FLESSIONE E TAGLIO (prof. Elio Sacco)

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1 Cpitolo FLESSIONE E TALIO (prof. Elio Scco). Sollecitzione di flessione e tglio Si esmin il cso in cui l risultnte delle tensioni genti sull bse dell trve x = L consist in un forz tglinte V, tlechev e =. Si consider inizilmente il cso di un sezione che presenti un sse di simmetri con V gente lungo tle sse di simmetri, che risult essere nche un sse principle d inerzi, come rppresentto schemticmente in figur.. Le equzioni di equilibrio globle dell trve impongono che l risultnte ed il momento risultnte genti sulle bsi x =ex = L sino equivlenti ll forz di tglio V. Ciò si trduce nell imporre: ½ ¾ N(L) = V(L) = V M f (L) = M t (L) = N() = M f () = ½ V L ¾ ½ V() = V M t () = ¾ (.) Le crtteristiche dell sollecitzione clcolte nell generic sezione dell trve:: ½ ¾ N(x )= V(x )= V ½ ¾ (.) M f V (L x (x )= ) M t (x )= 4

2 44 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) V A* A τ τ n B Figur.: Sezione simmetric sollecitt lungo l sse di simmetri. Nel seguito viene sviluppt un soluzione pprossimt del problem dell trve soggett flessione e tglio. L soluzione pprossimt presentt è bst sul rispetto delle sole equzioni di equilibrio e non vengono prese in considerzione condizioni di congruenz intern. Ne consegue che si giungerà d un soluzione equilibrt m non congruente. Si ssume che si sempre vlid l ipotesi che σ αβ =in ogni punto dell trve ed inoltre che l tensione normle σ si definit dl problem dell flessione trmite l formul (.), che, tenuto conto dell terz delle (.), si prticolrizz in: σ = M f I = V (L x ) I (.) Per l (.) le equzioni indefinite di equilibrio (9.) diventno llor: σ, = (.4) σ, = σ, + σ, = σ, = V I Indicndo llor con τ il vettore di componenti σ e σ le equzioni (.4) si riscrivono come: τ, = divτ = V I in A (.5)

3 .. TENSIONE TANENZIALE MEDIA SU UNA CORDA 45 Le condizioni l contorno sul mntello dell trve (9.4) si trducono semplicemente in: τ n = su A (.6) essendo n l normle uscente definit nel generico punto dell frontier A dell sezione A dell trve.. Tensione tngenzile medi su un cord Con riferimento ll figur., si consideri il segmento AB di lunghezz b che rppresent un generic cord nell sezione rett dell trve. Si definisce tensione tngenzile medi sull cord AB l quntità sclre: τ n = b Z B A τ n ds (.7) Indicndo con A l re definit dll cord AB, come mostrto in figur., e ricordndo l condizione l contorno (.6), si h: Z B Z τ n b = τ n ds = τ n ds = q (.8) A A essendo q il flusso delle tensioni tngenzili uscenti dll re A. Applicndo il teorem dell divergenz ll (.8) e ricordndo l terz equzione indefinit di equilibrio (.5), si h: Z Z Z V q = τ n ds = divτ da = da = V s (.9) A A A I I con s = S momento sttico dell re A rispetto ll sse, ovvero lungo l direzione. L ultim uguglinz dell (.8), tenut conto l (.9), fornisce l formul finle per il clcolo dell tensione tngenzile medi gente sull cord AB, not come formul di Jourwsky : τ n = V s (.) bi All formul di Jourwsky si può giungere trmite un rgionmento lterntivo, m equivlente. Si consideri un trtto di trve di lunghezz x,definito dll sol prte A dell sezione dell trve, come illustrto in figur.. Jourwsky D.J. (8-89), ingegnere russo. Si diplomò presso l Istituto di Ingegneri delle vie di comuniczione di Sn Pietroburgo. Nel 84 egli fu ssegnto l progetto dell ferrovi tr Sn Pietroburgo e Mosc, e nel 844 ebbe l incrico dell più importnte oper dell line, il ponte sul fiume Werebi.

