Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

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1 Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione

2 Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2

3 Criterio di Nyquist

4 Stbilità dell cten chius (1/3) r Il problem fondmentle: nlizzre l stbilità dell cten chius dt l fdt d nello (cten pert) K r y des + e u + d y C(s) F(s) + (s) G = C(s) F(s) y(s) y(s) W(s) = ; W y (s) = r(s) y (s) des Fdt d nello Fdt in cten chius 4

5 Stbilità dell cten chius (2/3) L stbilità del sistem in cten chius può essere vlutt medinte il clcolo diretto dei poli di W(s) oppure studindo il segno dell loro prte rele medinte strumenti quli il criterio di Routh Si h un rispost immedit Non si h l percezione del modo in cui le scelte progettuli del controllore C(s) possno influenzre l stbilità del sistem in cten chius Non si hnno informzioni sull robustezz del controllo 5

6 Stbilità dell cten chius (3/3) È fondmentle l introduzione di uno strumento in grdo di: Anlizzre l stbilità in cten chius prtire dlle crtteristiche dinmiche dell fdt d nello, senz richiedere il clcolo esplicito dell W(s) dell cten chius Fornire indiczioni utili per l sintesi del controllore Permettere di vlutre l proprietà di stbilità robust del sistem controllto Il criterio di Nyquist 6

7 Legmi fr D e D W (1/3) Ricordimo che: N(s) G(s) = D(s) G(s) N(s) N W(s) W(s) y = = = 1 + G (s) D (s) + N (s) D (s) Con retrozione negtiv unitri W N.B.: W(s) e W y (s) hnno lo stesso denomintore D W (s) Si osserv che: D W(s) = D (s)(1 + G (s)) 7

8 Legmi fr D e D W (2/3) Tle relzione esprime il legme esistente fr il polinomio crtteristico dell fdt d nello e quello dell fdt in cten chius D (s) W D(s) = + 1 G (s) È possibile ricvre conseguentemente un relzione fr le rdici di tli polinomi, cioè fr i poli dell cten pert e quelli dell cten chius, in prticolre fr quelli instbili 8

9 Legmi fr D e D W (3/3) Il legme fr il numero di poli instbili dell G (s) ed il numero di poli instbili dell W y (s) è dto dl numero di giri che il vettore (1 + G (jω)) compie ttorno ll origine del pino complesso, l vrire di ω d + Il numero di tli giri è pri quello dei giri compiuti dl vettore G (jω) ttorno l punto (-1,0) I giri compiuti d tle vettore possono essere vlutti gevolmente dl digrmm di Nyquist di G (jω) 9

10 Sino: Il criterio di Nyquist (1/2) n i, = numero di poli instbili di G (s) (fdt d nello) n i,c = numero di poli instbili di W(s) (fdt in cten chius) N = numero dei giri compiuti in senso orrio d G (jω) ttorno l punto (-1,0) l vrire di ω (N.B.: I giri nti-orri sono d conteggirsi come negtivi) Si può dimostrre che N = n n N.B.: n i, e n i,c non possono mi ssumere vlori negtivi i,c i, 10

11 Il criterio di Nyquist (2/2) Criterio di Nyquist Condizione necessri e sufficiente per l sintotic stbilità del sistem in cten chius è n = 0 N = n i,c sotto l ipotesi che N si ben definito i, N è ben definito (ovvero è definito senz mbiguità) se il digrmm di Nyquist non pss per il punto (-1,0), detto punto critico di Nyquist 11

12 Clcolo del numero N di giri (1/2) Primo metodo: N è pri l numero di giri compiuti in senso orrio ttorno l punto critico, percorrendo l intero digrmm di Nyquist di G (jω) nel verso in cui ω cresce Punto critico (-1,0) Imginry Axis Nyquist Digrm Rel Axis 12

13 Clcolo del numero N di giri (1/2) Primo metodo: N è pri l numero di giri compiuti in senso orrio ttorno l punto critico, percorrendo l intero digrmm di Nyquist di G (jω) nel verso in cui ω cresce Punto critico (-1,0) Imginry Axis Nyquist Digrm Primo giro orrio Rel Axis 13

14 Clcolo del numero N di giri (1/2) Primo metodo: N è pri l numero di giri compiuti in senso orrio ttorno l punto critico, percorrendo l intero digrmm di Nyquist di G (jω) nel verso in cui ω cresce Punto critico (-1,0) Imginry Axis Nyquist Digrm Secondo giro orrio Rel Axis 14

15 Clcolo del numero N di giri (1/2) Primo metodo: N è pri l numero di giri compiuti in senso orrio ttorno l punto critico, percorrendo l intero digrmm di Nyquist di G (jω) nel verso in cui ω cresce Punto critico (-1,0) N= 2 Imginry Axis Nyquist Digrm Primo giro orrio Secondo giro orrio Rel Axis 15

