Regime stazionario e circuiti resistivi

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1 Lezione n.6 Regime stazionario e circuiti resistivi. Circuiti in regime stazionario e circuiti resistivi. Resistenza equivalente. Resistenza serie. Resistenza parallelo. Esercizio. Circuiti resistivi con un generatore. Punto di lavoro del circuito 4. Teorema di Millmann 5. Partitori di tensione e di corrente 5. Esercizio 6. Serie e parallelo di generatori ideali 7. Trasformazione stella triangolo 7. Esercizio: circuito a ponte Tag: regime stazionario, circuito resistivo, resistenza e conduttanza equivalente, bipoli connessi in serie, bipoli connessi in parallelo, resistenza serie, resistenza parallelo, teorema di Millmann, partitore di tensione, partitore di corrente, trasformazione stella-triangolo, circuito a ponte, punto di lavoro di un circuito. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

2 . Circuiti in regime stazionario e circuiti resistivi Quando in un circuito dinamico i generatori sono costanti e vogliamo calcolare la soluzione di regime, consideriamo i condensatori come circuiti aperti e gli induttori come corti circuiti. l circuito lo diciamo essere in regime stazionario. n tale regime tutte le grandezze presenti nel circuito sono costanti. n tal caso le grandezze le indicheremo con lettere maiuscole. Un circuito in regime stazionario è costituito unicamente da generatori e da resistenze. Un circuito costituito da soli generatori e resistenze si definisce circuito resistivo. Un circuito resistivo non è detto che sia stazionario in quanto le grandezze possono variare nel tempo. Un circuito resistivo è un circuito adinamico, questo vuol dire che tutte le grandezze presenti in ogni istante dipenderanno dalle altre solo in quello stesso istante. n questo caso trovare la soluzione vorrà dire determinare come le grandezze incognite del circuito dipendono dalle grandezze note dei generatori. Se questi variano nel tempo le grandezze determinate seguono i forzamenti nel tempo. Questa considerazione basta per intuire che nella risoluzione di circuiti resistivi non ha senso considerare generatori variabili nel tempo in quanto quello che interessa è individuare la dipendenza delle grandezze incognite dai generatori e non il loro andamento temporale. C è da dire inoltre che i circuiti resistivi non stazionari descrivono un sistema idealizzato in quanto, in questo caso, si sono trascurati gli effetti capacitivi e induttivi comunque presenti. Questi possono essere trascurati se il regime è lentamente variabile, al limite stazionario. n conclusione per noi circuito resistivo è sinonimo di circuito dinamico in regime stazionario. Lo studio di un circuito dinamico in regime stazionario si riconduce allo studio di un circuito resistivo. Nel seguito introdurremo una serie di strumenti per i circuiti resistivi che ci aiuteranno quando saremo alla ricerca dell integrale particolare di un regime stazionario di un circuito dinamico. noltre c è da dire che una volta acquisiti questi strumenti, anche il regime sinusoidale sarà facilmente indagato in quanto con il metodo dei fasori si perviene ad un circuito equivalente che può essere studiato con l approccio del regime stazionario. edremo anche che quando calcoleremo la risposta forzata di un circuito dinamico usando la trasformata di Laplace, useremo un circuito equivalente trattabile come quelli in regime stazionario. Quindi studiare i circuiti resistivi è molto importante.. Resistenza equivalente Cominciamo col vedere il concetto di resistenza equivalente. Consideriamo i due morsetti A e B della Fig.. Si osservi nei circuiti resistivi le grandezze si indicano con la lettera maiuscola. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

3 A B Fig. _ Circuito nel quale vogliamo calcolare una resistenza equivalente. l sottocircuito a destra dei morsetti A e B costituito da sole resistenze equivale ad un unica resistenza che chiameremo R eq. Questa può essere definita come rapporto tra la tensione e la corrente di Fig.. Cioè R eq =/. l punto è: come calcolare la R eq? Cominciamo col considerare due casi semplici. Consideriamo due resistenze prima in serie e poi in parallelo. Questi due casi sono sufficienti a calcolare la resistenza equivalente vista da due morsetti di un qualsiasi circuito resistivo anche se molto complesso. Si procede per riduzioni successive di serie e paralleli fino a giungere ad un unica resistenza. Tuttavia c è un caso in cui questo procedimento è costretto ad arrestarsi: quando nel circuito è presente un triangolo o una stella. edremo alla fine di questa lezione come trattare questo caso anomalo. Definiamo innanzitutto (l avevamo anticipato nella Lezione n.) cosa sono i bipoli connessi in serie ed in parallelo: Due bipoli si dicono connessi in serie, o più brevemente si dicono in serie, quando hanno un solo morsetto in comune e quando la corrente di un bipolo entrante nel morsetto comune è uguale a quella dell altro bipolo uscente dal morsetto comune. Due bipoli si dicono connessi in parallelo, o più brevemente si dicono in parallelo, quando ognuno dei due ha i due morsetti in comune all altro e quando hanno la medesima tensione. l concetto di serie e parallelo di bipoli si può estendere a più di due bipoli. Nel senso che si possono considerare più di due bipoli posti in serie o più di due bipoli posti in parallelo. Stiamo trattando con resistenze. ediamo di trovare una resistenza equivalente alla serie e poi al parallelo di due resistenze. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

