. Il modulo è I R = = A. La potenza media è 1 VR 2

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1 0.4 La corrente nel resistore vale 0. l modulo è A. La potenza media è 0 W 0.7 l circuito simbolico è mostrato di seguito. La potenza viene dissipata solo nel resistore. 0, 4 - La corrente è 4 4 0, 0, 4,94 A 4 0,,76 W 0.9 Circuito simbolico. -0 g W 80 Ω Con la formula del partitore di tensione: g g er il c.c. virtuale dell op-amp la corrente nel resistore di kω ha ampiezza /k ma. er il c.a. virtuale la stessa corrente scorre nel resistore di 6 kω. La potenza dissipata è ½ 6 0 (0 - ) mw. Si noti come la fase del generatore sia ininfluente. 0. l circuito simbolico è mostrato di seguito. Dall espressione della potenza si ricava l ampiezza della tensione C :

2 C C π -0/π C C 4 noltre C π C 0 π A, C / π Z 0 C eff A C er il c.a. virtuale la tensione sul resistore da 40 Ω vale 0 rms. L operazionale funziona da inseguitore quindi la tensione di uscita ha valore efficace 0/. nfine la potenza richiesta è: eff W. 0. Lo sfasamento si può ricavare ricordando che SQ e Q/ tan ϕ. Dunque ϕ tan - (0,) La potenza di picco è pari alla somma della potenza attiva e della potenza apparente. Quest ultima è max 8 il modulo di S; dunque: p 4,4 W. 0.7 er la LKC, la corrente nel bipolo è A (diretta verso il basso). La tensione coincide con la tensione del resistore, dunque 0 0. La potenza complessa è S ½ * 60 Q. Quindi 60 W e Q 0 A. 0.8 l fattore di potenza è cos ϕ. La potenza media è S cos ϕ, dove S è la potenza apparente. A 0 4 0,8 8 kw; B 0 0,6 9 kw. Quindi B assorbe maggiore potenza media. 0.9 La potenza attiva è associata al resistore mentre la potenza reattiva è dovuta all induttore. Abbiamo 00 0 W 0, Q X 0 A X 00 Ω nfine X ωl L X/ω 0,0 H.

3 0. g 0 e C e cos 0 0 sen 0 6,4 7,66 cos (- 40 ) sen (- 40 ),8, C - er la LKT possiamo scrivere C o g 0. Quindi g Z o -,6 0,87 o g C,6 0,87 tan - (0,87/,6),7 76, e La corrente nel bipolo di impedenza Z coincide con la corrente del condensatore che 40 C e 40 0 vale e e A. Dunque e[s] e[ ½ o *] e[,8 e 76, 0 e ],8 cos(6, ) W 0. Bipolo (a): l induttore assorbe una potenza reattiva positiva; il bipolo di ammettenza Y assorbe la potenza reattiva Q ½ B ½ > 0. Dunque non può essere il carico incognito. Bipolo (b): le impedenze dell induttore e del condensatore si annullano a vicenda perciò il bipolo non assorbe potenza reattiva. Bipolo (c ): la reattanza è - quindi Q ½ X -, ; la potenza attiva è ½ 0. La potenza reattiva è negativa e il rapporto Q/ 0, come nel carico incognito. Bipolo (d): ϕ 60 Q S sen ϕ S / > 0. Quindi il carico è il bipolo (c). 0. Affinché un bipolo non assorba potenza reattiva, la sua impedenza deve essere reale. n questo caso conviene considerare l ammettenza: Y ωc ωc La parte immaginaria si annulla se ωc / ovvero C/40 mf. 0.4 La corrente ha l espressione i(t) sen (ωt) cos (ωt 90 ) cos (ωt 70 ). La tensione è v(t) cos(ωt θ v ). er t 0 si ha v(0) -,6, quindi cos(θ v ) - 0,8; cos - (-0,8) 4, tuttavia anche l angolo di 7 corrisponde allo stesso coseno. er determinare l angolo

