LINEAMENTI DI MATEMATICA

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1 INDIRIZZI CLASSICO LINGUISTICO SOCIALE UMANO E PEDAGOGICO N. Dodero P. Broncini R. Mnfredi LINEAMENTI DI MATEMATICA 3

2 N. Dodero - P. Broncini - R. Mnfredi LINEAMENTI DI MATEMATICA per gli istituti indirizzo clssico linguistico socile, umno e pedgogico 3

3 5 CAPITOLO Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 9 Equzioni di secondo grdo, 9. Risoluzione delle equzioni di secondo grdo incomplete, 0. Equzioni spurie, 0. Equzioni pure,. Equzioni di secondo grdo monomie,. Risoluzione dell equzione complet, 3. Formul ridott, 6. Risoluzione grfic di un equzione di secondo grdo, 7. Equzioni intere letterli, 8. Equzioni frzionrie numeriche e letterli, 9. Relzioni tr le soluzioni e i coefficienti di un equzione di secondo grdo,. Somm e prodotto delle rdici,. Scomposizione del trinomio di secondo grdo, 3. Regol di Crtesio, 5. Appliczioni delle equzioni di secondo grdo, 7. Equzioni prmetriche, 7. Problemi di secondo grdo, 3. Equzioni di grdo superiore l secondo, 34. Equzioni binomie, 34. Equzioni risolubili medinte scomposizioni in fttori, 36. Equzioni risolubili medinte sostituzioni, 39. Equzioni biqudrtiche. Equzioni trinomie, 40. Equzioni irrzionli, 4. Equzioni irrzionli contenenti rdicli qudrtici, 4. Risoluzione di equzioni irrzionli contenenti rdicli qudrtici, 44. Primo metodo di risoluzione (con verific delle soluzioni), 44. Secondo metodo di risoluzione (con ricerc delle condizioni pffiffiffiffiffiffiffiffi di ccettbilità), 47. Osservzione sull risoluzione dell equzione f ðxþ ¼ gðxþ, 49. Equzioni irrzionli contenenti rdicli cubici, 50. Esercitzioni di lbortorio, 5. Esercizi, 54. CAPITOLO Sistemi di equzioni di grdo superiore l primo 0 Sistemi di secondo grdo, 0. Sistemi simmetrici, 06. Sistemi che si risolvono con rtifici, 0. Appliczione dei sistemi ll risoluzione di problemi,. Esercizi, 6. CAPITOLO 3 Disequzioni di secondo grdo 43 Segno di un trinomio di secondo grdo, 43. Introduzione, 43. Segno del trinomio di grdo nel cso > 0, 44. Segno del trinomio di grdo nel cso ¼ 0, 45. Segno del trinomio di grdo nel cso < 0, 45. Disequzioni di secondo grdo, 47. Schem rissuntivo per le disequzioni di secondo grdo, 50. Appliczioni, 5. Risoluzione grfic di un disequzione di secondo grdo, 56. Appliczioni, 60. Disequzioni irrzionli, 6. Diseguglinze, 6. Disequzioni irrzionli, 6. Risoluzione pffiffiffiffiffiffiffiffi di disequzioni irrzionli contenenti prdicli ffiffiffiffiffiffiffiffi qudrtici, 6. Disequzioni del tipo f ðxþ < gðxþ, 63. Disequzioni del tipo f ðxþ > gðxþ, 64. Esercitzioni di lbortorio, 66. Esercizi, 7. CAPITOLO 4 Le coniche nel pino crtesino 97 Le coniche, 97. L circonferenz, 97. Equzione dell circonferenz, 97. Circonferenze in posizioni prticolri, 00. Posizione reciproc tr rett e circonferenz, 0. Circonferenz per tre punti, 03. Posizione reciproc tr due circonferenze, 04. Tngenti un conic, 05. Tngenti un conic d un punto esterno, 06. Tngenti un circonferenz d un punto esterno (metodo prticolre), 08. Tngente un conic in un suo punto, 09. L prbol, 09. Prbol di equzione y ¼ x, 09. Prbol con sse prllelo ll sse y,. Prbole di equzione y ¼ x þ bx þ c in posizioni prticolri, 4. Prbol con sse di simmetri prllelo ll sse x, 5. Posizione reciproc tr rett e prbol, 6. Prbol per tre punti, 7. Condizioni per determinre l equzione di un prbol, 8. L ellisse, 9. Definizione di ellisse, 9. Ellisse riferit l centro e i suoi ssi di simmetri, 0. Equzione cnonic dell ellisse con i fuochi pprtenenti ll sse x, 0. Equzione cnonic dell ellisse con i fuochi pprtenenti ll sse y, 3. Esercizi vri sull ellisse, 3. Eccentricità, 7. L iperbole, 8. Definizione di iperbole, 8. Iperbole riferit l centro e i suoi ssi di simmetri, 8. Equzione cnonic dell iperbole con i fuochi pprtenenti ll sse x, 8. Equzione cnonic dell iperbole con i fuochi pprtenenti ll sse y, 3. Esercizi vri sull iperbole, 3. Eccentricità, 33. Iperbole equilter riferit l centro e i suoi ssi, 34. Iperbole equilter riferit i propri sintoti, 35. Funzione omogrfic, 36. Esercizi, 38. Esercizi di ricpitolzione di geometri nlitic, 68. Indice

4 Indice 6 CAPITOLO 5 Clcolo combintorio 77 Introduzione, 77. Permutzioni, 78. L funzione fttorile, 79. Disposizioni, 8. Osservzioni, 8. Disposizioni con ripetizione, 84. Coefficienti binomili, 87. Potenz di un binomio, 89. Binomio di Newton, 90. Tringolo di Trtgli, 93. Appliczioni l clcolo delle probbilitá, 95. Esercitzioni di lbortorio, 96. Esercizi, 30. CAPITOLO 6 Misur delle grndezze 309 Clssi di grndezze omogenee, 309. Misur delle grndezze, 3. Postulto di continuitá dell rett, 35. Segmenti commensurbili e incommensurbili, 35. Not storic, 36. IncommensurbilitÁ tr lto e digonle di un qudrto, 37. Misur dei segmenti, degli ngoli, delle superfici e dei solidi, 38. Esercizi, 30. CAPITOLO 7 Rpporti e proporzioni 3 Definizioni e teoremi generli, 3. Grndezze proporzionli, 34. Criterio generle di proporzionlitá, 36. Teorem di Tlete e sue conseguenze, 39. Esercizi, 333. CAPITOLO 8 Omoteti e similitudine tr figure pine 337 Omoteti, 337. ProprietÁ fondmentli dell'omoteti, 338. Poligoni omotetici, 340. Circonferenze omotetiche, 340. Tringoli simili, 34. Criteri di similitudine, 343. I teoremi di Euclide, 345. Corde e secnti di un circonferenz, 346. Poligoni simili, 348. Confronto tr le superfici di poligoni simili, 350. Concetto di similitudine in generle, 35. Riduzione e ingrndimenti di disegni, 35. Sezione ure di un segmento, 35. Rpporto ureo, 35. ProprietÁ dell sezione ure di un segmento, 35. Rettngolo ureo, 354. Il rpporto ureo e l successione di Fiboncci, 355. Not storic, 355. Esercizi, 357. CAPITOLO 9 Complementi di geometri pin 37 Are dei poligoni, 37. Problemi geometrici, 373. Tringoli prticolri, 375. Tringolo equiltero, 375. Tringolo rettngolo con gli ngoli di 30 e60, 375. Tringolo rettngolo con un ngolo di 45, 377. Formul di Erone, 378. Tringoli inscritti in un circonferenz, 380. Tringolo isoscele inscritto in un circonferenz, 380. Tringoli circoscritti un circonferenz, 38. Tringolo rettngolo circoscritto un circonferenz, 383. Tringolo isoscele circoscritto un circonferenz, 383. Trpezi circoscritti un circonferenz, 384. Lti di poligoni regolri, 386. Poligoni inscritti e circoscritti un semicirconferenz, 387. Costruzione geometric di espressioni lgebriche, 390. Esercizi, 39. CAPITOLO 0 Insiemi numerici 48 Introduzione, 48. Richimi di teori degli insiemi, 48. Costruzione degli insiemi numerici, 49. I numeri nturli e gli ssiomi di Peno, 49. Le definizioni delle operzioni in N, 40. Il principio di induzione, 4. Not storic, 43. L'insieme Z dei numeri interi, 44. Le operzioni ritmetiche in Z, 45. L'insieme Q dei numeri rzionli, 46. L'insieme R dei numeri reli, 48. Numeri rzionli e numeri irrzionli, 49. Not storic, 43. ProprietÁ degli insiemi numerici: crdinlitá, 43. Insiemi equipotenti e crdinlitá di un insieme, 43. Insiemi numerbili, 43. L numerbilitá di Z e Q, 43. L non numerbilitá di R, 433. I prdossi dell'infinito, 433. Not storic, 435. ProprietÁ degli insiemi numerici: ordinmento, 435. Ordinmento, 435. Completezz dei numeri reli, 436. RppresentbilitÁ di R e Q sull rett, 437. Presentzione elementre dei numeri nturli, 437. Relzioni di equipotenz, prevlenz e suvvlenz tr insiemi. Insiemi finiti e infiniti, 438. Numeri nturli, 438. Ordinmento dei nume-