4 . Resistenze serie R R Req Fig. _ Resistori in serie e resistenza equivalente. Per i resistori in serie di Fig. utilizziamo le leggi di Kirchhoff = +, =. () Poi le relazioni caratteristiche =R, =R () Ponendo = =, otteniamo quindi = + =R +R =(R +R )=R eq, () Dove abbiamo introdotto la resistenza equivalente R eq = R +R. (4) Osserviamo che, quanto ottenuto per due resistori, è banalmente vero per un qualsivoglia numero N finito di resistori, ottenendo la relazione più generale: eq N i. i= R = R (5) Attenzione a non prendere abbagli: ad esempio la Fig. mostra due resistenze non in serie! Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 4/

5 R R Fig. _ Resistenze non connesse in serie!. Resistenze parallelo R Req R Fig. 4 _ Resistori in parallelo e resistenza equivalente. Per i resistori in parallelo di Fig. 4 utilizziamo le leggi di Kirchhoff = +, =. (6) Poi, ancora, le relazioni caratteristiche =R, =R (7) Ponendo = =, otteniamo quindi R +R R R R R R eq, (8) dove abbiamo introdotto la resistenza equivalente Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 5/

6 R R R =. (9) eq R +R Si fa osservare che quanto ottenuto per due resistori, è banalmente vero per un qualsivoglia numero N finito di resistori, ottenendo la relazione più generale: R = eq N i= R i. (0) Nel caso del parallelo risulta comodo calcolare la conduttanza equivalente anziché la resistenza equivalente. Risulta infatti eq N i. () i= G = G È chiaro che possiamo considerare resistenze equivalenti serie e parallelo anche nel caso di circuiti dinamici.. Esercizio Calcoliamo la resistenza equivalente vista dai morsetti A-B e A -B del circuito considerato in Fig. 5. Osserviamo che quando parliamo di resistenza equivalente dobbiamo sempre specificare a quale coppia di morsetti ci stiamo riferendo. nfatti a seconda della scelta della coppia di morsetti rispetto ai quali vogliamo calcolare la resistenza equivalente le resistenze possono considerarsi in serie e in parallelo tra loro. Nel caso di A-B osserviamo che R 4 è in parallelo a R 5 e quindi in serie a R ed R, il tutto in parallelo ad R. n calcoli: R 45 = R 4 R 5 / (R 4 + R 5 ), R 45 = R 45 + R, R 45 = R 45 + R, R eq = R 45 R /(R 45 + R ), () Nel caso dei morsetti A - B osserviamo che R 4 è in parallelo a R 5 e quindi in serie ad R ed R, il tutto in parallelo ad R. n calcoli: Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 6/

7 R 45 = R 4 R 5 / (R 4 + R 5 ), R 45 = R 45 + R, R 45 = R 45 + R, R eq = R 45 R /(R 45 + R ). () Come possiamo verificare le resistenze equivalenti dei due casi sono diverse!! A B A R R R R 4 R 5 B Fig. 5 Circuito resistivo.. Circuiti resistivi con un generatore n questo paragrafo richiamiamo l attenzione su un circuito semplicissimo il più semplice: un generatore che alimenta una resistenza. La resistenza considerata può essere una resistenza equivalente come quella calcolata nella () o nella (). mmaginiamo di collegare un generatore di tensione o di corrente alla porta A B o A B. Consideriamo i circuiti (a) e (b) di Fig. 6. Per la relazione caratteristica del resistore possiamo scrivere: = R eq. Da questa equazione possiamo ottenere nel caso (a): = J e = R eq J, (4) e nel caso (b): = E e = E / R eq. (5) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 7/

