Esercizi sui circuiti in fase transitoria

Transcript

1 Esercizi sui circuiti in fase transitoria v 5 mh 6 Ω Ω µf Ω Esercizio. alcolare la tensione v un i- stante dopo la chiusura dell interruttore T (t =). Si supponga che il circuito sia in regime stazionario prima della chiusura dell interruttore e che il condensatore sia scarico. 8 V 8 V v ( ) = 4.5 V 9 Ω i t = Per determinare la grandezza richiesta è necessario utilizzare il postulato di continuità dell energia e quindi determinare le variabili di stato prima della chiusura dell interruttore. Il circuito equivalente per t = (unità SI) è rappresentato a sinistra. I resistori da Ω e 6 Ω sono in serie (sono percorsi dalla stessa corrente i ) e soggetti alla tensione impressa dai generatori. Pertanto, con il verso scelto, i = (8 8)/(6) =. a tensione sul condensatore è assegnata come nulla. Pertanto: i ( ) = i ( ) =, v ( ) = v ( ) = V v i 4 8 i i 4 i i i t = Per t = sono note quindi la corrente circolante sull induttore e la tensione sul condensatore. Pertanto, nel circuito equivalente per t =, a sinistra (unità SI), si sono rappresentati tali componenti tramite generatori indipendenti. Per risolvere il circuito, si definisca come albero quello formato dai tre rami centrali. e correnti sui rami di coalbero sono quindi i, i e la corrente impressa dal generatore. e correnti sui rami di albero si deducono applicando le K. Il sistema risolvente si ottiene applicando le KT alle maglie fondamentali (definite dalle correnti sui rami di coalbero): = i = 8 i (i 4) = v (i 4) Da cui: i =, i = 5.5 A, v = 4.5 V

2 Esercizio. Il circuito è in regime stazionario prima dell apertura dell interruttore. alcolare la corrente i un istante dopo l apertura dell interruttore (t = ). 6 V Ω Ω Ω i( ) =. mh i Ω 4 Ω Per determinare la grandezza richiesta è necessario utilizzare il postulato di continuità dell energia e quindi determinare la corrente sull induttore (variabile di stato) prima dell apertura dell interruttore. Nel circuito all istante t = (in regime D) l induttore è equivalente ad un cortocircuito e l interruttore è chiuso. Sul ramo contenete l induttore circola quindi la corrente i ( ) pari a 6 A (il resistore da Ω è soggetto alla tensione di 6 V impressa dal generatore indipendente). t = 6 V Ω Ω Ω i Ω 4 Ω All istante t = l interruttore è aperto e la corrente sull induttore nota: per il postulato di continuità dell energia i ( ) = i ( ) = 6 A. induttore quindi è equivalente (solo per t = ) ad un generatore indipendente di corrente con corrente impressa 6 A. A t = i 6 V Ω 6 A B Ω Ω i B' Ω 4 Ω i Il generatore di tensione è percorso da corrente nulla (è in serie ad un circuito aperto), quindi è e- quivalente ad un circuito aperto. Indicando con A, B, B' e i quattro nodi nel circuito si nota che la coppia di resistori da Ω e Ω è in parallelo. Analogamente la coppia di resistori da Ω e 4 Ω è in parallelo. e rispettive resistenze equivalenti sono quindi / Ω e /7 Ω Il circuito equivalente è quindi il seguente:

