Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria

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Faustino Fortunato Giannini
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1 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Piatti Marina _ RISOLUZIONE TEMA D ESAME CORSO DI ELETTROTECNICA A.A. 1995/96 SCRITTO 26 SETTEMBRE 1996_ Esercizio n 1 Dato il circuito in figura, determinare la corrente che attraversa il neutro e la potenza erogata dal generatore B. I a = j A I b = -j A V c = 10 V R = 100 Ω X b = 1 Ω X c = 1 Ω X n = 2 Ω Per determinare la corrente che passa nel neutro è necessario calcolare la differenza di potenziale che esiste tra i due punti X e Y. Si può agire in diversi modi: si può impostare un sistema usando i metodi delle correnti di maglia oppure le sovrapposizione degli effetti, oppure si può applicare il teorema di Millman, che semplifica di molto i conti. Per Millman infatti si può dire che la somma delle correnti che passano per i tre rami A, B e C, divisa per la somma di tutte le ammettenze presenti nel circuito da il potenziale tra X e Y. Ne consegue che A+B+C/Z c (j) + (-j) + (10/j) V xy = = = j V 1/Z a + 1/Z b + 1/Z c +1/Z n 1/ /j + 1/j + 1/2j Divido poi per l impedenza equivalente dei tre rami A,B e C e del neutro e ricavo la corrente. V xy j I n = = = j Z eq (ABC) + Z n j+2j

La potenza creata dal generatore B sarà pari al potenziale di B per il coniugato della sua corrente. V b x I b * V b = V xy + V zb V zb = I b x Z b S = [4 0.016j + (-j)(j)] (-j) = 0.

Per trovare la tensione a vuoto uso il metodo delle correnti di maglia; trasformo prima il generatore di corrente in parallelo con la resistenza in un generatore di tensione in serie con la stessa

2 La potenza creata dal generatore B sarà pari al potenziale di B per il coniugato della sua corrente. V b x I b * V b = V xy + V zb V zb = I b x Z b S = [ j + (-j)(j)] (-j) = j = P (W) Q(VAR) Esercizio n 2 Data la rete in continua in figura, determinare la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito ai morsetti A e B. Per trovare la tensione a vuoto uso il metodo delle correnti di maglia; trasformo prima il generatore di corrente in parallelo con la resistenza in un generatore di tensione in serie con la stessa resistenza, in modo da eliminare una maglia. Avrò due maglie, e il relativo sistema di equazioni: 1_ 100 I a R a I b R b + 20 = 0 2_ I b R b + I c R c 75 = 0 I a = I b - I c 100 (I b - I c ) 10 - I b = I b 10 + I c 5 75 = 0-20 I b + 10 I c = I b + 5 I c = 95 I a = 7.75 A I b = 3.5 A I c = 4.25 A V AB = 100 (4.25*10) = - (20- (7.25*10)) = 75 (3.5 * 5)

= 57.5 V per calcolare la corrente di corto circuito aggiungo alla maglia un corto circuito ai capi del ramo C: risolvo ancora con le correnti di maglia, ma avrò un equazione in più rispetto alle due

3 = 57.5 V per calcolare la corrente di corto circuito aggiungo alla maglia un corto circuito ai capi del ramo C: risolvo ancora con le correnti di maglia, ma avrò un equazione in più rispetto alle due precedenti: 1_ 100 I a R a I b R b + 20 = 0 2_ I b R b + I c R c 75 = 0 3_ 75 - I c R c = 0 I A = J 1 I B = J 2 - J 1 I C = J 3 J 2 I D = J 3 Per trovare la corrente di corto circuito ai morsetti AB trovo l equivalente di Thevenin: la tensione a vuoto l ho ricavata dal punto precendente, quindi devo ricavare la resistenza equivalente: rendo passiva la rete e vedo che tale resistenza è data dal parallelo tra le tre resistenze. R eq = (1/R A +1/R B + 1/R C ) -1 = 2.5 Ω V th = 57.5 V V th I cto = = 23 A R eq Esercizio n 3 Dato il circuito in figura, determinare l andamento della corrente I2 in seguito alla chiusura dell interruttore all istante T=0, assumendo il condensatore C1 carico alla tensione V ed il condensatore C2 scarico. In particolare determinare le equazioni necessarie alla soluzione e le condizioni iniziali, la forma analitica di I2 e l andamento temporale durante il transitorio della tensione ai capi del condensatore C2. C1 = 1µF C2 = 6µF R1 = 90Ω R2 = 75Ω

