Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/000 rispettivmente, hnno entrmbe come sostegno l circonferenz unitri di centro l'origine, m sono due curve distin

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1 CURVE IN IR N. Denizione e prime propriet. Si I un intervllo contenuto in IR. Dt un N-pl di funzioni f i : I! IR, i =;:::;N, indicheremo con f : I! IR N l funzione che d ogni punto x I ssoci l N-pl fx) = f x);:::;f N x)) IR N. Diremo che l funzione vlori vettorili f e continu, derivbile etc... se tli sono tutte le sue componenti f i ; i =;:::;N. Denizione.. Si I un intervllo contenuto in IR. Chimeremo prmetrizzzione di un curv ogni ppliczione f : I!IR N continu. Il codominio fi) ρ IR N dell'ppliczione f si dir sostegno o trcci dell curv. Denizione.. Sino I;J IR due intervlli e sino f : I!IR N e ψ : J!IR N due prmetrizzzioni di curve. Esse si dicono equivlenti se esiste un cmbimento di prmetro mmissibile, cio e un funzione h : I!J di clsse C I), invertibile e con invers di clsse C J) diffeomorsmo di clsse C ), tle che f = ψ f h. Se f e ψ sono equivlenti nel senso ppen denito, scriveremo fοψ. Non e difcile vericre che l relzione ο e un relzione di equivlenz nel senso usule, cio e soddisf le propriet riessiv: fοf ; simmetric : fοψ ) ψοf ; trnsitiv: fοψ e ψο' =) fο' : Un volt introdott l relzione d'equivlenz ο, e possibile suddividere l'insieme delle prmetrizzzioni di curve in clssi d'equivlenz. Denizione.3. Chimeremo curv o cmmino) l clsse d'equivlenz =[f] costituit d tutte le prmetrizzzioni fr loro equivlenti. Pertnto un curv e un clsse di equivlenz secondo l relzione d'equivlenz ppen introdott) di funzioni continue d un intervllo rele vlori in IR N, mentre un rppresentzione prmetric o prmetrizzzione di un curv e un qulunque funzione continu f pprtenente ll clsse d'equivlenz =[f]. Vedremo in seguito come molte importnti propriet di un curv non dipendno dll prticolre rppresentzione prmetric scelt e giusticheremo quindi l'introduzione di quest relzione d'equivlenz. Osservzione.4. Osservimo che il sostegno fi) di un curv =[f] non deve essere confuso con l curv stess. Inftti le due curve di prmetrizzzione :) ft) = f t) = cos t f t) = sin t t [0; ß] e ψt) = ψ t) = cos t ψ t) = sin t t [0; 3ß]

2 Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/000 rispettivmente, hnno entrmbe come sostegno l circonferenz unitri di centro l'origine, m sono due curve distinte, nel senso che f e ψ non sono equivlenti. Dl punto di vist dell sic, possimo pensre ll prmetrizzzione di un curv in IR 3 come ll legge orri di un prticell che si muove nello spzio; di conseguenz il suo sostegno risult essere l triettori dell prticell. Denizione.5. Si un curv in IR N e f : I!IR N un su prmetrizzzione. L curv si dice semplice se presi due punti t ;t I distinti e di cui lmeno uno interno ll'intervllo I si h che ft ) 6= ft ). Ess si dice regolre se f C I; IR N ) e se f 0 t) 6= 0 per ogni t I. Inne, se I =[; b] eunintervllo chiuso e f)=fb), llor si dice chius. L prim curv in.) e regolre, semplice e chius, mentre l second e regolre, m non e n e semplice n e chius. Considerimo le due curve prmetrizzte d :) f t) = cos t ft) = t [0; ß] e ψt) = f t) = sin t ψ t) = cost=) ψ t) = sint=) t [0; 4ß]; rispettivmente. Osservimo che esse sono entrmbe delle curve semplici, regolri e chiuse e che hnno lo stesso sostegno. Inoltre possimo scrivere f = ψ f h ove l funzione h : [0; ß]![0; 4ß], ssegnt dll'espressione ht) =t, e di clsse C,invertibile e con invers di clsse C. In ltre prole, e possibile pssre dll prmetrizzzione f ll prmetrizzzione ψ medinte un cmbimento di prmetro mmissibile. Quindi f e ψ pprtengono ll stess clsse di equivlenz, cio e sono due prmetrizzzioni dell stess curv. Osservzione.6. Dt un curv regolre ed un su prmetrizzzione f : I!IR N e dto un punto t 0 I, chimeremo il vettore unitrio :3) T t 0 )= f0 t 0 ) kf 0 t 0 )k versore tngente ll curv nel punto ft 0 ). Ovvimente, per un curv regolre, esso e ben denito in ogni punto dell'intervllo I. In prticolre, le equzioni prmetriche dell rett tngente ll curv nel punto ft 0 ) sono dte d 8 >< >: x t) =f t 0 )+T t 0 )t t 0 ) ::: ::: x N t) =f N t 0 )+T N t 0 )t t 0 ) : Osservzione.7. Si f :[; b]!ir un funzione di clsse C [; b]). Allor l curv di IR ssegnt dll prmetrizzzione ft) = f t) =t f t) =ft) t [; b]