5 7 ri nturli, 439. Operzioni con i numeri nturli, 440. Addizione, 440. Proprietà formli dell ddizione, 440. Sottrzione, 44. Proprietà formli dell sottrzione, 44. Moltipliczione, 443. Proprietà formli dell moltipliczione, 443. Divisione, 444. Proprietà formli dell divisione, 447. Elevmento potenz, 449. Complementi sull insieme dei numeri nturli, 45. Divisibilità, 45. Divisione, 45. Mssimo Comun Divisore, minimo comune multiplo, 45. Algoritmo di Euclide, 453. Numeri primi, 454. Scomposizione in fttori primi, 455. Clssi resto, 456. Operzioni sulle clssi resto, 457. Le clssi resto come strutture lgebriche, 458. Not storic, 460. Esercitzioni di lbortorio, 460. Esercizi, 463. CAPITOLO Elementi di sttistic 48 Tbelle semplici, composte, doppi entrt, 48. Tbelle semplici, 48. Tbelle composte, 48. Tbelle doppi entrt, 48. Distribuzioni sttistiche, 48. Distribuzioni semplici, 48. Distribuzioni congiunte, 483. Distribuzioni condizionte, 483. Distribuzioni mrginli, 483. Correlzione, 484. Rette di regressione, 485. Esercitzioni di lbortorio, 488. Esercizi, 490. CAPITOLO Implementzione di lgoritmi 494 Implementre un lgoritmo, 494. L rppresentzione dei dti, 495. Rppresentzione estern e rppresentzione intern, 495. Bit e byte, 495. L rppresentzione intern dei dti lfnumerici, 497. L rppresentzione dei numeri interi, 497. L rppresentzione estern dei numeri non interi, 500. L rppresentzione intern dei numeri non interi, 50. Gli errori nei clcoli e le loro cuse, 503. Algoritmi diretti e lgoritmi itertivi, 505. Confronto tr lgoritmi diretti e itertivi, 50. Controllo dell precisione, 5. Vlutzione degli errori negli lgoritmi diretti, 5. Vlutzione degli errori negli lgoritmi itertivi, 53. Esercitzioni di lbortorio, 53. Esercizi, 59. Tbelle rissuntive 54 Indice

6 8 Simboli usti nel testo simbolo di pprtenenz N N 0 Z Q R R R 0 R ÿ R ÿ 0 insieme dei numeri nturli, compreso lo zero insieme dei numeri nturli, escluso lo zero insieme dei numeri interi reltivi insieme dei numeri rzionli insieme dei numeri reli insieme dei numeri reli positivi insieme dei numeri reli positivi e dello zero insieme dei numeri reli negtivi insieme dei numeri reli negtivi e dello zero [ simbolo di unione tr insiemi \ simbolo di intersezione tr insiemi ÿ simbolo di differenz tr insiemi simbolo di inclusione tr insiemi in senso stretto simbolo di inclusione tr insiemi in senso lrgo [ insieme vuoto simbolo di prodotto crtesino tr insiemi A complementre dell'insieme A C U A complementre dell'insieme A rispetto ll'insieme mbiente U 9 quntifictore esistenzile ( leggi «esiste») 8 quntifictore universle ( leggi «per ogni») _ ^ p simbolo di disgiunzione tr proposizioni o predicti ( leggi «vel», «o», «oppure») simbolo di congiunzione tr proposizioni o predicti ( leggi «et», «e contempornemente») negzione dell proposizione p! simbolo di impliczione mterile tr proposizioni o predicti (usto nche per collegre due pssggi lgebrici ) $ simbolo di coimpliczione mterile tr proposizioni o predicti ƒ simbolo di tutologi simbolo di composizione tr funzioni simbolo di congruenz tr figure // simbolo di prllelismo tr rette? simbolo di perpendicolritá tr rette ˆ: simbolo di equivlenz tr superfici ˆ) simbolo di impliczione logic () simbolo di coimpliczione logic ' simbolo di uguglinz numeric pprossimt simbolo di coincidenz tr punti o tr figure

7 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 9 Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore Risoluzione di equzioni di secondo grdo incomplete e complete Relzioni tr le soluzioni e i coefficienti di un'equzione di secondo grdo Scomposizione del trinomio di secondo grdo Regol di Crtesio Appliczioni (equzioni prmetriche e problemi di secondo grdo) Equzioni di grdo superiore l secondo Equzioni irrzionli Esercitzioni di lbortorio Osservzioni. Gli rgomenti di questo cpitolo sono di fondmentle importnz nche per gli sviluppi successivi dell mteri. L risoluzione delle equzioni di o grdo eá trttt nell'insieme dei numeri reli; in seguito (vol. 4, cp. 6)verrÁ espost l loro risoluzione nell'insieme dei numeri complessi. Per qunto rigurd le equzioni di grdo superiore l secondo, bbimo posto l'ttenzione, piuá che un dettglit clssificzione dei tipi di equzione, i metodi risolutivi, metodi che comportno opportune sostituzioni di vribile e scomposizioni in fttori. Equzioni di secondo grdo GiÁ sppimo che un'equzione inter nell'incognit x si puoá sempre scrivere, medinte opportune trsformzioni, nell form P x ˆ0; essendo P x un polinomio nell vribile x; in tl cso si dice grdo dell'equzione il grdo del polinomio P x. PercioÁ un'equzione di secondo grdo nell'incognit x, ridott form inter, puoá sempre essere scritt nell seguente form, dett form normle o form cnonic: x bx c ˆ 0 () dove, b, c denotno numeri reli: questi numeri si chimno rispettivmente primo, secondo e terzo coefficiente; quest'ultimo si dice nche termine noto. Il primo coefficiente si deve ritenere sempre diverso d zero, ltrimenti l () si riduce ll'equzione di primo grdo bx c ˆ 0:

8 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 0 Se nche i coefficienti b e c sono diversi d zero, l'equzione si dice complet; se l'uno o l'ltro o mbedue sono uguli zero, l'equzione si dice incomplet. Le soluzioni di un'equzione di secondo grdo (o di grdo qulunque) si dicono nche rdici dell'equzione. Se non si dice null in contrrio, s'intende che esse sino d ricercrsi nell'insieme R dei numeri reli; tlvolt, peroá, le equzioni di secondo grdo si risolvono nche in ltri insiemi numerici, sottoinsiemi di R. Risoluzione delle equzioni di secondo grdo incomplete Equzioni spurie Se nell'equzione generle () del n. si h c ˆ 0, 6ˆ 0, b 6ˆ 0, ossi se mnc il termine noto, l'equzione risult del tipo x bx ˆ 0 () Le equzioni di secondo grdo di questo tipo si dicono spurie. Mettendo in evidenz il fttore comune x nel primo membro, l () si puoá cosõá riscrivere: x x b ˆ0: Per risolvere tle equzione risult di grnde utilitá l legge di nnullmento del prodotto, che qui riformulimo. Legge di nnullmento del prodotto. Il prodotto di due o piuá fttori eá zero, se e soltnto se lmeno uno dei fttori eá zero. PercioÁ il prodotto x x b che compre l primo membro dell () eá egule zero, se e solo se eá egule zero il fttore x, oppure eá egule zero il fttore x b; si h dunque x ˆ 0 oppure x b ˆ 0: L'ultim equzione, che eá di primo grdo, dá subito, essendo 6ˆ 0; x ˆÿ b : L'equzione () mmette pertnto due rdici, che sono e dunque l'insieme delle soluzioni dell () eá x ˆ 0 _ x ˆÿ b S ˆ 0 ; ÿ b L'equzione spuri h quindi sempre due rdici di cui un eá zero. : Si d risolvere l'equzione 3x ÿ x ÿ 4 ˆ8: Eseguendo le operzioni indicte e trsportndo tutti i termini nel primo membro si giunge ll'equzione spuri 6x ÿ 6x ˆ 0

