Prova in itinere di Fondamenti di meccanica razionale e Meccanica razionale del

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1 Prov in itinere di Fondmenti di meccnic rzionle e Meccnic rzionle del.4.1 Esercizio 1 Un lmin rigid omogene, di mss m, è post nel pino coordinto Oxy di un tern crtesin ortogonle Oxyz Oê 1 ê ê. Il bordo di const di due lti rettilinei OA e OB, entrmbi di lunghezz e llineti con gli ssi coordinti Ox e Oy, e di un curv AB che è il grfico dell funzione y(x) 1 ( x), x [, ]. Si richiede di determinre dell lmin: () l mtrice d inerzi reltiv Oxyz; (b) l posizione del bricentro, sempre rispetto Oxyz, verificndone l pprtenenz ll inviluppo convesso di ; (c) il momento d inerzi reltivo ll rett s di equzione y + x nel pino coordinto Oxy. Esercizio Un punto mterile P, di mss m 1, scorre senz ttrito lungo l sse orizzontle Ox ed è collegto ll origine O d un moll idele di costnte elstic k. Sul punto giscono inoltre un resistenz viscos con costnte di frizione β e un forz sinusoidle cos(ωt)ê 1, con Ω > costnte e ê 1 versore tngente ll sse Ox. Determinre: () per quli vlori di β il moto trnsiente del sistem risult subcritico; (b) il moto di regime nel cso si Ω e β /; (c) sempre per β /, il vlore dell pulszione Ω per il qule il sistem è risonnte. Esercizio Un punto mterile P, di mss m e peso trscurbile, è vincolto scorrere lungo l curv di equzione y(x) (x )/, x [, ], nel pino verticle Oxy di un tern inerzile, essendo un lunghezz costnte crtteristic. Un moll idele di costnte elstic k congiunge P con l origine O. Determinre: () l equzione pur del moto di P nel cso che l curv si lisci; (b) gli equilibri del sistem, sempre per il cso di curv lisci; (c) gli equilibri qulor fosse k, l sse Oy verticle, il peso del punto non trscurbile e il coefficiente di ttrito sttico dell curv µ s >. 1

2 Esercizio 4 In un tern ortogonle destr Oê 1 ê ê si dto il sistem di vettori pplicti (P 1, v 1 ), (P, v ), (P, v ) definito d: Ricvre: P 1 O ê 1 v 1 ê 1 + ê P O ê + ê v ê 1 + ê + ê P O ê 1 ê v ê 1 ê ê. () l equzione dell sse centrle del sistem; (b) il volume del prllelepipedo di spigoli OP 1, OP, OP ; (c) l mpiezz dell ngolo compreso fr i vettori v 1 e v. Esercizio Un pistr circolre P, di centro C, rggio R, mss m e peso trscurbile, ruot senz ttrito ttorno ll sse fisso Cz, d ess perpendicolre, di un tern crtesin ortogonle destr inerzile Cxyz Cê 1 ê ê. Nei punti A e B di P mostrti in figur giscono rispettivmente un forz costnte F ê e un resistenz viscos βḃ, con β, F >. Un moll di costnte elstic k colleg inoltre A ll su proiezione ortogonle A su Cx. Posto che il momento d inerzi di P rispetto Cz si mr /, si usi l ngolo di rotzione φ in figur per determinre: () l equzione pur del moto dell pistr; (b) le configurzioni di equilibrio.

3 Soluzione dell esercizio 1 () Mtrice d inerzi reltiv Oxyz Il clcolo dell mtrice d inerzi reltiv ll tern Oxyz come pure del bricentro G richiede l determinzione dell densità rele di. Ovvimente, l densità costnte σ dell lmin omogene di mss m deve soddisfre l equzione m σ da, ovvero m σ per cui da (x ) / dy (x ) (x ) [ (x ) ], σ m. lmin gice per intero nel pino coordinto Oxy dell tern crtesin ortogonle Oxyz; ciò ssicur che l reltiv mtrice d inerzi debb ssumere l form generle xx xy [ O ] xy yy xx + yy nell qule soltnto i momenti xx, yy, reltivi gli ssi Ox, Oy, e il prodotto d inerzi xy devono essere clcolti. Il primo momento d inerzi è dto dll integrle xx m y σ da (x ) 6 (x ) / m mentre per il secondo si h l espressione: dy y m m [ y (x ) 6 m [ (x ) 7 7 ] (x ) / ] m m yy x σ da (x ) / dy x m m (x ) x m x (x ) che con il cmbimento di vribili x ζ, ζ [, 1], divent yy m 1 ζ (ζ ) dζ m 1 ζ (ζ 1) dζ m [ ] ζ m 1 ( ζ4 4 + ζ 1 m ) m (ζ 4 ζ + ζ )dζ 1 1 m.

