{ v 1. { i 1. Doppi Bipoli. Matrice R (Rappresentazione controllata in corrente)

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1 oppi ipoli I I 2 V V 2 Figura : Esempio di un doppio bipolo Matrice R (Rappresentazione controllata in corrente) Esempio a pagina 7 Per ricavare R ed si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti ed ', lasciare aperti i morsett e 2' ( = 0) e calcolare v e. Per ricavare ed si deve applicare un generatore di corrente tra 2 e 2', lasciare aperti i morsetti ed ' (i = 0) e calcolare v e. { v = R i R i 2 2 = R i = v R = v i = 0 = v i = 0 = i = 0 = i = 0 R ed prendono il nome di Resistenza Propria, mentre ed di Resistenza Mutua. Matrice G (Rappresentazione controllata in tensione) Per ricavare G e G 2 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti ed ', collegare i morsett e 2' tramite un corto circuito ( = 0) e calcolare i ed. Per ricavare G 2 e si deve applicare un generatore di tensione tra i morsett e 2', collegare i morsetti ed ' tramite un corto circuito (v = 0) e calcolare i ed. { i = G v G 2 = G 2 G G 2 G 2 v = i Esempio a pagina 8 G = i v = 0 G 2 = i v = 0 G 2 = v = 0 = v = 0 G e prendono il nome di onduttanza Propria, mentre G 2 e G 2 di onduttanza Mutua. leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli

2 Matrice H (Rappresentazione ibrida) Per ricavare H ed H 2 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti e ', collegare i morsett e 2' tramite un corto circuito ( = 0) e calcolare v ed. Per ricavare H 2 ed si deve applicare un generatore di tensione tra i morsett e 2', lasciare aperti i morsetti ed ' (i = 0) e calcolare v ed. { v = H i H 2 = H 2 i H H 2 H 2 i = v H = v i = 0 H 2 = v i = 0 H 2 = i = 0 = i = 0 H = Resistenza di ingresso H 2 = Guadagno di corrente H 2 = Guadagno di tensione = onduttanza di ingresso Matrice H' (Rappresentazione ibrida inversa) Per ricavare H' ed H' 2 si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti ed ', lasciare aperti i morsett e 2' ( = 0) e calcolare i e. Per ricavare H' 2 ed H' 22 si deve applicare un generatore di corrente tra i morsett e 2', collegare i morsetti ed ' tramite un corto circuito (v = 0) e calcolare i e. { i = H ' v H ' i 2 2 = H ' 2 v H ' H ' 2 H ' 2 v = i H ' = i v = 0 H ' 2 = i v = 0 H ' 2 = v = 0 = v = 0 H = onduttanza di ingresso H 2 = Guadagno di tensione H 2 = Guadagno di corrente = Resistenza di ingresso leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipol

3 Matrice T (Rappresentazione con matrice di trasmissione) Le grandezze della porta (2-2') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (-') sono dipendenti. Per ricavare e, si deve applicare un generatore di tensione tra i morsetti ed ', lasciare aperti i morsett e 2' ( = 0) e calcolare v ed i. Per ricavare e, si deve applicare un generatore di corrente tra i morsetti ed ', collegare i morsett e 2' tramite un corto circuito ( = 0) e calcolare v ed i. { v = i = = v i = v = 0 = v = 0 = i = 0 = i = 0 = Guadagno di tensione = Transconduttanza diretta = Transresistenza diretta = Guadagno di corrente Matrice T' (Rappresentazione con matrice di trasmissione inversa) Le grandezze della porta (-') sono variabili indipendenti, mentre quelle della porta (2-2') sono dipendenti. Per ricavare ' e ', si deve applicare un generatore di tensione tra i morsett e 2', lasciare aperti i morsetti ed ' (i = 0) e calcolare ed. Per ricavare ' e ', si deve applicare un generatore di corrente tra i morsett e 2', collegare i morsetti ed ' tramite un corto circuito (v = 0) e calcolare ed. { = ' v ' i = ' v ' i ' ' ' ' v i = ' = v i = 0 ' = i v = 0 ' = v i = 0 ' = i v = 0 = Guadagno di tensione = Transconduttanza diretta = Transresistenza diretta = Guadagno di corrente leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 3

4 Trasformazioni tra le rappresentazioni (Δ = eterminante della matrice) R R G H H' T T' G G 2 G G 2 G G G H H 2 H 2 H ' H ' 2 H ' H ' 2 H ' H ' H ' T ' ' T ' ' ' ' ' G R R R R R H H 2 H H 2 H H H H ' H ' 2 H ' 2 T ' ' T ' ' ' ' ' H R G G 2 G G 2 G G G H ' H ' 2 H ' H ' 2 H ' H ' H ' T ' ' T ' ' ' ' ' H' R R R R R G G 2 G 2 H H 2 H H 2 H H H T ' ' T ' ' ' ' ' T R R G 2 G 2 G G 2 G G 2 H H 2 H H 2 H 2 H 2 H ' 2 H ' 2 H ' H ' 2 H ' H ' 2 ' T ' ' T ' ' T ' ' T ' T' R R G G 2 G 2 G G 2 G 2 H 2 H H 2 H 2 H H 2 H ' H ' 2 H ' 2 H ' H ' 2 H ' 2 T T T T N.. : Per poter trasformare una rappresentazione in un' altra è necessario che i denominatori delle frazioni siano diversi da zero. Potenza totale assorbita da un doppio bipolo P totale = V I V 2 I 2 Il bipolo si dice passivo se per ogni insieme di tensioni e correnti che soddisfano le equazioni costitutive si ha: P totale > 0. Reciprocità e simmetria Un doppio bipolo è reciproco se date due coppie diverse di tensioni e correnti, che soddisfano le relazioni costitutive, se inverto le porte di ingresso e di uscita il circuito non cambia. La simmetria è la proprietà per cui se inverto le porte di ingresso e di uscita il comportamento del bipolo non cambia. Un bipolo simmetrico è anche reciproco, ma non vale il contrario. Rappresentazione ondizione di reciprocità e simmetria Matrice R = (simmetrico se anche R = ) Matrice G G 2 = G 2 (simmetrico se anche G = ) Matrice H H 2 = H 2 (simmetrico se anche: det(h) = ) Matrice H' H ' 2 = H ' 2 (simmetrico se anche: det(h') = ) Matrice T determinante di T = (simmetrico se anche = ) Matrice T' determinante di T' = (simmetrico se anche ' = ') leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 4

