TEORIA DEI CIRCUITI

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1 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Problem I Nel circuito in figur l interruttore viene chiuso ll istnte t = 0. Determinre l espressione dell corrente i (t) e rppresentrne grficmente l ndmento l vrire del tempo. Dti: V = 400 V, V = 00 V, I =3A, = 00 Ω, = 00 Ω, =50Ω,C =0nF, L =0.mH,L =0.mH. V I L L V C t=0 i (t) Problem II Con riferimento l circuito in figur, dire qule deve essere il rpporto di trsformzione n ffinché le resistenze e ssorbno l stess potenz. Determinre quindi il vlore dell cpcità C e del rpporto di trsformzione n per i quli il genertore risult dttto. Clcolre infine le potenze ttive e rettive ssorbite d,, L, L e C, in condizione di dttmento. Dti: ω =0 5 rd/s, V g = 00 V, g = 5 Ω, =0Ω, =kω,l =mh,l =0µH. g :n :n V g C L L

2 Soluzione problem I Prim di inizire risolvere il circuito è opportuno notre che l tensione sul condenstore C non può cmbire poiché esso è direttmente collegto in prllelo d un genertore di tensione. Anlogmente, l induttore L è ttrversto dll corrente I in qulunque istnte di tempo. Per questo motivo, questi due elementi (e nche l resistenz sono ininfluenti per l determinzione dell corrente i (t). Pertnto, i fini dell determinzione di i, il circuito può essere rppresentto come segue: V I i L (t) L V t=0 i (t) Si trtt quindi di un circuito del primo ordine Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi l induttore si comport come un cortocircuito. Il vlore delle correnti i e i L risult: i (0 )=0 i L (0 )=I (V V )/ =6A Immeditmente dopo l commutzione dell interruttore si h: i (0 )=i L (0 )=i L (0 )=6A Per t l induttore torn comportrsi come un cortocircuito. Indicndo con v l tensione i cpi di (V = i ), il vlore di i si ottiene dll soluzione dell equzione: i ( ) =I V V V = I V V i ( ) i ( ) = I (V V )/ / =A Spegnendo i genertore si vede che l induttore vede come resistenz collegt i suoi cpi l serie di e. L costnte di tempo risult quindi: L τ = = =0.67 µs 300 L espressione dell corrente i risult: 0 t 0 i (t) = 4e.5tµs A t>0 e il suo ndmento temporle è mostrto nei seguente grfico: 6 i [A] t [ms]

3 Soluzione problem II Sostituendo il secondo trsformtore e l resistenz di crico con il vlore di crico riflesso ll ingresso si ottiene: g :n V g C L L /n Y in Y Ovvimente l potenz ssorbit dl crico riflesso è coincide con quell ssorbit d. Pertnto, poiché e /n sono in prllelo, esse ssorbono l stess potenz se hnno ugule vlore: = /n n = / =0 All ingresso del primo trsformtore si h: ( Y = n ) n = n jωl e quindi ( ) jωl Y in = jωc Y = jωc n n = n j jωl jωl jωl Per relizzre l dttmento deve essere Y in =/ g d cui n = =0. C = g ω n L ω = 50 nf L ( ωc ) n ωl ωl In condizione di dttmento l tensione ll ingresso del primo trsformtore èpriv g /=50Ve quindi l tensione i cpi di risult n V g /=V g /0 = 0 V. Le potenze ttive ssorbite d e risultno: P = P = V g/0 = 0 0 =5W Le potenze rettive ssorbite dl C, L e L risultno: P C = ωc V g/ = = 3.5 kva P L = V g/ 50 = ωl 0 5 =6.5 kva 0 3 P L = V g/0 0 = ωl 0 5 =5kVA Il vlore di P L potev essere ottenuto pplicndo l legge di conservzione dell energi. Inftti, essendo il crico Y in visto dl genertore purmente rele, non vi è erogzione di potenz rettiv e deve quindi vlere P C P L P L =0

