeneo di grdo coplessivo, di grdo rispetto ll letter, di grdo rispetto ll letter e di grdo rispetto ll letter s. 7) Si B = ; con N. ) Per quli vlori di l espressione B è un polinoio? ) Per quli vlori di il grdo reltivo ll letter è 0? c) Per quli vlori di il grdo reltivo ll letter è? d) Per quli vlori di il grdo reltivo ll letter è? e) Esistono vlori di per i quli il grdo reltivo ll letter è un nuero dispri ggiore di? Perché? f) Per qule vlore di il grdo coplessivo di B è? g) Per qule vlore di l espressione B è un polinoio oogeneo? h) Per qule vlore di il grdo coplessivo di B è 6? i) Esistono vlori di per i quli il grdo coplessivo di B è un nuero dispri? Perché? c 9

100 8) Si A = h h, h N. 96 ) Per quli vlori di h l espressione A è un polinoio? ) Per quli vlori di h il grdo coplessivo di A è? c) Per quli vlori di h il polinoio A è oogeneo? d) Esiste un vlore di h per il qule il grdo coplessivo di A è inore di? Perché? e) Per quli vlori di h il grdo reltivo d è 0? f) Per quli vlori di h il grdo reltivo d è? g) Esiste un vlore di h per il qule il grdo reltivo d è ggiore di? 9) Rispetto quli lettere i seguenti polinoi sono ordinti? ) ) c) d) st s t e) 7 7 p p 6 f) c d cd c d c 0 0) Scrivi i seguenti polinoi in odo che sino ordinti secondo le potenze decrescenti di : ) c) 7 ) d) e) h h h f) s ) Scrivi i polinoi dell esercizio 0) in odo che sino ordinti secondo le potenze crescenti di. ) Sino A = e B = due polinoi; un sol delle seguenti fferzioni è ver. Qule? ) A e B sono copleti rispetto ciscun delle lettere che in essi vi copiono. ) A e B sono copleti rispetto d leno un delle lettere che in essi vi copiono. c) A è copleto rispetto d entre le lettere e B non è copleto rispetto d lcun letter. d) A non è copleto rispetto e B non è copleto rispetto. e) A e B non sono copleti rispetto d lcun letter. Coplet i seguenti polinoi inserendo l posto dei puntini onoi, scelti picere, in odo che il polinoio risulti copleto; scrivi, successivente, l opposto di ciscuno dei polinoi ottenuti: ) )

101 ) ) Coplet i seguenti polinoi inserendo l posto dei puntini onoi, scelti picere, in odo che il polinoio risulti oogeneo e copleto rispetto ciscun letter: 7) t p... 8) ) )... )... f... h f... 9 ) Riscrivi i polinoi degli esercizi ), 6), 7), 8), 9) in odo che risultino ordinti. Che cos osservi? ) Si B = 7t t 6t. Stilisci se le seguenti fferzioni sono vere o flse: ) N, B è un polinoio. V F ) N / B è copleto. V F c) N / B è un polinoio copleto di grdo coplessivo. V F Esepio ) Sino A = e B = h due polinoi. Per quli vlori di e h i polinoi sono identici? ) Sino F = 8 e G = 6 due polinoi. Per quli vlori di e i polinoi F e G sono opposti? ) Per il principio di identità dei polinoi, due polinoi sono identici se ssuono lo stesso vlore qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili. In prtic, ffinchè due polinoi sino identici è necessrio che i polinoi sino forti d onoi uguli. I terini che hnno grdo ugule, llor, devono vere coefficienti uguli. Si h, quindi: = h =. I vlori richiesti sono: = h =. ) Due polinoi sono opposti se sono opposti i onoi che li copongono e, quindi, i onoi siili devono vere coefficienti opposti. Si h, llor: = 6 = 8 I vlori richiesti sono: = = 97

102 ) Per quli vlori di e il polinoio è identico l polinoio 9? ) Per quli vlori di e i polinoi e 8 0 sono identici? 6) Per quli vlori di c e h i polinoi z ( c ) z 9 e z z hz 9 sono identici? 7) Per qule vlore di i polinoi 7 8 e sono identici? 8) Per qule vlore di i polinoi e 6 sono identici? 9) Deterin i vlori di,, c per i quli il polinoio N() = è identico l polinoio D() = ( ) ( c ) ) Per quli vlori di e c i polinoi s 6s s e cs 6s s sono opposti? 6) Per quli vlori di h e i polinoi 7 h e 7 sono opposti? 6) Per quli vlori di e p i polinoi 9 e p sono opposti? 6) Per qule vlore di h i polinoi h 6 7 e 6 h 7 sono opposti? 6) Si A() = 8. Deterin: A(), A, A(), A(). 6) Si B(t) = t 8t 7t 8t. Deterin: B(0), B(), B, B. 66) Si P(, ) = 6. Deterin: P(, ), P,, P,. 67) Si D(, ) = 68) Sino P() = P() = Q()?. Deterin: D(0, ), D(, ), D e Q() = h Operzioni con i polinoi So lgeric Esegui le seguenti operzioni fr polinoi e riduci i terini siili: 69) ( ) ( ), due polinoi; per qule vlore di h risult [ 8 ] 70) ( ) ( 7 ) ( 7 7 ) [] 7) 7) zt z t zt z t 6 zt zt t 6.

103 99 7) ( ) ( ) ( ) c c 8 7 [ ] c 7) ) s s s s s s 8 s s s 76) q q q q 77) ( ) c c c c c c c 7 c c 78) st s t s st st t s t st 79) ( ) ( ) 6 p p p p p p p 80) ( ) ( ) h h h h h h, con h N 0 [ 6 6 h h ] 8) c c c c c c, con N 0 7 c c Inserisci l posto dei puntini un onoio opportuno in odo che le seguenti uguglinze sino vere: 8) ( ) ( ) = 8) ( ) ( ) = 8) ( ) ( ) = 8) = 86) ( ) = 87) Si A() = 8, deterin: ) un polinoio B() tle che A() B() = 8 ; ) un polinoio C() tle che A() C() = ; c) un polinoio F() tle che F() A() = ; d) un polinoio G() tle che A() G() = 0;

104 e) un polinoio P() tle che A() P() = ; f) un polinoio T() tle che A() T() = ; g) un polinoio D() tle che D() A() =. 88) Sino A =, B =, C = polinoi; un sol delle seguenti fferzioni è ver. Qule? ) A B C h grdo coplessivo. ) A C B h grdo coplessivo. c) A (B C) è il polinoio nullo. d) (A B) C h grdo coplessivo 0. e) Nessun delle precedenti fferzioni è ver. 7 tre 6 89) Sino A, B, C i polinoi dell esercizio precedente; deterin e seplific le seguenti espressioni: ) (B A) (A C) ) C [(A B) (C A)] c) (B C) (A B) (C A) d) (B C) A (B C) e) {B [(A B) C ] (C A)} C Moltipliczione di un onoio per un polinoio 90) Coplet l seguente tell: A B A B A B p p p h h h 8 c z cz z 00

105 0 Esegui le operzioni indicte: 9) t t st s t s st st st 9) ( ) z z 6 [z z] 9) ( ) ) ( ) t s t t s 0 0 t st s 9) ) h h h [0] 97) ( ) c c c c c 6 [ c c ] 98) ( ) ( ) z z z z z z 99) ( ) ( ) ( ) [ ] { } 6 [ ] 00) ( ) h h h, con N {0,} 0) n n n, con n N n n 0) ( ) ( ) 6, con N [ ] 0) Coplet l seguente tell, dove A è un onoio e B un polinoio: A B A B A B p 6 p p 6 g g 8 s s g g 6

106 Inserisci l posto dei puntini i onoi ncnti: 0) (... ) = p t... = 8 p t t 0) ( ) ) (......) = 07)... = ) c =... c 9 09) h p ( ) = h p h p h p 0) (...) (...) = 6h ) f (... f) = f... )... g... = g g ) 6... =... Trduci in sioli le seguenti proposizioni e seplific le espressioni ottenute: ) Al prodotto di due nueri consecutivi ggiungi il precedente del nuero più piccolo. ) Moltiplic un nuero pri per il suo successivo pri. 6) Moltiplic un nuero pri per l terz prte del suo successivo. 7) Ai di un nuero dispri ggiungi il triplo di un nuero pri. 8) Di di un nuero sottri l so fr il doppio di e l età di un nuero ; oltiplic il risultto ottenuto per il triplo di. 9) Il lto di un tringolo isur l e l ltezz d esso reltiv è ugule ll su età uentt di. Esprii l re del tringolo. 0) Esprii l re di un rettngolo vente un diensione di isur e tle che l differenz fr le due diensioni è. ) Esprii il volue di un prllelepipedo spendo che un delle diensioni di se isur q, che l ltr è i suoi e che l so dell diensione ggiore dell se e dell ltezz è q. 0

107 Prodotto fr polinoi ) Esprii l re delle seguenti figure edinte un polinoio:... ) Coplet l seguente tell: A B A B A (A B) Esegui le operzioni indicte e riduci, eventulente, i terini siili: ) ( h )( h h ) ) ( )( ) 6) ( z )( z z ) 7) h h z 8) ( ) z 9) s s 0) c c 0

108 0 ) ( )( ) n n n n, con n N ) ( )( ) con n N 0 ) ( )( ) h h h con n N ) ( )( )( ) ) 6) ( )( ) c h h c h 7) ( )( )( )( ) 8) ( ) ( ) ( )( ) p p p p [ 6 p p ] 9) ( )( ) ( )( ) ( )( ) h h h h h h 6 [ 6 h ] 0) ) )( ( ) ( ) ( [ 6 ] ) ( ) ( ) [ ] ) [ ( ) ( ) z t z z t t ][ ( )( ) ( ) z t z t z t ] [ 8 tz t z t z ] ) 6 7 s z z s z s z s z s 9 s sz z ) [ ( )( ) ( ) )] 8 0 )( ( 0) )( [( 6)] ( 6 [6 8 6] ) ( )( ) ( ) [ ] 6) 7) ) ( ) ( ) ( ) hg g h hg h g h g hg hg h g hg 9) ( )( ) ( )( ) ( )( ) z z z z z z z [ ] z z z 0) ( ) 6 c c c c c c ) ( ) 8 8

109 Trduci in sioli le seguenti proposizioni e seplific le espressioni ottenute: ) Sino, nueri nturli; oltiplic l differenz fr l età di e l terz prte di per il successivo di. ) Sino un intero positivo e un nuero pri; ggiungi l doppio di il triplo dell differenz fr il successivo di e l età di, oltiplic il risultto ottenuto per il successivo dell età di. ) Sino e nueri interi; oltiplic l differenz fr il doppio di ed il successivo di per l so fr il triplo di ed il precedente di. ) Moltiplic l differenz fr i di un nuero h e l età di un nuero s per l so fr l età di h e i di s; ggiungi l prodotto così ottenuto l so fr l età di h e il doppio di s. 6) Moltiplic l differenz fr il nuero c uentto di ed il nuero per l terz prte di c uentt di ; l risultto così ottenuto, ggiungi il prodotto fr l so del doppio di c e per l differenz fr c e il triplo di. 7) L dre di Luc h nni ed il pdre h nni più dell dre; Luc h l età degli nni dell dre. Qule srà il prodotto degli nni di Luc e dei suoi genitori fr nni? 8) Esprii l re di un prllelogr spendo che l differenz fr un lto, di isur, e l ltezz d esso reltiv è. 9) Esprii l superficie totle di un prllelepipedo se qudrt spendo che il lto dell se isur h e l ltezz super il lto di se di. 60) Esprii il volue di un piride se rettngolre spendo che un diensione di se isur 7 h, l ltr diensione è i suoi diinuiti di e l ltezz è i dell diensione inore dell se. Prodotti notevoli So per differenz Clcol i seguenti prodotti: 6) ( )( ) 6) ( )( ) 6) f f 6) ( z)( z) 6) h h 0

110 06 66) ( )( ) c c 67) ( )( ) z z 68) ) ) 7 7 7) z t s z t s 7) 7) ( )( ) f g g f 7) 6 6 7) d g d g 76) z z 77) 7 7 c s s c 78) t s s s t s 79) 9 h h h 80) ( )( )( ) 8) 9 8) ( )( ) n n, con n, N 8) h h, con h N {0} 8) z z, con, N 8) ( )( ) q t t q, con N {0}

111 07 Seplific le seguenti espressioni: 86) ( )( ) ( )( ) ( )( ) h h h h [ 7 ] h 87) ( )( ) ( )( ) ( ) [8 ] 88) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] 89) 8 9 [8 ] 90) 9) ( )( ) 9) ( ) ( )( ) ) ( )( ) p p p p 6 Inserisci l posto dei puntini i onoi ncnti: 9) ( )( ) 9... = 9) 9... = 96) 9... = 97) ( )( ) h h = 98) ( ) = 99) ( )( ) = 00) h = 0) ( ) s t t s = 0) t t = 0) ( ) h =

112 Esepio Scrivio il inoio h 9 coe prodotto di due fttori. Osservio che i terini del inoio sono prticolri ; inftti: h = (h) oppure h = (h) 9 = oppure 9 = () Il inoio h 9 è, perciò, l differenz di due qudrti e, quindi è del tipo A B [in questo cso A = h e B = oppure (coplet) A =.. e B =. ]. Ricordio che A B = (A B) (A B); si h, dunque: oppure h 9 = (h ) (h ) h 9 = [h ( )] [h ()] = (h ) (h ) Scrivi i seguenti inoi coe prodotto di due fttori: 0) 6 9 ; 9 0) 8 z ; 06) 6 6 ; 07) ; 08) 6 ; 6 09) Esepio h ; 9 t f 9g Clcolio i seguenti prodotti: 8 p 9s 6 9 ) 9 ) 8 ) Osservio che: = 0 e 9 = 0 si ottiene: 9 = (0 ) (0 ) = 0 = 600 = 99. ) Osservio che: = 0 e 8 = 0 si ottiene: 8 = (0 ) (0 ) = 0 = 00 = 96 Clcol in odo rpido, coe nell esepio, i seguenti prodotti: 0) 7 ; 8 ; 77 8 ) 9 89; 8; 7 08

113 Qudrto di un inoio Esepio Deterinio il qudrto dei seguenti inoi: ) ( z) ) ( ) Ricordio, pri di tutto, l regol che ci perette di deterinre il qudrto di un inoio: ) Osserv che z = ( ) ( z) Ponio A = e B = z, pplicndo l regol indict: (A B) = A AB B. [() (z)] = () ()(z) (z) = 9 z z. A B A A B B ) Osserv che = ( ) ( ). Ponio A = e B =, pplicndo l regol indict: [( ) ( )] = ( ) ( )( ) ( ) = 6. A B A A B B Deterin il qudrto dei seguenti inoi coe nell esepio precedente: ) ( ) ; ( ) ; ( ) ) ( ) h ; ( 6 f ) ; ( 8 ) ) ( 6 t ) ; ( s t) ; ( 8p ) ) ; ; 7 6) ; ; 8 7) ; ; 7 s t 8) s ; 6 z h ; 9 g 09

114 9) ; c c ; z t 0) 7 7 ; 6 h t ht ; f f h ) n, con n, N n, con n, N ) ( ) ) ( n ), con n, N ) ( ) Esepio, con N Clcolio in odo rpido: ) ) 8 c) 9 d) ) Osservio che = 0 ; quindi: = (0 ) = 0 0 = = 60. ) Osservio che 8 = 80 ; quindi: 8 = (80 ) = = = 67. c) Osservio che 9 = 60 ; quindi: 9 = (60 ) = = = 8. d) Osservio che: = ( ) ( ) = 0 60 = 600 = (0 ) = 0 0 = = 68 Si ottiene, dunque: = = 8 Clcol, in odo rpido, i seguenti qudrti: ) 6 ; 9 ; 9 6) 7 ; 99 ; 0 7) ; 6 8) 6 6 ; 9)

115 Seplific le seguenti espressioni: 0) 6 9 ) ( ) ( ) 9 0 ) ( ) ( ) ( )( ) [ 8 ] ) ( ) ( )( ) ( ) s s s s s [ 0 7] s s s ) s s s s s 6 s s ) 9 8 6) Inserisci i onoi ncnti in odo che le seguenti uguglinze sino vere: 7) ( ) = 8) ( ) = 9) ( ) = 0) ( ) = ) ) (... = ) ( ) = ) = t t t ) ) (... 6 = ) ( ) = 6) ( ) = 7) ) ( = 8) t t s =

116 9)... = Esepio Clcolio i seguenti prodotti: ) ( c)( c) ) ( )( ) c) ( h s)( h s) In tutti i csi doio eseguire il prodotto tr due polinoi che, ori, dovresti essere in grdo di clcolre senz lcun difficoltà. Scrivi, pertnto, il risultto dei prodotti indicti: ) ( c)( c) =. ) ( )( ) =. c) ( h s)( h s) = Un ttent nlisi dei terini dei polinoi, ci può perettere di deterinrne il prodotto in odo più rpido. ) I polinoi ( c) e ( c) sono forti d due terini uguli, ( ), e un terine opposto, (c). Applicndo l proprietà ssocitiv, ottenio: ( c)( c) = [( ) c] [( ) c] Ponio A = ; il prodotto precedente divent: ( c)( c) = (A c) (A c) = (per l not regol) = A c. A A Operio l sostituzione invers; si ottiene: ( c)( c) = A c = ( ) c = c. In definitiv: ( c)( c) = ( ) c = c. Coe sicurente vri notto, è lo stesso risultto ottenuto in precedenz. ) I polinoi ( ) e ( ) hnno due terini uguli, ( ), ed un terine opposto, (). Applicndo l proprietà couttiv e l proprietà ssocitiv, ottenio: ( )( ) = [( ) ] [( ) ] Ponio A = ; il prodotto divent: ( )( ) = (A ) (A ) = (per l not regol) = A = A. A A Operio l sostituzione invers; si ottiene: ( )( ) = A = ( ) =. In definitiv: ( )( ) = ( ) =. Coe sicurente vri notto, è lo stesso risultto ottenuto in precedenz.

117 c) I polinoi ( h s) e ( h s) l proprietà ssocitiv, possio scrivere: hnno un terine ugule () e due opposti (h s). Applicndo ( h - s)( - h s ) = [ (h s)][ (h s)] = (operndo coe in precedenz) = (h s) = = (h hs s ) = h hs s. Clcol i seguenti prodotti coe nell esepio precedente: 0) ( )( ) ) ( c)( c) ) ( h s)( s h) ) t z z t ) ) c c Seplific le seguenti espressioni: 6) ( )( ) ( )( ) ( ) [6 ] 7) p p p p p 9 8) ( )( ) 9) 60) h h h ( h ) Qudrto di un polinoio Deterinio il qudrto dei seguenti polinoi: [ 7 6] h h h 6 ) ( ) ) ( h ) ) Doio deterinre il qudrto di un trinoio; ricordio l regol: (A B C) = A B C AB AC BC In questo cso A =, B =, C = ; si ottiene: ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = =.

118 ) Doio deterinre il qudrto di un polinoio; ricordio l regol: (A B C D) = A B C D AB AC AD BC BD CD In questo cso A = h, B =, C =, D = ; si ottiene: ( ) h = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = h h h h = h h h h. Deterin il qudrto dei seguenti polinoi: 6) ( ) ; ( ) c 6) ; t 6) t s ; h 6) f ; 6) g h ; ( ) n n n 66) q ; t z 67) c 68) n n n n Inserisci i onoi ncnti in odo che le seguenti uguglinze risultino vere: 69) ( ) = z z z 70) ( ) = 7) ( ) = 7) = 7) =

119 A B A B A B B 7) (...) = z z z Seplific le seguenti espressioni: 7) ( ) ( ) 6( ) 76) ( ) ( ) ( ) 6( ) 77) [ ] [ 0 0 ] ) 8 Cuo di un inoio Esepio Clcolio il cuo dei seguenti inoi: ) ( ) ) Ricordio l regol che consente di deterinre il cuo di un inoio: ) In questo cso: A =, ( ) B = ; sostituendo si ottiene: (A B) = A A B AB B = () () () () = = = ) In questo cso: A =, B = ; sostituendo si ottiene: A B A A A B B = ( ) ( ) ( ) 8 = 8 = ( ) A B A A B A B B =. Clcol i seguenti cui: 79) ( ) ; ( ) ; ( ) 80) ( )

120 8) 8) ; h ; 8) ( ) s ; t z 8) ; c 8) t ; g, con n N n n 86) ( ) t z, con n N n n 87) ( ) h 88) h, con h N {} p 89) ( ) 90), con N n n, con n N Inserisci l posto dei puntini i onoi ncnti in odo che le seguenti uguglinze risultino vere: 9) 9) 9) = (......) z z z = (......) =... 9) 9) 6 s... = s t... t = (......)... = ) (...) 97)... c 98) (...) c... = (......)... = g

121 6 99) 8 z = 7 (...) 00)... hg = h 6... g. Seplific le seguenti espressioni: 0) ( ) ( ) 7 ( ) 0) ( ) 6 ( ) ( ) 0) ( ) ( ) 7( )( ) 6( ) 0) s t s t st s t [9 ] [ ] [] s s t st t 6 7 0) 6 h h h h h h ( ) h h 8 8 Seguendo gli esepi di pg , clcol le seguenti potenze: 06) ( h ) ; ( t) 6 ; ( z) 6 07) ( ) ; ( ) ; ( ) 7 08) 8 s t ; ; h 6 Seplific le seguenti espressioni: 09) ( ) ( )( ) 8( )( ) 0) ( ) ( ) ( ) [ 6 ] [] ) ( h h)(h h) ( h)( h) [9h h] ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ 6] ) ( ) ( ) ( )( ) 6 ( ) [ ] h h ) h h h ( h ) ( h ) h ( h ) ) z z z ( 6z) 6 8 h h [z z] 7

122 8 6) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) f f f [ ] f f f 7) 8)] 0 )( ( 0) )( [( 6)] 6)( ( ) )( [( [6 8 6] 8) ( ) ( ) 9) ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 6 t t t t t t t t t t 8 [6 ] t t ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s p s p p s p s p s p s [ ] s sp s ) ( ) ) ) ( )( ) ( ) 9 t t t t t t t t t 9 6 t t t ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 7 7 g h h g h g h gh g g h g h g h g h g [g] 6) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 7 [ 6 ] 7) 9 6

123 8) [( c) ( c) c ( c) ( c)( c c 8c ) 6( c c ) 9) ( ) 6[( ) ( )] ( ) c c [ 8 8] 0) ( t) t( t) t ( t ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) { } ( ) s s s s s s 80 8 n n n n n ) ( )( ), con n N n n n n ) ( h )( h h ) h, con n N n n n n n n n n n ) ( g ) ( d g )( d g ) 0d ( d g ) d, con n N t t t [ ] 6 [6s 6s 8s ] n n n 6) ( z ) ( t ) n, con n N 0 n n n n n n 7) p p p, con n N Dti i polinoi A =, B =, C =, clcol: 8) A B C [9 ] 9) (A B) (A B) C [0 8 9] 0) A C ABC [ 78 6 ] ) B C [7 7] ) (A B) C [ ] ) (B C) A [ 9] Prolei ) Deterin l re delle seguenti figure: 9

124 ) Dti i nueri interi h e, indic con A: l so dei loro precedenti, B: il prodotto dei loro qudrti, C: il qudrto dell loro so. Qule espressione si ottiene ggiungendo d A il doppio dell differenz fr B e C? Dopo ver seplificto l espressione ottenut, clcol il suo vlore nei seguenti csi: h = ; = h = ; = h = ; = 0. 6) Si n un nuero nturle, diostr che ( ) ( n ) n è ultiplo di 8. 7) Sino s e t due nueri interi, indic con T: il prodotto dei loro consecutivi, S: l so dei loro successivi, L: il qudrto dell loro differenz. Qule espressione si ottiene sottrendo l cuo di S l differenz fr L e T? Dopo ver seplificto l espressione ottenut, clcol il suo vlore nei seguenti csi: s = ; t = s = ; t = s = ; t = 0. 8) Si n un nuero nturle, diostr che [( )( n ) ] n è un qudrto. 9) Sino n, due nueri nturli, diostr che ( n ) ( ) 0) Sino n, due nueri nturli, diostr che [( ) ( ) ] [ ] è un nuero pri. n è un nuero dispri. ) Sino, due nueri nturli; spendo che = 89 e =, deterin e. ) Sino e due nueri nturli; spendo che = 6 e =, deterin e. ) Sino e p due nueri interi. Al prodotto fr i loro consecutivi sottri l so dei qudrti dei loro precedenti. ) Qule, fr le seguenti espressioni, rppresent il qudrto del triplo del consecutivo di un nuero intero n? ) [(n )] ) n c) (n ) d) (n ) e) (n ) [Olipidi Mtetic, 998] ) Spendo che =, qunto vle? ) ) 0 c) d) e) nessuno dei vlori precedenti [Olipidi Mtetic, 99]

125 Divisione Esegui, se possiile, le seguenti divisioni e verific il risultto ottenuto: 6) ( ) ( ) : 6 8 7) ( ) ( ) 6 : 8 6 8) ( ) ( ) h h h h : 0 9) : t t t t 60) ( ) ( ) : 6 6) : 6) ( ) : h h 6) : 8 hg g hg g h 6) ( ) ( ) 6 : z s z s tz s z t s 6) ( ) ( ) n n n n : 6, con n N 66) ( ) ( ) : n n n, con n N {} Coplet in odo che le uguglinze risultino vere: 67) ( ) ( ) :... = 68) ( ) ( )... :... = h h h 69) ( ) ( ) : c c c = 70) ( ) ( ) gh h g h g... : 6... = 7)... :... 9 = 7) 8 : = Seplific le seguenti espressioni: 7) ( ) ( )( ) ] : [ ] : 6 [ [ 7] 7) ( ) 7 : s t s t s t t t 7 0 s

126 [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 7) {( g h)( g h)( g h ) ( g h) gh g h }: ( h ) g 76) {( ) ( ) ( ) [ ]} : ( ) h [ ] [ 7 ] 77) ( ) ( ) ( )( ) :[ ] 78) ( )( ) g g g : g g g g 79) ( )( )( ) ( ) ( ) [ipossiile] [ ]: 6 : : [] 6 ] : : 80) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ { t z t z t } z :( t) 8) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] [] 8) Nell pri colonn dell seguente tell è indicto il dividendo [P()], nell second colonn il divisore [B()], nell terz colonn il quoziente [Q()] e nell qurt colonn il resto [R()] dell divisione. Copletl: P() B() Q() R() 8 Deterin quoziente e resto nelle seguenti divisioni; verific, successivente, il risultto ottenuto: 8) ( 7 ) : ( ) 8) ( 7 ) : ( ) [Q() = [Q() = 6 8) ( 6 ) : ( ) 6 86) ( h ): ( h h ) [Q() = h [Q(h) = 87) ( ) : ( ) h h h ; R() = ] ; R() = ] ; R() = ] ; R(h) = 7h h 7 ] [Q() = ; R() = 0]

127 88) ( s s s ) : ( s s ) 89) ( t t t 9t ) : ( t t ) 7 7 Q( s) = s s ; R( s) = s t [Q(t) = t t ; R(t) = t ] 90) ( ) : ( ) [Q() = ; R() = ] 9) 9 s s s 6s : s s [Q(s) = s s s ; R = 0] 9) t t : t t = = 8 Q( t) t; R( t) t t 9) ( ) : ( ) 6 9) ( g g g ) : ( g g ) 9) : ( ) 8 Q( ) = ; R = 7 = = Q( g) g g g ; R( g) g g 7 9 Q( ) = ; R( ) = Esegui le seguenti divisioni scegliendo pri un vriile e, successivente, l ltr: 96) ( 6 c c c c ): ( c) 97) ( 6s s s ): ( s 6s ) 98) h t ht h t t : h t 99) : 00) ( ) Teore del resto Senz eseguire l operzione, deterin il resto delle seguenti divisioni: 0) ( p p ) : ( p ) 0) ( s s s s ) : ( s ) 0) ( t t t ) : ( t ) 0) ( 7) : ( ) 0) ( 9) : ( )

128 Esepio Deterinio il resto delle seguenti divisioni: ) ( 7 ) : ( ) ; ) ( ): ( ) ) Il divisore è un inoio di prio grdo, il suo coefficiente è diverso d, pertnto non posso pplicre il Teore del resto. E possiile, tuttvi, ricondursi l cso in cui è possiile pplicre il Teore del resto? Per l proprietà invrintiv dell divisione, se dividio dividendo e divisore per uno stesso nuero h, il quoziente rine invrito; entre,il resto viene diviso per h. (Per convincerti di questo, puoi fre qulche esepio nuerico). Allor, procedio nel seguente odo: dividio dividendo ( 7 ) e divisore ( ) per il coefficiente di (): 7 : pplicndo il teore del resto, deterinio il resto di quest divisione; si ottiene: 7 = il risultto ottenuto lo oltiplichio per il coefficiente di (); quindi R = = ) Osservio che il divisore è un inoio di prio grdo ed il coefficiente di è ; llor, scegliendo coe vriile (rispetto ll qule eseguire l divisione) l letter, possio pplicre il Teore del resto. Sostituio, llor, nel dividendo il terine ; si ottiene: Osservzione R = ( ) ( ) = 6 = Se, invece, sceglio coe vriile (rispetto ll qule eseguire l divisione) l letter, doio procedere, pri, coe l punto ) e, successivente, coe l punto ). Procedendo coe negli esepi precedenti, deterin il resto delle seguenti divisioni: 06) ( h h ) : ( h ) 07) ( ) : ( ) 08) ( 6s s 6s ) : ( s ) 09) ( t 6zt z ): ( t z) 0) ( c c c ): ( c)

129 Stilisci se i seguenti polinoi sono divisiili per i inoi finco indicti: ) 8 ; ; ; ) ; ; ; ) 7 6 ; ; ; ) g g g 6 g ; g ; g ; g ) 7 ; ; ; Per qule vlore dell letter i seguenti polinoi sono divisiili per il inoio finco indicto? 6) 7) 7 8) s s s s s 9) z z z z 0) 8 6 ) Dto il polinoio A(h) = h h, un sol delle seguenti fferzioni è ver. Qule? ) h = h = sono zeri per A (h); ) A(h) è divisiile per h ; c) A(h) h, fr i suoi divisori, il inoio h ; d) Il resto nell divisione di A(h) per il inoio h è ; e) Nessun delle precedenti fferzioni è ver. ) Le seguenti fferzioni si riferiscono l polinoio B() = ; un sol è fls. Qule? ) Se =, = è uno zero per B(); ) Se =, B() non è divisiile per ; c) Se =, B() è divisiile per ; d) Se = 0, B() B() = ; e) Aleno un delle precedenti fferzioni è ver. ) Nell divisione ( t ( ) t ( ) ): ( t ) t il resto è se : ) = ; ) = ; c) = ; d) = ; e) per nessun vlore di.

