Prima parte (Argomenti di Analisi Matematica 1)

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1 Registro delle lezioni del corso di Anlisi Mtemtic 2 Università di Firenze - Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure in Ingegneri Meccnic M Z.. 20/202 - Prof. M.Ptrizi Per Prim prte (Argomenti di Anlisi Mtemtic ) settimn - inizio lezioni Testi di riferimento : - Anichini G. Conti G., Anlisi Mtemtic, Person Eduction, Anichini G. Conti G., Anlisi Mtemtic 2, Person Eduction, 200. Testi consigliti per consultzione : - Bertsch M. Dl Psso R. Gicomelli L., Anlisi Mtemtic, McGrw Hill, Milno Giquint M. Modic G., Note di Anlisi Mtemtic. Funzioni di un vribile, Pitgor Editrice, Bologn Giquint M. Modic G., Note di Anlisi Mtemtic. Funzioni di più vribili, Pitgor Editrice, Bologn Testo consiglito per i prerequisiti: - Anichini G. Crbone A. Chirelli P. Conti G., Precorso di Mtemtic, Person Eduction, 200. Testi consigliti per esercizi: - Benevieri P., Esercizi di Anlisi Mtemtic, Ed. De Agostini, Mrcellini P. Sbordone C., Esercitzioni di Mtemtic, Liguori Editore. - Mrcellini P. Sbordone C., Esercitzioni di Mtemtic 2, Liguori Editore. - Sls S. Squellti A., Esercizi di Anlisi Mtemtic, Znichelli, Sls S. Squellti A., Esercizi di Anlisi Mtemtic 2, Znichelli, 20. Versione del 24 prile 202

2 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Complementi sull teori dei iti Ricordimo che un funzione si dice infinitesim per x α (dove α può essere x 0 R o uno dei simboli x 0, x+ 0, +, ) se tende zero per x α. Anlogmente, diremo che un funzione è infinit per x α se tende ll infinito (per x α). I teoremi di de l Hôpitl sono utili strumenti per il clcolo del ite del rpporto di due funzioni entrmbe infinitesime o infinite per x α. In ltre prole, rppresentno un rtificio (nche se non l unico) per determinre il ite delle cosiddette forme indeterminte 0/0 e /. Si possono nche usre (con opportune trsformzioni) per risolvere forme indeterminte del tipo 0, 0 0,, 0. Teorem. (di de l Hôpitl) Sino f e g due funzioni infinitesime o infinite per x α e derivbili in un intorno forto di α. Supponimo che in tle intorno si bbi g (x) 0. Allor, se esiste il ite (finito o infinito) per x α di f (x)/g (x), risult f(x) x α g(x) = f (x) x α g (x). Per dre un ide del significto del teorem considerimo il cso prticolre in cui f e g sino derivbili con continuità d esempio in un intervllo (x 0 δ, x 0 + δ) e sino tli che f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 e g (x 0 ) 0. In tl cso, ricordndo l equivlenz tr derivbilità e differenzibilità per funzioni di un vribile si ottiene, in un opportuno intorno forto di x 0, f(x) g(x) = f(x 0) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ɛ(x x 0 ) g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ɛ (x x 0 ) = = (x x 0)(f (x 0 ) + ɛ(x x 0 )) (x x 0 )(g (x 0 ) + ɛ (x x 0 )) = f (x 0 ) + ɛ(x x 0 ) g (x 0 ) + ɛ (x x 0 ), dove ɛ e ɛ sono funzioni infinitesime e continue in x 0. Pssndo l ite per x x 0 si ottiene f(x) x x 0 g(x) = f (x 0 ) g (x 0 ) = f (x) x x 0 g (x). Osservzione. L condizione espress dl Teorem di de l Hôpitl è solo sufficiente. Ad esempio inftti tende 2/3 per x +, m f(x) g(x) = 2x + cos x 3x + sen x f (x) g (x) = 2 sen x 3 + cos x Versione del 24 prile 202 2

3 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per non mmette ite per x +. Esempio. E utile l ppliczione del Teorem di de l Hôpitl per provre i seguenti iti: x n x + e x = 0 ; log x x + x = 0 ; Ad esempio, per qunto rigurd il primo ite, se pplichimo n volte il teorem di de l Hôpitl ci riducimo clcolre n! x + e x che ovvimente vle 0 (ricordimo che, dto n N, n, il numero n!, che si legge n fttorile, è così definito n! = n (n ) (n 2) 3 2 ). Esempio. Il Teorem di de L Hôpitl si può pplicre nche in lcuni csi in cui il rpporto f(x)/g(x) non è immeditmente riconoscibile. Per esempio, si può provre che x 0 x log x = 0 con de L Hôpitl scrivendo x log x = log x /x. Più in generle, con lo stesso metodo, si ottiene che Anlogmente x 0 xα ( log x ) β = 0, (α > 0, β > 0). x 0 xx = si può clcolre scrivendo x x = e x log x (cioè medinte l definizione di potenz in cmpo rele) e riconducendosi l cso precedente. Osservzione. In lcuni csi l uso del Teorem di de l Hôpitl non port d lcun risultto. Ad esempio, sino f(x) = x 2 +, g(x) = x e, quindi, f (x) = x, x 2 + g (x) =. Applicndo il Teorem di de l Hôpitl si ottiene f (x) x + g (x) = x + x x 2 +, che è il ite dell funzione reciproc di quell di prtenz. D ltr prte, d un clcolo diretto, si h subito f(x) x x + g(x) = 2 + =. x + x Versione del 24 prile 202 3

4 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservzione. Nell pplicre il Teorem di de l Hôpitl si deve fre ttenzione che le ipotesi sino rispettte; per esempio che il ite di un rpporto f(x)/g(x) si un form indetermint. Se inftti lo pplicssimo l rpporto x/(x + ) per x 0, che non è un form indetermint, otterremmo che ovvimente è flso. Clcolo di x α f(x) g(x). x 0 x x + =, Considerimo il ite per x α di un funzione del tipo f(x) g(x), dove f(x) > 0. Poiché ogni numero positivo c può essere scritto nell form e log c, si h f(x) g(x) = e log f(x)g(x) = e g(x) log f(x). È importnte quindi studire il ite per x α dell funzione g(x) log f(x). Per semplicità di linguggio, in ciò che segue, fccimo le seguenti convenzioni: e = 0, e + = +, log 0 =, log(+ ) = +. Supponimo che, per x α, f(x) e g(x) b, dove e b pprtengono i reli estesi. Nel cso che b log non si un form indetermint, in bse lle convenzioni ftte sopr possimo ffermre che x α f(x)g(x) = e g(x) log f(x) = e x α g(x) log f(x) = e b log. x α Ovvimente, nei pssggi precedenti si è tenuto conto dell continuità delle funzioni e x e log x. Anlizzimo or in quli csi l form b log risult indetermint. Si hnno solo due possibilità: ) b = 0 e log = ; 2) b = e log = 0. Il primo cso dà luogo due sottocsi: = 0 e = +. Il cso 2) può cpitre solo se =. L form b log risult quindi indetermint nelle seguenti tre situzioni: ) = 0 e b = 0 (form indetermint 0 0 ); b) = + e b = 0 (form indetermint 0 ); c) = e b = (form indetermint ). Esempi di forme indeterminte delle potenze: (0 0 ) x 0 x x = x 0 e x log x = e x 0 x log x = e 0 = ; ( 0 ) x + x /x = x + e log x/x = e x + log x/x = e 0 = ; Versione del 24 prile 202 4

