Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

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1 /12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile presentto è trtto di libri di testo consigliti, l cui consultzione è vivmente incorggit. 1 / 26

2 Integrle indefinito Si f : A R. Si dice che l funzione G è un primitiv (o nti-derivt) di f in A se G è derivbile in A G (x) = f (x) per ogni x A. Esempi? Osservzione (Crtterizzzione delle primitive in un intervllo) G 1 primitiv di f in A, c costnte = G 2 := G 1 + c primitiv di f in A In un intervllo vle nche il vicevers: G 1 e G 2 primitive di f in A intervllo = esiste c costnte tle che G 2 = G 1 + c Verific... 2 / 26

3 L insieme di tutte le primitive di f si chim integrle indefinito di f e si denot con il simbolo f (x) dx. Osservzioni 1 Per determinre l integrle indefinito di f in un intervllo è sufficiente determinre un primitiv di f. Conseguenz dell osservzione di pgin 2. 2 L integrle indefinito di un funzione f potrebbe essere vuoto. Esempio? 3 L integrle indefinito di f è sicurmente non vuoto se f è continu. Lo proveremo in seguito. 4 Anche se f è continu, non è detto che si riesc determinrne un primitiv in termini di funzioni elementri: in lcuni csi è complicto, in ltri è impossibile (per esempio, per le funzioni f (x) = e x2 e g(x) = sin(x) ). x Vedimo lcuni csi semplici in cui si riesce determinre l integrle indefinito... 3 / 26

4 Integrli indefiniti immediti 1 dx = x + c x α dx = x α+1 α c e x dx = e x + c sin(x) dx = cos(x) + c α 1 x dx = 1 dx = ln x + c x x ln() + c cos(x) dx = sin(x) + c 1 cos(x) 2 dx = 1 1 x 2 (1 + tn(x) 2 ) dx = tn(x) + c dx = rcsin(x) + c x 2 dx = rctn(x) + c 4 / 26

5 Regole di integrzione, ovvero come ottenere primitive prtire d primitive note. 1. Integrzione per scomposizione Sino f 1, f 2 funzioni continue e c 1, c 2 R. Risult: (c1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) ) dx = c 1 f 1 (x) dx + c 2 f 2 (x) dx Verific... Esempi Clcolre l integrle indefinito delle seguenti funzioni: f (x) = 3e x 2x 4 f (x) = 6 (1 + tn(x) 2 ) + f (x) = 2 x 3 cos(x) f (x) = x x x x 2 5 / 26

6 2. Integrzione per sostituzione Sino f e g due funzioni tli che l funzione compost f g si definit in un intervllo. Supponimo che f si continu e che g si di clsse C 1. Risult: f (g(x)) g (x) dx = f (t) dt t=g(x) Verific... Esempi Clcolre l integrle indefinito delle seguenti funzioni: f (x) = e sin(x) cos(x) f (x) = ex e 2x + 1 f (x) = 1 x 3 ln(x) + 2 f (x) = (rcsin(x))2 1 x 2 6 / 26

7 Esempi (d ricordre) e x dx = 1 ex + c sin(x) dx = 1 cos(x) + c cos(x) dx = 1 sin(x) + c x 2 dx = 1 ( x ) rctn + c 1 x + b dx = 1 ln x + b + c cso prticolre di g (x) dx = ln g(x) + c g(x) In tutte le formule si intende che si diverso d 0. 7 / 26

8 3. Integrzione per prti Sino f e g funzioni di clsse C 1 in un intervllo. Allor: f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. Verific... Esempi Clcolre i seguenti integrli indefiniti: x cos(3x) dx x 2 cos(3x) dx x e x dx e x sin(2x) dx ln(x) dx (3x 2 + x + 1) ln(x) dx rctn(x) dx 8 / 26

9 Integrzione di lcune funzioni rzionli Voglimo determinre un primitiv dell funzione f (x) = P(x) Q(x) con P(x) e Q(x) funzioni polinomili tli che deg(p) < deg(q). Procedimento: 1 Scomponimo Q nel prodotto di fttori lineri x + b e di fttori qudrtici irriducibili x 2 + bx + c (con b 2 4c < 0). 2 Decomponimo f nell somm di funzioni rzionli del tipo deg = p 1 deg = 2q 1 S(x) (x + b) p oppure T (x) (x 2 + bx + c) q (trttimo solo q = 1) 3 Determinimo un primitiv per ogni singolo ddendo. 4 Sommimo le primitive trovte l psso precedente e ottenimo un primitiv di f. 9 / 26