16 Clcolo del numero N di giri (2/2) Secondo metodo: N è pri l numero di intersezioni fr un qulsisi semirett uscente dl punto critico ed il digrmm di Nyquist di G (jω), contte tenendo conto del verso del digrmm Punto critico (-1,0) Imginry Axis Nyquist Digrm Rel Axis 16

17 Clcolo del numero N di giri (2/2) Secondo metodo: N è pri l numero di intersezioni fr un qulsisi semirett uscente dl punto critico ed il digrmm di Nyquist di G (jω), contte tenendo conto del verso del digrmm Punto critico (-1,0) N= 2 Imginry Axis Nyquist Digrm Due intersezioni orrie Rel Axis 17

18 Anlisi dell stbilità con il criterio di Nyquist Si vlut il numero n i, di poli instbili di G (jω) Si trcci il digrmm di Nyquist di G (jω), determinndo l posizione corrett del punto critico Si vlut il numero N di giri compiuti in senso orrio d G (jω) ttornol puntocritico, verificndo che esso si ben definito Si clcol n i,c = N+n i, e si pplic il criterio di Nyquist, determinndo l sintotic stbilità del sistem in cten chius se n i,c = 0 o l su instbilità (con n i,c poli instbili) se n i,c >0 18

19 Un esempio di ppliczione del criterio Si G (s) dt dll fdt G(s) = 2 10(s + 1) s(s+ 2)(s+ 4) Nyquist Digrm n i, = 0 Punto critico (-1,0) 1 N= 0 Imginry Axis R Sistem sint. stbile in cten chius ni,c = Rel Axis 19

20 Osservzione Se G (jω) è instbile (n i, 1), l condizione di sintotic stbilità in cten chius (n i,c = 0) può essere ottenut solo in presenz di giri ntiorri (cioè negtivi) di G (jω) ttorno l punto critico G(s) = 10000(s + 1) (s 0.8)(s + 5)(s + 20) Nyquist Digrm n i, =1 N= -1 Imginry Axis ni,c = Rel Axis 20

21 Pssggio di G (jω) per il punto critico (1/2) Se esiste un pulszione ω * per cui: * G(j ω ) = 1 e G(j ω ) = 180 * o il digrmm di G (jω * ) pss per il punto critico di Nyquist per ω = ω * Nyquist Digrm G(s) = 2 12(s + 1) s(s+ 2)(s+ 4) Imginry Axis Rel Axis 21

22 Pssggio di G (jω) per il punto critico (1/2) Se esiste un pulszione ω * per cui: * G(j ω ) = 1 e G(j ω ) = 180 * o il digrmm di G (jω * ) pss per il punto critico di Nyquist per ω = ω * Nyquist Digrm 1.5 N non risult ben definito Il criterio di Nyquist non è pplicbile Imginry Axis Rel Axis 22

23 Pssggio di G (jω) per il punto critico (2/2) In tli condizioni, il sistem in cten chius h lmeno un polo sull sse immginrio Il sistem non può essere sintoticmente stbile Non verrnno ftte ulteriori nlisi per distinguere le due possibilità (stbilità semplice o instbilità) perché comunque l specific fondmentle di sintotic stbilità del sistem in cten chius non può essere soddisftt 23

24 Criterio di Nyquist

25 G (s) gudgno vribile Si consideri il cso in cui l fdt d nello si definit meno di un fttore di gudgno vribile, dto d un prmetro rele K c G(s) = KG c,f(s) In cso di controllore purmente sttico, K c coincide con il controllore stesso e G,f (s) con l fdt del sistem d controllre In cso di controllore dinmico, K c è il gudgno stzionrio del controllore, mentre G,f (s) include l su prte dinmic (completmente definit) e l fdt del sistem d controllre 25

26 Estensione del criterio di Nyquist (1/3) In tle cso, l relzione fr il polinomio crtteristico dell fdt d nello e quello dell fdt in cten chius è dt d D (s) W D(s) = + 1 K G (s) c,f L differenz fr il numero di poli instbili dell W y (s) ed il numero di poli instbili dell G (s) è dto dl numero di giri che il vettore K c G,f (jω) compie ttorno l punto (-1,0) l vrire di ω 26

27 Estensione del criterio di Nyquist (2/3) L differenz fr il numero di poli instbili dell W y (s) ed il numero di poli instbili dell G (s) è dto dl numero di giri che il vettore G,f (jω) compie ttorno l punto (-1/K c,0) l vrire di ω L posizione del punto critico risult vribile l vrire di K c 27

