Appunti di Analisi Matematica 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Appunti di Analisi Matematica 1"

Transcript

1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi è un legge, f: A B, che d ogni elemento x di un insieme A, detto il dominio di f, ssoci un unico elemento f(x) di un insieme B, detto il codominio. Funzioni reli (qundo il codominio è un sottoinsieme dei reli, che per semplicità supporremo coincidere con R). Funzioni reli di vribile rele (sono funzioni reli il cui dominio è un sottoinsieme dei reli). Funzioni iniettive (f: A B è iniettiv se per ogni y B esiste l più un x A tle che f(x) = y o, equivlentemente, se d x 1, x 2 A, x 1 x 2 segue f(x 1 ) f(x 2 ) ). Funzioni suriettive (f: A B è suriettiv se per ogni y B esiste lmeno un x A tle che f(x) = y ). Funzioni biiettive, dette nche corrispondenze biunivoche (sono le funzioni si iniettive si suriettive). Immgine di un funzione f: A B (è l insieme denotto con Im(f) o con f(a) degli y B per i quli esiste un x A tle che y = f(x) ). Osservzione. Un funzione è suriettiv se e solo se l su immgine coincide col suo codominio. Grfico di un funzione f: A B (è l insieme delle coppie ordinte (x, y) che soddisfno l relzione y = f(x), dett equzione del grfico). Osservzione. Il grfico di un funzione rele di vribile rele può essere pensto come un sottoinsieme del pino crtesino. Esempio. Grfici delle funzioni trigonometriche, dell esponenzile, del logritmo. L funzione di Dirichlet { 1 x Q, f(x) = 0 x R \ Q, è tle che non si può disegnrne il grfico. Definizione. L prte inter di un numero x R, denott con [x], è il più grnde intero minore o ugule d x (i.e. [x] := mx Z (, x] ).

2 Il vlore ssoluto di un numero rele. Proprietà fondmentli del vlore ssoluto: 0 e = 0 = 0; b = b ; + b + b ; b b. L distnz tr due punti, b R è il numero b. Restrizione di un funzione d un sottoinsieme del dominio (dt f: A B e dto un sottoinsieme A 0 di A, se si pens f definit soltnto per gli elementi di A 0, si dice f è stt ristrett d A 0 ). Definizione. Dt un funzione iniettiv f: A B, l su funzione invers, denott f 1 : Im(f) A, è quell legge che d ogni y dell immgine di f ssoci l unico elemento x A tle che f(x) = y. Osservzione. L immgine [il dominio] di un funzione invers coincide col dominio [l immgine] dell funzione che viene invertit. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Nel seguito A indicherà il dominio dell funzione f. Mggiornte (o itzione superiore) di un funzione rele. Minornte di un funzione rele. Funzioni itte superiormente [inferiormente]. Funzioni itte. Estremo superiore [inferiore] di un funzione rele. Mssimo [minimo] ssoluto di un funzione rele. Punto di mssimo [minimo] ssoluto di un funzione rele (è un elemento del dominio in cui l funzione ssume il suo vlore mssimo). Definizione. Un funzione rele di vribile rele f: A R si dice crescente o non decrescente [decrescente o non crescente ] se d x 1, x 2 A e x 1 < x 2 segue f(x 1 ) f(x 2 ) [f(x 1 ) f(x 2 )]. Se l ultim disuguglinz vle in senso stretto, llor si dice che l funzione è strettmente crescente [strettmente decrescente ]. Le funzioni crescenti o decrescenti si dicono monotòne. Se un funzione monoton è strettmente crescente o strettmente decrescente, llor si chim strettmente monoton. Osservzione. Le funzioni strettmente monotone sono iniettive, pertnto invertibili. Osservzione. L invers di un funzione strettmente crescente [decrescente] è strettmente crescente [decrescente].

3 Definizione. Si A R. Un punto x 0 R si dice di ccumulzione per l insieme A se (e soltnto se) ogni intorno di x 0 contiene infiniti punti di A. Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per il dominio A di f (non occorre che x 0 pprteng d A). Si dice che f(x) tende d un numero rele l per x che tende d x 0, e si scrive f(x) l per x x 0, se e solo se per ogni successione {x n }, x n A, x n 0, x n x 0 si h n f(x n ) = l. Osservzione. Anloghi teoremi vlgono per x + o x e per l = + o l =. Esempio. Usndo l definizione precedente si può provre che non esiste il ite per x 0 di sen 1/x. Inftti bst prendere {x n = 1 π +2nπ}, {ξ n = π+2nπ} e osservre che n sen 1/x n = 1 mentre n sen 1/ξ n = 1. 2 Notzione. Per indicre che f(x) l per x x 0 si us nche dire che il ite per x che tende d x 0 di f(x) è ugule l, e si scrive f(x) = l. x x 0 Esercizio. Verificre usndo l definizione di ite che x 1 (x 2 +x) = 2. Esercizio. Provre che un funzione tende zero (per x x 0 ) se e solo se tende zero il suo vlore ssoluto. Dgli nloghi risultti sulle successioni si hnno i seguenti teoremi. Teorem (Operzioni sui iti finiti.) Sino f, g: A R due funzioni reli di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per A. Se f(x) l e g(x) m per x x 0, llor (per x x 0 ) si h: 1) f(x) + g(x) l + m; 2) f(x)g(x) lm; 3) f(x)/g(x) l/m, nell ipotesi m 0. Teorem (Unicità del ite). Supponimo che il ite per x che tende d x 0 di f(x) esist. Allor tle ite è unico. Teorem(dei due crbinieri). Sino f, g, h: A R tre funzioni reli di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per A. Supponimo f(x) g(x) h(x) in un intorno forto di x 0 e x x0 f(x) = x x0 h(x) = l. Allor x x0 g(x) = l Definizione. Il ite destro [sinistro] per x x 0 di un funzione f: A R, detto nche ite per x x + 0 [x 0 ] di f, è (qundo h senso) il ite

4 per x x 0 dell restrizione di f ll insieme A (x 0, + ) [A (, x 0 )], cioè x x + f(x) = l [ 0 x x f(x) = l] signific che ɛ > 0 δ > 0 tle 0 che d x (x 0, x 0 + δ) A [x (x 0 δ, x 0 ) A] segue f(x) l < ɛ. Ovvimente, perché bbi senso prlre di ite destro [sinistro] per x x 0 di un funzione definit in A, occorre che x 0 si un punto di ccumulzione per l insieme A (x 0, + ) [A (, x 0 )]. Osservzione. Supponimo che bbino senso i iti per x x 0 x x + 0 di f(x). Allor f(x) l se e solo se x x 0 f(x) = f(x) = l. x x + 0 e per Esercizio. Provre che per ogni n Z si h x n [x] = n 1 e x n +[x] = n. Osservzione. Per non ppesntire troppo il discorso, dt f: A R, nei teoremi che enunceremo, ogni qul volt ppre l espressione f(x), srà sempre sottinteso che x pprtiene l dominio A di f. Così, d esempio, scriveremo semplicemente 0 < x x 0 < δ implic f(x) l < ɛ invece di 0 < x x 0 < δ e x A implic f(x) l < ɛ, oppure scriveremo sup x<α f(x) l posto di sup x<α, x A f(x). I due iti fondmentli: sen x x 0 x ( = 1; x = e = x ± x) Alcuni iti notevoli (deducibili di iti fondmentli): 1 cos x = 1/2 x 0 x 2 log(1 + x) x 0 x 0 x (1 + x) α 1 x x 0 (1 + x) 1/x = e = 1 x 0 e x 1 x = 1 = α x 1 log x x 1 = 1 Esercizio. Come corollrio del teorem dei crbinieri si h: Sino f e g due funzioni reli di vribile rele. Supponimo che f si itt e che g(x) 0 per x x 0. Allor f(x)g(x) 0 per x x 0.

