Corso di Idraulica per allievi Ingegneri Civili

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1 Corso di Idrulic per llievi Ingegneri Civili Esercitzione n 1 I due sertoi e B in Figur 1, venti lrghezz comune pri, sono in comuniczione ttrverso l luce di fondo pert nel setto divisorio. Il primo,, contiene cqu di peso specifico fino ll ltezz h; il secondo contiene cqu fino ll ltezz e, sopr d esso, uno strto di spessore δ di crurnte di peso specifico. 1) Trccire il digrmm delle pressioni reltive e determinre compiutmente (in modulo, direzione, verso e punto di ppliczione) l spint S r 1 sull prete (1); ) Determinre δ ; ) Trccire il digrmm delle pressioni reltive e determinre compiutmente l spint S r sull prete (); 4) Trccire il digrmm delle pressioni reltive e determinre compiutmente l spint S r sull prete (); 5) Determinre le indiczioni dei due mnometri. Dti: = 9806 N/m ; h = 7,00 m; α = 0 ; = 6900 N/m ; = 1,00 m; = 4.50 m; m = 1970 N/m. z M =,00 m; Schem di soluzione 1) Entro uno stesso liquido l pressione ssolut in un punto ffondto di h sotto il pelo liero super l pressione tmosferic di h costituente, per definizione, l pressione reltiv in quel punto. Il corrispondente digrmm h pertnto ndmento linere con l profondità. Il modulo dell spint (reltiv), S 1, è dto dl volume del solido delle pressioni (costituito in questo cso d un prism sezione rett tringolre e lrghezz ) ed è pertnto pri : h h S = 1 cosα. (1) L spint h direzione normle ll superficie, così come, punto per punto, le forze elementri di pressione di cui ess costituisce l risultnte. Essendo inoltre le pressioni ovunque positive, l spint h verso rivolto verso l superficie, che risult quindi sollecitt compressione. Poiché le forze di pressione genti su un superficie pin costituiscono un sistem di forze prllele rppresentte dl solido delle pressioni, l risultnte mmette come punto di ppliczione il ricentro del solido stesso. Trttndosi di un prism sezione tringolre, detto ricentro è posto sull sezione tringolre del solido ftt con il suo pino di simmetri, nel ricentro del tringolo: pertnto, lle distnze d ciscuno dei cteti pri d un terzo dell ltro cteto. Poiché, inoltre, un forz può liermente scorrere lungo l propri rett d zione, ess può essere nche pplict conttto con l superficie premut, d un distnz dl cteto dell sezione rett rppresenttivo delle pressioni pri d un terzo dell lunghezz del cteto rppresenttivo del profilo dell prete pin. In prtic risult di interesse solo tle distnz. 1

