Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica

Transcript

1 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI II prova in itinere Problema I Nel circuito indicato in figura si ha v 1 = 10 cos (1000 t sec ) V Determinare l analoga espressione che rappresenta la tensione v 2. Dire inoltre, quanto vale v 2 nei casi limite ω =0eω =. 50 Ω 1 µf v 1 50 mh 50 mh 50 Ω v 2 Problema II Nel circuito indicato in figura, la potenza trasmessa al carico può essere massimizzata scegliendo opportunamente il valore del rapporto di trasformazione del trasformatore e il valore della capacità C. Determinare tali valori e dire quanto valgono a) la potenza trasmessa al carico; b) il valore efficace della tensione ai suoi capi. generatore trasformatore 1 Ω 10 Veff f = 1 khz C L 1 = 20 mh 50 Ω

2

3

4 Corso di Teoria dei Circuiti (MN) a.a Esame del 10 Febbraio 2003 Problema I Siano i 1 e i 2 i valori della corrente che attraversa l induttore in condizioni stazionarie, con l interruttore T aperto e chiuso, rispettivamente. Determinati tali valori, studiare l andamento temporale della corrente i, nell ipotesi che l interruttore T venga chiuso all istante t = 0 (mentre la corrente i ha il valore stazionario i 1 ) e riaperto dopo 10 costanti di tempo del transitorio di chiusura (quando la corrente i ha praticamente raggiunto il valore stazionario i 2 ). Determinare le costanti di tempo dei transitori di chiusura e apertura e rappresentare in un grafico l andamento di i al variare del tempo. 45 W T 20 V 5 mh i Problema II Nel circuito indicato in figura si ha v = 100 cos(1000 t sec ) [V] Determinare le analoghe espressioni di i 1 e i 2. 1 kw v i1 1 kw 1 H 1 kw i2 1 mf 1 kw

5 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Esame del Soluzione Problema I In condizioni stazionarie l induttore si comporta come un corto circuito e i circuiti da considerare per il calcolo delle correnti i 1 e i 2 sono mostrati in Fig. a e b, rispettivamente. v 1 45 W 20 V 20 V i 1 i 2 a b Nel caso del circuito di Fig. a si ha: v 1 = V=9V i 1 = 9 45 A=0.2 A Per il circuito di Fig. b si ottiene immediatamente i 2 = A=2A Quando l interruttore si chiude (t = 0) il circuito da considerare è quello mostrato in Fig. c. 20 V 5 mh i c Si tratta di un circuito del primo ordine e, se l interruttore non venisse più commutato, l andamento della corrente nell induttore sarebbe i(t) =i( ) [ i(0 ) i( ) ] e t/τ1 (1) I valori della corrente nell induttore all istante iniziale e a regime (t )sono i(0 )=i(0 )=i 1 =0.2 A i( ) =i 2 =2A

6 Inoltre, poiché la resistenza posta in parallelo all induttore è R 1 =10Ω 10 Ω = 5 Ω, la costante di tempo del transitorio è τ 1 = L/R 1 =1msec Sostituendo nella (1) si ottiene i(t) =2 1.8 e tmsec 0 <t<10 msec Nell istante t 1 =10τ 1 = 10 msec in cui l interruttore viene riaperto (Fig. d), il primo transitorio è esaurito e la corrente ha ormai raggiunto la condizione di regime. 20 V 45 W 5 mh i d Dopo l istante t 1, l andamento della corrente è i(t) =i( )[i(t 1 ) i( )] e (t t1)/τ2 t>t 1 con i(t 1 )=i(t 1 )=i 2 =2A i( ) =i 1 =0.2 A In questo caso, la resistenza posta in parallelo all induttore è R 2 =45Ω10Ω 10 Ω = 50 Ω e la costante di tempo del transitorio è τ 2 = L/R 2 =0.1 msec In conclusione, l espressione della corrente nell induttore è 0.2 t<0 i(t) = e tmsec 0 <t<10 msec e 10 (tmsec 10) t>10 msec e il suo andamento è mostrato nella seguente figura. 2.0 i [A] t [msec]

7 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Esame del Soluzione Problema II Poiché ω = 1000 rad/s, si ha: V = 100 V jωl= j 1kΩ j 1 ωc Il circuito risultante è mostrato in figura: 1 kw = j 1kΩ V I1 I A 1 kw j1 kw I C 1 kw I2 I B -j1 kw 1 kw L equazione matriciale che si ottiene applicando il metodo di analisi agli anelli è: 2j j 1 I A 0.1 j 2j 1 I B = j 0 I C Poiché siha = 2j j 1 j 2j j =8 A = 0.1 j 1 0 2j j =0.4 B = 2j j j =0.2(1j) C = 2j j 0.1 j 2j =0.2(1j) si ricava I A = A =50mA I B = B =25(1j) ma I C = C =25(1j) ma Infine, poiché I 1 = I A =50mAeI 2 = I B I C = 0, si ottiene: i 1 = 50 cos(1000 t sec ) [ma] i 2 = 0