5 Per ffermre che un funzione f tende zero per x x 0, si us dire che è infinitesim (per x x 0 ), o che è un infinitesimo (spesso si omette di ggiungere per x x 0, qundo risult evidente dl contesto). Il precedente corollrio può essere quindi enuncito nche così: Il prodotto di un funzione itt per un infinitesim è un funzione infinitesim. Esempio. L funzione f(x) = x 2 sen(1/x) è infinitesim per x 0. Inftti x 2 0 per x 0 e sen(1/x) è un funzione itt (si osservi che il teorem fondmentle sui iti non è pplicbile in questo cso, visto che sen(1/x) non mmette ite per x 0). Ulteriori definizioni del concetto di ite: f(x) l, +,, per x x 0, +,. Notimo che perché bbi senso considerre, d esempio, x + f(x) si dovrà supporre il dominio A di f non itto superiormente. Esercizio. Usndo l definizione di ite verificre che x 0 1/x 2 = +, x 0 1/x =, x 0 + 1/x = +, x + x +1 x 1 = 1, x x +1 x 1 = 1. Teorem (operzioni sui iti estesi ). Vlgono le seguenti operzioni (l è un rbitrrio numero rele e st per o + ): + l =, + + l = + ; ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + ; l(± ) = ±, se l > 0 e l(± ) = se l < 0; l/ = 0, l/0 = se l 0, /0 =. Osservzione. I simboli introdotti sopr vnno intesi nel modo seguente: d esempio, se f(x) l e g(x) +, llor f(x) + g(x) +, ecc. Osservzione. Ogni eventule definizione di (+ ) + ( ), 0/0, 0 e / porterebbe delle incoerenze. Riportimo lcuni esempi per mostrre come non si conveniente dre un senso lle espressioni, 0/0, 0 e / (dette nche forme indeterminte):

6 ( ) x x 0 per x + ; ( ) x 2 x + per x + ; (0 ) x(1/x) 1 per x 0; (0 ) x 2 (1/x) 0 per x 0; (0/0) x/x 1 per x 0; (0/0) x 2 /x 0 per x 0; ( / ) x/x 1 per x + ; ( / ) x 2 /x + per x +. Un esempio importnte in cui si h esistenz del ite finito (se f è itt) od infinito (se f non è itt) è quello delle funzioni monotone. Teorem (del ite per le funzioni monotone). Si f: (, b) R un funzione crescente [decrescente]. Allor risult [ ] f(x) = sup f(x) f(x) = inf f(x) x b (,b) x b (,b) [ ] f(x) = inf f(x) x + (,b) x f(x) = sup f(x) + (,b) Osservzione. Notimo che il teorem precedente vle nche con = o con b = +. Definizione. Un funzione rele di vribile rele f: A R si dice continu in un punto x 0 A e di ccumulzione per A se x x 0 f(x) = f(x 0 ). Osservimo che se x 0 non è un punto di ccumulzione per il dominio A di un funzione f: A R, llor non h senso prlre di ite per x che tende d x 0 di f(x). Pertnto, nel cso che x 0 si un punto isolto per A, l definizione di continuità che bbimo dt precedentemente, essendo bst sul concetto di ite, è priv di significto. Per vri motivi che non stimo menzionre, è conveniente ssumere, per definizione, che ogni funzione si continu nei punti isolti del suo dominio. Esempio. Il dominio dell funzione f(x) = cos x 1

7 è costituito soltnto d punti isolti (i punti in cui cos x = 1). Pertnto, f è continu in tutti i punti del suo dominio. Le due situzioni (punto di ccumulzione e punto isolto) si possono unificre nell seguente crtterizzzione dell continuità (vlid si per punti di ccumulzione che per punti isolti del dominio): Un funzione f: A R si dice continu in un punto x 0 A se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che d x x 0 < δ e x A segue f(x) f(x 0 ) < ɛ. Osservzione. Osservimo comunque che in molti dei teoremi enunciti nel seguito srà utomticmente soddisftt l ipotesi che i punti del dominio di ogni funzione (rele di vribile rele) che prenderemo in considerzione sino nche di ccumulzione per il dominio stesso. Ciò ccde, d esempio, se un funzione è definit in un intervllo non bnle, cioè non vuoto e non costituito d un solo punto (o, più in generle, in un insieme costituito dll unione, finit o infinit, di intervlli non bnli). Se f è continu in ogni punto del suo dominio A, llor si dice semplicemente che è un funzione continu. Esercizio. Provre che se un funzione è continu in un insieme A, llor è continu nche l su restrizione d un qulunque sottoinsieme di A. Esercizio. Usndo l definizione provre che le funzioni f(x) = x, f(x) = x 2 e f(x) = x sono continue. Esercizio. Verificre che vle l disuguglinz sen x x, x R. A prtire d ess, si può provre che f(x) = sen x è continu. Inftti dlle formule di prostferesi si ottiene Quindi sen x sen x 0 = 2 cos( x + x 0 2 ) sen( x x 0 ). 2 0 sen x sen x 0 = 2 cos( x + x 0 ) sen( x x 0 ). 2 2 Pertnto, essendo cos α 1 e sen α α α R, si ottiene 0 sen x sen x 0 x x 0. Definizione. Se f non è continu in x 0 A, si dice che f è discontinu in x 0, o che h un discontinuità in x 0. Si distinguono qui le seguenti

8 specie di discontinuità (tr le tnte possibili diverse definizioni presenti in lettertur): 1. Se il ite destro ed il ite sinistro in x 0 A esistono entrmbi finiti e diversi fr di loro llor l discontinuità si dice di slto o di prim specie. 2. Se uno lmeno dei due iti è infinito llor l discontinuità si dice infinit o di second specie. 3. Se uno lmeno dei due iti non esiste llor l discontinuità si dice di terz specie. Osservzione. Nel cso 1. delle discontinuità di slto l definizione h senso se e solo se x 0 è punto di ccumulzione si destr che sinistr di x 0. Le ltre due definizioni invece hnno senso nche nel cso in cui x 0 è punto di ccumulzione solo destr o solo sinistr di x 0, cioè nel cso in cui h senso considerre solo uno dei iti lterli. Osservimo inoltre che nel cso 2. di discontinuità infinit se h senso considerre nche l ltro ite llor esso deve esistere (finito o infinito) ltrimenti si cdrebbe nel cso 3. Infine osservimo che se il ite destro o il ite sinistro esiste finito (e coincidente con f(x 0 )) llor l funzione si dice continu destr o sinistr. Esempi. Le funzioni f(x) = [x] (prte inter) e f(x) = x [x] (mntiss) hnno discontinuità di slto in ogni x Z. Le funzioni 1/x, 1/x 2, e 1/x per x 0 ed uguli 0 per x = 0 hnno tutte nel punto x 0 = 0 discontinuità infinit. Le funzioni sen(1/x), cos(1/x) per x 0 e uguli 0 per x = 0 hnno tutte nel punto x 0 = 0 discontinuità di terz specie. L funzione di Dirichlet h pure un discontinuità di terz specie in ogni punto di R. Osservzione. E importnte inoltre notre che, sempre in bse ll definizione precedente, non h senso ffermre che un funzione è discontinu (o continu) in un punto in cui non è definit. Comunque si puó presentre il seguente cso: f non è definit in un punto x 0 di ccumulzione dell insieme di definizione A di f ed esiste finito il ite l per x x 0 di f(x). Allor se definimo un nuov funzione ˆf in A x 0 nel modo seguente: ˆf(x) = f(x) x A, f(x 0 ) = l,

9 llor ˆf risult continu in A x 0 e si dice prolungmento per continuità di f d A d A x 0. Osservimo infine che se definimo l funzione ˆf in A x 0 nel modo seguente ˆf(x) = f(x) x A, f(x 0 ) = l 1 l, llor ˆf non è continu in x 0. M in questo cso si trtt di un cosiddett discontinuità einbile, inftti bst sostituire il vlore l 1 con il vlore l del ite per x x 0 di f(x) per rendere l funzione continu in x 0. Teorem. (Permnenz del segno) Si f: A R continu in x 0 A e si f(x 0 ) > 0. Allor esiste δ > 0 tle che f(x) > 0, x (x 0 δ, x 0 +δ) A. Dl Teorem sulle operzioni sui iti finiti segue immeditmente il seguente Teorem. Un funzione ottenut trmite somm, prodotto e quoziente di funzioni continue è un funzione continu. Si osservi che in virtù del teorem precedente si può ffermre che le funzioni rzionli, essendo rpporto di polinomi, sono continue. In prticolre, d esempio, l funzione f(x) = 1/x è continu, nche se in lcuni testi di nlisi mtemtic si sserisce che in 0 non è continu (0 non pprtiene l dominio di tle f!) Definizione. Sino f: A R e g: B R due funzioni reli di vribile rele. L composizione di f con g, denott g f, è quell ppliczione che d ogni x A tle che f(x) B ssoci il numero f(g(x)). Il dominio dell funzione compost g f è il sottoinsieme f 1 (B) = {x A : f(x) B} di A, detto immgine invers (o retroimmgine, o preimmgine) di B (trmite f). Teorem. Sino f: A R e g: B R due funzioni reli di vribile rele. Se f è continu in x 0 A e g è continu in y 0 = f(x 0 ) B, llor g f è continu in x 0. Tenendo conto che, per definizione, un funzione è continu qundo lo è in ogni punto del suo dominio, dl precedente Teorem segue immeditmente il seguente Corollrio. continu. L composizione di due funzioni continue è un funzione

