Scuola di Architettura Corso di Laurea Magistrale quinquennale c.u.

Transcript

1 Scuol di Architettur Corso di Lure Mgistrle quinquennle c.u.

2 Sommrio È stt descritt un teori pprossimt, dovut Jourwsk, che permette di clcolre le tensioni tngenzili medie presenti in un generic cord (punti llineti su un segmento) di un sezione trsversle di un st sollecitt d un zione tglinte dirett prllelmente d un direzione principle d inerzi dell sezione stess. È stto mostrto che, sull bse di sole considerzioni di equilibrio, d tle teori si ottiene l seguente relzione per il clcolo delle tensioni tngenzili medie A2 A1 TS TS zs (96) bi bi dove T tglio (ip. prllelo ll sse principle ) r T b A 2 zs s b I S zs lunghezz dell cord in esme momento d inerzi di TUTTA l sezione rispetto ll sse (sse neutro) momento sttico rispetto ll sse dell porzione di sezione l di sopr dell cord in esme tensione tngenzile medi presente sull cord in esme nell direzione ortogonle ll cord stess

3 Introduzione È stto evidenzito più volte che l tensione tngenzile clcolt ttrverso l (96) rppresent il vlore medio di quelle effettivmente presenti nei punti dell cord in esme. L errore che si commette pplicndo l (96) dipende d vri fttori fr cui, non ultimo, l form dell sezione. Si consideri d esempio un sezione T. T Il digrmm delle tensioni tngenzili medie presenti nelle corde dell sezione ortogonli l crico tglinte è quello indicto nell prte () dell figur finco. Tle digrmm è suddiviso in due trtti prbolici venti mssimo in corrispondenz dell cord per cui pss l sse neutro reltivo ll sollecitzione flessionle ccoppit l tglio T. Si osservi che il slto del vlore delle tensioni tngenzili che si h in corrispondenz del cmbio di lunghezz dell cord (ossi nel pssggio dll l ll nim) è un «nomli» dovut lle pprossimzioni contenute nell teori di Jourwsk. Figur trtt d Comi-Corrdi, Introduzione ll meccnic strutturle

4 Introduzione T z z Le tensioni tngenzili effettivmente presenti in un generic cord ortogonle l crico tglinte hnno un ndmento del tipo indicto in zzurro nell prte (c) dell figur finco: per l sezione in esme, l formul di Jourwsk pprossim meglio i vlori reli di tensione tngenzile nei trtti più stretti dell sezione. z z Questo è in ccordo con qunto descritto per l sezione rettngolre. Figur trtt d Comi-Corrdi, Introduzione ll meccnic strutturle

5 Sommrio profili perti in prete sottile sezione T sezione doppio T profili chiusi in prete sottile sezione C sezione d L Nell presente lezione nlizzeremo un cso di notevole importnz pplictiv, ossi quello delle trvi profilo (sezione trsversle) in prete sottile, crtterizzte dll vere un sezione trsversle di spessore molto piccolo rispetto lle ltre dimensioni. È quest un tipologi di trvi (soprttutto metlliche) molto diffus nelle ppliczioni ingegneristiche e per l qule l formul di Jourwsk fornisce risultti molto ccurti. sezione sctolre sezione tubolre

6 Profili prete sottile profili perti in prete sottile sezione T profili chiusi in prete sottile sezione sctolre sezione doppio T sezione C sezione tubolre sezione d L In nlogi qunto descritto precedentemente con riferimento un sezione rettngolre, visto che le sezioni in esme sono costituite d elementi molto llungti, è lecito supporre che le tensioni tngenzili dovute lle sollecitzioni tglinti sino prevlentemente dirette prllelmente ll line medi dell sezione stess e che il loro vlore si pressoché costnte per tutti i punti di un cord ortogonle ll line medi. In tl modo il problem in esme si trduce llor nell semplice ppliczione dirett dell formul di Jourwsk per l determinzione dell tensione tngenzile medi presente in un generic cord del profilo in esme nell direzione dell line medi dell sezione stess.

