Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale

Transcript

1 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver sercizi introduttivi S sprimere l corrente i ( in termini di fsore nei seguenti tre csi: ) i ( = 4sin( ωt 4) ) i ( = 0sin( ωt π) c) i ( = 8sin( ωt π / ) isultto: ) = 4exp( j4) ) = 0 c) = 8 j S lutre (in coordinte crtesine e polri) le impedenze viste i cpi dei morsetti: Università degli Studi di ssino sercitzioni di lettrotecnic: circuiti in regime sinusoidle ( ) ( ) = 0 Ω = mh = 8 Ω, = 5 mh = 00 Ω, ω = 0 4 rd / s = 04 mf, f = 50 Hz = 6 mh = 0 µ F, ω = 5 0 rd / s isultto: ) Z & = 0 0 j = 0 exp( jπ / 4) Ω ) Z & = 8 54 j = 4 exp( j0965) Ω c) Z & = 8 0 j = 5exp( j9) Ω ( c) prof ntonio Mffucci mffucci@unicsit S e seguenti coppie di fsori esprimono tensione e corrente reltive d un dto ipolo Dire, nei tre csi, se si trtt di un resistore, un condenstore o un induttore e vlutre il vlore dei prmetri corrispondenti, o ) v ( = 5cos(400t ), i ( = sin(400t ) ) v ( = 8cos(900t π / ), i ( = sin(900t π / ) c) v ( = 0cos(50t π / ), i ( = 5sin(50t 5π / 6) ver ottore 009 ) ) c) j π / ) = 5e, = e osto = si h che: rg( Z & π ) = rg( ) rg( ) = = jω = = 5 mh ω jπ / π / π / ) jπ / 6 = 8e, = e = e osto = si h che: j rg( Z & π ) = rg( ) rg( ) = = = = 0 8 mf ω ω jπ/ 5π / 6 π/ ) jπ / = 0e, = 5e = 5e osto = si h che: rg( Z &) = rg( ) rg( ) = 0 = = = 4 Ω

2 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S 4 - Si consideri il circuito in figur, determinndo tle che l prte immginri dell impedenz vist i cpi dei morsetti risulti m{ Z & } = 00 Ω quivlenz, sovrpposizione degli effetti, potenz = 0 µ F f = khz S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz genertore e l potenz compless S & erogt dl genertore Z & vist i cpi del 'impedenz totle vist i cpi dei morsetti è quindi st imporre j j Z & ( ω ) /( ω ) ω = = j ω / ω) ω, ω { Z} = = 00 = 9 mh m & ω S 5 - qule di queste impedenze corrisponde l fse ϕ = π / 4? : - serie : - serie : - prllelo 4: - serie = 0 Ω = 0 Ω = 0 5 Ω = F = 0 mh ω = 00 rd / s = 0 mf ω = 00 rd / s = 0 F ω = 0 rd / s = H so : Z = = = = 05( j) ϕ = tg ( ) ω = rd & π = Y& / jω j 4 S 6 - Dti i seguenti fsori = 0exp( j / 6), = 0 exp( j / 6), = 5exp( j / ) : π π ) rppresentre nel pino complesso i fsori,, ) clcolre i fsori:,,, c) rppresentre nel pino complesso i fsori vlutti l punto ) / s π d) rppresentre nel tempo le tensioni corrispondenti i fsori dei punti ) e ), definito l trsformzione fsorile come segue: v( = sin( ωt α) = exp( jα) M M ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J = 0, = j /( ω) = j, = jω = j, = = 'impedenz di ingresso vist dl genertore è dt d: = //[ // ] = 08 j04 Ω potenz compless erogt d si vlut fcilmente un volt not Z & : ( ( (08 j04)00 & J J J = JJ = J = = 40 j0 S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz genertore e le correnti i ( e i ( Z & vist i cpi del isultto: & = 5 j5 Ω i ( = 045cos(000t ), i ( = sin(000t Z j ( i ( i ( e ( = 0sin = Ω = H = 05 F = 0 Ω = 0 mf ( ) e( = 0cos(000t ) = 0 mh 4