5 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ( ) x 0 ( + x) /x = e x 0 (/x) log(+x) = e = e. Per i primi due iti simo ricondotti x 0 x log x e x + log x/x che, come bbimo visto, si clcolno immeditmente pplicndo il Teorem di de l Hôpitl. Il terzo ite dipende dl ite notevole x 0 log( + x)/x =. Si potrebbe pensre di clcolre in modo più semplice x 0 log(+x)/x pplicndo il Teorem di de l Hôpitl invece di ricorrere ll dimostrzione più complict di tle ite notevole ftt in precedenz. Bst però osservre che tle ite notevole non è ltro che il ite del rpporto incrementle dell funzione x log( + x) in x 0 = 0 (cioè è l derivt di x log( + x) in x 0 = 0) e quindi non vrebbe senso usre l derivt di x log(+x) (cos che si frebbe pplicndo il Teorem di de l Hôpitl) per clcolre l derivt di x log( + x). Infinitesimi e infiniti Definizione. Sino f, g due infinitesimi [infiniti] per x α, dove con α indicheremo x 0 R oppure uno dei simboli +,, x + 0, x 0. Supponimo g(x) 0 in un intorno forto di α. Si dice che f(x) e g(x) sono infinitesimi [infiniti] dello stesso ordine se il rpporto f(x)/g(x) tende d un numero finito e diverso d zero (per x α). Si dice che f e g sono due infinitesimi [infiniti] equivlenti (per x α), e si scrive f(x) = g(x) per x α, se f(x)/g(x) per x α. Si osservi che se due infinitesimi [infiniti] sono equivlenti, llor sono nche dello stesso ordine (m in generle non è vero il vicevers). Si dice che f(x) è un infinitesimo di ordine superiore [infinito di ordine inferiore ] g(x) se il rpporto f(x)/g(x) tende zero per x α. Si dice che due infinitesimi [infiniti] sono non confrontbili se il rpporto f(x)/g(x) non mmette ite per x α. Tlvolt, qundo si fferm che un cert funzione f(x) è infinitesim [infinit] per x α, risult superflu l preciszione per x α, qundo è evidente dl contesto o dll ntur di f(x) qule si il punto α cui deve tendere l vribile ffinché f(x) risulti infinitesim [infinit]. Ad esempio, se si fferm che x 2 è un infinitesimo, è inutile ggiungere che lo è per x 0, in qunto x = 0 è l unico possibile punto cui può tendere x in modo che x 2 si un infinitesimo. Esempi di infinitesimi per x 0 : x, sen x, x, x + x 2, cos x, x, x 2 /( + cos x), 2x, x 2 x, tng(πx) x 2 sen(/x). Tenendo presente le regole di clcolo dei iti, osservimo che (per x 0) x = sen x, che cos x è di ordine superiore d x, che cos x è dello stesso ordine di x 2 (m non equivlente), che x è di ordine superiore x, che cos x = x 2 /2 = x 2 /(+cos x), che 2x e x 2 x sono dello stesso ordine, che tng(πx) = πx, che x 2 sen(/x) è di ordine superiore x m non è confrontbile con x 2. Versione del 24 prile 202 5

6 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempi di infinitesimi per x + : /x, /x 2, / x, /(x + x 2 ), sen x/(x cos x), / x, 2/x + /x 3, x/( + x x 2 ), sen(/x), sen(/x) + /x 2. Osservimo che (per x + ) /x 2 è di ordine superiore /x, che /(x + x 2 ) è equivlente /x 2 ; che /x è dello stesso ordine di 2/x + /x 3, che x/( + x x 2 ) e sen(/x) + /x 2 sono dello stesso ordine. Ulteriori esempi di infinitesimi: sen x per x π; sen x/x per x ± ; 2 x per x 2; 2 x per x 2 ; 2 x per x 2; 2 x per x 2 + ; /x per x ; /x per x ± ; x + x 2 per x ; x x 2 per x + ; tng x per x π. Esempi di infiniti per x + o per x : x, x, x + x 2, x, x ( > ), log x x 3 /( + rctng x), 3x 2, x 2 x, x 2 sen(/x), x 2 (3 + sen x). Tenendo presente le regole di clcolo dei iti, osservimo che (per x ± ) x+ x 2 è dello stesso ordine di x 2 m è di ordine superiore d x, che x 3 /(+rctng x) è dello stesso ordine di x 3 (m non equivlente), che x è di ordine superiore x, che 3x 2 e x 2 x sono dello stesso ordine, che x 2 sen(/x) è dello stesso ordine di x, che x 2 (3 + sen x) è di ordine superiore x, m non è confrontbile con x 2. Esempi di infiniti per x 0 : /x, /x 2, / x, /(x + x 2 ), / x, 2/x + /x 3, x/(x x 2 ). Osservimo, d esempio, che /(x + x 2 ) è dello stesso ordine di /x mentre è di ordine inferiore /x 2 e che 2/x + /x 3 è dello stesso ordine di /x 3 Ulteriori esempi di infiniti: / sen x per x π + ; / sen x per x π ; / 2 x per x 2 ; / 2 x per x 2; / log x per x ; tng x per x π/2 ; tng x per x π/2 +. Definizione. Sino f, g due infinitesimi [infiniti] per x α. Supponimo g(x) 0 in un intorno forto di α. Se esistono k > 0 e l 0 tli che x α f(x) (g(x)) k = l, Versione del 24 prile 202 6

7 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per si dice che f(x) è un infinitesimo [infinito] di ordine k > 0 rispetto ll infinitesimo cmpione g(x). Osservzione. L più semplice funzione infinitesim per x 0 è g(x) = x. Per questo motivo tle funzione viene spesso considert un riferimento per gli ltri infinitesimi per x 0. Si us dire inftti che f(x) è un infinitesimo del primo ordine se è dello stesso ordine di x, che è del secondo se è dello stesso ordine di x 2, che è di ordine superiore l primo se è di ordine superiore d x, e così vi. Più in generle, se x x 0 R si us come infinitesimo cmpione g(x) = x x 0 e, se x ±, si prende g(x) = /x. In mnier nlog, come infinito cmpione se x ± si us g(x) = x, mentre se x x 0 R si prende g(x) = /(x x 0 ). Se k non è un numero nturle, si deve prestre ttenzione l ftto che l infinitesimo [infinito] cmpione g(x) dovrà essere > 0 ffinché (g(x)) k si definito. Ad esempio f(x) = sen( x) è un infinitesimo di ordine /2 per x, cioè rispetto ll infinitesimo cmpione g(x) = x, m non vrebbe senso considerre g(x) = x. Esempio. Osservimo che sen x e tng x sono, per x 0, infinitesimi di ordine rispetto x, che cos x è di ordine 2 rispetto x; che x x 2, per x +, è un infinitesimo di ordine rispetto /x; che x2 x x, per x +, è un infinito di ordine 3/2 rispetto x. Osservzione. Non sempre esiste l ordine di un infinitesimo [infinito]. Ad esempio, usndo il Teorem di de l Hôpitl, bbimo provto che x + x = +, ( > ), xk qulunque si k > 0. Si esprime questo ftto dicendo che x è un infinito di ordine superiore qulunque k > 0. Abbimo nche provto che x 0 xα ( log x ) β ( log x ) β = x 0 /x α = 0, (β > 0), qulunque si α > 0. Si esprime questo ftto dicendo che ( log x ) β è un infinito (per x 0) di ordine inferiore qulunque α > 0. Prte principle di un infinitesimo. Si f(x) un infinitesimo di ordine k > 0 rispetto g(x). Perciò, esiste l 0 tle che x α f(x) (g(x)) k = l. Versione del 24 prile 202 7