2 ) Sull superficie di seprzione tr cqu e crurnte l cqu esercit l pressione (h ), il crurnte l pressione δ. Le due pressioni devono essere uguli, per cui risult: δ ( h ) =. () ) L pressione ll profondità δ dl pelo liero del crurnte è δ ed ll profondità h = δ + dllo stesso pelo liero (ovvero ll profondità h dl pelo liero dell cqu) è h. Il modulo dell spint, S, è dto dl volume del corrispondente solido delle pressioni, costituito in questo cso d un prism sezione rett compost d un tringolo, corrispondente ll distriuzione di pressione nel crurnte, e d un trpezio, corrispondente ll distriuzione di pressione nell cqu ( su volt scomponiile in un rettngolo ed un tringolo). Si h quindi: S δ δ δ + h = +. () cosα cosα nche in questo cso, l prete è sollecitt compressione d un spint risultnte d ess normle. nlogmente l punto (1), l risultnte è pplicile nel ricentro del solido delle pressioni, l cui posizione sul pino di simmetri si determin dll medi ponderle delle coordinte dei ricentri delle figure elementri (tringoli e rettngoli) che compongono l su sezione rett, con pesi dti dlle ree delle figure corrispondenti. nche in questo cso, poiché l risultnte può scorrere lungo l propri rett d zione, in prtic interess conoscere l distnz dell rett d zione dl fondo del sertoio, misurt lungo il profilo dell prete, pri ll distnz del ricentro dell sezione rett del prism dl lto dell sezione corrispondente ll pressione l fondo del sertoio. Detti pertnto G = /cosα + (δ /cosα)/, Gr = (/cosα)/ e Gt = (/cosα)/ rispettivmente le distnze dei ricentri dell distriuzione tringolre di pressione del crurnte e delle figure rettngolre e tringolre nelle quli può essere scompost l distriuzione trpezoidle di pressione dell cqu, ed = δ (δ /cosα)/, r = δ (/cosα) e t = (/cosα)/ le ree corrispondenti, l distnz dell rett d zione dell risultnte dl fondo del sertoio si ottiene dll: G + G Gr r Gt t = (4) + r + + t Si osservi che tle relzione non esprime ltro che l uguglinz del momento risultnte dell distriuzione di forze di pressione e del momento dell risultnte S r, clcolti rispetto l punto P dell prete inclint posto l fondo del sertoio, sul pino di simmetri del solido delle pressioni che contiene S r. Le ree delle figure che compongono il digrmm delle pressioni sono inftti proporzionli, secondo il fttore comune, lle corrispondenti spinte przili pplicte nei ricentri delle figure, l cui somm vettorile fornisce l risultnte S r. 4) L spint risultnte sull prete è l somm vettorile delle spinte genti sulle fcce destr e sinistr, esercitte rispettivmente dl crurnte e dll cqu, prllele e rivolte in verso opposto, pri in modulo i rispettivi volumi dei solidi di spint. Considerto che, nell eseguire l somm lgeric di detti volumi, le prti soggicenti l pino di seprzione cqu-crurnte sono uguli ed opposte, l vlutzione del modulo dell spint risultnte sull prete può ottenersi dll differenz dei volumi costituiti di prismi sezione rett tringolre venti se post ll quot di detto pino di seprzione e vertice superiore lle quote del rispettivi peli lieri. Tle differenz è pri l volume del prism vente per sezione rett il tringolo trtteggito in Figur 1. Poiché, inoltre, l spint esercitt dl crurnte è superiore in modulo quell esercitt dll cqu, l spint risultnte è rivolt d destr verso sinistr ed il suo modulo si ottiene dll:

3 δ S = ( h ). (5) L spint risultnte è contenut nel pino di simmetri dei prismi di spint dei due liquidi. L posizione dell su rett d zione si ottiene imponendo l uguglinz del momento dell spint risultnte e del momento risultnte delle due spinte esercitte individulmente di due liquidi, clcolti rispetto l punto Q intersezione del pino contenente il setto, del pino di simmetri dei prismi di spint e del pino di seprzione cqu-crurnte. Rgionndo, come l punto precedente, in termini di ree delle distriuzioni di pressione (perché proporzionli i moduli delle spinte corrispondenti), dette rispettivmente y G = (h-)/ ed y G = δ / le quote delle rette d zione delle spinte esercitte individulmente dll cqu e dl crurnte rispetto l pino di seprzione dei due liquidi, s = (h-h 1 ) / ed d = h / le corrispondenti ree dei digrmmi di pressione, si ottiene l quot y G dell rett d zione dell spint risultnte (e quindi dell intersezione di quest ultim con il setto) rispetto tle pino: y G y G d G s = (6) d y s 5) Il mnometro metllico misur l pressione vigente, pprossimtivmente, ll quot del centro del qudrnte. L indiczione del mnometro metllico, il cui centro è ffondto di ζ M = + δ z M sotto il pelo liero del crurnte, è pertnto pri ζ M (P). Dovendo uguglirsi le espressioni dell pressione vigente sul menisco interno del mnometro semplice mercurio otteniili con riferimento i peli lieri del mercurio ed dell cqu, l indiczione del mnometro mercurio è dt d = h / m.

4 α m S r 1 B d s S r S r δ h h s d yg G Q P Figur 1. Schem qulittivo dei sertoi con setto divisorio verticle. 4 M r δ h t ζm zm

5 α m S r 1 h d s s d Q B S r S r δ h yg G P M r δ h t ζm zm