4 Il momento d inerzi reltivo ll sse Oz risult così: xx + yy 1 7 m m 17 7 m. Qunto ll unico prodotto d inerzi non bnle, ricorrendo sempre l cmbimento di vribile x ζ si h: xy dl momento che xy σ da m m (x ) / x 1 (x )4 dy xy m m [ y x ] (x ) / m 1 ζ(ζ ) 4 dζ 4 ζ(ζ 1) 4 dζ m 1 1 m 1 ζ(ζ 1) 4 dζ 1 1 ζ(ζ 4 4ζ + 6ζ 4ζ + 1) dζ (ζ 4ζ 4 + 6ζ 4ζ + ζ) dζ [ ζ In definitiv, l mtrice d inerzi dell lmin si scrive: 1/7 1/ [ O ] m 1/ 1/1. 17/7 6 4ζ + 6ζ4 4 4ζ + ζ 1. ] 1 (b) Bricentro Il bricentro G dell lmin deve collocrsi nel pino Oxy, che è un ovvio pino di simmetri per il sistem. Il vettore posizione di G ssume perciò l form G O x G ê 1 + y G ê con sciss x G e ordint y G che vnno determinte pplicndo le reltive definizioni. Per l prim si h, con il solito cmbimento di vribile, x G 1 m x σ da 1 m (x ) / 4 dy x m x (x )

5 1 x(x ) mentre l ordint risult: y G 1 m 1 1 ζ(ζ ) dζ ζ(ζ 1) dζ [ ] ζ (ζ ζ 4 1 ( + ζ) dζ 4 ζ + ζ 1 4 ) , y σ da 1 m (x )4 4 (x ) / Si perviene così l vettore posizione del bricentro: dy y m (x ) 4 4 G O 1 4 ê ê. [ y [ (x ) ] (x ) / ] 1. inviluppo convesso dell pistr è chirmente il tringolo rettngolo OAB. Quest regione tringolre del pino Oxy viene individut dl sistem di disequzioni lineri: x y y x, (.1) essendo y x l equzione dell rett condott per i punti A e B. È immedito verificre che le coordinte x G /4 e y G /1 soddisfno tutte le disequzioni (.1), per cui il bricentro pprtiene come deve ll inviluppo convesso dell pistr. (c) Momento d inerzi reltivo ll rett s rett di equzione y + x non pss né per l origine né per il bricentro G, come è immedito verificre: , per cui si rende necessrio pplicre due volte il teorem di Huygens-Steiner. rett h equzione prmetric con vettore tngente P (x) O x ê 1 + x P (x) ê 1 1 ê ê, x R,

6 e versore ssocito ˆn P (x) P (x) ( ê 1 1 ) ê (ê 1 1 ) ê 1 (ê 1 ê ). È llor immedito ricvre il momento d inerzi del sistem rispetto ll rett Oˆn, prllel d s e pssnte per l origine: I Oˆn ˆn O (ˆn) 1 1/7 1/ ( 1 ) m 1/ 1/ /7 1 [ 1 m ( 1 ( 1) + 1 ) ] ( 1) 1 ( 4 m ) m 61 7 m. distnz dell rett Oˆn dll rett prllel Gˆn pssnte per il bricentro coincide con l distnz di Oˆn d G e può essere quindi ricvt per mezzo dell relzione: d GO (G O) ˆn 1 ( 4 ê 1 + ) 1 ê ê 1 ê 1 4 ê ê ( ) Anlogmente, l distnz di s d Gˆn è ugule quell di un qulsisi punto di s dll rett Gˆn. Conviene considerre il punto A s di sciss null: A O ê ed esprimere l distnz come d AG (G A) ˆn ( + 4ê1 1 ê ) ê ê 1 ê ( 1 1 ) (ê 1 ê ) 4ê1 ê 1 + 4ê ê + 8. È or possibile pplicre il teorem di Huygens-Steiner lle rette prllele Oˆn, Gˆn e Gˆn, s, rispettivmente: I Oˆn I Gˆn + m d GO I s I Gˆn + m d AG e ricvre per differenz: ( ) ( 17 ) I s I Oˆn m d AG m d GO m m 9 m 89 m 8 m 7 m 6