9 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore cioeá x 3x ÿ 8 ˆ0 ÿ! x ˆ 0 _ 3x ÿ 8 ˆ 0; d cui si ottengono le soluzioni x ˆ 0 _ x ˆ 8 3 : Equzioni pure 3 Se nell'equzione generle () del n. si h b ˆ 0, 6ˆ 0ec 6ˆ 0, ossi se mnc il termine di primo grdo, l'equzione risult del tipo Le equzioni di secondo grdo di questo tipo si dicono pure. Essendo 6ˆ 0, dll () si ottiene x c ˆ 0 () x ˆÿ c : Osservimo che, essendo c 6ˆ 0, srá nche ÿ c 6ˆ 0; possimo distinguere percioá due csi, secondo che si ÿ c > 0 oppure ÿ c < 0. ) Si ÿ c > 0, cioeá e c sino discordi. In tl cso l'equzione () si trsform in un'eguglinz ver, se l posto di x sostituimo r un numero il cui qudrto si ÿ c. Un tle numero, com'eá noto, eá il numero rele positivo ÿ c r. M sppimo nche che il suo opposto, ossi il numero rele negtivo ÿ ÿ c, h per qudrto ÿ c (*). Quindi l'equzione (), e percioá nche l () ess equivlente, h per soluzione i due r numeri opposti 6 ÿ c. Si conclude cosõá: x c ˆ 0 con ; c discordi ÿ! x ˆ r ÿ c L'insieme delle soluzioni in questo cso eá dunque r r S ˆ ÿ ÿ c ; ÿ c : _ x ˆÿ r ) Si ÿ c < 0, cioeá e c sino concordi. In questo cso, l'equzione () risult impossibile percheâ, qulunque si il numero rele che si sostituisce x, srá sempre x 0 e quindi x non potrá mi essere ugule l numero negtivo ÿ c r r r r (*) Inftti si h: ÿ ˆ ÿ ÿ ˆ ˆÿ c ÿ c ÿ c ÿ c ÿ c :

10 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore ÿ c. Quindi, l'insieme delle soluzioni eá l'insieme vuoto: x c ˆ 0 con ; c concordi ÿ! impossibile Si d risolvere l'equzione 4x ÿ ˆ 0: (3) r Si h 4x ÿ ˆ 0 ÿ! x ˆ ÿ! x ˆ6 ˆ6 4 4 : L'insieme delle soluzioni eá dunque S ˆ ÿ ; : Si potev risolvere l (3) procedendo nel seguente modo, dopo ver osservto che il primo membro dell (3) rppresent l differenz di due qudrti: x x ÿ ˆ0 ÿ! x ˆ 0 _ x ÿ ˆ 0 ÿ! x ˆÿ _ x ˆ : Anche cosõá si ottengono le due rdici opposte prim trovte. Risolvere l'equzione 4 x x ÿ 3 ˆ x ÿ 4 Procedendo nel solito modo si perviene ll'equzione pur 4x 4 ˆ 0 che equivle, dividendo mbo i membri per 4, ÿ 5 : x ˆ 0 ÿ! x ˆÿ: L'equzione dt eá quindi impossibile, percheâ nessun numero rele h il qudrto egule ÿ. L'insieme delle soluzione eá S ˆ [. Equzioni di secondo grdo monomie 4 Nel cso in cui nell'equzione generle () del n. si bbi b ˆ c ˆ 0e 6ˆ 0, l'equzione si riduce ll form x ˆ 0 () Le equzioni di questo tipo sono dette equzioni di secondo grdo monomie. Essendo 6ˆ 0, dividendo entrmbi i membri dell () per, si ottiene x ˆ 0: Tle equzione, e quindi nche l (), eá evidentemente soddisftt solo per x ˆ 0. Poiche peroá si us indicre con x e x le soluzioni di un generic equzione di secondo grdo, in questo cso si vrá x ˆ x ˆ 0: Inftti si h: x ˆ 0 ÿ! x x ˆ 0 ÿ! x ˆ 0 _ x ˆ 0: PercioÁ, in questo cso e in ltri nloghi che incontreremo in seguito, si conviene di dire che l () h due soluzioni coincidenti o nche che x ˆ 0 eá soluzione doppi. L'insieme delle soluzioni dell () eá quindi S ˆf0g:

11 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 3 x ÿ x ÿ4 x ÿ Si vogli risolvere l'equzione 3 Svolgendo i clcoli e riducendo, si ottiene ˆ ÿ 4 3 x: 4x ˆ 0 ÿ! x ˆ 0 ÿ! x ˆ 0 x ˆ 0: L'equzione dt mmette due rdici entrmbe uguli zero. Risoluzione dell'equzione complet 5 Si or d risolvere l'equzione complet x bx c ˆ 0: Poiche si suppone diverso d zero, moltiplicndo i due membri per 4 si ottiene l'equzione equivlente 4 x 4bx 4c ˆ 0: Aggiungimo or b d mbedue i membri e trsportimo poi il termine 4c nel secondo membro: bbimo cosõá 4 x 4bx b ˆ b ÿ 4c: Il primo membro di quest equzione eá il qudrto di x b, percioá potremo nche scrivere x b ˆ b ÿ 4c: L'espressione b ÿ 4c, che si trov l secondo membro dell (), si suole indicre con l letter grec miuscol delt e si chim discriminnte dell'equzione (): ˆ b ÿ 4c L prol discriminnte eá dovut l ftto che l'essere b ÿ 4c positivo, nullo o negtivo rende differenzite, cioeá discrimin, le soluzioni dell (). Osservndo l (), si not che ess non eá ltro che un'equzione pur di secondo grdo nell'incognit x b, se > 0 oppure < 0, mentre si riduce un equzione monomi, se ˆ 0. Per convincersene bst porre x b ˆ y e osservre che l () ssume l form y ˆ, cioeá l form di un'equzione pur o monomi che bbimo imprto risolvere nei prgrfi precedenti. OccorrerÁ llor distinguere tre csi secondo che si > 0 ˆ 0 < 0: ë cso. Il discriminnte eá positivo, cioeá ˆ b ÿ 4c > 0: L'equzione x b ˆ b ÿ 4c eá possibile percheâ nel primo membro vi eá il qudrto di un numero rele e nel secondo membro un numero positivo. Risolvendo l () come equzione pur nell'incognit x b, si ottiene p x b ˆ6 p b ÿ 4c ÿ! x ˆÿb6 b ÿ 4c;

12 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 4 d cui, vendo supposto 6ˆ 0, x ˆ ÿb 6 p b ÿ 4c (3) Quest eá, nel cso > 0, l formul risolutiv (*) dell'equzione complet di secondo grdo (). Tle formul fornisce per l'incognit x due vlori, che, qundo occorrerá, chimeremo x e x ; d esempio x ˆ ÿb ÿ p b ÿ 4c ; x ˆ p ÿb b ÿ 4c Nel cso ˆ b ÿ 4c > 0 l'equzione di secondo grdo complet () h dunque due rdici distinte. L'insieme delle soluzioni eá S ˆfx ; x g: Osservzione. Se e c hnno segni contrri, le rdici esistono sempre, percheâ in tl cso il prodotto c eá negtivo, quindi ÿ4c eá positivo ed eá percioá positivo nche il discriminnte b ÿ 4c: o cso. Il discriminnte eá nullo, cioeá ˆ b ÿ 4c ˆ 0: L'equzione () divent x b ˆ 0; cioeá un equzione di secondo grdo monomi nell'incognit x b: d cui x b x b ˆ0 ÿ! x b ˆ 0 _ x b ˆ 0; x ˆÿ b ; x ˆÿ b : Nel cso ˆ b ÿ 4c ˆ 0, l'equzione complet di secondo grdo () h dunque due rdici uguli (o coincidenti), cioeá x ˆ x ˆÿ b : Si noti che l formul (3), trovt nel cso > 0, eá ncor vlid, inftti ess fornisce i vlori x ˆ ÿb 6 0 ÿ! x ˆÿ b 0 _ x ˆÿ b ÿ 0 ÿ! x ˆÿ b _ x ˆÿ b : Si suol dire che, se ˆ 0; x ˆÿ b eá l rdice doppi dell'equzione (). L'insieme delle soluzioni eá quindi S ˆ ÿ b : 3 o cso. Il discriminnte eá negtivo, cioeá ˆ b ÿ 4c < 0: L'equzione x b ˆ b ÿ 4c : (*) E Á ovvimente indifferente, nell (3), scrivere 6 oppure 7:

13 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 5 eá impossibile percheâ il primo membro, essendo il qudrto di un numero rele, eá un numero positivo o nullo, mentre il secondo membro eá un numero negtivo e quindi, qulunque numero si sostituisc x, l'espressione x b non puoá essere ugule ll'espressione b ÿ 4 c < 0. L'insieme delle soluzioni eá dunque l'insieme vuoto: S ˆ [. Rissumimo or qunto visto nei tre csi esminti. L'equzione complet x bx c ˆ 0 6ˆ 0; mmette soluzioni qundo eá ˆ b ÿ 4c 0 e le rdici si ottengono dll formul risolutiv x ˆ ÿb 6 p b ÿ 4c ; 3 tli rdici sono distinte se eá > 0 e coincidenti se eá ˆ 0. Se invece eá ˆ b ÿ 4c < 0, l () non h soluzioni in R, cioeá eá impossibile. In seguito si vedrá, invece, che nell'insieme dei numeri complessi, mplimento dell'insieme dei numeri reli, un'equzione di secondo grdo mmette sempre due soluzioni. 6 Con lo schem seguente rissumimo, visulizzndoli, i tre csi possibili nell risoluzione di un generic equzione complet di secondo grdo, considerti nel prgrfo precedente. L'equzione d risolvere si x bx c ˆ 0; con 6ˆ 0: Risolvere l'equzione 4x ÿ 5x ˆ 0: L'equzione dt eá nell form x bx c ˆ 0con ˆ 4; b ˆÿ5; c ˆ : Clcolimo il discriminnte: ˆ b ÿ 4c ÿ! ˆ ÿ5 ÿ 4 4 ˆ 9 > 0:

14 6 L equzione pertnto h due rdici distinte. Applicndo l formul risolutiv, si trov: x ; ¼ b p ffiffiffiffi! x ; ¼ 5 3 cioè x ¼ 5 3 ¼ ; x ¼ 5 þ 3 ¼ : 8 L insieme delle soluzioni è quindi S ¼ 4 ; : Risolvere l equzione 9x þ x þ 4 ¼ 0 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore Il discriminnte dell equzione è ¼ ¼ 0: L equzione dt h perciò due rdici coincidenti. Clcolimole con l formul risolutiv, che in questo cso è x ¼ x ¼ b! x ¼ x ¼ 9 ¼ 3 : 3 Risolvere l equzione 5x 8x þ 5 ¼ 0: Si h ¼ 5; b ¼ 8; c ¼ 5: Risult perciò ¼ð 8Þ ¼ 36 < 0: L equzione dt è perciò impossibile ed è S ¼ [. 4 Risolvere l equzione ðx 3Þ ¼ðx Þ : Sviluppndo i qudrti e semplificndo, si ottiene 3x x þ 9 ¼ 0! 3x þ x 9 ¼ 0: Essendo e c discordi, il discriminnte è senz ltro positivo ð ¼ Þ e pertnto l equzione h due rdici distinte. pffiffiffiffi b Esse sono x ; ¼! x ; ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 7 ¼ 6 6 ¼ 4 p ffiffiffi 7 ¼ p ffiffiffi 7 : 6 3 Se pffiffiffisi vogliono dei vlori pprossimti delle rdici, bst clcolre un vlore pprossimto di 7 ecosì, per esempio, si ottiene x ; 09 ; x ; 43: Formul ridott 7 Se il coefficiente del termine di primo grdo dell equzione x þ bx þ c ¼ 0 è un numero pri, o comunque del tipo b ¼ (essendo l metà dib), l formul risolutiv (3) del n. 5 si può scrivere in form più semplice. Inftti in tl cso l equzione () ssume l form ðþ x þ x þ c ¼ 0 () Applicndo l formul risolutiv (n. 5), si ottiene: p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ; ¼ 4 4c ¼ 4ð cþ ¼ c :

15 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 7 Mettendo in evidenz il fttore comune che compre l numertore e semplificndo, si h x ; ˆ ÿ 6 p ÿ c ˆ ÿ 6 p ÿ c ; ossi x ˆ ÿ 6 p ÿ c (3) Quest formul risolutiv si dice ridott: eá l metá del coefficiente del termine di primo grdo; ÿ c ˆ 4 4 ÿ 4c eá l qurt prte del discriminnte dell'equzione e si h percioá il discriminnte ridotto 4 ˆ ÿ c: Si debb risolvere l'equzione 3x ÿ 8x 5 ˆ 0: Il coefficiente del termine di primo grdo, che eá ÿ8, eá pri; l su metá eá ˆÿ4: Si h percioá ˆ 4 ÿ c ˆ ÿ4 ÿ 3 5 ˆ > 0: Si noti che l condizione > 0 equivle 4 > 0 L'equzione h dunque due rdici distinte: x ; ˆ ÿ 6 Risoluzione grfic di un'equzione di secondo grdo p ÿ c ˆ 4 6 p 3 ÿ! x ˆ 4 ÿ 3. ˆ e x ˆ 4 3 ˆ 5 3 : 8 Si dt l'equzione di secondo grdo x bx c ˆ 0: () Ess si puoá pensre come equzione risolvente il sistem ( y ˆ x bx c y ˆ 0 che trduce nliticmente il problem di determinre le intersezioni tr l prbol di equzione y ˆ x bx c e l'sse delle scisse di equzione y ˆ 0. PercioÁ le soluzioni dell'equzione () sono le scisse degli eventuli punti comuni ll prbol e ll'sse delle x e si puoá cosõá dire che risolvere l'equzione () equivle determinre le scisse dei punti, se esistono, di ordint null pprtenenti ll prbol. Ricordimo (vol., cp. 8, n. 4) che l prbol (se ne riprlerá nel n. del cp. 4) di equzione y ˆ f x ˆx bx c h l concvitá verso l'lto se eá > 0 h l concvitá verso il bsso se eá < 0; inoltre il suo vertice V eá il punto di sciss x ˆÿ b e di ordint y ˆ f ÿ nell (), y ˆ 4c ÿ b ÿ! y ˆÿ. 4 4 b, cioeâ, sostituendo

16 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 8 Il vertice eá quindi il punto V ÿ b ; ÿ : 4 Pertnto, possono presentrsi tre csi diversi, come risult dlle figure e che considerno, rispettivmente, prbole per cui eá > 0o < 0. Nel cso ˆ b ÿ 4c < 0, l prbol non tgli l'sse delle scisse (l'equzione () eá impossibile in R). Nel cso ˆ b ÿ 4c ˆ 0, l prbol risult tngente ll'sse x e le soluzioni, coincidenti, rppresentno l'sciss del punto di conttto, che coincide con il vertice dell prbol x ˆ x ˆÿ b. Figur Figur Nel cso ˆ b ÿ 4c > 0, l prbol intersec l'sse delle scisse in due punti distinti (l'equzione () h due soluzioni distinte x e x ). Equzioni intere letterli 9 Le formule risolutive trovte sono del tutto generli e quindi si possono utilizzre nche nel cso in cui i coefficienti delle equzioni sono dei prmetri o delle espressioni letterli, contenenti prmetri. Si dovrnno pertnto determinre gli eventuli vlori dei prmetri per i quli l'equzione perde significto. Se eá necessrio occorrerá nche discutere il segno del discriminnte. Si deve infine tener presente che eá possibile, in corrispondenz di prticolri vlori dei prmetri, che si nnulli il coefficiente del termine di secondo grdo. In tl cso l'equzione diviene di primo grdo, ossi, come si us dire, ``si bbss di grdo''. Risolvere l'equzione letterle inter x ÿ x ˆ 0: L'equzione propost eá un'equzione spuri. Possimo percioá risolverl con il metodo esposto l n. : x x ÿ ˆ0 ÿ! x ˆ 0 _ x ÿ ˆ 0 ÿ! x ˆ : Pertnto si hnno due soluzioni: x ˆ 0; x ˆ : Si osservi che in questo cso non eá necessri lcun discussione. Risolvere l'equzione letterle inter ÿ x ÿ x ÿ ÿ ˆ 0: L () eá un'equzione complet, in cui ÿ eá il coefficiente del termine di secondo grdo, ÿ eá il coefficiente del termine di primo grdo (si potrá quindi pplicre l formul ridott) e ÿ ÿ ˆÿ eá il termine noto. Comincimo con il determinre, se esistono, i vlori del prmetro per cui si nnull il coefficiente del termine di secondo grdo.