4 46 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) R * (x ) M f (x ) τ n τ n A * τ n R * (x + x) Mf (x + x) x Figur.: Determinzione delle tensioni tngenzili d tglio. Sull fcci definit dll cord che delimit A l tensione tngenzile non dipende dll sciss x. Imponendo l equilibrio dell prte di trve si h: R (x + x ) R (x )= τ n b x (.) dove l quntità τ n b x è dett scorrimento sul trtto di lunghezz x. Dll (.) si ottiene: τ n b = R (x + x ) R (x ) (.) x che, nel limite per x che tende zero, fornisce: τ n b = dr (x ) dx (.) Sull sezione di sciss x le tensioni normli per l flessione sono fornite dll formul (.) σ = V (L x ) /I, l cui risultnte sull re A vle: Z R V (L x ) (x )= da = V (L x ) s (.4) I I A In definitiv si ottiene l formul (.). Nel cso in cui V 6=e V 6=,con e ncor direzioni principli d inerzi, l tensione normle dovut ll sollecitzione di flessione ssocit l tglio, vle: σ = M f I M f I = V (L x ) I V (L x ) I (.5) che derivt rispetto d x e sostituit nell terz delle (.4) fornisce: µ V σ, + σ, = σ, = + V I I (.6)

5 .. LA SEZIONE RETTANOLARE 47 In definitiv si ottiene: τ n = b µ V s + V s I I (.7) Nel cso in cui si scelto un sistem di riferimento non principle d inerzi, l tensione normle dovut ll fessione è fornit dll espressione (.9) con N =, che ssume l form: ½ I I σ = M f ¾ ½ ¾ x I I M f (.8) x ½ ¾ ½ ¾ I I = V x (x I V x L) I che derivt rispetto d x fornisce: σ, =(H V + H V ) +(H V + H V ) (.9) essendo: I I H = I I In definitiv l formul di Jourwsky si generlizz in: τ n = b [(H V + H V ) s +(H V + H V ) s ] (.). L sezione rettngolre Si consider or il cso dell sezione rettngolre di dimensioni b h sollecitt secondo l sse. Per il clcolo dell tensione tngenzile normle medi si sceglie un cord prllel ll sse ed distnz y dll origine. In questo cso l l formul (.) divent: τ (y) = V s = V Z y bi bbh b x d = V h/ bh µy h 4 (.) L ndmento delle tensioni è prbolico, con vlore nullo per y = ±h/, mentre ssume vlore mssimo per y =: τ,mx = τ () = V b h (.)

6 48 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO).4 L sezione in prete sottile Si consider il cso in cui l sezione rett dell trve si costituit d un strisci sottile di mterile di spessore vribile o non, vente come line medi l curv pin di equzione: = (ζ) = (ζ) (.) con ζ sciss curviline del generico punto dell line medi misurt prtire d un origine O, che generlmente è scelt in corrispondenz di un estremità dell line, che per ipotesi non form circuiti chiusi. In questo cso per cord reltiv ll sciss curviline ζ si intende sempre quell ortogonle ll line medi dell sezione, cui corrisponde uno spessore b(ζ). Vist l piccolezz dello spessore dell sezione, si può or con buon pprossimzionesupporrecheleτ ζ sino costnti lungo lo spessore. In prtic si può utilizzre l formul di Jourwsky generlizzt l cso di presenz contemporne di momenti flettenti M f ed M f generti dll forz di tglio V, per l determinzione del vlore puntule delle tensioni tngenzili d tglio: τ(ζ) = b(ζ).5 Il centro di tglio µ V I s (ζ)+ V I s (ζ) (.4) Si osserv che un qulsisi distribuzioni di tensioni tngenzili di puro tglio h come risultnte un forz di tglio. D quest evidente ffermzione si ricv che se si costruiscono due distribuzioni di tensioni tngenzili di puro tglio, le risultnti pssernno per un punto definito dll loro intersezione detto centro di tglio. In prticolre è possibile scegliere le due distribuzioni di tensioni tngenzili fornite dlle espressioni: V τ (ζ) = s b(ζ) I (ζ) (.5) τ (ζ) = V s b(ζ) I (ζ) ottenute dll formul (.4) ponendo rispettivmente V 6=V =ev =V 6=. Clcolndo gli ssi centrli delle due distibuzioni è possibile determimre il centro di tglio come l intersezioni dei due ssi centrli. Tle centro di tglio è individuto dl vettore x T. Il vettore posizione x T individu quindi il punto dove deve essere pplicto un qulsisi vettore forz di tglio comunque diretto nel pino dell sezione dell trve, ffinchè l sollecitzione di tglio e flessione non generi torsione. In ltre

