SISTEMA MISTO. Confronto tra le radici di un'equazione parametrica di secondo grado e un numero reale α. Se > 0 si possono verificare i seguenti casi:

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1 SISTEMA MISTO Chimimo sistem misto un sistem ormto d un'equzione generlmente prmetric e d un o più disequzioni. Le soluzioni del sistem sono dte dlle rdici dell'equzione che veriicno le disequzioni. Tli soluzioni si dirnno ordinrie se le rdici dell'equzione sono soluzioni delle disequzioni, si dirnno soluzioni limiti o soluzioni estreme se coincidono con gli zeri delle disequzioni. L ricerc delle soluzioni del sistem misto v sotto il nome di "discussione del sistem misto". Conronto tr le rdici di un'equzione prmetric di secondo grdo e un numero rele. Se si possono veriicre i seguenti csi: Se il numero può occupre le seguenti posizioni: Se non esistono rdici reli e viene mncre qulsisi conronto. Per stilire l posizione del numero rele rispetto lle rdici dell'equzione considerimo, oltre l segno di, quello di e di + + c. Ricordndo che un trinomio di secondo grdo con ssume sempre lo stesso segno di per qulunque vlore di esterno ll'intervllo delle rdici e segno opposto per qulunque vlore di interno ll'intervllo delle rdici, possimo ermre che: se oppure se. Poiché in quest'ultimo cso non è possiile stilire l posizione di, conronteremo con il + segno di Σ. Il numero srà sinistr di Σ qundo Σ Il numero srà destr di Σ qundo Σ.

2 Metodo di Trtinville Questo metodo che si s sulle considerzioni precedentemente tte permette di conrontre le soluzioni di un'equzione prmetric di secondo grdo con uno o due numeri reli ssegnti. Le + + c soluzioni del sistem sono le rdici dell'equzione che pprtengono ll'intervllo [ ; ] Se il discriminnte è positivo si possono presentre i seguenti csi: il sistem mmette un soluzione ordinri, l minore; il sistem mmette un soluzione ordinri, l mggiore; Σ il sistem mmette due soluzioni ordinrie distinte; Se, in prticolre, e, erme restndo le prime tre condizioni, si h: Σ Se invece e si h: e il sistem non h soluzioni. e il sistem non h soluzioni. Σ Se il discriminnte è nullo: il sistem h due soluzioni ordinrie coincidenti vedi grico Σ E' cile intuire che il sistem non h soluzioni qundo e Σ hnno lo stesso segno.

3 Csi limite Se oppure il sistem h un soluzione limite. Nel cso in cui Σ oppure Σ il sistem mmette due soluzioni di cui un limite Se il sistem h due soluzioni limite.

4 not Se l'equzione degener in un di primo grdo che h come soluzione ccettile se cde nell'intervllo [ ; ]. c e quest srà Metodo di Crtesio E' un cso prticolre del metodo di Trtinville e si pplic solo qundo si richiede che le rdici dell'equzione prmetric sino positive o negtive. Esso si ond sul seguente teorem di Crtesio: un'equzione di secondo grdo con discriminnte no negtivo possiede un soluzione positiv qundo due coeicienti consecutivi presentno un vrizione di segno, un soluzione negtiv qundo hnno un permnenz di segno. vedi tell c c Esempio m 3 + m Discutere il sistem misto: 3 + m c di risultti ottenuti possimo ermre che il sistem h: un soluzione per m 3 due soluzioni per 3 m + METODO GRAFICO Medinte estrzione del prmetro Questo metodo di discussione implic l conoscenz dell geometri nlitic e si s sull presenz del prmetro nei vri coeicienti dell'equzione ssegnt.

5 + + c Considerimo il sistem misto: e supponimo che il prmetro si presente:. in tutti i coeicienti,. in e c, 3. in e, 4. solo in, in questi csi risolvimo il sistem: y + y + c le due equzioni, sul pino crtesino, rppresentno rispettivmente: un prol vente il vertice nell'origine degli ssi e con l concvità verso l'lto; un scio proprio di rette C 5. nei coeicienti e y in questo cso il sistem ssume l orm: + y + c e l discussione è nlog ll precedente; 6. solo in y discutimo il sistem: y c le due equzioni, sul pino crtesino, rppresentno rispettivmente: un scio proprio di rette vente il centro nell'origine V ; c ; un prol vente il vertice nel punto

6 7. solo in c y c considerimo il sistem: y le due equzioni rppresentno rispettivmente: un scio di rette prllele ll'sse delle scisse, un prol pssnte per l'origine ed vente l'sse verticle