8 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Di conseguenz, d cui l funzione f(x) l(g(x)) k x α (g(x)) k = 0, ɛ(x) := f(x) l(g(x))k (g(x)) k, è infinitesim per x α. Perciò, per x pprtenente d un intorno forto di α nel qule g(x) 0, si h f(x) = l (g(x)) k + ɛ(x)(g(x)) k. L infinitesimo l (g(x)) k è detto l prte principle di f(x) (rispetto ll infinitesimo cmpione g(x)). In prticolre, se f(x) un infinitesimo di ordine k rispetto g(x) = x e se l x k è l su prte principle, llor f(x) e l x k sono infinitesimi equivlenti. Notzione. Sino f, g due infinitesimi per x α. Se f(x) è di ordine superiore g(x), cioè se x α f(x)/g(x) = 0, si scrive f(x) = o(g(x)) e si legge f(x) è o-piccolo di g(x) per x tendente d α. Il simbolo o-piccolo è detto simbolo di Lndu. Esempio. L infinitesimo f(x) = sen x 2 è, per x 0, di ordine superiore l primo in qunto x 0 (sen x 2 )/x = 0. Si scrive sen x 2 = o(x). In mnier nlog, cos x = o(x). Con l notzione di Lndu, potremo nche scrivere l uguglinz sopr nel modo seguente: f(x) = l (g(x)) k + o((g(x)) k ). Esempio. Abbimo visto che f(x) = sen x è, per x 0, un infinitesimo di ordine rispetto x poiché (sen x)/x per x 0. Con l notzione di Lndu introdott sopr potremo rccogliere quest informzione nell seguente scrittur: sen x = x + o(x). In mnier nlog potremo scrivere cos x = 2 x2 + o(x 2 ). Osservimo inoltre che l prte principle (rispetto x) di f(x) = sen x è x, mentre quell di f(x) = cos x è (/2) x 2. Versione del 24 prile 202 8

9 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per 2 settimn - dl Esercizio. Determinre l ordine di infinitesimo (per x 0) e l prte principle (rispetto x) dei seguenti infinitesimi : x sen(2x), x 3, x cos(2x), x 2 x 3, 2 4 x. Esercizio. Determinre l ordine di infinitesimo per x + di f(x) = 3 x 5 + rctng x x x 5. Proposizione (Algebr degli 0-piccoli). Sino f e ϕ due infinitesimi per x 0. Sono di fcile verific le seguenti proprietà (k, j > 0):. se f(x) = o(x k ), llor x j f(x) = o(x k+j ); 2. se f(x) = o(x k ), llor cf(x) = o(cx k ) = o(x k ), c 0; 3. se f(x) = o(x k ) e ϕ(x) = o(x j ) llor f(x)ϕ(x) = o(x k+j ); 4. se f(x) = o(x k ) e j < k, llor f(x) = o(x j ); 5. se f(x) = o(x k ) e ϕ(x) = o(x j ) llor f(x) ± ϕ(x) = o(x h ), h = min{k, j}; 6. se f(x) = o(o(x k )), llor f(x) = o(x k ); 7. se f(x) = o(x k + o(x k )), llor f(x) = o(x k ). Dimostrzione. Provimo l 3). Si h Provimo l 4). Si h f(x)ϕ(x) f(x) x 0 x k+j = x 0 x k ϕ(x) x 0 x j = 0. f(x) f(x) x k x 0 x j = x 0 x k x j = f(x) x 0 x k xk j = 0 L dimostrzione delle ltre proprietà è nlog e viene lscit per esercizio. Esempio. Trovre l ordine di infinitesimo per x 0 di f(x)ϕ(x) e di f(x)/ϕ(x) dove f(x) = sen x 2 + x 3 e ϕ(x) = cos x + 3 x 2. Si h f(x)ϕ(x) = (x 2 + o(x 2 ) + x 3 )((/2)x 2 + o(x 2 ) + 3 x 2 ) = (x 2 + o(x 2 ))( 3 x 2 + o( 3 x 2 )) = x 8/3 + o(x 8/3 ) Versione del 24 prile 202 9

10 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per e f(x) ϕ(x) = x 2 + o(x 2 ) + x 3 ((/2)x 2 + o(x 2 ) + 3 x 2 ) = (x 2 + o(x 2 )) ( 3 x 2 + o( 3 x 2 )) = x2 2/3 ( + o(x 2 )/x 2 ) + o ( 3 x 2 )/ 3 x 2 Perciò f(x)ϕ(x) è, per x 0, un infinitesimo di ordine 8/3 rispetto x mentre f(x)/ϕ(x) è di ordine 4/3. Formul di Tylor Abbimo visto che, dt f : I R definit in un intervllo perto I e derivbile in un punto x 0 I, esiste un unico polinomio di primo grdo P (h) = f(x 0 )+f (x 0 )h tle che f(x 0 + h) P (h) = 0. h 0 h In tl cso, potremo scrivere f(x 0 + h) = P (h) + ɛ(h)h, dove l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero. Proveremo che se f è derivbile n volte in x 0, esiste un unico polinomio P n (h) di grdo n tle che f(x 0 + h) P n (h) h 0 h n = 0. Ricordimo che, dto n N, n, il numero n! (si legge n fttorile) è così definito n! = n (n ) (n 2) 3 2. Esso denot cioè il prodotto di tutti i numeri nturli minori o uguli d n. Pertnto! =, 2! = 2, 3! = 3 2, ecc. È inoltre conveniente definire 0! = (ciò semplific l scrittur di lcune formule). Si h n! = n (n )!. Il numero n! rppresent il numero delle permutzioni (cioè degli ordinmenti) di n oggetti distinti ssegnti. Possimo dunque enuncire il teorem seguente Teorem (Esistenz dell formul di Tylor). Si f : I R un funzione di clsse C n in un intervllo perto I. Allor, fissto x 0 I, si h f(x 0 + h) = f(x 0) 0! + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n + ɛ(h)h n, n! Versione del 24 prile 202 0

11 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero e h è mmissibile (ossi, tle che x 0 + h I). Dimostrzione. Definimo f(x 0 + h) f(x 0) 0! f (x 0 )! h f (x 0 ) 2! h 2 f (n) (x 0 ) n! h n ɛ(h) = h n, h 0 0 h = 0 Voglimo provre che ɛ(h) 0 per h 0. È sufficiente verificre che f(x 0 + h) f(x 0) 0! f (x 0 )! h f (x 0 ) 2! h 2 f (n) (x 0 ) n! h n h 0 h n = 0 A questo scopo, pplicndo il teorem di de l Hôpitl, si ottiene f (x 0 + h) f (x 0 )! f (x 0 )h f (n) (x 0 ) n! h n h 0 n h n, che è ncor un form indetermint 0/0. Applicndo ltre n volte il teorem di de l Hôpitl, simo ricondotti clcolre f (n) (x 0 + h) f (n) (x 0 ) h 0 n! che è ugule 0 per l continuità di f (n) in x 0. Il polinomio (di grdo n) P n (h) = n k=0 f (k) (x 0 ) h k = f(x 0) k! 0! + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n n! è detto polinomio di Tylor di ordine n di f in x 0 (o di centro x 0 ). L espressione f(x 0 + h) = P n (h) + ɛ(h)h n è dett formul di Tylor di ordine n di f in x 0 (col resto nell form di Peno). L funzione R n (h) = ɛ(h)h n è chimt resto dell formul. Ovvimente si h R n (h) h 0 h n = 0, Versione del 24 prile 202

