Esercizi sui circuiti in fase transitoria

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1 Esercizi sui circuiti in fase transitoria Esercizio. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =.5 Ω,.5 Ω, Ω. τ = ms,.5 ms, 6 ms. Ω Ω.5 Ω i [A] k i [V] mh V Il circuito contiene un solo componente con memoria, cioè è un circuito del primo ordine. a caratteristica dell induttore è di/ = (induttanza nota). È quindi necessario determinare la tensione sull induttore (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando nota la variabile di stato i. Inoltre il generatore indipendente presente nello schema può essere azzerato, in quanto contribuisce solo con termine costante alla, ininfluente sulla costante di tempo. Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato l induttore tramite un generatore indipendente di A corrente a corrente impressa i e si è spento il.5 generatore di tensione indipendente. Applicando la KT alla maglia di destra si ha: AB.5i. Quindi AB.5i. a tensione v AB si può determinare direttamente applicando il teorema di Millman, oppure applicando la K al nodo A. In entrambi i casi si ha: i k i v ki v AB AB i = Ovvero B ki i v AB = = ( k )i Quindi = (. k.66)i.sostituendo nella caratteristica dell induttore si ha di/ = (. k.66)i di/ = (. k.66)i a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = (. k.66) ed il circuito è stabile solo se. k.66 < ovvero k <.5 Ω. a costante di tempo risulta pari a τ = /(.66. k) che nei tre casi richiesti fornisce τ = ms,.5 ms, 6 ms. (Si sarebbe giunti allo stesso risultato anche utilizzando la relazione τ = /R eq dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo collegato all induttore).

2 Esercizio. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =.5 S,.5 S. Ω v [V] k v [A] A τ =. ms, ms. Ω Il circuito contiene un solo componente con memoria, cioè è un circuito del primo ordine. a caratteristica del condensatore è dv/ = (capacità nota). È quindi necessario determinare la corrente sul condensatore (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando nota la variabile di stato v. Inoltre il generatore indipendente presente nello schema può essere azzerato, in quanto contribuisce solo con termine costante alla, ininfluente sulla costante di tempo. Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato il condensatore tramite un S v/ generatore indipendente di tensione a tensione impressa v (coincidente con la variabile pilota del generatore pilotato) e si è v k v spento il generatore di corrente indipendente. Applicando la K alla superficie chiusa S si v/ ha: = kv v/ v/. Quindi = (k.55)v. Sostituendo nella caratteristica del condensatore si ha 5 5 dv/ = (k.55)v dv/ = 4 (k.55)v a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = 4 (k.55) ed il circuito è stabile solo se (k.55) < ovvero k <.55 S. a costante di tempo risulta pari a τ = /(. k) che nei casi richiesti fornisce τ =. ms e ms. (Si sarebbe giunti allo stesso risultato anche utilizzando la relazione τ = R eq dove R eq è la resistenza equivalente del bipolo collegato al condensatore). Esercizio. Determinare la costante di tempo del circuito di figura per k =,,. Ω k v [V] τ = ms, ms, ms. Ω v [V] Il circuito è del primo ordine. a caratteristica del condensatore è d / =. È quindi necessario determinare la corrente sul condensatore considerando nota la variabile di stato.

3 Pertanto, nel circuito (unità SI) si è rappresentato il ( k) condensatore tramite un generatore indipendente di tensione a tensione impressa (la corrente sul condensatore ha il verso associato con la convenzione da utilizzatore) e si è cambiata la variabile pilota notando che v = (quindi kv = k ). Il k resistore sul ramo centrale e soggetto alla tensione v impressa dal generatore pilotato, quindi la corrente che k lo attraversa è k / = k. a corrente sul generatore pilotato si deduce applicando la K ad uno dei suoi terminali. Applicando la KT alla maglia di sinistra si ha: = k. Quindi = /( k). Sostituendo nella caratteristica del condensatore si ha 5 5 d / = /( k) d / = /( k) a matrice di stato è formata da un solo elemento, che coincide anche con il suo unico autovalore. Quindi λ = /( k)ed il circuito è stabile solo se ( k) > ovvero k >. a costante di tempo risulta pari a τ = ( k) che nei casi richiesti fornisce τ = ms, ms, ms. Esercizio 4. Determinare la matrice di stato (nell ordine, ) e la massima costante di tempo del circuito di figura. 6 Ω mh Ω [ Ss ] [ Ωs ] [ s ] A = τ max =.6 ms. Per determinare la matrice di stato è necessario definire le equazioni di stato del circuito. e caratteristiche dell induttore e del condensatore sono (l induttanza e la capacità sono assegnate): 6 di dv = i È quindi necessario determinare la tensione sull induttore e la corrente sul condensatore considerando note le variabili di stato. Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati i componenti con memoria tramite generatori indipendenti. / Per risolvere il circuito si noti che i due resistori sono in parallelo. Sostituendo il resistore equivalente da Ω (6 /(6) ) e notando che è collegato ai terminali del generatore di tensione, si deduce immediatamente la corrente circolante su di esso.