130 ) Per qule vlore dell letter, t = è uno zero del polinoio F(t) = t t t t 8? ) Per qule vlore dell letter, s = è uno zero del polinoio G(s) = s 6s s? 6) Per qule vlore dell letter h, z = è uno zero del polinoio B(z) = z ( h ) z hz 8 z? Per ciscuno dei seguenti polinoi, stilisci se i nueri finco indicti sono degli zeri : 7) P() = = ; = ; = ; =. 8) A(h) = h = ; h = ; h = ; h =. h 9h h 8h 0 9) R(t) = t t 9t t t = ; t = ; t = ; t =. 0) M() = 6 = ; = ; = ; =. ) P(h) = h h h h = ; h = ; h = ; h =. Applicndo l regol di Ruffini, deterin quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) ( 6 ) : ( ) [Q() = ) ( 6 ) : ( ) [Q() = ) ( h h h ) : ( h ) h [Q(h) = ) ( s s) : ( s ) s [Q(s) = 6) z z z : z 7) ( ): ( ) [Q() = 8) ( g g 9g 9) : ( g ) ; R = 6] h ; R = 8] h ; R = ] s s s ; R = 9] Q( z) = z z ; R = g [Q(g) = 9) q q q q : q [Q(q) = 6 0) ( ) : ( ) [Q() = ) : 9 ) ( 7c 8c ) : ( c ) 8 6; R = 0] g g ; R = ] q q c [Q(c) = ) ( 8 f 6 f f f ) : ( f ) f [Q(f ) = ; R = 0] 0; R = 9] Q( ) = ; R = 0 c c f f f ; R = 0] ; R = ] ) c 6 c c : c Q( c) = c c ; R = 6

131 Esepio Deterinio quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) ( f f 8 f 6) : ( f ) ) ( 6h 6 h h ) :( h) ) Il divisore è un inoio di prio grdo, il coefficiente del terine di prio grdo è diverso d ; non possio, dunque, eseguire l divisione edinte l regol di Ruffini. Ricordio, però, l proprietà invrintiv dell divisione: se dividio dividendo e divisore per uno stesso nuero n il quoziente non ci, il resto, invece, viene diviso per il nuero n. Dividio, llor, dividendo e divisore per il coefficiente : ( f f 8 f 6) : ] :[( f ) : ] = ( f f f ) : f [ Possio pplicre, desso, l regol di Ruffini, e deterinre i coefficienti del quoziente; si ottiene: R : Coefficienti del quoziente Si h, llor: Q(f ) = f. Il resto dell divisione è R = =. ) Si il divisore che il dividendo sono polinoi in due vriili. Notio, però, che il divisore è un inoio di prio grdo e il coefficiente dell letter è. Possio, quindi, eseguire l divisione scegliendo coe vriile l letter ed pplicre l regol di Ruffini: 6h 6h h h 8h h 0h h 0h 9h Si h, quindi: Q(, h) = h Coefficienti del quoziente h 0 ; R(h) = 9h resto 7

132 Deterin quoziente e resto delle seguenti divisioni: ) ( 6 ) : ( ) [Q() = 6) ( t t 8t) : ( t ) ; R = ] t [Q(t) = t t t ; R = 0] 7) ( h h ) : ( h ) 8) ( ) : ( ) = = Q( h) h h h h ; R [Q() = ; R = 6] 9) 6 9 : ( ) 0) ( 6 ): ( ) ) ( t 6 ): ( t ) 9 Q R ( ) = ; = 8 ) s t s t : s t ) ( ): ( ) Prolei ) Un rettngolo di diensioni e t è isoperietrico d un qudrto; Scrivi l espressione che esprie l re del qudrto. Clcol tle re per = 0 c e t = c. ) Si P() = c. Se si divide P() per si ottiene resto, se si divide P() per si 6 ottiene ncor resto. Qunto vle P()? 6) Un polinoio P() dà resto si qundo viene diviso per che qundo viene diviso per. Qul è il resto dell divisione di P() per? 7) Un nuero di due cifre viene soto l nuero ottenuto invertendo le sue cifre. Si divide, quindi, l so ottenut per l so delle cifre del nuero dto e si elev l qudrto il risultto. Che nuero si ottiene? ) 6 ) 9 c) 00 d) e) dipende dlle cifre del nuero [Olipidi dell Mtetic, 00] 8) Qul è l so lgeric dei coefficienti del polinoio: ( ) ( ) [Olipidi dell Mtetic, 00] 9) Counque si prend un nuero nturle n, il nuero (n )(n )(n ) è divisiile per ) ) 6 c) 9 d) 0 e) [Olipidi dell Mtetic, 00] 8

133 IL CALCOLO LETTERALE (second prte) CAPITOLO 7 Scoposizione in fttori Nel cpitolo precedente hi iprto d eseguire operzioni con i polinoi, in prticolre clcolre il prodotto di due o più polinoi. In questo cpitolo ci proponio di ffrontre il prole inverso: spendo che un polinoio è il prodotto di più polinoi, voglio deterinre i fttori di tle prodotto. Quest operzione si chi scoposizione in fttori (di un polinoio). Per esepio, è possiile verificre fcilente che il polinoio è il prodotto fr e ; quindi, possio scrivere: = ( )( ) quindi ( )( ) è l scoposizione in fttori del polinoio. Coe fre per deterinre i fttori? In lcuni csi, non è olto difficile. Ad esepio, considerio il polinoio. Osservio che il polinoio esprie l differenz di due qudrti; ricordndo i prodotti notevoli (Too, cp. ) possio scrivere che: = ( )( ) Osservndo i due esepi precedenti, notio che il grdo coplessivo di ciscuno dei fttori è inore del grdo coplessivo del polinoio. Un prole nlogo questo lo hi già ffrontto qundo hi iprto scoporre in fttori prii un nuero nturle. Ricorderi, sicurente, l definizione di nuero prio (Too, pg. 8); or, nell insiee dei polinoi, l posto dei nueri prii, esistono polinoi che non possono essere scritti coe prodotto di ltri polinoi di grdo inferiore; questi polinoi sono detti polinoi irriduciili. Si hnno, pertnto, le seguenti: Definizioni Un polinoio si dice irriduciile se non può essere ottenuto coe prodotto di polinoi di grdo inferiore d esso. Un polinoio non irriduciile è detto riduciile. Scoporre un polinoio in fttori vuol dire scrivere quel polinoio coe prodotto di polinoi irriduciili. Coe per i nueri nturli, l scoposizione in fttori di un polinoio è unic, eno dell ordine. 9

134 I polinoi e sono riduciili; il polinoio è irriduciile. In generle, i polinoi di prio grdo sono polinoi irriduciili. Per scoporre un polinoio in fttori, esistono delle tecniche che, se en ssiilte, perettono di individure i fttori in odo stnz gevole. 7. Rccogliento totle Ricordi l proprietà distriutiv? A B A C = A (..) (Coplet) In lcuni esercizi del Too, hi iprto trsforre l so di nueri interi in prodotto pplicndo tle proprietà. Scrivi, in sintesi, coe si procede. Ricord, inoltre, che è possiile trsforre un so di interi in un prodotto solo se i terini dell so non sono prii fr loro. Dl oento che un polinoio è l so di più onoi, tlvolt è possiile operre nello stesso odo. Esepio Considerio il polinoio 6 8. Procedio coe è stto descritto in precedenz e deterinio il MCD fr i terini del polinoio: MCD ( 6, 8 ) = (questo è il fttore esterno). Dividio il polinoio 6 8 per il MCD: ( 6 8 ) : =. = (6 : ) (8 : ) Pertnto, il polinoio ottenuto: 6 8 può essere visto coe il prodotto fr il MCD ed il quoziente 6 8 = ( ). Aio, così, scritto il polinoio inferiore d esso; quindi il polinoio coe prodotto di due polinoi irriduciili di grdo è stto scoposto in fttori. L tecnic ust nell esepio precedente prende il noe di rccogliento totle o rccogliento fttor coune. 0

135 OSSERVAZIONE Applichio il procediento ppen descritto l polinoio 6. MCD ( 6, ) = ; pertnto, pplicndo l proprietà distriutiv, ottenio: = ( ) 6 Dunque, il polinoio 6 è il prodotto di due polinoi; osservio, però, che uno dei due fttori non è di grdo inferiore d esso. Non possio, perciò, dire di ver scoposto in fttori il polinoio 6. Tuttvi, in csi del genere è sepre opportuno fre il rccogliento totle di eventuli fttori nuerici couni i terini del polinoio. Tenendo conto dell esepio precedente e dell osservzione ppen ftt, possio schetizzre tle etodo nel odo seguente: deterinio il MCD fr i terini del polinoio; se MCD dividio il polinoio per il MCD; scrivio il polinoio dto coe prodotto fr il MCD ed il quoziente ottenuto; se MCD =, non si può eseguire il rccogliento totle. PROVA TU Applicndo il etodo del rccogliento totle, scoponi in fttori i seguenti polinoi: ) 0 ) h h 9 h 7. Rccogliento przile Esepio ) Considerio il polinoio t t. Il MCD fr i terini del polinoio è, quindi non è possiile eseguire il rccogliento totle. Tuttvi, osservndo ttentente il polinoio, notio che lcuni terini hnno dei divisori couni (Coplet): e..; e.. oppure e...; e.. oppure e.; t e. Applichio l proprietà ssocitiv (se necessrio, nche quell couttiv) e riscrivio il polinoio dto coe so di due polinoi in odo tle che fr i terini di ciscuno dei due polinoi ci sino divisori couni.

136 Per esepio, un odo di scrivere il polinoio nell for richiest è il seguente: t t = ( t) ( t) ( ) I terini del polinoio possono essere ssociti nche in odi diversi; scrivine leno un ltro: Considerio l uguglinz ( ). Il MCD fr i terini del prio polinoio è diverso d, così coe è diverso d nche il MCD fr i terini del secondo polinoio; per ciscuno di essi possio, quindi, rccogliento totle: Si ottiene, dunque: Ponio A = = ( t) t t t, t = ( t) ( t) t, l uguglinz precedente divent: = ( t) = ( t) ( t) t t = A A = (rccogliendo fttor coune) = A( ). Al posto di A riscrivio t ; si h = A( ) = ( t)( ) t t In definitiv, io ottenuto che: t t = ( t)( ) - - eseguire il Il polinoio t t è il prodotto di due polinoi irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scoposto in fttori. ) Considerio il polinoio. Il MCD fr i terini del polinoio è, quindi non possio eseguire il rccogliento totle. Osservio che lcuni terini del polinoio hnno divisori couni e, dunque, pplicndo l proprietà ssocitiv, scrivio il polinoio coe so di polinoi: = ( ) ( ) Per il prio dei due polinoi possio eseguire il rccogliento totle [MCD(, ) = ]. Il MCD fr i terini del secondo polinoio è e, dunque, non è possiile eseguire il rccogliento fttor coune; ricordio, tuttvi, che Si ottiene, llor: = ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) I due terini dell so hnno un fttore coune ( ) e, procedendo coe nell esepio precedente, possio eseguire il rccogliento fttor coune; si ottiene: = ( )( )

137 Questo odo di scoporre in fttori un polinoio prende il noe di rccogliento przile. ATTENZIONE Scrivere un polinoio coe so di polinoi i cui terini hnno divisori couni è, ovviente, utile se, successivente, i terini dell so hnno un fttore coune. Tlvolt il odo di ssocire i onoi non consente, successivente, di vere dei fttori couni; in questo cso, llor, è necessrio cire il odo di ssocire i onoi fr loro. Considerio il polinoio ht st h s. Effettundo il rccogliento przile ottenio: = h ( t ) s ( t ) ht st h s = (il polinoio non è ncor scoposto in fttori) = = ( t )( h s) Il polinoio ht st h s è or scoposto in fttori. Possio schetizzre tle etodo nel odo seguente: scrivio il polinoio coe so di due o più polinoi in odo tle che i onoi di leno uno di essi ino dei fttori couni; per ciscuno dei polinoi così deterinti, eseguio il rccogliento totle ed ottenio un so di prodotti con un fttore coune; eseguio, nuovente, il rccogliento totle. Il polinoio dto è, così, scoposto in fttori. PROVA TU Scoponi in fttori i seguenti polinoi ) 8 ) 0c c c) h 6h g g 7. Prodotti notevoli Sicurente ricorderi che: (A B) (A B) = A B (A B) = A AB B (A B C) = A B C AB AC BC (A B) = A A B AB B Queste uguglinze ti srnno olto utili nell scoposizione in fttori di un polinoio.

138 Esepi ) Scoponio in fttori il polinoio 9h. Osservndo ttentente i terini del polinoio, notio che: il polinoio è l differenz di due onoi; i due onoi sono dei qudrti; inftti = (± ) e 9h = (±h) Possio, perciò, scrivere: 9h = (± ) (±h) e, quindi, il polinoio 9h è l differenz di due qudrti. Ponio A = e B = h; si ottiene: 9h = A B = (ricordndo qunto enzionto pri) = (A B) (A B) = = ( h) ( h) oppure, se ponio A = e B = h: 9h = A B = (ricordndo qunto enzionto pri) = (A B) (A B) = = [ (h)] [ (h)] = ( h)( h) In definitiv: 9h = ( h) ( h) oppure 9h = ( h)( h) ) Scoponio in fttori il polinoio g g 9. Ancor un volt, osservio ttentente i terini del polinoio; notio che: il polinoio è un trinoio, due terini sono dei qudrti; inftti g = (±g) ; 9 = (±). Possio pensre, llor, che il trinoio g g 9 si il qudrto di un inoio. Per verne confer è sufficiente clcolre il doppio prodotto delle si dei due qudrti (senz tener conto del segno): g = g Tle prodotto, eno del segno, è ugule l terzo terine del polinoio; possio, llor, fferre che il polinoio è lo sviluppo del qudrto di un inoio. Inoltre, poichè il terine g è preceduto dl segno, le si dei due qudrti sono concordi. Se ponio A = g e B =, si h: g g 9 = A AB B = (per qunto ricordto pri) = (A B) = (g ) ; oppure, se ponio A = g e B =, si h: g g 9 = A AB B = (per qunto ricordto pri) = (A B) = (g ) In definitiv: g g 9 = (g ) oppure g g 9 = (g )

139 c) Scoponio in fttori il polinoio h h. Ancor un volt, osservio ttentente i terini del polinoio: il polinoio è un trinoio; due terini sono dei qudrti; inftti Possio pensre, llor, che nche il trinoio h = ± h e = (±). h h si il qudrto di un inoio. E sufficiente clcolre il doppio prodotto delle si dei due qudrti (senz tener conto del segno): h = h Tle prodotto, eno del segno, è ugule l terzo terine del trinoio; possio, llor, fferre che il polinoio è lo sviluppo del qudrto di un inoio. Inoltre, poiché il terine h è preceduto dl segno, le si dei due qudrti sono discordi. Se ponio A = h e B =, si ottiene: h h = A AB B = (per qunto ricordto pri) = (A B) = h. Se ponio A = h e B =, si ottiene: h h = A AB B = (per qunto ricordto pri) = (A B) = h. In definitiv: h h = h oppure h h = h d) Scoponio in fttori il polinoio s t s t st. Seguendo il procediento dell esepio precedente, coplet. Ancor un volt osservio ttentente i terini del polinoio: il polinoio è forto d terini;.. terini sono dei qudrti; inftti: = (±.), s = (±.) e t = (±.). Questo lsci pensre che il polinoio potree essere il qudrto di un trinoio. Per verne confer è sufficiente clcolre i doppi prodotti fr le si (senz tener conto del segno); si ottiene: s = t = s t =.

140 Essi sono.. ( eno del segno) gli ltri terini del polinoio; quindi il polinoio s t s t st è lo sviluppo del qudrto di un trinoio. Poiché il terine s è preceduto d segno, le due si e s sono....; poichè il terine t è preceduto dl segno, le si e t sono discordi; poiché il terine st è preceduto dl segno, nche le si s e t sono... oppure e) Scoponio in fttori il polinoio s t s t st = ( s t) s t s t st = ( s t) Osservio ttentente i terini del polinoio: il polinoio è forto d quttro terini; 6 8. due terini sono dei cui; inftti = () e 8 = (). Questo f pensre che il polinoio Per verne confer st clcolre i tripli prodotti : ( ) poss essere il cuo di un inoio. = e ( ) = Essi sono uguli, rispettivente, gli ltri due terini del polinoio; si h, quindi: 6 8 = () In definitiv: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 8 = ( ) () = ( ) f) Scoponio in fttori il polinoio Seguendo il procediento dell esepio e), coplet. Ancor un volt osservio ttentente i terini del polinoio: il polinoio è forto d terini;.. terini sono dei cui; inftti: 8 =... Essi sono., rispettivente, gli ltri due terini del polinoio; si h, quindi: 6 e 7 = ( ) Questo f pensre che il polinoio poss essere il... di un inoio. Per verne confer st clcolre i. prodotti : ( ) =. e ( ) =

141 8 In definitiv: = ( ) ( ) () = = 7. Trinoio crtteristico Pri di stilire che cos si un trinoio crtteristico, riflettio sul prodotto di prticolri inoi: ) ( )( ) = = ; ) (h )(h ) = h h h 0 = h h 0; c) (t )(t ) = t t t 6 = t t 6; d) ( )( 6) = 6 = I fttori delle precedenti oltipliczioni sono inoi di prio grdo nei quli il coefficiente del terine di prio grdo è ; nlizzio, desso, il prodotto. Osservio che: è un trinoio di secondo grdo con coefficiente del terine di grdo ssio ugule ; il coefficiente del terine di prio grdo è ugule ll so dei terini noti dei due fttori; il terine noto è ugule l prodotto dei terini noti dei due fttori. Un trinoio di questo tipo è detto trinoio crtteristico o trinoio notevole. Tenendo conto delle osservzioni precedenti, clcolio i seguenti prodotti: ( 6) ( ) = (6 ) 6 () = 6; (s )(s ) = s ( )s () () = s 6s 8. PROVA TU Deterin i seguenti prodotti: ( )( 6); (z )(z ); ( 9) ( 6) Ci proponio, desso, di fre il percorso inverso; cioè scrivere, qundo possiile, un trinoio coe prodotto di due fttori. 7

142 Esepi ) Scoponio in fttori il polinoio. Osservio che il polinoio è un trinoio di secondo grdo ed il coefficiente del terine di secondo grdo è ; potree, perciò, essere un trinoio crtteristico ed essere scoposto nel prodotto di due inoi di prio grdo; si vree, dunque: = ( ) ( ) Se così fosse, il terine noto dovree essere il prodotto di due nueri interi e ed il coefficiente del terine di prio grdo l so degli stessi nueri. Ci proponio, llor, di stilire se esistono due nueri interi e tli che: = e = Dl ftto che il prodotto è positivo deducio che i due nueri sono concordi; inoltre, poiché nche l loro so è positiv, i nueri sono entri positivi. Nell pri e second colonn dell seguente tell sono riportti i vlori di e il cui prodotto è, nell terz colonn l so degli stessi nueri: Si vede, llor, che i nueri richiesti sono = e = 8. Possio, perciò, scrivere = ( ) ( 8) Il polinoio è il prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso e, quindi, è stto scoposto in fttori. ) Scoponio in fttori il polinoio t t 6. Il polinoio t t 6 è un trinoio di secondo grdo con coefficiente del terine di secondo grdo ugule ; potree, perciò, essere un trinoio crtteristico e, quindi essere scoposto nel prodotto di due inoi di prio grdo: t t 6 = (t ) (t ) Doio, llor, deterinre due nueri e tli che: = 6 e = Poiché il prodotto è negtivo, i due nueri sono discordi e, dl oento che l so è positiv, il nuero positivo è quello che h vlore ssoluto ggiore.

143 Riportio nell pri e second colonn dell seguente tell i possiili vlori di e il cui prodotto è 6 e nell terz colonn l loro so: Si vede, llor, che i nueri richiesti sono = e = 9. Possio, perciò, scrivere: t t 6 = (t ) (t 9). Il polinoio t t 6 è il prodotto di due fttori di grdo inferiore d esso e, quindi, è stto scoposto in fttori. c) Scoponio in fttori il polinoio 6t t. Questo polinoio non è un trinoio crtteristico in qunto il coefficiente del terine di secondo grdo è. Tuttvi esso può essere scoposto nel prodotto di due inoi di prio grdo. Doio deterinre due nueri e tli che l loro so si ugule l coefficiente del terine di prio grdo () ed il loro prodotto si ugule l prodotto fr il terine noto del polinoio ed il coefficiente del terine di secondo grdo [6 () = ]. Seguendo le osservzioni ftte nei due esepi precedenti puoi fferre che i due nueri sono.. ed è positivo quello che h vlore ssoluto... Nell pri e second colonn dell seguente tell riportio i possiili vlori di e il cui prodotto è, nell terz colonn l loro so: 6 Si vede, llor, che i nueri richiesti sono = e =. Il terine di prio grdo del polinoio ( t) lo possio scrivere, llor, coe so di due onoi siili d esso venti, ciscuno di essi, per coefficiente uno dei due nueri trovti. 9

144 Quindi : t = t t. Il polinoio dto divent: 6t t = 6t t t. Scoponio quest ultio polinoio edinte il rccogliento przile 6t t t = (6t t) (t ) = t(t ) (t ) = (t )(t ) In definitiv: 6t t t = (t )(t ) Il polinoio 6t t t è il prodotto di due fttori irriducili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scoposto in fttori. PROVA TU Scoponi in fttori i seguenti polinoi: ) p 9 p ; ) t t 0 ; c) h h 7 ; d) ; e) Appliczione del teore di Ruffini Nel precedente cpitolo hi iprto stilire se un polinoio P() è divisiile per un inoio del tipo ( ). Coplet, dunque, l seguente proposizione (Teore di Ruffini): un polinoio P() è divisiile per il inoio se e solo se P(.) =..; il nuero prende il noe di. del polinoio. Ricordio, inoltre, che: se un polinoio è divisiile per llor P() = Q()( ) dove Q() indic il quoziente fr P() e. Esepi ) Scoponio in fttori il polinoio P() =. Pri di tutto deterinio il divisore del tipo, dove è uno zero del polinoio. A tl proposito, preettio il seguente teore: Se esiste un nuero rzionle che nnull un polinoio, llor esso è un frzione che h per nuertore uno dei possiili divisori del terine noto del polinoio e per denointore uno dei possiili divisori del coefficiente del terine di grdo ssio del polinoio. Se il terine di grdo ssio h coefficiente, il nuero rzionle che nnull il polinoio, se esiste, è uno dei divisori del terine noto. 0

145 Osservio che è il terine noto di ; si D l insiee dei suoi divisori, llor D = {±, ±}. Stilio, desso, se leno uno degli eleenti di D è uno zero del polinoio; clcolio, llor: P() = = = ( 0), quindi non è uno zero del polinoio; P() = () () () = = ( 0), quindi non è uno zero del polinoio; P() = = 8 = 0 ( 0), quindi non è uno zero del polinoio; P( ) = ( ) ( ) ( ) = 8 = 0, quindi è uno zero del polinoio. Un divisore di è, llor, il inoio () =. Deterinio, desso, il quoziente fr e usndo l regol di Ruffini: 0 Quindi, Q() = Possio, llor, scrivere che: ( ) : ( ) = Ricordndo l definizione di divisione, si h: = ( )( ) Il polinoio è irriduciile (verific); quindi il polinoio è stto scritto coe prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso ed è, perciò, scoposto in fttori. ) Scoponio in fttori il polinoio A() = 7. Pri di tutto deterinio il divisore del tipo, dove è uno zero del polinoio. Il coefficiente del terine di grdo ssio è, il terine noto del polinoio è ; se esiste un nuero rzionle che è uno zero del polinoio, esso è d ricercre fr tutte le possiili frzioni che hnno per nuertore uno dei divisori di e per denointore uno dei divisori di. Sino D l insiee dei divisori di, D l insiee dei divisori di e D l insiee delle frzioni fr le quli ricercre lo zero del polinoio: D = {±}; D = {±, ±} ; D = ±, ±. Stilio, desso, se leno uno degli eleenti di D è uno zero del polinoio; clcolio, llor:

146 A() = 7 = 7 = 0; A() = ( ) ( ) ( ) A() = 7 = 7 = 8 0; 7 = 8 6 = 6 0; A() = ( ) ( ) ( ) 7 = 8 6 = 0 0; A = 7 = 7 = 0; quindi 9 9 è uno zero del polinoio. Un divisore di 7, è, dunque, il inoio. Deterinio, desso, il quoziente fr 7 e usndo l regol di Ruffini: Quindi, Q() = 6. Possio, llor, scrivere ( 7 ) : = 6. Ricordndo l definizione di divisione, si h: ( 7 ) = ( 6 ) ( ) Osservio che il MCD fr i coefficienti di Q() è e, dunque, possio eseguire il rccogliento fttor coune; si ottiene: 6 = ( ); sostituendo nell uguglinz ( ): ( 7 ) = ( ) = ( ) ( ) In definitiv: ( 7 ) =( ) ( ) Il polinoio A() è scoposto in fttori perché è il prodotto di due polinoi irriduciili di grdo inferiore d esso. PROVA TU Scoponi in fttori i seguenti polinoi: ) ; ) p p p p ; c) h h h h.

