1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata"

Transcript

1 Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un regione pin che h l form di un poligono regolre o di un cerchio, si conoscono formule per clcolre l re dell regione, cioè per ssocire ll regione un numero positivo che ne misuri l estensione. In questo cpitolo ci proponimo di estendere il clcolo dell re regioni pine limitte piú generli. Ricordimo che un regione del pino è limitt se è possibile rcchiuderl dentro un cerchio, o (equivlentemente) dentro un rettngolo. È importnte evidenzire che - come ccde per le regioni elementri - l re di un regione pin limitt deve soddisfre lcune proprietá fondmentli: 1. deve essere un numero positivo; 2. non deve dipendere dll posizione dell regione nel pino: se si trsl e/o si ruot un regione pin l su re non cmbi! 3. Se A e B sono due insiemi tli che A B, l re di A deve essere minore o ugule ll re di B; 4. Se un regione A è unione di un numero finito di insiemi limitti, che hnno interni disgiunti (si intersecno l piú sul bordo), llor l re di A deve essere l somm delle ree delle singole prti. 5. L re di un rettngolo A = [, b] [c, d] deve vlere (b ) (d c), secondo qunto è noto dll geometri elementre. 2 Trpezoide ssocito un funzione limitt Tr le regioni non elementri per cui si conosce un metodo per clcolre l re h un ruolo fondmentle l regione compres tr il grfico di un funzione limitt su un intervllo chiuso e limitto e l sse delle scisse, regione che chimeremo trpezoide ssocito ll funzione. Si f un funzione limitt, definit in un intervllo chiuso e limitto [, b]. L regione T f del pino cosí definit T f = {(x, y) : x b, 0 y f(x) } è dett trpezoide ssocito ll funzione f. Si trtt di un regione limitt del pino (puó essere inclus in un rettngolo con lti prlleli gli ssi coordinti). Si noti che 1. se f è positiv, llor T f = {(x, y) : x b, 0 y f(x)} e l regione è contenut nel semipino positivo;

2 Anlisi Mtemtic se f è negtiv, llor T f = {(x, y) : x b, f(x) y 0} e l regione è contenut nel semipino negtivo; 3. se f cmbi segno, llor T f è composto di insiemi dei due tipi precedenti. Definiremo, per il trpezoide di un funzione limitt, un re con segno, che vluti positivmente l re delle prti che si trovno nel semipino superiore e negtivmente l re delle prti che si trovno nel semipino inferiore e che si quindi un somm lgebric delle ree con segno delle singole prti. Quest re con segno srá detto integrle definito dell funzione f e permetterá di clcolre - qundo possibile - l re di regioni limitte del pino piú generli. 3 Integrle definito di funzioni scl 1. Si f(x) = K, x (, b). (Non importno i vlori dell funzione nei due estremi!). Il suo trpeziode è ovvimente un rettngolo R, l cui bse [, b] ppoggi sull sse x. Questo rettngolo si trov l di sopr dell sse x se K > 0 e l di sotto di tle sse se K < 0. Dunque nel primo cso l su re è K(b ), mentre nel secondo cso l su re è K(b ). Definimo - in ogni cso - f := K (b ). Ovvimente f risult positivo, negtivo o nullo second che si tle K e quindi f misur l re con segno del rettngolo (trpezoide) ssocito ll funzione costnte. 2. Si f un funzione scl su [, b]; questo signific che esiste un suddivisione di [, b], medinte un numero finito di punti tle che = < x 1 < < x i 1 < x i < < x n = b, f(x) = K i, se x (x i 1, x i ), i = 1,..., n. (Non importno i vlori nei punti dell decomposizione!) Il trpezoide T f è un unione finit (disgiunt) di rettngoli con lti prlleli gli ssi coordinti, R 1, R 2,..., R n, che si ppoggino sull sse x. Per tle funzione si definisce f = f(x) dx := K i (x i x i 1 ). Si trtt di un somm lgebric ch somm l re dei rettngoli l di sopr dell sse x e l opposto dell re dei rettngoli che si trovno sotto l sse. Vlgono le seguenti proprietá, di verific immedit.