8 J E R eq R eq (a) (b) Fig. 6 Resistenza con un generatore di corrente e di tensione.. Punto di lavoro del circuito Avendo a che fare con circuiti resistivi e quindi con circuiti adinamico ha senso considerare il piano cartesiano. ediamo come in tale piano ricaviamo la (4) e la (5) graficamente. Per il circuito di Fig. 6 (a) esaminiamo il grafico di Fig. 7 (a). n tale grafico abbiamo considerato la retta relativa alla relazione caratteristica del resistore = R eq e quella del generatore di corrente = J; nella Fig. 7 (b) abbiamo considerato invece la retta relativa al generatore di tensione = E. Nei due grafici il punto di intersezione delle due rette evidenziato con un punto nero si chiama punto di lavoro del circuito. R eq J J Fig. 7 (a) Punto di lavoro del circuito di Fig. 6 (a). Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 8/

9 E E/R eq Fig. 7 (b) Punto di lavoro del circuito di Fig. 6 (b). 4. Teorema di Millmann Quando un circuito è riducibile a soli due nodi A e B, è possibile determinare la tensione ai capi dei nodi in modo alquanto semplice grazie al teorema di Millman che ci permette di calcolare la tensione tra due nodi quando il circuito è nella forma di Fig. 8. l teorema afferma che: la tensione tra i due nodi della rete è data dal rapporto: al numeratore - la somma algebrica delle tensioni dei generatori divise per la resistenza del ramo ad esso relativo e i generatori ideali di corrente; al denominatore - la somma delle conduttanze di tutti i rami tra quelle presenti dove vi sono generatori ideali di corrente. segni dipendono dai versi fissati sui generatori. Convinciamoci con un esempio dell enunciato. Consideriamo il circuito di Fig. 8. ogliamo calcolare la tensione AB. l circuito in esame rappresenta il caso più generale possibile nel quale ho tutti i tipi di rami ammissibili tra i nodi A e B. Gli esercizi a cui poter applicare la formula di Millman potranno avere configurazioni diverse dalla Fig. 8, l importante è che abbiano i rami uguali ad uno di quelli presenti nelle Fig. 8. Non è quindi ammesso un lato in cui sia presente un generatore ideale di tensione. n questo caso la tensione AB sarebbe uguale alla tensione del generatore ideale! Per determinare la tensione presente tra i nodi A e nel circuito di Fig. 8, cominciamo con l imporre che la somma di tutte le correnti presenti nei rami è nulla: 4 0. (6) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 9/

10 Poi esprimeremo tutte le correnti in funzione della tensione AB dove questo sia possibili. Scriviamo che: E AB, R R AB noltre teniamo conto del fatto che = J e 4 = J 4. Sostituendo nella (6) otteniamo: E AB AB J J4 0, R R Da cui otteniamo quanto richiesto: AB E +J +J 4 R. + R R (7) A J J 4 E AB R R R B Fig. 8 Circuito su cui applicare il teorema di Millmann. Questo metodo in apparenza può sembrare limitato in quanto si devono avere reti della forma rappresentata in Fig. 8, ma se parti della rete di partenza vengono prima trasformate secondo il teorema di Thevenin (vedi Lezione n. 7) ottenendo lati con generatori reali di tensione, si arriva ad una rete semplificata come quella dell esempio. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 0/

11 5. Partitore di tensione e di corrente l partitore di tensione riguarda due resistenze poste in serie (unico modo per applicare il partitore!). R R Fig. 9 _ Resistenze in serie per il partitore di tensione. Se conosco il valore di due resistenze poste in serie posso, indipendentemente dal valore della corrente, sapere come si ripartisce la tensione sulle due resistenze. ediamo come. Utilizzando la resistenza equivalente serie, abbiamo = + = R +R = R eq (8) =/R eq. (9) Pertanto R R R e R = eq R. (0) R eq Attenzione! l partitore di tensione si può applicare solo nel caso di resistenze in serie. Non, ad esempio, per le resistenze R e R di Fig.. l partitore di corrente riguarda due resistenze poste in parallelo (unico modo per applicare il partitore!). Se conosco il valore di due resistenze poste in parallelo posso, indipendentemente dal valore della tensione, sapere come si ripartisce la corrente tra le due resistenze. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