3 A / e tensioni V AB e V B sono immediatamente calcolabili tramite le caratteristiche dei resistori: V AB = 6 / = 4 V, V B = 6 /7 =.9 V 6 B /7 on riferimento allo schema precedente, le correnti i ed i sui resistori da Ωe Ω sono quindi: i = V AB / = A, i = V B / =. Applicando la K al nodo B si ha quindi: i = i i =. Esercizio. Il circuito è in regime stazionario prima della chiusura dell interruttore. alcolare le potenze erogate dal generatore di tensione un istante prima della chiusura dell interruttore (t = ), un istante dopo (t = ) e a regime (t ). Ω 4 mh µf Ω p E ( ) = 48 W p E ( ) = 9 W p E ( ) = 96 W µf V Ω mh Si consideri il circuito un istante prima della chiusura dell interruttore (t = ) al fine di determinare la corrente circolante attraverso il generatore e le variabili di stato dei componenti con memoria (necessarie per definire il circuito all istante t = tramite il postulato di continuità dell energia). Il circuito è in regime D per t < ; pertanto, nel circuito equivalente a t = si sono sostituiti gli induttori ed i condensatori con cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è aperto, quindi è equivalente ad un circuito aperto. t = Ω 4 V V V Ω Ω Il resistore da Ω ha un terminale isolato. Quindi è percorso da corrente nulla e soggetto a tensione nulla (che è anche la tensione sul condensatore in alto a destra). a corrente sull unica maglia presente (che è anche la corrente nei due induttori) si ottiene notando che i resistori da Ω e Ω sono in serie e che il resistore equivalente da Ω è soggetto alla tensione impressa dal generatore, quindi la corrente che lo percorre è / =. a tensione sul condensatore in basso a sinistra coincide con la tensione sul resistore da Ω, quindi è 4 V. Infine la potenza erogata dal generatore è: p E ( ) = 4 = 48 W

4 t = Ω i 4 i 4 V i 4 i i 4 i 4 i V Ω Ω 8 i i All istante t = l interruttore è chiuso e la corrente sugli induttori è nota: per il postulato di continuità dell energia i ( ) = i ( ) =. Gli induttori quindi sono equivalenti (per t = ) a generatori indipendenti di corrente con corrente impressa. Analogamente per i condensatori la tensione è nota: per il postulato di continuità dell energia v ( ) = v ( ). I condensatori quindi sono equivalenti (per t = ) a generatori indipendenti di tensione con tensione impressa 4 V e V (rappresentato come un cortocircuito). Nel circuito equivalente mostrato a lato (valido solo a t = ), è necessario calcolare i per valutare la potenza richiesta. e correnti su tutti i rami del circuito sono determinate applicando la K a tutti i nodi (è necessario introdurre un altra corrente i, come mostrato). e maglie fondamentali sono definite da i ed i. Applicando le KT mf si ha: = (8 i i ) (4 i i ) 4, = i (4 i i ) (8 i i ) Quindi i = 6 A, i = 8 A e infine la potenza erogata dal generatore è: p E ( ) = 6 = 9 W t = Ω V 8 A Ω Ω Il circuito equivalente a regime (t ) è mostrato a sinistra. Dato che il circuito è privo di generatori pilotati è certamente stabile e si raggiunge il regime stazionario (D), si sono sostituiti induttori e condensatori con cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è chiuso, quindi è equivalente ad un cortocircuito. I resistori da Ω e Ω sono in serie e il resistore equivalente da Ω è soggetto alla tensione impressa dal generatore, quindi la corrente che lo percorre è / =. Analogamente, sul resistore da Ω a destra la corrente è. la corrente sul generatore si ottiene applicando la K ad uno dei suoi terminali, quindi è 8 A. Infine la potenza erogata dal generatore è: p E ( ) = 8 = 96 W Esercizio 4. Il circuito è in regime stazionario prima della chiusura dell interruttore. alcolare la corrente I un istante dopo la chiusura dell interruttore (t = ) e a regime (t ). µf mh Ω Ω I( ) = A I( ) = 6 A Ω I V mh 6 Ω