10 Esempi ( singoli ddendi ) 1 2x + 5 dx 2x + 2 x 2 + 2x + 5 dx 1 (2x 1) 3 dx x 3 x 2 + 2x + 5 dx x 2 2x + 5 (2x 1) 3 dx 1 x 2 + 2x + 5 dx Altri esempi 2x + 7 x 2 x 2 dx 3x 2 2x + 5 (x 2)(x 2 + 9) dx 2x + 3 x 3 x 2 dx 3x 2 2x + 5 (x 2) 3 (x 2 + 3x + 9) dx 10 / 26

11 Osservzione Se deg(p) deg(q), eseguimo l divisione tr polinomi ottenendo P(x) R(x) = A(x) + Q(x) Q(x) con A(x), R(x) funzioni polinomili e deg(r) < deg(q). Esempio: determinre l integrle indefinito dell funzione rzionle f (x) = x 5 x + 1 x Esercizio Clcolre gli integrli indefiniti 1 () dx x 3 (b) x + 2x 1 x 2x 1 dx Suggerimento: eseguire le sostituzioni rzionlizznti () t = x (b) t = 2x 1 11 / 26

12 Integrle definito (di Cuchy-Riemnn) Si f : [, b] R un funzione limitt. Si n N. Ponimo Notimo che x k := + k b, per k = 0, 1,..., n. n = x 0 < x 1 <... < x n = b x k x k 1 = b n k = 1,..., n. Per ogni k = 1,..., n, sceglimo ξ k [x k 1, x k ]. I punti x 0, x 1,..., x n suddividono [, b] in n sottointervlli di mpiezz costnte Definimo l somm n-esim di Cuchy-Riemnn di f : ( ) n S n (f ) := f (ξ k )(x k x k 1 ) = b n f (ξ k ). n k=1 k=1 12 / 26

13 Osservzioni Nell costruzione di somme di Cuchy-Riemnn successive, i punti ξ k vengono scelti indipendentemente ogni psso. Fissto n, in generle S n (f ) dipende dll scelt dei punti ξ k. Esempio Clcolre l somm di Cuchy-Riemnn con n = 4 dell funzione f (x) = x 2, x [1, 3], scegliendo i punti ξ k in modi diversi. Interpretre geometricmente le somme ottenute... Si f : [, b] R un funzione limitt. Per ogni n N, si S n (f ) l somm di Cuchy-Riemnn di f. Dicimo che f è integrbile secondo Cuchy-Riemnn in [, b] se l successione {S n } converge e il limite non dipende dll scelt dei punti ξ k. In tl cso, il limite si denot con il simbolo b f (x)dx e si chim integrle definito (di Cuchy-Riemnn) di f in [, b]. 13 / 26

14 Esempi L funzione di Dirichlet f (x) = { 1 se x [, b] Q 0 se x [, b] \ Q non è integrbile secondo Cuchy-Riemnn. Si f (x) = c un funzione costnte in [, b]. Allor: f è integrbile secondo Cuchy-Riemnn e si h b f (x) dx = c (b ). Osservzione Per c > 0, il prodotto c (b ) è l re del rettngolo sotteso l grfico di f. In ltre prole, l integrle è ugule ll re dell regione pin delimitt dll sse delle scisse, il grfico di f e le rette di equzione x = e x = b. E per un funzione qulsisi? 14 / 26

15 Si f : [, b] R un funzione integrbile non negtiv. L insieme { } T := (x, y) x b, 0 y f (x) prende il nome di trpezoide individuto d f. Definimo re di T := b f (x) dx. Interpretzione geometric dell integrle Si f : [, b] R un funzione integrbile di segno qulunque. L regione pin delimitt dl grfico di f e dll sse delle scisse è { } T := (x, y) x b, min{f (x), 0} y mx{f (x), 0}. Definimo re (totle) di T := b f (x) dx. 15 / 26

16 Sino f, g : [, b] R integrbili. L regione pin compres tr il grfico di f e il grfico di g è { } T := (x, y) x b, min{f (x), g(x)} y mx{f (x), g(x)}. Definimo re (totle) di T := b f (x) g(x) dx. Osservzione Ogni definizione generlizz l precedente. 16 / 26

17 Teorem (Clssi di funzioni integrbili) 1 Se f : [, b] R è continu, llor f è integrbile. 2 Se f : [, b] R è monoton, llor f è integrbile. 3 Se f 1 : [, b] R e f 2 : [b, c] R sono integrbili, llor l funzione definit ponendo f 1 (x) se x [, b) f (x) = un qulsisi vlore se x = b f 2 (x) se x (b, c] è integrbile in [,c] e c f (x)dx = b c f 1 (x)dx + f 2 (x)dx. b 17 / 26