4 Applicando la K ad uno dei due nodi del circuito si ha quindi: = /. Per quanto riguarda la tensione sull induttore, la KT mostra che: =. Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di 5 dv 5 = i.5v d i v i = 4 4 v [ A] a matrice di stato [A] risulta quindi determinata. e unità SI dei coefficienti si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni. Per la prima equazione di stato, detta X l unità di misura incognita del secondo elemento della prima riga della matrice di stato e tenendo presente che corrente, tensione e tempo hanno come unità A, V e s, si ha: A/s = X V. Quindi X = A/(V s). Dato che il SI è razionale A/V = S e si ha infine X = S/s. Analogamente nella seconda equazione di stato, detta X l unità di misura incognita del primo elemento della seconda riga della matrice di stato, si ha: V/s = X A. Quindi X = V/(A s). Dato che il SI è razionale V/A = Ω e si ha infine X = Ω/s. Per quanto riguarda il secondo elemento della seconda riga della matrice di stato, si ha: V/s = X V. Quindi X = /s = s (questo ragionamento è identico per tutti gli elementi sulla diagonale principale della matrice di stato che quindi hanno sempre la stessa unità s ). Infine, per determinare le costanti di tempo del circuito è necessario calcolare gli autovalori della matrice di stato, risolvendo il polinomio: det( λ 4 7 [ A] λ[ I] ) = = λ λ = 4 4 λ I due autovalori sono quindi λ = 764 e λ = 76, entrambi reali e negativi (quindi il circuito è stabile, come si poteva dedurre subito dall assenza di generatori pilotati) e le costanti di tempo sono τ =.6 ms e τ =.8 ms. Esercizio 5. Determinare la matrice di stato (nell ordine, ) e la massima costante di tempo del circuito di figura. Ω Ω.5 mh [ s ] [ Ss ] [ Ωs ] [ s ] 4 A = τ max =. ms. è necessario determinare la tensione sull induttore e la corrente sul condensatore considerando note le variabili di stato. Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati i componenti con memoria tramite generatori indipendenti.

5 / a corrente sul ramo centrale si deduce notando che il resistore da Ω è soggetto alla tensione. Applicando la K ad uno dei suoi terminali si ha: / = e quindi = / Applicando la KT alla maglia di destra si ha: =. Quindi =. Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di dv = i = i v.v d i v 4 i = 4 v a matrice di stato [A] risulta quindi determinata. e unità SI dei coefficienti si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni. Per determinare le costanti di tempo del circuito è necessario calcolare gli autovalori della matrice di stato, risolvendo il polinomio: det( 4 7 [ A] λ[ I] ) = = λ 6 λ 4.8 = λ 4 λ I due autovalori sono quindi λ = 645j e λ = 645j, complessi coniugati con parti reali negative (quindi il circuito è stabile, come si poteva dedurre subito dall assenza di generatori pilotati) e la costante di tempo è τ =. ms (è una sola dato che gli autovalori hanno la stessa parte reale e quindi λ. = /τ ± j Ω). [ A] Esercizio 6. Determinare la matrice di stato del circuito di figura (nell ordine i,i,i )..5 Ω :. Ω i Ω i i A = s [ ].4 mh 6 mh.8 mh Per determinare la matrice di stato è necessario definire le equazioni di stato del circuito. e caratteristiche degli induttori sono indicate a destra (le induttanze, ed sono assegnate). E quindi necessario determinare le tensioni sugli induttori (versi associati con la convenzione da utilizzatore) considerando note le variabili di stato (le correnti i, i ed i ). Pertanto, nel circuito (unità SI) si sono rappresentati gli induttori tramite generatori indipendenti di corrente. di di di

6 i i i / v i / v / : v.5 i i. v A i Dato che la tensione sul primario del trasformatore ideale e la corrente sul secondario sono già definite, si possono dedurre la corrente sul primario e la tensione sul secondario utilizzando le caratteristiche del trasformatore ideale. Inoltre, applicando la K al nodo A si può dedurre la corrente circolante sul resistore da Ω. Per calcolare la tensione v si noti che è la tensione sul resistore da Ω. Quindi utilizzando la caratteristica del resistore si ha: v = (i i i /), ovvero v = i i 6i. Per calcolare la tensione v si applica la KT sulla maglia a sinistra:.5 i (i i i /), ovvero v = i.5i 6i ). Per calcolare la tensione v si applica la KT sulla maglia a destra: /. i v, ovvero v = 6i 6i 8.i ). Sostituendo nelle caratteristiche e passando alla notazione matriciale si ha quindi: di = i i 6i di = i.5i 6i di = 6i 6i 8.i d i i i i = i.5 i [ A] e unità SI dei coefficienti della matrice di stato [A] si deducono dall analisi dimensionale delle equazioni (s, infatti moltiplicando le correnti in A definisce per le derivate rispetto al tempo delle correnti l unità corretta: A/s).