Laurea di I livello in Ingegneria Informatica

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1 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Prolem I Tutti i genertori nel circuito in figur funzionno in regime stzionrio. Nell istnte t = 0 l interruttore viene chiuso. Determinre, per ogni istnte di tempo, l espressione dell tensione v C sul condenstore e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: V 1 = 100 V, I 1 =3A,I =A, = = 100 Ω, 3 =50Ω, 4 = 00 Ω, C = 00 μf. I 1 I V 1 1 t=0 C v C (t) 3 4 Prolem II Nel circuito in figur, il genertore indipendente di tensione funzion in regime sinusoidle ll pulszione ω. Dopo ver determinto il genertore equivlente di Thevenin i morsetti, clcolre l potenz ttiv erogt d un un crico di vlore Z = 100 j00 Ω. Dti: ω = 100 rd/s, V 0 =5V, = 100 Ω, =50Ω, =1H,C 1 =0.1mF,C =0.mF, n =3,α = 0.5, g =0.1. gv C 1 V 1:n C V 0 V

2 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem I Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi il condenstore C si comport come un circuito perto. tensione i suoi cpi coincide con quell sull resistenz 3 e, essendo l interruttore perto, in 3 fluisce solo l corrente I. Pertnto si h: v (0 )= 3 I =50 = 100 V Nell istnte immeditmente successivo ll commutzione dell interruttore d il vlore dell tensione su C non può cmire e si h: v (0 )=v (0 ) = 100 V Per t il condenstore C torn comportrsi come un circuito perto. In questo cso, essendo chiuso l interruttore, in 3 fluisce un corrente che è l somm di I 1 e I esih: v ( ) = 3 (I 1 I )=50 (3 ) = 50 V resistenz equivlente vist i cpi di C durnte il trnsitorio coincide con 3, dto che qundo i due genertori di corrente vengono spenti si comportno d circuiti perti e disconnettono tutti gli ltri elementi dl condenstore. Pertnto l costnte di tempo del trnsitorio risult: τ = 3 C = =10ms ndmento dell tensione v risult quindi: v (0 ) = 100 V per t<0 v (t) = v ( )(v (0 ) v ( ))e t/τ = e 0.1t [ms] V per t>0 ndmento temporle di v (t) è mostrto nel seguente grfico: v [V] t [ms]

3 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem II tensione di Thevenin si clcol lscindo i morsetti vuotoesihv Th = V. Considerndo il ftto che il morsetto è vuoto, e che quindi l corrente sugli elementi e C ènullesudiessi l cdut di potenzile è pure null, ricordndo il legme fr tensione sul primrio e sul secondrio del trsformtore, si ottiene: V = V 0 nαv V Th = V = V 0 1 nα = V = V =4V 0 =0V Per il clcolo dell impedenz equivlente si spegne il genertore indipendente di tensione e si colleg i morsetti un genertore di prov, come mostrto nel seguente circuito: gv x C 1 V x 1:n C I x V x Applicndo l KV ll mgli d uscit si ottiene: V x nαv x 1/(jωC ) = I x impedenz del genertore equivlente di Thevenin risult: Z Th = V x = ( 1/(jωC ) =4 1 ) 4 =4 50 j = 00 j00 Ω I x 1 nα jωc potenz ttiv erogt l crico Z risult: P = V I } V V } e = e (Z g Z ) = V } 1 e Zg Z = } 0 e 1 = j j = 3 W=0.67 W

4 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov II prov in itinere.. 007/ Prolem I Con riferimento l circuito in figur, determinre l tensione v (t) e clcolre l espressione dell potenz istntne ssorit dll resistenz. Dti: i 0 =1A,i 1 =cosωt A, v 1 = 100 cos(ωtπ/) V, ω =10 4 rd/s, = 100 Ω, =10mH, C =1μF. i 0 i 1 v C v 1 Prolem II Con riferimento l circuito in figur, determinre il rpporto di trsformzione n e il vlore dell rettnz X ffinché il genertore eroghi l mssim potenz disponiile l crico Z. Dti: V 0 = 100 V, Z g =10j10 Ω, Z = 1000 j1000 Ω. genertore V 0 Z g jx 1:n Z Prolem III Dire qule elemento (cpcitivo o induttivo) si deve collegre i morsetti del crico in figur per ottenere il rifsmento completo. Dimensionre tle elemento, spendo che il crico è limentto ll frequenz f. Dti: f =50Hz,V eff =10kV,P 1 = 10 kw, pf 1 =0.8,P = 3.75 kw, pf =0.6. P V 1 pf 1 eff induttivo crico P pf cpcitivo Prolem IV Considerndo i quttro circuiti in figur, dire qule tipo di funzione di trsferimento V o /V i relizzno l vrire dell frequenz (pss sso, pss lto, pss nd, rrest nd). V i V o V i V o V i V o V i V o c d