3 Curve inir N e un curv regolre, semplice e non chius e viene dett curv crtesin. Ess h come sostegno il grco dell funzione f e l rett tngente tle curv nel punto ft 0 ) coincide con l'usule tngente l grco di f nel punto t 0 ;ft 0 )); inftti, in questo cso, T t 0 )= ;f0 t 0 )) q : +f 0 ) t 0 ) Ad ogni curv e possibile ssegnre un verso di percorrenz o orientzione indott dll prmetrizzzione nel modo seguente: si f : I!IR N un rppresentzione prmetric di, diremo che il punto P = ft ) precede il punto P = ft ) se t < t. Se f e un curv semplice, il signicto geometrico dell denizione precedente risult immedito, ltrimenti pu o succedere che il punto P preced il punto P secondo l denizione, nche se geometricmente" essi coincidono sul sostegno per esempio, nell second curv in.), P = ψß=) precede P = ψ5ß=) nel verso di percorrenz indotto dll prmetrizzzione, nche se sono entrmbi il punto di intersezione del sostegno con l'sse delle ordinte positive) o ddirittur risultino geometricmente" in ordine inverso per esempio, sempre nell second curv di.), P = ψß) e P = ψ 5 ß)). Sottolineimo, inoltre, che il concetto di orientzione dipende dll relzione d'ordine presente in IR. Osservimo che su ogni curv e sempre possibile indurre due versi di percorrenz opposti. E possibile quindi introdurre un'ltr relzione d'equivlenz, pi u forte dell precedente, nel modo seguente. Denizione.8. Diremo che e un curv orientt, se per ogni coppi f e ψ di prmetrizzzioni di, con f : I!IR N e ψ : J!IR N, esiste un cmbimento di prmetro mmissibile e crescente, cio e un funzione h : I!J di clsse C, invertibile, crescente e con invers di clsse C diffeomorsmo di clsse C crescente), tle che f = ψ f h. Se f = ψ f h, con h diffeomorsmo di clsse C crescente, scriveremo f ο f ψ. Non e difcile vericre che nche quest e un relzione di equivlenz nel senso usule mentre non lo srebbe quell ottenut medinte un cmbimento di prmetro dto d un diffeomorsmo di clsse C decrescente); inoltre l relzione ο f ci permette di suddividere ogni clsse d'equivlenz ottenut precedentemente medinte l relzione ο in due ulteriori clssi. Quindi un curv orientt e un clsse di equivlenz =[f] rispetto ll relzione f ο. Osservimo che ogni curv orientt mmette un unico verso di percorrenz.. Lunghezz di un curv. Voglimo or introdurre l nozione di lunghezz di un curv. A tle proposito sottolineimo n d or che l lunghezz di un curv non coincide, in generle, con l lunghezz del suo sostegno come si potrebbe erronemente pensre), slvo qundo l curv e semplice. Considerimo un curv di prmetrizzzione f :[; b]!ir N, cio e denit su un intervllo chiuso e limitto. Ad ogni prtizione p dell'intervllo [; b] costituit di punti = t 0 <t <:::<t n = b 3

4 Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/000 e possibile ssocire un poligonle inscritt nell curv, i cui vertici sino ssegnti ordintmente di punti f); ft ); :::; fb). L lunghezz di quest poligonle si ottiene in modo ovvio come somm delle distnze tr due punti consecutivi, cio e come somm delle lunghezze di ciscun segmentino di cui e compost l poligonle, ed e ssegnt dll'espressione lp) = kft i ) ft i )k : Intuitivmente, ess fornisce un'pprossimzione dell lunghezz dell curv, tnto migliore qunto pi u sono piccole le distnze fr due punti consecutivi dell poligonle ncor un volt l situzione considert e prticolrmente chir se si suppone l curv semplice, nche se quest non e un condizione indispensbile). Diviene llor nturle porre l seguente denizione. Denizione.. Dt un curv, si f : [; b]!ir N un su prmetrizzzione. Indichimo con P l'insieme di tutte le prtizione dell'intervllo [; b]. Denimo lunghezz dell curv il numero non negtivo :) L) = supp) : p Pg Diremo che l curv e retticbile se il numero L) e nito. Osservimo che l denizione ppen stbilit e consistente, in qunto e possibile provre che l lunghezz di un curv non dipende dll prticolre prmetrizzzione considert. 4