4 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov II prov in itinere.. 005/ Problem I Nel circuito in figur, il genertore di corrente funzion in regime sinusoidle ll pulszione ω. Dopo ver determinto il genertore equivlente di Thevenin i morsetti b, dire per qule vlore del crico tle genertore erog l mssim potenz ttiv e clcolre tle potenz. Dti: ω =0 6 rd/s, I 0 =0.5A,L =mh,l =0µH, C =nf,c = 00 nf, = 00 Ω, =0Ω. L C I 0 L C b 5 Problem II Dire qule elemento fr quelli proposti deve essere inserito nel blocco trtteggito del circuito in figur ffinché si poss relizzre l dttmento del genertore. Successivmente, si clcoli il vlore di tle elemento e il rpporto di trsformzione n che relizzno l dttmento. Infine, si clcolino le potenze ttive e rettive ssorbite o generte d tutti gli elementi del circuito. Dti: frequenz di funzionmento del genertore: f =50Hz,V eff = 0 V, g =0Ω, L = 00 Ω, X L = 00 Ω. g :n V eff jx L L L C L C b c d e f

5 Soluzione problem I Il circuito può essere schemtizzto come segue: II prov in itinere.. 005/ Z I 0 Z 5V 0 b dove: jωl jωc Z = jωl = jωc jωl = jωc Z = jωl ( = j ωl ) jωc ωc jωl ω L C = ( = j j = j Ω 0 9 ) = j0 Ω Pertnto il prllelo di L e C si comport come un circuito perto e l serie di L e C si comport come un corto circuito. Quindi il comportmento del circuito originle coincide con quello del seguente circuito: I 0 5V 0 b Trsformndo il genertore di corrente in un genertore di tensione si ottiene: I 0 5V 0 b Per il clcolo di V Th il circuito viene lscito perto e quindi nelle resistenze e non pss corrente. Di conseguenz si h = I 0 e quindi V Th =5 I 0 =6 I 0 = =60V Per il clcolo dell impedenz di Thevenin si spengono i genertori indipendenti e si introduce un genertore di prov (d esempio di corrente): 5V 0 V x b I x Si h quindi: Z Th = V x = I x I x 5 = I x I x 5 I x = 6 = 0 Ω I x I x I x L potenz mssim viene erogt qundo il crico ssume il vlore Z L = Z Th = 0 Ω e vle: P d = V Th 8 Th = =.045 W

6 II prov in itinere.. 005/ Soluzione problem II Dto che l impedenz del genertore è purmente rele, l dttmento potrà essere relizzto solo se l impedenz vist i morsetti d ingresso del trsformtore è nch ess purmente rele. Questo implic che il crico visto i morsetti d uscit del trsformtore debb essere purmente resistivo. Pertnto, l scelt più nturle consiste nell inserire un elemento rettivo in prllelo X L, con vlore di rettnz ugule e opposto. Poiché X L è negtiv, ess rppresent un crico di tipo cpcitivo e quindi si deve considerre un elemento induttivo, e cioé l elemento d. Il circuito risult quindi: g :n V eff V in eff L jx L L Z in Z Per cncellre l rettnz si deve imporre che l somm delle mmettenze dell induttore e del condenstore si nnulli: jωl =0 jx L d cui: Si h quindi L = X L ω = 00 π50 =0.3 H Z = L = 00 Ω Per ottenere l dttmento deve essere Z in = g n = Z in = Z n = L n L 00 = g 0 =4.47 In condizioni di dttmento si h V in eff = V eff / e quindi le potenze ssorbite dgli elementi del circuito sono: P g = V eff / =. kw Q g =0 g P L = nv eff / =. kw L Q g =0 P trsformtore =0 Q trsformtore =0 P jxl =0 Q jxl = nv eff / =.4 kva P induttore =0 Q induttore = Q jxl =.4 kva L potenz compless erogt dl genertore idele è l somm di tutte le potenze ssorbite. Pertnto, il genertore erog solo un potenz ttiv pri : X L P gen = P g P L =.4 kw

