Appunti di Analisi Matematica 1

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1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi è un legge, f: A B, che d ogni elemento x di un insieme A, detto il dominio di f, ssoci un unico elemento f(x) di un insieme B, detto il codominio. Funzioni reli (qundo il codominio è un sottoinsieme dei reli, che per semplicità supporremo coincidere con R). Funzioni reli di vribile rele (sono funzioni reli il cui dominio è un sottoinsieme dei reli). Funzioni iniettive (f: A B è iniettiv se per ogni y B esiste l più un x A tle che f(x) = y o, equivlentemente, se d x 1, x 2 A, x 1 x 2 segue f(x 1 ) f(x 2 ) ). Funzioni suriettive (f: A B è suriettiv se per ogni y B esiste lmeno un x A tle che f(x) = y ). Funzioni biiettive, dette nche corrispondenze biunivoche (sono le funzioni si iniettive si suriettive). Immgine di un funzione f: A B (è l insieme denotto con Im(f) o con f(a) degli y B per i quli esiste un x A tle che y = f(x) ). Osservzione. Un funzione è suriettiv se e solo se l su immgine coincide col suo codominio. Grfico di un funzione f: A B (è l insieme delle coppie ordinte (x, y) che soddisfno l relzione y = f(x), dett equzione del grfico). Osservzione. Il grfico di un funzione rele di vribile rele può essere pensto come un sottoinsieme del pino crtesino. Esempio. Grfici delle funzioni trigonometriche, dell esponenzile, del logritmo. L funzione di Dirichlet { 1 x Q, f(x) = 0 x R \ Q, è tle che non si può disegnrne il grfico. Definizione. L prte inter di un numero x R, denott con [x], è il più grnde intero minore o ugule d x (i.e. [x] := mx Z (, x] ).

2 Il vlore ssoluto di un numero rele. Proprietà fondmentli del vlore ssoluto: 0 e = 0 = 0; b = b ; + b + b ; b b. L distnz tr due punti, b R è il numero b. Restrizione di un funzione d un sottoinsieme del dominio (dt f: A B e dto un sottoinsieme A 0 di A, se si pens f definit soltnto per gli elementi di A 0, si dice f è stt ristrett d A 0 ). Definizione. Dt un funzione iniettiv f: A B, l su funzione invers, denott f 1 : Im(f) A, è quell legge che d ogni y dell immgine di f ssoci l unico elemento x A tle che f(x) = y. Osservzione. L immgine [il dominio] di un funzione invers coincide col dominio [l immgine] dell funzione che viene invertit. FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE Nel seguito A indicherà il dominio dell funzione f. Mggiornte (o itzione superiore) di un funzione rele. Minornte di un funzione rele. Funzioni itte superiormente [inferiormente]. Funzioni itte. Estremo superiore [inferiore] di un funzione rele. Mssimo [minimo] ssoluto di un funzione rele. Punto di mssimo [minimo] ssoluto di un funzione rele (è un elemento del dominio in cui l funzione ssume il suo vlore mssimo). Definizione. Un funzione rele di vribile rele f: A R si dice crescente o non decrescente [decrescente o non crescente ] se d x 1, x 2 A e x 1 < x 2 segue f(x 1 ) f(x 2 ) [f(x 1 ) f(x 2 )]. Se l ultim disuguglinz vle in senso stretto, llor si dice che l funzione è strettmente crescente [strettmente decrescente ]. Le funzioni crescenti o decrescenti si dicono monotòne. Se un funzione monoton è strettmente crescente o strettmente decrescente, llor si chim strettmente monoton. Osservzione. Le funzioni strettmente monotone sono iniettive, pertnto invertibili. Osservzione. L invers di un funzione strettmente crescente [decrescente] è strettmente crescente [decrescente].

3 Definizione. Si A R. Un punto x 0 R si dice di ccumulzione per l insieme A se (e soltnto se) ogni intorno di x 0 contiene infiniti punti di A. Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per il dominio A di f (non occorre che x 0 pprteng d A). Si dice che f(x) tende d un numero rele l per x che tende d x 0, e si scrive f(x) l per x x 0, se e solo se per ogni successione {x n }, x n A, x n 0, x n x 0 si h n f(x n ) = l. Osservzione. Anloghi teoremi vlgono per x + o x e per l = + o l =. Esempio. Usndo l definizione precedente si può provre che non esiste il ite per x 0 di sen 1/x. Inftti bst prendere {x n = 1 π +2nπ}, {ξ n = π+2nπ} e osservre che n sen 1/x n = 1 mentre n sen 1/ξ n = 1. 2 Notzione. Per indicre che f(x) l per x x 0 si us nche dire che il ite per x che tende d x 0 di f(x) è ugule l, e si scrive f(x) = l. x x 0 Esercizio. Verificre usndo l definizione di ite che x 1 (x 2 +x) = 2. Esercizio. Provre che un funzione tende zero (per x x 0 ) se e solo se tende zero il suo vlore ssoluto. Dgli nloghi risultti sulle successioni si hnno i seguenti teoremi. Teorem (Operzioni sui iti finiti.) Sino f, g: A R due funzioni reli di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per A. Se f(x) l e g(x) m per x x 0, llor (per x x 0 ) si h: 1) f(x) + g(x) l + m; 2) f(x)g(x) lm; 3) f(x)/g(x) l/m, nell ipotesi m 0. Teorem (Unicità del ite). Supponimo che il ite per x che tende d x 0 di f(x) esist. Allor tle ite è unico. Teorem(dei due crbinieri). Sino f, g, h: A R tre funzioni reli di vribile rele e si x 0 un punto di ccumulzione per A. Supponimo f(x) g(x) h(x) in un intorno forto di x 0 e x x0 f(x) = x x0 h(x) = l. Allor x x0 g(x) = l Definizione. Il ite destro [sinistro] per x x 0 di un funzione f: A R, detto nche ite per x x + 0 [x 0 ] di f, è (qundo h senso) il ite