7 in modo che I s I Oˆn 7 m 61 m 7 m m 1 m 6 17 m. Soluzione dell esercizio () Vlori di β per il regime subcritico Per il moto del punto mterile P il postulto delle rezioni vincolri porge l equzione m P β P k(p O) + cos(ωt)ê 1 + Φ che proiettt lungo il versore ê 1, tngente ll sse vincolre Ox, si riduce ll form pur: mẍ βẋ kx + cos(ωt). Per i vlori ssegnti di m 1 e k si ottiene llor l equzione ẍ + βẋ + x cos(ωt) che descrive un oscilltore rmonico smorzto con forznte sinusoidle. equzione che govern il moto trnsiente è l omogene ssocit cui corrisponde l equzione crtteristic ẍ + βẋ + x λ + βλ + (.) con discriminnte β 4 β. Il regime del moto trnsiente è oscilltorio smorzto o subcritico se e soltnto se i vlori crtteristici dedotti dll equzione (.) sono complessi coniugti, condizione che ricorre qundo e soltnto qundo il discriminnte dell equzione risult negtivo. Si ottiene perciò l condizione: β < ossi, ricordndo che l costnte di frizione è per definizione positiv, β <. (b) Moto di regime per Ω e β / Il moto di regime del sistem nel cso si Ω e β / è un soluzione dell form dell equzione pur del moto x(t) A cos(ωt + α) A cos(t + α), t R, (.) ẍ + ẋ + x cos(t). (.4) 7

8 mpiezz A e l fse α vnno determinte imponendo che l equzione risulti soddisftt. Sostituendo l (.) nell (.4) si h: [ ] A 4 cos(t + α) sin(t + α) + cos(t + α) cos(t) ossi A [ cos(t + α) sin(t + α) ] cos(t) e quindi [ ] 1 A cos(t + α) sin(t + α) cos(t). (.) I coefficienti delle funzioni trigonometriche entro prentesi qudre hnno somm qudrtic unitri, per cui si può porre cos ψ 1 sin ψ e ricvre ψ π/. equzione (.) divent llor [ ( π ) ( π ) ] A cos cos(t + α) sin sin(t + α) cos(t), t R, e si riduce ( A cos t + α + π ) cos(t) in modo che risult A e α π. Il moto di regime del sistem è quindi descritto dll soluzione x(t) ( cos t π ). (c) Pulszione Ω di risonnz per β / Il vlore di risonnz dell pulszione Ω si h qundo l soluzione di regime dell equzione del moto ẍ + ẋ + x cos(ωt) present l mpiezz mssim. Come ben noto, tle mpiezz si scrive A ( Ω ) + ( Ω ) ( Ω ) + 4 Ω Ω Ω + 8

9 e risult mssim per Ω 7 4 vle dire pulszione di risonnz risult perciò: Ω 7 8. Ω r 7. Si osservi che il vlore trovto Ω r è significtivmente diverso, per qunto comunque prossimo d ess, dll pulszione normle ω k/m dell oscilltore rmonico semplice di mss m 1 e costnte elstic k. Soluzione dell esercizio () Equzione pur del moto nel cso di curv lisci curv vincolre è descritt dll prmetrizzzione P (x) O x ê 1 + x ê, x [, ], l cui regolrità è ovvi: e l derivt second costnte: P (x) ê 1 + x ê, x [, ], (.6) P (x) ê, x [, ]. (.7) curv è chirmente un prbol con l concvità rivolt verso l lto, pssnte per i punti (x, y) (, ) e (x, y) (, ) dell sse Ox. sse dell prbol coincide con l sse verticle Oy, mentre l origine O ne costituisce il vertice. Velocità e ccelerzione istntnee del punto mterile lungo un qulsisi moto possibile x(t) sono espresse d P P (x) ẋ P P (x) ẍ + P (x)ẋ. D ltr prte, il postulto delle rezioni vincolri porge l equzione m P k(p O) + Φ che proiettt lungo l direzione tngente P (x) fornisce l equzione pur del moto richiest: m P P (x) k(p O) P (x) 9