5 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) II prov in itinere.. 007/ Soluzione prolem I Poiché i genertori non funzionno ll stess frequenz, pplichimo l sovrpposizione degli effetti considerndo dpprim il solo genertore di corrente in regime stzionrio (i 0 ) e successivmente i due genertori ll pulszione ω (i 1 e v 1 ). Cso Poiché i 0 è in regime stzionrio, il circuito d considerre è in seguente: i 0 () v E evidente che v () =0 Cso Considerndo gli ltri due genertori e pssndo l dominio dei fsori, il circuito divent: I 1 () V jx jx C V 1 con I 1 =A,V 1 = 100 e jπ/ = j100 V, X C = 1 metodo di nlisi nodle, si h ωc = j100 Ω, X = ω = j100 Ω. Applicndo il I 1 V() V() V() V 1 =0 V () jx jx = I 1 V 1 /(jx C ) 1 C 1 jx 1 jx C = 100 V d cui v () (t) = 100 cos ωt In conclusione si h v (t) =v () potenz istntne ssorit d è: p (t) = v (t) (t)v() (t) = 100 cos ωt = 100 cos ωt Soluzione prolem II icordndo che l impedenz vist i morsetti del primrio del trsformtore è Z /n, l condizione di mssim erogzione di potenz risult: d cui n = jx Z n = Z g e(z ) n = e(z g ) X Im(Z ) n = Im(Z g ) e(z ) 1000 e(z g ) = 10 =10 X = Im(Z ) n Im(Z g )= = 0 Ω 100

6 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) II prov in itinere.. 007/ Soluzione prolem III e potenze complesse ssorite di due elementi che costituiscono il crico sono: 1 pf S 1 = P 1 jq 1 = P 1 jp 1 = P 1 jp 1 =10j7.5 kva pf pf S = P jq = P jp = P jp =3.75 j5 kva pf 0.6 Indict con Q X l potenz rettiv dell elemento d collegre i morsetti, si deve vere che l potenz compless totle ssorit dl crico e dl suddetto elemento si rele, e cioé: S tot = P 1 jq 1 P jq Q X = P 1 P d cui Q X = Q 1 Q = 7.55=.5 kva Poiché l potenz rettiv è negtiv, l elemento d ggiungere è un condenstore, l cui cpcità deve essere: C = Q X ω V eff = 500 =79.6 nf π Soluzione prolem IV Cso Perω = 0 il condenstore è equivlente d un circuito perto e quindi l tensione in uscit è null. Per ω il condenstore si comport come un corto circuito e l induttnz come un circuito perto e quindi V o = V i. Pertnto si trtt di un circuito pss lto. Cso Perω = 0 il condenstore è equivlente d un circuito perto e quindi l tensione in uscit è un frzione di quell in ingresso. Per ω il condenstore si comport come un corto circuito e l tensione in uscit si nnull. Pertnto si trtt di un circuito pss sso. Cso c Perω = 0 il condenstore è equivlente d un circuito perto e quindi l tensione in uscit è null. Per ω è l induttore comportrsi come un circuito perto e quindi l tensione in uscit è ncor null. All frequenz per l qule vle Z serie = jω 1 jωc =0 ecioèperω =1/ C, i due elementi rettivi in serie si comportno come un corto circuito e si h V o = V i. Pertnto si trtt di un circuito pss nd. Cso d Perω = 0 l induttore si comport come un cortocircuito e si h V o = V i. Per ω èil condenstore comportrsi come un corto circuito e si h ncor V o = V i. All frequenz per l qule vle Y prllelo = jωc 1 jω =0 ecioèperω =1/ C, i due elementi rettivi in prllelo mostrno un mmettenz null e quindi si comportno come un circuito perto e l tensione in uscit si nnull. Pertnto si trtt di un circuito rrest nd.