147 So e differenz di due cui Scoponi in fttori i seguenti inoi: ) ; ) 7; c) h 8; d) 7 6 Osservio, pri di tutto, che i terini di ciscuno dei inoi d scoporre sono dei cui; in prticolre: i inoi lle lettere ) e ) espriono l so di due cui; i inoi lle lettere c) e d) espriono l differenz di due cui. Per scoporre i inoi indicti pplic il teore di Ruffini. Coplet ) Uno zero di è ; quindi un divisore di è... Deterin il quoziente fr e pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q() =... Q() è un polinoio irriduciile; si ottiene, llor: = ( )(.. ). ) Uno zero di 7 è.; quindi un divisore di 7 è.. Deterin il quoziente fr 7 e 7 pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q() =.. Q() è un polinoio irriduciile; si ottiene, llor: 7 = ( )(. ). c) Uno zero di h 8 è. ; quindi un divisore di h 8 è h. Deterin il quoziente fr h 8 e h pplicndo l regol di Ruffini:

148 Quindi, Q(h) =... Q(h) è un polinoio irriduciile; si ottiene, llor: h 8 = (h )( ). d) Uno zero di 7 6 è.; quindi un divisore di 7 6 è... Deterin il quoziente fr 7 6 e pplicndo l regol di Ruffini: Quindi, Q() =.. Nel polinoio Q() puoi eseguire il rccogliento fttor coune: Q() =.. ( ). Si ottiene, llor: 7 6 = ( ) ( ). Riepilogndo: ) = ( )( ); ) 7 = ( )( 9); c) h 8 = (h )(h h ); d) 7 6 = ( )(9 6). Riflettio sui risultti ottenuti: ciscuno dei inoi dti è il prodotto di due fttori: un inoio ed un trinoio; nei csi ) e ) il inoio è l so delle si dei due cui; il trinoio è forto dll so dei qudrti delle si eno il prodotto delle si; nei csi c) e d) il inoio è l differenz delle si dei due cui; il trinoio è forto dll so dei qudrti delle si più il prodotto delle si. Questi trinoi vengono nche chiti flsi qudrti (perché?...). Le osservzioni ppen ftte sono più generli. Verific, pplicndo il teore di Ruffini, che: = ( ) ( ) (con Q) = ( ) ( ) (con Q) Tli considerzioni vlgono, ovviente, nche se l posto di ed ci sono delle espressioni lgeriche. In definitiv, io che: A B = (A B) (A AB B ) A B = (A B) (A AB B )

149 Osservzione Due potenze che hnno si diverse ed esponenti uguli si dicono siili. Ad esepio, sono siili 7 e p 7. Si verific che: se n è pri n n n n n n n è divisiile per l so delle si; è divisiile per l differenz delle si; non è divisiile per l so delle si : n non è divisiile per l differenz delle si. n se n è dispri n n n è divisiile per l differenz delle si; è divisiile per l so delle si. Ad esepio, scoponio in fttori il inoio. Osservio che =. Poiché l esponente () è dispri, è divisiile per l differenz delle si, quindi è divisiile per il inoio. Applicndo l regol di Ruffini, deterinio il quoziente: Quindi, Q() = 8 6. Possio, llor, scrivere: = ( ) ( 8 6). Il inoio è il prodotto di due polinoi irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso, quindi è stto scoposto in fttori. PROVA TU Scoponi in fttori i seguenti inoi: ) 8z 7; ) c) 8 8 6; d) t

150 7.6 Esepi di riepilogo Per scoporre un polinoio in fttori, spesso, le tecniche esposte in precedenz vengono uste conteporneente. Ecco, di seguito, lcuni consigli. Pri di tutto si deterin il MCD fr tutti i terini del polinoio: se MCD esegui il rccogliento totle ed nlizz, successivente, il polinoio ottenuto; se MCD = nlizz il polinoio. Il polinoio ottenuto dopo il rccogliento totle o il polinoio dto può essere: uno dei prodotti notevoli: se è un inoio può essere differenz di qudrti, so o differenz di cui, so o differenz di potenze siili; se è un trinoio può essere un qudrto di inoio o un trinoio crtteristico oppure si può scoporre edinte un opportuno rccogliento przile; se è un qudrinoio può essere il cuo di un inoio oppure si può scoporre edinte il rccogliento przile; se è forto d sei terini può essere il qudrto di un trinoio. un polinoio con leno quttro terini: si può scoporre con rccoglienti przili; si può scoporre pplicndo il teore di Ruffini. Tutto questo può essere rissunto nel seguente sche: Rccogliento fttor coune Prodotto notevole So o differenze di potenze siili Rccogliento przile Appliczione del teore di Ruffini 6

151 Esepi ) Scoponio in fttori il polinoio 8. Deterinio il MCD fr i terini del polinoio: MCD(, 8 ) =. Eseguio il rccogliento fttor coune; si ottiene: 8 = ( ). Il polinoio è riduciile (differenz di due qudrti): = ( ) ( ) quindi: 8 = ( ) = ( ) ( ). In definitiv: 8 = ( ) ( ) Il polinoio 8 è stto scritto coe prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi 8 è stto scoposto in fttori. PROVA TU Scoponi in fttori i seguenti polinoi: ) 0 n ; ) 8 ; c) 7 6 ) Scoponio in fttori il polinoio h 8h 7h. Deterinio il MCD fr i terini del polinoio: MCD(h, 8h, 7h ) = h. Eseguio il rccogliento fttor coune; si ottiene: h 8h 7h = h (h 6h 9 ) Il polinoio h 6h 9 è riduciile; inftti osservio che esso è forto d due qudrti (h, 9 ) e il terzo terine ( eno del segno) è il doppio prodotto delle due si dei qudrti. Esso, dunque, è il qudrto di un inoio: h 6h 9 = (h ). Si ottiene, llor: h 8h 7h = h(h 6h 9 ) = h(h ). In definitiv: h 8h 7h = h(h ) Il polinoio h 8h 7h è stto scritto coe prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi h 8h 7h è stto scoposto in fttori. 7

152 PROVA TU ) 0 ; ) c) 8 8 ; z t zt t ) Scoponio in fttori il polinoio 6 0. Deterinio il MCD fr i terini del polinoio: MCD(, 6, 0 ) =. Eseguio il rccogliento fttor coune; si ottiene: 6 0 = ( 8 ) Il polinoio 8 è un trinoio crtteristico e, quindi, 8 = ( )( ). Si ottiene, llor: 6 0 = ( 8 ) = ( )( ). In definitiv: 6 0 = ( )( ). Il polinoio 6 0 è stto scritto coe prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi 6 0 è stto scoposto in fttori. PROVA TU ) ) c) g h g h 6g ; z z ; p p p ) Scoponio in fttori il polinoio 6. Il MCD fr i terini del polinoio è ; nlizzio, dunque, il polinoio. Esso non è uno dei prodotti notevoli; provio d pplicre il rccogliento przile. A tl fine osservio che i prii due terini hnno un divisore coune così coe gli ltri due. Applichio, llor, il etodo del rccogliento przile, si ottiene: 6 = ( ) (6 ) = ( ) 6 ( ) = = ( )( 6 ) Il polinoio 6 è il prodotto di due fttori di grdo inferiore d esso; tuttvi non possio dire che esso è scoposto in fttori perché uno dei due fttori è riduciile. Inftti il inoio 6 è l differenz di due qudrti: 6 = ( )( ) quindi 6 = ( )( )( ). 8

153 Il polinoio 6 è il prodotto di tre polinoi, ciscuno di grdo inferiore d esso,, ncor un volt, non è scoposto in fttori perché uno dei tre polinoi è riduciile; inftti il inoio è ncor l differenz di due qudrti: = ( )( ) quindi 6 = ( )( )( )( ). Nell ultio prodotto ottenuto ci sono due fttori uguli; possio, perciò, scrivere: 6 = ( ) ( )( ) Il polinoio 6 è il prodotto di più fttori irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso; quindi è stto scoposto in fttori. L esercizio ppen svolto può essere così schetizzto: 6 = ( ) (6 ) = ( ) 6 ( ) = = ( )( 6 ) = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( )( ). PROVA TU ) 8; ) 9 ( ) 6 ( ) ( ); c) ( ) 8 ) Scoponio in fttori il polinoio h h 9c. Il MCD fr i terini del polinoio è ; nlizzio, llor, il polinoio: non è un prodotto notevole; il rccogliento przile non port d vere dei fttori uguli. Un ttent osservzione dei terini del polinoio ci perette di fferre che i prii tre terini forno il qudrto di un inoio; pplichio, pertnto, l proprietà ssocitiv: h h 9c = (h h ) 9c = (h ) 9c L espressione così ottenut è un differenz di due qudrti, quindi: h c h c = (h c)(h c) (h ) 9c = ( ) ( ) In definitiv: h h 9c = (h c)(h c). 9

154 PROVA TU 9 ) ; ) 6 ; c) 9z 6z. 6) Scoponio in fttori il polinoio n n n n. Il MCD fr i terini del polinoio è n; eseguio, dunque, il rccogliento fttor coune: n n n n = n ( 8 ) Osservio che il qudrinoio 8 non è un prodotto notevole e non può essere scoposto in fttori edinte il rccogliento przile; vedio se è possiile scoporlo pplicndo il teore di Ruffini. Puoi fcilente verificre che 8 si nnull per =, quindi esso è divisiile per il inoio. Deterinio, or, il quoziente pplicndo l regol di Ruffini: 8 0 Quindi: Q() = e 8 = ( ) ( ). Si h, llor che: n n n n = n ( ) ( ) Osservio ncor i tre fttori ottenuti: notio che il trinoio è il qudrto di un inoio; cioè = ( ). In definitiv, si ottiene: Il polinoio n n n n = n( ) ( ) n n n n è stto scritto coe prodotto di più polinoi irriduciili, ciscuno di grdo inferiore d esso, quindi è stto scoposto in fttori. L esercizio ppen svolto può essere così schetizzto: n n n n = n( 8 ) = = n ( ) ( ) = = n ( ) ( ) PROVA TU ) 0 8 ; ) s 9s 6s 6s ; c) 6. 0

155 7.7 Mssio coun divisore e inio coune ultiplo fr polinoi In nier nlog qunto ftto per i onoi, si hnno le seguenti definizioni: Il MCD fr due o più polinoi è, fr i divisori couni, quello di grdo ssio. Il c fr due o più polinoi è, fr i ultipli couni, quello di grdo inio. Le regole per deterinre il MCD ed il c fr polinoi non sono, poi, olto diverse, d quelle già viste per i onoi. Per deterinre il MCD fr due o più polinoi, si procede coe segue: si scopongono i polinoi in fttori; si oltiplicno i fttori couni, presi un sol volt, con il più piccolo esponente. Il polinoio così ottenuto è il MCD fr i polinoi dti. Per deterinre il c fr due o più polinoi, si procede coe segue: si scopongono i polinoi in fttori; si oltiplicno i fttori couni e non couni, quelli couni presi un sol volt con il ggiore esponente. Il polinoio così ottenuto è il c fr polinoi dti. Esepio Deterinio il MCD e il c fr i seguenti polinoi: t 8t ; t t t. Scoponio i polinoi in fttori: t 8t = (rccogliento fttor coune) = t (t ) = = t (t ) (t ). t t t = (rccogliento fttor coune) = t (t t ) = In definitiv: t 8t = t (t ) (t ). In definitiv : t t t = t (t ). = t (t ). Osservio che i fttori couni nelle scoposizioni dei due polinoi sono t e (t ) e l esponente inore, per ciscuno di essi, è ; l esponente ggiore, invece, è. Si h, quindi: MCD(t 8t, t t t) = t (t ) c ( t 8t, t t t) = 6t (t ) (t ) PROVA TU Deterin il MCD e il c fr i seguenti polinoi: ; 8; 6

156 CAPITOLO 7 Scoposizione in fttori Conoscenz e coprensione ) Qundo un polinoio si dice irriduciile? ) Cos vuol dire scoporre in fttori un polinoio? ) Qule proprietà pplichi qundo effettui il rccogliento totle? ) In qule cso l so di due potenze siili è divisiile per l so delle si? ) In qule cso l differenz di potenze siili è divisiile per l differenz delle si? 6) Coe procedi per stilire se un trinoio è il qudrto di un inoio? 7) Coe procedi per stilire se un qudrinoio è il cuo di un inoio? 8) Che cos si intende per trinoio crtteristico? 9) Coe procedi per scoporre un trinoio crtteristico? 0) Che cos è il MCD fr due o più polinoi? Qul è l regol che ti consente di deterinrlo? ) Che cos è il c fr due o più polinoi? Qul è l regol che ti consente di deterinrlo? ) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) Un polinoio copleto di prio grdo è irriduciile. V F ) Tutti i trinoi di secondo grdo possono essere scoposti in fttori. V F c) Se due dei tre onoi di un trinoio sono dei qudrti, il trinoio V F è sicurente il qudrto di un inoio d) L differenz di due qudrti si può scoporre, l ssio, nel prodotto V F di due fttori. e) L so di due potenze siili è sepre scoponiile in fttori. V F f) L differenz di due potenze siili è sepre scoponiile in fttori. V F g) Uno dei fttori dell scoposizione dell differenz di due potenze V F siili non può i essere l so delle si. h) Il nuero dei fttori dell scoposizione di un polinoio P() è, V F l ssio, ugule l grdo del polinoio. i) Il MCD fr due o più polinoi (di grdo ggiore di zero) è sepre V F un polinoio di grdo ggiore di zero. j) Il c fr due o più polinoi (di grdo ggiore di zero) è sepre V F un polinoio di grdo ggiore di zero.

157 Esercizi Scoponi in fttori i seguenti polinoi utilizzndo il rccogliento totle: ) ; ; 8 z 6 ) h h ; ; ) 7z 9z 9z ; 9 6 ; 8 p 6 p ) ; ) 8g h 6g h ; 9 c ; z ; ; 6) 0 0 ; c 8 c 0 t t 6 7) c c ; 0 6 8) 6 ; 9) z t z t zt ; 0) ; 6 6 ) g h g h g h ; n n ) 9 ; n n ) ; 9 9 Esepio s s s z n n n (con n N ) n n (con n, N ) Scoponio in fttori il polinoio ( ) ( ). Osservio che ( ) ( ) = ( ) ( ). Notio che i terini legti dl segno hnno un fttore ugule: il fttore ( ). Possio, llor, pplicre l proprietà distriutiv; si ottiene: ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ). In definitiv: ( ) ( ) = ( ) ( ). ) ( ) ( ) z ; z( ) ( ) ) ( s t) (s t); ( ) ( ) 6) ( p) ( p) 7) ; ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )

158 8) ( )( ) ( ) ( )( ) 9) ( ) ( )( ) ( ) 0) ( ) 8( ) ( ) Scoponi in fttori i seguenti polinoi utilizzndo il rccogliento przile: ) z z ; t z z ) gh g h ; ) c c c ; v 6z tv tz ) gf f 0g g ; ) p 0p 6 p ; 6) ; 7) ; h p h p h t t t t t 8 0 d s d s s 8) 6 ; c c 9) Esepio Scoponio in fttori il polinoio h hs h s. Dopo ver osservto superficilente il polinoio e provto d ssocire i suoi terini in diversi odi, sreo tentti di dire che esso non è scoponiile in fttori. In reltà, è necessri un riflessione più ttent. Osservio che denointore ; inftti: h h per coefficiente che può essere scritto coe un frzione vente per h = h = h. Applichio l proprietà ssocitiv e riscrivio il polinoio: h hs h s = h h ( hs s) Possio, desso, continure pplicndo il rccogliento przile: = h h ( hs s) h hs h s In definitiv: h hs h s h h s. = ( ) h h s h h h s = ( ) ( ) = ( ) 0) ; v v uv u

159 ) z z z ; ) 9 p t p t ; 6 z 8z z 6 ) ( ) ; ( ) ) ( ) f g hf hg ; ( ) 0( ) ) ( )( ) 6) 6t z ( t z) tz z tv tz ( v z)( t z) 7) n n 6 (con n N ) n n 8) (con n N 0 ) 9) 0) n n g g g (con n N ) n n n s s s v v (con n N ) Scoponi in fttori, se possiile, i seguenti polinoi utilizzndo i prodotti notevoli: ) t 9 ; ) q ; ) 6 ; ) 6 h ; 6 8 ) 6t 9s ; 6) c ; 7) 9c ; 8) 00 ; 9) 6 ; 9 d f 6 8g , 9 p 0,v 6 0) d f ; 9 ) ; 9 9 c 6c z ) 9 ; z t 6 8 ) 9 z ; c

160 ) g 9 ) ; ) 0,s 0,0 t ; 7) 0 8 c 6 d z ; 8) n ; 9) 9 ; 60) ( ) ; g h n (con, n N ) n 6n 6g z (con, n N ) 6 ( ) 6) ( ) 6z ; ( ) 9 6) ( ) 6z z ; ( ) 6) ( ) ( ) ; 6) ( ) ( ) ; 0 6) 0 ; 6 66) 9c c ; 9( ) ( ( ) ( ) ) 67) 6 9 ; 8 68) z 0z t t ; 69) z z ; g 6g h 9h ) 6 8 8; 8 6 pt p t 9 9 7) 7 h h ; 6 00 c 00 c 6 7) 6 ; ) 9 9 ; 7) 8 ; 9 9 h g hg ) 6 ; 76) n n ; 77) 6 8 ; 0, n n (con n N ) 9 p 6 p t t (con, N ) 6

161 78) c c c 79) ) h h h h h v v v v v 8) 6 8) c c d c d c cd 8) 9 8) 9s 6t s 6t st 8) h h 6 h 9 86) ) v v 0t t 0vt 88) s 9s 7s 7 89) f f f 90) v z v z vz 9) 8 p 60 p 0 p 9) 8 9) z 6z t zt 8t 9) ) ) u 6u t u 6 t 8 9 t ) ) c c c ) h h h 00) ) n n n 0) 8z 6z z 7 (con n N ) 0) n n n (con n N ) 0) n n n (con n N ) 7

162 Scoponi in fttori, se possiile, i seguenti trinoi: 0) d d ; ) g g 6; z z 07) 08) ; 7 6 ; t t 0t 9t 8 09) 6 ; s 7s 0 0) h h 0 ; ) z z 6 ; ) f f 8 ; s 7s 8 ) 0 ; ) u 7u ; ) s s 8; 6) t t 7 ; 7) 9 8 ; 8) h h ; 6 p 9 p z 0z v v Esepio Scoponio in fttori il trinoio. Poiché il coefficiente di pensre l letter coe un costnte. è, possio considerre coe vriile del polinoio l letter e Il coefficiente del terine di prio grdo rispetto è ed il terine di grdo zero (rispetto d ) è ; procedio, llor, coe nell scoposizione del trinoio crtteristico. A B = Deterinio due onoi A e B tli che: A B = I onoi richiesti sono siili fr loro e hnno coe prte letterle ; per deterinrne i coefficienti si procede coe nel cso dei trinoi in un vriile. Si ottiene A = 6 e B =. Si h, llor: = ( 6)( ) Il trinoio è il prodotto di due fttori irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi è stto scoposto in fttori. 9) 8 ; 0 0) h hg 8 g ; 8s s 8

163 ) c c ; t 8ut 0u ) z z ; p p ) z zt t ; ) g 8g ; c 7c 8 Esepio Scoponio in fttori il trinoio 6. Il trinoio 6, ovviente, non è di secondo grdo; tuttvi osservio che tutti gli esponenti dell letter sono pri. Osservio che ( ) = ; possio, llor, porre = t ; si ottiene: 6 = ( ) 6 = t t 6 Il trinoio di qurto grdo è stto ricondotto d un trinoio di secondo grdo. Scoponio, così, il trinoio di secondo grdo: t t 6 = ( t )( t ) Operio, desso, l sostituzione invers e, l posto di t riscrivio 6 = ( )( ) ; si ottiene: I due fttoti sono polinoi irriduciili di grdo inferiore d esso, quindi il trinoio stto scoposto in fttori. 6 è ) 6) d 8; d ; 7) 6 9 6; 8) s s 6 ; 9) z 6z 6; p p Applicndo l regol di Ruffini, scoponi in fttori, se possiile, i seguenti polinoi: ( )( )( ) 0) 6 ) ( )( ) ( )( )( ) ) 6 ( z )( z z z ) ) z z z z ( h )( h h ) ) h h h 6 9

164 ( p )( p )( p p ) ) p 9 p p p 0 6) t 7t t 6 ( t )( t )( t ) ( )( ) 7) 0 8) ( )( )( ) ( t )( t )( t )( t ) 9) t t t 8t 0) 0 ( )( 8 6) ( c )( c c ) ) c c c c ( 8)( ) 6 ) 8 6 ) 7 ( )( ) ( )( )( ) ) 6 ) z z 9z 6) 6 ( z )( z ) ( )( ) ( h )( h )( h ) 7) h h h ( s p) ( s p) 8) s p s p ( u v)( u v)( u v) 9) u u v uv v ( )( ) 0) 9 Scoponi in fttori, se possiile, i seguenti polinoi, so o differenze di potenze siili: ) s 7 ; ) 9 ; ) 6 9 ; 6 8 ; z ; 6 c ; 6z 9 9 ) d ; 8 ) 9 7h 6 ; 6) ; 6 7) n ; 8) ; 8 ; 7 ; 8 ; z z t ; n ; 0 7 f 6 6 6t s 7 p h h h c 7 60

165 Scoponi in fttori i seguenti polinoi: 9) p 60) 9 6) z z 6) 7 9 ( )( ) p p ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 6) h h h 6) 6 7 6) 7 9 s t s t 66) 6h 8 ( ) h ( )( ) 6 7 s t s s ( h )( h )( h 9 ) ( )( ) 67) 68) 6 9 z 6 z z 8 ( z ) ( )( ) 69) ) t t 6t 7) c c 8 7) 0 t s t s t ( )( ) t ( c )( c 9) t ( t s )( t s ) 7) ch c h c 7) ( c) c h 6z ( z)( z) 6 7) g 6 g g 8 ( g ) 8h( h )( h ) 76) 6h h 8h 77) 78) ( )( ) 6 6 ( p ) ( p p p p ) 6 p p p 79) z z z 80) ( z )( z ) ( z ) ( )( )( ) 6

166 8) sp s s p 8) 8 9 ( s ) s p ( )( )( ) ( g )( g ) 8) g g g ( c)( c c c ) 8) c c c 8) ( )( 8 6) 96 ( t z) ( t z) 86) ( t z) zt ( t z) ( t z ) 87) 88) f f f ( ) ( f )( f f ) 89) ( ) c d c ( d c )( d c ) ( c)( c c c ) 90) ( ) ( c) ( p )( p ) 9) 6p 9 p ( )( )( ) 9) ) 6 9) h h h 6 ( h )( h ) 9) ( ) ( c) ( c)( c) 96) 8 8z 8( z)( z)( z )( z ) ) 9 6 z z ( z) ( s )( s ) 98) s s ( )( )( ) 99) 6 ( )( ) 00) ( ) 6 ( )( ) 9 ( ) ( g )( g )( g g ) 0) g g 8g 6 z ( z )( z )( z ) 0) 7 8 z z z z ( v )( v )( v )( v ) 0) v v v v 9

167 ( )( 0) 0) 8 0 ( c )( c ) 0) c 9c ( g )( g )( g ) 06) g g g 8 07) s t s t st s t 6 ( )( )( )( ) 08) 9 0 ( ) ( 6 ) 09) ( ) ( ) ( ) ( ) 0) 6 ) 7u 8u ) h ( )( ) ( u )( 7u ) h ( h )( h )( h )( h ) ) 9 ) 6s s 6 ) ( ) v v v h h ( s )( s ) ( v h v )( v v h ) ( )( )( ) 8 6) ( ) ( )( ) 7) ( ) ( ) ( ) 8) ( h t ) ( h t) ( h t)( t h) 9) c 6 9c 6c c c Deterin il MCD e il c fr i seguenti gruppi di onoi: 0) ; 8 c c ) t 6 ; ) h h ; ) c c c 6 ; ) c 0c ; ) 6) 9 g ; 8v ; 7) ; t t t h h h c 6c 8c 8c 0c 0 ; g 9 g ; v 9v ; ; 0c g g 6v v 6

168 8) 0 ; 9) 9 c ; 0) s 6; ) h s ; ) 8z z ; ) 6 p p 6 ; 0 ; c 8 ; s ; h hs s ; z z ; p p p ; 8 6 6c s c h s s 0hs z z z p p p Prolei ) Dopo ver seplificto l espressione ( ) ( ) ( 7) il polinoio ottenuto., scoponi in fttori ) Scoponi in fttori il polinoio che si ottiene seplificndo l seguente espressione: 6) Se il polinoio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). A t = 6 ( > 0 ) rppresent l re di un roo, quli polinoi rppresentno le digonli del roo? 7) Il polinoio B( s) s s = ( 0) s > rppresent l re di un tringolo rettngolo ABC. Deterin l re di un qudrto che h il lto congruente ll ipotenus del tringolo rettngolo ABC. 8) Il volue di un prllelepipedo è prllelepipedo? 9) L superficie di un cuo è ( > 0 ). Quli sono le diensioni del 9 6 ( > 0). Un prllelepipedo rettngolo, se qudrt, h ltezz congruente llo spigolo del cuo; il lto dell se è un polinoio q che h per rdici i nueri 0 e E il suo volue? 0) Per qule vlore di il polinoio ) Si T( ) 7 6. Qul è l superficie totle del prllelepipedo? 6 v v è lo sviluppo del qudrto di un inoio? 9 =. Deterin il vlore di ffinchè = si uno zero del polinoio. Scoponi in fttori il polinoio ottenuto. ) Si =. Deterin i vlori di e ffinchè P(0) = e il polinoio i P( ) uno zero per =. Scoponi in fttori il polinoio ottenuto. 6

169 CAPITOLO 8 Le frzioni lgeriche 8. Introduzione lle frzioni lgeriche Nel cpitolo (Too, pg. ) io suddiviso le espressioni lgeriche rzionli in tre gruppi: ) espressioni che contengono solo l operzione di oltipliczione; ) espressioni che contengono le operzioni di oltipliczione e di so lgeric; ) espressioni che contengono operzioni di oltipliczione, divisione e/o so lgeric. Le espressioni del tipo ) sono chite.. ; le espressioni del tipo ) sono chite. In questo cpitolo ci occupereo delle espressioni del tipo ). Nei precedenti cpitoli io iprto d eseguire l divisione fr due polinoi e io visto che non sepre due polinoi sono tr loro divisiili. Adesso, ricordio qunto detto per i nueri nturli: se non è divisiile per, il quoziente fr e si indic con e si chi frzione. Considerio, llor, i polinoi A() = 7 6 e B() = 7 6, il quoziente fr A() e B() è Q() = e il resto dell divisione è R() = 0 6 ( 0); quindi, A() non è divisiile per B(). In nlogi con i sioli usti per i nueri nturli, il quoziente fr A() e B() si indic con e prende il noe di frzione lgeric. Aio, quindi, l seguente definizione: Se A e B sono due polinoi (B 0), l scrittur A B si chi frzione lgeric. Sepre in nlogi con le frzioni nueriche, A si chi nuertore, B si chi denointore; l line che sepr i due polinoi h il significto di divisione e si chi line di frzione. Poiché i onoi sono considerti polinoi, nche il quoziente fr due onoi è un frzione lgeric; poiché i nueri interi sono prticolri polinoi, nche i nueri rzionli sono frzioni lgeriche. Così coe un frzione (nueric) che h per denointore è un nuero intero, un frzione lgeric che h per denointore è un polinoio; quindi se A indic un polinoio A = A. Possio, llor, dire che tutti i polinoi sono delle frzioni lgeriche. 6

170 Sppio che, in un espressione lgeric, le lettere sono dei nueri ed il suo vlore dipende di vlori ttriuiti lle lettere. Ad esepio, l frzione lgeric S() = 6 ssue il vlore 87 qundo ll letter sostituio il vlore 9; ssue, invece, il vlore Qul è il vlore di S() qundo =? Se =, S() ssue il vlore 0 qundo ll letter si ttriuisce il vlore. che è un frzione nueric priv di significto. E fcile, inoltre, verificre che è l unico vlore per cui S() perde significto. E possiile, dunque, ttriuire d qulsisi vlore purchè esso si diverso d. In generle, è possiile ssegnre lle vriili di un frzione lgeric qulsisi nuero purchè esso non nnulli il polinoio l denointore. Definizione Si chi doinio di un frzione lgeric, e si indic con D, l insiee forto di vlori che, ttriuiti lle lettere, non nnullno il polinoio l denointore. Il doinio di un frzione lgeric viene chito nche cpo di esistenz (indicto con C. E.) oppure insiee di definizione (indicto con I. D.). Il doinio di S() è l insiee D = Q {}; oppure, in odo equivlente, C.E.:. Usre un odo nziché un ltro per indicre i vlori che è possiile ssegnre lle vriili dell frzione dipende dlle frzioni stesse, coe puoi osservre negli esepi seguenti. Esepi Deterinio il doinio delle seguenti frzioni lgeriche: ) c ; ) h ; c) 9 ) Deve essere c 0. Or, un prodotto è diverso d zero qundo tutti i suoi fttori sono diversi d zero; quindi: c 0 0 c 0 0 c 0 C.E.: 0 c 0. ) Deve essere h 0. Or, l so lgeric di due terini è divers d zero qundo i due terini non sono opposti; quindi: h 0 h h D = Q oppure C.E.: h. 66

171 c) Deve essere 9 0. Il polinoio h grdo coplessivo ggiore di ; llor si scopone in fttori: 9 = (differenz di qudrti) = ( )( ). Deve essere, dunque: 9 0 ( )( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 D = Q, oppure C.E.:. PROVA TU Deterin il doinio delle seguenti frzioni lgeriche: s t ) ; ) 6 7 ; c c c) ; g g g Per le frzioni lgeriche vlgono le proprietà già viste per le frzioni nueriche. Si h, llor l seguente: Definizione Due frzioni lgeriche Se due frzioni A B e C D (B 0 D 0) sono equivlenti se A D = C B. A B e C D sono equivlenti si scrive A B = C D. Proprietà invrintiv Se si oltiplic nuertore e denointore di un frzione lgeric per uno stesso polinoio (ovviente diverso d zero) si ottiene un frzione lgeric equivlente quell dt. Se si divide nuertore e denointore di un frzione lgeric per uno stesso polinoio (ovviente diverso d zero) si ottiene un frzione equivlente quell dt. Definizione Un frzione lgeric A B si dice ridott inii terini qundo il MCD(A, B) =. L proprietà invrintiv viene utilizzt, per esepio, qundo è necessrio ridurre due frzioni lgeriche llo stesso denointore oppure qundo è necessrio seplificre un frzione lgeric. 67

172 Esepi ) Riducio le frzioni A = e B = (con l condizione che i denointori delle due frzioni sino diversi d zero). llo stesso denointore Il procediento d seguire è nlogo quello usto per ridurre due frzioni nueriche llo stesso denointore. Si h, quindi che: il c fr nuertore e denointore è il denointore coune delle due frzioni; il nuertore di ciscun delle nuove frzioni è il prodotto fr il nuertore delle vecchie frzioni ed il quoziente fr c e vecchio denointore. Per deterinre il c doio scoporre i polinoi in fttori: = ( ) = ( ) = ( )( ) = ( ) Quindi, c(, ) = ( )( ). Si ottiene, llor: A = ( ) ( )( ) ; B = ( ) ( )( ) ) Seplifichio l frzione lgeric h h h. 7 6 h 7h 6h Deterinio, pri di tutto, il doinio dell frzione lgeric; perciò deve essere: h 7h 6h 0 (dopo ver scoposto in fttori) h(h )(h 6) 0 h 0 (h ) 0 (h 6) 0 h 0 h h 6 D = Q {0,, 6}. Doio deterinre il MCD fr il nuertore e il denointore dell frzione; scoponio, llor, questi polinoi in fttori: h 7h 6h = h(h 7h 6) = h(h )(h 6) h 7h 6h = h(h 7h 6) = h(h )(h 6) Si h, llor: MCD( h 7h 6h, h 7h 6h) = h(h 6). Dividendo nuertore e denointore dell frzione per il MCD ppen deterinto, si ottiene: h h h 7 6 h 7h 6h = = h h Osservio che è stto possiile eseguire l seplificzione perché io deterinto, in precedenz, il doinio dell frzione. 68