3 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S - pplicndo il teorem di Thévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dll induttore ( = 0 sin(00t 05) Trsformimo preliminrmente l rete in un rete di impedenze: j05 J = 0e, Z = j, = 0 j, = 4, = 05 j 'impedenz uivlente nel circuito di Thévenin si vlut risolvendo l rete seguente: j ( = //( ) = 7 j985 Ω tensione vuoto, invece, si può clcolre prtire dll corrente che circol in Z & c, su volt ottenut con un prtitore di corrente: 0 = = J = 069 j4 Ω isolvendo l rete uivlente ottenut, si h che 0 j = = 0089 j0570 = 0577e i 76 = 4 Ω, = mh, = 5 mh J Z & = mf, Z & Z & Z & Z & Z & 0 j S 4 - on riferimento l seguente circuito vlutre l corrente i ( i = = Ω ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J = j0, J = 0, = j Ω, = jω = j Ω, = = Ω, uest rete può essere risolt con l sovrpposizione degli effetti l contriuto del solo genertore J si ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: = J =, vendo posto = = 04-j0 8 Ω l contriuto del solo genertore J si ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: Si h, quindi cui corrisponde, nel tempo l corrente j ( t ) j ( t ) = J = j = = ( j) = 47exp( 078 j) ( i j ( = 0cos = Ω = mh = mf ( 000t ) ( j ( = 0sin 000 ndmento dell corrente nel tempo è llor dto d: i ( = 47sin(000t 078) i ( = 0577 sin(00t 76) potenz compless ssorit d srà purmente rettiv: & = jx = 067 j r S 5 - pplicndo il teorem di Norton, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl prllelo - in figur potenz istntne si può vlutre, in generle, dll conoscenz di corrente e tensione: p ( = v ( i ( Si h quindi: = j986 = 089e v ( = 089 sin(00t 986) e ( e( = 5 sin(000t π / ) = 0Ω, = mf = mh p ( = v ( i ( = 067cos(00t 60) Si osservi che in questo cso prticolre (elemento dinmico) l potenz istntne può nche essere clcolt come derivt dell energi: isultto: & = 9 7 j768 r p( = [ cos(000t 7)] p di ( d ( = i ( = ( ) = 067 sin(00 5) = 067 cos(00 60) i t t t dt dt 5 6

4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S 6 - on riferimento l seguente circuito vlutre l rettnz d inserire in prllelo l genertore in modo che l'impedenz complessiv vist dl genertore stesso ssor l stess potenz medi di prim m i un fse ϕ tle che cos ϕ = 0 9 (rifsmento) e ( e( = 00sin( ω 4 ω = 0 = 0 µ F, rd/s, = 50 Ω = mh S 7 - on riferimento l seguente circuito, clcolre l potenz ttiv e l potenz rettiv ssorit dll serie j ( t ) j ( t ) j ( = 4cos j ( = cos = = Ω = = H = F ( 4 ( 4t π / ) ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: 00, = 0 j Ω, = j Ω, = 50 Ω = 'impedenz uivlente vist dl genertore è = = 9 j8 Ω, quindi l potenz compless erogt dllo stesso srà ( ( & j = = ( = ( = 0 k j7 kr Z & Z & l fttore di potenz è pri quindi occorre inserire un'opportun cos ϕ = cos[ tg ( / )] = 06 Z & x tr l'impedenz Z & ed il genertore in modo che l'impedenz complessiv Z & verifichi tle richiest ffinché tle inserzione non lteri l tensione, Z & x deve essere post in prllelo l genertore er lscire invrit nche l potenz medi l impedenz deve essere purmente rettiv: x = jx er stilire il vlore di tle rettnz si può pplicre il principio di conservzione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z & : x Z & x Z & ssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: j π/ J = 4, J = e, = j / 8 Ω, = = 4 j Ω pplicndo l sovrpposizione degli effetti, vlutimo il contriuti dovuti J ed J ertnto si h = J = 0 j00, = J = 050 j085 = = 5 j084 = 75exp( j050), quindi l potenz compless ssorit d Z & srà ( 4 j & j = = = 75 = 06 j7 r Not: si svolg l esercizio utilizzndo l uivlente di Thévenin i cpi dell serie considert S 8 - pplicndo il teorem di Thévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl condenstore potenz rettiv, = x tgϕ x si può quindi vlutre come segue: tg[cos (09)] mponendo l condizione idert su ϕ si ottiene un x tg[cos (09)] = 077 kr x negtiv, il che signific che Z & x è un'impedenz cpcitiv icordndo l'espressione dell potenz rettiv ssorit d un condenstore i cpi del qule si not l tensione si può vlutre il vlore di cpcità necessrio: x x = ω = = 540 µ F ω isultto: & = j049 r p( = -049cos(40t )] j ( = = Ω cos(0t 0) = Ω = 0 H = 0 F 7 8

5 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S 9 - lutre l corrente che circol nel condenstore e l potenz compless d esso ssorit Sistemi trifse e ( i ( j ( = e( = 0 sin(πft 0), cos(πf, f = 50 Hz = Ω, = mf, = mh S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, di vlore efficce, ) vlutre l indiczione dell mperometro ) rifsre cos ϕ = 0 9 ll sezione -- isultto: i ( = 5sin(πft 0) & = -j580 r S 0 - lutre l potenz istntne e compless ssorit d j ( = sin(πf, j ( t ) j t ft f Hz j ( t ( ) = sin(π π/ 4), = 50 ) = Ω, = 0 mf, = mh sinϕ = 0 = 50 Ω = k sinϕ = 0554 f = 50 Hz isultto: p ( = 474[ cos(4πft 08) & = 474 S - on riferimento ll seguente rete in regime sinusoidle, vlutre: ) il circuito uivlente di Thévenin i cpi di ) l corrente circolnte in c) l potenz istntne e compless ssorit d i e( = 0 sin( ωt π/), e( = sin( ωt π/ 4), ω = 0 rd / s = Ω, = Ω, = 4 mf, = mh ) = 005 j97ω 0 = 09 i076 isultto: ) i( = 07sin(000t 08) c) & = 08 p( = 08[ cos(000t 5)] ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line er vlutre tle vlore si può preliminrmente vlutre l potenz compless totle ssorit ll sezione -- l crico vlle dei resistori ssore l potenz compless = k, tgϕ tg[sin (0554)] = 799 kr er vlutre l potenz compless ssorit dll stell di resistori, st osservre che tle crico è posto in prllelo rispetto l precedente e che l tensione su ciscun resistore è proprio l tensione stellt dei genertori Si h, llor: = = 90 k, = 0 pplicndo l conservzione delle potenze, possimo ffermre che l potenz compless totle ssorit ll sezione -- è dt d: cioè: = 4 90 k, = = 799 kr, & j = ( 490 j799) 0 icordndo l espressione dell potenz pprente: si h immeditmente che =, 9 0