7 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Prolem I Prim dell istnte t = 0 l interruttore mostrto nel circuito in figur colleg il condenstore i due morsetti. Nell istnte t = 0, esso viene commutto nell posizione e, infine, nell istnte t = T viene portto nell posizione finle cc. Considerndo che tutti i genertori funzionno in regime stzionrio, determinre l espressione dell tensione v C (t) per ogni istnte di tempo e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: I =4A,I =5A,V 1 =0V,V = 30 V, =10Ω, =0Ω, =10Ω, =40Ω, C =3mF,T = 10 ms. c c I I C v C (t) V 1 V Prolem II I genertori indipendenti di corrente mostrti nel circuito in figur funzionno in regime sinusoidle ll pulszione ω. Dopo ver determinto il genertore equivlente di Thevenin i morsetti, clcolre l mpiezz dell tensione i cpi di un crico induttivo di vlore, se questo viene collegto d. Dti: ω =10 6 rd/s, I 0 =A, = 100 Ω, =50Ω,C 1 =μf, C =1μF, n = 10, α =, =0.mH. I 1 I 1 C 1 C 1:n I 0 I 0

8 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem I Prim dell istnte t = 0 il circuito è in regime stzionrio e quindi il condenstore C si comport come un circuito perto. tensione i suoi cpi si clcol considerndo il seguente circuito I v C (t) V 1 Applicndo l sovrpposizione degli effetti si ottiene: v C (0 )= I V 1 = ( I V 1 )= 10 (10 4 0) = 30 V Nell istnte immeditmente successivo ll commutzione dell interruttore d il vlore dell tensione su C non può cmire e si h: v C (0 )=v C (0 )=30V Immginndo che quest situzione permng per un tempo infinito, il circuito d considerre sree identico quello in figur, ptto di sostituire I,, V e l posto di I,, V 1 e. Si otterree pertnto v C( ) = I V = ( I V )= 0 ( ) = 10 V 0 40 Durnte il trnsitorio che vviene nel periodo 0 <t<t, l resistenz equivlente vist i cpi di C coincide con il prllelo tr e. Pertnto l costnte di tempo del trnsitorio risult: τ = 0 40 C = =40ms ndmento dell tensione per 0 <t<t risult quindi: v C (t) =v C( )(v C (0 ) v C( ))e t/τ = e 5t [s] V Poiché τ>t, l successiv commutzione dell interruttore vviene prim che il trnsitorio si si esurito e quindi si vrà v C (T )= e =1.15 V e d quel momento l tensione non cmierà più poiché il condenstore rimne isolto. ndmento complessivo dell tensione v C risult quindi: 30 V per t<0 v C (t) = e 5t [s] V per 0 <t<10 ms 1.15 V per t>10 ms ndmento temporle di v (t) è mostrto nel seguente grfico: 30 v C [V] t [ms]

9 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem II Per il clcolo dell tensione di Thevenin si consider il circuito di figur. I 1 I 1 I 1 jx 1 I 1 1 jx 1 1:n 1:n I C I in I out I I C in I x I 0 I 0 jx V in V Th jx V in dove X 1 = 1 1 = ωc = Ω X = 1 1 = ωc 10 6 = 1 Ω 10 6 Per le proprietà del trsformtore idele si h V x V Th = nv in = njx I C Inoltre, poiché il morsetto è vuoto, si h nche I in = ni out = 0. Applicndo l KC l nodo indicto dl trtteggio si ottiene: I 0 I 0 I C I in =0 I C = I 0 d cui V Th = njx I 0 =10j( 1) = j0 V impedenz del genertore equivlente si ottiene spegnendo i genertori indipendenti. Dto che nel circuito è presente un genertore dipendente, è necessrio collegre un genertore esterno di prov (V x in figur ) esihz Th = V x /I x. prte di circuito indict dl trtteggio è completmente ininfluente perché costituisce un mgli pert. Pertnto l corrente I in fluisce tutt nel crico jx (I C = I in ). Si h quindi V x = nv in = njx ( I in )=njx (ni x )=jn X I x d cui Z Th = V x = jn X = j100 Ω I x Considerndo il crico induttivo collegto i morsetti del genertore equivlente si h: jn X V Th dove X = ω = = 00 Ω. mpiezz dell tensione i cpi dell induttnz risult: V = jx jx jn V Th X = X 00 X n V Th = X V Th = V Th =40V V jx