173 OSSERVAZIONE Per ridurre un frzione i inii terini, possio procedere per seplificzioni successive, cioè dividere nuertore e denointore per un divisore coune e ripetere tle operzione fino qundo nuertore e denointore non hnno coe divisore coune il nuero. Così, per seplificre l precedente frzione, nziché dividere nuertore e denointore per il loro MCD, si può dividere, pri, per il onoio h e, successivente, per il inoio h 6, dl oento che essi sono divisori couni del nuertore e del denointore. 7 6 h 7h 6h h h h = ( )( 6) ( )( h 6) h h h h h = ( h )( h 6 ) ( h )( h 6) = h h Prticente e. siolicente si h: PROVA TU 7 6 h 7h 6h h h h = ( )( 6) ( )( h 6) h h h h h = h h ) Coplet, pplicndo l proprietà invrintiv: s... = ( s )( s ) ( s )( s )( s 7) ) Seplific le seguenti frzioni: ;... = ( 7)( ) ( )( 7)( ) ; 6 8 hg gh h g h 8. Operzioni con le frzioni lgeriche Anche per le operzioni con le frzioni lgeriche continuno vlere proprietà e regole già viste per le frzioni nueriche. So lgeric L so lgeric di due o più frzioni lgeriche venti lo stesso denointore, di doinio D, è un frzione lgeric che h per denointore lo stesso denointore e per nuertore l so lgeric dei nuertori. In sioli: A C A C = oppure B B B A C A C = B B B Per deterinre l so lgeric di due o più frzioni lgeriche, entre di doinio di D, venti denointori diverso, pri si riducono llo stesso denointore e, successivente, si oper coe nel cso precedente. 69

174 Esepi Deterinio le seguenti soe lgeriche fr frzioni lgeriche: ) ) ; c c c c ; 6 6 ) Clcolio. Pri di tutto, deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: 0 D = Q { }. Le due frzioni hnno lo stesso denointore; l so delle due frzioni è un frzione che h per nuertore l so di nuertori delle due frzioni e per denointore lo stesso denointore. Quindi: Clcolio c c. c c ( ) = ( ) = = Deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto. In questo cso non è seplice indicre il doinio coe un sottoinsiee dei nueri rzionli perché nelle frzioni sono presenti più vriili; preferio, perciò, indicre soltnto l relzione che deve intercorrere fr le vriili ffinchè le frzioni non perdno di significto. Deve essere, quindi: c 0. Le due frzioni hnno lo stesso denointore; l differenz delle due frzioni è un frzione che h per nuertore l differenz dei nuertori delle due frzioni e per denointore lo stesso denointore. Quindi: c c c c ) Clcolio. = ( c ) ( c ) c c c = = c c 6. c Deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: (Coplet)... D = Q {.,.} 70

175 Riducio le due frzioni llo stesso denointore e, dunque, deterinio il c fr i polinoi l denointore di ciscun di esse. Poiché questi polinoi sono irriduciili, si h: c (, ) = ( )( ). Quindi: = (per l proprietà invrintiv) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = (per l proprietà invrintiv) = ( )( ) Adesso sio in grdo di eseguire l operzione indict: = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = 6 ( )( ) 7 7 = ( )( ) 6 Clcolio 6. Per ridurre le frzioni llo stesso denointore è necessrio deterinre il c fr i denointori delle due frzioni; scoponio tli polinoi in fttori e deterinio il c. = ( ) ( )( ) 6 =. ( ) ( ) ( ) c, 6 = Deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto ; è sufficiente che il c ppen deterinto si diverso d zero (perché?); quindi (Coplet): ( ) ( ) D = Q {.,.}. Riducio le due frzioni llo stesso denointore: ( ) = (per l proprietà invrintiv) = ( )( ) ( ) ( ) 6 = (per l proprietà invrintiv) = ( 6 )( ) ( )( ) ( ) ( ) Adesso possio eseguire l operzione indict: 6 ( ) ( )( ) = = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6 ( ) 6 0 ( ) ( ) = = 6 0 ( ) ( ) ; ( )( ) ( 6 )( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) =. 7

176 PROVA TU Esegui le operzioni indicte: ; z z z ) f f f 9 f f ; s t t s s s st s t ) Moltipliczione fr frzioni lgeriche Il prodotto di due frzioni lgeriche, entre di doinio D, è un frzione lgeric che h per nuertore il prodotto dei nuertori e per denointore il prodotto dei denointori. In sioli: Esepi A C A C = B D B D Clcolio i seguenti prodotti: ) ) 6 p p p p p 6 p 9 ) Deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto. I denointori delle frzioni lgeriche sono polinoi irriduciili; quindi, deve essere: (Coplet) 0 0 D = Adesso possio clcolre il prodotto: = ( )( ) ( )( ) = 6 =. 6 ) Deterinio l insiee D in cui entre le frzioni lgeriche non perdono significto. Deve essere: (Coplet) p 0 Adesso possio clcolre il prodotto: p 6 p 9 0 p. ( ) 0 p. p.. ( p ) p ( p ) ( p )( p ) p 6 p p = (scoponendo in fttori i polinoi riduciili) = p p 6 p 9 Osservio che MCD[ p( p ) ( p ); ( p )( p ) ] = ( p )( p ) ottenut è riduciile; quindi, pplicndo l proprietà invrintiv si ottiene: ( p ) p ( p ) ( p )( p ) p 6 p p = p p 6 p 9 e, quindi, l frzione = p p 7

177 OSSERVAZIONE Nel precedente prodotto vreo ottenuto lo stesso risultto se, pri di eseguire l oltipliczione, vessio seplificto in croce le frzioni lgeriche; inftti nuertore di un e denointore dell ltr hnno divisori couni. ( p ) p( p ) p ( p ) p 6 p p = p p 6 p 9 p = p E sepre opportuno, coe fr i nueri rzionli, pri di eseguire l oltipliczione fr due o più frzioni lgeriche, seplificre le frzioni stesse; inftti: si eseguono oltipliczioni fr un inor nuero di polinoi; il prodotto delle frzioni lgeriche (dopo l seplificzione) è un frzione lgeric irriduciile. Potenz di un frzione lgeric L definizione di potenz, con esponente un nuero nturle, di un frzione lgeric è nlog quell che è stt dt per l potenz di un nuero rzionle e, per deterinre tle potenz, si segue il procediento già visto per le potenze di un nuero rzionle; si h, quindi: l potenz di un frzione lgeric è un frzione lgeric che h coe nuertore l potenz del nuertore dell se e coe denointore l potenz del denointore dell se. In sioli: n A = B ( A) ( B) n n Per le potenze delle frzioni lgeriche vlgono tutte le proprietà già viste per le potenze nell insiee Q. Esepio Clcolio l seguente potenz Deterinio il doinio dell frzione lgeric; deve essere: (Coplet) Possio, or, clcolre l potenz: ( ) 8 9 = = ( ) 7

178 PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ; g ) ; g ( ) Quoziente fr frzioni lgeriche Continundo l nlogi con i nueri rzionli, si h l seguente Definizione Si chi reciproc o invers di un frzione lgeric A B ( 0) l frzione B A che si ottiene d quell dt scindo fr loro nuertore e denointore. Osservio che: l reciproc di un frzione lgeric esiste soltnto se il suo nuertore è diverso d zero (perché?); il prodotto fr un frzione lgeric e l su reciproc è ; inftti A B B A =. Coe per i nueri rzionli, il quoziente A : C di due frzioni lgeriche è ugule l prodotto fr B E l pri frzione e l reciproc dell second; in sioli: A C : B E = A E B C = A E B C È opportuno ricordre che, ffinchè si possiile deterinre il quoziente di due frzioni lgeriche, deve essere B 0 C 0 E 0. Esepi Clcolio i seguenti quozienti: ) : ; ) s s : hs h s ) Pri di tutto deterinio l insiee D in cui è possiile eseguire l divisione; deve essere: D = Q {0,, }. Adesso possio deterinre il quoziente richiesto: 7 : = = ( ) =

179 ) Osservio che lcuni polinoi sono riduciili; llor, pri di deterinre le condizioni per le quli è possiile eseguire l divisione indict, scoponio i polinoi in fttori; si ottiene: s s : = hs h s s s : h s s ( ) Deterinio, desso, le condizioni per poter eseguire l divisione; deve essere: ( ) ( ) ( ) h s 0 s 0 s 0 h 0 s 0 s 0 h 0 s s 0 Possio, desso, eseguire l divisione: PROVA TU Esegui le seguenti divisioni: s s : = hs h s - s s : h s ( ) s = h( s ) s s = s h ) ) c) : : : Ancor sulle potenze In precedenz io visto coe si deterin l potenz di un frzione lgeric qundo l esponente è un nuero nturle. Vedio, desso, coe si deterin l potenz di un frzione lgeric nel cso in cui l esponente è un intero negtivo. Anche in questo cso, si procede coe già visto per le potenze con esponente intero negtivo dei nueri rzionli. Quindi, l potenz con esponente intero negtivo di un frzione lgeric è un potenz che h coe se l reciproc dell se e coe esponente il vlore ssoluto dell esponente. In sioli, se n > 0: Esepio n n A B = B A t Clcolio t Coe l solito, deterinio il doinio dell frzione lgeric: (Coplet) t 0 (perché?) t... t... t... D = Q {.,.}. 7

180 Adesso, clcolio l potenz: t t = t t = ( t ) t = t t t. t 8 6 PROVA TU Clcol le seguenti potenze: ) ; ) 7 9 Espressioni con le frzioni lgeriche Per seplificre un espressione contenente frzioni lgeriche si seguono le regole già viste per l seplificzione di un espressione nueric. Esepio: Seplificre l seguente espressione: : Pri di tutto, dovreo deterinre le condizioni per le quli è possiile eseguire tutte le operzioni indicte; è opportuno, tuttvi, nlizzre i denointori di tutte le frzioni e vedere se leno uno di essi è riduciile. In tl cso conviene scoporre tli polinoi in fttori. Anlizzio, dunque, i denointori delle frzioni lgeriche presenti nell espressione dt; notio che l unico polinoio riduciile è il polinoio polinoi irriduciili (, gli ltri denointori sono è un flso qudrto e, ricord, non si nnull i qulunque si il vlore ttriuito lle vriili). Dopo ver scoposto in fttori, si ottiene: : = = : ( )( ) Deterinio, desso, le condizioni per le quli è possiile eseguire le operzioni indicte: ( ) = Continuio seplificre l espressione; pri doio deterinre l so lgeric indict nell prentesi tond, possio nche svolgere l potenz; si ottiene: ( ) : = ( )( ) ( ) ( )

181 = : = (eseguendo l divisione) = ( )( ) ( ) = = = = = = ( )( ) ( ) = (soio le frzioni in prentesi) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PROVA TU ( ) ( ) = (rccoglio fttor coune ) = = (il trinoio l nuertore è il qudrto di un inoio) = = ( ). Seplific l espressione u v u v u v u u uv 8. Approfondienti sulle frzioni lgeriche Nell insiee F delle frzioni lgeriche io definito le operzioni di so lgeric e di oltipliczione. Verific, con degli esepi, che l so fr frzioni lgeriche è un operzione intern; inoltre: gode dell proprietà ssocitiv e couttiv; ette eleento neutro; esso è il nuero rzionle..; per ogni frzione lgeric esiste il sietrico; ess è l frzione... Possio, dunque, dire che l insiee delle frzioni lgeriche, rispetto ll so, è un.... Verific, nche con degli esepi, che l oltipliczione fr frzioni lgeriche è un operzione intern; inoltre: gode dell proprietà ssocitiv e couttiv; ette eleento neutro; esso è l frzione. ; ciscun frzione lgeric ( 0) ette sietrico che è l frzione... vle l legge di nnullento del prodotto. Possio dire che l insiee delle frzioni lgeriche, rispetto ll oltipliczione, non è un... se... 77

182 CAPITOLO 8 Frzioni lgeriche Conoscenz e coprensione ) Che cos si intende per frzione lgeric? ) Che cos è il doinio di un frzione lgeric? ) Coe procedi per deterinre il doinio di un frzione lgeric? ) Qundo un frzione lgeric si dice ridott i inii terini? ) Qundo due frzioni lgeriche si dicono equivlenti? 6) Coe procedi per trsforre un frzione lgeric in un ltr d ess equivlente? 7) Coe procedi per seplificre un frzione lgeric? 8) Verific che, nell insiee delle frzioni lgeriche, l relzione essere equivlenti è un relzione di equivlenz. 9) Stilisci se le seguenti proposizioni sono vere o flse: ) L espressione non è un frzione lgeric. V F ) Un polinoio è un frzione lgeric. V F c) L espressione non è un frzione lgeric. V F d) Le lettere presenti in un frzione lgeric non possono ssuere il vlore zero. V F e) Un nuero rzionle non è un frzione lgeric. V F f) Il doinio di un frzione lgeric è sepre un sottoinsiee proprio di Q. V F g) L differenz fr due frzioni lgeriche è sepre un frzione lgeric. V F h) Il rpporto fr due frzioni lgeriche è sepre un frzione lgeric. V F i) L frzione è ridott i inii terini. V F j) L espressione è equivlente c c V F ) L frzione lgeric 8 6 ssue il vlore zero per =. V F l) L frzione s s è equivlente ll frzione s s s s solo se s. V F 0) Sino A e B due frzioni equivlenti; quli delle seguenti fferzioni sono vere? 78 ) A B = 0; ) A B = A ; c) A B = B ; d) A (B) = B ; e) A = B

183 ) Dell frzione lgeric t t si può dire che: t ) t è equivlente ll frzione per qulsisi vlore di t ; t t ) si nnull per un solo vlore di t ; c) ssue il vlore per t = ; d) se t >, è negtiv; e) il suo doinio è l insiee Q. ) Le seguenti proposizioni si riferiscono ll frzione lgeric A() = vere o flse:. Stilisci se sono ) A() perde significto se = 0. V F ) A() è equivlente ll frzione. V F c) A() è ridott i inii terini. V F d) A() è sepre positiv. V F e) A() ssue il vlore zero se =. V F f) A() è equivlente. V F g) A() è sepre non negtiv. V F h) Esiste leno un vlore di per il qule A() ssue il vlore. V F i) Esiste un solo vlore di per il qule A() ssue il vlore zero. V F j) A() ssue il vlore zero se =. V F ) A() è equivlente 0 6 V F l) Se llor 0 =. V F ) Qule delle seguenti frzioni h per doinio l insiee Q? ) s ; ) ; c) h 6t ; d) h t ; e) v ) Il doinio dell frzione lgeric è: v 9 ) Q { } ) Q c) Q {,} d) Q { } e) Q { 9} 79

184 ) Qule, fr i seguenti polinoi, devi inserire l posto dei puntini in odo che il doinio dell frzione lgeric 8... ) ) si Q { }? c) d) e) 6 6) Qule, fr i seguenti polinoi, devi inserire l posto dei puntini in odo che l frzione... lgeric h ) h ) si ggiore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere? h c) d) 7 e) 9 7) Qule, fr i seguenti polinoi, devi inserire l posto dei puntini in odo che l frzione... lgeric 8 t ) t ) si inore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere? t c) t d) t e) 8) Qule, fr i seguenti polinoi, devi inserire l posto dei puntini in odo che l frzione t 6 f 7 lgeric... ) f ; ) si ggiore di zero per qulunque vlore ttriuito lle lettere? f ; c) 7 f ; d) f ; e) f v 9) Il doinio dell frzione lgeric è: v 9 ) Q { 9} ) Q { 9} c) Q { } d) { } 0) Per quli vlori di le frzioni ) Q { 0} ; ) { } Esercizi e Q ; c) Deterin il doinio delle seguenti frzioni lgeriche: ) z ; g g ; h 7 h sono equivlenti? Q e) Q Q d) Q { } e) Q { ±} ) t ; 7t t ; 6 t t ) ( )( ) ; ) u u 8 ( ) u u ; c 6h t ht ) ; h 80 d d 6

185 d 6) d 8 ; s 7 s 8 z 7) z 0z ; p 8) p p ; s t s st 6t 9) 0) 9 h 6; c ; Inserisci l posto dei puntini il polinoio ncnte in odo che le seguenti uguglinze risultino vere:... 0 f ) = = = f... 6 f... ) ) ) )... 7 h h... = = = h 9 h 6 t... t 6... = = = t t t t = = = s... 8 s = = = Stilisci quli delle seguenti frzioni lgeriche sono tr loro equivlenti: 8d 6) d 6 ; d d ; 8d d ; 8d ; d 6d 8d 8d d d d 6 7) ; ; ; ; 8) ; 6 ; ; ; 9) z z ; z z ; z ; z z z ; z 0) h h h h h h h h h ; ; ; 9h h 9h 9h ; 9h ) ; ; ; 8

186 Dopo verne deterinto il doinio, riscrivi le seguenti frzioni in odo che ino lo stesso denointore: ) z ; z 6 ; ) c ; c ; 7 6 ) 6v t v t ; t 8vt t v vt t ; ) ; ; 6) 9 6 ; 9 6 7) h h h h h ; h 9 h 8) ; ; 9h 6h 6h h h 9h 9h 9) q q q ; 7q q q ; q q 7q 6z 0) 8z ; 8z z ; z z ) 7s s 8 ; s 8 s 6 ; s s s Dopo verne deterinto il doinio, seplific le seguenti frzioni lgeriche: ) ; 6st ; t 0 zv z v ; s ; z ) 9 z 7 ; gh ; z ; gh; 6 ) ; 9g h c ; gh ) s ; ; 6 6s 8f 6 f 6 8 gc h f ; ; ; ; 6) ; c ; c 0 p 0s p s c ; ; c 8

187 0,8 0,8 7) ; 0, n 8) 6 g g g n n ; 8h s h s n ; ; d du d n 9 n n n ( ) g d u ; ; d s ; ; n h 9) 60) 0,v 0,v c c s n 6 s n c c ; gd d 6) ; d gd 6) 6) z ; z ; c cf c cf f ; 8t t 6) ; 7t t 6) ; ) f h f h h f h h 67) ) 69) 70) v v 9 6 ; v 9 ; ; q 6q 8 q q ; n n n n n ; 0, z 0,z t ; 6 ; hz z h ; h h ; ; h h ht t s s s s s u u u c c u u n n n s u ; ; v z t c; ; 6 h ; ; t z ; c( c f ) ( ) ; c f t z ; t h ( ) ; ( ) f ; h ( ) ( ); ( ) v ; v u ; u q ; c c q c ( ) 7) 7) 7) s sp p s p 6 ; t t 6 ; t ; v vz 6z 6v z c c c c s p ; ( v z ) s p ; ; ( c ) 7) ( ) z z ; z; 7) ; 6 0 ; ( ) 8

188 76) ( f ) g f g ; 6 6h 6h h f g; ( h h ) h 77) t t t ; t c c c t c ; t c 78) 8 ; 0 t t t t ; 6 t 79) v v ; v v ; 80) ( s) ( s) ; z z z 6z s ; ( z ) 8) d c d d c dc ; g g g g d c ; g d c g g g 8) u 0u ; u u v t vt v t t u ; v t u v t 8) s s ; s h 7 h 6h 9 s ; h h h 9 8) t t t ; t 8 f f 6 f f t t ; f t t f 8) 8z ; z h h h h z z h ; z 86) h h h h ; 8 h ; h 87) 6 7 ; 8 6h h 7h 9h h ; h 88) ; c c ; c 89) 6 ; u u u u ( )( ) u ; u 90) 6d d ; d d p p 7 p 6 p p d ; p d 9) ; h h h ( ) h ; h 8

189 Operzioni con le frzioni lgeriche So lgeric Eseguire le operzioni indicte: 9) ; ; s t p p ; ; st p s t p h g 9) ; g h ; t t h g t ; ; gh t 9) v ; v ; 6d d z z z ; ; v d 6z ( v ) ( d ) 7 9) h p ; h p u z h p ; ; ; uz u hp u 96) ; s v sv t t ; s v ( ) ; t ; sv 6 97) ) c f c f c f c f cf c f cf c 99) ; c c g t gt 00) g t g t g t z z 0) z z z z z q q 0) q 9 q q c ( c ) g t g t z q 9q q 9 0) [ ] 0) h t h t ht ht h t h t h t h t u u u 0) u u u u u u [ ] u u 06) 9 z z z z z z z z [ ] 8

190 07) 08) v( v ) v 09) v v v v v ( v) 8 0) 8 6 ) 6t t 6t 6t t 6t 6 6t ) ) ) n n n n n n n n ) 6) h h h h h h h [ ] 9 ( h ) c c c 7) c c c c c c c 8) 9) 0) ) p p p p p p p p p p p [ 0 ] ( ) ) s s s s s ) 86

191 Prodotto e divisone fr frzioni lgeriche Esegui le operzioni indicte: ) ) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) ) ) 7 8z 0 6 9z c 6c : z z 6 t t t t t t v 9z 6z vz v 6vz 9z s s s s s s s : s : 6 g g g g g g n n n n n n n n : 9 6 : z c t ( v z) ( z) v v [ ] g g n 9 6 9d 6d d d 6d d d d ) :( d ) d 6) : : c c c cf c 6cf 9 f c 9cf 7) : 8) ( ) :( ) c cf [ ] 9) h h 6 h 6 6h h 8 8 h h h 87

192 0) ) t t : t t t t t [ ] ) ( ) 8 : ) ) ) 6) 7) 8) 7 6 : : 6 6 v v : v v v v : : : 8 6 v [ ] v 9 v [ ] 9) 8 : 0 p 7 p : p p p p p p p 0) 7 p ( p p ) p ) c c c 8 : c c c c c c c 8 8 ) : 8 ) s t st st t s s t s t s t t s s t t s ) : c c s t s t 8 ) : p p p p p 6 88 p p

193 Potenze di frzioni lgeriche Esepio Dopo verne deterinto il doinio, clcolio le seguenti potenze pplicndo, se possiile, le proprietà delle potenze: ) p p ; ) 9 ) Deterinio il doinio dell frzione lgeric. Il denointore dell frzione lgeric deve essere diverso d zero; inoltre, poiché uno degli esponenti è negtivo, nche il nuertore deve essere diverso d zero. Si h: Il doinio è, llor, l insiee D = { 0, } Clcolio, desso, l potenz. p 0 p 0 p 0 p Q. Applichio le proprietà delle potenze; si ottiene: p p = p p 8 = p p 8 p 8 8 = ( p ) 8 ) Deterinio il doinio dell frzione lgeric. Il denointore deve essere diverso d zero; quindi ( )( ) ( ) ( ) ±. Il doinio è l insiee D = Q ±. Clcolio, desso, l potenz. Osservio che si il nuertore che il denointore dell frzione sono polinoi riduciili; il nuertore è il qudrto di un inoio, il denointore è l differenz di due qudrti. Si ottiene: 9 Applichio le proprietà delle potenze: = ( ) ( )( ) 9 = ( ) ( )( ) = 0 ( ) ( ) ( ) 89

194 90 Dopo verne deterinto il doinio, clcol le seguenti potenze pplicndo, se possiile, le proprietà delle potenze: 6) c ; h t z ; z 7) ( ) h h ; ( ) ( ) ; ( ) 8) ; z ; t t 9) n s n s ; c c ; q p 60) ; ; 6 n 6) q p q pq p ; c c 6) g g g g g ( ) 6 g 6) h h h h h ( ) h h 6) z z t t ( ) 6 6 z t 6) ( ) ( ) ( ) ) ( ) c ( ) c 67) ( ) 6 ( ) 9 68) 6 ( )

195 69) ( ) t t t 7 70) t t 9 t 7t 0 ( ) z 9z 7z 7 z 7) z z ( ) ( ) 0 ( t ) ( t ) ( z )( z ) 7) p q q p p q q p pq p q p q 6 q 6 p s z s sz z 7) ( ) s z 7) : : s ( ) sz z c 7) : c : 76) f h f 6 : f f f f h h f f h s sz z ( s z) ( ) c 6 6 f h ( f ) 6 ( f h) 8 77) p q p q : p ( p pq q ) ( p q) ( p q) 78) ( ) 79) p ( ) ( ) p q pq q q q p q 80) c 8 c : c c c c c 8) ( s ) ( s) ( s ) ( s) p 7 s : 7 s q q 6 ( ) 9 ( q) ( p q) c 8 ( s ) 7 ( s) 7 6 s t 8) : t s s t t s ( ) s t 9

196 9 Riscrivi le seguenti espressioni coe frzioni lgeriche e, se possiile, seplificle: 8) ( ) 8 g ; ( ) c 8) ( ) ( ) s s s s 8) ( ) ( ) ( ) z z z 86) ( ) ( ) g g g g Esercizi di riepilogo Seplific le seguenti espressioni: 87) 6 t t z t z 7 t 88) uv u v u u v u v u ( ) ( ) u v u v u 89) ( ) ( ) 6 90) l l l l l l l l l l l l 9) ( ) 9 8 9) r r s s s r s r r s s r r s ( ) 6 6s s r 9) : g g g g g g g g g ( ) 8 g g g 9) u u u u u u u u u u u 9) 96) ( ) r r r r r r r r r r r r r

197 9 97) : q pq p q q p q p q p pq q p q p q p q p p q p q 98) l l l l l l l l ( ) l l 99) ( ) 00) ( ) 0) ( ) : 0) : 0 0) ( ) 0) ( ) 0) ) n n n n n n n ( ) ( ) n n n n 07) 0 6 : n n n n n n n n n n n ( ) ( ) ( ) n n n n 08) : ( ) 09) : 6 l l l l l l l l l l l 0) 0 9 w w w w w w w w w w w ( ) w w w

198 9 ) fg g f g f f g f g f g fg f g f f : g f f fg g ) v u v u uv u uv u v u v uv u ( ) ( ) u u v u v ) r r r r r r r r r r 7 r r ) ( ) ) d cd d cd d d d cd ( ) ( ) d d 6) s r rs s r rs s r s r s r s r ( ) r s 7) 6 6 : 7 8) rs r s rs r s rs s r r s s r s r s r s r s r s r 0 ( ) r s rs r s 9) p p p p p p p p ( ) ( ) p p p 0) c c c c c c c c c c c c 6 c c ) : ( )

199 c d c d c cd d ) c d c d cd c c c d d 6d ( c d ) ) ) e e f e f e f e f f e f e f f e ef e f ef ( e f ) ( e f ) Quesiti ) L frzione ) ; ) 6) Un diensione di un rettngolo è ( 0) è equivlente : ; c) ; d) Deterin l re del qudrto isoperietrico l rettngolo. 7) Sino F = e G = perdno di significto, qunto vle l espressione FG? ( ) e l ltr è i suoi. ; e) due frzioni lgeriche. Nel cso in cui le due frzioni non ) ; ) ; c) ; d) ; e) 8) Sino F = e G = due frzioni lgeriche. Nel cso in cui le due frzioni non perdno di significto, per qule vlore di l espressione G F F G ssue il vlore 9? ) = ; ) = ; c) per qulsisi vlore di ; d) i; e) nessun delle precedenti risposte è corrett. 9) Deterin il perietro di un qudrto che h il lto congruente ll digonle di un ltro qudrto l cui re è

200 0) Delle frzioni A = ) hnno lo stesso doinio; e B = ) ssuono lo stesso vlore per = ; non è vero che: c) nel loro doinio, l loro so è sepre positiv. ) Delle frzioni D = e F = 7 6 possio dire che: ) sono equivlenti; ) ssuono lo stesso vlore per = ; c) se non perdono di significto, l loro differenz è zero; d) se non perdono di significto, il loro rpporto è ; e) tutte le predente fferzioni sono flse. ) Sino, nueri rzionli con > > 0. Allor ) ( ) 6 6 ; ) ( ) ; c) ( ) ) Se = ( 0), qunto vle è ugule : ; d) ( ) [M. Goino, Trining Olipico]? [Olipidi Mtetic, 99] n ) Per qunti interi reltivi n si h che è un nuero intero divisiile per? n ) ; ) ; c) ; d) 8; e) più di 8 [Olipidi Mtetic, 00] ) Trov tutti gli interi n tli che n n 8 si intero. n [Olipidi Mtetic] 6) Per qunti vlori dell intero n l espressione n 9 è un intero positivo? n 7 ) Nessuno; ) ; c) ; d) ; e) infiniti 7) Trov tutti gli interi inori di 00 tli che si intero. [M. Goino, Trining Olipico] 96

201 IL PRESENTE VOLUME E STATO REALIZZATO DA: Prof.ss Aureli Ilen Prof.ss Cifolelli Ros Prof.ss Chilleri Mri Annunzit Prof.ss De Mrco Psqulin Prof.ss Frneti Glori Prof.ss Lepore Eili Prof.ss Leuci Mri Rosri Prof. Mrinro Michelino Prof.ss Pisnelli Dniel Prof.ss Rescio Ann Mri Prof. Tirlongo Slvtore Prof. Vdcc Antonio 97

202 Indovinello: Un ttone pes un Kg più ezzo ttone. Qunto pes il Risolvio con le equzioni = ttone? E proprio il cso di dirlo: queste equzioni sono UN MATTONE!!!!