10 Dimo or lcuni teoremi sulle funzioni continue in un intervllo. Teorem di Weierstrss. Si f: [, b] R un funzione continu in un sottoinsieme itto e chiuso [, b] R. Allor f mmette mssimo e minimo ssoluti, cioè esistono x 0 e x 1 in [, b] tli che f(x 0 ) f(x) f(x 1 ), x [, b]. Osservzione. (Sulle ipotesi del teorem). L funzione f(x) = x 2 è continu nell intervllo chiuso [0, + ) m non h mssimo. L funzione f(x) = x è continu nell intervllo itto (0, 1) m non h in (0, 1) né mssimo, né minimo. L funzione f(x) = x [x] nell intervllo chiuso e itto [0, 1] non h mssimo. Teorem degli zeri. Si f: [, b] R un funzione continu e tle che f() < 0 e f(b) > 0. Allor esiste x 0 (, b) tle che f(x 0 ) = 0. Cenno ll dimostrzione col metodo delle bisezioni. Appliczioni del Teorem degli zeri per provre l esistenz di soluzioni di equzioni del tipo f(x) = 0 (d esempio nel cso di polinomi di grdo dispri, o di funzioni continue con iti ll infinito di segno discorde.) Teorem. f: I R un funzione continu in un intervllo I R. Allor l immgine di f è un intervllo. In prticolre, f ssume tutti i vlori compresi tr inf f(i) e sup f(i). Teorem (di continuità dell funzione invers). Si f: I R un funzione continu e strettmente monoton in un intervllo I R. Allor f 1 : f(i) R è un funzione continu. Usndo i teoremi precedenti sulle funzioni continue si può provre il seguente: Teorem. Le funzioni esponenzili, logritmiche, trigonometriche, trigonometriche inverse, iperboliche e iperboliche inverse sono continue. CALCOLO DIFFERENZIALE Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 A di ccumulzione per A. Si dice che f è derivbile in x 0 se esiste ed è finito il ite, per x x 0, dell funzione f(x) f(x 0 ) x x 0 dett rpporto incrementle di f in x 0. Tle ite, qundo esiste ed è finito, si chim derivt di f in x 0 e si denot con il simbolo f (x 0 )

11 Mostrimo, d esempio, che 1) l funzione f(x) = x 2 è derivbile in ogni punto x 0 R e risult f (x 0 ) = 2x 0. Si h inftti f(x) f(x 0 ) x 2 x 2 0 = = x x 0 x x 0 x x0 x x 0 (x + x 0 )(x x 0 ) = (x + x 0 ) = 2x 0. x x 0 x x 0 x x0 2) l funzione f(x) = sen x è derivbile in ogni punto x 0 R e risult f (x 0 ) = cos x 0. Si h inftti x x0 sen x sen x 0 x x 0 = x x0 2 sen(x x 0 )/2 cos(x + x 0 )/2 x x 0 = x x0 2 sen(x x 0 )/2 x x 0 cos(x + x 0 )/2 = cos x 0 vendo tenuto conto del ite fondmentle di sen x/x e dell continuità del coseno. Definizione. Un funzione f: A R si dice derivbile se è derivbile in ogni punto del suo dominio. Ovvimente, perché questo ccd, è necessrio che ogni punto del dominio A di f si di ccumulzione (ciò è vero, d esempio, qundo A è un intervllo non bnle o, più in generle, è unione di intervlli non bnli). Esercizio. Provre che se f: R R è costnte, llor è derivbile in ogni punto x e f (x) = 0. Esercizio. Provre che l funzione f(x) = x è derivbile in ogni punto e si h f (x) = 1 per ogni x R. Definizione. L derivt (lterle) destr [sinistr] in x 0 di un funzione f: A R, è (qundo esiste) l derivt in x 0 dell restrizione di f ll insieme A [x 0, + ) [A (, x 0 ] ]. Si indic con f +(x 0 ) [f (x 0 )]. Osservzione. Supponimo che in un punto x 0 bbino senso le due derivte lterli di un funzione. Allor l funzione è derivbile in x 0 se e solo se tli derivte esistono e coincidono. In tl cso le tre derivte, sinistr, destr e bilterle sono uguli. Definizione. Un punto si dice ngoloso per un funzione se in tl punto l funzione è derivbile si sinistr si destr m le derivte lterli sono

12 diverse. Un punto si dice un cuspide se le derivte lterli sono infinite e di segno opposto. Se invece sono infinite ed hnno lo stesso segno il punto si dice punto tngente verticle. Esercizio. Stbilire se 1) f(x) = x x + x 2 è derivbile in x 0 = 0; 2) f(x) = log x è derivbile in x 0 = 1; 3) f(x) = (x 1) 3 è derivbile in x 0 = 1. Teorem. Si f: A R un funzione derivbile in x 0 A, llor f è continu in x 0. Osservzione. Il teorem precedente mostr che l continuità è un condizione necessri ll derivbilità. Ovvimente non è un condizione sufficiente come si vede considerndo d esempio l funzione f(x) = x che è continu m non derivbile in x 0 = 0. (Inftti f +(0) = 1 e f (0) = 1). Interpretzione geometric dell derivt (si ved [1]). Definizione. Dt un funzione rele di vribile rele f, considerimo un punto (x 0, y 0 ) del suo grfico (ossi, supponimo che x 0 sti nel dominio di f e che y 0 si ugule f(x 0 ) ). Se f è derivbile in x 0, l rett tngente l grfico dell f in (x 0, y 0 ) è l rett pssnte per (x 0, y 0 ) con coefficiente ngolre f (x 0 ). Ossi, è l rett di equzione y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Osservzione. Dll definizione di derivt si deduce che se un funzione f: A R è derivbile in x 0 A, llor esiste un funzione ω: A R che soddisf ω(x) 0 per x x 0 e ω(x 0 ) = 0 tle che si bbi f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ω(x)(x x 0 ), x A. Se f mmette un tle formul, si dice che è differenzibile in x 0. Si può fr vedere che f è differenzibile in x 0 se e solo se f è derivbile in x 0. L nozione di differenzibilità risulterà prticolrmente significtiv per le funzioni di più vribili. Osservimo che il polinomio P 1 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ), che rppresent l rett tngente l grfico dell funzione nel punto (x 0, f(x 0 )), è tle che

13 l differenz f(x) P 1 (x) tende zero, per x x 0, più velocemente dell incremento x x 0. Si dice nche che P 1 rppresent un pprossimzione linere (o del prim ordine) di f. Teorem. Le funzioni sen x, cos x, e x, sono derivbili e le loro derivte sono rispettivmente cos x, sen x, e x. Teorem (operzioni sulle derivte). Sino f e g due funzioni derivbili in un punto x 0. Allor, qundo h senso, (ossi qundo x 0 pprtiene ll intersezione del dominio di f e g ed è di ccumulzione per tle intersezione) si h (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) se g(x 0 ) 0, (f/g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) 2. Esercizio. Usndo l regol dell derivt del quoziente provre che l derivt di f(x) = tg x è f (x) = 1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x. Teorem (dell derivt di un funzione compost). Sino f: A R e g: B R due funzioni derivbili rispettivmente in x 0 e in y 0 = f(x 0 ). Allor, qundo h senso (ossi, qundo x 0 è di ccumulzione per il dominio f 1 (B) di g f), l funzione compost g f è derivbile in x 0 e si h (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). In ltre prole, l derivt dell composizione è il prodotto delle derivte (nei punti corrispondenti). Teorem (dell derivt di un funzione invers). Si f: I R un funzione continu e strettmente monoton in un intervllo I. Se f è derivbile in un punto x 0 I e f (x 0 ) 0, llor f 1 è derivbile in y 0 = f(x 0 ) e (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Come ppliczione del teorem dell derivt di un funzione invers, mostrimo che f(x) = rctg x è derivbile e si h f (x) = x 2.