7 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Problem I Clcolre l potenz erogt o ssorbit d tutti gli elementi del circuito in figur. Dti: I = 5 ma, V b = 0 V, r = kω, = 3 kω, = kω, 3 = 8 kω, 4 = kω. I 4 / ri 4 3 I I 4 / I 4 4 V b Problem II Nel circuito in figur, il fsore, che rppresent l tensione vuoto del genertore, può essere considerto costnte l vrire dell pulszione ω. Determinre l espressione nlitic del rpporto fr l potenz ssorbit dll resistenz L e l potenz disponibile del genertore (P L (ω)/p d ). Trccire qulittivmente l ndmento di tle funzione e dire per qule vlore di ω il crico ssorbe un potenz pri ll metà dell potenz disponibile. Dti: L = g = kω, L = mh, C = nf. g C L L genertore

8 Soluzione problem I Introducendo l nomencltur mostrt in figur e pplicndo l KCL l nodo 5 si h: I I 4 / = I 4 I 4 = I = 0 ma Si deduce quindi: I b = 0 ma I c = 5 ma I e = 5 ma I = I e = 5 ma I d = I e = 5 ma I 3 = I I 4 = 5 ma I = I = 5 ma I I V V d =ri 4 I e =I 4 / I V V c 5 I d V e I c =I 4 / V 3 I b V b V V 4 I 4 I 4 4 Inoltre: V d = ri 4 = 0 V V 3 = 3 I 3 = 40 V V = I = 5 V V 4 = 4 I 4 = 0 V V c = V 4 V 3 V b = 50 V V e = V V 3 V d = 45 V V = I = 0 V V = V c V = 60 V Le potenze ssorbite dlle resistenze sono: P = I = (5 0 3 ) = 75 mw P = I = 0 3 ( ) = 50 mw P 3 = 3 I 3 = ( ) = 00 mw P 4 = 4 I 4 = 0 3 (0 0 3 ) = 00 mw Tenendo conto del ftto che sui genertori le tensioni e le correnti sono definite in modo opposto rispetto ll convenzione degli utilizztori, le potenze dei genertori risultno: P = V I = = 300 mw (erogt) P b = V b I b = = 00 mw (erogt) P c = V c I c = = 50 mw (erogt) P d = V d I d = = 00 mw (erogt) P e = V e I e = ( 45) = 5 mw (ssorbit) Come tteso, l somm delle potenze è complessivmente null, cioé l potenz complessivmente ssorbit è pri quell erogt.

9 Soluzione problem II L potenz disponibile del genertore è P d = /(8 g ) e quell ssorbit d L è P L = V L /( L ). Pertnto, tenendo conto del ftto che g = L =, si ottiene P L = V L / = 4 V L g P d L 8 g = 4 V L L Introducendo le quntità indicte nell seguente figur C V in L V L si h: Z in = Z in jωl( /jωc) jωl /jωc Applicndo le regole del prtitore di tensione, si ottiene: = jωl(jωc ) ω LC jωc V L = = /jωc V in = jωc jωc jωc jωc Z in Z in = jωc jωc jωl(jωc ) ( ω LC jωc) jωl(jωc ) = jωl(jωc) ω LCjωC jωl(jωc) ω LCjωC ω LC ω LC jω(c L/) = 0 ω [rd/s] 0 ω [rd/s] j 0 6 ω [rd/s] = ω [Mrd/s] ω [Mrd/s] jω [Mrd/s] Dove ω [Mrd/s] indic l pulszione in megrdinti per secondo. In conclusione: P L ω [Mrd/s] 4ω[Mrd/s] 4 = 4 P d ω[mrd/s] jω = [Mrd/s] 4ω[Mrd/s] 4ω4 [Mrd/s] 4ω [Mrd/s] = /4ω[Mrd/s] 4 L funzione di trsferimento dell potenz si nnull per ω = 0 e tende per ω. L potenz erogt l crico L è l metà dell potenz disponibile qundo: /4ω 4 [Mrd/s] L ndmento dell funzione risult: = ω = 4 /4 = Mrd/s P L /P d w [Mrd/s]