7 .6. ESERCIZIO SULLA SOLLECITAZIONE DI TALIO 49 x b x Figur.: Sezione in prete sottile soggett sollecitzione di tglio e flessione. prole qundo l rett di zione di V pss per x T sidicecheltrveèsoggettsol flessione e tglio e non sollecitzione di torsione. Ciò induce clcolre il vlore del momento torcente generto d un forz V scegliendo come polo il punto individuto d x T. Così, supponendo che V si pplict in x V, il momento torcente vrrebbe M t = e (x V x T ) V. Indefinitiv, il momento torcente non v clcolto rispetto l bricentro, m rispetto l punto definito d x T..6 Esercizio sull sollecitzione di tglio Si consider un trve soggett ll sollecitzione di tglio e flessione. L sezione dell trve è in prete sottile, come illustrto in figur.. Si fiss inizilmente il sistem di riferimento (x, x ) con origine nell ngolo superiore destro, come riportto in figur.. Si procede quindi ll determinzione del bricentro. A tle scopo si clcolno inizilmente l re e le componenti del vettore momento sttico: A = b +b+ b + b =5b S = b +b+ b = b S =b+ b + b = (.6) b

8 5 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) ξ ξ ξ ξ 4 Figur.4: Ascisse sull line medi dell sezione sottile. Le coordinte del bricentro sono llor: x g = S A = b 5 b = 5 x g = S A = b 5 b = (.7) Determinto che si il bricentro, si clcolno i momenti d inerzi dell sezione. Poiché il sistem di riferimento bricentrico non è principle d inerzi, il momento centrifugo è certmente non nullo. L mtrice d inerzi h quindi tutte le componenti non nulle. Si consider il cso in cui l forz di tglio V h entrmbe le componenti non nulle; l formul di Jourwsky generlizzt (.) per l sollecitzione di tglio ssume l form: τ = b [(H V + H V ) s +(H V + H V ) s ] (.8) τ è l componente normle dell tensione tngenzile ll generic cord, che risult sempre ortogonle ll line medi dell sezione. Per determinre l ndmento delle tensioni tngenzili è necessrio vlutre le funzioni s e s. A tle scopo si consider l line medi dell sezione divis in 4 trtti, come mostrto in figur.4; in ogni trtto si introduce un sciss.

9 .6. ESERCIZIO SULLA SOLLECITAZIONE DI TALIO 5 ξ ξ ξ 5 5 ξ 5 5 ξ 4 ξ Figur.5: Clcolo del momento sttico s = S. ξ ξ ξ 9 9 ξ4 ξ 4 ξ Figur.6: Clcolo del momento sttico s = S.