14 Per comodità nell dimostrzione indichimo ϕ(x) = tg x e ϕ 1 (y) = rctg y. Fissto un punto y 0 R, dl teorem precedente segue dove x 0 = rctg y 0. Perciò (ϕ 1 ) (y 0 ) = 1 ϕ (x 0 ) = tg 2 x 0, (ϕ 1 ) (y 0 ) = tg 2 (rctg y 0 ) = y0 2 Esercizio. Medinte il teorem dell derivt di un funzione invers determinre le derivte di rcsen x, di rccos x e di log x. Tbell delle derivte delle funzioni elementri (si ved [1]) Definizione. Un punto x 0 R si dice interno d un sottoinsieme A di R se esiste un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) di x 0 contenuto in A. Osservzione. In un intervllo [, b] sono interni tutti i punti x tli che < x < b mentre gli estremi e b non sono punti interni ll insieme [, b]. M sono punti di ccumulzione di [, b]. (Attenzione non confondere l nozione di punto interno d un insieme con quell di pprtenenz ll insieme). Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele. Un punto x 0 A si dice di minimo [di mssimo ] reltivo (o locle) per f in A se esiste δ > 0 tle che f(x) f(x 0 ) [f(x) f(x 0 )] per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ) A. Un punto di minimo o di mssimo reltivo per f (in A) si dice estremnte per f (in A), il vlore di mssimo o minimo reltivo si dice nche estremo reltivo. Teorem di Fermt. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 A. Supponimo che sino soddisftte le seguenti tre ipotesi: 1) x 0 è interno d A; 2) f è derivbile in x 0 ; 3) x 0 è un punto estremnte per f in A. Allor f (x 0 ) = 0. (Con dimostrzione). Definizione. Un punto x 0 A tle che f (x 0 ) = 0 si dice punto critico o punto stzionrio di f in A.

15 Osservimo che, in bse l teorem di Fermt, gli eventuli estremnti per f (in A) vnno ricercti si tr i punti critici di f in A si tr i punti di A non interni ed nche tr i punti di A in cui f non è derivbile. Teorem di Rolle. Si f: [, b] R un funzione soddisfcente le seguenti condizioni: 1) f è continu in [, b]; 2) f è derivbile in (, b); 3) f() = f(b). Allor esiste un punto c (, b) tle che f (c) = 0. (Con dimostrzione) Osservzione. (Sulle ipotesi del teorem di Rolle.) L funzione f(x) = x è continu in [ 1, 1] e f( 1) = f(1). D ltr prte l derivt non si nnull mi in [ 1, 1]. Come mi questo non contrddice il teorem di Rolle? Il seguente risultto è un estensione del Teorem di Rolle. Teorem di Lgrnge (o del vlor medio). Si f: [, b] R un funzione soddisfcente le seguenti condizioni: 1) f è continu in [, b]; 2) f è derivbile in (, b). Allor esiste un punto ξ (, b) tle che. f (ξ) = f(b) f(). b Osservzione. In certi csi è utile scrivere l tesi del teorem precedente nell form: Dti x 1 e x 2 in [, b] esiste un punto ξ (x 1, x 2 ) se x 1 < x 2, oppure ξ (x 2, x 1 ) se x 2 < x 1, tle che. f(x 1 ) f(x 2 ) = f (ξ)(x 1 x 2 ). Dimo or lcune importnti conseguenze del Teorem di Lgrnge. Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) 0 [f (x) 0] per ogni x I. Allor f è crescente [decrescente] in I. Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) > 0 [f (x) < 0] per ogni x I. Allor f è strettmente crescente [strettmente decrescente] in I.

16 Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) = 0 per ogni x I. Allor f è costnte in I. Osservzione. Nei precedenti corollri non si può togliere l ipotesi che f si definit in un intervllo. Ad esempio l funzione { 4 se x [1, 2] f(x) = 5 se x [3, 4] è tle che f (x) = 0 per ogni x [1, 2] [3, 4], m non è costnte in tle insieme. Corollrio. Si f: I R definit in un intervllo I, continu in I e derivbile in I \ {x 0 } con x 0 I. Supponimo che esist finito il ite per x x 0 di f (x). Allor f è derivbile in x 0 ed f risult continu in x 0. In ltre prole si h f (x 0 ) = f (x). x x0 Esempio. L funzione f(x) = { x 2 sen(1/x) se x 0 0 se x = 0 è derivbile nel punto x = 0 (per provrlo bst pplicre l definizione di derivt), m non esiste il ite per x 0 di f (x). Pertnto, f è derivbile in 0 m f non è continu in 0. Derivte successive. Se f: A R è derivbile in ogni punto di A, llor l funzione che d ogni x A ssoci il numero f (x) si chim derivt (o derivt prim) di f e si denot con f. L derivt dell derivt di un funzione f si chim derivt second di f e si indic con f. In generle, l derivt dell derivt (n 1)-esim di f si chim derivt n-esim e si denot con f (n). Definizione. Un funzione f si dice di clsse C 0 se è continu. Si dice di clsse C 1 (o che pprtiene ll clsse C 1 ) se è derivbile e l su derivt è di clsse C 0. Per induzione, f è (di clsse) C n, n N, se è derivbile e l su derivt prim è C n 1. Si dice infine che f è (di clsse) C se è C n per ogni n N. Per indicre che f è di clsse C n [C ] si scrive f C n [f C ].

17 Fccimo notre che, in bse ll suddett definizione, f C n se (e solo se) è derivbile e f C n 1, e f è C n 1 se (e solo se) è derivbile e f C n 2, e così vi fino d rrivre ll derivt n-esim di f, che deve risultre continu. In ltre prole, possimo ffermre che f è C n se (e solo se) è derivbile n volte e l su derivt n-esim è continu. (Osservimo che un dimostrzione rigoros di tle ffermzione richiede il principio di induzione). Abbimo visto che le funzioni derivbili sono nche continue, pertnto, se f è C 1, essendo derivbile, è nche di clsse C 0. Più in generle si può provre il seguente Lemm. Se f è C n llor è nche C n 1. Usndo il precedente lemm ed il principio di induzione si dimostr il Teorem (di regolrità delle funzioni combinte). L somm, il prodotto, il quoziente e l composizione di funzioni C n, qundo (e dove) h senso, è ncor un funzione C n. Formul di Tylor. Abbimo visto che, dt f : A R derivbile in un punto x 0 A, esiste un unico polinomio di primo grdo P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) tle che f(x) P 1 (x) = 0. x x 0 x x 0 Si può provre che se f è derivbile n volte in x 0, esiste un unico polinomio P n (x) di grdo n tle che f(x) P n (x) = 0. x x 0 (x x 0 ) n Più precismente si h il seguente teorem. Teorem (Formul di Tylor) Si f: I R un funzione di clsse C n in un intorno I di x 0. Allor, posti si h P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k e R n (x) = f(x) P n (x) k! x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0.

18 Il polinomio P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! è detto polinomio di Tylor di f di ordine n e di centro x 0. L funzione R n è dett il resto dell formul di Tylor. L formul di Tylor scritt nel modo presentto sopr si chim formul di Tylor con il resto nell form di Peno. L formul di Tylor centrt in x 0 = 0 si chim formul di McLurin. Ricordimo l seguente Definizione. Si f un funzione definit in un intorno di x 0 (eventulmente privto di x 0 ) e tle che f(x) 0 per x x 0. Si dice che, per x x 0, f è un infinitesimo di ordine superiore d α (α > 0) oppure nche che f(x) è un o piccolo di (x x 0 ) α ( e si scrive f(x) = o((x x 0 ) α ), (per x x 0 )) se x x 0 f(x) (x x 0 ) α = 0. Con queste notzioni il resto dell formul di Tylor ssume l form R n (x) = o((x x 0 ) n ), (x x 0 ). Esercizio. Scrivere l formul di McLurin di ordine n delle funzioni e x, sen x, cos x, log(1 + x), rctn x, 1 + x. Esercizio. Scrivere l formul di McLurin di ordine 5 dell funzione f(x) = 3x + 7x 2 x 4 + 5x 6 x 9. Esercizio. Scrivere l formul di Tylor di ordine 4 e di centro x 0 = 2 dell funzione f(x) = 2 + 4x 2 + 6x 3 x 4. Esercizio. Provre che vlgono le seguenti relzioni (per x 0): 1. o((x α )) o((x β )) = o((x α+β )), 2. se α < β, o((x α )) + o((x β )) = o((x α )), 3. x α o((x β )) = o((x α+β )). Esercizio. Usndo gli sviluppi di Tylor clcolre il ite per x 0 delle seguenti funzioni x sen x (1 cos x) log(1 + x), e sen x3 1 + x 3 (α R), x 4 log(cos x) x 6 (α + x)