203 CAPITOLO 9 EQUAZIONI 9. Uguglinze e identità Spesso, nei cpitoli precedenti, ti è stto chiesto di scrivere con i sioli dell tetic lcune frsi. Fcciolo ncor un volt. Considerio le seguenti proposizioni: ) il rpporto fr il cuo di ed il qudrto di è ; ) il qudrto di 7 è 9; c) il doppio di diinuito di è 8; d) l so fr il cuo di e il qudrto di non è il triplo di 8; e) il triplo di uentto di è inore del doppio di 7. Riscriviole con i sioli del linguggio tetico: ) ) : = 7 = 9 c) = 8 d) 8 e) < 7 Anlizzio le proposizioni: nell forlizzzione delle proposizioni ), ), c) è stto usto il siolo = ; nell forlizzzione dell proposizione d) è stto usto il siolo ; nell forlizzzione dell proposizione e) è stto usto il siolo <. Prescindendo dl ftto che sino vere o flse, le proposizioni ), ), c) sono chite uguglinze, le proposizioni d), e) sono chite disuguglinze. Possio, perciò, dire che: Si chi uguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni nueriche, copre il siolo =. Si chi disuguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni nueriche, copre il siolo oppure i sioli >, <,,. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chi uguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere ugule. Si chi disuguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere diverso, essere ggiore, essere inore, essere ggiore o ugule, essere inore o ugule. Fccio, desso, un seplice gioco.

204 Esegui le operzioni indicte: ) Pens un nuero. ) Ad esso ggiungi. ) Rddoppi il nuero ottenuto. ) Dl nuovo nuero sottri 0. ) Diezz il nuero così ottenuto. 6) Sottri, ll ultio nuero ottenuto, il nuero che hi pensto ll inizio. Il nuero finle è, sicurente,! Puoi provre fre lo stesso gioco con un tuo ico; ti ccorgeri che, qulunque si il nuero inizile, il risultto finle è sepre. Forlizzio le operzioni eseguite. Poiché non conoscio il nuero pensto, tle nuero lo indichio con un letter dell lfeto. Generlente, per indicre nueri non noti si us l letter che prende il noe di incognit o vriile. L espressione che trduce le operzioni dl punto ) l punto 6) è l seguente: ( ) 0 : Dl oento che il risultto finle è, possio scrivere: ( ) 0: = Anche in quest scrittur, fr le due espressioni, è presente il segno = ; è, dunque, un uguglinz. Tuttvi, diversente dlle precedenti, l espressione che copre pri del segno = è un espressione letterle. Aio già osservto che il risultto finle è qulunque si il nuero inizile; questo vuol dire che l uguglinz è ver qulunque si il vlore ttriuito ll letter. Un ltro esepio. L proposizione pert: Il doppio di un nuero diinuito del nuero stesso è il nuero stesso, scritt con i sioli dell Mtetic, divent: = Quest proposizione è ver qulunque si il vlore ttriuito ll letter. Inftti, ttriuio d qulche vlore nuerico: se =, si ottiene: ( ) ( ) = = = (V)

205 se =, si ottiene: = 6 = = (V) se =, si ottiene:.. (COMPLETA). Del resto, svolgendo le operzioni nell espressione che precede il segno =, si ottiene: = che è ver per qulsisi vlore di. Un scrittur, te en not, nell qule è presente il segno = fr due espressioni letterli è l seguente: ( ) = Qulunque vlore ttriuio lle lettere e ess è sepre ver. Inftti, ssegnio lle lettere e diversi vlori nuerici: se = e =, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) = se = e =, si ottiene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = 6 0 =. Uguglinze di questo tipo prendono il noe di identità. = 9 = ; Si definisce identità un uguglinz fr due espressioni letterli che è verifict qulunque si il vlore ttriuito lle lettere che in ess vi copiono. Le due espressioni che copiono, rispettivente, sinistr e destr del siolo = vengono chite prio ero e secondo ero. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si definisce identità un proposizione pert, di doinio D, nell qule il predicto è essere ugule che è ver qulunque si il vlore, pprtenente D, ttriuito lle vriili. 9. Equzioni Per introdurre questo rgoento prtio d lcuni seplici prolei: ) Trov un nuero nturle che soto l suo doppio di 8. ) L so di due nueri interi è. c) Il qudrto di un nuero rzionle è 9. Forlizzio, con i sioli dell Mtetic, i prolei proposti. ) Non conoscendo il nuero richiesto lo indichereo con letter e, conseguenteente, il suo doppio srà. 6 Visto che l so del nuero col suo doppio deve dre 8, si ottiene: =8.

206 Inoltre, il nuero d trovre deve essere un nuero nturle, quindi il doinio dell proposizione è N. L forlizzzione del prole è, dunque: = 8, N (D = N). ) I due nueri non noti li indichio, rispettivente, con le lettere e ; poiché l loro so deve essere, si ottiene: =. Dl oento che doio trovre un coppi di nueri interi, il doinio dell proposizione è Z (Z Z). L forlizzzione del prole è l seguente: =, (, ) Z (D = Z ). c) Indicto il nuero richiesto con l letter, il suo qudrto srà e, dovendo essere ugule 9, si ottiene: = 9. Il nuero richiesto deve essere un nuero rzionle, quindi il doinio dell proposizione è Q. L forlizzzione dell proposizione è l seguente: = 9, Q (D = Q). Coe puoi notre, nell forlizzzione tetic dei prolei proposti copre il segno = fr due espressioni letterli. Possio, però, dire che sono delle identità? Esiniole un per un: ) =8 Stilio per quli vlori di, se esistono, l uguglinz =8 è verifict: = 7 7 = 8 FALSO = 0 = 8 FALSO = 6 6 = 8 VERO Solo se = 6 l scrittur =8 risult ver, per ltri vlori ttriuiti d ess è fls; =8 non è, dunque, un identità. ) = c) Stilio per quli vlori di e di, se esistono, l uguglinz = è verifict: = = = FALSO = = 6 6 = VERO = = () = FALSO = = 7 (7) = VERO Anche in questo cso, per lcuni vlori ttriuiti lle lettere e, = è fls e per ltri è ver; = non è, dunque, un identità. = 9 7

207 Stilio per quli vlori di, se esistono, l uguglinz Ricorderi che, per le proprietà delle potenze, fls qulunque si il vlore ttriuito ll letter ; = 9 è verifict. è sepre non negtivo; quindi = 9 è = 9, dunque, non è un identità. Sio, dunque, di fronte nuovi tipi uguglinze: per lcuni vlori ttriuti lle lettere risultno vere, per ltri risultno flse o, ncor, i verificte. Tli uguglinze si chino equzioni. Si hnno, llor, le seguenti definizioni: Si chi equzione lgeric un uguglinz fr due espressioni lgeriche in un o più vriili. L insiee l qule devono pprtenere le vriili si chi doinio dell equzione. I vlori per i quli l uguglinz risult ver si chino soluzioni (o rdici) dell equzione; possio dire che questi vlori verificno o soddisfno l equzione. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chi equzione un proposizione pert in cui il predicto è essere ugule. Il doinio dell proposizione pert è nche il doinio dell equzione. Gli eleenti del doinio che rendono ver l proposizione pert si chino soluzioni (o rdici) dell equzione. Approfondiento Sono equzioni lgeriche quelle equzioni nelle quli copiono le operzioni di so lgeric, oltipliczione, divisione e estrzione di rdice, cioè equzioni del tipo: ) = ; ) = Il concetto di equzione è, tuttvi, più generle. Ad esepio, nche uguglinze del tipo: c) = 8, d) sen() = 0, e) ln() = sono equzioni. Poiché in esse sono presenti, oltre lle usuli operzioni, ltri sioli (o opertori ) tetici non sono equzioni lgeriche e sono chite equzioni trscendenti. Affronteri questi rgoenti nei prossii nni. Le equzioni lgeriche nelle quli copiono soltnto le operzioni di so lgeric, oltipliczione e divisione sono dette equzioni lgeriche rzionli; le equzioni lgeriche nelle quli le vriili copiono sotto il segno di rdice sono dette equzioni irrzionli. Sintetizzio, nello sche seguente, qunto ppen detto. 8

208 Equzioni rzionli Equzioni lgeriche Equzioni Equzioni irrzionli Equzioni trscendenti Per il oento, prlereo soltnto delle equzioni lgeriche rzionli e le indichereo con l prol equzioni PROVA TU ) Stilisci se il nuero = è soluzione dell equzione ( ) ) Stilisci se il nuero = è soluzione dell equzione = 7 SI NO 6 = SI NO ) Stilisci se l coppi (, ) = (,) è soluzione dell equzione = SI NO Risolvere un equzione signific deterinre tutte le sue soluzioni. L insiee forto d tutte le soluzioni prende il noe di insiee soluzione dell equzione e, generlente, viene indicto con l letter S. Possio nche dire, con il linguggio dell Logic, che l insiee soluzione di un equzione è l insiee di verità dell proposizione pert. ATTENZIONE Anche in un equzione le due espressioni che copiono rispettivente sinistr e destr del siolo = vengono chite prio ero e secondo ero. L identità è un prticolre equzione. Un equzione, di doinio D, è un identità S = D. Soluzioni di un equzione Considerio le equzioni degli esepi precedenti e deterinio l insiee S delle soluzioni: ) = 8 = 8 = 6. Esiste, dunque, un solo nuero nturle che verific l equzione, quindi S = {6}. S è un insiee finito. ) = 9

209 Aio già osservto che quest equzione h più di un soluzione. Qunte sono le soluzioni? Osservio che qulunque si il vlore ssegnto d, esiste sepre un vlore che sostituito d rende ver l uguglinz. L insiee S, llor, contiene infiniti eleenti e, coe en si, è opportuno rppresentrlo per crtteristic. Si h, dunque: S = {(, ) Z / =.} (COMPLETA). c) = 9 Sppio che non esiste un nuero rzionle che verific quest equzione, quindi, in questo cso si h che S =. In se l nuero di soluzioni e, conseguenteente, in se l nuero di eleenti che copongono l insiee soluzione, possio, llor, clssificre l equzione in tre differenti odi: EQUAZIONE NUMERO DI SOLUZIONI INSIEME SOLUZIONE Deterint Indeterint Ipossiile Esepi L uguglinz è verifict per un nuero finito di vlori. L uguglinz è verifict per un nuero infinito di vlori ttriuiti lle vriili; esistono quindi infinite soluzioni. Non esiste lcun vlore che soddisfi l uguglinz che, di conseguenz, non è i verifict. Quindi non esiste lcun soluzione. S = {..., } è un insiee finito S D e S è un insiee infinito S = S è l insiee vuoto = 8 equzione deterint S = {} = 6 identità S = Q = 0 equzione indeterint S è un insiee infinito = equzione ipossiile S = ATTENZIONE Considerio, ncor, l equzione =, quest volt il suo doinio si D = N. Qunte sono le sue soluzioni? Sono ncor infinite? { } E fcile verificre che S ( 0, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(,0) =. L insiee delle soluzioni S è un insiee finito e, quindi, quest equzione è deterint. 0

210 Clssifichio, desso, le seguenti equzioni in se l nuero delle soluzioni: ) = di doinio D = Q ; ) = di doinio D = Z. Cso ): S = ; S è un insiee finito e, dunque, l equzione è deterint. Cso ): S = ; S non contiene lcun eleento, quindi l equzione è ipossiile. Dgli esepi precedenti, vri notto che, cindo il doinio, un stess equzione può essere deterint o indeterint, e, ncor, deterint o ipossiile. Allor, pri di clssificre un equzione in se l nuero delle sue soluzioni, è necessrio prestre olt ttenzione l doinio dell equzione stess. Se non è esplicitente indicto, si conviene considerre coe doinio di un equzione l insiee più grnde nel qule non perdno di significto le espressioni lgeriche dell equzione stess. PROVA TU ) Un equzione si dice deterint qundo ette: infinite soluzioni nessun soluzione un nuero finito di soluzioni ) Un equzione si dice indeterint qundo ette: infinite soluzioni nessun soluzione un nuero finito di soluzioni ) Un equzione si dice ipossiile qundo ette: infinite soluzioni nessun soluzione un nuero finito di soluzioni ) L insiee S = {; } è l insiee soluzione di un equzione: ipossiile indeterint deterint 9. Clssificzione delle equzioni Considerio le seguenti equzioni: ) 0 8= 7 ; ) = 0; c) = d) 6 = ; e) =. 7 Le equzioni ), c), d) non contengono ltre lettere oltre ll vriile ( o ): si dice che sono equzioni nueriche. Nelle equzioni ), e), oltre ll vriile ( o ), è presente un ltr letter: si dice che sono equzioni letterli. Nelle equzioni ), ), c) l vriile non copre i l denointore: si dice che sono equzioni intere.

211 Nelle equzioni d), e) l vriile copre l denointore delle frzioni: si dice che sono equzioni frtte o frzionrie. Si hnno, dunque, le seguenti definizioni: Un equzione si dice nueric se, oltre lle vriili, non contiene ltre lettere. Un equzione si definisce letterle se, oltre ll incognit, contiene nche ltre lettere che prendono il noe di pretri. Un equzione si dice inter se l incognit non copre l denointore dell equzione. Un equzione si dice frzionri se l incognit copre in uno o più denointori. Lo sche seguente rissue le precedenti definizioni: Equzioni intere Equzioni nueriche Equzioni frtte Equzioni Equzioni intere Equzioni letterli Equzioni frtte Esepi Clssifichio le seguenti equzioni: ) = ; ) = ; c) = 0. h ) L unic letter () presente nell equzione non copre l denointore dell frzione; l equzione è, dunque, un equzione nueric inter. ) L unic letter () presente nell equzione copre nche l denointore dell frzione; l equzione è, dunque, un equzione nueric frtt. c) Nell equzione sono presenti due lettere (, h). Si possono presentre, llor, tre csi: entre le lettere sono le vriili dell equzione: oltre queste non sono presenti ltre lettere e un di esse (h) è presente nel denointore di un frzione; l equzione è un equzione nueric frtt; l letter è l unic vriile: oltre ll vriile è presente un ltr letter (h), l vriile non copre l denointore dell frzione; l equzione è un equzione letterle inter; l letter h è l unic vriile: oltre ll vriile è presente un ltr letter (); l vriile copre nel denointore dell frzione; l equzione è un equzione letterle frtt.

212 E consuetudine indicre le vriili di un equzione con le lettere,, z. Esse, tuttvi, possono essere indicte con un qulsisi letter dell lfeto. Qulor nell equzione sino presenti lettere diverse dlle solite o vi si iguità per stilire quli sono le vriili, è opportuno specificre qule o quli lettere sono d considerre vriili. PROVA TU Coplet l seguente tell: ) 6 = ) = ) 6 = 6 ) = 6 ) = inter frzionri inter frzionri inter frzionri inter frzionri inter frzionri nueric letterle nueric letterle nueric letterle nueric letterle nueric letterle 6) inter = (vriile ) frzionri 7) inter = (vriile ) frzionri nueric letterle nueric letterle 9. Equzioni equivlenti Deterinio l insiee soluzione S delle seguenti equzioni: ) =0; ) = ; c) 9= 0; d) = 0. ) S = {}; ) S = {}; c) S = {, }; d) S = {}. Osservio che: gli insiei soluzione delle equzioni ) e ) sono uguli: le due equzioni si dicono equivlenti; gli insiei soluzione delle equzioni c) e d), invece, pur vendo un eleento in coune, [esiste, quindi, un vlore di () che le soddisf entre], sono diversi tr loro: le due equzioni non sono equivlenti.

213 Si h, llor, l seguente definizione: Due equzioni si dicono equivlenti se hnno lo stesso insiee soluzione. ATTENZIONE Esercizio trppol Stilio se le seguenti equzioni sono equivlenti: ) = ) ( ) 7= ( 9) 7( ) Coe procedio? Indichio con S e con S, rispettivente, l insiee soluzione delle equzioni ) e ). Sicurente sio in grdo di deterinre l soluzione dell equzione ): = ed fferio, con certezz, che ess è l unic soluzione. Si h, quindi: S = {}. Non ltrettnto si può dire dell equzione ); risult stnz difficile deterinre S. Coe proseguire, llor? Viene in ente di stilire se = è soluzione dell equzione ), cioè di vedere se il vlore = rende ver l uguglinz. Operndo l sostituzione, si ottiene: ( ) 7 = ( 9 ) 7 ( ) ed, effettundo le operzioni indicte, si h: 6 = 6 VERA! Il vlore = verific l uguglinz e, quindi, è soluzione dell equzione ). Possio, llor, concludere che le equzioni ) e ), vendo l stess soluzione, sono equivlenti. Ritieni che il procediento seguito si corretto? SI NO Attenzione, Esistono ltri nueri rzionli che soddisfno l equzione )? Provio: = 0 ( 0 ) 0 7 0( 0 9 0) 7 0 ( 0) = 0 = 0 VERA! = ( ) 7 ( 9 ) 7 ( ) = = VERA! = ( ) ( ) 7 = ( ) 9 ( ) 7 ( ) ( ) 8 = 8 VERA! Coe possio osservre, llor, esistono ltri nueri rzionli che soddisfno l equzione ).

214 Le equzioni ) e ), dunque, non sono equivlenti. Qul è l errore coesso nel rgionento seguito in precedenz? Stilendo che soddisf l equzione ) io solo diostrto che S, non io diostrto che è l unic soluzione dell equzione ), cioè che è l unico eleento di S. Ricordio, llor, che: per stilire se due equzioni sono equivlenti non è sufficiente verificre che le soluzioni di un sino nche soluzioni dell ltr; è, inftti, necessrio stilire che gli insiei soluzione delle due equzioni sino uguli. 9. I principi di equivlenz Considerio le seguenti equzioni: ) = (D = Q); ) 8 = (D = Q) 8 E olto fcile deterinre l insiee soluzione dell equzione ); esso è S =. Deterinre l insiee soluzione dell equzione ), invece, non è ltrettnto seplice; eppure le due equzioni sono equivlenti (fidti!). Anche l equzione 9 0= 6 (D = Q) è equivlente (fidti!) ll equzione ); sicurente, però, ess è più seplice dell equzione ). E possiile, llor, trsforre l equzione ) in equzioni d ess equivlenti, vi vi più seplici (fino ll for dell equzione )), in odo d poterne deterinre, in nier rpid, l insiee soluzione S? L rispost è ffertiv: per operre quest trsforzione st osservre due seplici regole chite principi di equivlenz. Prio principio di equivlenz Se d entri i eri di un equzione (di doinio D) si ggiunge o si sottre uno stesso nuero o un stess espressione lgeric (vente lo stesso doinio dell equzione), si ottiene un equzione equivlente ll dt. Secondo principio di equivlenz Se si oltiplicno o si dividono entri i eri di un equzione (di doinio D) per uno stesso nuero diverso d zero, o per un espressione lgeric che non si nnulli i e che non perd di significto in D, si ottiene un equzione equivlente quell dt.

215 Il prio principio di equivlenz può essere così schetizzto: Equzione inizile: ero = ero Equzione equivlente: ero ± nuero oppure espressione lgeric = ero ± Il secondo principio di equivlenz può essere, così, schetizzto: nuero oppure espressione lgeric Equzione inizile: ero = ero Equzione equivlente: ero o : nuero oppure espressione lgeric 0 = ero o : nuero oppure espressione lgeric 0 I principi di equivlenz sono conseguenz delle seguenti proprietà delle uguglinze nueriche:,, c Q : = c = c;,, c Q : = c = c., Q, c Q {0} : = =. c c ATTENZIONE Perché il nuero o l espressione lgeric per cui dividio entri i eri dell equzione deve essere divers d zero? L divisione per zero non è definit. Perché il nuero per cui oltiplichio entri i eri dell equzione deve essere diverso d zero? Osserv i due esepi seguenti. L uguglinz = è sicurente fls. Se oltiplichio entri i eri per zero ottenio 0 = 0 e l uguglinz d fls si trsfor in ver. Cos ipossiile! L equzione = è soddisftt per = ; quindi S = {}. Se oltiplichio entri i eri per zero ottenio 0 = 0 0= 0che è un identità; quindi S = Q. 6

216 E evidente che le due equzioni non sono equivlenti. Un equzione deterint si è trsfort in un identità! Perché l espressione lgeric per l qule oltiplichio entri i eri dell equzione deve essere sepre divers d zero? Considerio l equzione = 0 che è soddisftt per = ; quindi S = {}. Moltiplichio o i eri dell equzione per l espressione lgeric che ssue il vlore zero per = ; si ottiene: ( ) = ( ) (per il principio di equivlenz) ( ) ( ) 0 (rccogliento fttor coune) ( )( ) del prodotto) 0= 0 = 0 = =. L insiee soluzione è, dunque, S = {, }. 0 = 0 0 = 0 (per l legge di nnullento I due insiei soluzione sono diversi. Le due equzioni, dunque, non sono equivlenti. 9.6 For norle e grdo di un equzione Un equzione si dice ridott for norle qundo il prio ero è un polinoio Esepi (ovviente ridotto for norle) e il secondo ero è 0 (zero); cioè è del tipo P = 0 (dove l letter P indic in polinoio). L equzione = 0 è ridott for norle, perché è del tipo P(, ) = 0. L equzione = 0 non è ridott for norle, perché il prio ero 7 dell equzione non è un polinoio. L equzione = non è ridott for norle, perché il secondo ero dell equzione è diverso d zero. Ridurre for norle un equzione signific trsforrl in un d ess equivlente del tipo P = 0 (dove l letter P indic un polinoio). Per ridurre un equzione for norle, si pplicno i principi di equivlenz. Esepi Riducio for norle le seguenti equzioni: ) = ; ) t t = D= Q { 0} t ( ) 7

217 ) Poiché il secondo ero dell equzione deve essere zero; pplichio il prio principio di equivlenz ed ggiungio d entri i eri dell equzione il nuero ; si ottiene: = = 0 L equzione così ottenut, equivlente quell dt, è ridott for norle. ) Applichio il secondo principio di equivlenz e oltiplichio per t (sicurente 0) o i eri dell equzione; si ottiene: ( ) t t t = t t t t =. Applichio il prio principio di equivlenz e ggiungio d o i eri dell equzione ottenut; si h: t t = t t =. 0 L equzione così ottenut, equivlente quell dt, è ridott for norle. Si chi grdo di un equzione, ridott for norle, il grdo (coplessivo) del polinoio che copre l prio ero dell equzione. ATTENZIONE Se l equzione h un sol incognit, per deterinrne il grdo non è necessrio ridurl for norle,, dopo verl trsfort in un equzione inter d ess equivlente, il suo grdo è ugule l ssio esponente dell incognit. Esepi L equzione grdo. L equzione = 0 h grdo perché il polinoio l prio ero dell equzione h = 0 (vriili, ) h grdo perché il polinoio l prio ero dell equzione h grdo. Per deterinre il grdo dell equzione equzione inter d ess equivlente. t = è necessrio, pri, trsforrl in un t 7 Applichio, dunque, il secondo principio di equivlenz e oltiplichio o i eri dell equzione per t : ( ) t t = t t 7 t t =. 7 Il ssio esponente dell incognit è, quindi l equzione dt h grdo. 8

218 PROVA TU ) Le seguenti equzioni sono ridotte for norle? ) = SI NO 0 ) = SI NO c) = 0 SI NO ) Riduci for norle le seguenti equzioni: ) = ) z = ) Deterin il grdo delle seguenti equzioni: ) = 0; ) 0 z z = ; c) = 0 (vriili, ). 9.7 Conseguenze dei principi di equivlenz Vedio, con lcuni esepi, coe il prio principio di equivlenz ci consente di risolvere un equzione: ESEMPIO Equzione inizile: = Applichio prio principio Aggiungio i due eri = (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = 7 Applichio prio principio Sottrio i due eri = 7 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = 7 L soluzione dell equzione è = 7, quindi S = {7}. L equzione è deterint. ESEMPIO Equzione inizile: 7= 7 Applichio prio principio Sottrio 7 i due eri 77= 7 7 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. Anche quest equzione è deterint. Applicre il prio principio di equivlenz d ogni terine dell equzione può rendere lunghissio il processo di trsforzione delle equzioni; sono stte dedotte, llor, delle regole che consentono di velocizzre tle processo. 9

219 Osservio ttentente i pssggi dell esepio : il nuero è scoprso dl prio ero e coprso l secondo così coe l espressione lgeric è scoprs dl secondo ero e coprs l prio: = e = 7 M fccio ene ttenzione i segni: l prio ero c è e l secondo ; l secondo ero c è e l prio. Possio quindi fferre che qundo si eliin un terine d un ero, utilizzndo il prio principio di equivlenz, esso copre nell ltro con il segno cito. Si h, llor, l seguente regol (dett regol del trsporto): Regol del trsporto In un equzione, se si trsportno dei terini d un ero ll ltro, cindo loro il segno, si ottiene un equzione equivlente quell dt. = = = 7 Osservio, desso, il pssggio dell esepio : si può notre che nel testo il nuero 7 copre in entri i eri e dopo l ppliczione del prio principio esso è scoprso d entri i eri : 7 7 = 7 7. Possio quindi fferre che il nuero 7 è stto seplificto e forulre l seguente regol, dett regol dell cncellzione: Regol dell cncellzione o di eliinzione di terini uguli In un equzione, se si seplificno terini uguli che si trovno in entri i eri dell equzione, si ottiene un equzione equivlente quell dt. 7 = 7 = Applicndo il prio principio freo in odo d vere solo il terine con l incognit l prio ero e solo il terine noto l secondo. 0

220 ATTENZIONE Ricord che le espressioni lgeriche che utilizzio nell ppliczione del prio principio non devono ggiungere condizioni di esistenz ll equzione stess restringendone il doinio. Se, dopo ver pplicto il prio principio di equivlenz, il terine con l incognit h un coefficiente diverso d, coe possio procedere per deterinre il vlore di che soddisf l equzione? Utilizzio, tl fine, il secondo principio di equivlenz. Vedio, con lcuni esepi, coe il secondo principio di equivlenz ci iut risolvere un equzione: ESEMPIO Equzione inizile: = 9 Applichio prio principio Trsportio e = 9 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente L soluzione dell equzione è = 6, quindi S = { 6 }. L equzione è deterint. = 6 = = 6 Coe per il prio principio, nche dl secondo posso dedurre delle regole che ci perettono di risolvere un equzione. Scopriole con ltri esepi: ESEMPIO Equzione inizile: 8= 7 Applichio prio principio Trsportio e 8 = 7 8 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = Applichio secondo principio Moltiplichio tutto per ( ) =( ) (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è deterint. Possio, pertnto, fferre che per cire il segno tutti i terini di un equzione doio pplicre il secondo principio di equivlenz, oltiplicndo per tutti i suoi terini. Possio quindi forulre l seguente regol (regol del ciento di segno): Ciento di segno In un equzione, se si cino i segni di tutti i terini di entri i eri, si ottiene un equzione equivlente quell dt.

221 Ecco un ltro esepio: ESEMPIO Equzione inizile: 0 = Applichio secondo principio Dividio entri i eri dell equzione per ( ) = ( ) 0 : : (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = Applichio prio principio Trsportio e = (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente = L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è deterint. Aio potuto pplicre il secondo principio e dividere entri i eri per perché tutti i terini presentvno coe fttore coune. Possio, llor, forulre l seguente regol: Seplificzione di fttori couni Se si dividono tutti i terini dei due eri di un equzione per uno stesso fttore coune si ottiene un equzione equivlente ll dt. Finor io nlizzto esepi reltivi equzioni con coefficienti interi, coe doio coportrci in presenz di frzioni nueriche? Nuovente ci iut il secondo principio di equivlenz. Vedio coe: ESEMPIO 6 Riducio tutte le frzioni llo stesso denointore Applichio secondo principio Equzione inizile:.c.. (6; ; ) = Moltiplichio entri i eri per il denointore coune Seplifico il Equzione equivlente = 6 ( ) 6 = ( ) 6 = ( ) 6 = (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente 0= 9 Applichio prio principio Trsportio 9, e 0 9= 0 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente 7 = 8 Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè per 7 (svolgio i clcoli ) Equzione equivlente 7 8 = = 7 7 =

222 L soluzione dell equzione è =, quindi S = {}. L equzione è deterint. Dopo ver ridotto entri i eri llo stesso denointore, io pplicto il secondo principio ed eliinto tle denointore. Possio, quindi, forulre l seguente regol: Eliinzione dei denointori Se si oltiplicno entri i eri di un equzione coefficienti frzionri per uno stesso nuero opportuno (denointore coune) si ottiene un equzione equivlente ll dt con coefficienti interi. PROVA TU Nelle seguenti equzioni indic il principio di equivlenz utilizzto: ) 8= 0 = 8 principio di equivlenz ) 6 = 6 = principio di equivlenz c) = = principio di equivlenz d) 7 = = principio di equivlenz 7 Indic se le seguenti coppie di equzioni sono equivlenti: ) = = SI NO ) = = SI NO c) = 6 = 0 SI NO d) = 0 = SI NO Deterin l insiee soluzione S delle seguenti equzioni coe negli esepi precedenti: ) 6 = ) t t = 9.8 Equzioni di prio grdo in un incognit Le considerzioni fin qui svolte sono di crttere generle e vlgono per qulsisi tipo di equzione. D questo punto in poi, tuttvi, ci occupio soltnto di equzioni di prio grdo in un incognit. Se pplichio i principi di equivlenz possio sepre trsforre un equzione di prio grdo inter in un, d ess equivlente, che i un solo terine contenente l vriile l prio ero ed un solo terine noto l secondo ero.