4 Per i transitori del secondo ordine, come quello in figura, si agisce in più modi: noi prendiamo il circuito reso passivo, lo apriamo in un punto qualsiasi e ricaviamo la l impedenza equivalente in relazione ad un incognita λ, tenendo conto che le resistenze rimangono tali, mentre le impedenze dei condensatori assumono una forma del tipo 1/λC e gli induttori λl. 1 Z EQ = 1/λC 1 + 1/R 2 + 1/ ( 1/λC 2 + R 1 ) risolvo rispetto a λ e poniamo tutto uguale a zero: R 1 C 2 + C 2 R 2 + C 1 R 2 1 λ 2 + λ + = 0 C 1 C 2 R 1 R 2 C 1 C 2 R 1 R 2 Diciamo che E che R 1 C 2 + C 2 R 2 + C 1 R 2 = 2β C 1 C 2 R 1 R 2 1 = ω 2 C 1 C 2 R 1 R 2 Calcolo β 2 = e ω 2 = , sostituendo i valori reali di C, R, L ed se β 2 ω 2 allora la soluzione finale della corrente sarà del tipo I 2 (t) = A e -λ 1t + B e -λ 2t + R Dove R è la soluzione a regime e all esponente inserisco le soluzioni dell equazione caratteristica λ. λ1 = λ2 = - 6 * 10-3 trovo le condizioni a regime, ovvero per t = : l interruttore è chiuso e i due condensatori saranno entrambi scarichi, poiché la corrente generata dalla differenza di potenziale del primo condensatore verrà dissipata nei resistori col procedere di t. I 2 ( ) = 0 V 2 ( ) = 0 R = 0 Ora dobbiamo ricavare le condizioni iniziali necessarie a trovare le due costanti A e B. Al chiudersi dell interruttore i due condensatori si trasformano in due generatori ideali di tensione, C1 = V quello a sinistra, e C2 = 0 quello a destra. Posso ricavare la corrente I 2 (0 + ) che avrà valore V A facendo semplici operazioni sulle maglie ( faccio un partitore di tensione sapendo la il potenziale totale e divido per la resistenza sul ramo di R1 ).

Nell istante t = 0, I 2 (0 + ) = A + B = 6.

5 Nell istante t = 0, I 2 (0 + ) = A + B = V A La seconda condizione si ricava applicando Kirchoff ai nodi e alle maglie, scrivendo le rispettive equazioni e ricavando le derivata della corrente nel tempo 1_ I = I1 + I2 2_ V I1R2 = 0 3_ I1R2 I2R1 = 0 4_ V I2R1 = 0 sapendo che V = 1/C I dt, e derivando tale espressione ottengo che dv/dt = 1/C * I derivo la quarta equazione di 2 /dt = 1/R 1 * dv/dt che significa scrivere di 2 /dt =1/R 1 C * I = posso così ricavare il valore della derivata prima di I 2 e sostituire nell equazione della corrente, opportunamente derivata nel punto zero, ottenendo il secondo vincolo per ricavare A e B A + B = V A * 10-3 B = risolvendo il sistema si trovano A e B e si trova la forma analitica della corrente nel tempo: I 2 (t) = A e -λ 1t + B e -λ 2t + R I 2 (t) = e 4.079t e t Il grafico della funzione ricavata ha un andamento simile a questo:

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