4 per x x 0 dell restrizione di f ll insieme A (x 0, + ) [A (, x 0 )], cioè x x + f(x) = l [ 0 x x f(x) = l] signific che ɛ > 0 δ > 0 tle 0 che d x (x 0, x 0 + δ) A [x (x 0 δ, x 0 ) A] segue f(x) l < ɛ. Ovvimente, perché bbi senso prlre di ite destro [sinistro] per x x 0 di un funzione definit in A, occorre che x 0 si un punto di ccumulzione per l insieme A (x 0, + ) [A (, x 0 )]. Osservzione. Supponimo che bbino senso i iti per x x 0 x x + 0 di f(x). Allor f(x) l se e solo se x x 0 f(x) = f(x) = l. x x + 0 e per Esercizio. Provre che per ogni n Z si h x n [x] = n 1 e x n +[x] = n. Osservzione. Per non ppesntire troppo il discorso, dt f: A R, nei teoremi che enunceremo, ogni qul volt ppre l espressione f(x), srà sempre sottinteso che x pprtiene l dominio A di f. Così, d esempio, scriveremo semplicemente 0 < x x 0 < δ implic f(x) l < ɛ invece di 0 < x x 0 < δ e x A implic f(x) l < ɛ, oppure scriveremo sup x<α f(x) l posto di sup x<α, x A f(x). I due iti fondmentli: sen x x 0 x ( = 1; x = e = x ± x) Alcuni iti notevoli (deducibili di iti fondmentli): 1 cos x = 1/2 x 0 x 2 log(1 + x) x 0 x 0 x (1 + x) α 1 x x 0 (1 + x) 1/x = e = 1 x 0 e x 1 x = 1 = α x 1 log x x 1 = 1 Esercizio. Come corollrio del teorem dei crbinieri si h: Sino f e g due funzioni reli di vribile rele. Supponimo che f si itt e che g(x) 0 per x x 0. Allor f(x)g(x) 0 per x x 0.

5 Per ffermre che un funzione f tende zero per x x 0, si us dire che è infinitesim (per x x 0 ), o che è un infinitesimo (spesso si omette di ggiungere per x x 0, qundo risult evidente dl contesto). Il precedente corollrio può essere quindi enuncito nche così: Il prodotto di un funzione itt per un infinitesim è un funzione infinitesim. Esempio. L funzione f(x) = x 2 sen(1/x) è infinitesim per x 0. Inftti x 2 0 per x 0 e sen(1/x) è un funzione itt (si osservi che il teorem fondmentle sui iti non è pplicbile in questo cso, visto che sen(1/x) non mmette ite per x 0). Ulteriori definizioni del concetto di ite: f(x) l, +,, per x x 0, +,. Notimo che perché bbi senso considerre, d esempio, x + f(x) si dovrà supporre il dominio A di f non itto superiormente. Esercizio. Usndo l definizione di ite verificre che x 0 1/x 2 = +, x 0 1/x =, x 0 + 1/x = +, x + x +1 x 1 = 1, x x +1 x 1 = 1. Teorem (operzioni sui iti estesi ). Vlgono le seguenti operzioni (l è un rbitrrio numero rele e st per o + ): + l =, + + l = + ; ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + ; l(± ) = ±, se l > 0 e l(± ) = se l < 0; l/ = 0, l/0 = se l 0, /0 =. Osservzione. I simboli introdotti sopr vnno intesi nel modo seguente: d esempio, se f(x) l e g(x) +, llor f(x) + g(x) +, ecc. Osservzione. Ogni eventule definizione di (+ ) + ( ), 0/0, 0 e / porterebbe delle incoerenze. Riportimo lcuni esempi per mostrre come non si conveniente dre un senso lle espressioni, 0/0, 0 e / (dette nche forme indeterminte):

6 ( ) x x 0 per x + ; ( ) x 2 x + per x + ; (0 ) x(1/x) 1 per x 0; (0 ) x 2 (1/x) 0 per x 0; (0/0) x/x 1 per x 0; (0/0) x 2 /x 0 per x 0; ( / ) x/x 1 per x + ; ( / ) x 2 /x + per x +. Un esempio importnte in cui si h esistenz del ite finito (se f è itt) od infinito (se f non è itt) è quello delle funzioni monotone. Teorem (del ite per le funzioni monotone). Si f: (, b) R un funzione crescente [decrescente]. Allor risult [ ] f(x) = sup f(x) f(x) = inf f(x) x b (,b) x b (,b) [ ] f(x) = inf f(x) x + (,b) x f(x) = sup f(x) + (,b) Osservzione. Notimo che il teorem precedente vle nche con = o con b = +. Definizione. Un funzione rele di vribile rele f: A R si dice continu in un punto x 0 A e di ccumulzione per A se x x 0 f(x) = f(x 0 ). Osservimo che se x 0 non è un punto di ccumulzione per il dominio A di un funzione f: A R, llor non h senso prlre di ite per x che tende d x 0 di f(x). Pertnto, nel cso che x 0 si un punto isolto per A, l definizione di continuità che bbimo dt precedentemente, essendo bst sul concetto di ite, è priv di significto. Per vri motivi che non stimo menzionre, è conveniente ssumere, per definizione, che ogni funzione si continu nei punti isolti del suo dominio. Esempio. Il dominio dell funzione f(x) = cos x 1