5 t = A A Ω Ω 6 V V v A 6 Ω t = A 6 V Ω Ω V Ω I A A 6 Ω N t = Ω A Ω 6 A V 6 A A 6 Ω Si consideri il circuito un istante prima della chiusura dell interruttore (t = ) al fine di determinare le variabili di stato dei componenti con memoria (necessarie per definire il circuito all istante t = tramite il postulato di continuità dell energia). Il circuito è in regime D; pertanto, induttori ed condensatori sono equivalenti a cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è aperto, quindi è equivalente ad un circuito aperto. Il resistore centrale da Ω ha un terminale isolato, quindi è e- quivalente ad un cortocircuito. Il circuito è costituito da tre rami in parallelo. Applicando il Teorema di Millman si ha: v = (/ / /6)/(/ / /6) = 6 V. e correnti sui resistori da Ω e 6 Ω sono A e A, rispettivamente (e sono anche le correnti sui due induttori). a tensione sul condensatore coincide con la tensione sul resistore da Ω (che è percorso dalla corrente di A, ottenuta applicando la K a uno dei due nodi del circuito), quindi è 6 V. All istante t = l interruttore è chiuso e le variabili di stato sono note: induttori e condensatori sono equivalenti a generatori indipendenti di corrente e di tensione, rispettivamente. a corrente richiesta si determina notando che il resistore da 6 Ω è soggetto alla tensione impressa dal generatore, quindi la corrente che lo percorre è /6 = A. Applicando la K al nodo N si ha: = I. Quindi I ( )= A. Il circuito equivalente a regime (t ) è mostrato a sinistra, dove si sono sostituiti induttori e condensatori con cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è chiuso, quindi è equivalente ad un cortocircuito. Il resistore da Ω è in parallelo ad un cortocircuito. Quindi è soggetto a tensione nulla e percorso da corrente nulla I resistori da Ω e 6 Ω sono soggetti alla tensione impressa dal generatore, quindi le correnti che li attraversano sono e A, rispettivamente. Applicando le K ai nodi si ottengono le correnti sugli altri rami. In particolare si ha: I ( ) = 6 A. Esercizio 5. Il circuito è in regime D per t <. alcolare le potenze erogate dal generatore di tensione prima della chiusura dell interruttore (t = ), un istante dopo (t = ) e a regime (t ). µf Ω mh Ω 8 Ω S 6 V Ω p gt(e) ( ) = 9.5 W p gt(e) ( ) = 9 W p gt(e) ( ) = 8.4 W

6 t = t =.46 t = i. A 8 6 B 8 6 A B..5 i g i g v Si consideri il circuito un istante prima dell apertura dell interruttore (t = ) al fine di determinare la corrente sul generatore e le variabili di stato dei componenti con memoria. Il circuito è in regime D; pertanto, induttori ed condensatori sono equivalenti a cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è chiuso, quindi è equivalente ad un cortocircuito. Il resistore da Ω a sinistra è in parallelo ad un cortocircuito, quindi è attraversato da una corrente nulla. Quindi il circuito è costituito da tre rami in parallelo. a tensione sul condensatore coincide con la tensione sul parallelo. Applicando il Teorema di Millman si ha: v = (/ 6/8 /)/(/ /8 /) = 6/ =. V. e corrente sul resistore da Ω è. A (ed è anche la corrente i sull induttore). a corrente sul generatore si ottiene dalla caratteristica del ramo: v = 8 i g 6. Da cui si ottiene i g =.846 A ed infine p gt(e) ( ) = 6 i g = 9.5 W. Nel circuito un istante dopo l apertura dell interruttore (t = ) l interruttore è aperto e le variabili di stato sono note: induttori e condensatori sono equivalenti a generatori indipendenti di corrente e di tensione, rispettivamente. Trasformando il parallelo tra generatore di corrente e resistore nell altra forma del generatore reale (E eq =. =.46 V, R eq = Ω) e notando che la resistenza equivalente è in serie al resistore da Ω, si ottiene un circuito costituito da tre rami in parallelo tra i nodi A e B. Applicando il Teorema di Millman si ha: v AB = (.46/ 6/8./.5)/(/ /8 /.5) =.48 V. a corrente sul generatore si ottiene dalla caratteristica del ramo: v AB = 8 i g 6. Da cui si ottiene i g =.85 A ed infine p gt(e) ( ) = 6 i g = 9 W. i g 8 6 Il circuito equivalente a regime (t ) è mostrato a sinistra, dove si sono sostituiti induttori e condensatori con cortocircuiti e circuiti aperti, rispettivamente. Inoltre l interruttore è aperto. Il resistore da Ω a sinistra è in parallelo ad un cortocircuito, quindi è attraversato da una corrente nulla. Il circuito è costituito da una sola maglia su cui scorre la corrente i g. Per determinarla è si applica la KT sulla maglia: = i g 6 8 i g Da cui si ottiene i g = 6/9 =.778 A ed infine p gt(e) ( ) = 6 i g = 8.4 W.