19 Se f è di clsse C n+1, il resto R n (x) si può scrivere in vri modi. Consideremo qui il resto detto nell form di Lgrnge. Teorem (Formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge.) Si f: I R un funzione di clsse C n+1 in un intorno I di x 0. Allor, esiste ξ (x 0, x) se x 0 < x, oppure ξ (x, x 0 ) se x < x 0, tle che R n (x) = f (n+1) (ξ) (x x 0) n+1 (n + 1)! Esercizio. Usndo l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge, pprossimre sen(0, 2) e log(0, 8) con un errore inferiore Abbimo visto che il teorem di Fermt fornisce un condizione necessri perchè un punto x 0 di un intervllo I si estremnte. Dll formul di Tylor si ottiene l seguente condizione sufficiente Teorem. Si f di clsse C 2 in un intorno I di x 0 e si x 0 punto critico per f (cioé f (x 0 ) = 0). Allor, se f (x 0 ) > 0 [f (x 0 ) < 0] il punto x 0 è di minimo [mssimo] reltivo. Definizione. Dt f: [, + ) R, un rett y = mx + n si dice sintoto destro (o sintoto per x + ) per f, se (f(x) (mx + n)) = 0. x + Se il coefficiente ngolre m è ugule zero, l sintoto si dice orizzontle, ltrimenti si dice obliquo. Un nlog definizione vle per il concetto di sintoto sinistro. Osservzione. unico. L sintoto destro (sinistro) di un funzione, se esiste, è Esempio. Considerimo l funzione f(x) = 2x 1 + sen x/x. Dll definizione di sintoto segue subito che l rett y = 2x 1 è l sintoto destro (e nche sinistro) per f. Inftti, l funzione sen x/x, che coincide con l differenz f(x) (2x 1), tende zero per x (è il prodotto di un funzione itt per un infinitesim). Esempio. L funzione f(x) = x 2 non mmette sintoto destro. Inftti, l differenz tr x 2 e un polinomio di primo grdo è un polinomio di secondo grdo, e non può quindi tendere zero per x +.

20 Definizione. Un rett x = x 0 si dice sintoto verticle per un funzione f: A R se f(x) per x x 0. Osservimo che l informzione x = x 0 è un sintoto verticle per f non dice molto sul comportmento di f(x) in un intorno di x 0. Per disegnre il grfico di f, inftti, occorre conoscere i due iti per x x 0 e per x x + 0 di f(x). Pertnto se, d esempio, in uno studio di funzione, elencndo i iti importnti, si è già ffermto che f(x) + per x x 0 e f(x) per x x + 0, è inutile ggiungere poi che x = x 0 è un sintoto verticle per f. Così dicendo, non si dnno ulteriori informzioni. Teorem. Condizione necessri e sufficiente ffinché y = mx + n si l sintoto destro [sinistro] per un funzione rele di vribile rele f è che [ f(x) x + x = m e (f(x) mx) = n. x + x f(x) x = m e (f(x) mx) = n x Osservzione. Dl teorem si deduce subito che se f(x) l R per x +, llor l rett y = l è l sintoto destro per f. Osservzione. Se si h f(x) = mx+n+ϕ(x), dove ϕ(x) 0 per x +, llor y = mx + n è l sintoto destro per f. Si può provre che se un funzione mmette sintoto destro ed esiste il ite per x + dell su derivt, llor questo coincide con il coefficiente ngolre dell sintoto. Non è detto comunque che se un funzione mmette sintoto per x +, debb necessrimente esistere il ite per x + dell su derivt. Ad esempio, l sintoto destro di f(x) = x + sen(x 2 )/x è l rett y = x, m non esiste il ite per x + di f (x). Può nche cpitre che un funzione non bbi sintoto destro m l derivt mmett ite finito per x +. Un esempio di quest ultimo cso è dto d log x. Definizione. Si f: I R derivbile in un intervllo I. Allor f si dice convess [concv] in I se l rett tngente d un punto qulunque del suo grfico st sotto [sopr] il grfico, ossi se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 I [f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )]. ].

21 Osservzione. L definizione di funzione convess in un intervllo si può dre, più in generle, nche per funzioni non derivbili. Teorem. Si f: I R derivbile in un intervllo I. Allor f è convess [concv] se e solo se f è crescente [f è decrescente in I]. Teorem. Si f: I R derivbile due volte in un intervllo I. Allor f è convess [concv] se e solo se f (x) 0 [f (x) 0] per ogni x in I. Definizione. Un punto x 0 del dominio di un funzione f si dice di flesso (per f) se esistono un intorno destro e un intorno sinistro di x 0 con concvità discordi, cioé d un prte l funzione è convess e dll ltr è concv. Un condizione necessri perché un punto si di flesso è dt dl seguente Teorem. Si f: I R derivbile due volte in un intervllo I e si x 0 I punto di flesso. Allor f (x 0 ) = 0. Notimo però che l nnullrsi dell derivt second non è un condizione sufficiente perché un punto si di flesso come si vede subito considerndo f(x) = x 4 in x 0 = 0. Però, tenendo conto di un teorem precedente, si h l seguente condizione sufficiente Teorem. Si f: I R di clsse C 2 in un intervllo I e si x 0 I un punto in cui l derivt second cmbi segno (d un prte positiv e dll ltr negtiv). Allor, x 0 è un punto di flesso per f. Esempio. L funzione f(x) = x 3 h un flesso nel punto x = 0, perché in tle punto (pprtenente l dominio) f (x) cmbi segno. Studio del grfico di lcune funzioni. N.B. Tenere presente il modello per lo studio di funzione distribuito in clsse. log x f(x) = e (considerzioni sulle simmetrie) f(x) = 5 x2 2 x 5 5x 4 e f(x) = rccos x + 1. Per esercizio studire f(x) = log(log x 3 log x) ; f(x) = rcsen 1 log x 1 e f(x) = x2 + 2x x + 1.

22 Ricordimo che un funzione si dice infinitesim per x α (qui α può essere x 0 o + o ) se tende zero per x α. Anlogmente, diremo che un funzione è infinit (per x α) se tende ll infinito (per x α). I teoremi di de l Hôpitl (o L Hospitl, o L Hôpitl secondo i testi) sono utili strumenti per il clcolo del ite del rpporto di due funzioni entrmbe infinitesime o infinite per x α. In ltre prole, rppresentno un rtificio (nche se non l unico) per determinre il ite delle cosiddette forme indeterminte 0/0 e /. Si possono nche usre (con opportune trsformzioni) per risolvere forme indeterminte del tipo 0, 0 0, 1, 0. Uno dei teoremi di de l Hôpitl rigurd il rpporto di due infinitesimi per x x 0, un ltro il rpporto di due infiniti per x x 0, un ltro ncor il rpporto di due infinitesimi per x +, e così vi fino d esurire tutt l csistic. A titolo di esempio enuncimo quello rigurdnte il rpporto di due infinitesimi per x x 0. Teorem di de l Hôpitl per l form 0/0 qundo x x 0. Sino f e g due funzioni infinitesime per x x 0 e derivbili in un intorno forto di x 0. Supponimo che in tle intorno si definito il rpporto f (x)/g (x) (ossi, supponimo g (x) 0). Allor, se esiste il ite (finito o infinito) per x x 0 di f (x)/g (x), risult f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). Osservzione. L condizione espress dl Teorem di de l Hôpitl è solo sufficiente. Ad esempio inftti tende 2/3 per x +, m f(x) g(x) non mmette ite per x +. = 2x + cos x 3x + sen x f (x) g (x) = 2 sen x 3 + cos x Csi in cui, invece, è utile l ppliczione del Teorem di de l Hôpitl sono, d esempio, x n log x ; ; x log x x + e x x + x x 0 Notimo che ci sono csi in cui l uso del Teorem di de l Hôpitl non port d lcun risultto. Ad esempio bst considerre x 2 +1 x +. x

