Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

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1 Corso di Lure in Scienze e Tecnologie Agrrie Corso Integrto: Mtemtic e Sttistic Modulo: Mtemtic (6 CFU) ( CFU Lezioni CFU Esercitzioni) Corso di Lure in Tutel e Gestione del territorio e del Pesggio Agro-Forestle Corso di Mtemtic (6 CFU) ( CFU Lezioni CFU Esercitzioni) Prof. Ing. S. Pscuzzi

2 Mterile di studio ü Appunti dlle lezioni ü BIGATTI Ann Mri ROBBIANO Lorenzo MATEMATICA DI BASE Cs Editrice Amrosin ü ZWIRNER Giuseppe ISTITUZIONI DI MATEMATICHE Prte prim CEDAM Editrice

3 Curve lgeriche del secondo ordine

4 Equzione crtesin del circolo Si chim circonferenz o circolo il luogo dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto centro P (,) PC r ( ) PC ( ) O C(, ) Dll () si h: ponendo: ( ) ( ) r Se C O, si h, : r r γ () γ si h: Un circolo è rppresentto nliticmente d un equzione lgeric di grdo nelle vriili e, mncnte del termine, ed vente eguli i coefficienti di e. r

5 5 Esempi ( ) ( ) 9 5 L equzione del circolo di centro C(-,5) e di rggio r, è: L equzione del circolo di centro C(-/,-/) e di rggio r, è: 6

6 6 L equzione crtesin : γ < Nessun coppi di numeri reli soddisf l () (e l ()) () Riscrivimo l () così: γ ovvero: quindi, un sol coppi di numeri soddisf tle equzione γ rppresent sempre un circolo? () ; Considerimo il termine: >, posto γ r r l () divent: che è l equzione di un circonferenz

7 7 Rissumendo, l equzione, > γ Le coordinte del centro sono: e il rggio è dto d: γ rppresent un circolo soltnto qundo risult: γ r

8 8 Esempi, Per l equzione: 9 > γ e quindi rppresent il circolo di centro C e rggio si h: r L equzione: < γ 7 risultndo: non rppresent lcun punto

9 Esempio Scrivere l equzione dell circonferenz di centro C(-,) e tngente ll rett 5 : Il rggio r dell circonferenz non è ltro che l distnz del punto C dll rett 5 ; quindi: r L equzione dell circonferenz è: ( ) ( ) 9 6 9

10 Ellisse Luogo geometrico dei punti del pino per i quli è costnte l somm delle distnze d due punti fissi detti fuochi Indicheremo i due fuochi con F e F, l loro distnz (pres positivmente) con c, mentre indicheremo con l somm costnte nzidett. Se P è un punto che st sull ellisse, deve risultre: PF PF' P F F

11 Ellisse Fissimo sul pino come sse l rett F F e come sse l perpendicolre F F nel suo punto medio Se P (,) pprtiene ll ellisse, isogn e st che soddisfi ll condizione: Equzione cnonic o normle dell ellisse con: c PF PF' Vertici: Punti A, A,B, B Asse mggiore: A A Asse minore: B B Lunghezze ssi: A A, B B c Eccentricità: e

12 Iperole Luogo geometrico dei punti del pino per cui è costnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuochi Indichimo i due fuochi con F e F, e FF c. Se P è un punto qulunque dell iperole, risult: Equzione cnonic o normle dell iperole con: c PF PF' o PF' PF Origine O: centro dell iperole Asintoti dell iperole: Se ; Iperole equilter Un iperole equilter riferit gli sintoti h equzione: XY k

13 Prol Luogo geometrico dei punti del pino equidistnti d un punto fisso, detto fuoco (F), e d un rett fiss, dett direttrice (d) - Asse : perpendicolre FQ condott d F d; - Asse : perpendicolre QF nel punto medio Posto QF p, le coordinte di F sono Il punto P(,) è sull prol se e solo se : PF PD p p, Equzione cnonic o normle dell prol

14 Prol Equzione cnonic o normle dell prol p - Asse : sse dell prol - Vertice dell prol: punto di intersezione dell prol con il suo sse di simmetri - p: prmetro dell prol ± p Se: p > > Se: p < < Inversmente, ogni equzione dell form m rppresent un prol che h l sse per sse di simmetri, per vertice l origine. Coordinte fuoco F m, Equzione direttrice -m/

15 Prol Scmindo gli ssi coordinti ne deducimo l equzione: -rppresent un prol che h le crtteristiche: -sse per sse di simmetri; -il fuoco F st sull sse ;, - le coordinte di F sono ; -l direttrice h per equzione : 5

16 Studio dell equzione c L suddett equzione rppresent un prol con le seguenti crtteristiche: Coordinte fuoco: Coordinte vertice:, Equzione sse di simmetri: Equzione direttrice: c c c 6

17 7 Esempio Determinre,, c, in modo che l prol c pssi per il punto P(,) ed i vertice nel punto V(/, -5/) c c c c c L equzione dell prole è: Occorre risolvere il sistem:

18 Osservzione Intersezione di un conic con un rett Il circolo, l ellisse, l iperole, l prol sono curve lgeriche di ordine Esse sono dette nche coniche L ricerc delle intersezioni di un conic con un rett, dipende dll risoluzione del sistem formto dlle loro equzioni, cioè dll soluzione di un sistem di grdo: )Due soluzioni reli distinte l rett è secnte l conic )Due soluzioni reli coincidenti l rett è tngente l conic )Nessun soluzione l rett non incontr l conic 8

19 9 Esempio ( ) ( ) ( ) m m m m ( ) m Scrivere l equzione dell tngente l circolo di equzione, condotte dl punto esterno (,) Un rett qulsisi, uscente d A, h per equzione ( ) ( ) m ( ) ( ) ± Δ m m m m m rett tngente l circolo sistem con due rdici coincidenti due rdici coincidenti discriminnte nullo (,) Le equzioni delle tngenti l circolo sono quindi: e

20 Esempio Determinre,, c, in modo che l prol c, pssi per i punti A(,), B(,) e si in quest ultimo punto tngente ll rett di coefficiente ngolre L rett pssnte per B e coefficiente ngolre è: c ( ) c Perché quest rett si tngente ll prol isogn che il sistem discriminnte nullo ( ) ( c ) c c Δ c ( ) ( c )

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