5 NOT ENE i seguito si usa la seguente convenzione: v ed i sono la tensione e la corrente entranti al collegamento tra i due bipoli (ovvero i è la corrente che circola in ingresso sulla linea nera più in alto e v è la tensione in ingresso tra la linea nera più in basso e quella più in alto) ed sono la tensione e la corrente uscenti dal collegamento tra i due bipoli (ovvero è la corrente che circola in uscita sulla linea nera più in alto e è la tensione in uscita tra la linea nera più in basso e quella più in alto) ollegamento di doppi bipoli in serie ipolo ipolo 2 Quando i bipoli sono collegati in serie, hanno le stesse correnti ai capi delle porte. i = i bipolo = i bipolo 2 = bipolo = bipolo 2 isogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in serie la rappresentazione con la matrice R. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in serie si farà la somma delle matrici R e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: v = R R bipolo bipolo 2 bipolo bipolo 2 bipolo bipolo 2 bipolo bipolo 2 i ollegamento di doppi bipoli in parallelo ipolo ipolo 2 Quando i bipoli sono collegati in parallelo, hanno le stesse tensioni ai capi delle porte. v = v bipolo = v bipolo 2 = bipolo = bipolo 2 isogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in parallelo la rappresentazione con la matrice G. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in parallelo si farà la somma delle matrici G e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: i = G G bipolo bipolo 2 G 2 bipolo G 2 bipolo2 G 2 bipolo G 2 bipolo2 bipolo bipolo 2 v ollegamento di doppi bipoli in cascata ipolo ipolo 2 Quando i bipoli sono collegati in cascata, la corrente entrante in un bipolo è la stessa che esce dal bipolo precedente. isogna ricavare per ognuno dei bipoli connessi in cascata la rappresentazione con la matrice T. Per trovare le correnti e le tensioni ai capi dei bipoli in cascata si farà la moltiplicazione delle matrici T e si risolverà il seguente sistema in forma matriciale: v i = = leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 5

6 Trasformatore ideale primario t secondario a : b V V 2 oppure V V 2 primario secondario Un caso particolare di doppio bipolo è il trasformatore ideale, che è in grado di modificare le tensioni e le correnti che sono poste in ingresso, amplificandole o smorzandole in uscita. Il circuito posto alla sinistra del trasformatore si chiama circuito primario, mentre quello posto a destra si chiama circuito secondario. Le relazioni di tensioni e correnti tra primario e secondario sono: = t v = v t t é il coefficiente di trasformazione da primario a secondario a queste relazioni è possibile ricavare una tabella pratica per le operazioni di trasporto dei componenti dal primario al secondario e viceversa: t è il coefficiente di trasformazione da primario a secondario. In caso di coefficiente (a:b) t = b/a a Primario Secondario a Secondario Primario R Resistenza R t 2 R Resistenza corrente t corrente E tensione E t E tensione Il trasformatore ideale non assorbe potenza e permette di cambiare il valore della tensione senza modificare la potenza complessiva del sistema: P assorbita = v i t v t = 0 R t 2 t E t leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 6

7 Esempio di Matrice R (per doppio bipolo a T) Teoria a pagina. Ricavo R ed : ollego un generatore di corrente a sinistra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I 2 = 0, per cui tolgo anche. v = R i Legge di Kircchoff alla maglia Posso trovare R ed : 2. Ricavo ed : = i Legge di Ohm R = R i i = R = i i = ollego un generatore di corrente a destra del doppio bipolo e lascio aperta l'altra coppia di morsetti. I 2 è la corrente imposta dal generatore di corrente ed I = 0, per cui tolgo anche R. v = Legge di Ohm Posso trovare ed : = Legge di Kircchoff alla maglia = R 2 = R = R R 3 2 = R Il sistema finale in forma matriciale è: v = R i leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 7

8 Esempio di matrice G (Per doppio bipolo a Π) Teoria a pagina Promemoria G = / R. Ricavo G e G 2 : Serie: G 2 = / (R + ) Parallelo: G 2 = /R + / ollego un generatore di tensione a sinistra del doppio bipolo e un corto circuito a destra. V è la tensione imposta dal generatore E, mentre V 2 = 0. ato che è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I 2 sarà quella che scorre in. i = v R oppure v R = v R R 3 Posso trovare G e G 2 : v G R = 2. Ricavo G 2 e : v = R Legge di Ohm I = G V V R G 2 = 3 = v ollego un generatore di tensione a destra del doppio bipolo e un corto circuito a sinistra. V 2 è la tensione imposta dal generatore E 2, mentre V = 0. ato che R è in parallelo con un corto circuito, la tolgo e la corrente I sarà quella che scorre in. i = i = 3 Posso trovare G 2 e : G 2 = = = 3. Il sistema finale in forma matriciale è: i = R v = leksandar Gotev Elettrotecnica oppi ipoli 8