8 Corso di Teoria dei Circuiti (MN) a.a Esame del 24 Febbraio 2003 Problema I Nel circuito indicato in figura l interruttore T viene chiuso all istante t = 0. Prima di tale istante il circuito èin regime stazionario. Determinare la tensione v in funzione del tempo e rappresentarne graficamente l andamento. v 2 mf 25 V T 30 V 50 W Problema II Il circuito indicato in figura è costituito da quattro impedenze identiche (quelle dei gruppi RC) ed è alimentato dalla tensione v 1 = 100 cos (2000 t sec ) V Determinare le analoghe espressioni che rappresentano la tensione v 2 e le correnti i 1 e i 2. C C i1 R R i2 v1 C R C R v2 R = 50 W C = 1µF

9 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Esame del Soluzione Problema I Per t < 0epert il circuito è in condizioni stazionarie (il condensatore si comporta come un circuito aperto) e la tensione v ai suoi capi si calcola considerando i circuiti mostrati in Fig. a e b, rispettivamente. v 25 V v 25 V i 50 W 30 V i 1 i 2 50 W a b Per t<0 (Fig. a) siha: 25 i = =0.1 A da cui v(0 ) = 100 i =10V Per t (Fig. b), utilizzando il metodo di analisi agli anelli, si ottiene: { 200 i1 100 i 2 =30 da cui si ricava 100 i i 2 = 25 i 2 = 0.05 A e quindi v( ) = 100 ( i 2 )=5V La risposta naturale del circuito si calcola considerando il circuito di Fig. c, nel quale l interruttore è chiuso e i generatori di tensione si considerano spenti e quindi sono stati sostituiti da un corto circuito. v 2 mf 50 W c

10 La resistenza equivalente vista ai capi del condensatore è e quindi la costante di tempo risulta R eq = (100Ω//100Ω 50Ω)//100Ω = (50Ω 50Ω)//100Ω = 50Ω τ = R eq C = =0.1 ms Poiché v(0 )=v(0 )=10V l espressione della tensione ai capi del condensatore è v(t) =v( ) [ v(0 ) v( ) ] e t/τ tsec =55e V e il suo andamento è mostrato nella seguente figura. 10 v [V] t [msec]

11 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Esame del Soluzione Problema II Poiché ω = 2000 rad/s, l ammettenza di ogni gruppo RC è: Y = 1 R jωc = 1 50 (1 j j )= S 50 e quindi l impedenza corrispondente risulta Z = 1 Y = 50 1j0.1 = 50 (1 j 0.1) 50 j 5Ω Inoltre, il fasore corrispondente alla tensione del generatore è Il circuito risultante è mostrato in figura: V 1 = 100 V I1 Z Z I2 V1 I1 Z I2 Z V2 Applicando l analisi agli anelli si ottiene { 2 Z I1 Z I 2 = V 1 da cui si ricava Z I 1 3Z I 2 =0 I 1 = 3V 1 5 Z = 3 Y V 1 3(1j 0.1) 100 = =1.2(1j 0.1) A A I 2 = =0.4(1j 0.1) A A e quindi V 2 = Z I 2 = V 1 5 =20V Pertanto, le espressioni di v 2, i 1 e i 2 sono 1 : v 2 = 20 cos(2000 t sec ) V i 1 = 1.2 cos(2000 t sec 0.1) A i 2 = 0.4 cos(2000 t sec 0.1) A 1 Si noti che le correnti di ramo richieste coincidono con le correnti nei due anelli.

12 Corso di Teoria dei Circuiti (MN) a.a Esame del 30 Giugno 2003 Problema I Nel circuito indicato in figura l interruttore T viene chiuso all istante t = 0. Prima di tale istante il circuito èin regime stazionario. Determinare la corrente i in funzione del tempo e rappresentarne graficamente l andamento. 4 A i 1 H 200 W 1 A T Problema II Il circuito indicato in figura è costituito da quattro impedenze identiche (quelle dei gruppi LR) ed è alimentato alla frequenza di 100 Hz da un generatore di corrente di ampiezza 1 A. Determinare le correnti che circolano in tutti i rami del circuito e il valore della potenza attiva e reattiva fornita dal generatore. L R i L L L R = L = 1 H R R R

13

14

15

16 Corso di Teoria dei Circuiti (MN) Esame del 9 Settembre 2003 Problema I Nel circuito indicato in figura l interruttore viene aperto all istante t = 0. Prima di tale istante il circuito è in regime stazionario. Determinare la tensione v in funzione del tempo e rappresentarne graficamente l andamento. t = 0 1 W 0.75 mf 2 W v 3 V 2 W 1 W 3 V Problema II Il circuito indicato in figura è alimentato dalla tensione v 1 (t) = 3 cos 1000 t sec V Determinare le analoghe espressioni che rappresentano le tensioni v 2 e v 3. Dati: R =1Ω,L 1 = L 2 =1mH,C 1 =1mF,C 2 =2mF. L 1 R C 1 R v 2 v 3 v 1 L 2 C 2 L 2 C 2