12 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per cioè il resto dell formul di Tylor è un infinitesimo di ordine superiore n. Ricordndo il simbolo di Lndu, il resto R n (h) è o(h n ) e l formul di Tylor si può scrivere nche nell form f(x 0 + h) = P n (h) + o(h n ). L formul di Tylor di centro x 0 = 0 si dice nche di formul di McLurin. In tl cso nche il polinomio e il resto si dicono di McLurin (oltre che di Tylor di centro zero). Il polinomio di Tylor di f di ordine n è un polinomio di grdo n. Non è detto inftti che il suo grdo si esttmente n ( meno che f (n) (x 0 ) si divers d 0). Non si deve quindi confondere l ordine di un formul di Tylor col grdo del suo polinomio (che non deve superre l ordine, m può essere nche minore). In ltre prole, l ordine di un formul di Tylor si giudic dl suo resto, e non dl suo polinomio. Ad esempio, come vedremo fcendo lo sviluppo di McLurin di sen x, le uguglinze sen x = x + o(x) e sen x = x + o(x 2 ) sono entrmbe vere. L prim è l formul di McLurin di sen x del prim ordine e l second è del second ordine. Entrmbe hnno lo stesso polinomio di McLurin, m l second, ovvimente, dà più informzioni dell prim. Ad esempio, ci dice che sin x x x 0 x 2 = 0, un ftto non deducibile dll prim. Osservzione. L prte principle di un infinitesimo per x 0 per il qule si poss scrivere l formul di McLurin è il monomio di grdo minimo contenuto in tle formul. N.B. l formul di Tylor di un funzione non è un pprossimzione dell funzione, m un uguglinz. Il polinomio di Tylor, invece, fornisce un pprossimzione dell funzione in un intorno del centro (più piccolo è l intorno e più elevto è il grdo del polinomio, migliore è l pprossimzione). Osservzione. Se f : I R è continu in x 0 I, llor risult f(x 0 + h) = f(x 0 ) + ɛ(h), e tle uguglinz rppresent l formul di Tylor di f di ordine zero in x 0. Osservzione. L formul di Tylor di centro x 0 di f(x) non è ltro che l formul di McLurin dell funzione g(h) := f(x 0 + h). Versione del 24 prile 202 2

13 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esercizio. Scrivere l formul di Mc Lurin di ordine n delle funzioni e x, sen x, cos x, log( + x), rctn x. Esempio. Usndo l formul di Tylor, clcolimo x sen x x 0 x 3. Poiché, per x 0, risult sen x = x x3 6 + o(x3 ), si h x x sen x 3 6 x 0 x 3 = + o(x3 ) x 3 ( 6 x 0 x 3 = + o(x3) ) x 3 x 0 x 3 = 6, ricordndo che, per definizione di o-piccolo, risult o(x 3 ) x 0 x 3 = 0. Esempio. Usndo l formul di Tylor, clcolimo nuovmente cos x x 0 x 2. Poiché, per x 0, risult cos x = x2 2 + o(x2 ), si h x cos x 2 2 x 0 x 2 = + o(x2 ) x 2 ( 2 x 0 x 2 = + o(x2) ) x 2 x 0 x 2 = 2. Teorem (Unicità dell formul di Tylor). Si f : I R un funzione di clsse C n in un intervllo perto I e si x 0 I e supponimo che per ogni h mmissibile (ossi, tle che x 0 + h I) si bbi dove f(x 0 + h) = 0 + h + 2 h n h n + ɛ(h)h n, k R, k = 0,..., n, e l funzione ɛ(h) è continu in zero e null in zero. Allor 0 = f(x 0 ), = f (x 0 )!, 2 = f (x 0 ),..., n = f (n) (x 0 ). 2! n! Dimostrzione. Il teorem di esistenz dell formul di Tylor ci ssicur che f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )! h + f (x 0 ) 2! h f (n) (x 0 ) h n + ɛ(h)h n, n! Versione del 24 prile 202 3

14 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per per ogni h mmissibile. Quindi, sottrendo le due uguglinze, si h 0 = ( 0 f(x 0 ))+( f (x 0 )! )h+( 2 f (x 0 ) 2! )h 2 + +( n f (n) (x 0 ) )h n +ɛ(h)h n, n! per ogni h mmissibile (osservimo inftti che l differenz di due funzioni ɛ(h) è ncor un funzione del tipo ɛ(h)). Dobbimo dunque dimostrre che se 0 = c 0 + c h + c 2 h c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I, llor c 0 = 0, c = 0,..., c n = 0. Poiché tle uguglinz è ver nche per h = 0 (ricordrsi che x 0 I, e quindi h = 0 è mmissibile), si ottiene c 0 = 0. Conseguentemente, cncellndo c 0, si h 0 = c h + c 2 h c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I. Pertnto, rccogliendo h, si ottiene 0 = h (c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n ), h tle che x 0 + h I. L funzione c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n è dunque null per tutti gli h 0 tli che x 0 + h I e, di conseguenz, poiché è continu nel punto h = 0 (essendo somm e prodotto di funzioni continue), possimo concludere che è null nche per h = 0 (ltrimenti si vrebbe un contrddizione con il teorem dell permnenz del segno per funzioni continue). Vle llor l uguglinz 0 = c + c 2 h + + c n h n + ɛ(h)h n, h tle che x 0 + h I. Di conseguenz, ponendo h = 0, si deduce che nche il coefficiente c deve essere nullo. Il risultto si ottiene procedendo llo stesso modo per pssi successivi. Abbimo visto che il teorem di esistenz dell formul di Tylor è utile per trovre le formule di McLurin delle funzioni elementri (cioè quelle non esprimibili combinndone ltre medinte operzioni di somm, prodotto, quoziente e composizione). Per le ltre funzioni è più prtico procedere combinndo tr loro le formule di McLurin delle funzioni elementri. Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Clcolimo l formul di McLurin di f(x) = e x2. Poiché, per ogni y R si h e y = n k=0 y k k! + o(yn ), Versione del 24 prile 202 4

15 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ponendo y = x 2 e tenendo conto dell unicità dell formul di Tylor, si ottiene n x 2k e x2 = + o(x 2n ). k! k=0 Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Considerimo l funzione f(x) = x 2 sen 2x e determinimone l formul di Mc Lurin del quinto ordine. Si dovrà scrivere un uguglinz del tipo f(x) = P 5 (x)+ o(x 5 ), dove P 5 (x) è un polinomio di grdo minore o ugule cinque. Grzie ll presenz del termine x 2, è sufficiente determinre l formul di Mc Lurin del terzo ordine di sen 2x, e moltiplicrl poi per x 2. Si osservi inftti che il prodotto di x 2 per P 3 (x) + o(x 3 ), dove P 3 (x) è un polinomio di grdo non superiore tre, divent P 5 (x) + o(x 5 ), dove P 5 (x) è di grdo non superiore cinque. Ricordimo che per sen x si h sen x = x x3 6 + o(x3 ). Poiché tle uguglinz è vlid per ogni numero x, sostituendo 2x l posto di x si ottiene sen 2x = 2x 4 3 x3 + o(x 3 ), e quindi f(x) = x 2 (2x 4 3 x3 + o(x 3 )) = 2x x5 + o(x 5 ). Esempio (di clcolo dell derivt n-esim in un punto medinte l formul di Tylor). Considerimo l funzione f(x) = x 2 sen 2x dell esempio precedente e determinimo le sue derivte qurt e quint nel punto x 0 = 0. Abbimo già provto che f(x) = 2x x5 + ɛ(x)x 5. Il teorem di unicità dell formul di Tylor ci ssicur che f (4) (0)/4! = 0 (inftti, nel polinomio di grdo 5 trovto, non compre il termine con x 4 ) e che f (5) (0)/5! = 4/3. Quindi f (4) (0) = 0 e f (5) (0) = 5!( 4/3) = 60. Esercizio. Usndo gli sviluppi di Tylor clcolre il ite per x 0 delle seguenti funzioni x sen x ( cos x) log( + x), log( + tng x) x 2, ( + sen 2x) sen x +x 2 x rctng x, e sen x3 + x 3 x 4 log(cos x) x 6 (α + x) (α R), (sen 3x 3x) log( + 2 sen x) αx 3 e x (α R). x + sen x Esempio (di clcolo di un formul di McLurin di un funzione combint). Determinimo l formul di McLurin dell ottvo ordine dell funzione f(x) = 2x x 3 cos 2x + x x 8 e x cos x. Versione del 24 prile 202 5