5 Osservzione.. Curve inir N Osservimo che non tutte le curve sono retticbili. Considerimo per esempio l curv di prmetrizzzione ft) = f t) =t f t) =gt) t [0; ß ]; ove gt) =ρ t sin t ) se t 0; ß ] 0 se t =0. Al vrire di n IN, considerimo l prtizione p n = ft 0 =0<t = [n )ß] :::<t i = <t f[n i)+]ßg n = ß g. Allor, per ogni n IN,sih L) = i= i= = 8 ß = 8 ß t i sin ) t t i sin ) i t i ß [ i= n X j=0 n i)+ + n i)+3 ] n i + [n i) + ][n i)+3] j + j + )j +3) : < Poiché l'ultimo termine dell disuguglinz precedente diverge + qundo n! +, si ottiene che non e retticbile. Il prossimo teorem mostr che esiste un notevole clsse di curve che risultno sempre retticbili. Teorem.3. Ogni curv regolre e retticbile. Inoltre, se f :[; b]!ir N e un su prmetrizzzione, si h :) L) = kf 0 t)k dt = q [f 0 t)] + :::+[f 0 N t)] dt: Osservimo che, come si ottiene dl teorem di cmbimento di vribile per l'integrle di Riemnn e in ccordo con qunto sottolineto precedentemente), il membro di destr nell'espressione.) non dipende dll scelt dell prmetrizzzione f dell curv. 5

6 Micol Amr ANALISI MATEMATICA I - 999/000 Osservimo nche che, come risulter chiro dll dimostrzione, il teorem vle pi u in generle per le curve di clsse C, poiché l'ipotesi f 0 t) 6= 0in [; b] non viene mi utilizzt. Dim. Si un curv regolre e si f : [; b]!ir N un su prmetrizzzione. Comincimo con il dimostrre che :3) L)» kf 0 t)k dt: A tle scopo, si p = ft 0 = <t <:::<t n = bg un prtizione dell'intervllo [; b]. Allor, dl Teorem Fondmentle del Clcolo Integrle, si ottiene kft i ) ft i )k =» k Z ti t i Z ti f 0 t) dtk t i kf 0 t)k dt = kf 0 t)k dt: Pssndo l sup, l vrire di tutte le possibili prtizioni di [; b] si ottiene l.3). Poiché l funzione kf 0 )k e continu, ess e integrbile secondo Riemnn in [; b] e quindi l.3) ssicur che e retticbile. Per dimostrre l disuguglinz oppost, osservimo che f 0 e uniformemente continu in [; b]; pertnto, ssto ">0, e possibile trovre f = f") > 0 tle che, se t; s [; b] e jt sj <f, llor kf 0 t) f 0 s)k <". Si quindi p = ft 0 = <t < ::: < t n = bg un prtizione di [; b] tle che :4) jpj := mx ;:::;n t i t i ) <f e si s i [t i ;t i ] rbitrrio. Allor» kf 0 s i )k t i t i ) Z ti Z ti t i [f 0 s i ) f 0 )] d + t i t i ) Z ti t i f 0 ) d» kf t i t 0 s i ) f 0 )k d + i ) t i t i t i ) kft i) ft i )k» " + t i t i ) kft i) ft i )k: Integrndo l precedente disuguglinz per s i [t i ;t i ] e sommndo per i =;:::;n,si ottiene kf 0 s)k ds» "b )+ kft i ) ft i )k»"b )+L): Fcendo tendere " zero e tenendo presente l.3) si ottiene l tesi. Osservzione.4. Osservimo che l lunghezz di un curv crtesin, ottenut 6

7 Curve inir N trmite un funzione f C [; b]), ssume l'espressione prticolrmente semplice dt d q L) = +[f 0 x)] dx: Inftti, ricordimo che un prmetrizzzione f :[; b]! IR e ssegnt d f t) =t ft)= t [; b]: f t) =ft) ESEMPIO.5. Voglimo or clcolre titolo di esempio l lunghezz di un'elic cilindric, cio e un curv regolre in IR 3 prmetrizzt d 8 >< f t) = cos t ft) = f >: t) = sin t t [0; 4ß]: f 3 t) =t Dl Teorem.3 si ottiene L) = Z 4ß 0 kf 0 t)k dt = Z 4ß 0 q sin t) + cos t) + dt =4ß p : Fr tutte le possibili prmetrizzzioni di un curv regolre, ce n' e un privilegit, quell ftt medinte l'sciss curviline. Per introdurl, si dt un curv regolre e si f :[; b]!ir N un su prmetrizzzione. Considerimo l funzione :5) st) = Z t kf 0 )k d 8t [; b]: Dl Teorem.3 si h subito che sb) =L, ove L e l lunghezz di. Inoltre, dl Teorem di Torricelli risult immeditmente che s : [; b]![0;l] e un funzione di clsse C [; b]), strettmente crescente e con derivt strettmente positiv in[; b], cio e e un diffeomorsmo di clsse C crescente, quindi rppresent un cmbimento di prmetro mmissibile. Tle prmetro s e detto sciss curviline o lunghezz d'rco. Quindi, un curv regolre pu o essere sempre prmetrizzt medinte l'sciss curviline. Indicheremo con s) l prticolre prmetrizzzione di cos ottenut. Osservimo che, indict con ts) l funzione invers dell'sciss curviline, si h 0 s) = df dt ts)) dt ds s) = f0 ts)) kf 0 ts))k e quindi, con l notzione introdott in.3), si h che il versore tngente ll curv nel generico punto di sciss curviline s e dto d T s) = 0 s). Everyone knows wht curve is, until he hs studied enough mthemtics to become confused through the countless number of possible exceptions. F. Klein. 7