4 corretto dobbiamo esaminare il grafico della tensione: in t 0 la tensione è crescente quindi la fase iniziale è maggiore di 80, angolo che corrisponde al minimo della sinusoide. Dunque θ v 7. La differenza di fase è ϕ θ v - θ i n un bipolo passivo la differenza di fase ϕ è compresa tra -90 e 90, dunque il bipolo è passivo. 0.6 Circuito simbolico. 0 0 / Con la formula di Millman: noltre 0 0( ) W ( ) ( ) 0 0 erifica: e * 0 40 [ ] W e[ *] W l circuito è resistivo quindi possiamo considerare solo le ampiezze delle grandezze sinusoidali. l generatore non eroga e non assorbe potenza perché non ha corrente. er il c.c. virtuale e il c.a. virtuale si ha una sola corrente che vale: ma k mw 4 k mw k noltre il circuito è un amplificatore non invertente, quindi 4 u 6 La potenza erogata dall operazionale è opamp u mw; essa coincide con la somma delle potenze assorbite dai resistori. 4

5 4 kω kω _ 0 u 0.8 (a) kw, Q ka ϕ tan - (Q/) 4 (b) kw, Q ka ϕ tan - (Q/) 6,6 0.9 (a) L impedenza del parallelo //C vale ( ) ( ) Z C 9 L impedenza complessiva è Z Z C. Quindi 9 / 9 cos ϕ X (9 / ) (/ ) 8 0,99 La reattanza è negativa quindi il fattore di potenza è in anticipo. (b) l bipolo è reattivo quindi e[z] 0 cos ϕ 0. (c) er il bipolo in parallelo all induttore possiamo scrivere: S cos ϕ S ka cosϕ ϕ cos (0,8) 6,87 L angolo è compreso tra 0 e 90 essendo il fattore di potenza in ritardo. Quindi: Q S sen ϕ 0,6 ka L induttore assorbe una potenza reattiva er il bipolo complessivo abbiamo: 0 kw Q L Beff 0, 0 9,68 ka. Q Q Q L 4,68 ka cos ϕ Q 0,6 4,68 l fattore di potenza è in ritardo poiché Q>0.

6 0.0 bipoli hanno la stessa potenza media e lo stesso fattore di potenza; indicando con i e Q i le potenze attiva e reattiva dei singoli bipoli abbiamo: cos ϕ i 4 i 4Q i i cos ϕ i 0,8 in ritardo Q i i 0. E un amplificatore invertente. La corrente nei resistori ha fasore m / G m, dove G è la conduttanza. La tensione del condensatore è C - m. La corrente di uscita dell operazionale è o - C G m ωc m m (G ωc). _ o m otenze assorbite. Generatore: S m G esistori: S G m Condensatore: S ( m ) ωcm Op-amp: S ( m ) m ( G m m ωc ω C) Gm /(ωc) ωcm C C Si verifica facilmente che la somma è nulla. 0. l nodo a è a potenziale di riferimento a causa dei c.c. virtuali di A e A. La corrente del generatore scorre in. noltre ab cb e dc. a 0 A _ b c Z A o d 6

7 Di conseguenza le correnti nei resistori ed sono uguali ma con versi opposti. La corrente in Z deve coincidere con la corrente in, dunque Z. nfine o /. otenza nei resistori ed : ½ 8 mw otenza in Z: Z ½ e[z] 6 mw otenza in : Z 0 Z /8000, mw otenza complessa erogata dall operazionale A: S ½ b (- )* (-) (-*) 6 mw A otenza complessa erogata dall operazionale A: S ½ o * ½ Z * Z ½ Z * Z ½ Z ½ Z A e[s] ½ ½ 4 (/4) 0 - (6,) 0-8, mw oiché il generatore di corrente non eroga potenza (la tensione è nulla), si verifica facilmente la proprietà di conservazione della potenza media. La fase del generatore è ininfluente. 0. Considerando il circuito simbolico alla pulsazione ω si ricavano le espressioni delle potenze medie nei due resistori: m ( ωl) ωc l rapporto delle potenze è ωl ( ωc) ( ωc) [ ( ωl) ] ( ωc) ωc m ( ) dove si è utilizzata la condizione C L/ ovvero L/C. L impedenza vista dal generatore è, infatti: m ( ωc) ( ωc) ( ω C) L C ω ω LC C 7

