Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale"

Transcript

1 /12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile presentto è trtto di libri di testo consigliti, l cui consultzione è vivmente incorggit. 1 / 26

2 Integrle indefinito Si f : A R. Si dice che l funzione G è un primitiv (o nti-derivt) di f in A se G è derivbile in A G (x) = f (x) per ogni x A. Esempi? Osservzione (Crtterizzzione delle primitive in un intervllo) G 1 primitiv di f in A, c costnte = G 2 := G 1 + c primitiv di f in A In un intervllo vle nche il vicevers: G 1 e G 2 primitive di f in A intervllo = esiste c costnte tle che G 2 = G 1 + c Verific... 2 / 26

3 L insieme di tutte le primitive di f si chim integrle indefinito di f e si denot con il simbolo f (x) dx. Osservzioni 1 Per determinre l integrle indefinito di f in un intervllo è sufficiente determinre un primitiv di f. Conseguenz dell osservzione di pgin 2. 2 L integrle indefinito di un funzione f potrebbe essere vuoto. Esempio? 3 L integrle indefinito di f è sicurmente non vuoto se f è continu. Lo proveremo in seguito. 4 Anche se f è continu, non è detto che si riesc determinrne un primitiv in termini di funzioni elementri: in lcuni csi è complicto, in ltri è impossibile (per esempio, per le funzioni f (x) = e x2 e g(x) = sin(x) ). x Vedimo lcuni csi semplici in cui si riesce determinre l integrle indefinito... 3 / 26

4 Integrli indefiniti immediti 1 dx = x + c x α dx = x α+1 α c e x dx = e x + c sin(x) dx = cos(x) + c α 1 x dx = 1 dx = ln x + c x x ln() + c cos(x) dx = sin(x) + c 1 cos(x) 2 dx = 1 1 x 2 (1 + tn(x) 2 ) dx = tn(x) + c dx = rcsin(x) + c x 2 dx = rctn(x) + c 4 / 26

5 Regole di integrzione, ovvero come ottenere primitive prtire d primitive note. 1. Integrzione per scomposizione Sino f 1, f 2 funzioni continue e c 1, c 2 R. Risult: (c1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) ) dx = c 1 f 1 (x) dx + c 2 f 2 (x) dx Verific... Esempi Clcolre l integrle indefinito delle seguenti funzioni: f (x) = 3e x 2x 4 f (x) = 6 (1 + tn(x) 2 ) + f (x) = 2 x 3 cos(x) f (x) = x x x x 2 5 / 26

6 2. Integrzione per sostituzione Sino f e g due funzioni tli che l funzione compost f g si definit in un intervllo. Supponimo che f si continu e che g si di clsse C 1. Risult: f (g(x)) g (x) dx = f (t) dt t=g(x) Verific... Esempi Clcolre l integrle indefinito delle seguenti funzioni: f (x) = e sin(x) cos(x) f (x) = ex e 2x + 1 f (x) = 1 x 3 ln(x) + 2 f (x) = (rcsin(x))2 1 x 2 6 / 26

7 Esempi (d ricordre) e x dx = 1 ex + c sin(x) dx = 1 cos(x) + c cos(x) dx = 1 sin(x) + c x 2 dx = 1 ( x ) rctn + c 1 x + b dx = 1 ln x + b + c cso prticolre di g (x) dx = ln g(x) + c g(x) In tutte le formule si intende che si diverso d 0. 7 / 26

8 3. Integrzione per prti Sino f e g funzioni di clsse C 1 in un intervllo. Allor: f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx. Verific... Esempi Clcolre i seguenti integrli indefiniti: x cos(3x) dx x 2 cos(3x) dx x e x dx e x sin(2x) dx ln(x) dx (3x 2 + x + 1) ln(x) dx rctn(x) dx 8 / 26

9 Integrzione di lcune funzioni rzionli Voglimo determinre un primitiv dell funzione f (x) = P(x) Q(x) con P(x) e Q(x) funzioni polinomili tli che deg(p) < deg(q). Procedimento: 1 Scomponimo Q nel prodotto di fttori lineri x + b e di fttori qudrtici irriducibili x 2 + bx + c (con b 2 4c < 0). 2 Decomponimo f nell somm di funzioni rzionli del tipo deg = p 1 deg = 2q 1 S(x) (x + b) p oppure T (x) (x 2 + bx + c) q (trttimo solo q = 1) 3 Determinimo un primitiv per ogni singolo ddendo. 4 Sommimo le primitive trovte l psso precedente e ottenimo un primitiv di f. 9 / 26