7 è costituito soltnto d punti isolti (i punti in cui cos x = 1). Pertnto, f è continu in tutti i punti del suo dominio. Le due situzioni (punto di ccumulzione e punto isolto) si possono unificre nell seguente crtterizzzione dell continuità (vlid si per punti di ccumulzione che per punti isolti del dominio): Un funzione f: A R si dice continu in un punto x 0 A se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tle che d x x 0 < δ e x A segue f(x) f(x 0 ) < ɛ. Osservzione. Osservimo comunque che in molti dei teoremi enunciti nel seguito srà utomticmente soddisftt l ipotesi che i punti del dominio di ogni funzione (rele di vribile rele) che prenderemo in considerzione sino nche di ccumulzione per il dominio stesso. Ciò ccde, d esempio, se un funzione è definit in un intervllo non bnle, cioè non vuoto e non costituito d un solo punto (o, più in generle, in un insieme costituito dll unione, finit o infinit, di intervlli non bnli). Se f è continu in ogni punto del suo dominio A, llor si dice semplicemente che è un funzione continu. Esercizio. Provre che se un funzione è continu in un insieme A, llor è continu nche l su restrizione d un qulunque sottoinsieme di A. Esercizio. Usndo l definizione provre che le funzioni f(x) = x, f(x) = x 2 e f(x) = x sono continue. Esercizio. Verificre che vle l disuguglinz sen x x, x R. A prtire d ess, si può provre che f(x) = sen x è continu. Inftti dlle formule di prostferesi si ottiene Quindi sen x sen x 0 = 2 cos( x + x 0 2 ) sen( x x 0 ). 2 0 sen x sen x 0 = 2 cos( x + x 0 ) sen( x x 0 ). 2 2 Pertnto, essendo cos α 1 e sen α α α R, si ottiene 0 sen x sen x 0 x x 0. Definizione. Se f non è continu in x 0 A, si dice che f è discontinu in x 0, o che h un discontinuità in x 0. Si distinguono qui le seguenti

8 specie di discontinuità (tr le tnte possibili diverse definizioni presenti in lettertur): 1. Se il ite destro ed il ite sinistro in x 0 A esistono entrmbi finiti e diversi fr di loro llor l discontinuità si dice di slto o di prim specie. 2. Se uno lmeno dei due iti è infinito llor l discontinuità si dice infinit o di second specie. 3. Se uno lmeno dei due iti non esiste llor l discontinuità si dice di terz specie. Osservzione. Nel cso 1. delle discontinuità di slto l definizione h senso se e solo se x 0 è punto di ccumulzione si destr che sinistr di x 0. Le ltre due definizioni invece hnno senso nche nel cso in cui x 0 è punto di ccumulzione solo destr o solo sinistr di x 0, cioè nel cso in cui h senso considerre solo uno dei iti lterli. Osservimo inoltre che nel cso 2. di discontinuità infinit se h senso considerre nche l ltro ite llor esso deve esistere (finito o infinito) ltrimenti si cdrebbe nel cso 3. Infine osservimo che se il ite destro o il ite sinistro esiste finito (e coincidente con f(x 0 )) llor l funzione si dice continu destr o sinistr. Esempi. Le funzioni f(x) = [x] (prte inter) e f(x) = x [x] (mntiss) hnno discontinuità di slto in ogni x Z. Le funzioni 1/x, 1/x 2, e 1/x per x 0 ed uguli 0 per x = 0 hnno tutte nel punto x 0 = 0 discontinuità infinit. Le funzioni sen(1/x), cos(1/x) per x 0 e uguli 0 per x = 0 hnno tutte nel punto x 0 = 0 discontinuità di terz specie. L funzione di Dirichlet h pure un discontinuità di terz specie in ogni punto di R. Osservzione. E importnte inoltre notre che, sempre in bse ll definizione precedente, non h senso ffermre che un funzione è discontinu (o continu) in un punto in cui non è definit. Comunque si puó presentre il seguente cso: f non è definit in un punto x 0 di ccumulzione dell insieme di definizione A di f ed esiste finito il ite l per x x 0 di f(x). Allor se definimo un nuov funzione ˆf in A x 0 nel modo seguente: ˆf(x) = f(x) x A, f(x 0 ) = l,

9 llor ˆf risult continu in A x 0 e si dice prolungmento per continuità di f d A d A x 0. Osservimo infine che se definimo l funzione ˆf in A x 0 nel modo seguente ˆf(x) = f(x) x A, f(x 0 ) = l 1 l, llor ˆf non è continu in x 0. M in questo cso si trtt di un cosiddett discontinuità einbile, inftti bst sostituire il vlore l 1 con il vlore l del ite per x x 0 di f(x) per rendere l funzione continu in x 0. Teorem. (Permnenz del segno) Si f: A R continu in x 0 A e si f(x 0 ) > 0. Allor esiste δ > 0 tle che f(x) > 0, x (x 0 δ, x 0 +δ) A. Dl Teorem sulle operzioni sui iti finiti segue immeditmente il seguente Teorem. Un funzione ottenut trmite somm, prodotto e quoziente di funzioni continue è un funzione continu. Si osservi che in virtù del teorem precedente si può ffermre che le funzioni rzionli, essendo rpporto di polinomi, sono continue. In prticolre, d esempio, l funzione f(x) = 1/x è continu, nche se in lcuni testi di nlisi mtemtic si sserisce che in 0 non è continu (0 non pprtiene l dominio di tle f!) Definizione. Sino f: A R e g: B R due funzioni reli di vribile rele. L composizione di f con g, denott g f, è quell ppliczione che d ogni x A tle che f(x) B ssoci il numero f(g(x)). Il dominio dell funzione compost g f è il sottoinsieme f 1 (B) = {x A : f(x) B} di A, detto immgine invers (o retroimmgine, o preimmgine) di B (trmite f). Teorem. Sino f: A R e g: B R due funzioni reli di vribile rele. Se f è continu in x 0 A e g è continu in y 0 = f(x 0 ) B, llor g f è continu in x 0. Tenendo conto che, per definizione, un funzione è continu qundo lo è in ogni punto del suo dominio, dl precedente Teorem segue immeditmente il seguente Corollrio. continu. L composizione di due funzioni continue è un funzione