3 Anlisi Mtemtic Lineritá. Se f(x) e g(x) sono funzioni scl in [, b] e α, β R, llor αf(x) = βg(x) è un funzione scl in [, b] e (αf(x) = βg(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. 2. Additivitá. Se f(x) è un funzione scl in [, b] e c (, b), llor f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx. [,c] 3. Confronto. Se f(x) e g(x) sono funzioni scl in [, b], tli che f(x) g(x), x [, b], llor f(x) dx g(x) dx. [c,b] 4 Integrle definito di funzioni limitte Si f(x) un funzione limitt in [, b]. L limittezz ssicur che esistono costnti H, K reli tli che H f(x) K, x [, b]. Pertnto esistono funzioni scl s(x) e funzioni scl t(x), tli che s(x) f(x) t(x), x [, b]. Questo implic che il trpezoide T f contiene un unione di rettngoli che si ppoggino ll sse x, ed è contenuto su volt in un unione di rettngoli di questo tipo. Quest osservzione suggerisce che l re (o l re con segno) del trpezoide - e quindi l integrle definito dell funzione f(x) - si puó definire ttrverso un processo di pprossimzioni successive prtire dgli integrli definiti di funzioni scl s(x) e t(x) sempre piú prossime ll funzione dt. Precisimo nei dettgli il procedimento che port ll definizione di integrle definito dell funzione f(x). 1. Considerimo tutte le funzioni scl s(x), e tutte le funzioni scl t(x), tli che s(x) f(x) t(x), x [, b]. 2. Definimo l integrle definito su [, b] di ogni s(x) e di ogni t(x) e considerimo i due insiemi numerici { } { } S = s(x) dx T = t(x) dx. Risult in ogni cso s(x) dx (i due insiemi numerici S e T sono seprti). t(x) dx

4 Anlisi Mtemtic Considerimo sup S, e inf T. Risult Si possono verificre due csi: () sup S = inf T. (b) sup S < inf T. sup S inf T. () Se sup S = inf T, (cioè gli insiemi S e T sono seprti e contigui), llor è nturle definire l integrle definito di f(x) in [, b] come il vlore comune di sup S e inf T ; pertnto in questo cso dicimo che l funzione f(x) è integrbile in [, b] e definimo f = f(x) dx := sup S = inf T. (b) Se invece sup S < inf T, llor c è tutto un intervllo che sepr S d T e quindi è nturle in tle situzione dire che l integrle di f(x) in [, b] non si puó definire, o, in ltre prole, che f(x) non è integrbile. Qulor esist, l integrle definito di f(x) in [, b] è un misur dell re con segno del trpezoide T f. Precismente, se l funzione è positiv, llor l integrle misur l re del trpezoide, mentre se l funzione è negtiv, llor l integrle è l opposto di tle re. Esistono funzioni limitte in [, b] non integrbili? L rispost è si. Un esempio di funzione limitt non integrbile è l funzione di Dirichlet: { 1 se x [0, 1], rzionle, f(x) = 0 se x [0, 1], irrzionle. Inftti per quest f(x) ogni funzione s(x) è s(x) 0, mentre ogni funzione t(x) è t(x) 1, e quindi sup S = 0, mentre inf T = 1. Quli funzioni limitte sono integrbili? Si prov che le funzioni continue e le funzioni continue trtti sono integrbili. 5 Integrle definito di funzioni continue In quest sezione supponimo che l funzione f(x) si continu nell intervllo [, b]. Dimostreremo che l funzione è integrbile e forniremo nche un metodo lterntivo, piú semplice e opertivo, per il clcolo - e il clcolo pprossimto - dell integrle. Considerimo un decomposizione generic dell intervllo [, b] medinte i punti = < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. In ogni intervllino [x i 1, x i ] l funzione è continu; pertnto il Teorem di Weierstrss ssicur che l funzione mmette in tle intervllino mssimo M i e minimo m i : per ogni i = 1,..., n. m i f(x) M i, x [x i 1, x i ], Restno cosí individute due funzioni scl:

5 Anlisi Mtemtic 2 5 s(x) tle che s(x) = m i in [x i 1, x i ], per ogni i = 1,..., n; t(x) tle che t(x) = M i in [x i 1, x i ], per ogni i = 1,..., n. Per tli funzioni si h s(x) dx = n m i(x i x i 1 ) S (somm inferiore), t(x) dx = n M i(x i x i 1 ) T (somm superiore). È intuitivo spettrsi che l differenz t(x) dx s(x) dx = M i (x i x i 1 ) m i (x i x i 1 ) = (M i m i )(x i x i 1 ) diventi rbitrrimente piccol purché n diventi sufficientemente grnde. In reltá quest proprietá è un conseguenz dell proprietá di continuitá uniforme di cui gode ogni funzione che si continu in un intervllo chiuso e limitto [, b]. Il ftto che l differenz precedente poss essere pres rbitrrimente piccol ssicur che, per un funzione continu, sup S = inf T, e quindi l funzione è integrbile in [, b]. Inoltre l definizione di integrle ssicur che si h in ogni cso m i (x i x i 1 ) f(x) dx M i (x i x i 1 ), e quindi l somm inferiore fornisce un vlutzione pprossimt per difetto dell integrle, mentre l somm superiore fornisce un vlutzione pprossimt per eccesso dell integrle. Inoltre le due pprossimzioni precedenti possono essere rbitrrimente buone, nel senso che l differenz tr ciscun di esse e l integrle puó essere pres rbitrrimente piccol. Tutto ció divent prticolrmente fcile, dl punto di vist opertivo, se si sceglie come decomposizione dell intervllo [, b] un decomposizione dicotomic ottenut suddividendo l intervllo in prti uguli, il cui numero è d ogni psso il doppio del precedente. Illustrimo nei dettgli questo procedimento. Dividimo l intervllo in due, trmite il punto medio dell intervllo [, b]; se chimimo m 1, M 1 e m 2, M 2 il minimo e il mssimo dell funzione nei due intervlli in cui è suddiviso [, b], si h, pplicndo le considerzioni del punto precedente ciscuno dei due intervlli, m 1 (b )/2 + m 2 (b )/2 f(x) dx M 1 (b )/2 + M 2 (b )/2. Se ripetimo il procedimento per ciscuno dei due intervlli e per ciscuno dei quttro intervlli cosí ottenuti e cosí vi, si h m 1 (b )/4 + + m 4 (b )/4 f(x) dx M 1 (b )/4 + + M 4 (b )/4,

6 Anlisi Mtemtic 2 6 se m i e M i sono il minimo e il mssimo dell funzione sull i-mo sottointervllino (i = 1, 2, 3, 4) e ncor per un suddivisione in N = 2 n prti, m 1 (b )/N + + m N (b )/N f(x) dx M 1 (b )/N + + M N (b )/N, cioè o ncor (m m N )(b )/N ( N ) m i (b )/N f(x) dx (M M N )(b )/N, ( N ) f(x) dx M i (b )/N, se m i e M i sono il minimo e il mssimo dell funzione sull i-mo intervllino (i = 1,..., N). Si osservi che, l crescere di n, l somm inferiore ument, mentre l somm superiore diminuisce e l differenz tr l somm superiore e quell inferiore, reltive ll stess decomposizione, tende zero. Dunque ( si puó ffermre che - pur di scegliere n sufficientemente grnde - le somme N ( i) m N (b )/N e i) M (b )/N forniscono - per l integrle definito dell funzione - due vlori pprossimti (uno per difetto e uno per eccesso) rbitrrimente ccurti. 6 Integrle definito di funzioni continue trtti In quest sezione supponimo che f(x) si un funzione continu trtti nell intervllo [, b]. Ció signific che si puó suddividere l intervllo [, b] in un numero finito di sottointervlli, in modo tle che l funzione si continu in ciscuno dei sottointervlli perti e poss essere prolungt per continuitá nche negli estremi di ciscun intervllo. Allor su ogni sottointervllo l integrle dell funzione è ben definito e srá nturle pensre che l integrle dell funzione su [, b] si l somm finit di tli integrli. 7 Significto geometrico dell integrle definito Nell sezione 2 bbimo definito il trpezoide di un funzione continu. Quest regione è contenut nel semipino delle y positive: è contenut nel semipino delle y positive, qundo f è positiv; è contenut nel semipino delle y negtive, qundo f è negtiv; oppure - se l funzione f cmbi segno - intersec l sse delle scisse ed è l unione di un numero finito di regioni, di cui lcune l di sopr dell sse x e lcune l di sotto di tle sse.

