Università degli Studi di Bergamo Facoltà di ingegneria. Corso di Elettrotecnica A.A. 1995/1996 Scritto 12 settembre 1996

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Aloisia Basile
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1 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di ingegneria Corso di Elettrotecnica A.A. 1995/1996 Scritto 12 settembre 1996 Es. 1 Dato il circuito magnetico in figura, trascurando gli effetti di bordo, calcolare l energia magnetica immagazzinata in ciascuno dei traferri quando l avvolgimento 1 è percorso da una corrente cc pari a 2 A e l avvolgimento 2 non è alimentato (4 pti) ed i coefficienti di autoinduzione dell avvolgimento 2 e di mutua induzione (4 pti). A = 0.1 m 2 = 10-3 m N 1 = 50 spire N 2 = 60 spire X B = 1 X C = 1 X N = 2 r = RISOLUZIONE: Per poter risolvere il problema in questione, il circuito deve essere trasformato da fisico a matematico; considerando che la permeabilità magnetica relativa del materiale in questione è infinita, essa determinerà una riluttanza nulla. 1) L energia immagazzinata nei traferri è data dalla seguente espressione: E=½ L x I 2 = ½ B x h = ½ (B 2 Per determinare l energia E si deve calcolare B, cioè il valore del campo magnetico: / R eq - Calcolo delle riluttanze dei traferri: R ) x 10-3 /0.1 = H -1 - Si determina la tensione sugli avvolgimenti: E 1 = N 1 I 1 = 50 x 2 = 100 V 1

2 E 2 = N 2 I 2 = 0 V - Calcolo della riluttanza equivalente per l avvolgimento 1: R eq = R + (R 2 / 2R ) = 3/2 R = H -1 1 = E 1 / R eq = 100 / = 0,00838 Wb - Per determinare gli altri due flussi si osserva che il flusso 1 incontra un parallelo con due riluttanze uguali, quindi si dimezzerà su ogni ramo /2 = 0,00419 Wb - Calcolo del campo: B 1 = 1 / A = T B 2 = B 3 = 2 / A = T - Calcolo dell energia immagazzinata nei traferri: E 1 = ½ (B 1 2 E 2 = E 3 = ½ (B 2 2 2) Si trovano le auto e mutue induttanze Calcolo delle R T, cioè delle resistenze che incontrano i flussi: R T1 = R T2 = R + R / 2 = H -1 Le auto induttanze saranno perciò: L 1 = N 1 2 / R T1 = 50 2 / = 0,21 H L 2 = N 2 2 / R T2 = 60 2 / = 0,302 H Si determinano ora le mutue induttanze, sapendo che M 12 = M 21 M 21 = M 12 = - N 2 x C21 / I 1 = -60 x 3 / 2 = -60 x 0,00419 / 2 = -0,1257 H 2

3 Es. 2 Nella rete rappresentata in figura, sapendo che l interruttore S è chiuso da un tempo infinito, determinare all apertura di S la corrente i R1 (t) (3 pti) e la tensione v C (t) (3 pti) in seguito alla manovra dell interruttore e tracciare in modo qualitativo l andamento delle funzioni per 1s< t < mantenendo lo stesso asse dei tempi (2 pti) RISOLUZIONE: Si opera utilizzando il metodo della sovrapposizione degli effetti, sia per trovare i R1 (t) che v C (t). 1) a) Si inizia applicando il generatore E 1, cortocircuitando i generatori di tensione e staccando dal circuito quello di corrente. La corrente in questione, quando il tasto è aperto, circola solamente nella maglia in cui è presente il generatore E 1, quindi: I R1 (t.a.) = E 1 / R 1 = - 18 / 2 = -9 A Quando invece il tasto è chiuso: R eq = R 1 x (R 2 + R 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 I(t.c.) = E 1 / R eq = 18/1,6 = -11,25 A I R1 (t.c.) = I(t.c.) x ( R 2 + R 3 ) / (R 1 + R 2 + R 3 ) = -11,25 x 8 / 10 = -9 A Si determina la tensione sul condensatore; V C1 = 0 - con tasto chiuso: V C1 = -V R2 = -R 2 x [ I(t.c.) - I R1 (t.c.)] = -3 x 2,25 = -6,75 V b) Ora si applica il generatore E 2. Si determina la corrente I R1 con tasto aperto, osservando che la corrente non circola in nessuna maglia: I R1 (t.a.) = 0 Quando invece il tasto è chiuso, la corrente su R 1 sarà nulla, in quanto in parallelo con un collegamento privo di resistenza: I R1 (t.c.) = 0 3