10 Dimo or lcuni teoremi sulle funzioni continue in un intervllo. Teorem di Weierstrss. Si f: [, b] R un funzione continu in un sottoinsieme itto e chiuso [, b] R. Allor f mmette mssimo e minimo ssoluti, cioè esistono x 0 e x 1 in [, b] tli che f(x 0 ) f(x) f(x 1 ), x [, b]. Osservzione. (Sulle ipotesi del teorem). L funzione f(x) = x 2 è continu nell intervllo chiuso [0, + ) m non h mssimo. L funzione f(x) = x è continu nell intervllo itto (0, 1) m non h in (0, 1) né mssimo, né minimo. L funzione f(x) = x [x] nell intervllo chiuso e itto [0, 1] non h mssimo. Teorem degli zeri. Si f: [, b] R un funzione continu e tle che f() < 0 e f(b) > 0. Allor esiste x 0 (, b) tle che f(x 0 ) = 0. Cenno ll dimostrzione col metodo delle bisezioni. Appliczioni del Teorem degli zeri per provre l esistenz di soluzioni di equzioni del tipo f(x) = 0 (d esempio nel cso di polinomi di grdo dispri, o di funzioni continue con iti ll infinito di segno discorde.) Teorem. f: I R un funzione continu in un intervllo I R. Allor l immgine di f è un intervllo. In prticolre, f ssume tutti i vlori compresi tr inf f(i) e sup f(i). Teorem (di continuità dell funzione invers). Si f: I R un funzione continu e strettmente monoton in un intervllo I R. Allor f 1 : f(i) R è un funzione continu. Usndo i teoremi precedenti sulle funzioni continue si può provre il seguente: Teorem. Le funzioni esponenzili, logritmiche, trigonometriche, trigonometriche inverse, iperboliche e iperboliche inverse sono continue. CALCOLO DIFFERENZIALE Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 A di ccumulzione per A. Si dice che f è derivbile in x 0 se esiste ed è finito il ite, per x x 0, dell funzione f(x) f(x 0 ) x x 0 dett rpporto incrementle di f in x 0. Tle ite, qundo esiste ed è finito, si chim derivt di f in x 0 e si denot con il simbolo f (x 0 )

11 Mostrimo, d esempio, che 1) l funzione f(x) = x 2 è derivbile in ogni punto x 0 R e risult f (x 0 ) = 2x 0. Si h inftti f(x) f(x 0 ) x 2 x 2 0 = = x x 0 x x 0 x x0 x x 0 (x + x 0 )(x x 0 ) = (x + x 0 ) = 2x 0. x x 0 x x 0 x x0 2) l funzione f(x) = sen x è derivbile in ogni punto x 0 R e risult f (x 0 ) = cos x 0. Si h inftti x x0 sen x sen x 0 x x 0 = x x0 2 sen(x x 0 )/2 cos(x + x 0 )/2 x x 0 = x x0 2 sen(x x 0 )/2 x x 0 cos(x + x 0 )/2 = cos x 0 vendo tenuto conto del ite fondmentle di sen x/x e dell continuità del coseno. Definizione. Un funzione f: A R si dice derivbile se è derivbile in ogni punto del suo dominio. Ovvimente, perché questo ccd, è necessrio che ogni punto del dominio A di f si di ccumulzione (ciò è vero, d esempio, qundo A è un intervllo non bnle o, più in generle, è unione di intervlli non bnli). Esercizio. Provre che se f: R R è costnte, llor è derivbile in ogni punto x e f (x) = 0. Esercizio. Provre che l funzione f(x) = x è derivbile in ogni punto e si h f (x) = 1 per ogni x R. Definizione. L derivt (lterle) destr [sinistr] in x 0 di un funzione f: A R, è (qundo esiste) l derivt in x 0 dell restrizione di f ll insieme A [x 0, + ) [A (, x 0 ] ]. Si indic con f +(x 0 ) [f (x 0 )]. Osservzione. Supponimo che in un punto x 0 bbino senso le due derivte lterli di un funzione. Allor l funzione è derivbile in x 0 se e solo se tli derivte esistono e coincidono. In tl cso le tre derivte, sinistr, destr e bilterle sono uguli. Definizione. Un punto si dice ngoloso per un funzione se in tl punto l funzione è derivbile si sinistr si destr m le derivte lterli sono

12 diverse. Un punto si dice un cuspide se le derivte lterli sono infinite e di segno opposto. Se invece sono infinite ed hnno lo stesso segno il punto si dice punto tngente verticle. Esercizio. Stbilire se 1) f(x) = x x + x 2 è derivbile in x 0 = 0; 2) f(x) = log x è derivbile in x 0 = 1; 3) f(x) = (x 1) 3 è derivbile in x 0 = 1. Teorem. Si f: A R un funzione derivbile in x 0 A, llor f è continu in x 0. Osservzione. Il teorem precedente mostr che l continuità è un condizione necessri ll derivbilità. Ovvimente non è un condizione sufficiente come si vede considerndo d esempio l funzione f(x) = x che è continu m non derivbile in x 0 = 0. (Inftti f +(0) = 1 e f (0) = 1). Interpretzione geometric dell derivt (si ved [1]). Definizione. Dt un funzione rele di vribile rele f, considerimo un punto (x 0, y 0 ) del suo grfico (ossi, supponimo che x 0 sti nel dominio di f e che y 0 si ugule f(x 0 ) ). Se f è derivbile in x 0, l rett tngente l grfico dell f in (x 0, y 0 ) è l rett pssnte per (x 0, y 0 ) con coefficiente ngolre f (x 0 ). Ossi, è l rett di equzione y y 0 = f (x 0 )(x x 0 ). Osservzione. Dll definizione di derivt si deduce che se un funzione f: A R è derivbile in x 0 A, llor esiste un funzione ω: A R che soddisf ω(x) 0 per x x 0 e ω(x 0 ) = 0 tle che si bbi f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ω(x)(x x 0 ), x A. Se f mmette un tle formul, si dice che è differenzibile in x 0. Si può fr vedere che f è differenzibile in x 0 se e solo se f è derivbile in x 0. L nozione di differenzibilità risulterà prticolrmente significtiv per le funzioni di più vribili. Osservimo che il polinomio P 1 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ), che rppresent l rett tngente l grfico dell funzione nel punto (x 0, f(x 0 )), è tle che