7 Esercizio 6. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =.5 Ω,.5 Ω, Ω. τ = ms,.5 ms, 6 ms. Ω Ω.5 Ω i [A] k i [V] mh V Il circuito contiene un solo componente con memoria, cioè è un circuito del primo ordine. a caratteristica dell induttore è di/ = v (induttanza nota). È quindi necessario determinare la tensione sull induttore (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando nota la variabile di stato i. Inoltre il generatore indipendente presente nello schema può essere azzerato, in quanto contribuisce solo con termine costante alla v, ininfluente sulla costante di tempo. Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato A l induttore tramite un generatore indipendente di corrente.5 a corrente impressa i e si è spento il generatore di tensione indipendente. Applicando la KT alla maglia di destra si ha: = v AB.5i v. Quindi v = v AB.5i. a tensione v AB si può determinare direttamente applicando il teorema di Millman, oppure applicando la K al nodo A. In entrambi i casi si ha: k i i v v ki v AB AB i = B Ovvero ki i v AB = = ( k )i Quindi v = (. k.66)i.sostituendo nella caratteristica dell induttore si ha di/ = (. k.66)i di/ = (. k.66)i a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = (. k.66) ed il circuito è stabile solo se. k.66 < ovvero k <.5 Ω. a costante di tempo risulta pari a τ = /(.66. k) che nei tre casi richiesti fornisce τ = ms,.5 ms, 6 ms. (Si sarebbe giunti allo stesso risultato anche utilizzando la relazione τ = /R eq dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo collegato all induttore).

8 Esercizio 7. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =.5 S,.5 S. 5 µf Ω v [V] k v [A] A τ =. ms, ms. Ω Il circuito contiene un solo componente con memoria, cioè è un circuito del primo ordine. a caratteristica del condensatore è dv/ = i (capacità nota). È quindi necessario determinare la corrente sul condensatore (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando nota la variabile di stato v. Inoltre il generatore indipendente presente nello schema può essere azzerato, in quanto contribuisce solo con termine costante alla i, ininfluente sulla costante di tempo. Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato il condensatore tramite un generatore i S v/ indipendente di tensione a tensione impressa v (coincidente con la variabile pilota del generatore pilotato) e si è spento il generatore v k v di corrente indipendente. Applicando la K alla superficie chiusa S si ha: = kv v/ v/ v/ i. Quindi i = (k.55)v. Sostituendo nella caratteristica del condensatore si ha 5 5 dv/ = (k.55)v dv/ = 4 (k.55)v a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = 4 (k.55) ed il circuito è stabile solo se (k.55) < ovvero k <.55 S. a costante di tempo risulta pari a τ = /(. k) che nei casi richiesti fornisce τ =. ms e ms. (Si sarebbe giunti allo stesso risultato anche utilizzando la relazione τ = R eq dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo collegato al condensatore). Esercizio 8. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =,,. 5 µf Ω k v [V] τ = ms, ms, ms. Ω v [V] Il circuito è del primo ordine. a caratteristica del condensatore è dv / = i. È quindi necessario determinare la corrente sul condensatore considerando nota la variabile di stato v.