8 ( ωl) ωc ( ωl)( ωc) Z ωl ω LC ωc ωc Nell ultimo passaggio si è utilizzata la condizione C L/. Quindi la potenza media erogata dal generatore è m. ( ω LC) ω( C L / ) ω LC ωc 0. ϕ cos - (0,8) 6,87 tan ϕ 0,7. Utilizzando la formula (0.9) del libro abbiamo l equazione dalla quale si ricava (0,7 tanϕ ) 00π 80 tan ϕ 0,4 ϕ 4, cos ϕ 0,9 0.6 rima del rifasamento. l fasore della corrente è l fasore della tensione è g 80 eff 4, A,4 7,,4 7, 7, 80 7, g eff 70, 6,4 7,,4 7, otenza media dissipata nella linea e potenza media del carico: d eff 0,4 67,7 W 8446 W u eff endimento: η u u d 0,96 Dopo il rifasamento. l condensatore di rifasamento viene collegato in parallelo al carico; la capacità C deve essere tale da annullare la parte immaginaria dell ammettenza 7, Y ωc ω C 7, 8, Con l inserimento del condensatore l impedenza si riduce ad una resistenza di 8,/ 6, Ω. er determinare le grandezze richieste possiamo fare riferimento allo schema seguente. La tensione coincide con la tensione del carico, essendo il condensatore in parallelo. La potenza assorbita dal resistore equivalente di 6, Ω coincide con la potenza assorbita dal carico poiché il condensatore non assorbe potenza media. 8

9 0, Ω g 6, Ω 0, Ω 80 6, eff,8 A eff ,6 6,6 d eff u eff 0,4 08 W 6, 8447 W η u u d 0, l 0% dell energia attiva è pari a 80 kwh, il 7% è 7 kwh. La quantità di energia reattiva compresa tra il 0% e il 7% di quella attiva è kah, quella eccedente il 7% è kah. Quindi la penale è 0,0 40,04 8 0,. l fattore di potenza medio è 700 cosϕ 0, Lo sfasamento attuale è tan ϕ. L angolo desiderato è ϕ cos 0,9,8. Con la 0 formula (0.9) si ricava 0 0 (0,6 0,48) C 6,4 µf 00π 80 Approssimando il valore a 6, µf, la capacità si può realizzare collegando in parallelo 6 condensatori da µf e la serie di due condensatori da µf. 0.9 L impedenza di carico deve essere coniugata dell impedenza del generatore (40 Ω). ossiamo inserire un bipolo di impedenza 0 Ω come nella figura seguente. Tale bipolo è un condensatore di capacità tale per cui 0 /(ωc) C/(0ω) 0,9 mf. l carico modificato vale 40 Ω quindi assorbe la massima potenza media. Tale potenza è assorbita dal bipolo di impedenza 400 poiché il condensatore non assorbe potenza media. 40 Ω - 0 Ω 40 0 Ω 9

10 0.40 L impedenza del generatore per ω 0 rad/s è: 0 Z s 0 ( ) 6 0 ( ) Ω. 0 ( ) er avere la massima potenza sul carico deve essere ωl Z s *, quindi 00 Ω, s L 00/ω ½ H. La massima potenza è disp 0, mw Applicando il teorema di Thevenin al bipolo nel riquadro si ottiene: s T 0 6, 6 Z T ( ) ( )( ) 4 Ω 0 a l bipolo incognito deve avere impedenza Z Ω. Tale impedenza corrisponde alla serie di un resistore di resistenza 4/ 0,8 Ω e di un induttore di induttanza (/)/ω 0,4 mh. La potenza massima è T 0 max, W 8 8 (4 / ) 0.4 rocedendo come nell esercizio precedente si ha: T b 0 T Z T 0 Ω 0 0 Z L Ω T / 0 disp, mw 8 8 T 0 0 Z L 0