10 Esempi ( singoli ddendi ) 1 2x + 5 dx 2x + 2 x 2 + 2x + 5 dx 1 (2x 1) 3 dx x 3 x 2 + 2x + 5 dx x 2 2x + 5 (2x 1) 3 dx 1 x 2 + 2x + 5 dx Altri esempi 2x + 7 x 2 x 2 dx 3x 2 2x + 5 (x 2)(x 2 + 9) dx 2x + 3 x 3 x 2 dx 3x 2 2x + 5 (x 2) 3 (x 2 + 3x + 9) dx 10 / 26

11 Osservzione Se deg(p) deg(q), eseguimo l divisione tr polinomi ottenendo P(x) R(x) = A(x) + Q(x) Q(x) con A(x), R(x) funzioni polinomili e deg(r) < deg(q). Esempio: determinre l integrle indefinito dell funzione rzionle f (x) = x 5 x + 1 x Esercizio Clcolre gli integrli indefiniti 1 () dx x 3 (b) x + 2x 1 x 2x 1 dx Suggerimento: eseguire le sostituzioni rzionlizznti () t = x (b) t = 2x 1 11 / 26

12 Integrle definito (di Cuchy-Riemnn) Si f : [, b] R un funzione limitt. Si n N. Ponimo Notimo che x k := + k b, per k = 0, 1,..., n. n = x 0 < x 1 <... < x n = b x k x k 1 = b n k = 1,..., n. Per ogni k = 1,..., n, sceglimo ξ k [x k 1, x k ]. I punti x 0, x 1,..., x n suddividono [, b] in n sottointervlli di mpiezz costnte Definimo l somm n-esim di Cuchy-Riemnn di f : ( ) n S n (f ) := f (ξ k )(x k x k 1 ) = b n f (ξ k ). n k=1 k=1 12 / 26

13 Osservzioni Nell costruzione di somme di Cuchy-Riemnn successive, i punti ξ k vengono scelti indipendentemente ogni psso. Fissto n, in generle S n (f ) dipende dll scelt dei punti ξ k. Esempio Clcolre l somm di Cuchy-Riemnn con n = 4 dell funzione f (x) = x 2, x [1, 3], scegliendo i punti ξ k in modi diversi. Interpretre geometricmente le somme ottenute... Si f : [, b] R un funzione limitt. Per ogni n N, si S n (f ) l somm di Cuchy-Riemnn di f. Dicimo che f è integrbile secondo Cuchy-Riemnn in [, b] se l successione {S n } converge e il limite non dipende dll scelt dei punti ξ k. In tl cso, il limite si denot con il simbolo b f (x)dx e si chim integrle definito (di Cuchy-Riemnn) di f in [, b]. 13 / 26

14 Esempi L funzione di Dirichlet f (x) = { 1 se x [, b] Q 0 se x [, b] \ Q non è integrbile secondo Cuchy-Riemnn. Si f (x) = c un funzione costnte in [, b]. Allor: f è integrbile secondo Cuchy-Riemnn e si h b f (x) dx = c (b ). Osservzione Per c > 0, il prodotto c (b ) è l re del rettngolo sotteso l grfico di f. In ltre prole, l integrle è ugule ll re dell regione pin delimitt dll sse delle scisse, il grfico di f e le rette di equzione x = e x = b. E per un funzione qulsisi? 14 / 26

15 Si f : [, b] R un funzione integrbile non negtiv. L insieme { } T := (x, y) x b, 0 y f (x) prende il nome di trpezoide individuto d f. Definimo re di T := b f (x) dx. Interpretzione geometric dell integrle Si f : [, b] R un funzione integrbile di segno qulunque. L regione pin delimitt dl grfico di f e dll sse delle scisse è { } T := (x, y) x b, min{f (x), 0} y mx{f (x), 0}. Definimo re (totle) di T := b f (x) dx. 15 / 26

16 Sino f, g : [, b] R integrbili. L regione pin compres tr il grfico di f e il grfico di g è { } T := (x, y) x b, min{f (x), g(x)} y mx{f (x), g(x)}. Definimo re (totle) di T := b f (x) g(x) dx. Osservzione Ogni definizione generlizz l precedente. 16 / 26

17 Teorem (Clssi di funzioni integrbili) 1 Se f : [, b] R è continu, llor f è integrbile. 2 Se f : [, b] R è monoton, llor f è integrbile. 3 Se f 1 : [, b] R e f 2 : [b, c] R sono integrbili, llor l funzione definit ponendo f 1 (x) se x [, b) f (x) = un qulsisi vlore se x = b f 2 (x) se x (b, c] è integrbile in [,c] e c f (x)dx = b c f 1 (x)dx + f 2 (x)dx. b 17 / 26