9 Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato il i ( k) i condensatore tramite un generatore indipendente di tensione a tensione impressa v (la corrente sul condensatore ha il verso associato con la convenzione da v utilizzatore) e si è cambiata la variabile pilota notando che v = i (quindi kv = k i ). Il resistore sul k i ramo centrale e soggetto alla tensione impressa dal generatore pilotato, quindi la corrente che lo attraversa è v k i k i / = k i. a corrente sul generatore pilotato si deduce applicando la K ad uno dei suoi terminali. Applicando la KT alla maglia di sinistra si ha: = v i ki. Quindi i = v /( k). Sostituendo nella caratteristica del condensatore si ha 5 5 dv / = v /( k) dv / = v /( k) a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = /( k)ed il circuito è stabile solo se ( k) > ovvero k >. a costante di tempo risulta pari a τ = ( k) che nei casi richiesti fornisce τ = ms, ms, ms. Esercizio 9. Determinare la matrice di stato (nell ordine i, v ) e la massima costante di tempo del circuito di figura. 6 Ω i 5 µf v mh Ω [ Ss ] [ Ωs ] [ s ] A = τ max =.6 ms. Per determinare la matrice di stato è necessario definire le equazioni di stato del circuito. e caratteristiche dell induttore e del condensatore sono (l induttanza e la capacità sono assegnate): i v 6 v i di = v dv = i È quindi necessario determinare la tensione sull induttore e la corrente sul condensatore considerando note le variabili di stato. Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati i componenti con memoria tramite generatori indipendenti. i v v / v i Per risolvere il circuito si noti che i due resistori sono in parallelo. Sostituendo il resistore equivalente da Ω (6 /(6) ) e notando che è collegato ai terminali del generatore di tensione, si deduce immediatamente la corrente circolante su di esso.

10 Applicando la K ad uno dei due nodi del circuito si ha quindi: i = i v /. Per quanto riguarda la tensione sull induttore, la KT mostra che: v = v. Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di = v 5 dv 5 = i.5v d i v i = 4 4 v [ A] a matrice di stato [A] risulta quindi determinata. e unità SI dei coefficienti si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni. Per la prima equazione di stato, detta X l unità di misura incognita del secondo elemento della prima riga della matrice di stato e tenendo presente che corrente, tensione e tempo hanno come unità A, V e s, si ha: A/s = X V. Quindi X = A/(V s). Dato che il SI è razionale A/V = S e si ha infine X = S/s. Analogamente nella seconda equazione di stato, detta X l unità di misura incognita del primo elemento della seconda riga della matrice di stato, si ha: V/s = X A. Quindi X = V/(A s). Dato che il SI è razionale V/A = Ω e si ha infine X = Ω/s. Per quanto riguarda il secondo elemento della seconda riga della matrice di stato, si ha: V/s = X V. Quindi X = /s = s (questo ragionamento è identico per tutti gli elementi sulla diagonale principale della matrice di stato che quindi hanno sempre la stessa unità s ). Infine, per determinare le costanti di tempo del circuito è necessario calcolare gli autovalori della matrice di stato, risolvendo il polinomio: det( λ 4 7 [ A] λ[ I] ) = = λ λ = 4 4 λ I due autovalori sono quindi λ = 764 e λ = 76, entrambi reali e negativi (quindi il circuito è stabile, come si poteva dedurre subito dall assenza di generatori pilotati) e le costanti di tempo sono τ =.6 ms e τ =.8 ms. Esercizio. Determinare la matrice di stato (nell ordine i, v ) e la massima costante di tempo del circuito di figura. 5 µf v Ω Ω.5 mh i [ s ] [ Ss ] [ Ωs ] [ s ] 4 A = τ max =. ms. è necessario determinare la tensione sull induttore e la corrente sul condensatore considerando note le variabili di stato. Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati i componenti con memoria tramite generatori indipendenti.

11 v i v / i v a corrente sul ramo centrale si deduce notando che il resistore da Ω è soggetto alla tensione v. Applicando la K ad uno dei suoi terminali si ha: i i v / = e quindi i = i v / Applicando la KT alla maglia di destra si ha: = v i v. Quindi v = i v. Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di dv = i = i v.v d i v 4 i = 4 v a matrice di stato [A] risulta quindi determinata. e unità SI dei coefficienti si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni. Per determinare le costanti di tempo del circuito è necessario calcolare gli autovalori della matrice di stato, risolvendo il polinomio: det( 4 7 [ A] λ[ I] ) = = λ 6 λ 4.8 = λ 4 λ I due autovalori sono quindi λ = 645j e λ = 645j, complessi coniugati con parti reali negative (quindi il circuito è stabile, come si poteva dedurre subito dall assenza di generatori pilotati) e la costante di tempo è τ =. ms (è una sola dato che gli autovalori hanno la stessa parte reale e quindi λ. = /τ ± j Ω). [ A] Esercizio. Determinare la matrice di stato del circuito di figura (nell ordine i,i,i )..5 Ω :. Ω i Ω i i A = s [ ].4 mh 6 mh.8 mh Per determinare la matrice di stato è necessario definire le equazioni di stato del circuito. e caratteristiche degli induttori sono indicate a destra (le induttanze, ed sono assegnate). È quindi necessario determinare le tensioni sugli induttori (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando note le variabili di stato (le correnti i, i ed i ). Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati gli induttori tramite generatori indipendenti di corrente. di di di = v = v = v