11 er ricavare la potenza assorbita da un carico di Ω si considera il circuito seguente. Ω T Ω T 0 A 40,7 mw 0.4 L impedenza vista dal bipolo è Z T (4)// (4)/ Ω. Affinché il bipolo assorba la massima * potenza media deve essere Z Z T ovvero 4 Z Ω 0.44 oiché il quadripolo di adattamento non assorbe potenza media, possiamo imporre che l impedenza equivalente del bipolo B sia pari a S. n questo caso la potenza disponibile del generatore viene assorbita dal bipolo B e quindi dal carico L. S X X B S X L La condizione è Z eq ( X ) L X X X X onendo X - X e semplificando si ottiene la condizione S L S X S L, ovvero X ± S L. Con S Ω, L 0 Ω si ha X ± 0 ± 7 Ω. Se si sceglie X 7 Ω, X -7 Ω, si ha il circuito nella figura seguente, in cui L 7/ω, C /(7ω). Si noti che l adattamento dipende dalla frequenza. S L L S C L

12 0.4 Applicando il teorema di Thevenin al bipolo nel riquadro, sia la tensione a vuoto sia l impedenza equivalente sono funzioni di α, mentre il carico è fissato (). n questo caso non possiamo applicare il teorema del massimo trasferimento di potenza. er risolvere l esercizio dobbiamo ricavare la potenza assorbita dal resistore in funzione di α e determinare il massimo. /ωc s - α rif. LKC nodo ω C( s ) 0 LKC nodo α 0 Soluzione: ωc α ωc ωc α 0 ( ωc) α s ωc 0 s ωc α ωc s ( α) La potenza assorbita dal resistore è er determinare il massimo possiamo considerare la funzione ( α) ( α) 4( ωc) La derivata rispetto ad α si annulla per α e α --(ωc). l primo valore è un minimo (la funzione si annulla); il secondo valore corrisponde ad un massimo. La potenza massima è m (4 ( ωc) ) max

13 0.46 icaviamo l impedenza vista dal carico, spegnendo il generatore di tensione. L impedenza vista dal carico è / F LKC nodo Quindi LKC nodo Soluzione: Z T 0 Ω er avere la massima potenza deve essere verificata la condizione La soluzione è X,6 Z T * X,6, 7,8 X Ω 0,4 0, Si applica il teorema di Thevenin al bipolo collegato al bipolo di impedenza Z. La tensione T si può ricavare con l analisi nodale (figura seguente).

14 F a T /(4) La corrente del condensatore ha fasore perché è in serie al generatore di corrente. noltre i due resistori sono in serie. Applicando la LKC al nodo a si ottiene: 0 - ()/ La tensione T è la somma della tensione del resistore verticale e della tensione sul condensatore. La prima è (-)/, la seconda è /(4): si ottiene T ¾. L impedenza equivalente si ricava dallo schema mostrato di seguito, ottenuto spegnendo i generatori: ( )( ) Z T //() /(4) Ω /( 4) La potenza massima si ottiene con la formula ¾ max T / W 8 e[ Z ] che corrisponde al circuito equivalente mostrato a destra. T ¾ ¾ 4

15 0.48 Spegnendo il generatore sinusoidale si ha la figura seguente. Applicando il teorema di Thevenin si ricava i A, W 4 4 Ω Ω Ω Ω / Ω i Ω Spegnendo il generatore costante si ha il circuito simbolico seguente. Applicando il teorema di Thevenin si ottiene il circuito mostrato sotto. Si ottiene (Z //(-)): Z Z ( ) 0, W / Ω nfine, W. -

16 0.49 oiché per entrambe le frequenze il fasore del generatore è lo stesso, conviene considerare un solo circuito simbolico, ricavando la potenza media del resistore in funzione di ω. /( ω) ω Applicando il teorema di Thevenin al bipolo nel riquadro si ottiene: ω ω ω ω T Z T ω ω ω ω ω Quindi T ω Z ω ω T 4ω 9 ω 4ω 4 Sostituendo nell espressione precedente ω e ω si ricavano le potenze: 0.0 ω 0 W 8 6 W 0, W i 4 Ω i 4 4 W ω 00 rad/s

17 l parallelo L//C ha ammettenza Y 0, quindi si comporta come un c.a. ertanto la 0 0 corrente del resistore è nulla, così come la potenza media. ω 000 rad/s -0, La serie L-C ha impedenza nulla, quindi si comporta come un c.c. l resistore è cortocircuitato dunque la corrente è nulla, così come la potenza media. La potenza complessivamente assorbita dal resistore è W. 7