18 Teorem Sino f, g funzioni integrbili in [, b]. Proprietà di linerità Per ogni α, β R, l funzione αf + βg è integrbile in [, b] e b [ ] b αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β b g(x)dx. (1) Proprietà di monotoni f 0 in [, b] = b f (x) dx 0 f g in [, b] = b f (x) dx b g(x)dx b b f (x) dx f (x) dx (disuguglinz tringolre) Proprietà di dditività Se c [, b], llor f è integrbile in [, c] e in [c, b] e b f (x) dx = c f (x) dx + b c f (x) dx. (2) 18 / 26

19 Osservzione Nell definizione di integrle di Cuchy-Riemnn bbimo supposto < b. Possimo eliminre quest restrizione ponendo b 0 se = b f (x) dx := f (x) dx se > b b Con quest convenzione, nell pgin precedente: l uguglinz (1) vle per ogni, b R; l uguglinz (2) vle per ogni, b, c R. 19 / 26

20 Teorem (dell medi integrle) Si f : [, b] R un funzione integrbile. 1 inf f 1 b b f (x)dx sup f 2 Se f è continu in [, b], llor esiste x 0 [, b] tle che 1 b f (x) dx = f (x 0 ). b Interpretzione geometric? Dimostrzione... Not Il numero 1 b f (x)dx si chim medi integrle di f in [, b]. b Motivzione? 20 / 26

21 Teorem e formul fondmentle del clcolo integrle Si A un intervllo e si f : A R un funzione continu. Allor: 1 f mmette primitiv in A. (vedi pgin 3) Precismente: per ogni fissto A, l funzione F : A R definit ponendo F (x) := x f (t) dt è un primitiv di f in A. per ogni x A Not: F si chim funzione integrle di f di punto inizile. 2 Si G un qulsisi primitiv di f in A. Allor: per ogni, b A si h Dimostrzione... b f (x) dx = G(b) G() =: [ G(x) ] b. 21 / 26

22 Esempi Clcolre l derivt dell funzione F (x) = Studire l convessità dell funzione F (x) = Clcolre l integrle π 0 sin(x) cos(x) dx. x 0 x 0 ln(t 2 + 1) dt. e t2 dt. Clcolre l medi integrle di f (x) = x 2 in [ 2, 3] e determinre un numero x 0 soddisfcente l second prte del teorem dell medi integrle. Clcolre l re del trpezoide individuto dll funzione ln(x) x nell intervllo [1, e]. Clcolre l re dell regione pin compres tr il grfico di f (x) = x cos(x), l sse delle scisse, le rette x = 0, x = 3π/2. Clcolre l re dell regione pin compres tr i grfici di f (x) = x, g(x) = x 2 e le rette x = 0, x = / 26

23 Integrli impropri (cenni) Ci proponimo di generlizzre l nozione di integrle rimuovendo l ipotesi di limittezz sull funzione e/o sull intervllo. Per semplicità, supporremo che f si un funzione di segno costnte. Sino, b R. Ponimo b + b f (x) dx := f (x) dx := f (x) dx := lim t b lim t + lim t + lim t t b t t b Interpretzione geometric... t f (x) dx se f è continu in [, b) illimitt in un intorno di b f (x) dx se f è continu in (, b] illimitt in un intorno di f (x) dx se f è continu in [, + ) f (x) dx se f è continu in (, b] 23 / 26

24 Osservzioni L continuità di f ne grntisce l integrbilità secondo Cuchy-Riemnn in ogni intervllo chiuso e limitto. Il segno di f grntisce che le funzioni integrli sino monotone e quindi mmettno limite. Ciscuno degli integrli definiti nell pgin precedente prende il nome di integrle improprio (o generlizzto). Un integrle improprio si dice convergente se il limite che lo definisce è finito, divergente se il limite che lo definisce è infinito. Esempio Stbilire se l integrle improprio o divergente. + 1 x 3 x2 dx è convergente 24 / 26

25 Un criterio di convergenz per le serie numeriche Teorem (Criterio dell integrle) Si n > 0 per ogni n n 0. Si f un funzione continu, positiv e decrescente in [n 0, + ) tle che f (n) = n per ogni n n 0. Allor: l serie di termine n converge se e solo se l integrle improprio + f (x) dx n 0 è convergente. In tl cso, detto R n il resto dell serie, risult Dimostrzione grfic... 0 R n + n f (x) dx. 25 / 26