223 Così, se indic l vriile, l equzione trsfort vrà l for = (, Z). Un equzione di prio grdo in un incognit si dice ridott for norle nche qundo si present nell for =. Un equzione di prio grdo è dett equzione linere. Un volt che l equzione (di prio grdo in un incognit) è stt ridott for norle, è fcile stilire se ess è deterint, indeterint o ipossiile. Riprendio l tell vist in precedenz ed ggiungio l for norle nei tre diversi csi. TIPO DI EQUAZIONE NUMERO DI SOLUZIONI FORMA NORMALE INSIEME SOLUZIONE Deterint L uguglinz è verifict per un nuero finito di vlori. = 0 = S = è un insiee finito Indeterint (Identità) L uguglinz è verifict per ogni vlore ttriuito ll incognit; esistono, quindi, infinite soluzioni. L equzione è un identità. = = 0 = 0 0 = 0 (sepre ver) S = Q è un insiee infinito Ipossiile Non esiste lcun vlore che soddisfi l uguglinz che, di conseguenz, non è i verifict. Quindi non esiste nessun soluzione. = = = (sepre fls) S = è l insiee vuoto Esepi: ) = deterint, ) 0 = 0 indeterint, c) 0 = 7 ipossiile PROVA TU Stilisci se le seguenti equzioni sono deterinte, indeterinte o ipossiili: ) 6= 6.. ) = 7.. c) 6= 6.. d) = ( ).. e) =..

224 Vedio or di schetizzre i pssggi necessri per risolvere un equzione linere: Equzione inizile NO Equzione con coefficienti SI Riducio llo stesso denointore entri i eri Applichio principio e seplifichio denointore coune Sviluppio i clcoli indicti Applichio principio e trsportio terini in l prio ero, terini noti l secondo Riducio for norle 0 = ( 0) Equzione ipossiile = ( 0) Equzione deterint 0 = 0 Equzione indeterint S = S = S = Q

225 Nel cso di un equzione deterint, per verificre l correttezz dell soluzione, è sufficiente controllre che, dopo ver sostituito l soluzione trovt ll incognit, l equzione si trsfor in un uguglinz ver. Esepio Risolvio in Q l seguente equzione e verifichio l correttezz dell soluzione ottenut: Equzione inizile Riducio llo stesso denointore Seplifichio il denointore ( principio) = 6 ( ) ( ) ( ) 6 = = ( ) 6 ( ) ( ) Sviluppio i clcoli = 9 Trsportio i terini ( principio) 6 = Riducio i terini siili e vluto l for norle Equzione deterint: divido per ( principio) = = Scrivio soluzione e insiee soluzione = S = { } Verifichio or l correttezz dell soluzione sostituendo d. ( ) ( ) ( ) 0 = = = = 6 6 L ulti uguglinz ottenut è ver; l soluzione trovt, dunque, è corrett. PROVA TU Risolvi in Q le seguenti equzioni e, ove possiile, verific l correttezz dell soluzione ottenut: ) ( ) = ( ) S = { } ) ( ) = ( )( ) 0 S = { 0} ) = ( )( ) S = Q ) 8 7 = ) 7 = 6 6 S = S = { 60}

226 9.9 Equzioni frzionrie (o frtte) Finor io risolto solo equzioni nueriche intere, or vedio coe procedere per deterinre le soluzioni di equzioni nueriche frzionrie. ATTENZIONE Ricord: equzione frzionri non signific che i coefficienti sono frzioni che l incognit copre l denointore. Ad esepio le seguenti equzioni sono equzioni frzionrie 8 = = ; ; non è, invece, un equzione frzionri l equzione = Alcuni dei terini delle equzioni frzionrie sono frzioni lgeriche e, quindi, tli terini perdono significto per i vlori che nnullno i denointori. E, dunque, necessrio, pri di eseguire qulsisi trsforzione dell equzione dt, deterinre le condizioni di esistenz (C.E.) delle frzioni lgeriche che vi copiono e, quindi, quello che viene chito doinio D dell equzione. Si chi doinio D di un equzione frzionri l insiee forto d quei vlori per i quli tutti i terini dell equzione non perdono di significto. Il vlore d ssegnre ll incognit, ffinchè poss essere considerto soluzione dell equzione frzionri, deve pprtenere l doinio dell equzione. Con prticolre riferiento lle equzioni frzionrie, è iportnte ricordre che: in un equzione l insiee soluzione S dell equzione è un sottoinsiee del doinio dell equzione stess. In sioli S D. Dl oento che sppio risolvere equzioni nueriche intere, per risolvere un equzione frzionri doio, pri di tutto, trsforrl in un equzione nueric inter d ess equivlente e, successivente, pplicre il procediento visto nel prgrfo precedente. Quli sono i pssggi che perettono quest trsforzione? Deterinio il inio coune ultiplo fr i polinoi che copiono l denointore delle frzioni lgeriche presenti nell equzione: esso srà il loro denointore coune. Riducio tutte le frzioni lgeriche llo stesso denointore. 7

227 Deterinio il doinio dell equzione iponendo che ciscun fttore non nuerico del.c.. si diverso d zero. Applichio il principio di equivlenz: oltiplichio o i eri dell equzione per il loro denointore coune e seplifichio il denointore. A questo punto l equzione è inter e sio in grdo di trovrne l soluzione. Tuttvi, possio essere sicuri che l soluzione dell equzione nueric inter ottenut si nche soluzione dell equzione frzionri inizilente ssegnt? Se l equzione inter ottenut è deterint, doio stilire se l su soluzione pprtiene l doinio dell equzione; se vi pprtiene, ess è nche soluzione dell equzione frzionri; se, invece, non vi pprtiene, l equzione è ipossiile. ATTENZIONE Se l equzione frzionri è indeterint, l insiee soluzione non è Q ensì il doinio D dell equzione perchè vnno esclusi i vlori che nnullno i denointori. Esepi 8 Esepio Equzione inizile = Scoponio in fttori = i denointori ( ) ( )( ) Deterinio il.c.. e riducio llo stesso denointore Deterinio doinio il ( ) = ( )( ) ( )( ) Scrivio il doinio D D = Q { ; 0;} Applichio principio e seplifichio il denointore Riducio for norle Vlutio ccettilità soluzione ( )( ( ) ) = ( )( ) ( )( ) = = = = D? Sì, perché i vlori che D sono ; 0; Insiee soluzione S= { } ( )( )

228 Esepio t t Equzione inizile = t t t Scoponio in fttori t t = i denointori ( t )( t ) t ( t )( t ) Deterinio il.c.. e riducio llo stesso denointore Deterinio doinio il t t 8 t t t 8 t t = = t t t t t t t t t t t t ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) t t t 0 t 0 t 0 t 0 t 0 t t Scrivio il doinio D D = Q { ;0; } Applichio principio e seplifichio il denointore Riducio for norle e deterinio t Vlutio ccettilità dell soluzione Insiee soluzione t t ( )( t ) t 8 t( t )( t ) t( t )( t ) = = t 8 t t t t ( )( t ) t t t = 8 t = D? No, perché è uno dei vlori esclusi dl doinio S = Esepio Equzione inizile ( ) Riducio llo stesso denointore Deterinio il doinio ( ) ( ) = = = = 0 Scrivio il doinio D D= Q { } Applichio principio e seplifichio il denointore Riducio for norle Insiee soluzione ( ) = ( ) ( ) ( ) = 0 = 0 S = D 9

229 Vedio or di schetizzre i pssggi necessri per risolvere un equzione frzionri: Equzione inizile Scoponio i denointori Deterinio il.c.. Riducio llo stesso denointore entri i eri Ponio ciscun fttore (non nuerico) 0 Deterinio il doinio D Applichio il principio e seplifichio i denointori Riducio for norle 0 = = 0 = 0 0 ( 0) ( ) Equzione ipossiile = Equzione indeterint S = NO D? S = D SI S = SI 0

230 PROVA TU Risolvi in Q le seguenti equzioni: ) 8 = S = Q { } ) = S = ) 6 = 8 S = 9.0 Equzioni letterli Coe io già osservto, un equzione si dice letterle se in ess copiono, oltre ll incognit, ltre lettere. I coefficienti e il terine noto vrino, quindi, second dei vlori ssunti d tli lettere quindi dovreo individure per quli di questi vlori l equzione srà deterint, indeterint o ipossiile. Vedio, desso, con lcuni esepi, coe si procede per deterinre l soluzione di equzioni letterli intere. Esepi Equzione inizile (ridott for norle) Deterinio i vlori di che non nnullno il coefficiente di Sostituio d il vlore per il qule si nnull il coefficiente di Soluzione dell equzione Esepio ( ) = 6 ( Q ) 0 0 = 6 0 = Se Q { } DISCUSSIONE Se, pplichio il principio di equivlenz: 6 6 = S = (Equzione deterint) = S = (equzione ipossiile) 6 S = Se { } ( = ) S =

231 Esepio Equzione inizile (ridott for norle) il coefficiente di non dipende dll letter Soluzione dell equzione = DISCUSSIONE Applichio il principio di equivlenz: = Q Q, S = (equzione deterint) S = Esepio Equzione inizile (ridott for norle) 9 = ( ) ( Q ) Condizione sul denointore 0 Deterinio i vlori di che non nnullno il coefficiente di ( ) ( ) DISCUSSIONE Se = l equzione perde significto Se 0 l equzione è deterint. Applichio il principio di equivlenz: ( ) = ( ) = S = ( ) ( ) Sostituio i vlori per i quli si nnull il coefficiente di = 0 0 = 0 = = 0 = 0 = 0 0 = 0 S = equzione ipossiile = S = Q equzione indeterint Soluzione dell equzione Q {,0,} { } ( ) S = ( ) = Equzione perde significto { 0} ( 0) = S = { } ( ) = S = Q

232 Esepio Equzione inizile ( ) = ( ), ( Q ) DISCUSSIONE Riducio for norle Deterinio i vlori di che non nnullno il coefficiente di = = (operio il rccogliento fttor coune) = ( ) ( )( ) Sostituio d i vlori = 0= 0= per i quli si nnull il coefficiente di = 0= 0 = 0 Soluzione dell equzione se Q {, } Se ±, pplichio il principio di equivlenz: = ( ) ( ) (equzione deterint) se = S = (equzione ipossiile) se = S =Q (equzione indeterint) S = se { } ( = ) S = se { } ( = ) S = Q Esepio Equzione inizile (ridott for norle) Deterinio l relzione fr h e per l qule non si nnull il coefficiente di Sostituio d h () il vlore per il qule si nnull il coefficiente di Soluzione dell equzione ( ) h = 7h (vriile ) DISCUSSIONE h h 0 h se h, pplichio il o, in nier equivlente, principio di equivlenz: h 7h h 0 = h (equzione deterint) se h= 0 S= (equzione ipossiile) h= 0 = se h= = 0 = 0 h= 0 0 = 0 S=Q (equzione indeterint) 7h se h S = h h= 0 S = = 0 h= 0 S = Q

233 Il procediento seguito per risolvere le precedenti equzioni letterli prende il noe di discussione dell equzione. Tle procediento può essere, così, sintetizzto (ovviente, se è l vriile dell equzione): se necessrio deterinio le C.E. rispetto l pretro; l equzione perde significto per i vlori del pretro che nnullno i denointori; riducio l equzione in for norle = ; vlutio i vlori del coefficiente di, cioè, e del terine noto ; l equzione è deterint per i vlori che rendono il coefficiente 0 (indipendenteente di vlori che può ssuere ); l equzione è ipossiile per quei vlori che rendono il coefficiente = 0 e 0; l equzione è indeterint per quei vlori per i quli = 0 e = 0. ATTENZIONE Risolvere un equzione letterle non signific stilire qule si l insiee soluzione soltnto nel cso in cui ess risulti deterint, vuol dire deterinrne l insiee soluzione nlizzndo tutti i possiili vlori ttriuiili lle lettere che in ess copiono. PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: t = ) ( ) = ) ( ) ) ( ) = Le equzioni che io iprto risolvere negli esepi precedenti sono equzioni letterli intere;, coe si procede per risolvere un equzione letterle frzionri? In questo cso ll nostr discussione doio ggiungere ulteriori considerzioni. Inftti un volt trovt l soluzione, nel cso di equzione deterint, dovrò escludere i vlori del pretro che rendono tle soluzione ugule i vlori che non pprtengono l doinio dell equzione.

234 Esepio Risolvio l equzione = Equzione inizile Deterinio il.c.. e riducio llo stesso denointore Deterinio doinio il Applichio principio e seplifichio il denointore Riducio for norle Deterinio i vlori di che non nnullno il coefficiente di Stilio i vlori di per i quli D ( = 0, = ) Sostituio il vlore per il qule si nnull il coefficiente di Soluzione dell equzione ( ) ( ) = DISCUSSIONE ( ) ( ) ( ) ( ) = = ( ) { } 0 D= Q ;0 ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) = = 0 = 0 = = = = 0 = Q {, } {, } ( ) se, pplichio il principio di equivlenz: = = (l equzione può essere deterint) se =, S = (equzione ipossiile) se = (equzione deterint) Se = S = (equzione ipossiile) S = = = S = PROVA TU Risolvi l seguente equzione: =

235 9. Equzioni in un incognit di grdo superiore l prio Considerio le seguenti equzioni, già ridotte for norle: ) t = 0; ) = 0; c) = 0 E evidente che esse sono equzioni nueriche intere, non di prio grdo; il loro grdo è ggiore di uno. Sreo, llor, in grdo, di risolverle? Ci provio! Poiché sppio risolvere soltnto equzioni di prio grdo, ncor un volt doio cercre di operre delle trsforzioni in odo tle che, dlle equzioni ssegnte, ci si poss ricondurre d equzioni di prio grdo. L pri cos d fre è quell di riscrivere i polinoi prio ero dell equzione in odo che in essi copino polinoi di prio grdo; quest operzione l possio fre edinte l scoposizione in fttori. Esinio, llor, le equzioni un ll volt: ) ) t = (scoponio in fttori) ( t ) ( t )( t ) 0 = 0 = 0. Il prio ero dell equzione ottenut è il prodotto di più fttori; doio, llor, deterinre i vlori di t che nnullno questo prodotto. Applichio l legge di nnullento del prodotto: ( t )( t ) = 0 t = 0 t = 0 Aio, così, ottenuto due equzioni di prio grdo che sio in grdo di risolvere; si ottiene: t = 0 t = 0 t = t = L ulti proposizione pert ottenut è un proposizione olecolre con l operzione di disgiunzione inclusiv; ricordio, llor, che ll operzione vel tr proposizioni perte corrisponde l operzione di unione fr i rispettivi insiei di verità. L insiee soluzione dell equzione è, dunque, dto dll unione dei due insiei soluzione delle equzioni di prio grdo; quindi, S = {,}. = 0 (scoponio in fttori) ( )( ) = 0. Il prio ero dell equzione così ottenut è il prodotto di due fttori; doio, llor, deterinre quei vlori che nnullno tle prodotto. Applichio, dunque l legge di nnullento del prodotto: ( )( ) = 0 = 0 = 0 Risolvio le equzioni di prio grdo ottenute: = 0 = 0 = = 6

236 Ricordndo qunto osservto nell esepio ), si h che l insiee soluzione dell equzione è dto dll unione dei due insiei soluzione delle equzioni di prio grdo; quindi, S = {,}. c) = 0 [scoponio in fttori (rccogliento przile o usndo il teore del resto)] ( )( ) = 0. Il prio ero dell equzione ottenut è il prodotto di due polinoi; di questi solo uno è di prio grdo. Applicndo l legge di nnullento del prodotto, si ottiene: ( )( ) Risolvio le equzioni di prio grdo ottenute: = 0 = ; = 0 = 0 = 0. = 0 [il prio ero è l so fr un terine non negtivo ( 0) ed uno positivo] S =. Ricordndo qunto osservto nell esepio ), si h che l insiee soluzione dell equzione è dto dll unione dei due insiei soluzione delle equzioni; quindi, S = { }. PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: ) 0= 0; ) z 7z 8= 0; c) = 0 ATTENZIONE Aio già visto che per deterinre l insiee soluzione di lcune equzioni non è necessrio pplicre procedienti generli, è sufficiente porre ggiore ttenzione e riflettere sull for dell equzione stess. Esepi ) Qul è l insiee soluzione dell equzione =? E un equzione nueric inter di qurto grdo e non conoscio procedienti o regole che consentno di risolvere equzioni di questo tipo. Osservio, tuttvi, il prio ed il secondo ero dell equzione: prio ero: indic l so di due terini non negtivi, quindi sicurente è sepre non negtivo; 7

237 secondo ero: è un nuero negtivo. E ovvio, questo punto, che un nuero non negtivo non poss essere i ugule d un nuero negtivo. L equzione, dunque, è ipossiile e, quindi, S =. ) Qul è l insiee soluzione dell equzione z 7 0 =? 8 Anche quest equzione è un equzione nueric inter di secondo grdo, h due vriili (, ); fino d or non io i incontrto equzioni di questo tipo. Ancor un volt gurdio con olt ttenzione il prio ed il secondo ero dell equzione: prio ero: z indic l so di tre terini dei quli due ( z e sicurente non negtivi ed il terzo (7) ggiore di zero; tle so, perciò, è positiv qulunque sino i vlori ttriuiti lle vriili; secondo ero: 0. E ovvio che un nuero positivo non potrà i essere ugule zero. Non esiste, dunque, lcun coppi di nueri rzionli che rende ver l uguglinz. L equzione è ipossiile e, quindi, S =. c) Risolvio l equzione = 0. L equzione propost non è riconduciile d lcun delle equzioni che io iprto risolvere in questo cpitolo; in ess è presente il siolo di vlore ssoluto di un nuero. se 0 Ricordio che = 0, Q se < 0 Il terine è, quindi, non negtivo. Ancor un volt, osservio ttentente o i eri dell equzione: prio ero: indic l so di un terine non negtivo ( ) e di un terine positivo (); tle so, perciò, è positiv qulunque si il vlore ttriuito ll vriile; secondo ero: 0. Coe negli esepi precedenti, un nuero positivo non potrà i essere ugule zero. L equzione, dunque, è ipossiile e, quindi, S =. Consiglio Per deterinre l insiee soluzione di un equzione, tlvolt, non è sepre necessrio pplicre regole e procedienti generli, tlvolt st osservre con olt ttenzione l su for. PROVA TU Risolvi le seguenti equzioni: ) = 0; ) 9= 0; c) = 0 )

238 9. Equzioni e prolei In olti iti, non solo in quello tetico, possio trovre dei prolei che si risolvono fcilente con l uso delle equzioni: in questi csi si costruisce il odello tetico del prole. Anche per l costruzione del odello tetico possio seguire un seplice sche: Cos i chiede il prole?. Individure l richiest del prole Qule quntità posso indicre con?. Scegliere l incognit (richiest) Quli vlori può ssuere?. Porre condizioni ccettilità o doinio del prole Quli eleenti dipendono d?. Scrivere ltri eleenti in funzione di Qule relzione i consente di trovre?. Ipostre equzione risolvente Deterino il vlore di 6. Risolvere l equzione Posso ccettre il vlore che ho trovto? 7. Controllre ccettilità dell soluzione Scrivo l rispost l prole 8. Scrivere insiee soluzione o rispost Applichio or il nostro sche d un siptico prole: Cunegond, snt di professione e tetic per diletto. Un poveretto vev pochi soldi. Allor pregò Snt Cunegond che gli rddoppisse i denri, in cio egli vree donto 8 d un ltro povero. Snt Cunegond esudì i suoi desideri ed egli diede 8 d un povero. Visto che l cos funzionv, il poveretto ripregò Snt Cunegond che gli rddoppisse i denri: in cio egli vree donto ncor 8 d un povero. Snt Cunegond lo esudì ed egli ntenne l prol. Non contento, si rivolse di nuovo Snt Cunegond per frsi rddoppire i denri; in cio vree donto ltri 8 d un povero. Snt Cunegond lo esudì ncor ed egli donò 8 d un povero. M, in questo odo, il poveretto si ritrovò senz un euro. Qunti soldi vev ll'inizio? Seguendo lo sche descritto in precedenz, costruio il odello del prole. 9

239 . Individure l richiest del prole Cpitle inizile (denro). Assegnre incognit (richiest) = cpitle inizile. Porre condizioni ccettilità Q (nuero positivo, eventulente decile). Scrivere ltri eleenti in funzione di = denro rddoppito Dopo l pri volt egli rddoppi il cpitle (), dà 8 d un povero per cui il cpitle risto è 8. Ipostre equzione risolvente Dopo l second volt il cpitle risto è ( 8) 8 Dopo l terz volt il cpitle risto è [( 8) 8] 8 6. Risolvere l equzione M sppio che questo punto è risto... l verde, dunque [( 8) 8] 8 = 0 [ 6 8] 8 = = 0 8 = 6 = 7 7. Controllre ccettilità dell soluzione 7 Q, quindi, l soluzione è ccettile 8. Scrivere insiee soluzione o rispost S = {7} oppure (Rispost) Il poveretto, inizilente, vev 7 PROVA TU Risolvi questi prolei di divers tipologi dopo verli forlizzti trite equzione: ) L so di due nueri pri consecutivi è 0. Deterin i due nueri. [ ;6 ] ) L età di un pdre è tripl di quell del figlio e l loro differenz è di 6 nni. Clcol le due età. [ 9; ] c) Il contenuto di due recipienti pes coplessivente 80 Kg. Se si spostno Kg d un recipiente ll ltro, i due recipienti hnno lo stesso peso. Clcol il peso, in g, del contenuto di ciscun recipiente. [ ;] d) I cteti di un tringolo rettngolo sono uno doppio dell ltro e l loro so isur c. Deterin l isur delle due diensioni. [; 8] e) Il perietro di un rettngolo isur 0 e l se è i dell ltezz. Clcol le diensioni, in, dei due lti. [ ;] 0

240 ESERCIZI CAPITOLO 9 Equzioni Conoscenz e coprensione ) Che cos si intende per uguglinz? E per disuguglinz? ) Di l definizione di identità e di equzione in tutti i odi che conosci. ) Che cos si intende per soluzione di un equzione? ) Che cos è il doinio di un equzione? ) Che cos è l insiee soluzione di un equzione? 6) Coe puoi clssificre le equzioni in se lle sue soluzioni? 7) Vero o Flso? ) Un equzione deterint h un sol soluzione. V F ) Un equzione indeterint h leno due soluzioni. V F c) Un equzione indeterint h un nuero finito di soluzioni. V F d) Un identità è un equzione indeterint. V F e) Un equzione indeterint è un identità. V F f) Un equzione ette sepre leno un soluzione. V F g) Si D = { Z / 0 } < < il doinio di un equzione; se S = D V F l equzione è indeterint. 8) Qule dei vlori finco indicti è soluzione di ciscun delle seguenti equzioni? ) = = ; = ; = ; 0 ) ( )( ) 6 ( ) = = = 6; = ; = ; = c) t( t ) = ( t )( t ) t = ; t = ; t = ; t = 9) Un sol delle seguenti equzioni non è rzionle; qule? ) ( ) = ; ) s = s ; c) ( t ) = t; d) = ; =. e) ( )

241 0) Coe puoi clssificre le equzioni in se ll loro for? ) Coplet l seguente tell coe nell esepio dell pri rig: EQUAZIONE NUMERICA LETTERALE INTERA FRATTA t = 0 0 = = p = (vr. ) p p = p (vr. p) = ) L equzione = è: ) nueric inter; ) letterle inter; c) nueric frtt; d) letterle frtt; e) non può essere clssifict. ) Un sol delle seguenti proposizioni è ver. Qule? ) Un equzione con leno due lettere è sicurente un equzione letterle. ) Se in un equzione copiono delle frzioni, l equzione è frzionri. c) Se in un equzione leno un letter è presente l denointore, l equzione è sicurente frzionri. d) Un equzione nell qule copre un sol letter è sicurente un equzione nueric. e) In un equzione inter non sono presenti coefficienti frzionri. ) L insiee S = { } non è l insiee soluzione di un sol delle seguenti equzioni. Qule? ) 8= 0; ) ( s )( s ) s( s ) 6= 0; c) ( ) = ; d) e) t = t ; t 6= t

242 ) Qundo due equzioni si dicono equivlenti? 6) Si E l insiee di tutte le equzioni; verific che l relzione essere equivlenti definit nell insiee E è un relzione di equivlenz. 7) Le seguenti equzioni sono equivlenti? ) 8= ; = SI NO = ; = SI NO ) ( ) c) z z = z; = 8 SI NO d) t t = t ; z z = z SI NO e) = ; = SI NO 8) Qule delle seguenti equzioni è equivlente ll equzione 6= 0? ) = 0; ) = ; c) z = 8; d) 6 = ; e) t = 0. 9) Che cos ffer il prio principio di equivlenz? E il secondo? 0) Qule principio si pplic per cire di segno tutti i terini di un equzione? ) Qule principio si pplic per spostre un terine d un ero ll ltro di un equzione? ) Delle equzioni ) sono equivlenti nell insiee Q; = e ( )( ) ( ) ) sono equivlenti nell insiee A = { } = si può dire che: Q ; c) sono equivlenti nell insiee A = Q { } ; d) sono equivlenti nell insiee A = Q { } ; e) sono equivlenti nell insiee A = { } Q 0,. ) Le equzioni t t t t = e = 6 ) sono equivlenti Q ; ) sono equivlenti { } Q ; c) sono equivlenti { 0} Q ; d) sono equivlenti { } Q ; e) non possono essere i equivlenti.