6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver = ) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos ϕ = cos[ tg = 56 ( / )] = 0 88 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre l rifsmento porterà d vere un potenz rettiv totle idert pri tgϕ tg[cos (09)] = 7 kr quindi il nco di condenstori dovrà ssorire un potenz rettiv totle pri = 077 kr c = nserendo i condenstori stell, come in figur, l tensione che gisce su ciscuno di essi è quell stellt dei genertori, quindi: c = = 6πfY X Y c = 6πf = 68 µf Se, invece, i condenstori vengono inseriti tringolo, l tensione è l conctent, quindi: c = 6πf = Osservimo che 56µF Y = S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni: ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione -- ) rifsre cos ϕ = 0 9 ll sezione --, cosϕ isultto: ) & 66 k j666 kr, ) = 45 µ F X X = X = X = 80 = 5kr = 0 Ω cosϕ = 0 sinϕ S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni (con vlore efficce dell tensione conctent pri ): ) vlutre l indiczione dell mperometro ) vlutre le indiczioni dei wttmetri c) rifsre cos ϕ = 0 9 ll sezione -- = 80 = 0 k = 7 kr = kω f = 50 Hz ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line ll sezione -- er clcolrl si può vlutre l potenz compless totle ssorit tle sezione, sommndo i contriuti di tutti i crichi resistori ssorono l potenz compless = = 04 k, = 0, quindi ll sezione -- si h: & j = ( ) ) = 04 k j Kr 7 lettur dell mperometro srà, quindi: = = 909 ) er il teorem di ON, essendo il sistem uilirto, si h: = 04 0 = = 40 0 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos ϕ = cos[ tg ( / )] = 08, = 0 0 = 7 0 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà tgϕ quindi, montndo tre condenstori tringolo:, tg[cos (09)] = 505 kr c c = = 95 kr = 40µF 6πf =

7 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S 4 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 07 ) vlutre l indiczione del voltmetro ) vlutre le indiczioni dei wttmetri c) rifsre cos ϕ = 0 9 ll sezione -- S Z & Z & Z & p sinϕ p Dti: = j Ω, = kω, X = kω, p = k,sin ϕ p = 0707, f = 50Hz jx jx jx per cui l lettur del voltmetro srà: = = 7 k ) er il teorem di ON, essendo il sistem uilirto, si h: = 00 0 = = 66 0 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cos ϕ = cos[ tg ( / )] = 066, = 70 0 = 8 0 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà tgϕ tg[cos (09)] = 485 kr quindi, montndo tre condenstori tringolo c c = = 660 kr = 094µF 6πf = ) Detto = 0 7 il vlore efficce dell corrente lett dll mperometro, l potenz compless totle ssorit dlle impedenze - srà & = ( jx ) = 47 k j94 kr tensione stellt che insiste su quest stell di impedenze e sul crico posto in prllelo srà = = 57 k potenz compless ssorit dl crico prllelo srà & = cosϕ jsin ϕ = 849 k j849 kr, p p p quindi l potenz compless totle ssorit ll sezione S indict in figur srà & = & & = 995 k j4 kr s p corrente che ttrvers tle sezione srà dt d: s = = quindi l potenz ssorit dl crico in serie Z & srà & = Z & = 006 k 00 kr j ll sezione -- di ingresso, quindi, si h: & = & & s j = 00 k j 46 Kr S 5 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 5 ) vlutre l tensione stellt dei genertori ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione -- jx jx jx jx jx jx isultto: ) = 560 ) & = 8 k j8 kr = 0 kω X X = Ω = Ω = 90 Ω 4

8 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver S 6 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione -- ) rifsre cos ϕ = 0 9 ll sezione -- jx jx jx Z & Z &, cosϕ = k, cosϕ = 0707, = 0 Ω, X = 5 Ω, = j Ω, = 80, f = 50Hz Z & isultto: ) & 6 k j45 kr ) = 94 µ F = S 7 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 0 ) vlutre il fttore di potenz del crico M ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione -- c) vlutre il fttore di potenz ll sezione -- jx c jx c jx c M = 0 Ω X = 00 kω = 4 k = 0 k isultto: ) cos ϕ = 080 ) & = 000 k j08 kr c) cosϕ = 089 M 5