17 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 9 Si h ÿ ˆ 0 ÿ! ˆ ; quindi per ˆ ll () viene mncre il termine di secondo grdo ed ess si riduce ll seguente equzione di primo grdo: ÿ x ÿ x ÿ ÿ ˆ 0 ÿ! ÿ x ÿ ˆ 0: Tle equzione h per soluzione x ˆÿ: Se invece eá 6ˆ, l () eá un equzione di secondo grdo, il cui discriminnte ridotto eá 4 ˆ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ˆ ÿ ÿ ˆ : Osservimo che eá 0 per qulunque vlore di e piuá precismente, eá 4 ˆ ˆ 0 se eá ˆ 0 e 4 ˆ > 0 se eá 6ˆ 0 ^ 6ˆ : (*) Dunque, se eá ˆ 0, nnullndosi il discriminnte, l'equzione vrá due soluzioni coincidenti: esse sono x ˆ x ˆ ÿ ˆ ÿ ; m, vendo supposto ˆ 0, l soluzione precedente si riduce ˆÿ; quindi: ˆ 0 ˆ) x 0 ÿ ˆ x ˆÿ. (**) Se invece eá 6ˆ 0e6ˆ, si h > 0 e quindi l () h due soluzioni distinte, che possimo determinre pplicndo l formul ridott: x ; ˆ 6 p ˆ 6 ÿ ÿ (***) ÿ! x ˆ ÿ ÿ ˆÿ; x ˆ ÿ : Rissumendo: ˆ ˆ) l'equzione si bbss di grdo. L'unic soluzione eá x ˆÿ ˆ 0 ˆ) due soluzione reli e coincidenti: x ˆ x ˆÿ 6ˆ 0 ^ 6ˆ ˆ) due soluzioni reli e distinte: x ˆÿ, x ˆ ÿ : Equzioni frzionrie numeriche e letterli 0 Anche per le equzioni frzionrie di secondo grdo vle il procedimento giá illustrto suo tempo per quelle di primo grdo. Si dovrá quindi, per prim cos, determinre il dominio dell'equzione (ossi le condizioni d'ccettbilitá delle soluzioni), ridurre l'equzione form inter, risolverl e infine verificre che le soluzioni trovte pprtengno effettivmente l dominio dell'equzione (ossi soddisfino le condizioni d'ccettbilitá). Se l'equzione frzionri eá letterle non sempre l verific delle condizioni di ccettbilitá eá immedit; si ved, per esempio, il successivo esempio n.. Si vogli risolvere l'equzione numeric frzionri x x 3 x ÿ ˆ 8 x ÿ 4 : (*) Ricordimo che per ˆ l () si riduce d un'equzione di primo grdo e quindi non h senso, per ˆ, clcolrne il discriminnte. (**) Tli soluzioni si potevno nche trovre ponendo ˆ 0 nell () e risolvendo l'equzione ÿx ÿ x ÿ ˆ 0 che cosõá si ottiene. (***) Non conoscendo il segno di sppimo che p p ˆjj. Dovendo considerre l'espressione 6 p 6 6 per 0 ˆ6jj ˆ 6 ÿ per > 0 p e quindi, in ogni cso, risult 6 ˆ6. si vrá

18 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 0 Il binomio che compre l denomintore del secondo membro puoá essere scomposto in fttori: x x 3 x ÿ ˆ 8 x ÿ x : I denomintori delle frzioni che figurno nell'equzione si nnullno se eá x ˆ 0 ÿ! x ˆÿ oppure x ÿ ˆ 0 ÿ! x ˆ : Ponimo quindi le seguenti condizioni d'ccettbilitá delle soluzioni: C.A. x 6ˆ 6: Riducimo or entrmbi i membri dell'equzione denomintore comune x ÿ x e moltiplichimo entrmbi i membri per x ÿ x, che eá senz'ltro diverso d zero per le C.A. Quindi, dopo ver semplificto, si ottiene x x ÿ ˆ 0: Risolvimo tle equzione di secondo grdo dopo ver osservto che il suo discriminnte eá positivo: x ˆ ÿ 6 p ÿ 4 ÿ ˆ ÿ 6 p 9 ÿ! x ˆÿ _ x ˆ : Dovendo essere, per le C.A., x 6ˆ 6, delle due soluzioni trovte l prim non eá ccettbile, mentre l second eá ccettbile. Pertnto l () mmette solo l soluzione, ossi l'insieme delle soluzioni dell () eá S ˆfg. Risolvere l'equzione frzionri letterle x ÿ ˆ ÿ ÿ x x ÿ x ÿ : Possimo riscrivere l'equzione () nell form equivlente x ÿ ˆÿ x ÿ ÿ ÿ x ÿ : Osservimo innnzitutto che, se eá ÿ ˆ 0, cioeá ˆ, l'equzione (3) perde significto; dovrá quindi essere 6ˆ : 4 Notimo or che l'unico vlore di x per cui si nnull qulche denomintore eá e percioá l condizione di ccettbilitá delle soluzioni eá 3 C.A. x 6ˆ : 5 Tenendo conto dell (4) e dell (5), possimo liberre l'equzione (3) di denomintori ottenendo, dopo ver sviluppto i clcoli, x ÿ x ˆ 0: Osservimo innnzitutto che, se eá ˆ 0, l'equzione (6) si bbss di grdo: ˆ 0 ÿ! 0 x ÿ 0 x ÿ! ÿ x ˆ 0 ÿ! x ˆ : Per 6ˆ 0 e 6ˆ clcolimo ˆ ÿ 4 ˆ ÿ 6ˆ eá senz'ltro > 0 e l'equzione h per soluzioni x ˆ 6 ÿ ˆ x ˆ x ˆ : 6 e osservimo che per 6ˆ 0 e si ccettbile, occorre tenere presente l (5) ed escludere quindi quei vlori del prmetro per cui L soluzione x ˆ eá ccettbile percheâ soddisf l C.A. Affinche l soluzione x ˆ

19 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore si h x ˆ ÿ! ˆ ÿ! ˆ : Pertnto, se eá ˆ, l soluzione x non eá ccettbile e l'equzione h per soluzione solo x ˆ : Rissumendo: ˆ ˆ) l'equzione () perde significto ˆ 0 ˆ) l'equzione si bbss di grdo: x ˆ ˆ ˆ) un sol soluzione ccettbile: x ˆ 6ˆ ^ 6ˆ 0 ^ 6ˆ ˆ) due soluzioni reli distinte: x ˆ ex ˆ : Relzioni tr le soluzioni e i coefficienti di un'equzione di secondo grdo Somm e prodotto delle rdici Si dt l'equzione di secondo grdo x bx c ˆ 0: Se eá 0 le soluzioni sono, come ormi sppimo, x ˆ ÿb ÿ p b ÿ 4c Clcolimo l somm e il prodotto di queste soluzioni: x x ˆ ÿb ÿ x x ˆ ÿb ÿ p b ÿ 4c p b ÿ 4c Ne segue che, in ogni equzione di secondo grdo, ; x ˆ p ÿb b ÿ 4c p ÿb b ÿ 4c ˆ b ÿ b ÿ 4c 4 p ÿb b ÿ 4c ˆÿ b ˆ b ÿ b 4c ˆ c 4 : l somm delle rdici eá ugule l rpporto, cmbito di segno, fr il secondo e il primo coefficiente; il prodotto delle rdici eá ugule l rpporto fr il termine noto e il primo coefficiente. Rissumendo: x x ˆÿ b x x ˆ c Se dividimo per 6ˆ 0 entrmbi i membri dell'equzione x bx c ˆ 0, si ottiene x b x c ˆ 0; : per le precedenti relzioni tr rdici e coefficienti si h b ˆÿ x x e c ˆ x x :

20 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore Quindi l () puoá essere scritt nell form x ÿ x x x x x ˆ 0; cioeá: in ogni equzione di secondo grdo con il primo coefficiente ugule, l somm delle rdici eáugule l coefficiente del secondo termine cmbito di segno e il prodotto eá ugule l termine noto. Come ppliczione dei risultti or esposti considerimo i seguenti problemi. Problem ë. Trovre due numeri conoscendo l loro somm s e il loro prodotto p. Il problem si puoá cosõá riformulre: trovre due numeri x e x spendo che eá x x ˆ s x x ˆ p; dove s e p sono due numeri ssegnti. Osservimo l'equzione () del n., le cui soluzioni come sppimo sono x e x. Tenendo presente le eguglinze (3), l () si puoá cosõá riscrivere: x ÿ sx p ˆ 0: PercioÁ il nostro problem si risolve, risolvendo l (4). Se ess h ˆ s ÿ 4 p 0 le sue soluzioni sono i numeri che stimo cercndo. Se invece eá < 0, il problem non h soluzioni. Problem ë. Scrivere un'equzione di secondo grdo che bbi per soluzioni due numeri ssegnti. Sino e i due numeri ssegnti; clcolimo l loro somm e il loro prodotto e poi ponimo ˆ s; ˆ p: L'equzione richiest eá quindi, per l (), del n., Trovre due numeri l cui somm si E Á sufficiente risolvere l (4) con s ˆ d cui si ottiene x ÿ sx p ˆ 0: 6 e il cui prodotto si ÿ e p ˆÿ5 3 : x ÿ sx p ˆ 0 ÿ! x ÿ 6 x ÿ 5 3 ˆ 0 ÿ! 6x ÿ x ÿ 0 ˆ 0; x ; ˆ 6 p 40 ˆ 6 I due numeri cercti sono percioá ÿ 3 e 5. p 36 ˆ 6 9 Trovre due numeri l cui somm si 4 e il cui prodotto si 5. ÿ! x ˆÿ 3 ; x ˆ 5 : 3 4 Si deve risolvere l'equzione x ÿ 4x 5 ˆ 0: Essendo ˆ ÿ4 ÿ 0 ˆÿ4 < 0, non esistono due numeri reli l cui somm si 4 e il cui prodotto si 5.