28 Estensione del criterio di Nyquist (3/3) Per estendere il criterio di Nyquist l cso di G (s) gudgno vribile è sufficiente Considerre il punto critico vribile (-1/K c,0) e modificre conseguentemente l definizione di N (numero dei giri compiuti in senso orrio d G,f (jω) ttornol puntocriticovribile) Spostre il punto critico lungo l sse rele l vrire di K c, individundo il corrispondente vlore di N dl digrmm di Nyquist di G,f (jω) Clcolre n i,c = N+n i,, determinndo così l stbilità o l instbilità del sistem in cten chius per tutti i vlori di K c per cui N è ben definito 28

29 Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) Esempio (1/3) n i, = 0 Nyquist Digrm (-1/K c, 0) 1 per 0<K c <1.2 (-0.833,0) 0.5 Ricvto d -1/K c <-0.833, con K c > 0 Imginry Axis R Rel Axis 29

30 Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) Esempio (1/3) n i, = 0 Nyquist Digrm (-1/K c, 0) 1 per 0<K c <1.2 (-0.833,0) 0.5 N= 0 Imginry Axis R ni,c = Rel Axis 30

31 Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) Nyquist Digrm 1 Esempio (2/3) n i, = 0 (-1/K c, 0) per K c > (-0.833,0) Imginry Axis R N= 2-1 ni,c = Rel Axis 31

32 Esempio (2/3) Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = 0 Nyquist Digrm (-1/K c, 0) Per K c = 1.2 N non è ben definito (-0.833,0) per K c >1.2 Non si può vere stbilità sintotic Imginry Axis R N= 2 ni,c = Rel Axis 32

33 Esempio (2/3) Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = 0 Nyquist Digrm (-1/K c, 0) Per K c = 1.2 N non è ben definito (-0.833,0) per K c >1.2 Poli in: -1.27, -1.43, +1.41j, -1.41j Imginry Axis R N= 2 ni,c = Rel Axis 33

34 Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) Nyquist Digrm 1 Esempio (3/3) n i, = 0 (-1/K c, 0) per K c < (-0.833,0) Imginry Axis R N= 1-1 ni,c = Rel Axis 34

35 Criterio di Nyquist

36 Sistemi con retrozione positiv (1/2) Si G (s) l fdt d nello di un sistem chiuso in retrozione positiv: l fdt in cten chius è in tl cso W(s) y = G(s) N(s) N W(s) 1 G (s) = D (s) N (s) = D (s) W L relzione fr il polinomio crtteristico dell fdt d nello e quello in cten chius divent D (s) W D(s) = 1 G (s) 36

37 Sistemi con retrozione positiv (2/2) L differenz fr il numero di poli instbili dell W y (s) ed il numero di poli instbili dell G (s) è dto dl numero di giri che il vettore -G (jω) compie ttorno l punto (-1,0) l vrire di ω, pri l numero di giri che G (jω) compie ttorno l punto (+1,0) Se l fdt d nello h gudgno vribile (G (s) = K c G,f (s)), tle differenz è pri l numero di giri cheilvettoreg (jω) compie ttorno l punto (+1/K c, 0) l vrire di ω 37

38 Appliczione del criterio di Nyquist Per pplicre il criterio di Nyquist sistemi chiusi con un retrozione positiv è sufficiente considerre il punto critico (+1,0) (oppure (+1/K c,0) in cso di gudgno vribile) e modificre conseguentemente l definizione del prmetro N Gli stessi risultti possono essere ottenuti cmbindo il segno di K c dopo ver ftto l nlisi di stbilità con retrozione negtiv Cmbire il segno di K c equivle cmbire il segno dell retrozione 38

39 Esempio (1/4) 10(s + 1) Si G(s) = 2 s(s+ 2)(s+ 4) n i, = 0 Nyquist Digrm in retrozione positiv Sistem instbile in cten chius Punto critico (+1,0) Imginry Axis R N= 1-1 ni,c = Rel Axis 39

40 Si 10(s + 1) + + G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = 0 Nyquist Digrm Esempio (2/4) in retrozione positiv (-0.833,0) Imginry Axis R Rel Axis 40

41 Si G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = 0 10(s + 1) + + Nyquist Digrm Esempio (2/4) in retrozione positiv (+1/K c, 0) 1 per -1.2<K c <0 (-0.833,0) 0.5 N= 0 Imginry Axis R ni,c = Rel Axis 41

42 Si G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = (s + 1) + + Nyquist Digrm (-0.833,0) Esempio (3/4) in retrozione positiv (+1/K c, 0) per K c <-1.2 Imginry Axis R N= 2-1 ni,c = Rel Axis 42

43 Si G(s) = Kc s(s 2 2)(s 4) n i, = (s + 1) + + Nyquist Digrm (-0.833,0) Esempio (4/4) in retrozione positiv (+1/K c, 0) per K c > 0 Imginry Axis R N= 1-1 ni,c = Rel Axis 43

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