17

18

19 Corso di Teoria dei Circuiti (MN) Esame del 23 Settembre 2003 Problema I Nel circuito indicato in figura l interruttore viene aperto all istante t = 0. Prima di tale istante il circuito è in regime stazionario. Determinare la tensione v in funzione del tempo e rappresentarne graficamente l andamento. 1 W t = 0 2 W 3 W 3 V v 1 mf 6 A 3 W Problema II Il circuito indicato in figura è alimentato da due generatori di tensione con v(t) = 5 cos 1000 t sec V Determinare le correnti che fluiscono in tutti i rami del circuito e calcolare la potenza attiva erogata dai due generatori. Dati: R =5Ω,L 1 =5mH,L 2 =10mH,C 1 = 0.1mF, C 2 = 0.2 mf. L 1 R C 2 v C 1 L 2 v R

20

21

22 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI I prova in itinere Problema I Rappresentare con un generatore equivalente di Thevenin la porzione di circuito collegata alla resistenza R L ai terminali ab, indicata in figura dalla zona tratteggiata. Dire per quale valore del carico R L tale circuito eroga la massima potenza e calcolare tale potenza. 20 W a 30 V 0.2 v x 5 W v x R L 3 W 3 V b Problema II Con riferimento al circuito in figura, in cui i generatori funzionano in regime stazionario, calcolare la corrente i L,latensionev C e l energia immagazzinata nell induttore e nel condensatore. Dati: v 0 =100 V,i 0 =1A,R 1 = R 2 = 100 Ω, L =1mH,C =1µF. R 1 L i L v 0 v C C R 2 i 0

23 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Prova in itinere del Soluzione Problema I La tensione V TH del generatore di Thevenin coincide con la tensione v x quando i terminali ab vengono lasciati a circuito aperto. Trasformando il generatore di tensione a sinistra (generatore da 30 V e resistenza da 20 Ω) in un generatore di corrente si ottiene il seguente circuito: a 1.5 A 20 W 0.2 v x 5 W v x 3 W 3 V b Combinando gli effetti dei generatori di corrente in parallelo e sostituendo le due resistenze in parallelo (20 Ω e 5 Ω) con la resistenza equivalente si ha: R eq = Ω=4Ω a 1.5 A 0.2 v 4 W v x x 3 W 3 V b Trasformando il generatore di corrente a sinistra (generatore da 1.5 V 0.2 v x e resistenza da 4 Ω) in un generatore di tensione si ottiene: 4 W a 6 V 0.8 v x v x 3 W 3 V b che sommando le due resistenze e le tensioni dei generatori, può essere rappresentato nel seguente modo, dove la parte indipendente del generatore di tensione è separata dalla parte dipendente da v x :

24 0.8 v x 7 W a 9 V v x b Calcolando v x con la regola del partitore di tensione si ha: da cui: v x = (9 0.8v x) V TH = v x =10V Per il calcolo della resistenza R TH del generatore di Thevenin si può ancora considerare il circuito semplificato della figura precedente, spegnendo il generatore indipendente e considerando un generatore di corrente di prova collegato ai terminali ab. Il circuito da analizzare è quindi: 7 W a 0.8 v x v x 1 A b Applicando la legge di Kirchhoff al nodo a si ottiene: la cui soluzione fornisce La resistenza di Thevenin è quindi: v x 0.8v x 7 v x 10 =1 v x = 70 9 V=7.78 V R TH = 7.78 Ω=7.78 Ω 1 La massima potenza erogata p max si ha quando e vale R L = R TH =7.78 Ω p max = V 2 TH 4R TH = W=3.21 W

25 Laurea di I Livello in Ingegneria Informatica Sede di Mantova TEORIA DEI CIRCUITI Prova in itinere del Soluzione Problema II In regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto, mentre l induttore si comporta come un corto circuito. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si ha: Caso A: generatore di corrente spento. Il circuito originale diventa: R 1 a i L v 0 a v C R 2 La tensione sul condensatore e la corrente sull induttore risultano: v a C = R v 0 = R 1 R V = 50V ia L = va C =0.5A R 2 Caso B: generatore di tensione spento. Il circuito originale diventa: R 1 ib L vb C R 2 i 0 La corrente sull induttore e la tensione sul condensatore risultano: i b L = R i 0 = R 1 R A=0.5A vb C = R 1 i b L = = 50 V Sovrapponendo gli effetti si ha: v C = vc a vc b =0V i L = i a L i b L =1A Infine, le energie immagazzinate nel condensatore e nell induttore sono: w C = 1 2 C v2 C =0J w L = 1 2 L i2 L = =0.5mJ