12 i i i / v i / v / : v.5 i i. v A i Dato che la tensione sul primario del trasformatore ideale e la corrente sul secondario sono già definite, si possono dedurre la corrente sul primario e la tensione sul secondario utilizzando le caratteristiche del trasformatore ideale. Inoltre, applicando la K al nodo A si può dedurre la corrente circolante sul resistore da Ω. Per calcolare la tensione v si noti che è la tensione sul resistore da Ω. Quindi utilizzando la caratteristica del resistore si ha: v = (i i i /), ovvero v = i i 6i. Per calcolare la tensione v si applica la KT sulla maglia a sinistra: = v.5 i (i i i /), ovvero v = i.5i 6i ). Per calcolare la tensione v si applica la KT sulla maglia a destra: = v /. i v, ovvero v = 6i 6i 8.i ). Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di = i i 6i di = i.5i 6i di = 6i 6i 8.i d i i i i = i.5 i [ A] e unità SI dei coefficienti della matrice di stato [A] si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni (unità s, infatti moltiplicando il vettore di stato (in unità A) definisce per le derivate rispetto al tempo delle correnti l unità corretta: A/s). Esercizio. Determinare la matrice di stato del circuito di figura (nell ordine v,v,i,i ). 5 Ω mh i 5 µf i Ω v 8[ s ] 8[ s ] [ Ωs ] [ Ωs ] 8[ s ] 8[ s ] 8[ Ωs ] [ ] [ Ss ].4[ Ss ].[ s ] A = Ss.6 5 µf v Ω mh

13 Per determinare la matrice di stato è necessario definire le equazioni di stato del circuito. e caratteristiche degli induttori e dei condensatori sono (nell ordine richiesto): È necessario determinare le tensioni sugli induttori e le correnti sui condensatori considerando note le variabili di stato. Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati i componenti con memoria tramite generatori indipendenti. dv dv di di = i = i = v = v 5 I b v i I b v i I a i I a i I a v v i i I a I b i i I a I b Il circuito equivalente è mostrato a lato.. e correnti su tutti i rami del circuito sono determinate applicando la K a tutti i nodi (oltre alle correnti sugli induttori è necessario introdurre altre due correnti I a ed I b, come mostrato). e quattro maglie fondamentali sono definite da i, i, I a ed I b. Applicando le KT mf si ha: = v v (i I a I b ) (i i I a I b ) = v v (i i I a I b ) = v (i I a I b ) (i i I a I b ) v = 5 I b (i I a I b ) (i i I a I b ) e incognite sono v, v, I a ed I b. Risolvendo: I b = (v v )/5, I a = (v v 5i i )/5 v = v, v = v /5 v /5 6i /5 e correnti sui condensatori sono quindi: i = i I a = v /5 v /5 i i /5, i = i I a = v /5 v /5 i /5 Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: 5 dv 5 =.4v.4v i.6i 5 dv 5 =.4v.4v.4i di = v di =.6v.4v.i d v v i i 8 8 v v = i.6.4. i [ A] a matrice di stato [A] risulta quindi determinata. e unità SI dei coefficienti si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni: i minori sulla diagonale principale della matrice di stato hanno unità s, il minore sopra la diagonale principale ha unità Ω/s, quello sotto ha unità S/s. Se le variabili di stato sono ordinate elencando prima tutte le T tensioni e poi tutte le correnti, la struttura di ogni matrice di stato (T) (T) è la stessa: i due minori T T e sulla diagonale principale della matrice di stato hanno unità s, la sottomatrice T sopra la diagonale principale ha unità Ω/s, quella T sotto la diagonale principale ha unità S/s.