13 l differenz f(x) P 1 (x) tende zero, per x x 0, più velocemente dell incremento x x 0. Si dice nche che P 1 rppresent un pprossimzione linere (o del prim ordine) di f. Teorem. Le funzioni sen x, cos x, e x, sono derivbili e le loro derivte sono rispettivmente cos x, sen x, e x. Teorem (operzioni sulle derivte). Sino f e g due funzioni derivbili in un punto x 0. Allor, qundo h senso, (ossi qundo x 0 pprtiene ll intersezione del dominio di f e g ed è di ccumulzione per tle intersezione) si h (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) se g(x 0 ) 0, (f/g) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) 2. Esercizio. Usndo l regol dell derivt del quoziente provre che l derivt di f(x) = tg x è f (x) = 1 + tg 2 x = 1/ cos 2 x. Teorem (dell derivt di un funzione compost). Sino f: A R e g: B R due funzioni derivbili rispettivmente in x 0 e in y 0 = f(x 0 ). Allor, qundo h senso (ossi, qundo x 0 è di ccumulzione per il dominio f 1 (B) di g f), l funzione compost g f è derivbile in x 0 e si h (g f) (x 0 ) = g (y 0 )f (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). In ltre prole, l derivt dell composizione è il prodotto delle derivte (nei punti corrispondenti). Teorem (dell derivt di un funzione invers). Si f: I R un funzione continu e strettmente monoton in un intervllo I. Se f è derivbile in un punto x 0 I e f (x 0 ) 0, llor f 1 è derivbile in y 0 = f(x 0 ) e (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Come ppliczione del teorem dell derivt di un funzione invers, mostrimo che f(x) = rctg x è derivbile e si h f (x) = x 2.

14 Per comodità nell dimostrzione indichimo ϕ(x) = tg x e ϕ 1 (y) = rctg y. Fissto un punto y 0 R, dl teorem precedente segue dove x 0 = rctg y 0. Perciò (ϕ 1 ) (y 0 ) = 1 ϕ (x 0 ) = tg 2 x 0, (ϕ 1 ) (y 0 ) = tg 2 (rctg y 0 ) = y0 2 Esercizio. Medinte il teorem dell derivt di un funzione invers determinre le derivte di rcsen x, di rccos x e di log x. Tbell delle derivte delle funzioni elementri (si ved [1]) Definizione. Un punto x 0 R si dice interno d un sottoinsieme A di R se esiste un intorno (x 0 δ, x 0 + δ) di x 0 contenuto in A. Osservzione. In un intervllo [, b] sono interni tutti i punti x tli che < x < b mentre gli estremi e b non sono punti interni ll insieme [, b]. M sono punti di ccumulzione di [, b]. (Attenzione non confondere l nozione di punto interno d un insieme con quell di pprtenenz ll insieme). Definizione. Si f: A R un funzione rele di vribile rele. Un punto x 0 A si dice di minimo [di mssimo ] reltivo (o locle) per f in A se esiste δ > 0 tle che f(x) f(x 0 ) [f(x) f(x 0 )] per ogni x (x 0 δ, x 0 + δ) A. Un punto di minimo o di mssimo reltivo per f (in A) si dice estremnte per f (in A), il vlore di mssimo o minimo reltivo si dice nche estremo reltivo. Teorem di Fermt. Si f: A R un funzione rele di vribile rele e si x 0 A. Supponimo che sino soddisftte le seguenti tre ipotesi: 1) x 0 è interno d A; 2) f è derivbile in x 0 ; 3) x 0 è un punto estremnte per f in A. Allor f (x 0 ) = 0. (Con dimostrzione). Definizione. Un punto x 0 A tle che f (x 0 ) = 0 si dice punto critico o punto stzionrio di f in A.

15 Osservimo che, in bse l teorem di Fermt, gli eventuli estremnti per f (in A) vnno ricercti si tr i punti critici di f in A si tr i punti di A non interni ed nche tr i punti di A in cui f non è derivbile. Teorem di Rolle. Si f: [, b] R un funzione soddisfcente le seguenti condizioni: 1) f è continu in [, b]; 2) f è derivbile in (, b); 3) f() = f(b). Allor esiste un punto c (, b) tle che f (c) = 0. (Con dimostrzione) Osservzione. (Sulle ipotesi del teorem di Rolle.) L funzione f(x) = x è continu in [ 1, 1] e f( 1) = f(1). D ltr prte l derivt non si nnull mi in [ 1, 1]. Come mi questo non contrddice il teorem di Rolle? Il seguente risultto è un estensione del Teorem di Rolle. Teorem di Lgrnge (o del vlor medio). Si f: [, b] R un funzione soddisfcente le seguenti condizioni: 1) f è continu in [, b]; 2) f è derivbile in (, b). Allor esiste un punto ξ (, b) tle che. f (ξ) = f(b) f(). b Osservzione. In certi csi è utile scrivere l tesi del teorem precedente nell form: Dti x 1 e x 2 in [, b] esiste un punto ξ (x 1, x 2 ) se x 1 < x 2, oppure ξ (x 2, x 1 ) se x 2 < x 1, tle che. f(x 1 ) f(x 2 ) = f (ξ)(x 1 x 2 ). Dimo or lcune importnti conseguenze del Teorem di Lgrnge. Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) 0 [f (x) 0] per ogni x I. Allor f è crescente [decrescente] in I. Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) > 0 [f (x) < 0] per ogni x I. Allor f è strettmente crescente [strettmente decrescente] in I.

16 Corollrio. Si f: I R derivbile in un intervllo I e tle f (x) = 0 per ogni x I. Allor f è costnte in I. Osservzione. Nei precedenti corollri non si può togliere l ipotesi che f si definit in un intervllo. Ad esempio l funzione { 4 se x [1, 2] f(x) = 5 se x [3, 4] è tle che f (x) = 0 per ogni x [1, 2] [3, 4], m non è costnte in tle insieme. Corollrio. Si f: I R definit in un intervllo I, continu in I e derivbile in I \ {x 0 } con x 0 I. Supponimo che esist finito il ite per x x 0 di f (x). Allor f è derivbile in x 0 ed f risult continu in x 0. In ltre prole si h f (x 0 ) = f (x). x x0 Esempio. L funzione f(x) = { x 2 sen(1/x) se x 0 0 se x = 0 è derivbile nel punto x = 0 (per provrlo bst pplicre l definizione di derivt), m non esiste il ite per x 0 di f (x). Pertnto, f è derivbile in 0 m f non è continu in 0. Derivte successive. Se f: A R è derivbile in ogni punto di A, llor l funzione che d ogni x A ssoci il numero f (x) si chim derivt (o derivt prim) di f e si denot con f. L derivt dell derivt di un funzione f si chim derivt second di f e si indic con f. In generle, l derivt dell derivt (n 1)-esim di f si chim derivt n-esim e si denot con f (n). Definizione. Un funzione f si dice di clsse C 0 se è continu. Si dice di clsse C 1 (o che pprtiene ll clsse C 1 ) se è derivbile e l su derivt è di clsse C 0. Per induzione, f è (di clsse) C n, n N, se è derivbile e l su derivt prim è C n 1. Si dice infine che f è (di clsse) C se è C n per ogni n N. Per indicre che f è di clsse C n [C ] si scrive f C n [f C ].

