Esame di Teoria dei Circuiti - 6 luglio 2009 (Soluzione)

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Alessandro Natali
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1 Esame di Teoria dei Circuiti - 6 luglio 009 Soluzione) Esercizio 1 C T V C T 1 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: r 1kΩ, C 1µF 10 6 F, 4V, ma. Per t < t 0 0sec l interruttore T 1 è chiuso, l interruttore T è aperto ed il circuito è a regime. All istante t t 0 l interruttore T 1 si apre, mentre all istante t t 1 1msec 10 3 sec l interruttore T si chiude. Determinare l andamento della tensione V C t). Soluzione Per t < 0 l interruttore T 1 è chiuso e T è aperto. In questa configurazione si calcoli la tensione V C0 ai capi della capacità all istante t 0. Il circuito si semplifica come segue: I C C V C0 Per via dell ipotesi che il circuito sia a regime, I C 0 e la tensione V C0 è data da V C0 V All istante t t 0 0sec l interruttore T 1 si apre. Il circuito da esaminare diventa il seguente: V C I C C dove I C. Si tratta quindi di una carica a corrente costante, in cui la tensione ai capi della capacità vale V C t) V C0 1 C t 0 dτ V C0 C t All istante t t 1 1msec l interruttore T 1 si chiude. In questo istante comincia un secondo transitorio, il cui valore iniziale della tensione della capacità è dato dal valore raggiunto in t 1 V C0 V C t 1 ) V C0 C t 1 4V Per calcolare il transitorio di carica, si ricorra all equivalente di Thevenin del circuito conneso alla capacità. Si supponga quindi di sostituire alla capacità stessa un generatore ideale di corrente I e di calcolare la tensione V ai suoi capi. 1

2 R I 1 1) ) I R3 I R V R V V I0 Il bilancio delle correnti al nodo 1) I I R assieme al bilancio delle tensioni alla maglia formata da, e permette di calcolare e quindi V R I R I I V R I) I I Analogamente, dal bilancio delle correnti al nodo ) I R3 I e dal bilancio delle tensioni alla magila formata da,, e si ha I R3 V I0 r I I ) V I0 V I0 r I I ) V V R V I0 I r I I ) r r I R }{{ R } 1 R }{{ } V eq) V R eq) 1kΩ Per t > t 1 la tensione V C t) è data quindi da con τ R eq) C 1msec. V C t) V eq) V C0 V eq)) e tt 1 τ

3 Esercizio αi R3 I 1 I R I R3 I V β 1 V I x ri R Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: 1kΩ, 3kΩ, kω, α, β 7 8, r 1kΩ, 5kΩ, V, 5mA. Calcolare: la descrizione del due porte tramite matrice delle conduttanze quale valore della corrente del generatore I x rende nulla la potenza erogata o dissipata) dal generatore di tensione, qualora si supponga di collegare al due porte calcolato al punto precedente il generatore alla porta 1, ed i generatori I x, la resistenza alla porta, come mostrato in figura. Soluzione Per trovare la matrice delle conduttanze si supponga di collegare al due porte i due generatori ideali di tensione V 1 e V e di calcolarne le correnti I 1 e I. αi R3 1) I R I R3 ) I 1 I V 1 β V ri R Si noti che i tre generatori di tensione V 1, V e ri R formano un albero; tramite essi è quindi possibile esprimere tutte le tensioni del circuito e quindi le correnti delle tre resistenze. V 1 I R V 1 ri R I R V 1/ 1 r/ V 1 r I R3 ri R V rv 1 r) V Le correnti I 1 e I sono date rispettivamente dal bilancio della correnti ai nodi 1) e ). I 1 I R αi R3 V 1 V 1 r α rv 1 r) V ) 1 1 r αr V 1 α V r) }{{}}{{} 11 1mΩ 1 1 1mΩ 1 3

4 rv 1 I αi R3 β I R3 α 1) r) α 1) V β V 1 β α 1)r V 1 α 1 r) }{{}}{{} 1 1mΩ 1 V 1 mω1 Per il secondo punto dell esercizio, il circuito da considerare è il seguente, dove si è indicato con V 1) e I1) ) la tensione e la corrente alla porta 1 di, e con V e I) tensione e corrente alla porta. I 1) V 1) V ) I ) 1) I R4 I x I V0 Dal bilancio delle correnti al nodo 1) si ottiene La tensione V 1) I ) I R4 I x 1 V 1) V ) I I x si può ricavare dall equazione costitutiva di 11 V 1) 1V ) V 1) 1 V ) mentre la tensione V ) si può ricavare dal bilancio delle tensioni alla maglia costituita da, e la porta di V ) I R4 I Sostituendo queste due espressioni nel bilancio delle correnti al nodo 1) si ottiene I I0 1 ) 1 I ) I ) I I x I I I I x I 11 I x Imporre che abbia potenza nulla significa imporre che P I 0 ovvero che I x

5 I x ma Esercizio 3 V 3 1) V 4 R 5 R 6 V V 1 R 8 R 7 R 9 V 1 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori:... R 9 1kΩ, 4V, V 1 1V, 6mA. Si supponga inoltre che gli amplificatori operazionali siano ideali e che lavorino sempre nella zona ad alto guadagno. Calcolare le tensioni di uscita degli operazionali V1, V, V3 e V4. Soluzione Si considerino i versi delle correnti come indicato in figura. Inoltre, si esamini l operazionale 1. Per via del corto circuito virtuale ai suoi ingressi, si ha V 1 0 V 1. Ne segue che V 1 V 1 V 1 V 1 1V Anche per l operazionale si ha V 0 V. Inoltre, poiché gli ingressi dell operazionale non assorbono corrente, si ha I R5. Ne segue che V V R 5I R5 R 5 6V La condizione di corto circuito virtuale per gli ingressi dell operazionale 3 determina V 4 : V 3 V3 V 3 I R I R3 V 4 V 3 I R I R3 1 ) 1V A determinare V3 è invece la condizione di corto circuito virtuale per gli ingressi dell operazionale 4 V4 V 3 I R 1 R ) V 4 5

6 unita al bilancio delle correnti al nodo 1) V 3 V 4 I R4 I R6 I R8 I R9 V V 4 R 6 V3 1 R 6 R 8 R 9 ) 1 R 6 R 8 R 9 1 V 1 V 4 ) V 4 V 4 R 8 R 9 V1 V R 8 R 6 ) V1 V 14V R 8 R 6 6

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