16 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservimo che il termine x x 8 e x cos x è dell form ɛ(x)x 8, con ɛ(x) = x e x cos x. Quindi è sufficiente clcolre l formul di McLurin del quinto ordine di cos 2x (l moltipliczione per x 3 produrrà inftti un resto del tipo ɛ(x)x 8 ). Poiché l uguglinz cos x = x2 2! + x4 4! + ɛ(x)x5 è verifict per ogni numero x, sostituendo il numero 2x l posto di x si ottiene In conclusione, si h cos 2x = 2x x4 + ɛ(x)x 5. f(x) = 2x x 3 + 2x x7 + ɛ(x)x 8. Esercizio. Determinre l derivt quint e l derivt sest nel punto x 0 = 0 dell funzione f(x) dell esempio precedente. Esercizio. Determinre l formul di McLurin del quinto ordine dell funzione e clcolre f (5) (0). f(x) = x x 5 cos x x 2 sen 2x Esempio. Considerimo l funzione f(x) = 3x + 7x 2 x 4 + 5x 6 x 9. Voglimo clcolre il polinomio di Mc Lurin di ordine 5 di f. Poiché l funzione f è già ess stess un polinomio, si h P 5 (x) = 3x + 7x 2 x 4. Notimo che P 5 è un polinomio di grdo 4, cioè di grdo minore di 5. In questo cso, inftti, risult f (5) (0) = 0. Inoltre, essendo f un polinomio di grdo 9, l formul di McLurin di f di ordine n con n 9 è tle che R n (x) = 0 per ogni x R. Di conseguenz, P n (x) = f(x) per n 9. Esercizio. Scrivere l formul di Tylor di ordine 4 e di centro x 0 = 2 del polinomio f(x) = 2 + 4x 2 + 6x 3 x 4. Esempio. Determinimo or un formul di Tylor con centro diverso d zero. Ad esempio, clcolimo l formul del qurto ordine e centro x 0 = di f(x) = 2x + (x + ) 2 cos πx e clcolimo f (4) ( ). sostituzione Poiché il centro x 0 non è zero, conviene effetture l x = x 0 + h = + h. Versione del 24 prile 202 6

17 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per In questo modo è come se si clcolsse l formul di Mc Lurin di g(h) := f( + h). Si h g(h) = f( + h) = 2( + h) + h 2 cos (πh π) = 2 + 2h + h 2 cos (π πh) = 2 + 2h h 2 cos (πh) = 2 + 2h h 2 ( π2 2 h2 + o(h 2 )) = 2 + 2h h 2 + π2 2 h4 + o(h 4 ). Di conseguenz, l formul cerct è f(x) = 2 + 2(x + ) (x + ) 2 + π2 2 (x + )4 + o((x + ) 4 ). Supponimo or di voler clcolre l derivt qurt nel punto x 0 = dell funzione f(x) = 2x + (x + ) 2 cos πx. Dto che di f(x) bbimo già determinto l formul di Tylor del qurto ordine in x 0 =, è sufficiente pplicre il Teorem di unicità dell formul di Tylor, il qule ci ssicur che f (4) ( )/4! coincide col coefficiente π 2 /2 del monomio di qurto grdo di tle formul. Pertnto f (4) ( ) = π2 2 4! = 2π2. Esempio. (di clcolo dell derivt n-esim in un punto medinte l formul di Tylor). Clcolimo l derivt quint nel punto x 0 = 2 dell funzione f(x) = (2 x)6 cos x + (2 x) 5 x 2 + x 7. Allo scopo è sufficiente determinre l formul di Tylor di f(x) del quinto ordine in x 0 = 2. Ponendo x = 2 + h e sostituendolo nell espressione di f(x) si ottiene f(2 + h) = ( h)6 cos(2 + h) + ( h) 5 (2 + h) 2 + (2 + h) 7 = ɛ(h)h 5 h 5 (2 + h) 2 + (2 + h) 7 = ɛ(h)h5 h 5 ( ɛ(h)) = 4 29 h5 + ɛ(h)h 5. Quindi, per l unicità dell formul, risult f (5) (2) = 4 5! = = 60 = 3, Versione del 24 prile 202 7

18 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Voglimo or pplicre il teorem di esistenz dell formul di Tylor per determinre l generic formul di McLurin di ( + x) α, dett formul (di McLurin) binomile. Definizione. Dto un numero rele α ed un numero nturle k, l espressione α(α )(α 2)... (α k + ) k! si chim coefficiente binomile (generlizzto) e si denot col simbolo ( ) α k che si legge α su k (d non confondere con il rpporto α/k). Si verific fcilmente che il coefficiente di x k nell formul di McLurin di (+x) α è proprio ( α k). Per poter scrivere l formul binomile in modo sintetico (cioè utilizzndo il simbolo di sommtori) è conveniente definire α su k nche per k = 0, ponendo ( ) α =. 0 Si h perciò ( + x) α = n k=0 ( ) α x k + o(x n ). k Nel cso prticolre in cui α si un numero nturle n e k si un intero tr 0 e n (estremi inclusi), il coefficiente n su k è un numero nturle (verificrlo per esercizio) e compre nello sviluppo di ( + b) n (chimto Binomio di Newton). I veri coefficienti binomili (non generlizzti) sono proprio quelli che si riferiscono questo cso specile. Essi hnno nche un significto combintorio, utile, tr l ltro, nel clcolo delle probbilità. Esercizio. Scrivere l espressione dell formul di McLurin di ordine n di f(x) = ( + x) α nei csi specili in cui α = /2 e α =. Esercizio. Dedurre, dll esercizio precedente, l formul di McLurin di f(x) = /( x). Esercizio. Un punto mterile di mss ( riposo) m si muove con velocità (sclre) v. L su energi cinetic (reltivistic) T (v) è dt dl prodotto dell incremento di mss m dovuto l movimento per il qudrto dell velocità dell luce: T (v) = m c 2 = (m(v) m(0)) c 2. Spendo che l mss in movimento del punto mterile è m m(v) =, v2 c 2 Versione del 24 prile 202 8

19 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per si determini l formul di McLurin del secondo ordine di T (v). D dett formul si deduc che l prte principle di T (v) è 2 mv2. ( Sugg. Scrivere l formul di McLurin di T (v) = m ======================== Prte fcolttiv (non svolt lezione) ( ) ) ( v2 ) c 2 2 c 2 Uno degli scopi dell formul di Tylor è quello di esprimere il vlore di un funzione f in un punto x trmite informzioni rigurdnti il suo comportmento in un punto inizile x 0 (si osservi inftti il polinomio di Tylor dipende esclusivmente di vlori ssunti d f e dlle sue derivte in x 0 ). In generle non srà possibile vlutre con esttezz il vlore di f in x conoscendo soltnto ciò che ccde in x 0. Tuttvi, in tle formul, tutto ciò che non rigurd il comportmento di f in x 0 è confinto in un solo termine: il resto dell formul. Se nel vlutre f(x) si trscur il resto, si commette un errore, m tle errore, tlvolt, può essere mggiorto fcilmente se si s mggiorre il resto. Il teorem che segue fornisce un espressione del resto dell formul di Tylor che in lcuni csi non è difficile mggiorre. Teorem (Formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge). Si f : I R un funzione di clsse C n+ in un intervllo I e si x 0 I. Allor, esiste x (x 0, x) se x 0 < x oppure x (x, x 0 ) se x < x 0, tle che R n (x x 0 ) = f (n+) ( x) (x x 0) n+ (n + )! Osservzione. Per n = 0, l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge non è ltro che il teorem di Lgrnge stesso. Osservzione. Ponendo h = x x 0, il resto dell formul di Tylor nell form di Lgrnge si può esprimere nche nel modo seguente: esiste h (0, h) se h > 0 oppure h (h, 0) se h < 0 tle che hn+ R n (h) = f (n+) ( h) (n + )!. Esempio. Clcolre sen 0, 2 con un errore inferiore 0 3. Considerimo lo sviluppo di f(x) = sen x con x 0 = 0 e x = 0, 2. Si trtt di determinre n in modo tle che R n (x) = f(x) P n (x) risulti minore di 0 3. Versione del 24 prile 202 9