21 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 3 3 Scrivere l'equzione di secondo grdo vente per soluzioni i numeri Si h: x ˆÿ e x ˆ 3 5 : s ˆ x x ˆÿ 3 5 ˆ 0 p ˆ x x ˆÿ 3 5 ˆÿ 3 0 : L'equzione cerct eá percioá x ÿ sx p ˆ 0 ÿ! x ÿ 0 x ÿ 3 0 ˆ 0 ÿ! 0x ÿ x ÿ 3 ˆ 0: 4 Si s che l'equzione x 3x ÿ ˆ 0 mmette come soluzione ÿ; determinre l'ltr soluzione senz risolvere l'equzione. Sppimo che eá x x ˆÿ b ÿ! x x ˆÿ 3 : Poiche un delle due soluzioni eá x ˆÿ, si ottiene ÿ x ˆÿ 3 ÿ! x ˆ ÿ 3 ˆ : Si potev procedere nche sfruttndo l relzione x x ˆ c, ottenendo x x ˆ ÿ ÿ! x x ˆÿ ÿ! ÿ x ˆÿ ÿ! x ˆ : Scomposizione del trinomio di secondo grdo 3 L'espressione x bx c, dove, b, c sono numeri reli ssegnti ed eá 6ˆ 0, eá un trinomio di secondo grdo nell vribile x. D Si dicono rdici o zeri del trinomio x bx c le soluzioni dell'equzione che si ottiene eguglindo zero il trinomio, ossi le soluzioni dell'equzione x bx c ˆ 0: Tli rdici, com'eá noto, esistono se eá ˆ b ÿ 4c 0, e si indicno con x e x. Sppimo inoltre che x x ˆÿ b e x x ˆ c : Sfruttndo queste uguglinze si possono fre le trsformzioni seguenti: x bx c ˆ x b x c ˆ fx ÿ x x x x x gˆfx ÿ x x ÿ x x x x gˆ ˆ fx x ÿ x ÿx x ÿ x g ˆ x ÿ x x ÿ x :

22 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 4 Ne concludimo che eá x bx c ˆ x ÿ x x ÿ x () I fttori di primo grdo x ÿ x exÿ x si dicono nche fttori lineri. Se le rdici del trinomio sono distinte 6ˆ 0, i due fttori x ÿ x e x ÿ x sono pure distinti e l () costituisce cosõá l scomposizione del trinomio in fttori lineri. Se le rdici del trinomio sono coincidenti ˆ 0, sihx ˆ x e quindi l () divent x bx c ˆ x ÿ x () Se invece eá < 0, il trinomio non si puoá scomporre in fttori lineri. Scomporre in fttori lineri il trinomio f x ˆx ÿ 3x : L'equzione x ÿ 3x ˆ 0 mmette le rdici x ˆ e x ˆ ; percioá, pplicndo l () con ˆ, si h x ÿ 3x ˆ x ÿ x ÿ Scomporre in fttori il trinomio f x ˆ5x ÿ 0x 4: ˆ x ÿ x ÿ ˆ x ÿ x ÿ : L'equzione 5x ÿ 0x 4 ˆ 0 mmette le soluzioni x ˆ x ˆ 5 ; percioá 5x ÿ 0x 4 ˆ 5 x ÿ ˆ 5 x ÿ ˆ 5x ÿ : 5 5 Si potev pervenire subito questo risultto se si fosse osservto, inizilmente, che il trinomio dto er un qudrto perfetto. 3 Semplificre l frzione x 4x 3 x 5x ÿ 3 : Le rdici del numertore sono ÿ3 eÿ, percioá eá x 4x 3 ˆ x 3 x : Le rdici del denomintore sono ÿ3 e e di conseguenz si h x 5x ÿ 3 ˆ x 3 x ÿ : Si h quindi x 4x 3 x 3 x x ˆ ˆ ˆ x x 5x ÿ 3 x 3 x ÿ x ÿ x ÿ : 4 Semplificre l frzione p p 3x ÿ 4x 3 x ÿ 3 :

23 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 5 p p e x ˆ 3 e quindi eá 3 p p 3x ÿ 4x p 3 ˆ 3 x ÿ p p x ÿ p 3 ˆ 3x ÿ x ÿ 3 Le rdici del numertore sono x ˆ Il denomintore dell frzione considert puoá essere visto come l differenz di due qudrti: p x ÿ 3 ˆ x ÿ 3 p ˆ x ÿ p 3 x 3 : p : 3 Si h cosõá Regol di Crtesio p p 3x ÿ 4x 3 ˆ p p 3x ÿ x ÿ 3 p x ÿ 3 x ÿ p ˆ 3 x 3 p 3x ÿ 3 p : x 4 Se un'equzione di secondo grdo mmette rdici reli e quindi se il discriminnte dell'equzione eá positivo o nullo, si possono determinre i segni delle rdici senz risolvere l'equzione, con semplici osservzioni sui segni dei coefficienti. Premettimo che in un polinomio ordinto si dice che vi eá un permnenz qundo si susseguono due coefficienti dello stesso segno, mentre, se si susseguono due coefficienti di segno contrrio, si dice che vi eá un vrizione. Esminimo quindi tutti i possibili csi reltivi i segni dei coefficienti, b, c dell generic equzione di secondo grdo x bx c ˆ 0: Notimo tl fine, che il primo coefficiente si puoá sempre supporre positivo, percheâ, se non lo fosse, lo si potrebbe rendere tle mutndo il segno tutti i termini dell'equzione: si osservi che quest operzione non cmbi l successione delle permnenze e delle vrizioni che l'equzione present. Allor non restno d esminre che i quttro csi del seguente schem. b c cso due permnenze cso ÿ due vrizioni 3 cso ÿ ÿ un vrizione e un permnenz 4 cso ÿ un permnenz e un vrizione Per decidere or il segno delle rdici x e x, dopo ver verificto che esse sino reli ˆ b ÿ 4c 0, si devono considerre le relzioni fr le rdici e i coefficienti stbilite precedentemente: x x ˆ c ; x x ˆÿ b : ë cso. L'equzione present due permnenze. Essendo > 0ec > 0, risult c > 0; inoltre poicheâ eá nche b > 0, risult ÿ b < 0. In questo cso si h cosõá x x > 0 e x x < 0; dll prim relzione si puoá dedurre che x e x sono concordi (il loro prodotto eá inftti positivo) e dll second relzione (dll qule risult che l loro somm eá negtiv) si puoá concludere che entrmbe le rdici devono essere negtive: x < 0; x < 0:

24 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 6 ë cso. L'equzione present due vrizioni. Essendo e c concordi e b discorde con, srá c > 0eÿ b > 0: In questo cso si h cosõá x x > 0 e x x > 0; essendo positivo il loro prodotto, le due rdici x e x devono essere concordi e precismente, essendo positiv l loro somm, entrmbe devono essere positive: x > 0; x > 0: 3ë cso. L'equzione present un vrizione e un permnenz. Essendo discorde si con b si con c, srá c < 0 e ÿ b > 0: In questo cso si h cosõá x x < 0 e x x > 0; le rdici x e x devono essere discordi essendo negtivo il loro prodotto e precismente, poicheâ l loro somm eá positiv, l mggiore, in vlore ssoluto, delle due srá positiv e l'ltr negtiv, cioeá, ponendo jx j > jx j, deve essere x < 0 < x : 4ë cso. L'equzione present un permnenz e un vrizione. Essendo > 0, b > 0, c < 0, srá c < 0eÿ b < 0. Si h quindi x x < 0 e x x < 0; le rdici x e x sono nche in questo cso discordi, m, poicheâ l loro somm eá or negtiv, l mggiore, in vlore ssoluto, delle due srá negtiv e l'ltr positiv, cioeá vendo ncor posto jx j > jx j, deve essere x < 0 < x : L'esme dei quttro csi puoá essere schemtizzto nell seguente tbell (vendo posto jx j > jx j b c x x ˆÿ b x x ˆ c jx j > jx j x x permnenze ÿ + ÿ ÿ vrizioni + ÿ vriz. e perm. + ÿ ÿ + ÿ + ÿ perm. e vriz. + + ÿ ÿ ÿ ÿ + I risultti ottenuti si rissumono nell seguente regol. Regol di Crtesio. In ogni equzione di secondo grdo, con il discriminnte positivo o nullo, ogni vrizione nei segni dei coefficienti corrisponde un soluzione positiv e ogni permnenz un soluzione negtiv; se l'equzione h rdici discordi, l rdice di vlore ssoluto mggiore eá positiv se l vrizione precede l permnenz ed eá invece negtiv se l permnenz precede l vrizione.