10 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Prolem I Con riferimento l circuito in figur in cui tutti i genertori funzionno in regime stzionrio, l interruttore T1 si pre ll istnte t = 0 e l interruttore T si chiude ll istnte t = T, determinre l espressione dell corrente i (t) per ogni istnte di tempo e rppresentrne grficmente l ndmento temporle. Dti: I 0 =A,V 0 =50V, =50Ω, =50Ω, =1mH,T =10μs. i (t) I 0 V 1 T1 t=0 T t=t 0 Prolem II I genertori di tensione nel circuito in figur funzionno in regime sinusoidle ll pulszione ω. Dopo ver determinto il genertore equivlente di Thevenin i morsetti, clcolre l mpiezz dell tensione i cpi di un crico cpcitivo di vlore C, se questo viene collegto i morsetti. Dti: ω =10 8 rd/s, V 1 =10V,V =40V, = 100 Ω, = 500 Ω, =1μH, C =0.1nF, g 1 =10 3, g = g 1 V V V 1 g V V

11 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov Prolem I Con riferimento l circuito in figur in cui tutti i genertori funzionno in regime stzionrio, clcolre l energi immgzzint nell induttore e nei due condenstori e le potenze ssorite dlle due resistenze. Dti: I 0 =A,V 1 =50V,V =10V, =50Ω, =50Ω,C 1 =0.5nF,C =50pF, =10μH. C 1 I 0 V 1 V C Prolem II I due genertori indicti nel circuito in figur funzionno in regime sinusoidle ll pulszione ω. Determinre il vlore ω 0 dell pulszione ω per cui l tensione V 1 si nnull. Clcolre quindi l potenz ttiv e rettiv ssorit o erogt ll pulszione ω 0 d tutti gli elementi del circuito. Dti: I 0 = j 1A,V 0 = 100 V, = 100 Ω, = 500 Ω, =1μH, C =0.1nF. C I 0 V 0 V 1

12 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem I Poiché in regime stzionrio i condenstori si comportno come circuiti perti e gli induttori come corto circuiti, il circuito dto può essere semplificto come mostrto nell seguente figur: v C1 i I 0 V 1 V v C Dll figur si vede immeditmente che i = I 0 = A v C = V 1 = 50 V Inoltre, pplicndo l KV ll mgli che include i due genertori di tensione e l resistenz si h energi immgzzint nell induttore è v C1 = V 1 V i = = 140 V mentre quell immgzzint nei condenstori è w = 1 i = = 0 µj w C1 = 1 C 1 v C1 = = 4.9 µj w C = 1 C i C = = 6.5 nj Poiché su fluisce l corrente i e è sottopost d un tensione pri V, le potenze ssorite dlle resistenze sono P 1 = i = 50 = 00 W P = V / = 10 /50 = W

13 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) Soluzione prolem II pulszione ω 0 per l qule V 1 si nnull si ottiene imponendo che l impedenz costituit dll serie dell induttore e del condenstore si null, cioè 1 jω 0 j ω 0 C = 0 ω 0 = 1 1 = C = = 100 Mrd/s All pulszione ω 0 le resistenze e sono entrme sottoposte ll tensione V 0. Pertnto esse ssorono le potenze complesse S 1 = V 0 = = 50 VA S = V 0 = 100 = 10 VA 500 Ovvimente, trttndosi di resistenze le potenze sono reli. Con riferimento ll seguente figur I Z C I 0 I 4 V 0 I 1 V 1 Z l corrente che percorre Z C = j/(ω 0 C) = j/( ) = j100 Ω e Z = Z C = j100 Ω è I = V 0 / = 100/500 = 0. A e quindi le potenze complesse ssorite d Z C e Z sono S ZC = Z C I = j = j VA S Z = Z I = S ZC = j VA Come er logico ttendersi, tli potenze sono immginrie pure e l un l opposto dell ltr poiché i due elementi sono risonnti. Utilizzndo l convenzione degli utilizztori, l potenz del genertore di corrente è S I0 = V 0I 0 corrente che fluisce nel genertore di tensione è 100 j1 = = j50 VA I 4 = I 1 I I 0 = V 0 / I I 0 = 100/ j1 = 1. j1 A e quindi, con l convenzione degli utilizztori, l potenz del genertore di tensione è S V0 = V 0I (1. j1) = = 60 j50 VA Il segno negtivo dell prte rele indic che questo genertore erog l potenz ttiv ssorit dlle resistenze. Si può fcilmente verificre che l legge di conservzione dell energi è rispettt, poiché vle S V0 S I0 S ZC S Z S 1 S = 60 j50 j50 j j = 0