10 vle dire m P (x) ẍ + mp (x) P (x) ẋ k[p (x) O] P (x). Bst llor sostituire le espressioni esplicite (.6) e (.7) delle derivte P (x) e P (x) per ottenere l equzione pur nell form finle: ) m (1 + 4x ẍ + m 4x ( ẋ k x + x x ) o equivlentemente: ) m (1 + 4x ẍ + 4m ( xẋ kx x 1). (.8) (b) Equilibri nel cso di curv lisci Nel cso che l curv poss considerrsi lisci, gli equilibri corrispondono tutte e sole le soluzioni x(t) costnti dell equzione pur del moto (.8) e si ottengono perciò risolvendo l equzione lgebric ) kx( x 1. Se ne deducono le rdici: x / x x +/. Si osservi, in prticolre, che per x il punto P occup il vertice dell prbol. e ltre due configurzioni di equilibrio vedono il punto mterile collocto in posizioni simmetriche rispetto ll sse dell prbol. (c) Equilibri nel cso di curv con ttrito, punto pesnte e forz elstic null Nelle ipotesi considerte, il punto P si muove sotto l zione del proprio peso lungo l curv grfico dell funzione f(x) x, x R, con l sse Oy diretto verticlmente. In presenz di ttrito rdente l condizione di equilibrio è quindi dt d f (x) µ s ossi dll relzione x µ s che un semplice mnipolzione lgebric permette di esprimere nell form equivlente x µ s. 1

11 e configurzioni di equilibrio costituiscono così un intorno del vertice dell prbol: µ s x µ s. Soluzione dell esercizio 4 () Asse centrle equzione prmetric dell sse centrle è espress d A O R M O R + α R, α R, condizione che il risultnte del sistem si non nullo. Nell fttispecie si h R per cui v i ( ê 1 + ê ) + (ê 1 + ê + ê ) + (ê 1 ê ê ) ê 1 + ê + ê i1 R ê 1 + ê + ê mentre M O (P i O) v i i1 ê 1 ê ê ê 1 ê ê ê 1 ê ê 1 1 ê + (ê 1 + ê ê ) + ( ê 1 ê ê ) ê 1 ê 4ê. Ne deriv che R M O ê 1 ê ê ê 1 + 7ê e l espressione prmetric dell sse centrle divent pertnto: A O 7ê 1 + 7ê 9 + α(ê 1 + ê + ê ), α R, ossi x α y α z α, α R. 11

12 (b) Volume del prllelepipedo Il volume V del prllelepipedo di spigoli OP 1, OP e OP può essere determinto clcolndo il prodotto misto dei tre vettori posizione P 1 O, P O e P O. Più precismente, si h V (P 1 O) (P O) (P O) (c) Angolo compreso fr i vettori v 1 e v mpiezz α dell ngolo compreso fr i vettori det v 1 ê 1 + ê v ê 1 + ê + ê 4. si può ricvre dl reltivo prodotto sclre v1 v cos α v1 v ( ê 1 + ê ) (ê 1 + ê + ê ) 1 + 1, notndo che v1 ( 1) + 1 v per cui e quindi ( 1 ) α rccos 7 cos α v 1 v v1 v rd o 79 o 6 4. Soluzione dell esercizio () Equzione pur del moto I punti A e B di ppliczione delle forze genti sull pistr sono individuti di vettori posizione A C R(cos φ ê 1 + sin φ ê ) B C R( sin φ ê 1 + cos φ ê ). Sul primo giscono l forz costnte e l interzione elstic: F A F ê k(a A) F ê kr sin φ ê (F kr sin φ)ê mentre il secondo è soggetto ll forz di resistenz viscos: F B βḃ βr( cos φ ê 1 sin φ ê ) φ βr(cos φ ê 1 + sin φ ê ) φ. ipotesi che l sse fisso Cz si privo di ttrito utorizz scrivere l equzione pur del moto del sistem nell form: I Cz φ M 1

13 dove I Cz e M indicno rispettivmente il momento d inerzi dell pistr e il momento delle forze ttive esterne rispetto llo stesso sse. Per il momento delle forze ttive esterne si h l espressione: M ê (A C) F A + ê (B C) F B 1 1 R cos φ R sin φ F kr sin φ + R sin φ R cos φ βr cos φ φ βr sin φ φ RF cos φ kr sin φ cos φ βr φ mentre I Cz mr /. equzione del moto cerct è pertnto: mr φ RF cos φ kr sin φ cos φ βr φ. (.9) (b) Equilibri Gli equilibri del sistem sono ssociti lle soluzioni sttiche dell equzione del moto (.9) e vnno perciò identificti con tutte e sole le soluzioni dell equzione di equilibrio ovvero di RF cos φ kr sin φ cos φ ( F ) kr cos φ kr sin φ. Per cos φ si hnno due rdici definite incondiziontmente: φ π/ φ π/ cui corrispondono le configurzioni di equilibrio che vedono il punto A collocto lungo l sse Oy. Nel cso si sin φ F/kR si ottengono invece le ulteriori soluzioni φ rcsin(f/kr) φ π rcsin(f/kr), definite condizione che si bbi F/kR < 1. e due configurzioni esistono quindi se e soltnto se l forz elstic mssim kr prevle su quell costnte F. 1