4 Si determina la tensione sul condensatore; V C2 = E 2 = 20 V - con tasto chiuso si applica Kirchoff alla maglia: V C2 = E 2 -V R2 = E 2 - R 2 x I 2 = E 2 - R 2 x (E 2 / R 2 + R 3 ) = 12,5 V c) Ora si applica il generatore E 3. Si determina la corrente I R1 con tasto aperto, osservando che la corrente non circola in nessuna maglia: I R1 (t.a.) = 0 Quando invece il tasto è chiuso, la corrente su R 1 sarà nulla, in quanto in parallelo con un collegamento privo di resistenza: I R1 (t.c.) = 0 Si determina la tensione sul condensatore; V C3 = 0 - con tasto chiuso si applica Kirchoff alla maglia: V C3 = -V R2 = - R 2 x I 3 = - R 2 x (E 3 / R 2 + R 3 ) = V d) Ora si applica il generatore di corrente. La corrente I R1 sia con tasto è aperto, che con tasto chiuso, risulta essere nulla I R1 (t.a.) = I R1 (t.c.) = 0 Si determina la tensione sul condensatore; V CA = -V R2 = - R 2 x I A = -12 x 3 = -36 V - con tasto chiuso: V CA = 0 Ora si sovrappongono gli effetti: - tasto aperto: I R1 = I R1 (t.a.) = - 9 A V C = V Cn = -16 V - tasto chiuso: I R1 R1 (t.c.) = - 9 A V C Cn = -2,5 V 4

5 CONCLUSIONE: 1) Si nota che la corrente in questione in questione non varia in funzione del tempo, quindi avrà transitorio nullo. 2) Calcolo della tensione sul condensatore al momento dell apertura: V C (t=0 - ) = V C (t= Imponendo t=0 V C (t=0 - ) = V C (t= 0-2,5 = A A = 13,5 Rendendo passiva la rete con tasto aperto; ponendosi ai capi del condensatore, si calcola la resistenza, per trovare : R = 3 = R x C = 3 x = 15 µs Si ottiene così l espressione finale della tensione: v C (t) = ,5 e - t/15 µs 3) I grafici sono i seguenti: 5

6 Es. 3 Determinare gli equivalenti di Norton (5 p.ti) e di Thevenin (3 p.ti) della rete in figura dei morsetti A-B = 628 rad/s RISOLUZIONE: Si opera utilizzando il metodo della sovrapposizione degli effetti; determino per semplicità l equivalente di Thevenin del circuito e in seguito quello di Norton. 1) Si noti che il condensatore e l induttore collegati in parallelo risultano essere in risonanza, quindi il parallelo in questione è un circuito aperto a) Si inizia applicando il generatore di tensione, staccando dal circuito quello di corrente. Si nota che il circuito non presenta flussi di corrente, ne consegue che: V AB I + 10 = 0 quindi V AB I = - 10 V b) Si prosegue applicando il secondo generatore, cortocircuitando il primo: trovo subito il valore della V AB osservando che essa è pari alla caduta di tensione sulla resistenza della maglia esterna. V AB = R x I = 1 x J = J V Si determina l impedenza di Thevenin, rendendo passiva la rete; (avendo staccato il generatore di corrente il condensatore non influisce sull impedenza di Thevenin): Z th La tensione equivalente di Thevenin sarà: E th = V AB I + V AB = J V 2) L equivalente di Norton è: A N = E th / Z th = ( J ) / 1 = J A Z th = Z N REALIZZATO DA : CARRARA ALESSANDRO ROSSETTI DANIELE 6

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