10 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Problem I I due interruttori indicti nel circuito in figur si prono contempornemente ll istnte t = 0. Determinre per ogni istnte di tempo l espressione dell corrente i L (t) e dell tensione v 3 (t) e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: I 0 = ma, = = 00 Ω, 3 = 00 Ω, L = 0.8 mh, C = C =4µF. i L (t) L C I 0 3 v 3 (t) t=0 t=0 C Problem II I due genertori indipendenti indicti nel circuito in figur funzionno in regime sinusoidle, entrmbi ll pulszione ω =0 5 rd/s. Determinre il circuito equivlente di Thevenin i morsetti b. Dire per qule vlore del crico il genertore equivlente erog l mssim potenz ttiv e clcolre tle potenz. Dti: I 0 = 300 ma, =0V, = 400 Ω, C =0. µf, L =mh. L C I 0 I V / V I b

11 Soluzione problem I Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi l induttore si comport come un cortocircuito e i condenstori come circuiti perti. Per il clcolo delle tensioni e delle correnti si f riferimento l circuito in figur: i L (0 - ) v (0 - ) I 0 3 v 3 (0 - ) v (0 - ) Poiché, e 3 risultno in prllelo, l tensione sull resistenz 3 risult: ( v 3 (0 )=I 0 ) ( = ) = = 0. V 00 Inoltre si h: v (0 )=v 3 (0 )=0. V v (0 )=0 Infine: i L (0 )=V 3 / =0.5 ma Immeditmente dopo l commutzione dell interruttore il circuito divent: C i L (t) L v (t) I 0 3 v 3 (t) v (t) C si h: i L (0 )=i L (0 )=0.5 ma v 3 (0 )=v (0 )v (0 )=v (0 )v (0 )=0. V Per t l induttore torn comportrsi come un cortocircuito e i condenstori come circuiti perti. Poiché l nello contenente l induttore è isolto dl resto del circuito, si vrà: i L ( ) =0 τ L = L = =µs 400 Inoltre, dto che i due condenstori risultno in serie (C eq = C C /(C C )=µf, si ottiene: v 3 ( ) = 3 I 0 = =0. V τ C = 3 C eq = =0. ms Spegnendo i genertore si vede che l induttore vede come resistenz collegt i suoi cpi l serie di e. L costnte di tempo risult quindi: τ = L = =0.67 µs 300

12 L espressione dell corrente i L risult: 0.5 ma t 0 i L (t) = 0.5e 0.5tµs ma t>0 e quell dell tensione v 3 è: 0. V t 0 v 3 (t) = 0. 0.e 5tms V t>0 I loro ndmenti temporli sono mostrti nei seguenti grfici: 0.5 i L [ma] 0. v 3 [V] t [ms] t [ms]

13 Soluzione problem II Per il clcolo di V Th si consider il circuito vuoto. Di conseguenz, nel rmo contenente l induttore e il condenstore non pss correte e quindi l cdut di tensione è null. Si h quindi: V Th = V V /= V / D ltr prte, fcendo il bilncio di corrente (KCL) l nodo che colleg i due genertori comndti, si ottiene: I I I 0 =0 I = I 0 /= 50 ma Poiché V = I = -60 V, si h: V Th =0 ( 60)/ =40V Per il clcolo dell impedenz intern del genertore equivlente si spengono i genertori indipendenti e, poiché nel circuito sono presenti genertori dipendenti, si colleg i morsetti b un genertore di prov, come mostrto in figur, e si clcol Z Th = V x /I x. L C I V V / I Z V x I x b L impedenz Z è dt d: Si h: Z = jωl j ωc = j ( ) = j00 00 = j00 Ω V x = ZI x V V /=ZI x V / D ltr prte I I I x =0 I = I x / e quindi V = I = I x /, d cui: V x = ZI x I x /4 Si h quindi: Z Th = V x /I x = Z /4 = 00 j00 Ω L potenz disponibile del genertore è: P d = V Th = 40 8 Th 8 00 =W e viene erogt qundo il crico ssume il vlore: Z L = Z Th = 00 j00 Ω