26 Esempio Verificre che l serie di termine n 3 n2 è convergente. Determinre un intero N tle che l somm przile S N pprossimi l somm S meno di 10 2 e scrivere un intervllo l qule l somm S pprtiene. Sldimo un conto in sospeso: Proposizione (Convergenz dell serie rmonic generlizzt) L serie ( termini positivi) + n=1 1 n p converge se e solo se p > 1; in tl cso si h 1 0 R n (p 1) n p 1. Verific / 26

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

INTEGRALE INDEFINITO. Saper calcolare l integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi

INTEGRALE INDEFINITO. Saper calcolare l integrale indefinito di una funzione utilizzando i diversi metodi INTEGRLE INDEFINITO OIETTIVI MINIMI: Sper definire l integrle indefinito di un funzione. onoscere le proprietà dell integrle indefinito. Sper clcolre l integrle indefinito di un funzione utilizzndo i diversi

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

22. Calcolo integrale: esercizi

22. Calcolo integrale: esercizi . Clcolo integrle: esercizi Esercizio.6. Clcolre. 3. (x 5x + 3x + ),. ( 3 x + x x5), 4. ( 4 + x x4 + 5e x ), ( 3 x 5 cos(5x) + ). x 5 R. Con l usilio delle tbelle e per le proprietà delle primitive, si

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

II-8 Integrale di Riemann

II-8 Integrale di Riemann II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva.

Integrazione numerica. I(f) := Non sempre si riesce a trovare la forma esplicita della primitiva. Approssimzione numeric di: Motivzioni. Integrzione numeric I(f) = f(x)dx. Non sempre si riesce trovre l form esplicit dell primitiv. Vlutzione costos dell primitiv. L funzione d integrre può essere dt

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale.

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale. Cpitolo 1 Integrle di Riemnn In questo cpitolo svilupperemo l teori dell integrzione secondo Riemnn per funzioni di un vribile rele. 1.1 Motivzioni Considerimo i seguenti problemi. 1. Clcolo di un re.

Dettagli

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I.

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Pietro Bldi Anlisi mtemtic I Progrmm d esme, nno ccdemico 2012-2013 Corso di Lure Triennle in Ingegneri Biomedic, cognomi A-I. Il libro di testo dottto durnte il corso è Anlisi Mtemtic Uno, P. Mrcellini,

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

Lezione 16 Derivate ed Integrali

Lezione 16 Derivate ed Integrali Lezione 16 Derivte ed Integrli Frnk Sullivn 1 Dicembre 11 1 Prim Or Compiti di letture ed esercizi per 3 Dicembre Durnte l lezione di oggi pplicheremo le regole per differenzire funzioni l clcolo di integrli.

Dettagli

Complementi sull integrazione

Complementi sull integrazione Complementi sull integrzione ( cur di L. Pisni) C.d.L. in Mtemtic Università degli Studi di Bri A.A. 2003/04 Indice Riepilogo dell teori. Integrle di Riemnn........................... Continuità rispetto

Dettagli

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo

Analisi Matematica: Calcolo Integrale. Francesco Russo Anlisi Mtemtic: Clcolo Integrle Frncesco Russo 2 settembre 200 2 Indice Integrli indefiniti 5. Primitive ed integrli indefiniti................. 5.2 Formule di integrzione..................... 6 2 Integrle

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie

Dettagli

Il calcolo integrale

Il calcolo integrale CAPITOLO 4 Il clcolo integrle Il problem che ffrontimo in questo cpitolo è il clcolo di ree di lcune regioni del pino. Inizimo il cpitolo spiegndo quli regioni pine simo interessti. Questi rgomenti sono

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n. Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

1 Integrali impropri di funzioni continue

1 Integrali impropri di funzioni continue ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in

Dettagli

Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 7 - Integrazione numerica

Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 7 - Integrazione numerica Complementi di Mtemtic e Clcolo Numerico A.A. 0014-015 Lbortorio 7 - Integrzione numeric Dtunfunzionef vlorireliperclcolre b fornisce l funzione predefinit qud Sintssi: q=qud(f,,b,tol) input: f funzione

Dettagli

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi

1. Elementi di analisi funzionale Esercizi . Elementi di nlisi funzionle Esercizi http://www.cirm.unibo.it/~brozzi/mi/pdf/mi-cp.-ese.pdf.. Spzi vettorili.. Spzi vettorili normti.-. Dimostrre l diseguglinz tringolre in C n reltivmente ll norm (