18 Teorem Sino f, g funzioni integrbili in [, b]. Proprietà di linerità Per ogni α, β R, l funzione αf + βg è integrbile in [, b] e b [ ] b αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β b g(x)dx. (1) Proprietà di monotoni f 0 in [, b] = b f (x) dx 0 f g in [, b] = b f (x) dx b g(x)dx b b f (x) dx f (x) dx (disuguglinz tringolre) Proprietà di dditività Se c [, b], llor f è integrbile in [, c] e in [c, b] e b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx. (2) 18 / 26

19 Osservzione Nell definizione di integrle di Cuchy-Riemnn bbimo supposto < b. Possimo eliminre quest restrizione ponendo b 0 se = b f (x) dx := f (x) dx se > b b Con quest convenzione, nell pgin precedente: l uguglinz (1) vle per ogni, b R; l uguglinz (2) vle per ogni, b, c R. 19 / 26

20 Teorem (dell medi integrle) Si f : [, b] R un funzione integrbile. 1 inf f 1 b b f (x)dx sup f 2 Se f è continu in [, b], llor esiste x 0 [, b] tle che 1 b f (x) dx = f (x 0 ). b Interpretzione geometric? Dimostrzione... Not Il numero 1 b f (x)dx si chim medi integrle di f in [, b]. b Motivzione? 20 / 26

21 Teorem e formul fondmentle del clcolo integrle Si A un intervllo e si f : A R un funzione continu. Allor: 1 f mmette primitiv in A. (vedi pgin 3) Precismente: per ogni fissto A, l funzione F : A R definit ponendo F (x) := x f (t) dt è un primitiv di f in A. per ogni x A Not: F si chim funzione integrle di f di punto inizile. 2 Si G un qulsisi primitiv di f in A. Allor: per ogni, b A si h Dimostrzione... b f (x) dx = G(b) G() =: [ G(x) ] b. 21 / 26

22 Esempi Clcolre l derivt dell funzione F (x) = Studire l convessità dell funzione F (x) = Clcolre l integrle π 0 sin(x) cos(x) dx. x 0 x 0 ln(t 2 + 1) dt. e t2 dt. Clcolre l medi integrle di f (x) = x 2 in [ 2, 3] e determinre un numero x 0 soddisfcente l second prte del teorem dell medi integrle. Clcolre l re del trpezoide individuto dll funzione ln(x) x nell intervllo [1, e]. Clcolre l re dell regione pin compres tr il grfico di f (x) = x cos(x), l sse delle scisse, le rette x = 0, x = 3π/2. Clcolre l re dell regione pin compres tr i grfici di f (x) = x, g(x) = x 2 e le rette x = 0, x = / 26

23 Integrli impropri (cenni) Ci proponimo di generlizzre l nozione di integrle rimuovendo l ipotesi di limittezz sull funzione e/o sull intervllo. Per semplicità, supporremo che f si un funzione di segno costnte. Sino, b R. Ponimo b + b f (x) dx := f (x) dx := f (x) dx := lim t b lim t + lim t + lim t t b t t b Interpretzione geometric... t f (x) dx se f è continu in [, b) illimitt in un intorno di b f (x) dx se f è continu in (, b] illimitt in un intorno di f (x) dx se f è continu in [, + ) f (x) dx se f è continu in (, b] 23 / 26

24 Osservzioni L continuità di f ne grntisce l integrbilità secondo Cuchy-Riemnn in ogni intervllo chiuso e limitto. Il segno di f grntisce che le funzioni integrli sino monotone e quindi mmettno limite. Ciscuno degli integrli definiti nell pgin precedente prende il nome di integrle improprio (o generlizzto). Un integrle improprio si dice convergente se il limite che lo definisce è finito, divergente se il limite che lo definisce è infinito. Esempio Stbilire se l integrle improprio o divergente. + 1 x 3 x2 dx è convergente 24 / 26

25 Un criterio di convergenz per le serie numeriche Teorem (Criterio dell integrle) Si n > 0 per ogni n n 0. Si f un funzione continu, positiv e decrescente in [n 0, + ) tle che f (n) = n per ogni n n 0. Allor: l serie di termine n converge se e solo se l integrle improprio + f (x) dx n 0 è convergente. In tl cso, detto R n il resto dell serie, risult Dimostrzione grfic... 0 R n + n f (x) dx. 25 / 26

26 Esempio Verificre che l serie di termine n 3 n2 è convergente. Determinre un intero N tle che l somm przile S N pprossimi l somm S meno di 10 2 e scrivere un intervllo l qule l somm S pprtiene. Sldimo un conto in sospeso: Proposizione (Convergenz dell serie rmonic generlizzt) L serie ( termini positivi) + n=1 1 n p converge se e solo se p > 1; in tl cso si h 1 0 R n (p 1) n p 1. Verific / 26