7 Profili perti in prete sottile profili perti in prete sottile sezione T sezione doppio T sezione C sezione d L Anlizzeremo inizilmente i profili perti prete sottile. Il metodo di nlisi per questi tipi di profili srà descritto opertivmente con riferimento d un sezione trsversle specific, ed in prticolre per un sezione T. L procedur descritt di seguito può essere pplict ll nlisi di sezioni prete sottile venti ltre forme. profili chiusi in prete sottile sezione sctolre sezione tubolre

8 L sezione "T" 1 2 2mm M T 5kN Considerimo un trve vente un sezione trsversle T, crict d un sollecitzione tglinte prllel l suo sse di simmetri come indicto in figur. Per qunto si è detto, tle sollecitzione tglinte è ssocit nche un sollecitzione flessionle (rett per il cso in esme), i cui effetti, che non sono considerti in quest sede, possono essere vlutti pplicndo l formul di Nvier (28). li ssi del sistem di riferimento indicti in figur sono ssi principli d inerzi per l sezione in esme: l sse è sse di simmetri e quindi sicurmente è sse principle d inerzi, e l sse è bricentrico ed ortogonle d un sse principle e quindi nch esso principle d inerzi. 30 mm

9 Osservzione 1 2 Si osservi che, per motivi opertivi, bbimo indicto T come dirett secondo un sse pssnte per il bricentro. In generle però, stimo semplicemente supponendo che l su direzione si prllel ll sse principle e quindi ognun delle forze indicte in figur (ed un qulunque zione tglinte d esse prllel) è mmissibile per qunto verrà descritto nell presente lezione. Anticipimo però che, se l forz tglinte non pss per il centro di tglio dell sezione, ess produce nche sollecitzioni torsionli. 2mm 30 mm In definitiv llor, per l zione tglinte in esme non è stto specificto né il punto di ppliczione, né l direzione estt, m solo che ess si prllel ll sse.

10 L sezione "T" 1 2 T 5kN L prim cos d fre, per poter pplicre le relzioni determinte nell precedente lezione, è clcolre il bricentro dell sezione (l fine di poter posizionre gli ssi del sistem di riferimento). Visto che l sse è sse di simmetri, esso conterrà il bricentro. 2mm 30 mm

11 L sezione "T" 1 2 T 5kN d L prim cos d fre, per poter pplicre le relzioni determinte nell precedente lezione, è clcolre il bricentro dell sezione (l fine di poter posizionre gli ssi del sistem di riferimento). Visto che l sse è sse di simmetri, esso conterrà il bricentro. L distnz d tr il bricentro e l line medi dell l dell sezione in esme si può clcolre come segue: indicndo con A l re dell sezione in esme e con S t il momento sttico di tutt l sezione rispetto ll rett t-t, pssnte per l line medi dell l si h S t Ad 2 2 d 2A mm 30 mm

12 L sezione "T" 1 2 T 5kN Voglimo desso determinre le tensioni tngenzili medie presenti in un generic cord ortogonle ll line medi dell sezione. /10 2mm 30 mm

13 L sezione "T" 1 2 T 5kN s 1 /10 Considerimo inizilmente un cord generic nell prte destr dell l dell sezione. Al fine di poterl identificre univocmente si introduce un sciss intrinsec s 1 come indicto in figur. Ess può vere i seguenti vlori (si trscur lo spessore rispetto d ) 0 s 1 Le tensioni tngenzili medie su tle cord si clcolno ttrverso l (96) come segue dove T 5kN zs b 2 4 mm A1 TS bi trscurbile (2) 2mm 30 mm I mm

14 Osservzione 1 2 T 5kN s 1 /10 Nel clcolo del momento d inerzi effettuto nell precedente slide è stto trscurto il termine in 3 in qunto, per definizione, nelle sezioni in prete sottile lo spessore è molto più piccolo delle ltre dimensioni. In generle, llor, per le sezioni in prete sottile i termini cubici nello spessore possono essere trscurti senz che si fccino errori significtivi. 2mm 30 mm

15 L sezione "T" 1 2 T 5kN s 1 /10 I precedenti vlori non dipendono dll posizione dell cord sul trtto in esme, mentre il momento sttico dell porzione di sezione che precede l cord rispetto ll sse vri linermente come segue: 1 S A 1s1 s Sostituendo i dti così determinti nell (101) si ottiene l seguente espressione delle tensioni tngenzili medie A1 TS 6T zs s s (102) 1 bi 17 che definisce un ndmento linere rispetto l sciss s 1. 2mm 30 mm