25 7 Nell equzione x 3x þ ¼ 0; il discriminnte è 9 8 ¼ > 0, perciò le soluzioni sono reli e distinte e inoltre, poiché il primo membro present due vrizioni, le soluzioni sono mbedue positive. Inftti: x ¼ e x ¼ : Nell equzione x þ 3x þ ¼ 0 il discriminnte è 9 8 ¼ > 0, perciò le soluzioni sono reli e distinte e, poiché il primo membro present due permnenze, le soluzioni sono mbedue negtive. Inftti: x ¼ e x ¼ : 3 Nell equzione 5x 8x 4 ¼ 0 il primo e terzo coefficiente hnno segno diverso, quindi è > 0 e le soluzioni sono l un positiv e l ltr negtiv, inoltre, poiché l vrizione precede l permnenz, l soluzione positiv è l mggiore in vlore ssoluto. Inftti: x ¼ ex ¼ 5 : 4 Nell equzione 4x x þ 9 ¼ 0 il discriminnte è ugule zero ¼ ; le soluzioni sono coincidenti e poiché l equzione present due vrizioni srà x ¼ x > 0: Inftti risolvendo si h x ¼ x ¼þ 3 4 : Appliczioni delle equzioni di secondo grdo Equzioni prmetriche 5 Considerimo lcuni quesiti per i quli è richiest l ppliczione di qunto fin qui ppreso. Determinre il vlore del prmetro ffinché l equzione x ð Þx þ 4 þ ¼ 0; con R ðþ bbi rdici coincidenti. Dovrà essere ¼ 0 e quindi nche ¼ 0; dovrà pertnto essere 4 ð Þ ð4þ Þ¼0! þ 3 ¼ 0! ¼ 3 : Si può poi verificre che l equzione x 3 x þ 4 þ 9 4 ¼ 0; che si ottiene dll () sostituendo ¼ 3, cioè 4x þ 0x þ 5 ¼ 0, h soluzioni coincidenti: x ¼ x ¼ 5 : Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore TEORIA Nell equzione x ðk Þx þ k ¼ 0; k R, () determinre il vlore del prmetro k ffinché le soluzioni sino reli.

26 8 Affinché le rdici dell equzione () sino reli, il discriminnte deve essere positivo o nullo; dovrà perciò verificrsi 0! 0 e, poiché è 4 4 ¼ðk Þ ðk Þ ¼k k þ k þ ¼ k dovrà essere k 0! k : TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 3 Determinre il vlore del prmetro in modo che 0 si un soluzione dell equzione x ð Þx þ 4 þ ¼ 0: Sostituendo 0 l posto di x, l (3) deve diventre un eguglinz ver; si deve perciò vere ð 0Þ ð Þð 0Þþ4 þ ¼ 0 00 þ 0ð Þþ4 þ ¼ 0: ð4þ L (4) può essere trttt come un equzione nell incognit. Semplificndol, si ottiene p þ 0 þ 84 ¼ 0! ; ¼ 0 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 4; ossi ¼ 4; ¼ 6: Si possono verificre tli risultti, sostituendoli successivmente nell (3); risolvendo le equzioni così ottenute si h che, in entrmbi i csi, un delle rdici è 0: 4 Nell equzione x ð þ Þx þ b ¼ 0; ; b R; determinre i vlori di edib ffinché le due rdici sino rispettivmente x ¼ ex ¼ 3: Si può procedere sfruttndo le relzioni tr rdici e coefficienti; si deve vere x þ x ¼ þ e x x ¼ b : Si deve quindi risolvere il sistem seguente nelle incognite e b: ( ( þ ¼ þ3 þ ¼ cioè b ¼ 3 b ¼ 6 d cui si h ¼ 0 ^ b ¼ 5 : 5 Dt l equzione ðk Þx kx þ k ¼ 0; k R; ð5þ determinre i vlori del prmetro k per i quli, dette x e x le rdici reli dell equzione (5), si bbi x þ x 4 ^ x x < 3: Innnzi tutto stbilimo per quli vlori di k le rdici dell equzione dt sono reli. Deve essere 0! 4 0! k ðk Þðk Þ 0! k 3 : ð3þ Per le relzioni tr rdici e coefficienti, dll (5) si h x þ x ¼ k k ; x x ¼ k k :

27 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 9 DovrÁ verificrsi e si dovrá quindi risolvere il sistem 8 8 k k ÿ 4 ^ k ÿ k ÿ < 3 8 >< >: k 3 k k ÿ 4 k ÿ k ÿ < 3 k 3 >< k ÿ ÿ! k ÿ 0 >: ÿ k k ÿ < 0 ottenendo < k : 6 Nell'equzione k 3 >< ÿ! x ÿ ÿ x 4 ˆ 0 determinre il prmetro rele nei seguenti csi: ) l somm delle rdici si ÿ6; ) le rdici sino opposte; 3) il prodotto delle rdici si 40; 4) le rdici sino un reciproc dell'ltr; 5) l somm dei reciproci delle rdici si ÿ : Dette x e x le rdici dell (6), si vrá x x ˆ ÿ x x ˆ 4 < k >: k < _ k > 6 ÿ! x x ˆ ÿ 7 ÿ! x x ˆ 4 : 8 Si dovrá inoltre ricordre che le rdici dell'equzione devono essere reli; dovrá percioá essere 0, o nche, il che eá lo stesso, 4 0: Quindi, essendo 4 ˆ ÿ ÿ Š ÿ 4 ˆÿ ÿ 3; 9 si dovrá verificre che i vlori del prmetro, determinti rispondendo ogni singolo quesito, rendno mggiore o egule zero l'espressione di dt dll (9). 4 Eventuli vlori di che rendno negtivo non srnno percioá ccettbili. DovrÁ percioá es- 4 sere, dll (9), ÿ ÿ 3 0 ÿ! ÿ 3 : ) L somm delle rdici si ÿ6, ossi, ricordndo l (7), dovrá essere x x ˆÿ6 ÿ! ÿ ˆÿ6 ÿ! ÿ ˆÿ6 ÿ! ˆÿ4 ÿ! ˆÿ: Essendo ÿ < ÿ 3, il risultto ˆÿeÁ ccettbile. ) Le rdici sino opposte, ossi x ˆÿx ÿ! x x ˆ 0; pplicndo ncor l (7), deve essere ÿ ˆ0 ÿ! ˆ : Poiche non eá minore di ÿ 3, cioeá non eá ÿ3, l (6), per ˆ risult impossibile in R e percioá il risultto ˆ non eá ccettbile. Concludimo che non esiste lcun vlore di per cui l (6) bbi rdici reli opposte.