17 Fccimo notre che, in bse ll suddett definizione, f C n se (e solo se) è derivbile e f C n 1, e f è C n 1 se (e solo se) è derivbile e f C n 2, e così vi fino d rrivre ll derivt n-esim di f, che deve risultre continu. In ltre prole, possimo ffermre che f è C n se (e solo se) è derivbile n volte e l su derivt n-esim è continu. (Osservimo che un dimostrzione rigoros di tle ffermzione richiede il principio di induzione). Abbimo visto che le funzioni derivbili sono nche continue, pertnto, se f è C 1, essendo derivbile, è nche di clsse C 0. Più in generle si può provre il seguente Lemm. Se f è C n llor è nche C n 1. Usndo il precedente lemm ed il principio di induzione si dimostr il Teorem (di regolrità delle funzioni combinte). L somm, il prodotto, il quoziente e l composizione di funzioni C n, qundo (e dove) h senso, è ncor un funzione C n. Formul di Tylor. Abbimo visto che, dt f : A R derivbile in un punto x 0 A, esiste un unico polinomio di primo grdo P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) tle che f(x) P 1 (x) = 0. x x 0 x x 0 Si può provre che se f è derivbile n volte in x 0, esiste un unico polinomio P n (x) di grdo n tle che f(x) P n (x) = 0. x x 0 (x x 0 ) n Più precismente si h il seguente teorem. Teorem (Formul di Tylor) Si f: I R un funzione di clsse C n in un intorno I di x 0. Allor, posti si h P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k e R n (x) = f(x) P n (x) k! x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0.

18 Il polinomio P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! è detto polinomio di Tylor di f di ordine n e di centro x 0. L funzione R n è dett il resto dell formul di Tylor. L formul di Tylor scritt nel modo presentto sopr si chim formul di Tylor con il resto nell form di Peno. L formul di Tylor centrt in x 0 = 0 si chim formul di McLurin. Ricordimo l seguente Definizione. Si f un funzione definit in un intorno di x 0 (eventulmente privto di x 0 ) e tle che f(x) 0 per x x 0. Si dice che, per x x 0, f è un infinitesimo di ordine superiore d α (α > 0) oppure nche che f(x) è un o piccolo di (x x 0 ) α ( e si scrive f(x) = o((x x 0 ) α ), (per x x 0 )) se x x 0 f(x) (x x 0 ) α = 0. Con queste notzioni il resto dell formul di Tylor ssume l form R n (x) = o((x x 0 ) n ), (x x 0 ). Esercizio. Scrivere l formul di McLurin di ordine n delle funzioni e x, sen x, cos x, log(1 + x), rctn x, 1 + x. Esercizio. Scrivere l formul di McLurin di ordine 5 dell funzione f(x) = 3x + 7x 2 x 4 + 5x 6 x 9. Esercizio. Scrivere l formul di Tylor di ordine 4 e di centro x 0 = 2 dell funzione f(x) = 2 + 4x 2 + 6x 3 x 4. Esercizio. Provre che vlgono le seguenti relzioni (per x 0): 1. o((x α )) o((x β )) = o((x α+β )), 2. se α < β, o((x α )) + o((x β )) = o((x α )), 3. x α o((x β )) = o((x α+β )). Esercizio. Usndo gli sviluppi di Tylor clcolre il ite per x 0 delle seguenti funzioni x sen x (1 cos x) log(1 + x), e sen x3 1 + x 3 (α R), x 4 log(cos x) x 6 (α + x)

19 Se f è di clsse C n+1, il resto R n (x) si può scrivere in vri modi. Consideremo qui il resto detto nell form di Lgrnge. Teorem (Formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge.) Si f: I R un funzione di clsse C n+1 in un intorno I di x 0. Allor, esiste ξ (x 0, x) se x 0 < x, oppure ξ (x, x 0 ) se x < x 0, tle che R n (x) = f (n+1) (ξ) (x x 0) n+1 (n + 1)! Esercizio. Usndo l formul di Tylor con il resto nell form di Lgrnge, pprossimre sen(0, 2) e log(0, 8) con un errore inferiore Abbimo visto che il teorem di Fermt fornisce un condizione necessri perchè un punto x 0 di un intervllo I si estremnte. Dll formul di Tylor si ottiene l seguente condizione sufficiente Teorem. Si f di clsse C 2 in un intorno I di x 0 e si x 0 punto critico per f (cioé f (x 0 ) = 0). Allor, se f (x 0 ) > 0 [f (x 0 ) < 0] il punto x 0 è di minimo [mssimo] reltivo. Definizione. Dt f: [, + ) R, un rett y = mx + n si dice sintoto destro (o sintoto per x + ) per f, se (f(x) (mx + n)) = 0. x + Se il coefficiente ngolre m è ugule zero, l sintoto si dice orizzontle, ltrimenti si dice obliquo. Un nlog definizione vle per il concetto di sintoto sinistro. Osservzione. unico. L sintoto destro (sinistro) di un funzione, se esiste, è Esempio. Considerimo l funzione f(x) = 2x 1 + sen x/x. Dll definizione di sintoto segue subito che l rett y = 2x 1 è l sintoto destro (e nche sinistro) per f. Inftti, l funzione sen x/x, che coincide con l differenz f(x) (2x 1), tende zero per x (è il prodotto di un funzione itt per un infinitesim). Esempio. L funzione f(x) = x 2 non mmette sintoto destro. Inftti, l differenz tr x 2 e un polinomio di primo grdo è un polinomio di secondo grdo, e non può quindi tendere zero per x +.

