b a ax b 0 Equazione lineare B) Equazioni di 2 grado incomplete: ax 2 0 Equazione monomia x 2 0

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1 EQUZIONI DI GRDO SUPERIORE L SECONDO PREMESS Finor simo cpci di risolvere solo equzioni di primo e di secondo grdo. imo imprto che isogn prim condurle form cnonic e poi procede come riportto nel seguente schem rissuntivo: ) Equzioni di grdo: Si isol il termine con l incognit e si divide per il coefficiente Equzione linere B) Equzioni di grdo incomplete: Equzione spuri c Equzione pur ; equzione det er min t equzione impossiile equzione indet er min t rcc. fttor comune e poi legge di nnull. del prodotto ; Equzione monomi si divide per soluzione doppi c c si isol il termine e si estre l rdice qudrt se, c discordi soluz. reli e opposte se, c concordi nessun soluz. rele C) Equzioni di grdo complete: Si pplic un delle seguenti formule risolutive: ) c Formul normle ( se è dispri) c Equzione complet ) c Formul ridott ( se è pri e ) ) c Formul ridottissim ( se è pri e =) Si presentno tre csi: soluzioni reli e distinte soluzioni reli e coincidenti ( il trinomio di secondo grdo dell form cnonic è un qudrto di un inomio ) nessun soluzione rele Or ci chiedimo: Come fre per risolvere le equzioni di grdo superiore l secondo? Esistono formule risolutive nche per esse? Si snno risolvere tutte le equzioni di grdo superiore?. nche se esistono formule risolutive per le equzioni di terzo e qurto grdo, noi risolveremo solo prticolri equzioni di grdo superiori l secondo, utilizzndo gli strumenti che già possedimo o ricorrendo d rtifizi che ci permetternno di ricondurre l risoluzione d equzioni note. Nei prossimi prgrfi impreremo risolvere: ) le equzioni ssili di grdo medinte fttorizzzione; ) le equzioni inomie; c) le equzioni iqudrtiche,

2 d) le equzioni trinomie. EQUZIONI BBSSBILI DI GRDO Si P()= un qulsisi equzione di grdo superiore l secondo e supponimo di poter scomporre in fttori il polinomio P() con uno dei metodi studiti: F () F (). F n () =. pplicndo l legge di nnullmento del prodotto possimo spezzre l equzione di prtenz P()= in tnte equzioni di grdo più piccolo F () =, F ()=,.., F n () =. E evidente che se le equzioni F i () = sono d noi risolviili llor vremmo trovto nche le soluzioni dell equzione di prtenz P() =. E sufficiente che le equzioni F i () = sino di primo grdo, di secondo grdo o di grdo superiore risolviili con ltri metodi, per essere in grdo di risolvere nche P()=. Diremo equzioni ssili di grdo tutte quelle equzioni di grdo superiore l secondo che si possono ricondurre, medinte fttorizzzione, equzioni note di grdo più sso. Esempi: rccoglimo in evidenz pplicndo l legge di nnullmento del prodotto, possimo spezzre l equzione in che h l soluzione doppi e non imo vuto isogno di lcun formul risolutiv, ci è stto che è un equzione pur di secondo grdo con soluzioni N.B.: Per risolvere spezzrl in due equzioni note di secondo grdo medinte l fttorizzzione e l legge di nnullmento del prodotto. Procedimo nlogmente con le equzioni seguenti. rccoglimo przilmente due due or mettimo in evidenz totle il fttore che si ripete pplichimo il metodo dell differenz di due qudrti ricorrendo ll legge di nnullmento del prodotto possimo spezzre l equzione di prtenz in tre di primo grdo, fcilmente risolviili ; ; ; rccoglimo in evidenz il polinomio tr prentesi è lo sviluppo del cuo di un inomio pplichimo l legge di nnullmento del prodotto ; ; contt tre volte le soluzioni sono:, tutti i metodi di scomposizione flliscono, non rest che provre con il metodo di Ruffini per vedere se possiede divisori di primo grdo Div,,, divisori del termine noto Div, divisori del coefficiente di grdo mssimo

3 rzionli zeri possiili ci sterà trovre due zeri del polinomio che compone l equzione per ssrlo dl qurto grdo l secondo con l regol di Ruffini. Utilizzndo il teorem del resto, possimo dire che: R il polinomio () è divisiile per - R il polinomio () non è divisiile per + R il polinomio () non è divisiile per -/ R il polinomio () è divisiile per +/. imo trovto due zeri del polinomio che compone l equzione: + e -/, vuol dire che esso è divisiile per + e per +/ e pertnto ssile di due grdi, dl qurto l secondo Eseguimo l divisione per + e per +/ con l regol di Ruffini. Possimo scrivere: rccoglimo un moltiplicndo si h Utilizzndo l legge di nnullmento del prodotto possimo spezzre l equzione di qurto grdo in due di primo e un di secondo che sppimo risolvere fcilmente: ; ;, EQUZIONI BINOMIE Un equzione l diremo inomi se il polinomio che l compone è formto di soli due termine: quello di grdo mssimo seguito suito dl termine noto. L form cnonic di un generic equzione inomi è l seguente: n. Per risolvere un equzione inomi distingueremo due csi, se è di grdo dispri e se è di grdo pri:

4 ) se n è dispri si isol il termine n e si estre l rdice n-esim; si ottiene un unic soluzione rele, visto che l rdice di indice dispri si può sempre estrrre, si se il rdicndo è positivo si se è negtivo n n n ) se n è pri si isol il termine n e si estre l rdice n-esim scrivendo i segni dvnti l simolo di rdice; si possono presentre due csi: ) se, sono discordi llor / > e l rdice n-esim di indice pri si può estrrre conducendo due soluzioni reli e opposte; ) se, sono concordi llor / < e l rdice n-esim di indice pri non si può estrrre conducendo così nessun soluzione rele: n n n se, discordi soluzioni reli eopposte se, concordi nessun soluzione rele Esempi: equzione inomi di grdo dispri ( mmette un unic soluzione rele ) N.B. Il teorem fondmentle dell lger (dimostrto d Guss) fferm che Un equzione di grdo n può mmettere l mssimo tnte soluzioni qunte il grdo. Nel nostro cso l equzione è di terzo grdo e di soluzioni ne imo trovte un sol, vuol dire che le rimnenti ltre due, se ci sono, sono di tipo non reli. Inftti, se scomponimo in fttori il polinomio che compone l equzione è fcile rendersi conto che si può spezzre in un equzione di primo grdo e in un ltr di secondo grdo con (priv di soluzioni reli): per l legge di nnullmento del prodotto si spezz in ( che h soluzione vendo il ). ) e ( che non h soluzioni reli equzione inomi di grdo pri con, discordi ( mmette due soluzioni reli ) si isol il termine e si estre l rdice qurt scrivendo i segni dvnti l simolo di rdice: Provimo cmire il segno nell form cnonic dell equzione precedente. equzione inomi di grdo pri con, concordi ( non mmette soluzioni reli ) si isol il termine e si estre l rdice qurt scrivendo i segni dvnti l simolo di rdice: non è possiile estrrre l rdice di indice pri di un numero negtivo. Si deduce che l equzione non mmette rdici reli.

5 EQUZIONI BIQUDRTICHE Un equzione si dice iqudrtic se è di qurto grdo e mnc di tutti i termini di grdo dispri; l su form generle è c. (N.B. Il polinomio che compone un iqudrtic è un trinomio prticolre di qurto grdo) Per risolvere un equzione iqudrtic si ricorre d un rtifizio: si esegue un cmio di vriile ponendo ( l diremo vriile usiliri ); in questo modo, sostituendo nell equzione di qurto grdo di prtenz l posto di il vlore di e l posto di quello di, ess si trsform in un ltr di secondo grdo: c che diremo equzione usiliri o equzione risolvente. questo punto si risolve l equzione di secondo grdo ottenut con l formul risolutiv che conoscimo: c. Un volt trovte le soluzioni e dell usiliri, mmesso che esistno, per trovre quelle dell equzione iqudrtic di prtenz isogn sostituire i vlori trovti nell posizione inizile. Si ottengono così due equzioni inomie di secondo grdo: e, che risolte conducono lle soluzioni: e, sempre che le rdici sino reli. E fcile intuire che le soluzioni,,, trovte dlle estrzioni di rdici srnno reli se e sono reli e con segno positivo (ltrimenti le estrzioni di rdici non si possono eseguire!) N.B.: imo ricondotto l risoluzione dell equzione di qurto grdo c quell di due equzioni di secondo grdo ( qudrtiche! ) e, ecco il motivo per cui l equzione c viene dett iqudrtic ( cioè spezzile in due qudrtiche! ). Esempio: eq. iqudrtic Pongo sostituendo si h che risolt conduce lle soluzioni c sostituendo i vlori di e nell posizione inizile inomie che risolte conducono lle soluzioni: nessun soluzione rele si ottengono due equzioni

6 EQUZIONI TRINOMIE Un equzione si dice trinomi se è compost di soli tre termini con quello centrle vente grdo metà del termine inizile; l form generle di un equzione trinomi è n n c. Più precismente: c equzione trinomi di grdo, che corrisponde ll equzione complet di grdo c equzione trinomi di grdo, dett nche equzione iqudrtic c equzione trinomi di grdo ecc. Dll definizione si deduce suito che le equzioni iqudrtiche studite in precedenz sono csi prticolri di equzioni trinomie. Storicmente sono stte scoperte prim le iqudrtiche e poi sono stte inventte le trinomie, per questo motivo si continu ncor trttrle seprtmente. Volendo, steree studire solo le equzioni trinomie. D qunto detto si intuisce che per risolvere le trinomie procederemo in modo nlogo lle iqudrtiche: n n c si pone n e sostituendo si perviene ll equzione usiliri c, che c risolt conduce lle soluzioni e, mmesso che esistno, infine si sostituiscono i vlori ottenuti nell posizione inizile n e si ottengono due equzioni inomie di grdo n n e n, che opportunmente risolte conducono lle soluzioni dell trinomi di prtenz. Esempi: eq. trinomi di grdo Pongo sostituendo si ottiene risolt conduce lle soluzioni c Sostituendo i vlori e nell posizione inizile si ottengono le equzioni inomie N.B. Dl teorem fondmentle dell lger sppimo che un equzione di grdo può mmettere l mssimo soluzioni qunte il grdo; nell esempio precedente imo trovto solo soluzioni reli, vuol dire che le rimnenti srnno non reli. Or fccimo vedere che possono essere trttte come equzioni trinomie tutte quelle equzioni che posseggono solo tre termini con quello centrle vente l stess se con grdo metà di quello inizile: può essere considert un equzione trinomi

7 si ordin e si pone il termine centrle ugule ll vriile usiliri Pongo sostituendo si h equzione usiliri c sostituendo nell posizione inizile si ottengono le equzioni: ( imo estrtto l rdice qudrt ) nlogmente si ottengono in tutto equzioni di primo grdo che risolte conducono lle soluzioni: ) ) ) eq. impossiile )