20 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Poiché f (n+) (x) per ogni n e x, si ottiene, scrivendo R n (x) nell form di Lgrnge, R n (0, 2) = f (n+) (0, 2)n+ (0, 2)n+ ( x) < 0 3 (n + )! (n + )! L ultimo termine risult minore di 0 3 pur di prendere n 3. Perciò il numero P 3 (0, 2) = 0, 2 (0, 2) 3 /6 pprossim sen(0, 2) meno di 0 3. Esercizio. Usndo l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge, pprossimre log(0, 8) con un errore inferiore 0 3. Suggerimento. Scrivere lo sviluppo di f(x) = log( + x) con x 0 = 0 e x = 0, 2 e osservre che f (n+) ( x) = ( )n+ n! ( + x) n+. Esercizio. Clcolre un vlore pprossimto del numero e (si sviluppi e x e si clcoli per x = ). Suggerimento. L formul di McLurin di f(x) = e x con il resto nell form di Lgrnge è n e x x k xn+ = + e x k! (n + )! k=0 Clcolre tle formul per x = e mggiorre R n () = e x (n + )! tenendo conto che un mggiornte di e x è, d esempio, il numero 3. Esercizio. Si f : R R derivbile n + volte e tle che f (n+) (x) = 0 per ogni x R. Provre che f è un polinomio di grdo minore o ugule d n (in prticolre, se n = 0, llor f è costnte). Suggerimento. Scrivere l formul di Mc Lurin di ordine n di f col resto di Lgrnge. Fine prte fcolttiv ============================== 3 settimn - dl Integrli indefiniti Definizione. Si X R un intervllo perto o, più in generle, un unione finit di intervlli perti e si f : X R un funzione rele di vribile rele. Si dice Versione del 24 prile

21 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per che un funzione derivbile F : X R è un primitiv di f se F (x) = f(x) per ogni x X. È evidente che se f(x) mmette un primitiv F (x), llor ogni funzione dell form F (x) + c, dove c è un costnte rele, è ncor un primitiv di f(x). Ad esempio, ogni funzione del tipo log x + c è un primitiv di /x, come si verific fcilmente derivndo. Se f è definit in un intervllo, l proprietà precedente si può invertire. Più precismente, si h Teorem. Si f un funzione definit in un intervllo e sino F e G due primitive di f. Allor l loro differenz è costnte. Dimostrzione. Denotimo con I l intervllo in cui è definit f. L funzione differenz H = G F è tle che H (x) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0, x I. Quindi, per un noto corollrio del Teorem di Lgrnge (vlido per le funzioni definite in un intervllo), H è un funzione costnte. Rissumendo, dt un funzione f(x) definit in un intervllo e dt un su primitiv F (x), ogni ltr primitiv di f(x) si ottiene d F (x) ggiungendo un opportun costnte. Ossi, l insieme delle primitive di f(x) si esprime nell form F (x) + c, con c costnte rbitrri. Tuttvi, tle ffermzione è fls se viene rimoss l ipotesi che il dominio di f(x) si un intervllo. Ad esempio, le due funzioni F (x) = log x e G(x) = log x + x/ x hnno l stess derivt f(x) = /x m ovvimente non differiscono per un costnte (si osservi che inftti il loro dominio non è un intervllo: è R\{0}). Definizione. Si f : I R un funzione definit in un intervllo I R. Col simbolo f(x) dx, detto integrle indefinito di f(x) in dx, si denot l insieme delle primitive di f. Poiché il dominio di f è un intervllo, se F è un primitiv di f, si h f(x) dx = F (x) + c, dove c R è un rbitrri costnte. Se il dominio di un funzione f : X R non è un intervllo (come nel cso di f(x) = /x), col simbolo f(x) dx, si intenderà l insieme delle primitive dell restrizione di f d un qulunque sottointervllo del dominio e, di conseguenz, se F è un di queste primitive, srà Versione del 24 prile 202 2

22 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per ncor vlido scrivere f(x) dx = F (x) + c. Ad esempio, scriveremo dx = log x + c, x sottointendendo di vere scelto uno dei due intervlli (, 0) o (0, + ) che compongono il dominio R\{0} dell funzione f(x) = /x. L scelt dipende dllo scopo che si vuole rggiungere (vedremo più vnti cos può servire il clcolo di un primitiv di un funzione). Anlogmente si h cos 2 dx = tng x + c, x sottintendendo di vere scelto uno degli infiniti intervlli che compongono il dominio dell funzione integrnd (o, equivlentemente, di tng x). Esempi di integrli indefiniti elementri: x α dx = xα+ + c (α ), x dx = log x + c, α + sen x dx = cos x + c, cos x dx = sen x + c, e x dx = e x + c, dx = rctng x + c, + x2 senh x dx = cosh x + c, dx = rcsen x + c, x 2 cosh x dx = senh x + c, x 2 + dx = settsenhx + c = log(x + x 2 + ) + c, x 2 dx = settcoshx + c = log(x + x 2 ) + c. Osservzione. L integrle indefinito gode delle seguenti due proprietà: (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx ; λf(x) dx = λ f(x) dx (dove λ R). Versione del 24 prile

23 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Presentimo dei metodi per l ricerc delle primitive di lcune clssi di funzioni continue. Il primo metodo v sotto il nome di integrzione per prti ed è bsto sull formul di derivzione del prodotto. Formul di integrzione per prti per l integrle indefinito. Sino f e g due funzioni di clsse C in un intervllo I. Allor gli integrli (indefiniti) delle funzioni f(x)g (x) e g(x)f (x) sono legti dll seguente relzione: f(x)g (x) dx = f(x)g(x) g(x)f (x) dx. Dimostrzione. Dll regol di derivzione del prodotto di funzioni si h ( f(x)g(x) ) = f (x)g(x) + f(x)g (x). Quindi (f (x)g(x) + f(x)g (x) ) dx = f(x)g(x) + c Per l dditività dell integrle indefinito, si ottiene f (x)g(x) dx + f(x)g (x) dx = f(x)g(x) + c Inglobndo l costnte c nel primo integrle, si h infine f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx. Notzione (utile per il clcolo degli integrli). Dt un funzione derivbile f, il prodotto f (x) dx dell derivt di f (in x) per il simbolo dx si chim differenzile di f (in x) e si denot col simbolo df(x). Ad esempio, in bse tle notzione, scrivere sen 2 x dx oppure non f lcun differenz. sen x d cos x Versione del 24 prile