12 R R Fig. 0 _ Resistenze in parallelo per il partitore di corrente. Utilizzando la resistenza equivalente parallelo = R eq () Dalle relazioni caratteristiche otteniamo banalmente R R e R R R +R eq = R R. () R R R +R eq = = Attenzione anche al partitore di corrente. Deve essere usato solo se le resistenze sono in parallelo. l concetto di partitore naturalmente può venire usato per sole resistenze anche nei circuiti dinamici. 5. Esercizio Consideriamo il circuito di Fig.. ogliamo calcolare la tensione sul resistore R 4 utilizzando i partitori di corrente e tensione. Per prima cosa osserviamo che la tensione è la tensione del resistore equivalente al parallelo di R 4 ed R 5, pertanto ci conviene considerare la R 45 =R 4 R 5 /(R 4 +R 5 ). l circuito è lineare, quindi possiamo utilizzare la sovrapposizione degli effetti. Calcoliamo la tensione come sovrapposizione di due contributi dovuti rispettivamente al generatore E e J: = E + J. () Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

13 J R R E R R 4 R 5 Fig. Esercizio con metodo dei partitori di corrente e tensione. Cominciamo con il calcolo di E. Dobbiamo spegnere il generatore di corrente (Fig. (a)) quindi considerare un circuito aperto al posto del generatore J. La tensione E è una parte della tensione del generatore E. nfatti questo si trova in parallelo alla resistenza equivalente serie R +R +R 45 ; pertanto possiamo applicare il partitore di tensione: E R R +R +R 45 E. (4) 45 R R E R E R 45 Fig. (a) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

14 J J R R R J R 45 Fig. (b) Controllate sempre il segno quando applicate il partitore; in questo caso è positivo perché i versi delle tensioni E ed E sono concordi. Spegniamo ora il generatore di tensione sostituendogli un corto circuito (Fig. (b)) per calcolare il contributo J. Osserviamo che la resistenza R 45 questa volta si trova, rispetto al generatore di corrente J, in serie alla resistenza R (essendo cortocircuitata la R ) e la loro serie è in parallelo alla R. Quindi possiamo applicare il partitore di corrente tra R e R + R 45 e calcolare la corrente del resistore R 45 diciamola J : J R R +R +R J, (5) 45 Ed infine calcoliamo la tensione utilizzando la relazione caratteristica del resistore: R R 45. R =. (6) J 45 J J R +R +R Serie e parallelo di generatori ideali l concetto di bipolo equivalente in serie ed in parallelo, può essere esteso ai generatori di tensione e di corrente ideali. Commentiamo la Fig.. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 4/

15 Nel primo caso applicando la legge di Kirchhoff banalmente troviamo che i due generatori in serie equivalgono ad un unico generatore il cui valore è la somma dei due. Nel secondo caso il generatore di corrente impone la sua corrente in entrambi i generatori posti in serie, mentre la tensione rimane indeterminata essendo = J +E con J indeterminata. Nel terzo caso si ha una incompatibilità. generatori impongono ognuno la propria corrente entrando in conflitto. Ma questo non ci è nuovo. Nella mia teoria posso usare i generatori ideali, che sono elementi ideali appunti, ma devo stare attenta a non collegarli insieme in modo da farli essere in conflitto. E E=E +E E E J J J ncompatibile! J Fig. _ Connessione serie di generatori ideali. Commentiamo la Fig. che darà risultati duali della Fig.. l primo caso è banale! Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 5/

16 Nel secondo caso la corrente E del generatore di tensione è indeterminata e quindi lo è, mentre la tensione è fissata dal generatore di tensione. Nel terzo caso ancora abbiamo una situazione incompatibile. nfatti i generatori di tensione chiudono una maglia entrando in conflitto con i loro valori e questo non è ammesso dal mio modello. J J J=J +J E J E E E ncompatibile! Fig. _ Connessione parallelo di generatori ideali. È chiaro che connessioni serie e parallelo di generatori ideali possono essere considerate anche in regime dinamico. Basterà considerare l equivalenza per ogni istante temporale. 7. Trasformazione stella - triangolo i sono alcuni casi in cui non è possibile trovare una resistenza equivalente in quanto non è possibile procedere alla riduzione serie o parallelo. È il caso di Fig. 4. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 6/