243 ) Qundo un equzione si dice ridott for norle? ) Coe procedi per deterinre il grdo di un equzione? 6) Coplet l seguente tell coe nell esepio dell pri rig: 0 EQUAZIONE GRADO TERMINE NOTO = 7 = 0 = = 0 t t 8t = t 7 = ( ) z = z z 7) Vero o Flso? ) Se un equzione è ridott for norle, i suoi coefficienti sono interi. V F ) Il grdo di un equzione ridott for norle è ugule l ggiore V F degli esponenti che in ess copiono. c) Un equzione frtt non è ridott for norle. V F d) Se tutti gli esponenti delle lettere di un equzione sono uguli d, V F l equzione è sicurente di prio grdo. 8) Un sol delle seguenti equzioni è di secondo grdo. Qule? ) = ; = ; ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) = ( ) ; = ; d) ( )( ) e) ( z )( z ) =. 9) Le seguenti proposizioni si riferiscono ll equzione ( ) = : ) se l equzione è di secondo grdo, l su vriile è l letter. V F ) se l equzione è di terzo grdo, è un equzione nueric. V F c) il suo grdo è sepre ggiore di. V F

244 0) Dell equzione = 0 si può dire che: ) è ridott for norle; ) è di prio grdo; c) h per soluzione = ; d) è un equzione ipossiile; e) è un equzione deterint. ) Dell equzione = 0 si può dire che: ) è equivlente ll equzione t = 0; ) è definit per qulsisi vlore di ; c) h un sol soluzione; d) è ridott for norle; e) h più di due soluzioni. ) Si S l insiee soluzione dell equzione ( ) ( )( ) =. Allor: ) S N; ) S Z ; c) S Z = ; d) S = ; e) S = Q ) Il doinio D dell equzione 0 = ) D = Q; ) D = { 0,} Q ; è: c) D = { 0} Q ; d) D = Q {, 0} ; e) D = Q { 0,, } ) Qunte sono le soluzioni dell equzione ( ) ( ) ( ) ( ) coe doinio l insiee D = { Z / < < } ) 0; ) ; c) ; d) più di due, in nuero finito; e) infinite = vente ) Per qule vlore del pretro l equzione 6( ) ( ) ( )( ) ipossiile? = è ) 7 = ; ) Q,S ; c) = 7 ; d) = e) = 7

245 6) Le seguenti fferzioni si riferiscono ll equzione ( ) ( ) ( )( ) Soltnto un di esse è fls; qule? ) è un equzione di prio grdo; ) è un equzione deterint; c) non h soluzioni in N; d) h un sol soluzione; e) h soluzioni in Q. 7) Per qule vlore del pretro l equzione ( ) ) = 0; ) = ; c) =. = è indeterint? = ; d) 8) Solo due, fr le seguenti equzioni, sono fr loro equivlenti. Quli? = ; e) = ) = 0; ) h h = 0 ; c) 6 = 0 ; 6 d) = 0 ; e) s = 0. 9) Solo un delle seguenti equzioni non è equivlente lle ltre, qule? ) = 0; ) h h = 0 ; c) s s 0 = ; 6 d) = 0 ; e) t t = ) Per qule vlore del pretro le equzioni sono equivlenti? ) per nessun vlore di ; ) = ; c) = e = ( ) = ; d) = ; e) =. ) Se si sottre dll qurt prte del successivo di un nuero intero il doppio del precedente del triplo del nuero stesso, si ottiene 8. Qule, fr le seguenti equzioni, è l forlizzzione tetic dell frse precedente? 8 = ; ) ( ) = 8 ; ) ( ) 8 = ; c) ( ) ( ) d) = 8; 8 = e) ( ) ( )

246 ESERCIZI Stilisci se le seguenti uguglinze sono delle identità: ) = ( ) ) ( p ) ( p ) = ( p ) ) ( ) s t s 7t = s t s 7t ) ( )( ) = ) ( ) ( )( ) = ( ) 6) ( h )( h )( h ) = h 7) ( f g)( f g)( f g) = ( f g) Riduci for norle le seguenti equzioni: 8) = 6 ; z z = z z ; = 8 q q q = q; 9) ( ) ( ) ; t t t = = Dopo verle ridotte for norle, deterin il grdo delle seguenti equzioni: 0) = ; ( ) ( ) = ( ) g g ) = g g ; ( p ) 6p( ) ( p) = (vriili, p) ) = (vriili h, ); = (vriile ) h h Associ d ogni equzione quell, fr quelle sottoelencte, d ess equivlente indicndo qule principio di equivlenz è stto pplicto: ) = 7 ) 6 = ; ) 6 = 8; c) =. ) = ) = 0 ; ) = ; c) =. ) 7= ) 7 = ; ) 8 7= ; c) 7 =. 6) ) = 6 = 6 ; ) = 6 ; c) = 6. 7

247 A finco di ciscun equzione, scrivine un d ess equivlente: 7) 7 =. 8) 7 = 8. 9) z = z. p = p p. 0) ( ) ( ) ) = ) ( ) ( ) ( )( ).. =.. Scrivi, per ciscun delle seguenti equzioni, due equzioni d ess equivlenti ottenute pplicndo il prio principio di equivlenz: ) ) 7 g = g )..; ).. = )..; ).. ) t = t 6) )..; ).. = )..; ).. Scrivi, per ciscun delle seguenti equzioni, due equzioni d ess equivlenti ottenute pplicndo il secondo principio di equivlenz: 7 7) = )..; ).. 8) h = )..; ).. 9) q = q )..; ).. 0) 6 = )..; ).. 8

248 ) Per ciscuno degli insiei S = { 6}, S = { }, S { 0} =, S = { }, S { } =, S {,} 6 =, 7 scrivi quttro equzioni di cui essi sino l insiee soluzione. ) Nelle seguenti telle sono risolte lcune equzioni. Giustific, nell pri colonn, i pssggi eseguiti indicndo qule principio di equivlenz è stto pplicto (coe negli esepi di pg. 7 e succ.): EQUAZIONE = 6 6 = 6 6 = = = S = { } EQUAZIONE = 7 = 7 = = = S = { } EQUAZIONE = = = = = = 9 ( ) = 9 9 = S = { } 9 9

249 ) Stilisci, per ciscun delle seguenti equzioni, se i nueri finco indicti ne sono soluzione: ) 6 = = ; = ; = ; = ) = = ; 6 0 6) ( t ) ( t) 7) 8) Esepio = ; = t = ; t = 0 ; = z = ; 6 z 6z 8z 0 = Deterin per qule vlore del pretro l equzione vlore z =. = ; z = ; z = ; = ; = ; = ; z z 0 = t = ; t = z = = = h per soluzione il Poichè z = è soluzione dell equzione, il vlore, sostituito ll vriile z, rende ver l uguglinz. Operio, dunque, l sostituzione; si ottiene: ( ) = = 0 9 = 0 Aio, così, ottenuto un nuov equzione nell vriile ; risolvio tle equzione: 9 = 0 = 9 Il vlore 7 7 = = 9 7 =, così deterinto, è l rispost l quesito proposto. Deterin per qule vlore del pretro le seguenti equzioni hnno coe soluzione il vlore finco indicto: 9) 0) t t = 0 t = h h h = 0 h = s s = s s = ) ( )( ) = 9 = ) ( )( ) ) ( t) ( t) t( t) = t = ) 0 = =

250 Equzioni nueriche intere Risolvi, nell insiee Q, le seguenti equzioni ed esegui l verific: = ) ( ) 7 = 6) ( ) 7) ( )( ) ( ) = ( ) 8) ( ) ( ) ( ) = 6 9) ( t ) t( t ) t( t ) 6 = 0) ) = z z z z = ) ( )( ) ( ) ( ) t t t = t ) s s s = 8 Risolvi, nell insiee finco indicto, le seguenti equzioni: ) ( ) ( ) = (in Z) t t ) t = (in N) 6) ( )( ) ( ) = 8 (in Z ) 7) 7( ) ( ) ( ) ( ) = (in Q) = 6 (in Q ) 8) ( )( ) z z 9 = z 6 (in N 0 ) 9) ( ) ( ) 60) ( )( ) ( ) ( ) s s = s s (in Z ) 6) ( w ) w( w ) w( w)( w ) 6 = (in Z {0}) 6) = (in A = { N /< 0} ) ( ) 6) ( ) = ( ) in A= { Q / 0 < < } ( ) 6) ( ) ( )( ) = ( )( ) in A= { Z / < < 0} 6) ( )( ) ( 6)( 6 ) = 0 ( in A= { Q / < < } )

251 Risolvi, nell insiee Q, le seguenti equzioni otivndo ciscuno dei pssggi eseguiti: S = { } 7 = S = { 8} = z 8 S = { } 66) t = t 67) ( )( ) 68) z 69) ( ) 0( ) 6 = S = { } 70) ( ) = ( ) [ S = Q ] 7) 6 = ( ) S= { } 7) = ( )( ) S= { } 7 = S = { 6} 6 = S = { } p p p p = S = { 7} 7 7 = S = { } 7) ( ) 7) 8s 6 s ( s ) 0 7) ( ) 76) t t ( t t) t( t ) 77) ( ) = ( )( ) ( ) [ S = ] 7 Risolvi le seguenti equzioni: 78) = ; z z 79) 7 = ; ( ) = S= { }; S= { 8} = S = { 7 }; S= { } 80) = 7( ) ; ( ) 9 7 8) 8 t = t 7 t; s 6s s 8) 6 = 7 ; h 7 h 6 7 7h 6 = S = { }; S= { 0} = S { } = S = { 7 }; S= { } = ; S= Q 7 8) ( )( ) = S= { }

252 8) ( ) ( ) = S= {} ; S= { } 0 = S= {} ; S= { } 9 = 6 S= {} ; S= { } = S = { }; S= { } = ; p 7 p p 8) ( ) = ; ( ) 6 86) ( ) = ( ) ; ( )( ) ( ) = ; 87) w ( w ) z z z 8 88) ( ) = 6 9 [ S = Q ] 89) ( z ) z ( z ) = ( z ) [ S = ] 90) q q q q 0 6 = S = { } ( ) 9) ( ) = ( ) S = { } 9) ( ) = ( ) S= { } 9) ( ) ( ) = ( ) [ S = ] = S = { } 9) ww ( ) w w ( w ) 9) ( )( ) ( )( ) = S= { } 96) ( h ) ( h)( h ) = h( h) ( h ) [ S = Q ] = S = { } 97) ( ) ( ) t t t 6t t t t 98) ( ) ( ) = 7 ( ) 99) ( ) ( ) ( ) 00) ( ) ( ) 8 7 [ S = ] = { } 7 S = 6 7 = S = { } = S = { } = S = { } 0) ( z ) ( z ) 8z( z ) ( z ) ( z )( z) 0) 0

253 0) 0) 6 = [ S = Q ] g g 8 g = 0 S = { } 0) ( ) 8 = 6 [ S = Q ] = { } S = 06) ( h ) 6h 7 h ( h) 07) ( d ) ( d ) d ( 8d) d 9 = S = { } 08) ( ) = 7 ( 6) 09) 0) z 6 z z 6 6 [ S = ] = [ S = Q ] = = 0 S= { } 6 ) ( s )( s ) s ( s ) s s 7 = ) ( ) ( ) { } S= 6 = 0 S= { } S = { } ) ( t ) ( t) ( t ) t = t( t t) ( t ) ) ( d ) ( d ) ( d )( d ) 7 = S = { } d 6 8 = 0 S = { 7} 8 6 = { } 9 S = 9 = 0 S = { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7) ( ) 8) ( )( ) ( ) ( 0) ( ) 9) = [ S = ] ( w )( w ) ( w ) ( w ) = { } S = w w = 0) ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ) 9 = 6 6 [ S = ] [ S = Q ]

254 Equzioni nueriche frtte Risolvi le seguenti equzioni: ) ) ) ) 6) = t t t 6 t S = 7 { } = S= { 7} = = S = 6 S = { } h = h 0 S = { } = 0 S = { 6} h h 7) 8) 9) 0) = ( ) 7 = 9z z = 9z z z ) = 6 ) = [ S = ] [ S= D] { } S= [ S = ] S = { } w w w = S = { } ) w w w w ) ) 6) 7) 8) z z = 0 z z z z ( ) ( )( ) = 6 ( d ) ( d ) ( d)( d ) = d d d d ( ) = 9 9 ( s )( s) 9s( s ) s = 0 s 9s s 7s [ S = ] { } S= 0 [ S = ] [ S= D] { } S= 0

255 9) 0) ( )( ) = S = { } 0 6 p p p = p p p ) = t ) = t t 9t 6 ) = [ S= D] { } S= [ S = ] S = { 0} h 0h = S = { } ) h 7 h h h 6h h ) 6) 7) 8) ( )( ) = 9 : = [ S = ] 8 S = { } = ( ) [ S = ] s s8 ( s )( s9) 0 = S = { } s s s s s s 6 9) = 0 9 0) ( )( ) = [ S = ] S = { 7 } z 8 8 = 0 z z z z8 z z z 8z ) ) w w w 8w w 7w 6 = 0 w w w w 9 9w 6w [ S= D] S = { 8} ) ) v v v = v v v v 9 ( t ) t t t = t t t t [ S = ] { } S= 8 0 ) = g g g g g g g [ S = ] 6

256 6) 7) 8) 9) 8 = d d d = d ( d ) = r r r r = r r r { } S= 0 [ S = ] S = { } [ S= D] Equzioni letterli intere Risolvi le seguenti equzioni rispetto ll vriile indict: l l = (vr. l) 60) ( ) ( ) l l = (vr. ) 6) ( ) ( ) l = 7 7 = l 6) c c 6) c c 6) ( h ) 6) ( h ) 66) ( ) 67) ( ) c 0 S = ; 0 S= c = (vr. ) c Q {} { } c {} = (vr. c) Q {} { } {} S = ; S= = h (vr. h) Q {} S = { }; {} S= h = h (vr. ) h Q { } S = { }; h { } S= h 6 = ( ) (vr. ) Q {} S = { }; {} S= = ( ) (vr. ) Q { 6} S = { }; { 6} S= 6 = (vr. ) s Q { } {} s { } 68) ( s ) s( ) s s s s 69) ( ) ( ) S= ; S= Q S = ; S= Q = (vr. s) Q {} { } {} 7

257 70) 7) 7) 7) 7) 7) 76) sh v 0 S = ; 0 S= h v = (vr. s) h Q {} { } h {} sh v = (vr. h) s Q {} { } s {} h v 0 S = ; 0 S= s s 0 S = ; 0 S= s = (vr. h) Q {} { } {} h s = (vr. ) h Q {} { } h {} s s s ( ) h s 0 S = ; 0 S= h s 0 S = ; 0 S= h = (vr. ) h Q {} { } h {} ( ) h = (vr. ) h Q {} { } h {} s 0 S = ; 0 S= h ( ) h s = (vr. h) { } S = h; = S= Risolvi le seguenti equzioni: 77) ( ) = ( ) Q { } { } { } S= 0 ; S= Q 78) ( ) ( ) = ( 7) ( ) Q { } { } { } z z = z 79) ( ) ( )( ) 80) ( ) ( ) ( 6 ) S= ; S= Q Q, S = ; { } S = ; {} S= Q { } { } 6 S = ; S= Q = Q {} { } {} = c Q { } 8) ( c)( c) ( c)( ) 8) ( ) ( ) ( ) ( c ) { } c S = ; c S= c = Q { } { } { } 8) ( z)( z) ( )( z ) = ( z)( z) S = ; S= D { } { } Q S= ; { } S= D 8

258 8) ( ) ( ) ( )( ) h h h = 7h h 6 h Q { } { h } { } S ; h, S = ; h = h {} S= Q z z 8) = 86) ( ) ( ) = ( ) 87) z z z = c z c z = cz 88) ( ) ( ) Q { } { } { } S ; 0, S = ; = {} 0 l'equzione perde significto Q, 0, S = ; {} S = ; {, 0} S = D { } { } Q 0,,, S = ; {, } S = ; { 0, } l'equzione perde significto 9 { } { } Q { } { } ( c c ) c 0,, S = ; c c c 0, S = ; c {} S= D 89) ( ) ( ) = ( )( ) { } 90) ( ) ( ) r p = p r 9) ( ) ( )( ) = ( ) ( ) S = ; = S= D p r r p S = ; r =p S= p r { } {} { } Q S= ; S= D 9

259 9) ( )( h h ) ( )( h ) = h h h h 9) ( z ) ( z ) = ( z )( z) h Q, 0, S = ; h h {} 0 S = ; h {,} l'equzione perde significto { } { } Q { 6} { 6} { } S S = ; = 6 9) ( )( ) = 9) z z = 0 96) h h = h h h h c c c c c c c c 97) = ( ) c c ( ) ( ± ) S = ; = S = ; = ± l'equzione perde significto { } ( ± ) S= 0 ; = S= D; =± l'equzione perde significto h( h ) Q { } h { } S ; h,, S = ; h = h {, } l'equzione perde significto c Q { } { c } { } S ; c ±, 0, S = ; c = c { ±,0} l'equzione perde significto 98) 60 z z = 6 Q { } ( )( ) { } S Q ; {, } l'equzione perde significto,, S= { }; =

260 7 99) = Equzioni letterli frtte 9 Q { } { } 9 { } S Q ; { } ±,, S= ; = ±, l'equzione perde significto Risolvi le seguenti equzioni: 00) 0) s = ( s ) s Q {, } S = ; s {, } S = s ( ) = ( ) Q { } { } z = z 0) ( ) 0) 0,, S = ; 0,, S = Q { } { } { } = Q { } {} { } z z z z z z S = ; S= S= ; S= D 0) = Q {, } S = ; {, } S = ( ) 0) ( ) ( ) = 6 Q { } { } { } 9 ±, S = ; ±, S= ) 07) 08) 09) ( ) g z g z g g z = z z z z8 ( ) ( )( ) { } = z h h = zh z h = ( g ) { } g Q,, S = ; g,, S= g { } { } { } Q,, S = ;,, S = 9 { } { } { } h Q 0 S = h ; h 0 S= { } Q { } ( ) { } S= ; l'equzione perde significto 6

261 0) ) ( )( ) 0 = Q { } { } { } 0,, S = ; 0,, S = h h h = h Q { } { } h h { } z h z h z hz h 0,,,6 S = ; 0,,,6 S= ) ) = ( ) = Q { } { } {} 0 S D; { } S, 0 S = ; = = Q,0,, S = ; { 0,, } S = ; { } l'equzione perde significto { } { } Equzioni di grdo superiore l prio Risolvi le seguenti equzioni: ) ) 6) 7) 8) 9) 6 S= { 0, } z = 0 S = { ± } = 0 9 = 0 9 = 0 6t 7t = 0 h h h = 0 0) ( )( ) { } S= 7, S = { } { } S =, { } S= ±, = = { } ) ( 7s)( s ) = 9( s) S 0, [S = ] ) c 6c = ( c)( c ) S= { ± } ) = 0 { } S= 0, ) ( ) ( )( ) = ( )( ) 7 S= {,}

262 = S = { } ) ( )( ) ( ) ( ) 6) 7) z 8z = 0 t t t 6 6= 0 p p 7 0 8) = p p p 9) { } S= ± { } S=, S= {, } r ( r )( r ) = 8 S= {, } r r r r r Deterin l insiee soluzione delle seguenti equzioni (esepi pg. 6) : 0) ) ) = 0; z = 9s = 0; ; = 0 S = ;S={ 0} = [ S = ;S= ] = [ S = ;S= ] 6 t 9z ) ( ) = 0; ( ) ) t = 0; = S= { 0 };S= z ) = 0; 0 = 0 [ S = ;S= ] h = [ S = ;S= ] 6) z z = 0; = 0 [ S = ;S= ] 7) ; = 0 = S = ;S={ ± } 8) 9) 0) ) ) ) 6 = 0 [S = ] = 0 = 0 { } S=, { } S= ± = 0 S= { } 6 = 0 t 0t 7t = 0 { } S= ± { } S= 6

263 Prolei Esepi ) Due nueri dispri consecutivi sono tli che ggiungendo l ggiore il doppio del inore si ottiene 07. Quli sono i due nueri? Risolvio il prole schetizzndo i pssggi d seguire (teori, pg. 8).. Individure l richiest del prole Due nueri dispri consecutivi. Assegnre incognit. Porre condizioni ccettilità n N nuero dispri: n nuero dispri: n. Scrivere ltri eleenti in funzione di n il doppio del inore: (n ). Ipostre equzione risolvente 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insiee soluzione o rispost So del ggiore con il doppio del inore: n (n ) Quest so deve essere ugule 07: n (n ) = 07 n n = 07 6n = 07 6n = 0 0 n = n = N, quindi, l soluzione è ccettile nuero dispri: 7= = nuero dispri: 7 = = 7 ) L so di due nueri interi, tli che l età del ggiore è ugule l triplo del inore, è 0. Quli sono i due nueri? Risolvio il prole schetizzndo i pssggi d seguire (teori, pg. 8).. Individure l richiest del prole Due nueri interi l cui so è 0. Assegnre incognit nuero intero ggiore:. Porre condizioni ccettilità Z. Scrivere ltri eleenti in funzione di nuero intero inore: 0 età del ggiore: triplo del inore: 0 ( ) 6

264 . Ipostre equzione risolvente 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insiee soluzione o rispost Metà del ggiore ugule triplo del inore: ( ) ( ) = 0 = 6 0 = = = = Z, quindi, l soluzione è ccettile nuero ggiore: 8 nuero inore: 0 8 = ) Un nuero nturle di due cifre è tle che l cifr delle decine è l età di quell delle unità; l differenz fr il doppio del nuero e quello che si ottiene scindo fr loro le due cifre è 9. Qul è il nuero?. Individure l richiest del prole Le cifre del nuero nturle. Assegnre incognit Cifr delle decine: d Cifr delle unità: d. Porre condizioni ccettilità d N 0 d 9. Scrivere ltri eleenti in funzione di n Nuero di due cifre: 0d d Nuero con le cifre scite: 0 d d. Ipostre equzione risolvente Differenz fr il doppio del nuero e quello con le cifre scite: (0d d) (0 d d) Quest differenz deve essere ugule 9: (0d d) (0 d d) = 9 6. Risolvere l equzione 7. Controllre ccettilità dell soluzione 8. Scrivere insiee soluzione o rispost (0d d) (0 d d) = 9 d d = 9 d = 9 d = N, 0 d 9 quindi, l soluzione è ccettile Cifr delle decine: ; Cifr delle unità: 6; Il nuero richiesto è 6. 6

265 Forlizz con i sioli dell tetic i seguenti quesiti e, successivente, deterin l loro soluzione: ) Aggiungendo d un nuero si ottiene. Qul è questo nuero? [] ) Se d un nuero si sottre si ottiene. Qul è il nuero? [] 6) L so di due nueri consecutivi è ; quli sono i due nueri? [; 6] 7) L so di due nueri nturli consecutivi pri è 98. Quli sono i due nueri? [8; 0] 8) Tre nueri nturli consecutivi sono tli che il triplo del inore è ugule ll so degli ltri due. Quli sono i tre nueri? [; ; ] 9) L so di quttro nueri dispri consecutivi è 6; quli sono i quttro nueri? [; ; ; 7] 0) Se l doppio di un nuero si ggiunge si ottiene il triplo del nuero stesso uentto di. Qul è il nuero? [] ) Mrt e Luci vogliono fre un reglo Vleri e ettono insiee i loro rispri: 0. Mrt si ccorge che l qurt prte dei suoi rispri è ugule ll sest prte dei rispri di Luci. Qul è l prte ess d Luci? [7] ) Il triplo di un nuero uentto dell su qurt prte è ugule l nuero stesso uentto di 7. Qul è il nuero? [] ) L so di un nuero con il suo qudruplo è. Qul è questo nuero? [] ) Qul è quel nuero che soto ll su età ed ll su terz prte dà 0? [ 0 ] ) L differenz fr un nuero e l terz prte del suo consecutivo è 7. Qul è il nuero? [ ] 6) Quttro nueri consecutivi sono tli che l so fr il doppio del prio e il triplo del secondo è ugule ll differenz fr il ggiore oltiplicto per ed il triplo del terzo. Quli sono i quttro nueri? [; ; ; ] 7) L so dei di un nuero con i suoi è. Qul è questo nuero? [ 0 ] 8) L differenz fr due nueri è ; l so fr l terz prte del ggiore con l età del inore è ugule l nuero più piccolo. Quli sono i due nueri? [ ; 6 ] 66

266 9) L so di due nueri interi, tli che il doppio di uno è ugule l triplo dell ltro, è 0. Quli sono i due nueri? [6; 0] 60) Due urne contengono in tutto 000 plline. Se si ggiunge ll second urn l sest prte delle plline dell pri urn i due recipienti hnno lo stesso nuero di plline. Coe sono distriuite, inizilente, le plline nelle due urne? [00; 600] 6) Giulio, Teres e Mrco si dividono 00 in odo che Giulio ne i il doppio di Teres e Teres il triplo di Mrco. Qunto riceverà ciscuno di loro? [ 0;60;0 ] 6) Nonn Ad regl i suoi quttro nipotini, Clr, Mrco, Giorgi e Luc, 0 crelle dividendole in odo che Clr ne ricev il triplo di Mrco, Giorgi ne ricev 0 in più del doppio di Clr e Luc ne ricev l stess quntità di Mrco. Qunte crelle riceve ciscuno dei nipotini di nonn Ad? [ 0;0; 70;0 ] 6) Mrio h nni e su figli Giuli ne h. Fr qunti nni l età di Mrio srà quttro volte quell di Giuli? [ 7 ] 6) L so di due segenti isur 80 c ed un segento è i 7 dell ltro. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segenti? [; 6] 6) In un prcheggio sono presenti 0 ezzi fr iciclette e utooili e, in totle, ci sono 6 ruote. Qunte sono le iciclette e qunte sono le utooili? [; 8] 66) Un negozinte h venduto 60 confezioni contenenti oppure 6 ottiglie di irr. Spendo che le confezioni d ottiglie vendute sono stte il qudruplo di quelle d 6, qunte confezioni d ottiglie sono stte vendute? [0] 67) Due nueri interi sono uno i dell ltro e l loro so è 90; quli sono i due nueri? [0; 0] 68) Luc vuol sistere tutti i suoi liri sui tre ripini dell lireri. Riponendo i 8 dei liri sul prio ripino e i sul secondo, ne ringono 0 d sistere sul terzo ripino; se, invece, ne ripone sul prio ripino e i 7 sul secondo, il terzo ripino ne conterrà 66. Qunti sono i liri di Luc? [ ] 69) L differenz fr il doppio dei qudrti di due nueri nturli consecutivi è 70. Quli sono i due nueri? [7; 8] 70) Due ici si dividono 7 figurine in odo che uno ne i gli 8 dell ltro. Qunte figurine h ciscuno di essi? [; 7] 67

267 7) Mt, Geo, Tecno sono tre squdre che prtecipno l cpionto di pllvolo. I punti totli, in clssific, delle tre squdre sono 9, inoltre Geo h il doppio dei punti di Mt e Tecno h i dei punti di Geo. Qunti punti h, in clssific, ciscun delle tre squdre? [9; 8; ] 7) Se si ggiunge l qudrto del più piccolo di tre nueri consecutivi, si ottiene il prodotto degli ltri due. Quli sono i tre nueri? [; ; ] 7) Un nuero nturle di due cifre è tle che l cifr delle unità è l età di quell delle decine; se d esso ggiungio il nuero ottenuto scindo fr loro le due cifre, si ottiene. Qul è il nuero? [8] 7) In un i ci sono glline e gtti per un totle di 9 teste e 76 zpe. Qunte sono le glline e qunti sono i gtti? [0; 9] 7) Nello scorso nno scolstico i 6 7 degli lunni dell A sono stti proossi; l qurt prte dei rinenti lunni è stt occit, entre lunni hnno deciso di cire indirizzo di studio. D qunti lunni è fort quest nno l A? [] 76) L so di due nueri nturli è ed il loro prodotto è 0. Quli sono i due nueri? [; 8] 77) Un nuero nturle di tre cifre è tle che l cifr delle centini è il triplo di quell delle decine e quell delle decine è l età di quell delle unità. L età del nuero che si ottiene scindo l cifr delle centini con quell delle decine è. Qul è il nuero? [6] 78) Ad un corso di usic, ieri i presenti erno degli iscritti ed oggi, presentndosi due persone in più di ieri, sono presenti i 6 7 degli iscritti. Qunti sono gli iscritti l corso di usic? 79) Se l prodotto di due nueri dispri consecutivi si sottre 7 si ottiene il qudrto del nuero che precede il più piccolo dei due nueri dispri. Quli sono i due nueri? [ 7; 9 ] 80) In un clsse, il nuero delle rgzze è il triplo di quello dei rgzzi. Se le rgzze fossero 0 di eno il loro nuero sree l età di quello dei rgzzi. Qul è il nuero delle rgzze? 8) L cifr delle unità di un nuero nturle di due cifre è ugule quell delle decine diinuit di ; inoltre questo nuero è il triplo del nuero che si ottiene sottrendo l nuero ottenuto scindo le due cifre. Qul è il nuero? [7] [ ] [ ] 68

268 8) Su uno scuolus ci sono rgzzi e rgzze ed il nuero delle rgzze è doppio di quelle dei rgzzi. Se ci fossero 0 rgzze in eno, il loro nuero sree l terz prte di quello dei rgzzi. Qul è il nuero dei rgzzi e qule quello delle rgzze? [6; ] 8) Un gruppo di persone, pri di inizire l giornt lvortiv, è solito ritrovrsi l r per fre colzione. Se il gruppo è l copleto ciscuno spende ; se ncno persone il contriuto di ciscuno viene uentto del 0%. Qunte sono le persone del gruppo? [0] 8) In un nuero plindroo n di tre cifre, l so delle due cifre distinte è 8. L differenz fr il nuero plindroo che si ottiene scindo fr loro le cifre distinte e è il qudruplo del nuero n. Qul è il nuero n? (Un nuero si dice plindroo se leggendolo d sinistr verso destr e vicevers esso non ci). [7] 8) Se si divide l so fr il doppio di un nuero e per l differenz fr il nuero stesso e 0 si ottiene un frzione equivlente. Qul è il nuero? [] 86) L so di due nueri è 0 ed il loro rpporto è equivlente ; quli sono i due nueri? 7 [, ] 87) L so fr il nuertore e il denointore di un frzione è. Se l nuertore si ggiunge e l denointore si sottre l frzione è equivlente d. Quli sono il nuertore e il denointore dell frzione? [, ] 88) Se l nuertore e l denointore dell frzione 6 si sottre uno stesso nuero, l frzione che si ottiene è equivlente ; qul è questo nuero? [6] 7 89) L differenz fr il nuertore e il denointore di un frzione è. L frzione che si ottiene sottrendo 0 dl triplo del nuertore e ggiungendo l denointore è equivlente d. Quli sono il nuertore ed il denointore dell frzione? [, ] 90) Un nuero nturle di due cifre è tle che l cifr delle decine è ugule l doppio dell cifr delle unità diinuito di ed il rpporto con il nuero che si ottiene scindo le due cifre è equivlente 6. Qul è il nuero? [] 9) Il presidente di un ssocizione è stto scelto fr due cndidti A e B. Il cndidto A h ottenuto il doppio dei voti di B. Tre eri dell ssocizione hnno votto sched inc, entre ciscuno degli ltri h votto o solo per A o solo per B. In questo odo A h ottenuto il 6% dei voti possiili. D qunti eri è copost l ssocizione? [7] [Kngourou, 00] 69