24 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Osservzione. Con i differenzili, l formul di integrzione per prti può essere scritt nel modo seguente: f(x)dg(x) = f(x)g(x) g(x)df(x). I termini f(x) e g(x) si chimno fttori finiti, mentre dg(x) e df(x) sono i cosiddetti fttori differenzili. Osservzione. Nell prtic, se dobbimo clcolre un integrle del tipo h(x)k(x) dx, si può determinre un primitiv di un delle due funzioni h(x) o k(x), per esempio H(x) primitiv di h(x), e poi scrivere, nel cso in cui k si di clsse C, h(x)k(x) dx = H(x)k(x) H(x)k (x) dx. L scelt di integrre h e derivre k (o vicevers) è quell che rende i clcoli più semplici (sempre che entrmbe le scelte sino possibili). In lcuni esempi si può vere h(x) = e si sceglie H(x) = x. Esempio. (x + )e x dx = (x + )e x e x dx = xe x + c. Esempio 2. L funzione log x non sembr scritt in form di prodotto, m lo divent se l pensimo come log x. Allor log x dx = x log x dx = x log x x + c. Se si preferisce, l form differenzile integrnd log x dx, è già scritt come prodotto di un funzione per il differenzile di un ltr: l prim funzione è f(x) = log x e l second è g(x) = x. Quindi log x dx = x log x x d log x = x log x dx = x log x x + c. Esempio 3. sen 2 x dx = ( sen x d cos x = sen x cos x ) cos x d sen x Versione del 24 prile

25 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per = sen x cos x + ( sen 2 x) dx = sen x cos x + x sen 2 x) dx. Quindi sen 2 x dx = (x sen x cos x) + c. 2 Esercizio. I seguenti integrli indefiniti si possono clcolre usndo il metodo di integrzione per prti: x 2 e x dx, x sen x dx, e x cos x dx, x log x dx, cos 2 x dx. È utile, nell ricerc dell primitiv di un funzione, imprre riconoscere qundo l funzione integrnd è l derivt di un funzione compost (o, equivlentemente, qundo l form differenzile integrnd è il differenzile di un funzione compost). Esempio. Studimo Ponendo h(x) = x 2 +, si h oppure, se si preferisce, Si ottiene quindi x x 2 + dx. x x 2 + = h (x) 2 h(x) x x 2 + dx = 2 h(x) dh(x) = d log h(x). 2 x x 2 + dx = h (x) 2 h(x) dx = log h(x) + c = 2 2 log(x2 + ) + c = log x c oppure, se si preferisce, x x 2 + dx = d(x 2 + ) 2 x 2 = d log(x 2 + ) = log(x2 + ) + c. Versione del 24 prile

26 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Considerimo 3x (x 2 + ) 2 dx. Poiché l derivt di /x è /x 2, posto h(x) = /( + x 2 ), si vede che Allor si h oppure, se si vuole, 3x (x 2 + ) 2 dx = 3 2 3x (x 2 + ) 2 = 3 2 h (x)(h(x)) 2. 3x (x 2 + ) 2 dx = 3 2 x c (x 2 + ) 2 d(x 2 + ) = 3 2 (x2 + ) + c Esempio. Considerimo sen x cos 2 x dx. Si h sen x cos 2 x dx = (cos x) 2 d cos x = cos x + c. I tre esempi ppen descritti sono csi prticolri di un metodo per l ricerc delle primitive detto integrzione per sostituzione. Tle metodo è bsto sull formul di derivzione dell funzione compost. Formul di integrzione per sostituzione (o di cmbimento di vribili) per gli integrli indefiniti. Si f un funzione continu definit su un intervllo I e si ϕ: J I un funzione di clsse C in un intervllo J, vlori nel dominio I di f. Allor, se F è un primitiv di f, l funzione G(t) = F (ϕ(t)) è un primitiv di f(ϕ(t))ϕ (t). Vle quindi l relzione f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt (modulo x = ϕ(t)), il cui significto è il seguente: ogni funzione del secondo insieme si ottiene d un del primo con l sostituzione x = ϕ(t). Dimostrzione. Dt un primitiv F di f, per il teorem di derivzione di un funzione compost si h d dt F (ϕ(t)) = F (ϕ(t))ϕ (t) = f(ϕ(t))ϕ (t). Versione del 24 prile

27 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Pertnto F (ϕ(t)) è un primitiv di f(ϕ(t))ϕ (t). Nell formul di integrzione per sostituzione il termine ϕ (t) dt rppresent il differenzile di ϕ(t). Si potrà quindi scrivere f(x) dx = f(ϕ(t)) dϕ(t) (modulo x = ϕ(t)), mettendo così in rislto come si poss ricondurre il clcolo di un integrle del secondo tipo d uno del primo: in prtic, per clcolre il secondo integrle, bst trovre un primitiv F (x) di f(x) e sostituire poi ϕ(t) l posto dell vribile x, e per fr ciò l invertibilità di ϕ non è necessri. Più problemtico è invece il clcolo di un integrle del primo tipo riconducendolo d uno del secondo. Il motivo è che, dopo ver effettuto l sostituzione x = ϕ(t) ed ver clcolto un primitiv G(t) di f(ϕ(t))ϕ (t), per trovrne un di f(x) occorre ricvre t in funzione di x dll relzione x = ϕ(t) (che costituisce l equzione del grfico di ϕ). Ciò è possibile (lmeno teoricmente) se si suppone ϕ: J I strettmente monoton e suriettiv. Esempio. Clcolimo l integrle t cos (t 2 ) dt. In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = t 2, risult 2t cos (t 2 ) dt = cos x dx = sen x + c (modulo x = t2 ). Di conseguenz t cos (t 2 ) dt = 2 sen (t2 ) + c, com è fcile verificre derivndo il secondo membro. Ovvimente, l scelt dell letter per indicre l vribile indipendente è solo un questione di form, non di sostnz. Quindi nche l integrle x cos(x 2 ) dx si clcol nel seguente modo: x cos(x 2 ) dx = 2 cos(x 2 ) d(x 2 ) = 2 sen(x2 ) + c. Versione del 24 prile

28 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Clcolimo l integrle t log t dt. In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = log t, risult log t d log t = dx = log x + c (modulo x = log t). x Perciò dt = log( log t ) + c. t log t Esempio. Clcolimo l integrle e t e t + dt In bse ll formul di integrzione per sostituzione con x = ϕ(t) = e t, risult e t + det = x + dx = log x + + c (modulo x = et ). Perciò e t e t + dt = log(et + ) + c. Esempio. Clcolimo l integrle e x dx + e x In bse ll formul di integrzione per sostituzione, ponendo t = e x = ϕ (x) (e, quindi, x = ϕ(t) = log t), si ottiene e x dx = + e x t + t dt = dt = rctng t+c, (modulo x = log t). + t2 t Perciò e x + e x dx = rctng ex + c. Versione del 24 prile

29 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Esempio. Clcolimo l integrle x + dx Anche in questo cso, si trtt di trovre un sostituzione opportun. Ponendo t = x = ϕ (x) (e, quindi, x = ϕ(t) = t 2 ) e usndo l formul di sostituzione si ottiene x + dx = 2t ( t + t + t + dt = 2 dt = 2( t + t + dt ) t + dt Perciò = 2t 2 log t + + c, (modulo x = t 2 ). x + dx = 2 x 2 log x + + c. Integrzione delle funzioni rzionli Prendimo or in considerzione l integrle indefinito di un funzione rzionle, cioè di un funzione che è dt dl quoziente di due polinomi. Per semplicità, considereremo solo il cso in cui l denomintore compre un polinomio di grdo 2. Osservzione. Osservimo che possimo sempre ricondurci l cso in cui il grdo del polinomio l numertore si minore del grdo del polinomio l denomintore eventulmente eseguendo l divisione tr il polinomio l numertore e quello l denomintore. Supponimo d esempio di voler clcolre l integrle indefinito dell funzione rzionle f(x) = x3 + 2x + 5 x 2. + Eseguendo l divisione si ottiene Perciò x 3 + 2x + 5 x 2 dx = + x 3 + 2x + 5 = x(x 2 + ) + x + 5. Ci si riconduce pertnto clcolre x + 5 x 2 + dx. x + 5 x2 x + 5 x dx + x 2 dx = x 2 + dx. Versione del 24 prile