14 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Problem I I due interruttori indicti nel circuito in figur si chiudono contempornemente ll istnte t = 0. Determinre per ogni istnte di tempo l espressione dell tensione v C (t) e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: I 0 = 5 ma, =V, = 400 Ω, =50Ω, 3 = 500 Ω, C =4nF. t=0 I 0 C v C (t) t=0 3 Problem II Spendo che il genertore indipendente di corrente indicto nel circuito in figur funzion in regime stzionrio, determinre il circuito equivlente di Thevenin i morsetti b. Nell ipotesi che un condenstore di cpcità C = 5 pf veng collegto i morsetti b, dire quli sono regime l energi d esso immgzzint e l cric ccumult sulle sue rmture. Dti: I 0 =3A, = 00 Ω, = 00 Ω, α =50Ω,β =40mS. bv I 0 I V I b

15 Soluzione problem I Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi il condenstore si comport come un circuito perto. Per il clcolo dell tensione sul condenstore il circuito si riduce : v I 0 v C (t) 3 Nelle resistenze e 3 non pss corrente e quindi si h: v C (0 )=v = I 0 = =V Immeditmente dopo l commutzione dell interruttore il circuito divent: I 0 C v C (t) 3 Si noti che l resistenz è stt elimint perché viene cortocircuitt con l chiusur dell interruttore di sinistr. Per t il condenstore torn comportrsi come un circuito perto. Di conseguenz, nell resistenz 3 non fluisce corrente e l tensione sul condenstore diviene ugule quell del genertore di tensione: v C ( ) = =V Per il clcolo dell resistenz equivlente collegt l condenstore si devono spengere i due genertori, sostituendo quello di corrente con un circuito perto e quello di tensione con un cortocircuito. In questo modo l resistenz risult cortocircuitt e quindi il condenstore risult collegto ll resistenz 3. Si h perciò τ = 3 C = =µs L espressione dell tensione v C risult: V t 0 v C (t) = e tµs/ V t>0 e il suo ndmento temporle è mostrto nel seguente grfico: v C [V] 4 6 t [ms]

16 Soluzione problem II Per il clcolo di V Th si consider il circuito con i morsetti b vuoto. Di conseguenz, sull resistenz non fluisce corrente e quindi si h: V Th = V D ltr prte, fcendo il bilncio di corrente (KCL) l nodo si ottiene: V I 0 βv =0 V = I 0 β = = 00 V e quindi: V Th = 00 V Per il clcolo dell resistenz intern del genertore equivlente si spegne il genertore indipendente di corrente e, poiché nel circuito sono presenti genertori dipendenti, si colleg i morsetti b un genertore di prov, come mostrto nell figur seguente e si clcol Th = V x /I x. bv I V V x I x I b Poiché I = I x si h: V x = V I x αi x D ltr prte, fcendo un bilncio di corrente l morsetto si ottiene: V βv I x =0 V = I x β e quindi V x = I x β I x αi x d cui: Th = V x = I x β 00 α = = 6.7 Ω L energi immgzzint regime dl condenstore risult: e l cric immgzzint sulle sue rmture è: w = CV Th = 5 0 ( 00) =5nJ Q = CV =5 0 ( 00) = 0.5 nc