7 Anlisi Mtemtic 2 7 In ogni cso se ne puó clcolre l re che dovrá, per qunto giá detto, essere un numero rele positivo. Che relzione c è tr l re dell regione e l integrle definito dell funzione? Per qunto detto nell sezione precedente, se l funzione è positiv, l integrle definito f coincide con l re del trpezoide T f. Se invece l funzione f è negtiv, llor l integrle definito f coincide con l opposto dell re del trpezoide T f. Infine, nel cso generle in cui l funzione f ssume vlori positivi, negtivi e nulli, l integrle definito f coincide con l somm lgebric delle ree delle sottoregioni l di sopr e l di sotto dell sse delle scisse, in cui il trpezoide T f puó essere decomposto: l re è precedut dl segno + se si trov l di sopr dell sse delle scisse e precedut dl segno se si trov l di sotto di tle sse. 8 Integrle definito d b Supponimo che f si un funzione definit in un intervllo I (che non è necessrimente chiuso e limitto) e che si ivi loclmente integrbile; ció signific che l funzione è integrbile in ogni intervllo chiuso e limitto contenuto in I.. Se, b sono due punti qulsisi di I, con < b, si puó considerre f, secondo l definizione dt in precedenz. Piú in generle, se, b sono due punti qulsisi di I, si puó definire l integrle definit d b, indicto con b f(x) dx, nel modo seguente: b f se < b, f(x) dx = f se > b, 0 se = b. 9 Proprietá degli integrli definiti 1. Lineritá. Sino f(x) e g(x) funzioni integrbili in un intervllo [, b]; sino inoltre α, β R. Allor l funzione αf(x) + βg(x) è integrbile in [, b] e 2. Additivitá. b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx. Si f un funzione loclmente integrbile in un intervllo I. Per ogni scelt di, b, c I, si h b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx.

8 Anlisi Mtemtic Teorem del confronto Sino f(x) e g(x) funzioni integrbili in un intervllo [, b]; llor f(x) g(x), x [, b] = Come csi prticolri, si osserv che b f(x) dx () f(x) 0, x [, b] = b f(x) dx 0. (b) f(x) 0, x [, b] = b f(x) dx 0. (c) b f(x) dx b f(x) dx. In effetti si h f(x) f(x) f(x) e quindi si deduce che b f(x) dx che equivle ll disuguglinz (c). 4. Teorem dell medi integrle. b f(x) dx Si f(x) un funzione integrbile in un intervllo [, b]. Il numero rele µ = 1 b è detto medi integrle di f(x) in [, b]. b f(x) dx b b g(x) dx. f(x) dx, Secondo l definizione, l medi integrle di f(x) in [, b] è quel numero rele µ tle che b f(x) dx = µ (b ). Nel cso prticolre in cui f(x) è positiv e quindi l integrle è l misur dell re del trpezoide T f, l medi integrle µ è l ltezz di un rettngolo di bse [, b] che h l stess re del trpezoide. Se s = inf f(x) e S = sup f(x), si h s µ S. Se l funzione f(x) è continu, llor l funzione mmette in [, b] minimo m e mssimo M e si h m µ M. Allor il teorem dei vlori intermedi, che vle in conseguenz dell continuitá dell funzione, ssicur che esiste c [, b] tle che f(c) = µ; in ltre prole, esiste c [, b] tle che 1 b f(x) dx = f(c) b cioè tle che b f(x) dx = f(c) (b ).