20 Definizione. Un rett x = x 0 si dice sintoto verticle per un funzione f: A R se f(x) per x x 0. Osservimo che l informzione x = x 0 è un sintoto verticle per f non dice molto sul comportmento di f(x) in un intorno di x 0. Per disegnre il grfico di f, inftti, occorre conoscere i due iti per x x 0 e per x x + 0 di f(x). Pertnto se, d esempio, in uno studio di funzione, elencndo i iti importnti, si è già ffermto che f(x) + per x x 0 e f(x) per x x + 0, è inutile ggiungere poi che x = x 0 è un sintoto verticle per f. Così dicendo, non si dnno ulteriori informzioni. Teorem. Condizione necessri e sufficiente ffinché y = mx + n si l sintoto destro [sinistro] per un funzione rele di vribile rele f è che [ f(x) x + x = m e (f(x) mx) = n. x + x f(x) x = m e (f(x) mx) = n x Osservzione. Dl teorem si deduce subito che se f(x) l R per x +, llor l rett y = l è l sintoto destro per f. Osservzione. Se si h f(x) = mx+n+ϕ(x), dove ϕ(x) 0 per x +, llor y = mx + n è l sintoto destro per f. Si può provre che se un funzione mmette sintoto destro ed esiste il ite per x + dell su derivt, llor questo coincide con il coefficiente ngolre dell sintoto. Non è detto comunque che se un funzione mmette sintoto per x +, debb necessrimente esistere il ite per x + dell su derivt. Ad esempio, l sintoto destro di f(x) = x + sen(x 2 )/x è l rett y = x, m non esiste il ite per x + di f (x). Può nche cpitre che un funzione non bbi sintoto destro m l derivt mmett ite finito per x +. Un esempio di quest ultimo cso è dto d log x. Definizione. Si f: I R derivbile in un intervllo I. Allor f si dice convess [concv] in I se l rett tngente d un punto qulunque del suo grfico st sotto [sopr] il grfico, ossi se f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), x, x 0 I [f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )]. ].

21 Osservzione. L definizione di funzione convess in un intervllo si può dre, più in generle, nche per funzioni non derivbili. Teorem. Si f: I R derivbile in un intervllo I. Allor f è convess [concv] se e solo se f è crescente [f è decrescente in I]. Teorem. Si f: I R derivbile due volte in un intervllo I. Allor f è convess [concv] se e solo se f (x) 0 [f (x) 0] per ogni x in I. Definizione. Un punto x 0 del dominio di un funzione f si dice di flesso (per f) se esistono un intorno destro e un intorno sinistro di x 0 con concvità discordi, cioé d un prte l funzione è convess e dll ltr è concv. Un condizione necessri perché un punto si di flesso è dt dl seguente Teorem. Si f: I R derivbile due volte in un intervllo I e si x 0 I punto di flesso. Allor f (x 0 ) = 0. Notimo però che l nnullrsi dell derivt second non è un condizione sufficiente perché un punto si di flesso come si vede subito considerndo f(x) = x 4 in x 0 = 0. Però, tenendo conto di un teorem precedente, si h l seguente condizione sufficiente Teorem. Si f: I R di clsse C 2 in un intervllo I e si x 0 I un punto in cui l derivt second cmbi segno (d un prte positiv e dll ltr negtiv). Allor, x 0 è un punto di flesso per f. Esempio. L funzione f(x) = x 3 h un flesso nel punto x = 0, perché in tle punto (pprtenente l dominio) f (x) cmbi segno. Studio del grfico di lcune funzioni. N.B. Tenere presente il modello per lo studio di funzione distribuito in clsse. log x f(x) = e (considerzioni sulle simmetrie) f(x) = 5 x2 2 x 5 5x 4 e f(x) = rccos x + 1. Per esercizio studire f(x) = log(log x 3 log x) ; f(x) = rcsen 1 log x 1 e f(x) = x2 + 2x x + 1.

22 Ricordimo che un funzione si dice infinitesim per x α (qui α può essere x 0 o + o ) se tende zero per x α. Anlogmente, diremo che un funzione è infinit (per x α) se tende ll infinito (per x α). I teoremi di de l Hôpitl (o L Hospitl, o L Hôpitl secondo i testi) sono utili strumenti per il clcolo del ite del rpporto di due funzioni entrmbe infinitesime o infinite per x α. In ltre prole, rppresentno un rtificio (nche se non l unico) per determinre il ite delle cosiddette forme indeterminte 0/0 e /. Si possono nche usre (con opportune trsformzioni) per risolvere forme indeterminte del tipo 0, 0 0, 1, 0. Uno dei teoremi di de l Hôpitl rigurd il rpporto di due infinitesimi per x x 0, un ltro il rpporto di due infiniti per x x 0, un ltro ncor il rpporto di due infinitesimi per x +, e così vi fino d esurire tutt l csistic. A titolo di esempio enuncimo quello rigurdnte il rpporto di due infinitesimi per x x 0. Teorem di de l Hôpitl per l form 0/0 qundo x x 0. Sino f e g due funzioni infinitesime per x x 0 e derivbili in un intorno forto di x 0. Supponimo che in tle intorno si definito il rpporto f (x)/g (x) (ossi, supponimo g (x) 0). Allor, se esiste il ite (finito o infinito) per x x 0 di f (x)/g (x), risult f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). Osservzione. L condizione espress dl Teorem di de l Hôpitl è solo sufficiente. Ad esempio inftti tende 2/3 per x +, m f(x) g(x) non mmette ite per x +. = 2x + cos x 3x + sen x f (x) g (x) = 2 sen x 3 + cos x Csi in cui, invece, è utile l ppliczione del Teorem di de l Hôpitl sono, d esempio, x n log x ; ; x log x x + e x x + x x 0 Notimo che ci sono csi in cui l uso del Teorem di de l Hôpitl non port d lcun risultto. Ad esempio bst considerre x 2 +1 x +. x