17 Lure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov I prov in itinere.. 006/ Problem I Con riferimento l circuito in figur, determinre il circuito equivlente di Thevenin dell prte indict nel riqudro e delimitt di morsetti b. Successivmente, clcolre l potenz ssorbit dll resistenz e l energi immgzzint nel condenstore C e nell induttore L. Dti: I 0 =ma,i =6mA,I = ma, V =4V,V =V, = 700 Ω, = 300 Ω, g =ms, = 500 Ω, L =0.µH, C =5pF. V I I 0 gv x V x C L V I b Problem II Nell istnte t = 0 l interruttore indicto nel circuito in figur viene commutto dll posizione A ll posizione B. Successivmente, dopo un tempo T = µs esso viene riportto nell posizione A. Determinre per ogni istnte di tempo l espressione dell tensione v(t) e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: = 00 V, = = 00 Ω, C =0nF,C =5nF. t=0 A v(t) B C C

18 I prov in itinere.. 006/ Soluzione problem I Per il clcolo di V Th si consider il circuito con i morsetti b vuoto (figur lto). Fcendo il bilncio di corrente (KCL) l supernodo rppresentto in figur, tenendo conto del ftto che dl morsetto non esce corrente, si ottiene: I 0 = gv x = gv Th I 0 gv x V x V Th d cui V Th = I 0 /g =V b V Per il clcolo dell resistenz intern del genertore equivlente I si spengono i genertori (sostituendo quelli di tensione un cortocircuito e quelli di corrente un circuito perto). Poiché nel circuito è presente un genertore dipendente, si colleg i morsetti b un genertore di prov, come mostrto nell figur seguente, e si clcol Th = V x /I x. V I I x gv x V x b V x Poiché in e non può pssre corrente, fcendo il bilncio di corrente l nodo si ottiene: I x = gv x d cui: Th = V x = I x g = 000 Ω Il circuito equivlente per il clcolo dell potenz ssorbit e dell energi immgzzint risult: Th V Th v C i L b L tensione su coincide con v C e l corrente sull induttore coincide con l corrente che ttrvers : v C = Th V Th =0.67 V i L = V C =.34 ma L potenz ssorbit d è: P = V C = 0.67 =0.9 mw 500 e le energie immgzzinte risultno: w C = Cv C = 5 0 (0.67) =. pj w L = Li L = ( ) =0.8 pj

19 I prov in itinere.. 006/ Soluzione problem II Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi il condenstore si comport come un circuito perto e l induttore come un cortocircuito (v. figur lto). Si h che: v(0 )=v (0 )= = =50V E nche utile notre che v (0 )=0. Immeditmente dopo l commutzione dell interruttore dll posizione A ll posizione B, il circuito si sepr in due circuiti C, uno forzto ( sinistr nell figur seguente) e uno utonomo ( destr). Fino l tempo T, l rispost del circuito evolve come nei normli circuiti C. Si h: v(0 - V ) 0 v (0 - ) v(t) C C v (t) v (0 - ) v (t) v(0 )=v (0 )=v (0 )=0 v( ) =v ( ) = = 00 V τ = C = =µs d cui v(t) = 00( e tµs )<t< µs con v(t ) = 00( e )=63. V. E nche utile notre che v (0 )=v (0 )=50V v ( ) =0 τ = C = =0.5 µs e quindi v (t) =50e tµs <t< µs Qundo, ll istnte T, l interruttore ritorn nell posizione inizile, il circuito d considerre èdinuovo quello riportto di seguito. Si h: v(t )=v (T )=v (0 )=50e =6.8 V v( ) =v ( ) =v (0 )=50V τ 3 =( // )C = =0.5 µs e quindi v(t) C C v (t) v (t) v(t) =50(6.8 50) e 4(tµs ) V t> µs L espressione complet dell tensione v risult pertnto: 50 V t 0 v C (t) = 00 ( e tµs )<t< µs e 4(tµs ) )V t> µs e il suo ndmento temporle è mostrto nel seguente grfico: v [V] 6.8 v 3 t [ms]