9 Anlisi Mtemtic Funzioni integrli Si f(x) un funzione loclmente integrbile in un intervllo I. Fissimo un punto I. Per ogni x I, si esso mggiore, ugule o minore di, si puó considerre l integrle definito d x dell funzione f, che è un numero rele. Se d ogni x I fccimo corrispondere questo integrle, x x f, x I, bbimo un funzione definit su I, che indichimo F : F (x) = x f, x I. Quest funzione si chim funzione integrle di f di punto inizile. Qundo f è positiv, F (x) h come vlore l re sottes dl grfico di f tr e x, purché si < x; invece, se > x, llor F (x) h come vlore l opposto dell re sottes dl grfico di f tr x e. Se si cmbi punto inizile, e nziché si sceglie un punto x 1, llor con il metodo illustrto sopr si ottiene un nuov funzione integrle di f, di punto inizile x 1, che indichimo G : G(x) = x x 1 f, x I. L proprietá di dditivitá dell integrle definito implic che le due funzioni integrli F (x) e G(x) differiscono tr loro per un costnte; inftti G(x) = x x 1 f = x0 x 1 f + x f = F (x) + C, se C = x0 x 1 f. Dunque le funzioni integrli di un funzione loclmente integrbile f(x) sono infinite e differiscono tr loro per un costnte. Si noti che ogni funzione integrle vle zero nel punto inizile; inftti F ( ) = x0 f = Il teorem fondmentle del clcolo integrle L importnz delle funzioni integrli è evidenzit dl teorem fondmentle del clcolo integrle, che mostr come le funzioni integrli sino di ftto le primitive dell funzione integrnd f, qundo quest è continu. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Si f un funzione continu in un intervllo I. Per ogni I, l funzione integrle F (x) di punto inizile è derivbile e l su derivt è l funzione integrnd f(x) : F (x) = f(x), x I. Dimostrzione. Fissimo un punto qulsisi x I e provimo che l funzione integrle F (x) è derivbile in x e che F (x) = f(x).

10 Anlisi Mtemtic 2 10 A questo scopo considerimo il rpporto incrementle di F in x. Si h F (x) F (x) = 1 ( x x ) f f = 1 ( x x f + f x x x x x x x Il teorem dell medi fferm che esiste c tr x e x tle che 1 x f = f(c). x x Pertnto si h F (x) F (x) = f(c). x x Se or si consider il limite del rpporto incrementle per x x, si h x x f ) = 1 x x F (x) F (x) lim = lim f(c). x x x x x x Osservimo che se x x, nche c x; llor l continuitá dell funzione f ssicur che Il teorem è cosí dimostrto. lim x x F (x) F (x) x x = lim x x f(c) = f(x). Dimo l seguente definizione. Un funzione g(x) è un primitiv di un funzione f(x) in un intervllo I se è derivbile e l su derivt coincide con l funzione f(x) : g (x) = f(x), x I. Il teorem fondmentle del clcolo integrle fferm che ogni funzione integrle di un funzione continu è un su primitiv. Il teorem è importnte per il clcolo degli integrli definiti. In effetti l definizione di integrle definito non è utile per il suo clcolo; si deve quindi cercre un metodo lterntivo per fre il clcolo e, come vedremo, il teorem precedente fornisce questo metodo. Se, b sono due punti generici dell intervllo I, è immedito osservre che l integrle definito di f d b si ottiene come differenz dei vlori che un funzione integrle (non import qule è il punto inizile) ssume in b e in : Inftti b f(x) dx = x0 b f(x) dx = F (b) F (). b b f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (). Dunque se si vuole clcolre un integrle definito, è sufficiente conoscere un funzione integrle di f. D ltr prte, poiché le funzioni integrli non sono ltro che le primitive dell funzione integrnd, conoscere le funzioni integrli di un funzione continu f(x) in un intervllo I equivle conoscere le primitive dell funzione Dunque, per clcolre un integrle definito è sufficiente conoscere le primitive dell funzione integrnd. Precismente per clcolre b f(x) dx, con f(x) continu, si deve semplicemente clcolre le primitive di f(x); clcolre il vlore in b e in di un di esse frne l differenz. x x f.

11 Anlisi Mtemtic Clcolo di integrli definiti e di ree 1. Supponimo di dover determinre l re di un regione pin limitt compres tr il grfico di un funzione continu, o continu trtti e limitt, e l sse delle scisse, per x in un intervllo [, b]. Si deve stbilire in quli sottointervlli di [, b] l funzione è positiv e in quli è negtiv. Negli intervlli in cui l funzione è positiv si clcol l integrle definito dell funzione; negli intervlli in cui l funzione è negtiv si clcol l opposto dell integrle definito; si sommno i numeri positivi cosí ottenuti: il risultto è l re cerct. 2. Supponimo di dover clcolre l re di un regione pin limitt R compres tr i grfici di due funzioni f e g. Supponimo d esempio che si f(x) g(x). Per prim cos si deve determinre i due punti in cui i due grfici si intersecno: le loro scisse sono i punti e b. Si clcolno i due integrli definiti di f e di g rispettivmente tr e b. L differenz tr l integrle di g e l integrle di f fornisce il vlore dell re dell regione R. In effetti se 0 f(x) g(x), per x [, b], l regione R è l prte di T g che non st in T f e quindi l re è l differenz tr le due ree; se le due funzioni non sono positive, si possono trslre verso l lto in modo d renderle positive entrmbe, senz cmbire l re dell regione compres.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata

Capitolo 5. Integrali. 5.1 Integrali di funzioni a gradinata Cpitolo 5 Integrli 5.1 Integrli di funzioni grdint Un concetto molto semplice m di fondmentle importnz per l trttzione dell integrle di Riemnn è quello di divisione di un intervllo [, b]. In sostnz si

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Matematica I, Funzione integrale

Matematica I, Funzione integrale Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x)

Area del Trapezoide. f(x) A f(a) f(b) f(x) Are del Trpezoide y o A f() trpezoide h B f() f() L're del trpezoide S puo' essere pprossimt dll're del trpezio AB. Per vere un migliore pprossimzione possimo suddividere il trpezio in trpezi piu' piccoli.

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree

Integrale definito. Introduzione: il problema delle aree Integrle definito Introduzione: il prolem delle ree Il prolem delle ree è uno dei tre grndi prolemi che ci sono stti trmndti dgli ntichi, che lo definivno come il prolem dell qudrtur del cerchio: trovre,

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

7. Derivate Definizione 1

7. Derivate Definizione 1 7. Derivte Il concetto di derivt è importntissimo e molto nturle. Per vere un esempio concreto, penste l moto di un mcchin: se f(t) è l funzione che esprime qunt strd vete percorso fino d un certo istnte

Dettagli

Modulo o "valore assoluto" Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli

Modulo o valore assoluto Proprietà del Valore Assoluto. Intervalli Modulo o "vlore ssoluto" Dto x definimo modulo o vlore ssoluto di x il numero rele positivo x se x 0 x = x se x < 0 Es. 5 è 5. 2.34 è 2.34 Dl punto di vist geometrico x rppresent l distnz di x d 0. x x

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito

Calcolo integrale. Capitolo Primitive ed integrale inde nito Cpitolo 9 Clcolo integrle 9.1 Primitive ed integrle inde nito De nizione 9.1 Assegnt un funzione f : A! R, si de nisce primitiv di f un qulunque funzione F : A! R derivbile, tle che F 0 (x) = f(x), per

Dettagli

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento

5 2d x x >12. con a, b, c e d parametri reali. Il grafico di f (x) passa per l origine del sistema di riferimento Questionrio Risolvi quttro degli otto quesiti: L Città dello sport è un struttur sportiv progettt dll rchitetto Sntigo Cltrv e mi complett, situt sud di Rom Rispetto l sistem di riferimento indicto in

Dettagli

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo

Laurea triennale in Scienze della Natura a.a. 2009/2010. Regole di Calcolo Lure triennle in Scienze dell Ntur.. 2009/200 Regole di Clcolo In queste note esminimo lcune conseguenze degli ssiomi reltivi lle operzioni e ll ordinmento nell insieme R dei numeri reli. L obiettivo principle

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

PNI SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.mtefili.it PNI 2005 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO È dto un trpezio rettngolo, in cui le bisettrici degli ngoli dicenti l lto obliquo si intersecno in un punto del lto perpendicolre lle bsi. Dimostrre

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado

1 Equazioni e disequazioni di secondo grado UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Fcoltà di Frmci e Medicin - Corso di Lure in CTF 1 Equzioni e disequzioni di secondo grdo Sino 0, b e c tre numeri reli noti, risolvere un equzione di secondo

Dettagli

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti

Unità 3 Metodi particolari per il calcolo di reti Unità 3 Metodi prticolri per il clcolo di reti 1 Cos c è nell unità Metodi prticolri per il clcolo di reti con un solo genertore Prtitore di tensione Prtitore di corrente Metodi di clcolo di reti con più

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

II-8 Integrale di Riemann

II-8 Integrale di Riemann II-8 INTEGRALE DI RIEMANN DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN II-8 Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle

Dettagli

Il calcolo letterale

Il calcolo letterale Progetto Mtemtic in Rete Il clcolo letterle Finor imo studito gli insiemi numerici (espressioni numeriche). Ν, Ζ, Q, R ed operto con numeri In mtemtic però è molto importnte sper operre con le lettere

Dettagli

Formulario di Analisi Matematica 1

Formulario di Analisi Matematica 1 Formulrio di Anlisi Mtemtic Indice degli rgomenti Punti interni, isolti, di ccumulzione e di frontier Alcune costnti Proprietà delle potenze Proprietà degli esponenzili Proprietà dei logritmi Proprietà

Dettagli

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n.

Campi. Una funzione F di n variabili reali e a valori in R n è detta campo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A aperto di R n. Cmpi Ultimo ggiornmento: 18 febbrio 217 Un funzione F di n vribili reli e vlori in R n è dett cmpo di vettori. Nel seguito considereremo F : A R n con A perto di R n. 1. Integrli curvilinei di second specie

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito

Integrale Definito. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Definito Appunti di nlisi mtemtic: Integrle Deinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle Deinito Clcolo delle ree di ig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Il calcolo integrale

Il calcolo integrale CAPITOLO 4 Il clcolo integrle Il problem che ffrontimo in questo cpitolo è il clcolo di ree di lcune regioni del pino. Inizimo il cpitolo spiegndo quli regioni pine simo interessti. Questi rgomenti sono

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

MATEMATICA Classe Prima

MATEMATICA Classe Prima Liceo Clssico di Treiscce Esercizi per le vcnze estive 0 MATEMATICA Clsse Prim Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Cpitolo Numeri nturli Primi ogni pgin del cpitolo Per gli llievi promossi

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze

Successioni di Funzioni e Serie di Potenze Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni e Serie di Potenze 1 Successioni di Funzioni Nel corso di nlisi di bse si sono studite le successioni numeriche. Qui considerimo un

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Anlisi e Geometri Esercizi sugli integrli Integrli propri. Clcolre i seguenti integrli immediti: I = I = I 5 = ln e e d I = e + e + 6e + e d I = rtg ln ( + ln ) d I 6 = e e + d d rtg + ( + ) ( + ( + )

Dettagli

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio

fattibile con le tecniche elementari che imparerai in seguito. Ad esempio il polinomio Scomposizione di un polinomio in fttori Scomporre in fttori primi un polinomio signific esprimerlo come il prodotto di due più polinomi non più scomponibili Ad esempio 9 = ( 3) fttore 1 ( + 3) fttore +

Dettagli

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale.

In questo capitolo svilupperemo la teoria dell integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile reale. Cpitolo 1 Integrle di Riemnn In questo cpitolo svilupperemo l teori dell integrzione secondo Riemnn per funzioni di un vribile rele. 1.1 Motivzioni Considerimo i seguenti problemi. 1. Clcolo di un re.

Dettagli

COGNOME..NOME CLASSE.DATA

COGNOME..NOME CLASSE.DATA COGNOME..NOME CLASSE.DATA FUNZIONE ESPONENZIALE - VERIFICA OBIETTIVI Sper definire un funzione esponenzile. Sper rppresentre un funzione esponenzile. Sper individure le crtteristiche del grfico di un funzione

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi

Geometria Analitica Domande, Risposte & Esercizi Geometri Anlitic Domnde, Risposte & Esercizi. Dre l definizione di iperole come luogo di punti. L iperole è un luogo di punti, è cioè un insieme di punti del pino le cui distnze d due punti fissi F e F

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α

ipotenusa cateto adiacente ad α cateto opposto ad α ipotenusa cateto adiacente ad α ipotenusa cateto adiacente ad α Trigonometri I In quest prim prte dell trigonometri denimo le funzioni trigonometriche seno, coseno e tngente e le loro funzioni inverse. Vedremo nche come utilizzrle nell risoluzione dei tringoli. Comincimo

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi

Equazioni 1 grado. Definizioni Classificazione Risoluzione Esercizi Equzioni grdo Definizioni Clssificzione Risoluzione Esercizi Mteri: Mtemtic Autore: Mrio De Leo Definizioni Prendimo in esme le due espressioni numeriche 8 entrmbe sono uguli 7, e l scrittur si chim uguglinz