10 5 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) b ξ ξ 7 b ξ ξ 4 5 b Figur.7: Digrmm di S = s. Le funzioni momento sttico nei quttro trtti vlgono: ³ s _ = S_ = 5 ξ bξ s _ = S _ = b + 5 bξ s _ = S _ = 7 b + bξ ³ 5 ξ (.9) s _4 = S _4 = 5 b 5 bξ 4 s _ = S_ = bξ s _ = S_ = b ³ ξ bξ s _ = S_ = b + 9 bξ s _4 = S_4 = ³ 5 b + 9 ξ 4 bξ 4 (.) Nelle figure.7 e.8 sono riportti gli ndmenti delle funzioni momento sttico. L equzione (.8), tenendo conto delle formule (.9) e (.) ovvero delle funzioni digrmmte nelle figure.7 e.8, è possibile determinre il digrmm delle tensioni tngenzili per l sezione considert. Qulor fosse necessrio determinre l posizione del centro di tglio, si procede come segue. Fse

11 .6. ESERCIZIO SULLA SOLLECITAZIONE DI TALIO 5 b ξ ξ ξ 4 ξ Figur.8: Digrmm di S = s.

12 54 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) 5 bα 5 bα bα 5 bα Figur.9: Forze esplicte nell fse. Si pone H V + H V =nell equzione (.8); li tensioni tngenzili vlgono llor: τ = b (H V + H V ) s = α s (.) vendo posto α =(H V + H V ) /b. L tensione tngenzile così clcolt nell fse dipende esclusivmente d s. Si determinno le risultnti delle tensioni tngenzili sui singoli trtti dell sezione in prete sottile: R F = α s _dξ = 5 bα R F = α s _dξ = 5 bα F = R α s _dξ = 5 bα R F4 = α s _4dξ 4 = bα (.) Le quttro forze sono pplicte come mostrto in figur.9. Le quttro forze hnno risultnte V con componenti: V = 5 bα V = bα (.) Scelto un polo qulsisi, l sse centrle del sistem di forze si determin imponendo che il momento dell risultnte si ugule l momento delle quttro forze. In prticolre, scegliendo come polo il bricentro dell sezione, ovvero l origine del sistem di

13 .6. ESERCIZIO SULLA SOLLECITAZIONE DI TALIO 55 riferimento, si h: V d + V d = F + 5 F + 9 F + 5 F 4 (.4) e, tenendo conto delle equzioni (.) e (.), l (.4) divent: bα d + 5 bα d = 5 bα 5 5 bα 9 5 bα 5 bα (.5) Effettundo qulche semplificzione, si h: 9d +6d = 8 (.6) che rppresent l equzione dell sse centrle del sistem di forze con risultnte V.Il centro di tglio gice certmente sull rett determint. Fse Si pone H V + H V =nell equzione (.8); li tensioni tngenzili vlgono llor: τ = b (H V + H V ) s = α s (.7) vendo posto α =(H V + H V ) /b. L tensione tngenzile così clcolt nell fse dipende esclusivmente d S. Si determinno le risultnti delle tensioni tngenzili sui singoli trtti dell sezione in prete sottile: R F = R F = R F = α s _dξ = bα α s _dξ = 46 5 bα α s _dξ = 7 bα R F4 = α s _4dξ 4 = 6 7 bα Le quttro forze sono pplicte come mostrto in figur.. Le quttro forze hnno risultnte V con componenti: (.8) V = bα V = 59 bα (.9) Scelto un polo qulsisi, l sse centrle si determin imponendo che il momento dell risultnte si ugule l momento delle quttro forze. In prticolre, scegliendo come polo il bricentro dell sezione, ovvero l origine del sistem di riferimento, si h: V d + V d = F + 5 F + 9 F + 5 F 4 (.4)

14 56 CAPITOLO. FLESSIONE E TALIO (PROF. ELIO SACCO) F = bα 46 5 bα 7 bα 6 7 bα Figur.: Forze esplicte nell fse. e, tenendo conto delle equzioni (.8) e(.9), l (.4) divent: 7d +8d = 6 (.4) che rppresent l equzione dell sse centrle del sistem di forze con risultnte V.Il centro di tglio gice certmente sull rett determint. Fse Il centro di tglio si trov come intersezione delle due rette ottenute come ssi centrli di V ediv : ½ 9d +6d = 8 (.4) 7d +8d = 6 che risolvendo fornisce le coordinte del centro di tglio: d = 9 7 =.79 d = 457 =.8 (.4) 555