23 CALCOLO INTEGRALE Il problem del clcolo delle ree di figure pine. Prtizione di un intervllo chiuso e itto [, b] in n intervlli di ugule lunghezz. Somme integrli di Cuchy-Riemnn S n per funzioni definite su un intervllo chiuso e itto. Vle il seguente risultto. Teorem.(Integrbilità delle funzioni continue su intervlli chiusi e itti). Se f : [, b] R è un funzione continu llor esiste finito n S n. Definizione. f(x) dx. b Tle ite si dice integrle di f su [, b] e si indic con Definizione. Ogni ppliczione che ssoci d un funzione un numero rele si dice funzionle. Pertnto l integrle sopr definito è un funzionle. Proprietà dell integrle. 1. L integrle è un funzionle linere e monotono. In ltri termini, dte due funzioni f, g continue su [, b] si h: b [αf(x) + βg(x)] dx = α b f(x) dx + β b Inoltre se f(x) g(x) per tutti gli x [, b] si h In prticolre, b f(x) dx b b f(x) dx g(x) dx (M onotoni). b f(x) dx. g(x) dx (Linerità); 2. Additività rispetto ll intervllo di integrzione. Se r b llor b f(x) dx = r f(x) dx + b Osservimo che se < b per convenzione si pone b f(x) dx = b r f(x) dx. f(x) dx

24 Teorem.(Dell medi integrle).se f : [, b] R è continu llor esiste c [, b] tle che 1 b f(x) dx = f(c). b (Con dimostrzione.) Definizione.(Primitiv di un funzione definit su un intervllo [, b]). Si dice che un funzione G derivbile in [, b] è un primitiv dell funzione f in [, b] se G (x) = f(x) per ogni x [, b]. Osservzione. Se G è un primitiv di f in [, b] llor ogni funzione F (x) = G(x) + c è un primitiv di f. Inftti, F (x) = G (x) = f(x) per ogni x [, b]. Vicevers, se G ed F sono primitive di f in [, b] llor esiste c R tle che G(x) F (x) = c, per ogni x [, b]. Inftti G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0 per ogni x [, b]. Pertnto, G(x) F (x) è un funzione costnte in [, b]. Vle il seguente. Teorem fondmentle del clcolo integrle.si f : [, b] R è un funzione continu e si F (x) = x f(t) dt (dett funzione integrle di f). Allor F è derivbile in [, b] e si h che F (x) = f(x) per ogni x [, b]. inoltre se G è un qulunque primitiv di f in [, b] si h che F (b) = b f(t) dt = G(b) G(). In virtù del precedente risultto il problem di clcolre b f(x) dx per un funzione f : [, b] R continu si riduce l problem dell ricerc di un primitiv f. In generle, dt un qulunque funzione continu f : [, b] R non è detto che si poss determinre un primitiv di f (l cui esistenz è grntit dl precedente teorem) in termini di somm, differenz, prodotto, quoziente, composizione di funzioni elementri. In ltri

25 termini, in tl cso non si s scrivere un espressione nlitic dell primitiv di f utilizzbile per il clcolo effettivo dell integrle. Esistono però clssi di funzioni per le quli sppimo trovre ttrverso opportuni metodi di integrzione un espressione nlitic dell primitiv di f. Illustrimo qui di seguito si i metodi che lcune di tli clssi di funzioni. (Per i prticolri si rimnd [1]. Metodi di integrzione.. Integrli immediti: si ottengono leggendo in senso inverso l tbell delle derivte delle funzioni elementri. b. Integrzione per scomposizione: utilizzndo l linerità dell integrle. c. Integrzione per sostituzione: ottenut dll regol di derivzione delle funzione composte. d. Integrzione per prti: ottenut dll regol di derivzione del prodotto di funzioni. Ricerc delle primitive per lcuni clssi di funzioni. Integrzione di funzioni rzionli. b. Integrzione di funzioni trigonometriche. c. Integrzione di funzioni irrzionli. Integrli generlizzti. Per molte ppliczioni del clcolo integrle è necessrio estendere l definizione di integrle funzioni discontinue ed nche d intervlli non itti. Purtroppo questo non è possibile frlo né per tutte le funzioni discontinue né per tutte le funzioni definite su intervlli non itti. per le funzioni discontinue definite su un intervllo itto si distinguono i seguenti due csi: 1. L funzione f h in [, b] un numero finito di punti di discontinuità di slto; 2. L funzione f : [, b) R è continu ed h nel punto b un discontinuità infinit, cioè x b f(x) =. Mentre nel primo cso è sempre possibile definire l integrle di f su [, b], vedi ([1], prgrfo 6.1). Nel secondo cso occorre dre dei criteri sufficienti grntire l esistenz dell integrle. Essi consistono essenzilmente nel criterio del confronto e del confronto sintotico per le funzioni segno costnte

26 del tutto simili i criteri di convergenz per le serie termini positivi. Infine nloghi criteri permettono di stbilire l integrbilità di un funzione continu su un intervllo itto. (Il riferimento per l mteri è l Cpitolo 6. di [1]).

27 Riferimenti bibliogrfici [1] M. Brmnti, C.D. Pgni, S. Sls, Mtemtic, Clcolo Infinitesimle e Algebr Linere, Ed. Znichelli, (2000). [2] J.P. Cecconi, L.C. Piccinini, G. Stmpcchi, Esercizi e problemi di Anlisi Mtemtic, Funzioni di un vribile, Vol. 1, Liguori Editore, (1979). [3] P. Mrcellini, C. Sbordone, Esercitzioni di mtemtic, Vol. 1, prte prim, Liguori Editore, (1987). [4] P. Mrcellini, C. Sbordone, Esercitzioni di mtemtic, Vol. 1, prte second, Liguori Editore, (1987). [5] P. Nistri, P. Zezz, Funzioni reli di più vribili reli ed equzioni differenzili ordinrie, Esculpio Editore, Bologn, (1998).