30 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Si h x + 5 x 2 + dx = 2 2x x 2 + dx + = 2 log(x2 + ) + 5 rctng x + c. 5 x 2 + dx = In bse ll osservzione precedente simo ricondotti studire il cso in cui l numertore si bbi un polinomio di grdo. I csi significtivi sono i seguenti: A x + A (x + ) 2 e A x Si h A dx = A log x + + c, x + A A dx = (x + ) 2 x + + c, A 2 + x 2 dx = A rctng x + c. I primi due sono immediti. Per qunto rigurd il terzo si h 2 + x 2 = 2 ( + (x/) 2 ). e un primitiv di è ( + (x/) 2 ) rctn x. Tutti gli ltri csi sono riconducibili i tre precedenti, come mostreremo negli esempi che seguono. Esempio (denomintore con due rdici reli e distinte). Clcolimo Si h x + 3 (x + 2)(3x + ) dx. x + 3 (x + 2)(3x + ) = A x A 2 3x +, Versione del 24 prile

31 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per d cui, x + 3 = A (3x + ) + A 2 (x + 2). Per il principio di identità dei polinomi, si ottiene = 3A + A 2, 3 = A + 2A 2, d cui A = /5 e A 2 = 8/5. Di conseguenz, x + (x + 2)(3x + ) dx = 5 x + 2 dx x + dx = 5 log x log 3x + + c. 5 Esempio (denomintore con due rdici coincidenti). Clcolimo Si h x (x + 3) 2 dx. x (x + 3) 2 = A x A 2 (x + 3) 2. Procedendo come nell esempio precedente si ottiene A = e A 2 = 4, d cui x (x + 3) 2 dx = x (x + 3) 2 = log x x c. Osservimo che in questo cso le costnti A e A 2 si possono clcolre nche in mnier più rpid procedendo nel modo seguente: x (x + 3) 2 = x (x + 3) 2 = x + 3 (x + 3) (x + 3) 2 = x (x + 3) 2. Esempio (denomintore senz rdici reli). Clcolimo x 2 + x + dx. Poiché il discriminnte del trinomio denomintore è < 0, completndo il qudrto si ottiene x 2 + x + = (x + 2 )2 + 4 = (x + 2 )2 + 2, Versione del 24 prile 202 3

32 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per dove = si ottiene 4. Perciò, operndo l sostituzione t = x + 2 (cioè ϕ(t) = t 2 ), (x + 2 )2 + dx = 4 t dt = rctn t + c = 2 3 rctng 2(x + 2 ) 3 + c. Esempio (denomintore senz rdici reli). Clcolimo x + 2 x 2 x + dx. Rispetto ll esempio precedente, in questo cso il numertore dell funzione integrnd è un polinomio di primo grdo invece che di grdo zero. È possibile però ricondursi l cso di sopr nel modo seguente: d cui x + 2 x 2 x + = 2 2x x 2 x x 2 x +, x + 2 x 2 x + dx = 2 log(x2 x + ) + 5 rctng 2(x 2 ) + c. 3 3 Esercizio. Il seguente integrle si riconduce ll integrzione di un funzione rzionle. Clcolimo sen x cos x dx. Esprimendo sen x e cos x trmite tng(x/2) e operndo l sostituzione t = tng(x/2)) si ottiene 2t + 5 +t 2 2 2t t 2 + t2 + t 2 dt = + t 2 dt. +t 2 A questo punto si può procedere come negli esempi precedenti. Esercizio. Si riconduce ll integrzione di un funzione rzionle nche e 2x e x e 2x + e x + 3 dx. Versione del 24 prile

33 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per Inftti, operndo l sostituzione x = log t, si ottiene t 2 t t 2 + t + 3 t dt = t t 2 + t + 3 dt. Integrli definiti Un prtizione di un intervllo itto e chiuso [, b] è un insieme finito P = { 0,,... n } di punti di [, b] con l seguente proprietà: 0 = < < 2 < < n < n = b. Gli intervlli I = [ 0, ], I 2 = [, 2 ],..., I n = [ n, n ] si dicono intervlli (przili) dell prtizione. Un scelt di punti nell prtizione P è un insieme finito S = {x, x 2,... x n } di punti di [, b] tli che x I, x 2 I 2,..., x n I n. Un coppi α = (P, S) costituit d un prtizione P di [, b] e d un scelt S di punti in P si dice un prtizione puntt. Si or ssegnt un funzione f : [, b] R. Ad ogni prtizione puntt α = (P, S) di [, b] possimo ssocire il numero Σ(α) = n f(x i )( x) i, i= dove ( x) i = i i denotno le mpiezze degli intervlli I i dell prtizione P e x i i punti dell scelt S. Si h così un funzione rele (di vribile non rele) Σ: P R definit nell insieme P delle prtizioni puntte di [, b]. Intuitivmente l integrle in [, b] dell funzione f è, qundo esiste, il vlore ite che si ottiene fcendo tendere zero le mpiezze ( x) i degli intervlli delle possibili prtizioni puntte. Più precismente si può dre l seguente definizione. Definizione(di integrle definito non orientto). Si f : [, b] R un funzione rele di vribile rele definit in un intervllo itto e chiuso (se f non è definit in lcuni punti di [, b], l estendimo considerndol null in tli punti, purché questi sino un numero finito). Diremo che il numero l è l integrle di Versione del 24 prile

34 Anlisi Mtemtic 2 c.l. Meccnic M-Z.. 20/202 M.P.Per f in [, b] se, fissto un errore ɛ > 0, esiste un δ > 0 tle che, comunque si ssegni un prtizione puntt α con intervlli przili di mpiezz minore di δ, l somm Σ(α) sopr definit dist d l meno di ɛ. In ltre prole, denotndo con α l mssim mpiezz degli intervlli dell prtizione puntt α ( α si legge prmetro di finezz di α ), l integrle l di f in [, b] è il ite per α 0 dell sommtori Σ(α). Si scrive α 0 Σ(α) = l e, ripetimo, signific che per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che se α < δ llor Σ(α) l < ɛ. Diremo che l funzione f è integrbile (in [, b]) secondo Cuchy-Riemnn qundo tle ite esiste finito (si può fcilmente verificrne l unicità). Esso si denot con uno dei seguenti simboli: f, f(x) dx, [,b] [,b] il primo dei quli si legge integrle in [, b] di f e il secondo integrle in [, b] di f(x) in dx. L f si chim funzione integrnd e l vribile x che ppre nell second delle due notzioni si dice vribile di integrzione. Tle vribile, non intervenendo nell definizione di integrle, potrà nche essere omess (come nell prim delle due notzioni) o essere indict con un qulunque ltr letter. Ad esempio, l integrle in [, b] di f si può scrivere nche f(t) dt oppure f(s) ds. [,b] [,b] Osservzione. Se un funzione f : [, b] R non è itt, llor il Σ(α), α 0 mmesso che esist, non può essere finito e, di conseguenz, f non può essere integrbile. Inftti, fisst un qulunque prtizione P di [, b] si può vrire l scelt S in P in modo d rendere Σ(α) rbitrrimente grnde (ciò implic che Σ(α) può essere grnde qunto si vuole indipendentemente dl prmetro di finezz di α). Osservzione. Verifichimo che l integrle definito in [, b] dell funzione costnte f(x) = c R coincide con l re del rettngolo di bse [, b] e ltezz c, cioè si h c dx = c(b ). [,b] Versione del 24 prile