14 ure di I livello in Ingegneri Informtic Sede di Mntov I prov in itinere.. 008/ Prolem I Il genertore di corrente indicto nel circuito in figur funzion in regime stzionrio. Dopo ver determinto v 1, v, clcolre l energi immgzzint nei condenstori e l cric sulle loro rmture. Dti: I 0 =A, =40Ω, =0Ω, 3 = 100 Ω, 4 = 150 Ω, C 1 =5nF,C = 100 nf. v 1 C 1 3 v C 4 I 0 Prolem II Con riferimento l circuito in figur, determinre il genertore equivlente di Thevenin i morsetti. Dti: V 0 =0V, =50Ω, = 00 Ω, α =. i V i 0 Prolem III Con riferimento l circuito in figur, determinre il vlore dell corrente i prim dell chiusur dell interruttore (t <0) e regime, dopo che l interruttore è stto chiuso (t ). Dti: V 0 = 300 V, = 100 Ω, = 3 = 00 Ω, =5μH. i t=0 V 0 3 Prolem IV Di qunto si riduce l potenz erogt rispetto ll potenz disponiile, se d un genertore equivlente di Thevenin si colleg un crico = Th?

15 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) I prov in itinere.. 008/ Soluzione prolem I In regime stzionrio, i condenstori si comportno come circuiti perti si h: i 1 i v 1 i 3 i 4 3 v 4 I 0 e sono in serie e possono essere sostituite dll resistenz equivlente eq = =60Ω,che su volt si trov in prllelo con 3 e 4. Pertnto, pplicndo l regol del prtitore di corrente, si ottiene: i 1 = i = 1/ eq 1/ eq 1/ 3 1/ 4 I 0 = 1/60 1/60 1/100 1/150 =1A 1/ 3 1/100 i 3 = I 0 = 1/ eq 1/ 3 1/ 4 1/60 1/100 1/150 =0.6 A d cui v 1 = i =40 1=40V v = 3 i 3 = =60V Pertnto le energie immgzzinte nei condenstori sono: w C1 = 1 C 1 v 1 = =0μJ w C = 1 C v = = 180 μj e le criche sulle rmture risultno: Q 1 = C 1 v 1 = = 1 μc Q = C v = = 6 μc Soluzione prolem II Poiché qundo i terminli e vengono lsciti perti l corrente i è null (e, di conseguenz, lo è nche αi), nelle resistenze non circol lcun corrente e quindi l tensione su di esse è zero. pertnto si h: V Th = V 0 =0V Per il clcolo dell resistenz intern si spegne il genertore indipendente di tensione V 0 (mettendolo in corto circuito) e, poiché nel circuito presente un genertore dipendente, si ggiunge un genertore esterno (d esempio di corrente): i i 1 i V X I X Si h: V X = i i 1 = i (αi i) =[ (α 1)]i Notndo che i = I X l resistenz di Thevenin risult: Th = V X I X = [ (α 1)]I X I X = (α 1) = 00 50( 1) = 150 Ω

16 ure di I livello in Ingegneri Informtic (Sede di Mntov) I prov in itinere.. 008/ Soluzione prolem III Per t < 0epert il circuito può essere ridisegnto come segue: i (0 - ) i ( ) 8 V 0 V 0 3 t < 0 t 8 isult evidente che i (0 V )= = =1A Per t risult in prllelo d 3 e l resistenz equivlente risult eq = 3 /( 3) = 100 Ω. Si h quindi: i ( ) = V = eq =1.5 A Soluzione prolem IV situzione è rppresentt dl circuito in figur: V Th Th V potenz disponiile viene erogt qundo l genertore si colleg un crico di vlore = Th. In questo cso si h: P d = V Th 4 Th In generle si h: e l potenz ssorit dl crico risult: Se = Th si ottiene: P = V = Th V Th P = V = ( Th ) V Th Th (3 Th ) V Th = V Th 9 Th = 8 9 V Th 4 Th = 8 9 P d 0.89 P d In conclusione, rddoppindo l resistenz di crico rispetto quell di dttmento, l potenz si riduce dell 11%.