Dettagli

8. Calcolo integrale.

8. Calcolo integrale. Politenio di Milno - Foltà di Arhitettur Corso di Lure in Edilizi Istituzioni di Mtemtihe - Appunti per le lezioni - Anno Ademio 200/20 26 8 Clolo integrle 8 Signifito geometrio dell integrle definito

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Calcolo integrale per funzioni di una variabile Cpitolo 10 Clcolo integrle per funzioni di un vribile 10.1 Funzioni primitive Abbimo studito il problem di dedurre d un dt funzione l su derivt. Voglimo or occuprci del problem inverso: dt un funzione

Dettagli

Note di Derivate ed Integrali

Note di Derivate ed Integrali 1 Note di Derivte ed Integrli Versione 1.0 Lmberto Lmberti & Corrdo Msci prte II Integrle, derivte, teoremi sulle derivte, nlisi locle, nlisi globle 16 Ottobre 2002 2 Indice 1 L integrle 5 1.1 Aree ed

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls

Dettagli

Esercizi su spazi ed operatori lineari

Esercizi su spazi ed operatori lineari Esercizi su spzi ed opertori lineri Corso di Fisic Mtemtic 2,.. 2013-2014 Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno 23 Ottobre 2013 1 Spzio L 2 Esercizio 1. Per = 0, b = 1, dire quli delle seguenti funzioni

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni

Capitolo 7. Integrali doppi. 7.1 Motivazioni Cpitolo 7 Integrli doppi In questo cpitolo studieremo gli integrli per funzioni di più vribili: più precismente ci occuperemo degli integrli di funzioni di due vribili (dunque integrli doppi), m piccole

Dettagli

Matteo Gallone. Appunti di Analisi Matematica II

Matteo Gallone. Appunti di Analisi Matematica II Mtteo Gllone Appunti di Anlisi Mtemtic II Questo testo è distribuito con l licenz Cretive Commons: Attribuzione - Non commercile - Condividi llo stesso modo 3.0, ovvero tu sei libero di di riprodurre,

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, }

{ 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12, } Lezione 01 Aritmetic Pgin 1 di 1 I numeri nturli I numeri nturli sono: 0,1,,,4,5,6,7,8,,10,11,1, L insieme dei numeri nturli viene indicto col simbolo. } { 0,1,,, 4,5,6,7,8,,10,11,1, } L insieme dei numeri

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica

Appunti di Analisi Matematica Appunti di Anlisi Mtemtic Stefno Med e Alberto Peretti Appunti per il corso di Mtemtic I I semestre,.. 2001/2002 Fcoltà di Scienze Sttistiche Università di Milno-Bicocc c Stefno Med e Alberto Peretti,

Dettagli

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1)

Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1) Registro delle lezioni del corso di Anlisi Mtemtic 2 Università di Firenze - Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure in Ingegneri Meccnic M Z.. 20/202 - Prof. M.Ptrizi Per Prim prte (Argomenti di Anlisi Mtemtic

Dettagli

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei.

8. Prodotto scalare, Spazi Euclidei. 8. Prodotto sclre, Spzi Euclidei. Ricordimo l definizione di prodotto sclre di due vettori del pino VO 2 (vle in modo del tutto nlogo nche in VO 3 ). Definizione: Sino v, w VO 2 e si θ l ngolo convesso

Dettagli

Metodi di integrazione

Metodi di integrazione CAPITOLO 6 Metodi di integrzione. Introduzione Tnto per comincire, ricordimo i ftti principli che bbimo visto sugli integrli indefiniti: dt un funzione f, un funzione F è un primitiv di f o un integrle

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler

Determinanti e caratteristica di una matrice (M.S. Bernabei & H. Thaler Determinnti e crtteristic di un mtrice (M.S. Bernbei & H. Thler Determinnte Il determinnte può essere definito solmente nel cso di mtrici qudrte Per un mtrice qudrt 11 (del primo ordine) il determinnte

Dettagli

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione. T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto,

Dettagli

x = x(t) y = y(t) t [a, b]

x = x(t) y = y(t) t [a, b] Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv

Dettagli

Integrazione Numerica

Integrazione Numerica Integrzione Numeric Si f un funzione integrbile sull intervllo [, b]. Il suo integrle I (f ) = b f (x) dx può essere difficile d clcolre (può nche non essere vlutbile in form esplicit). Un formul esplicit

Dettagli