17 olendo calcolare la resistenza equivalente vista ai morsetti A-B non è possibile procedere con serie e paralleli. Ciò è dovuto alla presenza di stelle e triangoli nella connessione di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente. Le resistenze R, R e R formano un triangolo così come le resistenze R, R 4 e R 4. Le resistenze R, R e R 4 formano una stella così come le resistenze R, R 4 e R. Per ovviare a questo problema si procede effettuando una trasformazione da triangolo in stella o viceversa. Ad esempio se trasformiamo il triangolo R, R e R in una stella (R, R e R ) possiamo poi procedere al calcolo della resistenza equivalente complessiva. A R R R B R4 R4 4 Fig. 4 Esempio di connessione di resistenze non riducibili ad una resistenza equivalente. Una volta ottenuto il circuito di Fig. 5 è facile calcolare la resistenza equivalente basta fare: R serie con R 4, parallelo con R serie R 4, il tutto in serie a R. Si osservi come, nella Fig. 5 si può osservare la comparsa di un nuovo nodo, il 5, corrispondente al centro stella della stella equivalente al triangolo originario. Questo modo di procedere si può generalizzare a tutti i casi in cui vi sono stelle o triangoli che intralciano la riduzione. ntroduciamo allora delle espressioni di trasformazione tra stella e triangolo a cui riferirsi quando necessita. nnanzitutto diciamo che una stella e un triangolo ai loro tre morsetti sono equivalenti se i valori delle resistenze della stella e quelle del triangolo stanno tra loro in una certa relazione. ogliamo trovare questa relazione. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 7/

18 A R 5 R R R4 R4 B 4 Fig.5 Circuito di Fig. 4 dove è stata effettuata una trasformazione triangolo stella. n riferimento alla Fig.6, dove abbiamo rappresentato una configurazione a triangolo e una a stella, calcoliamo i legami tra le resistenze (R, R, R ) e (R, R, R ). R R R R R triangolo stella R Fig.6 Tre resistori connessi a triangolo (a sinistra) e a stella (a destra). Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 8/

19 Abbiamo bisogno di tre equazioni che legano le tre terne di parametri. A tale scopo imponiamo l equivalenza delle due configurazioni (a stella e triangolo) in tre casi diversi. R R R R R triangolo =0 stella =0 R Fig. 7 Tre resistori connessi a triangolo e a stella alimentati con un generatore di corrente. caso) Colleghiamo un generatore di corrente, come abbiamo fatto nella Fig. 7, tra i morsetti e, diciamolo, e lasciamo il morsetto fluttuante:, -, 0. (6) caso) Colleghiamo un generatore di corrente tra i morsetti e, diciamolo, e lasciamo il morsetto fluttuante:, -, 0. (7) caso) Colleghiamo un generatore di corrente tra i morsetti e, diciamolo e lasciamo il morsetto fluttuante:, -, 0. (8) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 9/

20 mponiamo l equivalenza per la prima configurazione (caso ): Le tensioni stella e triangolo imponiamo che siano uguali, cioè: stella triangolo. Essendo: R e R R stella R +R +R. triangolo si ottiene la relazione cercata: R R R +R +R R =. (9) mponendo, inoltre, l equivalenza per le altre due analoghe configurazioni si ottengono le altre due relazioni: R R R +R +R R =, (0) R R R +R +R R =. () n definitiva la trasformazione triangolo stella è dato dalle relazioni (9), (0) e (). Per la trasformazione stella triangolo è necessario invertire le relazioni trovate. Si ha: R R R =R +R +, R () R R R =R +R +, R () R R R =R +R +. R (4) Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 0/

21 7. Esercizio: circuito a ponte Consideriamo il circuito a ponte di Fig. 8. ogliamo calcolare il valore della tensione 4 sulla resistenza R 4. Dati: E=0olt, R = R = R = R 4 = R 4 = meno di risolvere scrivendo tutte le equazioni di Kirchhoff per il circuito, dobbiamo procedere ad una trasformazione stella-triangolo se vogliamo utilizzare i partitori di tensione e corrente. Facciamo riferimento alla Fig. 9 dove abbiamo operato la trasformazione triangolo stella. Dalle (9), (0) e (): R R R R R =, R +R +R R +R +R R R R =. R +R +R R =, A questo punto possiamo considerare le resistenze serie: R +R 4 ; R +R 6 e il loro parallelo R 4 eq R R E R R4 R4 4 Fig. 8 Circuito a ponte. 4 Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /

22 R R R E R4 R4 4 Fig. 9 Circuito di Fig. 8 con sostituzione stella triangolo. 4 Con il partitore di tensione possiamo calcolare la tensione sulla R eq : eq R 65 R +R olt eq E. eq Possiamo infine applicare ancora un partitore di tensione tra R e R 4 : R 75 R +R 6 olt. 4 4 eq 4 L esercizio è risolto. Si propone allo studente di risolvere il seguente quesito: come devo scegliere il valore delle resistenze affinché nel resistore R di Fig. 8 non circoli corrente. Questa condizione si verifica in caso di ponte equilibrato. Corso di Elettrotecnica Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 07/08 /