269 9) Pietro e Polo festeggino il loro onostico in pizzeri con i loro ici. All fine dell cen il conto viene diviso in prti uguli tr tutti i presenti e ciscuno dovree pgre Euro. Con grnde generosità però, gli ici decidono di offrire l cen Pietro e Polo; il conto viene nuovente diviso in prti uguli tr gli ici di Pietro e Polo (cioè tutti i presenti esclusi Pietro e Polo), e ciscuno di loro pg 6 Euro. Qunti sono gli ici di Pietro e Polo? ) 6, ) 8, c) 0, d), e) 6 [Olipidi Mtetic, Giochi di Archiede 008] 9) Un giornle cost 0,90 Euro; chi lo cquist viene offerto un suppleento fcolttivo del costo di,0 Euro. A fine giornt sono stte vendute copie del giornle e l incsso coplessivo dell vendit del giornle e dei reltivi suppleenti è stto di 9,70 Euro. Qunti suppleenti sono stti cquistti? ) eno di 66, ) più di 67 e eno di, c) più di e eno di 00, d) più di 0 e eno di 66, e) più di 66. [Olipidi Mtetic, Giochi di Archiede 007] 9) Un secchio pieno di si pes coplessivente 9 g, riepito per età di si pes g. Qunto pes il secchio vuoto? ) 0, g ) g c) g d), g e) il peso del secchio non può essere deterinto. [Olipidi Mtetic, Giochi di Archiede 996] 9) Crlo e Drio si sono sottoposti d uno stesso test; Crlo h totlizzto l 8% dei punti disponiili, Drio il 90%. In questo odo Crlo h totlizzto un punto in eno di Drio. Qunti erno i punti disponiili? ) 0; ) 8; c) 7; d) ; e) [Kngourou, 00] 96) I quttro cvlieri dell Apoclisse, Cresti, Guerr, Morte e Inquinento, stnno per ngire insiee qundo Morte si ccorge di non vere soldi. Gli ltri decidono di drgli ciscuno l stess so di denro. Cresti dà, così, di quello che vev in tsc, Guerr gli dà del denro che h in tsc e Inquinento gli dà di qunto ne vev lui. Dopo ver pgto ciscuno il proprio psto si ccorgono di essere stti fortunti perché sono risti tutti senz soldi. Quello che h pgto di eno tr i quttro h pgto Qunto è costto il psto più cro? [.60] [Copp Fert 008] 70

270 97) Polo h cquistto un oggetto ottenendo lo sconto del % sul prezzo originle e lo h pgto 06,. Qul er il prezzo originle? ) eno di ; ) ; c) ; d) 7; e) eno di 8 [Olipidi Mtetic, Giochi di Archiede 006] Prolei di geoetri 98) Due segenti AB e CD sono tle che AB = CD e l so delle loro lunghezze è 8 c. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segenti? [ 8c; 0c ] 99) Due segenti ST e MP sono tle che ST = MP e l differenz fr le loro lunghezze è 8 c. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segenti? [ c; c] 00) Due segenti DE e FH sono tle che DE = 8 FH e l differenz fr le loro lunghezze è 9 c. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segenti? [ 6 c; 0 c ] 0) Due segenti FG e KM sono tle che FG = 8 KM e l so delle loro lunghezze è c. Qul è l lunghezz di ciscuno dei due segenti? [ 6c; 6c ] 0) Uno steccto è forto d cinque trtti rettilinei; il secondo trtto è i del prio, il terzo trtto è i del prio, il qurto trtto è 6 del prio e il quinto trtto è del prio. Se l lunghezz totle dello steccto isur c, qunto isur il prio trtto? [ c ] 0) Il perietro di un rettngolo isur 0 c ed un diensione è i dell ltr. Qul è l re del rettngolo? [ c ] 0) Un qudrto è equivlente d un rettngolo il cui perietro isur 98 c ed un diensione è i dell ltr. Qul è l re del qudrto? [88 c ] 0) L re di un rettngolo isur 60 c ed un diensione è i perietro? dell ltr; qul è il suo [ c ] 06) Due ngoli copleentri sono tli che il triplo di uno diinuito di 0 è il doppio dell ltro. Qul è l piezz di ciscuno dei due ngoli? [8 ; ] 7

271 07) L so di tre ngoli è congruente d un ngolo pitto; il prio ngolo è triplo del secondo ed il terzo è l età del secondo. Qul è l piezz di ciscuno dei tre ngoli? [0 ; 0 ; 0 ] 08) L ngolo l vertice di un tringolo isoscele è il triplo di ciscuno degli ngoli ll se. Qul è l piezz di ciscuno degli ngoli del tringolo? [08 ; 6 ] 09) Uno degli ngoli interni di un tringolo è i dell ngolo esterno dicente d esso; gli ltri 7 due ngoli sono tli che se si ggiungono 8 ll terz prte di uno si ottiene l piezz dell ltro ngolo. Quli sono le piezze degli ngoli del tringolo? [ 78 ; 6 ; 9 ] 0) Due dei quttro ngoli interni di un qudriltero sono uno i 7 dell ltro; gli ltri due ngoli interni, congruenti fr loro, sono i 0 del più piccolo degli ltri due ngoli. Qul è l piezz del ggiore degli ngoli del qudriltero? [ ] ) L so delle lunghezze dei cteti di un tringolo rettngolo isur c ed uno è i 7 dell ltro. Qul è l re del tringolo rettngolo? 0 c ) Il lto oliquo e l ltezz di un trpezio isoscele isurno, rispettivente, c e c e l se inore è i dell se ggiore. Spendo che il rpporto fr il perietro e l re del trpezio è 9, deterin il perietro del trpezio. [6 c] 7 ) Le diensioni di un rettngolo sono un i dell ltr e l differenz fr i 7 del lto ggiore e l qurt prte del lto inore isur 8 d. Qul è l isur dell re del rettngolo? [980 d ] ) Il perietro di un prllelogr isur 0 c e l so fr i del lto ggiore e con i 8 del lto inore isur 8 c. Qul è l isur dei lti del prllelogr? [6 c; 6 c] ) L re del rettngolo FGKL isur 00 c e il lto FG è i 7 del lto GK. Deterin l posizione, sul lto FG, del punto P tle che il rpporto fr le ree del tringolo FML e del trpezio MGKL si. FM = c 7

272 6) Il rggio di un circonferenz è ugule l più piccolo dei due nueri tli che l loro so è 0 c ed uno è 9 dell ltro. Qul è l lunghezz dell circonferenz? [π c] Per risolvere i seguenti prolei è necessrio utilizzre il Teore di Pitgor. 7) Deterin il perietro di un trpezio isoscele spendo che l ltezz isur c, l so delle si isur 0 c e l se inore è età dell se ggiore. [ 6 c ] 8) Deterin il perietro di un trpezio rettngolo spendo che l ltezz isur c, l so delle si isur c e l se inore è età dell se ggiore. [ 0 c ] 9) Deterin il perietro di un trpezio isoscele spendo che l ltezz isur c, l so delle si isur 0 c e l se inore è dell se ggiore. [ 60 c ] 0) Il lto di un qudrto è congruente ll digonle di un rettngolo il cui perietro isur 98 c ed un diensione è i 9 0 dell ltr. Qunto isur il perietro del qudrto? [6 c] ) Le digonli di un roo sono un i 7 dell ltr e l loro so isur 60 c. Qunto isur il suo perietro? (Approssi il risultto ll pri cifr decile) [ 9, c] ) L ltezz di un trpezio rettngolo isur 60 c, l se inore è i dell se ggiore e l loro so isur c. Qunto isur il perietro del trpezio? [ 76 c ] ) I cteti di un tringolo rettngolo sono uno i 6 6 dell ltro e l loro so isur 79 c. Qunto isur il perietro del qudrto costruito sull ipotenus del tringolo rettngolo? [ 60 c] ) L differenz fr i due cteti di un tringolo rettngolo isur c; il cteto ggiore è i dell ipotenus e l loro so isur 7 c. Qul è l isur dell re del tringolo e quell del cteto inore? Qul è l isur dell ltezz reltiv ll ipotenus? c ; 9 c; 7, c ) Le digonli di un roo sono un i dell ltr e l so fr i 7 dell digonle inore con i 9 dell digonle ggiore isur 0 c. Qul è l isur del perietro del roo? [80 c] 7

273 CAPITOLO 0 DISEQUAZIONI 0. Disequzioni Ricordio che: si chi disuguglinz un scrittur nell qule, fr due espressioni nueriche, copre il siolo oppure i sioli >, <,,. Oppure, nel linguggio dell Logic: si chi disuguglinz un proposizione nell qule il predicto è essere diverso, oppure essere ggiore, essere inore, essere ggiore o ugule, essere inore o ugule. Considerio, desso, le seguenti proposizioni: ) Se si ggiunge l triplo di un nuero si ottiene un nuero ggiore di. ) Il qudrto di un nuero è inore di 9. c) Il qudrto di un nuero è ggiore di. d) Il prodotto di due nueri è ggiore o ugule ll loro differenz. Forlizzio, con i sioli dell Mtetic, le proposizioni proposte. ) Indicto con il nuero d deterinre (ovviente può essere ust un qulsisi letter dell lfeto), il suo triplo è ; si ottiene: >, Q. ) Indicto con il nuero d deterinre, il suo qudrto è ; si ottiene: < 9, Q. c) Indicto con il nuero d deterinre, il suo qudrto è ; si ottiene: >, Q. d) Indicti con e i nueri d deterinre, il loro prodotto è e l loro differenz è ; si ottiene:, (, ) Q. Nell forlizzzione delle precedenti proposizioni sono stti utilizzti i sioli >, < e ; però leno un delle espressioni che copre pri o dopo il segno di > o < o è un espressione letterle: esse prendono il noe di disequzioni. Le espressioni che precedono e seguono i sioli di disuguglinz si chino, rispettivente, prio e secondo ero dell disequzione. 7

274 Provio dre un rispost i prolei proposti. ) >, Q Assegnio d lcuni vlori e stilio se l disuguglinz ottenut è ver o fls: = ( ) > > FALSA = > > FALSA = 7 7 > > FALSA = 8 8 > 8 > VERA = 0 0 > > VERA = > 0 > VERA E fcile, questo punto, cpire che qulsisi vlore > 7 rende ver l disuguglinz. L proposizione, dunque, per lcuni vlori di (tutti i vlori 7) è fls e per ltri (tutti i vlori > 7) è ver. Il prole non h un sol soluzione, h infinite soluzioni. ) < 9, Q Assegnio d lcuni vlori e stilio se l disuguglinz ottenut è ver o fls: = ( ) < 9 6 < 9 FALSA = ( ) < 9 9 < 9 FALSA = 9 9 < < VERA = = = < 9 < 9 VERA < 9 < 9 VERA < 9 9 < 9 FALSA = < 9 9 < FALSA Con qulche ltro tenttivo, ti ccorgeri che si ottiene un disuguglinz ver se ttriuio d vlori copresi fr e. Esistono, dunque, dei nueri rzionli per i quli l disuguglinz è ver ed ltri per i quli è fls. Anche questo prole non h un sol soluzione, h infinite soluzioni. c) >, Q Poiché qulsisi potenz con esponente pri è un nuero ggiore o ugule zero, qulunque nuero rende ver l disuguglinz. Quindi, qulsisi nuero rzionle è soluzione del prole. 7

275 d), (, ) Q Anche per questo prole, esistono delle coppie (, ) che rendono ver l disuguglinz ed ltre coppie (, ) che l rendono fls. Ad esepio: [COMPLETA, coe negli esepi ) e )] (, ) = (, ) ( ) ( ), =, ( ) (, ) =, Per questo prole, non è seplice deterinre tutte le soluzioni. All luce degli esepi ppen ftti, possio dre le seguenti definizioni: Si chi disequzione un disuguglinz fr due espressioni letterli in un o più vriili. I vlori che sostituiti lle vriili rendono ver l disuguglinz si chino soluzioni dell disequzione. Risolvere un disequzione signific deterinre tutte le sue soluzioni. Si chi insiee soluzione dell disequzione l insiee forto d tutte le sue soluzioni e, in generle, si indic con l letter S. Oppure, con il linguggio dell Logic: Si chi disequzione un proposizione pert (di doinio D) nell qule il predicto è essere ggiore, oppure essere inore, essere ggiore o ugule, essere inore o ugule. Si chi soluzione di un disequzione quell eleento del doinio che rende ver l proposizione pert. Si chi insiee soluzione dell disequzione l insiee di verità dell proposizione pert e, in generle, si indic con l letter S. Coe per le equzioni, nche per le disequzioni le vriili o incognite sono, generlente, indicte con le lettere,, z; tuttvi è possiile usre qulsisi ltr letter dell lfeto. Se non è esplicitente indicto, si conviene che le vriili dell disequzione pprtengno ll insiee più pio che conoscio. 76

276 Coe per le equzioni, si hnno le seguenti definizioni che consentono di clssificre le disequzioni: Se, nelle espressioni letterli, copiono solente le operzioni di so lgeric, oltipliczione, divisione oppure estrzione di rdice, l disequzione è dett disequzione lgeric. Se, nelle espressioni letterli, l vriile non copre i sotto il segno di rdice, l disequzione lgeric è dett disequzione rzionle. Se, nelle espressioni letterli, l vriile è presente sotto il segno di rdice, l disequzione lgeric è dett disequzione irrzionle. Sintetizzio, nello sche seguente, qunto ppen detto: Disequzioni lgeriche Disequzioni rzionli Disequzioni Disequzioni trscendenti Disequzioni irrzionli Coe per le equzioni, possio clssificre le disequzioni nel odo seguente: un disequzione si dice nueric se, oltre lle vriili, non contiene ltre lettere. un disequzione si dice inter se l vriile non copre l denointore dell disequzione; un disequzione si dice frzionri o frtt se l vriile copre in uno o più denointori; un disequzione si dice letterle se, oltre ll incognit, contiene ltre lettere. Lo sche seguente rissue le precedenti definizioni: Disequzioni nueriche Disequzioni intere Disequzioni frtte Disequzioni Disequzioni intere Disequzioni letterli Disequzioni frtte 77

277 Esepi Le disequzioni ) > ; ) < 6 sono disequzioni lgeriche rzionli perché in esse sono presenti solo le operzioni di so lgeric, oltipliczione, divisione; inoltre l disequzione ) è un disequzione nueric frtt, perché non sono presenti ltre lettere oltre ll vriile ed ess copre l denointore delle frzioni; l disequzione ) è un disequzione nueric inter, perché non sono presenti ltre lettere oltre ll vriile ed ess non è presente l denointore. L disequzione > è un disequzione lgeric irrzionle, perché l vriile è presente sotto il segno di rdice. L disequzione < è un disequzione letterle inter perché, oltre ll vriile, è presente un ltr letter (); inoltre l vriile non è presente l denointore di lcun frzione. In un disequzione rzionle inter in un vriile, il grdo dell disequzione è ugule l ssio esponente dell vriile. Esepi L disequzione L disequzione > è di terzo grdo perché il ssio esponente dell vriile è. > 0 (vriile ) è di prio grdo perché il ssio esponente dell vriile è. In questo cpitolo ci occupereo solo di disequzioni rzionli nueriche in un vriile; in prticolre di disequzioni nueriche intere di prio grdo o, in qulche odo, d esse riconduciili. PROVA TU ) Clssific le seguenti disequzioni: ) 6 > ; ) < ; > ) Deterin il grdo delle seguenti disequzioni: z z ; > (vriile ) 78

278 0. Rppresentzione dell insiee soluzione di un disequzione Considerio le disequzioni > e < 9 già viste nel precedente prgrfo e indichio con S e S, rispettivente, gli insiei soluzione delle due disequzioni. ) > L insiee S h infiniti eleenti; l rppresentzione più opportun, dunque, è quell per crtteristic: S = { / > 7} Q. L insiee S, dunque, è un sottoinsiee di Q forto d tutti i nueri che seguono un nuero fissto (il nuero 7); lcuni utori, per coodità, lo indicno sepliceente con > 7. In reltà, > 7 è ncor un disequzione.. di iedit soluzione. ) < 9 L insiee S dell disequzione h infiniti eleenti; l rppresentzione più opportun, dunque, è quell per crtteristic: S = { / < < } Q. L insiee S è, dunque, un sottoinsiee di Q forto d tutti i nueri che sono copresi fr due nueri fissti (i nueri e ) e, coe osservto in precedenz, l insiee soluzione è, tlvolt, indicto con < <. In generle, l insiee soluzione S di un disequzione è forto d: tutti i nueri che seguono un nuero ; tutti i nueri che precedono un nuero ; tutti i nueri che sono copresi fr due nueri e. Se nell disequzione sono presenti i sioli o, nche i nueri o sono soluzione dell disequzione stess. L insiee soluzione S di un disequzione può essere rppresentto nche in ltri odi. Rppresentzione grfic Rppresentio grficente S = { / > 7} Q : riportio sull rett orientt il nuero 7; prtire dl punto dell rett orientt coincidente con il nuero 7, trccio un piccolo segento perpendicolre ll rett orientt stess; poiché i nueri ggiori di 7 sono situti ll su destr, prtire dll estreo liero del segento disegnio un line ross verso destr con trtto continuo; poiché i nueri sinistr di 7 non sono soluzioni dell disequzione, prtire dll estreo liero del segento disegnio un line verso sinistr con trtto trtteggito. 79

279 L insiee S è rppresentto nell seguente figur: S 7 Rppresentio grficente S = { / < < } Q : riportio sull rett orientt i nueri e ; prtire di punti pprtenenti ll rett orientt coincidenti con i nueri e, trccio due piccoli segenti (uguli) perpendicolri ll rett orientt; poiché le soluzioni dell disequzione sono copresi fr e, unio gli estrei lieri dei due segenti con un line ross con trtto continuo; poiché i nueri sinistr di e destr di non sono soluzioni dell disequzione, trccio, sinistr e destr dell line continu, un line trtteggit. L insiee S è rppresentto nell seguente figur: S Coe sicurente hi notto, nell rppresentzione dei nueri sull rett orientt non io riportto né lo 0 né l unità di isur,, dove necessrio, è stto rispettto soltnto l ordinento dei nueri stessi. Per l rppresentzione degli insiei soluzione di disequzioni, l rppresentzione dello 0 e l unità di isur sono eleenti trscurili ( eno che 0 non si interessto coe soluzione); è fondentle, invece, in ogni cso, rispettre l ordinento dei nueri. Riepilogndo: nell rppresentzione grfic dell insiee soluzione di un disequzione l line continu indic gli eleenti che sono soluzione dell disequzione; l line trtteggit indic gli eleenti che non sono soluzione dell disequzione. Tlvolt non è necessrio evidenzire l insiee che non è soluzione dell disequzione e si oette di trccire l line trtteggit. Ipotizzndo che S = { Q/ } rppresentzione grfic è l seguente: si l insiee soluzione di un disequzione, l su dove il siolo in corrispondenz del nuero indic che esso è un delle soluzioni dell disequzioni. 80

280 0. Intervlli nuerici Gli insiei nuerici forti d tutti i nueri ggiori o inori di un certo nuero ( > o < ) e gli insiei nuerici forti d tutti i nueri copresi fr due nueri e ( < < ) sono chiti intervlli nuerici; i nueri e sono chiti estrei dell intervllo. Gli estrei di un intervllo nuerico pprtengono llo stesso se copiono i sioli,. L insiee soluzione di un disequzione è, in generle, un intervllo nuerico e, quindi, viene nche chito intervllo delle soluzioni. Gli intervlli nuerici possono essere rppresentti nche nel seguente odo: Se l intervllo considerto è forto d tutti i nueri copresi fr e, si scrivono gli estrei e in ordine crescente, seprti d un virgol e rcchiusi fr prentesi qudre rivolte verso l esterno oppure verso l interno; se le prentesi qudre sono rivolte verso l esterno, gli estrei dell intervllo non sono inclusi nell intervllo stesso; se le prentesi qudre sono rivolte verso l interno gli estrei dell intervllo sono inclusi nell intervllo stesso. Se l intervllo nuerico considerto è forto d tutti i nueri ggiori di un certo nuero, il secondo estreo viene indicto con il siolo (si legge più infinito ). Se l intervllo nuerico considerto è forto d tutti i nueri inori di un certo nuero, il prio estreo viene indicto con il siolo (si legge eno infinito ). I sioli e non sono nueri indicno soltnto che l intervllo nuerico considerto non h liite, rispettivente, destr e sinistr; sono, perciò, sepre esclusi dll intervllo. In tell io rppresentto, nei diversi odi, lcuni intervlli nuerici. Intervllo Rppresentzione Rppresentzione grfic > ], [ < ], [ < < ], [ [, [ 0 ],0] 7 [, 7 ] < [, [ < 8 ], 8 ]

281 OSSERVAZIONE Sppio che d ogni nuero rzionle corrisponde un punto sull rett, d ogni punto dell rett non corrisponde un nuero rzionle. Non è, quindi, del tutto lecito rppresentre l insiee soluzione di un disequzione di doinio Q con un line continu ( tle line pprtengono nche punti in corrispondenz iunivoc con nueri non rzionli). Per coodità, tuttvi, rppresentereo con un line continu l insiee soluzione dell disequzione. ATTENZIONE In generle, l insiee soluzione di un disequzione è rppresentto d un intervllo,, coe spesso si verific, esistono dei csi prticolri. Deterinio l insiee soluzione dell disequzione ( ) < 0. Il prio ero dell disequzione è un potenz con esponente pri; per le proprietà delle potenze, dunque, esso, qulunque si il vlore ttriuito ll vriile, è un nuero non negtivo. Non esiste, llor, lcun nuero rzionle che rende ver l proposizione; dunque S =. Deterinio l insiee soluzione dell disequzione ( ) 0. Ess, dl punto di vist logico, è un proposizione olecolre; inftti: ( ) 0 ( ) ( ) < 0 = 0 L insiee soluzione S è, perciò, dto dll unione degli insiei soluzione di ciscun delle due proposizioni che l copongono: ( ) < 0 S = ( perchè?) ( ) = 0 S = { } {} S= S S = S S= In questo cso, dunque, l insiee soluzione dell disequzione non è un intervllo, è forto d un solo eleento. PROVA TU ) Rppresent, nei diversi odi possiili, i seguenti intervlli nuerici: ) 6; < 0 ) < 8 ; 0 ) Deterin l insiee soluzione delle seguenti disequzioni: ) ( ) 0; ( ) ) 0 < 0 ; ( ) < 0 8

282 0. Principi di equivlenz Ancor in nlogi con qunto detto per le equzioni, si h l seguente definizione: Due disequzioni sono equivlenti se hnno lo stesso insiee soluzione. Considerio le due disequzioni: ) > e ) > E iedito deterinre l insiee soluzione dell disequzione ); inftti sostituendo d qulsisi nuero ggiore di si ottiene un disuguglinz ver. Si h, quindi, S = ], [. Non ltrettnto si può dire dell insiee soluzione dell disequzione ). E possiile, coe per le equzioni, trsforre un disequzione in un d ess equivlente siile ll disequzione )? L rispost è ffertiv ed nche quest volt è sufficiente seguire due seplici regole chite, ncor un volt, principi di equivlenz. Pri di enuncire i principi di equivlenz per le disequzioni, verific, con qulche esepio, che per le disuguglinze nueriche vlgono le seguenti proprietà:,, c Q : < c < c;, Q, c Q : < c < c, Q, c Q : < c > c, Q {0} : < > I principi di equivlenz si sno su queste proprietà: Prio principio di equivlenz Se si ggiunge o si sottre d o i eri di un disequzione, di doinio D, uno stesso nuero o un stess espressione lgeric, vente lo stesso doinio, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Secondo principio di equivlenz Se si oltiplicno o si dividono entri i eri di un disequzione per uno stesso nuero positivo, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Se si oltiplicno o si dividono entri i eri di un disequzione per uno stesso nuero negtivo e si ci il verso dell disequzione, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Osserv che cire il verso di un disequzione signific che il siolo > divent <, il siolo < divent >, il siolo divent, il siolo divent. 8

283 Vedio, desso, coe i principi di equivlenz ci iutno trsforre l disequzione ) in un disequzione dello stesso tipo dell disequzione ). ESEMPIO Disequzione inizile: > Applichio prio principio Aggiungio i due eri > (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente > Applichio prio principio Sottrio i due eri > (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente > L insiee soluzione è S = { Q / > } oppure S = ] [,. L disequzione ) e l disequzione ) hnno lo stesso insiee soluzione e, quindi, sono equivlenti. Rppresentio grficente l insiee S. S Interpretio l rppresentzione grfic dell insiee S. Nell intervllo ],[ è riportt l line trtteggit; questo vuol dire che gli eleenti di tle intervllo non sono soluzioni dell disequzione. In tle intervllo, dunque, l espressione non è ggiore dell espressione ; quindi, <. Nell intervllo ], [ è riportt l line continu; gli eleenti di tle intervllo, dunque, sono soluzioni dell disequzione. In tle intervllo risult, llor, che >. Coe puoi notre, riflettendo sui pssggi eseguiti per trsforre l disequzione ssegnt in un d ess equivlente di iedit soluzione, un conseguenz del prio principio di equivlenz è del tutto nlog ll regol del trsporto già vist per le equzioni, quindi: In un disequzione, se si trsportno dei terini d un ero ll ltro cindo loro il segno, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. In odo nlogo vle l regol di cncellzione: In un disequzione, se si seplificno terini uguli che si trovno in entri i eri dell disequzione, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. 8

284 Ancor qulche esepio: ESEMPIO Disequzione inizile: < 9 Applichio prio principio Trsportio e < 9 (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente < 0 Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè (> 0, il verso non ci) (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente L insiee soluzione è S = { Q / < } oppure S = ] [ Rppresentio grficente l insiee S.,. 0 < 0 < < S Coplet: Nell intervllo ],[ è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... 9; Nell intervllo ], [ è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... 9; ESEMPIO Disequzione inizile: 8 0 Applichio prio principio Trsportio 8 8 Applichio secondo principio Disequzione equivlente 8 Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè (< 0, il verso ci) (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente L insiee soluzione è S = { Q / } oppure S = [ [,. 8 8 Rppresentio l insiee S. S 8

285 Coplet Nell intervllo ],[ è riportt l line ; in tle intervllo risult ; nell intervllo ], [ è riportt l line... ; in tle intervllo risult ; 8 = 0 se = ESEMPIO Disequzione inizile: > ( ) (Svolgio i clcoli ) > Applichio prio principio Trsportio e > (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente > 8 Applichio secondo principio Moltiplichio per (<0, il verso ci) ( ) ( ) < 8 (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente < 8 Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè (> 0, il verso non ci) 8 < (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente 8 < < 8 8 L insiee soluzione è S = Q / < oppure S = Rppresentio l insiee S. 8 S 8,. Coplet 8 Nell intervllo, è riportt l line.. ; in tle intervllo 86 risult ( )... ; 8 nell intervllo, è riportt l line.. ; in tle intervllo risult... ( ).

286 Osservndo i pssggi eseguiti nell esepio, deducio un conseguenz del secondo principio di equivlenz; precisente: Se, in un disequzione, si ci il verso ed il segno di tutti i terini, si ottiene un disequzione equivlente quell dt. Negli esepi precedenti, io risolto disequzioni intere di prio grdo coefficienti interi. Se fr i coefficienti di un disequzione ce n è leno uno che non è intero, si procede coe già visto per le equzioni. Osserv, dunque, ttentente, l esepio seguente: ESEMPIO Riducio llo stesso denointore Applichio secondo principio Disequzione inizile: Moltiplichio o i eri per 6 ( > 0, il verso non ci ) (Svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente 6 Applichio prio principio Trsportio e 6 6 (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente 6 Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè (< 0, il verso ci) 6 (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente 6 6 L insiee soluzione è S = 6 Q / oppure S = 6,. Rppresentio l insiee S. S 6 87

287 Coplet Nell intervllo 6, è riportt l line. ; in tle intervllo risult... ; nell intervllo 6, è riportt l line ; in tle intervllo risult... ; = se = Osservndo gli esepi svolti, possio fferre che, pplicndo i principi di equivlenz, un disequzione nueric inter di prio grdo, nell vriile, può essere sepre scritt nell for > <. PROVA TU ) Coplet coe negli esepi precedenti: Disequzione inizile: > 7 Applichio prio principio Trsportio. e. (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente Applichio secondo principio Moltiplichio per (< 0, il verso..) (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente Dividio entri i eri Applichio secondo principio per il coefficiente di cioè (. 0, il verso.. ci) (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente L insiee soluzione è S =.. oppure S =.. Rppresent grficente l insiee S e coplet... Nell intervllo,... è riportt l line. ; in tle intervllo risult... 7 ; nell intervllo...,... è riportt l line. ; in tle intervllo risult

288 Disequzione inizile: > Riducio llo stesso denointore Applichio secondo principio (Svolgio i clcoli ) Applichio prio principio Moltiplichio o i eri per. ( > 0, il verso non ci ) ed eliino il denointore Disequzione equivlente Trsportio.. (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente Applichio secondo principio Dividio entri i eri per il coefficiente di cioè.. (. 0, il verso.) (svolgio i clcoli ) Disequzione equivlente L insiee soluzione è S =.. oppure S =.. Rppresent grficente l insiee S e coplet... Nell intervllo,... è riportt l line ; in tle intervllo risult... ; nell intervllo...,... è riportt l line ; in tle intervllo risult.... ) Dopo ver deterinto l insiee soluzione delle seguenti disequzioni, rppresentlo in tutti i odi possiili: ) ( z ) z ) 89

289 0. Disequzioni nueriche intere di prio grdo Schetizzio, or, i pssggi necessri,in generle, per risolvere un disequzione nueric inter di prio grdo (per opportunità, l vriile è stt indict con ): Disequzione inizile NO Disequzione coefficienti con SI Riducio llo stesso denointore o i eri Applichio principio e seplifico denointore coune Sviluppio i clcoli indicti Applichio principio e trsportio i terini con vriile l prio ero, terini noti l Riducio nell for > < > 0? > < SI (il verso non ci) NO < 0? < > SI (il verso ci) Se = 0 l disequzione è dell for 0 > < di iedit soluzione. 90