16 L sezione "T" 1 2 T 5kN s 1 /10 I precedenti vlori non dipendono dll posizione dell cord sul trtto in esme, mentre il momento sttico dell porzione di sezione che precede l cord rispetto ll sse vri linermente come segue: 1 S A 1s1 s Sostituendo i dti così determinti nell (101) si ottiene l seguente espressione delle tensioni tngenzili medie 2mm 30 mm lj τ zs = T S bi = 6T 17δ 2 s 1 = [ N mm 3]s 1 che definisce un ndmento linere rispetto l sciss s 1. Nel dominio di vlidità dell (102), le tensioni tngenzili medie hnno segno positivo e sono quindi uscenti dll sezione. (102)

17 L sezione "T" 2mm 30 mm 1 2 T 5kN s 1 Si osservi che nell (102) il coefficiente è espresso in N/mm 3 e quindi, esprimendo s 1 in millimetri si ottengono vlori dell tensione in MP. /10 s s1 zs s 0 1

18 L sezione "T" 2mm 30 mm 1 2 s 2 T 5kN s 1 /10 Considerimo desso un generic cord ortogonle ll line medi dell sezione ed pprtenente ll prte sinistr dell l dell sezione, individut dll sciss s 2, il cui vlore è compreso ll interno del seguente intervllo 0 s 2 Le tensioni tngenzili medie su tle cord si clcol ncor ttrverso l (96) come segue: T 5kN b 2 4 mm s s1 zs I S A mm s s 4 2 s 0 1 τlj zs = T S = 6T bi 17δ 2 s 2 = N/mm 3 s 2 (103)

19 L sezione "T" 2mm 30 mm T 5kN Le tensioni tngenzili medie clcolte sulle corde di tle trtto sono ncor lineri e positive e quindi uscenti dll sezione per l qule è stto clcolto il momento sttico. s 2 s /10 s s2 zs s s1 zs 0 s 2 0 s 1

20 L sezione "T" 2mm 30 mm 1 2 s 2 T 5kN s 1 /10 Considerimo desso un generic cord ortogonle ll line medi dell sezione ed pprtenente ll nim, individut dll sciss s 3, il cui vlore è ncor compreso ll interno del seguente intervllo 0 s 3 In questo cso l (96) si prticolrizz come segue T 5kN s s2 zs s 3 s s1 zs 0 s 2 0 s 1 b 2 mm I mm 9 10 s 2 3 S A1 s s3 s A1 6T 9 5s TS 3 s3 zs s 3 s 3 3 (104) bi 17

21 L sezione "T" 2mm 30 mm s 2 T 5kN s 1 Nel suo dominio di definizione, l (104) è sempre negtiv e quindi le tensioni tngenzili sono entrnti nell cord in esme. Il loro ndmento è prbolico con s 3 e presentno un mssimo in corrispondenz dell sse neutro. 1 2 /10 s 3 s s2 zs s s1 zs 0 s 2 0 s s s zs 3 3 s 0 3

22 L sezione "T" 2mm 30 mm T 5kN Le leggi delle tensioni tngenzili così determinte possono essere digrmmte sull line medi dell sezione come segue 2 s 2 s /10 1 m 9 /10 27 mm s 3 s s2 zs 0 s 2 0 s s s zs 3 3 s 0 3 s s1 zs I vlori ssoluti delle tensioni tngenzili (significtive) indicte nell precedente figur sono pri MP MP MP m

23 Osservzione 2mm 30 mm s 2 T 5kN s 1 È fcile verificre (nche opertivmente) che, per sezioni sottili formte d elementi rettngolri, nelle prti prllele ll sse neutro l ndmento delle tensioni tngenzili è sempre linere. 1 2 /10 2 s s s2 zs s s1 zs m 9 /10 27 mm 0 s 2 0 s s s zs 3 3 s 0 3

24 Scuol di Architettur Corso di Lure: Mgistrle Architettur c.u. Profili perti in prete sottile: esercizi proposti

25 Profili "T" T 5kN Si clcoli e si digrmmi il vlore delle tensioni tngenzili medie per l sezione indict in figur mm 30 mm

26 Profili "C" 2 T 1kN 2 Si clcoli e si digrmmi il vlore delle tensioni tngenzili medie per l sezione indict in figur. Per il procedimento risolutivo l llievo può consultre il libro di testo (Comi-Corrdi, Introduzione ll meccnic strutturle) pg mm 50 mm

27 Profili "C" T 1kN Si clcoli e si digrmmi il vlore delle tensioni tngenzili medie per l sezione indict in figur mm 50 mm