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in

corrispondenza dal piano in sé, che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P' in Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino

Dettagli

1 Integrali impropri di funzioni continue

1 Integrali impropri di funzioni continue ntegrli impropri di funzioni continue. ntegrli impropri su intervlli semiperti Definizione Dt un funzione continu f : [, b) R, con b +, si dice che f è integrbile se esiste finito il t b f(x) dx ed in

Dettagli

Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Calcolo integrale per funzioni di una variabile Cpitolo 10 Clcolo integrle per funzioni di un vribile 10.1 Funzioni primitive Abbimo studito il problem di dedurre d un dt funzione l su derivt. Voglimo or occuprci del problem inverso: dt un funzione

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Integrali curvilinei (integrali di densità) Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milno orso di Anlisi e Geometri 1 Federico Lstri federico.lstri@polimi.it Integrli curvilinei di prim specie (integrli di densità) 15 Dicembre 215 Indice 1 Integrli di line di prim specie

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI RICHIAMI DI TEORIA dom f Im f grfico Funzioni esponenzili y=^ con > Funzioni esponenzili y=^ con

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h )

Sezione Esercizi ; ; ; 1 4. f ) 13 + g ) , 100, 125; f ) 216; 8 27 ; ; e ) g ) 0; h ) Sezione Esercizi Esercizi Esercizi dei singoli prgrfi - Rdici Determin le seguenti rdici qudrte rzionli (qundo è possiile clcolrle) 00 l ) m ) n ) o ) 0,0 0,0 0,000 0, Determin le seguenti rdici qudrte

Dettagli

Proiettività della Retta e del Piano.

Proiettività della Retta e del Piano. Introduzione. In queste note proponimo l clssificzione delle proiettività per l rett proiettiv ed il pino proiettivo su un corpo lgebricmente chiuso. Nel cso dell rett studieremo nche il cso del corpo

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

Curve e forme differenziali

Curve e forme differenziali Curve e forme differenzili Bricentro di un curv Si dt un curv :,b] R 3 di clsse C 1 trtti, con (t) = ( 1 (t), 2 (t), 3 (t)). Assumimo che si ssegnt un funzione continu e positiv µ : (,b]) R, che chimimo

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI Esponenzili e logritmi ESPONENZIALI E LOGARITMI Potenze Fino d or si sono definite le potenze d esponenete intero e rzionle (si positivi che negtivi). Ripssimo le definizioni e i concetti che li rigurdno:

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli

1 Integrali doppi di funzioni a scala su rettangoli INEGRALI DOPPI L prim motivzione per lo studio degli integrli di funzioni di due vribili è il lolo di volumi, in nlogi on l pplizione degli integrli di funzioni di un vribile l lolo di ree. L proedur di

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)?

Calcolo Integrale. F (x) = f(x)? 3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre

Dettagli

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali fratte Funzioni rzionli frtte Per illustrre l medizione che AlNuSet fornisce per lo studio delle funzioni rzionli frtte, inizimo con il considerre l funzione f ( ) l vrire del prmetro. L su rppresentzione nell

Dettagli

x = x(t) y = y(t) t [a, b]

x = x(t) y = y(t) t [a, b] Dt un curv continu. Curve ed integrli di line : t [, b] i punti () = (x(), y()) e (b) = (x(b), y(b)) si chimno primo e secondo estremo dell curv, rispettivmente. L curv si dice chius se () = (b). L curv

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

Lezione 1 Insiemi e numeri

Lezione 1 Insiemi e numeri Lezione Insiemi e numeri. Nozione di insieme, sottoinsieme, pprtenenz Con l prol insieme intendimo un collezione di oggetti detti suoi elementi. Ogni insieme è denotto con lettere miuscole e i suoi elementi

Dettagli

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico

Seconda prova maturita 2016 soluzione secondo problema di matematica scientifico Second prov mturit 06 soluzione secondo problem di mtemtic scientifico Skuol.net June, 06 Primo Problem Le tre funzioni proposte sono f () ( ) k f () 6 + 9k + f () cos( π k ). Punto Affinche l funzione

Dettagli