23 CALCOLO INTEGRALE Il problem del clcolo delle ree di figure pine. Prtizione di un intervllo chiuso e itto [, b] in n intervlli di ugule lunghezz. Somme integrli di Cuchy-Riemnn S n per funzioni definite su un intervllo chiuso e itto. Vle il seguente risultto. Teorem.(Integrbilità delle funzioni continue su intervlli chiusi e itti). Se f : [, b] R è un funzione continu llor esiste finito n S n. Definizione. f(x) dx. b Tle ite si dice integrle di f su [, b] e si indic con Definizione. Ogni ppliczione che ssoci d un funzione un numero rele si dice funzionle. Pertnto l integrle sopr definito è un funzionle. Proprietà dell integrle. 1. L integrle è un funzionle linere e monotono. In ltri termini, dte due funzioni f, g continue su [, b] si h: b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x) dx + β b Inoltre se f(x) g(x) per tutti gli x [, b] si h In prticolre, b f(x) dx b b f(x) dx g(x) dx (M onotoni). b f(x) dx. g(x) dx (Linerità); 2. Additività rispetto ll intervllo di integrzione. Se r b llor b f(x) dx = r f(x) dx + b Osservimo che se < b per convenzione si pone b f(x) dx = b r f(x) dx. f(x) dx

24 Teorem.(Dell medi integrle).se f : [, b] R è continu llor esiste c [, b] tle che 1 b f(x) dx = f(c). b (Con dimostrzione.) Definizione.(Primitiv di un funzione definit su un intervllo [, b]). Si dice che un funzione G derivbile in [, b] è un primitiv dell funzione f in [, b] se G (x) = f(x) per ogni x [, b]. Osservzione. Se G è un primitiv di f in [, b] llor ogni funzione F (x) = G(x) + c è un primitiv di f. Inftti, F (x) = G (x) = f(x) per ogni x [, b]. Vicevers, se G ed F sono primitive di f in [, b] llor esiste c R tle che G(x) F (x) = c, per ogni x [, b]. Inftti G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0 per ogni x [, b]. Pertnto, G(x) F (x) è un funzione costnte in [, b]. Vle il seguente. Teorem fondmentle del clcolo integrle.si f : [, b] R è un funzione continu e si F (x) = x f(t) dt (dett funzione integrle di f). Allor F è derivbile in [, b] e si h che F (x) = f(x) per ogni x [, b]. inoltre se G è un qulunque primitiv di f in [, b] si h che F (b) = b f(t) dt = G(b) G(). In virtù del precedente risultto il problem di clcolre b f(x) dx per un funzione f : [, b] R continu si riduce l problem dell ricerc di un primitiv f. In generle, dt un qulunque funzione continu f : [, b] R non è detto che si poss determinre un primitiv di f (l cui esistenz è grntit dl precedente teorem) in termini di somm, differenz, prodotto, quoziente, composizione di funzioni elementri. In ltri

25 termini, in tl cso non si s scrivere un espressione nlitic dell primitiv di f utilizzbile per il clcolo effettivo dell integrle. Esistono però clssi di funzioni per le quli sppimo trovre ttrverso opportuni metodi di integrzione un espressione nlitic dell primitiv di f. Illustrimo qui di seguito si i metodi che lcune di tli clssi di funzioni. (Per i prticolri si rimnd [1]. Metodi di integrzione.. Integrli immediti: si ottengono leggendo in senso inverso l tbell delle derivte delle funzioni elementri. b. Integrzione per scomposizione: utilizzndo l linerità dell integrle. c. Integrzione per sostituzione: ottenut dll regol di derivzione delle funzione composte. d. Integrzione per prti: ottenut dll regol di derivzione del prodotto di funzioni. Ricerc delle primitive per lcuni clssi di funzioni. Integrzione di funzioni rzionli. b. Integrzione di funzioni trigonometriche. c. Integrzione di funzioni irrzionli. Integrli generlizzti. Per molte ppliczioni del clcolo integrle è necessrio estendere l definizione di integrle funzioni discontinue ed nche d intervlli non itti. Purtroppo questo non è possibile frlo né per tutte le funzioni discontinue né per tutte le funzioni definite su intervlli non itti. per le funzioni discontinue definite su un intervllo itto si distinguono i seguenti due csi: 1. L funzione f h in [, b] un numero finito di punti di discontinuità di slto; 2. L funzione f : [, b) R è continu ed h nel punto b un discontinuità infinit, cioè x b f(x) =. Mentre nel primo cso è sempre possibile definire l integrle di f su [, b], vedi ([1], prgrfo 6.1). Nel secondo cso occorre dre dei criteri sufficienti grntire l esistenz dell integrle. Essi consistono essenzilmente nel criterio del confronto e del confronto sintotico per le funzioni segno costnte

26 del tutto simili i criteri di convergenz per le serie termini positivi. Infine nloghi criteri permettono di stbilire l integrbilità di un funzione continu su un intervllo itto. (Il riferimento per l mteri è l Cpitolo 6. di [1]).

27 Riferimenti bibliogrfici [1] M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls, Mtemtic, Clcolo Infinitesimle e Algebr Linere, Ed. Znichelli, (2000). [2] J.P. Cecconi, L.C. Piccinini, G. Stmpcchi, Esercizi e problemi di Anlisi Mtemtic, Funzioni di un vribile, Vol. 1, Liguori Editore, (1979). [3] P. Mrcellini, C. Sbordone, Esercitzioni di mtemtic, Vol. 1, prte prim, Liguori Editore, (1987). [4] P. Mrcellini, C. Sbordone, Esercitzioni di mtemtic, Vol. 1, prte second, Liguori Editore, (1987). [5] P. Nistri, P. Zezz, Funzioni reli di più vribili reli ed equzioni differenzili ordinrie, Esculpio Editore, Bologn, (1998).

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

1 Integrale delle funzioni a scala

1 Integrale delle funzioni a scala INTEGRALE DELLE FUNZIONI DI UNA VARIABILE Teori di Riemnn 1 Integrle delle funzioni scl (1.1) Definizione Si dice suddivisione di un intervllo chiuso e limitto [, b] un sottoinsieme {,..., n } di [, b]

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale.

Integrali dipendenti da un parametro e derivazione sotto il segno di integrale. 1 Integrli dipendenti d un prmetro e derivzione sotto il segno di integrle. Considerimo l funzione f(x, t) : A [, b] R definit nel rettngolo A [, b], essendo A un sottoinsieme perto di R e [, b] un intervllo

Dettagli

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrali. Il concetto di integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrli Il concetto di integrle nsce per risolvere due clssi di problemi: clcolo delle ree di figure delimitte d curve, clcolo di volumi, clcolo del lvoro di un forz, clcolo dello spzio percorso,... integrle

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi

SUGLI INSIEMI. 1.Insiemi e operazioni su di essi SUGLI INSIEMI 1.Insiemi e operzioni su di essi Il concetto di insieme è primitivo ed è sinonimo di clsse, totlità. Si A un insieme di elementi qulunque. Per indicre che è un elemento di A scriveremo A.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY

TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY TEORIA ELEMENTARE DEL PROBLEMA DI CAUCHY DANIELE ANDREUCCI DIP. METODI E MODELLI, UNIVERSITÀ LA SAPIENZA VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY ndreucci@dmmm.unirom1.it 1. Notzione fondmentle e prime definizioni

Dettagli

Elementi grafici per Matematica

Elementi grafici per Matematica Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati

1 Integrali generalizzati su intervalli illimitati Lezioni per il corso di Anlisi 2, AA 07-08. Dott.ss Sndr Lucente Argomento: Integrli generlizzti 1 1 Integrli generlizzti su intervlli ilitti Definizione 1.1. Si f : [,[ R un funzione continu. Se esiste

Dettagli

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b

Integrale Improprio. f(x) dx =: Osserviamo che questa definizione ha senso dal momento che per ogni y è ben definito l integrale b Integrle Improprio In queste lezioni riprendimo l teori dell integrzione in un vribile, l ide è di estendere l integrle definito nche in csi in cui l funzione integrnd o l intervllo di integrzione non

Dettagli

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale

Pietro Baldi Successioni e serie di funzioni. 1 Convergenza puntuale Pietro Bldi Successioni e serie di funzioni Testi di riferimento: W. Rudin, Principi di Anlisi Mtemtic, McGrw-Hill Libri Itli; N. Fusco, P. Mrcellini, C. Sbordone, Anlisi Mtemtic Due, Liguori Editore;

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale

Corso di Analisi Matematica. Calcolo integrale .. 2011/12 Lure triennle in Informtic Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle Avvertenz Questi sono ppunti informli delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Prte del mterile

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali

SPAZI VETTORIALI. 1. Spazi e sottospazi vettoriali SPAZI VETTORIALI 1. Spzi e sottospzi vettorili Definizione: Dto un insieme V non vuoto e un corpo K di sostegno si dice che V è un K-spzio vettorile o uno spzio vettorile su K se sono definite un operzione

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI

FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI FUNZIONI CONTINUE A TRATTI E LORO INTEGRALI Considerimo un funzione f : I R, dove I è un intervllo di R. Si c un punto interno I in cui f è discontinu. Diremo che c è un punto di discontinuità di prim

Dettagli

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze

Dettagli

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata

1 Il problema del calcolo dell area di una regione piana limitata Anlisi Mtemtic 2 1 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 1 INTEGRALI DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE 1 Il problem del clcolo dell re di un regione pin limitt Se si consider un

Dettagli

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1.