28 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 30 3) Il prodotto delle rdici si 40, ossi, ricordndo l (8), dovrá essere x x ˆ 40 ÿ! 4 ˆ 40 ÿ! ˆ 36 ÿ! ˆ66: Per ˆÿ6 < ÿ 3 eá > 0, mentre per ˆ 6 > ÿ 3 e < 0: PercioÁ, dei due vlori trovti eá ccettbile solo ˆÿ6. Verifichimolo: per ˆÿ6 l (6) diviene x 4x 40 ˆ 0 ÿ! x ˆÿ0; x ˆÿ4: Si h quindi x x ˆ ÿ0 ÿ4 ˆ 40, com'er richiesto. 4) Le rdici sino un reciproc dell'ltr, ossi d cui, per l (8), x ˆ x ÿ! x x ˆ 4 ˆ ÿ! ˆÿ3: Si eá cosõá ottenut un'equzione di secondo grdo pur nell'incognit ; essendo ÿ3 < 0, l'equzione ˆÿ3 risult impossibile per qulsisi vlore rele di ed eá quindi impossibile nche il problem proposto. 5) L somm dei reciproci delle rdici si ÿ, cioeá ossi, ricordndo l (7) e l (8), x x ˆÿ ÿ! x x x x ˆÿ ÿ 4 ˆÿ : (0) Si eá cosõá ottenut un'equzione frzionri nell'incognit ; essendo 8 R, 4 6ˆ 0 (*) non occorre formulre lcun condizione d'ccettbilitá per le soluzioni dell (0). Risolvimol: dopo ver tolto i denomintori, si h 4 ÿ ˆÿ 4 ÿ! 4 ˆ 0 ÿ! 4 ˆ0 ˆ 0 ˆÿ4: Ricordimo che, per l reltá delle rdici dell (6), deve essere ÿ 3 e percioá solo l soluzione ˆÿ4eÁ ccettbile. 7 Dt l'equzione A) verificre che ess mmette soluzioni 8k R; x ÿ k x k ˆ 0; k R; () B) determinre k in modo che l somm dei qudrti delle rdici si 0; C) determinre k in modo che l somm di un rdice con il triplo dell'ltr si 8. Risolvimo i vri quesiti, supponendo, come l solito, che si x R: A) Si h: ˆ k ÿ 4 k ˆk 4 4k ÿ 4k ÿ 4 ˆ k 0 8 k R e quindi le rdici sono reli per qulsisi vlore di k e precismente sono distinte per k 6ˆ 0e coincidenti per k ˆ 0: B) Deve risultre x x ˆ 0: Cerchimo innnzi tutto un'espressione di x x in funzione di x x edix x : (*) Inftti l'equzione 4 ˆ 0, nell'incognit, eá impossibile.

29 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 3 Dll'uguglinz x x ˆ x x x x si ricv subito che eá: x x ˆ x x ÿ x x () Dll'equzione () si deduce che eá x x ˆÿ b ˆ k e x x ˆ c e quindi, dovendo essere x x ˆ 0 si h, pplicndo l (), ˆ k x x ˆ 0 ÿ! x x ÿ x x ˆ 0 ÿ! ÿ! k ÿ k ˆ0 ÿ! k k ÿ 8 ˆ 0 ÿ! k ˆÿ4 _ k ˆ : I vlori ÿ4 e di k sono senz'ltro ccettbili percheâ, come si eá visto nel punto A, le rdici dell'equzione dt esistono sempre. C) Dobbimo determinre k in modo che si 3x x ˆ 8: In questo cso non eá possibile operre come nei due csi precedenti. Osservimo llor che deve essere ( 3x x ˆ 8 x x ˆ k ÿ! ( x ˆ 8 ÿ 3x x 8 ÿ 3x ˆ k : Si possono quindi ricvre x e x in funzione di k, ottenendo 8 x ˆ 6 ÿ k >< Dovendo nche essere x x ˆ k, si vrá 6 ÿ k 3k ÿ >: x ˆ 3k ÿ : ˆ k ÿ! 6 ÿ k 3k ÿ ˆ4 k ÿ! ÿ! 3k ÿ 6k 6 ˆ 0 ÿ! k ˆ 4 _ k ˆ 4 3 : Si conclude che, per k ˆ 4 e per k ˆ 4 3, le rdici x e x dell () soddisfno ll relzione (3). 8 Determinre il prmetro R ffincheâ l'equzione mmett due rdici entrmbe positive. x ÿ x ˆ 0 Dovremo dpprim ricercre l condizione di reltá delle soluzioni: 0: 3 4 ˆ ÿ ˆ ÿ ÿ ˆ Poiche il discriminnte dell'equzione dt eá positivo per qulsisi vlore di, si puoá dedurre che le rdici x e x sono reli e distinte 8 R:

30 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 3 Esse srnno entrmbe positive se, e solo se, si l loro somm si il loro prodotto srnno positivi. DovrÁ quindi essere Risolvimo dunque il sistem 8 >< > 0 >: 9 Nell'equzione > 0 > 0 ^ 8 < ÿ _ > ÿ >< ÿ! >: < ÿ _ > 0: x ÿ x ÿ 3 ˆ 0; > 0: ÿ! < ÿ _ > 0: R determinre il vlore di ffincheâ le rdici sino entrmbe positive. Ammess l reltá delle rdici, l'equzione dovrá presentre due vrizioni e percioá dovrá essere, essendo 4 Problemi di secondo grdo ˆ ÿ 3 ˆ 4 ÿ ; 8 ( 4 ÿ 0 >< ÿ! ÿ 3 > 0 >: > 3 ÿ! 3 < : 6 D Un problem si dice di secondo grdo qundo l su risoluzione dipende dll risoluzione di un'equzione o di un sistem di secondo grdo. I metodi giá visti per l risoluzione dei problemi di grdo, si estendono senz'ltro quell dei problemi di grdo. Dimo or lcuni esempi di risoluzione di problemi di secondo grdo. Trovre un numero di due cifre spendo che l cifr delle decine eá il doppio dell cifr delle unitá e spendo che esso super del triplo del qudrto dell su cifr delle unitá il numero che si ottiene scmbindo le sue cifre. Si x l cifr delle unitá e x quell delle decine del numero richiesto: vremo l seguente equzione x 0 x ˆ x 0 x 3x ÿ! ÿ! 9x ÿ 3x ˆ 0 ÿ! x ˆ 0 _ x ˆ 3: L cifr delle unitá eá quindi 3 e cosõá quell delle decine eá 6; il numero richiesto eá 63. L soluzione x ˆ 0 dell'equzione risolvente il problem non eá, evidentemente, ccettbile. Dimostrre che esistono solo due numeri tli che, sommndo l loro qudrto il loro triplo, si ottiene 4 e determinre l loro somm senz trovre i due numeri. Indichimo con x un numero che soddisfi ll condizione post dl problem: x 3x ˆ 4: I numeri richiesti verifichernno quindi l'equzione x 3x ÿ 4 ˆ 0 e, risultndo l () di secondo grdo, i numeri richiesti sono, se esistono, due.

31 TEORIA Equzioni di secondo grdo e di grdo superiore 33 Essi esistono dto che eá ˆ 9 6 > 0; l loro somm eá ÿ 3 ˆÿ3: 3 Trovre due numeri, uno reciproco dell'ltro, spendo che l loro somm eá Si x uno dei due numeri: l'ltro numero srá percioá x. L loro somm x si h cosõá l'equzione x 5 : dev'essere 5 ; x x ˆ 5 : Le soluzioni trovte dovrnno soddisfre ll condizione x 6ˆ 0: x ˆ 5 x x ÿ! x Si osservi che se eá x ˆ 4 3 srá ˆ 3 x 4 sono percioá 3 4 e 4 3 : ˆ 5x x ÿ! x ÿ 5x ˆ 0 ÿ! ÿ! x ˆ 4 3 _ x ˆ 3 4 : 3, se invece eá x ˆ 4 risult x ˆ 4. I numeri cercti 3 4 In un rettngolo ABCD l bse AB misur e l'ltezz AD misur. Determinre un punto E internmente d AD e un punto F internmente d AB in modo che si FB EF 4ED: Considerimo l figur 3. Indichimo con x l misur di ED rispetto ll stess unitá scelt per misurre le dimensioni del rettngolo dto. Dll relzione () del problem si deduce che eá ED ˆ x; EF ˆ ED ˆ x; FB ˆ 4x e deve risultre: x > 0; x < ; 4x <. ( 3) Nel tringolo rettngolo AFE si h AE ˆ ÿ x; AF ˆ ÿ 4x; EF ˆ x; pplichimo tle tringolo il teorem di Pitgor: AE AF ˆ EF ÿ! ÿ x ÿ 4x ˆ x : Sviluppndo i clcoli e riducendo i termini simili, si ottiene l'equzione x E 3x ÿ 8x 5 ˆ 0 ÿ! x ˆ _ x ˆ 5 3 : D x A F 4x B C Figur 3 L soluzione x ˆ non eá ccettbile percheâ non soddisf l second e l terz delle relzioni (3). L soluzione x ˆ 5 eá invece ccettbile percheâ soddisf tutte e tre le relzioni (3). 3 Inftti: 5 3 > 0; 5 3 < ; ˆ 0 3 < :