TEST DI MATEMATICA. Funzioni in una, Funzioni in due variabili Integrali Equazioni differenziali. 1) Il valore del limite seguente. e e. e 1. TEST DI MATEMATICA Funzioni in un, Funzioni in due vriili Integrli Equzioni differenzili ) Il vlore del limite seguente e e e lim è ) Il vlore del limite seguente 5 lim 5 è : ) L derivt prim dell funzione

Dettagli

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le

Scheda Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI. 0,+. Inoltre valgono le Sched Sei ESPONENZIALI E LOGARITMI L funzione esponenzile Assegnto un numero rele >0, si dice funzione esponenzile in bse l funzione Grfici dell funzione esponenzile Se = l funzione esponenzile è costnte:

Dettagli

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x)

Funzioni 1. 3) una legge che ad un elemento x di X associa al più un unico elemento ( x) Funzioni Un funzione f d X in Y è costituit d un tern di elementi ) un insieme X, detto dominio di f 2) un insiemey, detto codominio di f f di Y. Nel cso, in cui X,Y sino sottinsiemi di R, generlmente

Dettagli

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x) Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari : Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se

Dettagli

Successioni di funzioni

Successioni di funzioni Successioni di funzioni 3.1 Introduzione Considerimo l successione (x n ) n0,icuiterminisono 1, x,x 2,x 3,..., x n,... Si trtt dell progressione geometric di termine inizile 1 e rgione x, che bbimo già

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco.

Esercizi svolti Limiti. Prof. Chirizzi Marco. Cpitolo II Limiti delle funzioni di un vribile Esercizi svolti Limiti Prof. Chirizzi rco www.elettrone.ltervist.org 1) Verificre che risult: = Dobbimo provre che per ogni ε positivo, rbitrrimente piccolo,

Dettagli

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace

Appunti di Analisi matematica 1. Paolo Acquistapace Appunti di Anlisi mtemtic Polo Acquistpce 23 febbrio 205 Indice Numeri 4. Alfbeto greco................................. 4.2 Insiemi..................................... 4.3 Funzioni....................................

Dettagli

a con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in

a con base a maggiore di 1 Dominio Codominio Crescenza/decrescenza Funz Crescente in Concavità/convessità Strettamente convessa in Funzione esponenzile Dto un numero rele >0, l funzione si chim funzione esponenzile di bse e f prte dell fmigli delle funzioni elementri. Il suo ndmento (crescenz o decrescenz) è strettmente legto l vlore

Dettagli

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice

DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA. Indice DISPENSE DI ANALISI MATEMATICA ANNAMARIA MONTANARI Indice. Integrle di Riemnn.. Proprietà elementri dell integrle di Riemnn 5.2. Teorem fondmentle del clcolo integrle. Primitive 6.3. Integrle generlizzto

Dettagli

5. Funzioni elementari trascendenti

5. Funzioni elementari trascendenti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 5. Funzioni elementri trscendenti A. A. 2013-2014 1 FUNZIONI ESPONENZIALI Le più semplici funzioni esponenzili sono le funzioni f: R R definite

Dettagli

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti

Anno 5. Applicazione del calcolo degli integrali definiti Anno 5 Appliczione del clcolo degli integrli definiti 1 Introduzione In quest lezione vedremo come pplicre il clcolo dell integrle definito per determinre le ree di prticolri figure pine, i volumi dei

Dettagli

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d =

Esercizio 1. Dimostrare che se (X, d) è uno spazio metrico anche (X, d ) lo è, dove d = I seguenti esercizi sono stti proposti, e qusi tutti risolti, ttrverso l miling list del corso di Geometri IV durnte l nno ccdemico 2004/2005. Esercizio 1. Dimostrre che se (X, d) è uno spzio metrico nche

Dettagli

FUNZIONI IPERBOLICHE

FUNZIONI IPERBOLICHE FUNZIONI IPERBOLICHE Umberto Mrconi Diprtimento di Mtemtic Pur e Applict Pdov Premess Si [, [, fissto. Voglimo cpire cos signific: w dw perché l funzione integrnd è illimitt. Se considerimo, per b [, [,

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1

INTEGRALI IMPROPRI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Integrali impropri cap10.pdf 1 INTEGRALI IMPROPRI c Pol Gervsio - Anlisi Mtemtic - A.A. 6/7 Integrli impropri cp.pdf Abbimo visto che l integrle di Riemnn è definito per funzioni limitte e su intervlli limitti. Si or I R un intervllo

Dettagli

POTENZA CON ESPONENTE REALE

POTENZA CON ESPONENTE REALE PRECORSO DI MATEMATICA VIII Lezione ESPONENZIALI E LOGARITMI E. Modic mtemtic@blogscuol.it www.mtemtic.blogscuol.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero rele > 0 ed un numero rele qulunque,

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA ESPONENZIALI E LOGARITMI Dr. Ersmo Modic ersmo@glois.it www.glois.it POTENZA CON ESPONENTE REALE Definizione: Dti un numero

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Il problema delle aree. Metodo di esaustione.

Il problema delle aree. Metodo di esaustione. INTEGRALE DEFINITO. DEFINIZIONE E SIGNIFICATO GEOMETRICO. PROPRIETA DELL INTEGRALE DEFINITO. FUNZIONE INTEGRALE. TEOREMA DELLA MEDIA. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE. FORMULA DI LEIBNITZ NEWTON.

Dettagli

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE FORMULARIO GENERALE DEI CORSI DI ISTITUZIONI DI MATEMATICHE ALGEBRA LINEARE Operzioni tr mtrici Sino A = { ij } e B = {b ij } venti l stess imensione. L loro somm è l mtrice C i cui elementi sono {c ij

Dettagli

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo:

, x 2. , x 3. è un equazione nella quale le incognite appaiono solo con esponente 1, ossia del tipo: Sistemi lineri Un equzione linere nelle n incognite x 1, x 2, x,, x n è un equzione nell qule le incognite ppiono solo con esponente 1, ossi del tipo: 1 x 1 + 2 x 2 + x +!+ n x n = b con 1, 2,,, n numeri

Dettagli

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A.

Osserviamo che per trovare le costanti A e B possiamo anche ragionare così: se moltiplichiamo l equazione x + 1 (x + 2)(x + 3) = A. 88 Roberto Turso - Anlisi 2 Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione + ( + 2)( + 3) = A + 2 + B + 3 per + 2, dopo ver semplificto, ottenimo + + 3

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Il calcolo integrale: intro

Il calcolo integrale: intro Il clcolo integrle: intro Le ppliczioni del clcolo integrle sono svrite: esistono, inftti, molti cmpi, dll fisic ll ingegneri, dll iologi ll economi, in cui si f lrgo uso degli integrli. Per fornire l

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

INTERVALLI NELL INSIEME R

INTERVALLI NELL INSIEME R INTEVALLI NELL INSIEME Lo studio dell topologi (1) (dl greco "nlysis situs" ossi "studio del luogo") dell'insieme è di fondmentle importnz per gli rgomenti e i prolemi di nlisi infinitesimle. Il "luogo"

Dettagli

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1

Serie di Potenze. Introduciamo il concetto di convergenza puntuale ed uniforme per successioni. { 0 se 1 < x < 1 Serie di Potenze Introducimo il concetto di convergenz puntule ed uniforme per successioni di funzioni. Definizione 1 Si I un intervllo di R. Si dt l vrire di n N l funzione f n : I R. Dicimo che l successione

Dettagli

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche

dr Valerio Curcio Le affinità omologiche Le affinità omologiche 1 Le ffinità omologiche 2 Tringoli omologici: Due tringoli si dicono omologici se le rette congiungenti i punti omologhi dei due tringoli si incontrno in un medesimo punto. Principio dei tringoli omologici

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 Sessione Suppletiv PNI 006 PROBLEMA ) L prbol di equzione V ' (0,0). y h sse di simmetri prllelo ll sse delle ordinte e vertice in L prbol di equzione

Dettagli

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo

Integrali. all integrale definito all integrale indefinito. Integrali: riepilogo Integrli ll integrle deinito ll integrle indeinito Indice dell lezione Integrle Deinito Rettngoloide Integrle deinito come re del rettngoloide Esempi e propriet Primitiv Teorem ondmentle del clcolo integrle

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Esponenzili e ritmi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se > 0, per ogni R se 0, per tutti e soli gli R se < 0, per tutti e soli gli Z Sono definite: ( ) ( ) ( ) 7 7 Non sono definite:

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così:

2 x = 64 (1) L esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64), indicato così: Considerimo il seguente problem: si vuole trovre il numero rele tle che: = () L esponente () cui elevre l bse () per ottenere il numero è detto ritmo (ritmo in bse di ), indicto così: In prticolre in questo

Dettagli

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione.

Scuola di Dottorato in Scienze e Tecnologie dell Informazione e della Comunicazione. T. ZOLZZI. Appunti del corso di Introduzione ll Anlisi Funzionle Scuol di Dottorto in Scienze e Tecnologie dell Informzione e dell Comuniczione. NOTA. L utore desider ringrzire le studentesse di dottorto,

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

1) In una equazione differenziale del tipo y (t)=a y(t), con a > 0, il tempo di raddoppio, cioè il tempo T tale che y(t+t)=2y(t) è:

1) In una equazione differenziale del tipo y (t)=a y(t), con a > 0, il tempo di raddoppio, cioè il tempo T tale che y(t+t)=2y(t) è: 1) In un equzione differenzile del tipo y (t)= y(t), con > 0, il tempo di rddoppio, cioè il tempo T tle che y(t+t)=y(t) è: A) T = B) 1 T = log e C) 1 T = log e ** D) 1 T = E) T = log e ) L equzione differenzile

Dettagli

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

26/03/2012. Integrale Definito. Calcolo delle Aree. Appunti di analisi matematica: Il concetto d integrale nasce per risolvere due classi di problemi: ppunti di nlisi mtemtic: Integrle efinito Il concetto d integrle nsce per risolvere due clssi di prolemi: Integrle efinito lcolo delle ree di fig. delimitte d curve clcolo di volumi clcolo del lvoro di

Dettagli

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1

Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'. Figura 1 APITOLO 3 LE SIMMETRIE 3. Richimi di teori Definizione. Si dto un punto del pino; si chim simmetri centrle di centro (che si indic con il simbolo s ) l corrispondenz dl pino in sé che d ogni punto P del

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4

1 Definizione di integrale di Riemann 1. 2 Condizioni di esistenza dell integrale di Riemann 3. 3 Proprietà dell integrale di Riemann 4 DEFINIZIONE DI INTEGRALE DI RIEMANN Integrle di Riemnn Indice Definizione di integrle di Riemnn Condizioni di esistenz dell integrle di Riemnn 3 3 Proprietà dell integrle di Riemnn 4 4 Clcolo dell integrle

Dettagli

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli:

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli: Acidi Deboli Si definisce cido debole un cido con < 1 che risult perciò solo przilmente dissocito in soluzione. Esempi di cidi deboli: Acido cetico (H OOH) 1.75 1-5 Acido scorbico (vitmin ) 1 6.76 1-5.5

Dettagli

ESPONENZIALI LOGARITMI

ESPONENZIALI LOGARITMI ESPONENZIALI LOGARITMI Prerequisiti: Conoscere e sper operre con potenze con esponente nturle e rzionle. Conoscere e sper pplicre le proprietà delle potenze. Sper risolvere equzioni e disequzioni. Sper

Dettagli

B8. Equazioni di secondo grado

B8. Equazioni di secondo grado B8. Equzioni di secondo grdo B8.1 Legge di nnullmento del prodotto Spendo che b0 si può dedurre che 0 oppure b0. Quest è l legge di nnullmento del prodotto. Pertnto spendo che (-1) (+)0 llor dovrà vlere

Dettagli

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo: FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,

Dettagli

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un

Dettagli

Siano A e B due insiemi non vuoti. Una funzione f da A a B è un assegnamento di esattamente un elemento di B ad ogni elemento di A

Siano A e B due insiemi non vuoti. Una funzione f da A a B è un assegnamento di esattamente un elemento di B ad ogni elemento di A Funzioni Definizione di funzione: Sino A e B due insiemi non vuoti. Un funzione f d A B è un ssegnmento di esttmente un elemento di B d ogni elemento di A Scrivimo f() = b se b è l unico elemento dell

Dettagli

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y

Differenziale. Consideriamo la variazione finita, x della variabile indipendente a cui corrisponde una variazione finita della funzione f x, f x y Differenzile Considerimo l vrizione finit, dell vriile indipendente cui corrisponde un vrizione finit dell funzione f, f y Δf 1 Δ 2 L vrizione dell vriile dipendente puo' essere molto piccol, infinitesim

Dettagli

Definizioni fondamentali

Definizioni fondamentali Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d

Dettagli

Erasmo Modica. : K K K

Erasmo Modica.  : K K K L insieme dei numeri reli L INSIEME DEI NUMERI REALI Ersmo Modic helthinsurnce@tin.it www.glois.it Per introdurre l insieme dei numeri reli si hnno disposizione diversi modi. Generlmente l iennio si preferisce

Dettagli

CALCOLO DIFFERENZIALE INTEGRALE a.a

CALCOLO DIFFERENZIALE INTEGRALE a.a CALCOLO DIFFERENZIALE INTEGRALE.. 0-0 ELENA MUSELLI Dispense per il corso di lure in Informtic dell.. 0/0 CAPITOLO. - Simboli e notzioni signific esiste/ono ; st per non esiste/ono ; signific per ogni,

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica

Appunti di Analisi Matematica Appunti di Anlisi Mtemtic Stefno Med e Alberto Peretti Appunti per il corso di Mtemtic I I semestre,.. 2001/2002 Fcoltà di Scienze Sttistiche Università di Milno-Bicocc c Stefno Med e Alberto Peretti,

Dettagli

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata

2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata . Teoremi per eseguire operzioni con i iti in form determint Vedimo dunque i teoremi che consentono il clcolo dei iti, ttrverso i quli si riconducono le situzioni rticolte semplici operzioni lgebriche

Dettagli

Lezione 7: Rette e piani nello spazio

Lezione 7: Rette e piani nello spazio Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette

Dettagli

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato

CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016. Testo consigliato Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI MATEMATICA 1 A.A. 2015/2016 Docente: Monic Mrrs 1 Anlisi Mtemtic 1 Testo consiglito con elementi di geometri e lgebr linere. M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls

Dettagli

1 Espressioni polinomiali

1 Espressioni polinomiali 1 Espressioni polinomili Un monomio è un espressione letterle in un vribile x che contiene un potenz inter (non negtiv, cioè mggiori o uguli zero) di x moltiplict per un numero rele: x n AD ESEMPIO: sono

Dettagli

INTEGRAZIONE NUMERICA

INTEGRAZIONE NUMERICA INTEGRAZIONE NUMERICA Frncesc Pelosi Diprtimento di Mtemtic, Università di Rom Tor Vergt CALCOLO NUMERICO.. 008 009 http://www.mt.unirom.it/ pelosi/ INTEGRAZIONE NUMERICA p.1/0 INTEGRAZIONE NUMERICA Dt

Dettagli

Integrazione numerica di funzioni con singolarità

Integrazione numerica di funzioni con singolarità UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA Fcoltà di Scienze Mtemtiche, Fisiche e Nturli Corso di Lure in Mtemtic Integrzione numeric di funzioni con singolrità RELATORE Dr. Frncesco Dell Accio CANDIDATO Contrtese

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione ordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA In un pino, riferito d un sistem

Dettagli

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione

LEZIONE 20. è lineare. Per la commutatività del prodotto scalare segue anche la linearità dell applicazione LEZIONE 20 20.1. Prodotti sclri. Definizione 20.1.1. Si V uno spzio vettorile su R. Un prodotto sclre su V è un ppliczione tle che:, : V V R (v 1, v 2 ) v 1, v 2 (PS1) per ogni v 1, v 2 V si h v 1, v 2

Dettagli

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

Dettagli