Oscillazioni LC Applicando la legge di Faraday: ma Φ B. in direzione I. ovvero. La soluzione di questa equazone e:

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Violetta Cipriani
4 anni fa
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1 Oscillazioni Applicando la legge di Faraday: E d l d ma Φ B con d l in direzione d E dl ovvero ovvero d + q / n base alla nostra scelta di polarizzazione di pero', si ha' che: dq Segue che: A d d q Allora, si puo scrivere (): d q + q, oppure : d q + q a soluzione di questa equazone e: q Qsen( ω t + δ ) B d A dφ B q d dove l ampiezza di oscillazione Q e la carica massima sul condensatore.δ e la costante di fase, che e fissata dalle condizioni iniziali e ω e la pulsazione. Q -6 +q -q q π/ π 3π/ ωt+δ d l on Q -6, nf, millih q(ωt+δ), con δ

2 Si puo rappresentare l oscillazione di q per mezzo di un fasore, vale dire da un vettore di modulo corrispodente all ampiezza di oscillazione (Q) che ruota con velocita angolare ω. Allora q corrisponde alla proiezione verticale del fasore Qsen ( ω t +δ ) Q ω t +δ a corrente nella maglia, e: dq Q dove cos d ( ωt + δ ) Qω cos( ωt + δ ) ( ωt + δ ) sen( ωt + δ ʹ) δ ʹ δ π sen e Qω (ωt+δ), con δ Qω Amp π/ π 3π/ π/ a corrente puo essere dunque rappresentata dalla proiezione verticale di un fasore che ruota con la medesima velocita angolare (ω) ma che e in ritardo rispetto la carica di π/ ωt+δ Q ωt + δ π ω t +δ

3 Si noti che l energia immagazzinata nel campo elettrico del condensatore e : q Q sen t U E e che raggiunge un massimo di campo magnetico: U B sen t ( ω +δ ) Q ( ω + δ π ) ( ), mentre quella immagazzinata nel raggiunge un massimo di un intervallo di tempo dopo, π ω quando U. E notando che: E Q U B Q ω U E si capisce che l energia oscilla tra il campo elettrico ed il campo magnetico mentre il totale rimane costante; U E [ sen ( ωt + δ π / ) + cos ( ωt + δ / ) ] Q + U B π Q

4 appresentazione grafica di q(ωt), (ωt), U E (ωt) e U B (ωt) Qui sono rappresentate assieme carica, U E, corrente e U B in funzione della fase ωt (δ ) Q e U(E) π/ π ωt π e U(B) 4

5 appresentazione grafica di q(t), (t), U E (t) e U B (t) q Q and UE q e U E U E Q O Q t -Q δ + π / ω δ + π ω e U B δ + π ω Qui sono rappresentate assieme le q(t), U E (t), (t) e U B (t) in funzione del tempo, nel caso generico (δ non necessariamente ) Qω t - 5

6 l circuito (Oscillazioni smorzate) Applicando Faraday si ottiene: q d + d q + e siccome dq d q q dq + + oppure d q + dq + q a soluzione di questa equazione differenziale di secondo grado omogenea e : q Qe dove: Qe τ ( ) t ( ) * sen ω t + δ t τ * sen( ω t + δ ) d l +q (t) t ω * ( ) ω ( τ ) per < / (ω reale) si producono oscillazioni smorzate Se > / / (ω immaginario) non si producono oscillazioni corrisponde a smorzamento critico Si noti che quando <<, allora * ω ω 6

7 Alcuni esempi: ponendo Q -6, -3 H, -9 F come per il circuito, consideriamo l andamento di q(t) per diversi valori di / Ω q(ω*t+δ), con δ Ponendo 5 Ω q π/ ω*t Ponendo Ω 7

8 Oscillazioni forzate : correnti alternate. + d l Si definiscono l corrente e la fem +ve nella corrispondente a d l. + Applicando la legge di Faraday: q d (t) ~ + ( t), ovvero (t) q d + + ( t) () e definendo la carica + va sul condensatore come indicato, abbiamo : dq d q + dq + q ( t) () Anche le soluzioni all equazione omogenea sono tra le soluzioni di questa equazione differenziale. Queste le abbiamo gia viste e siccome, in ogni caso, l ampiezza diminuisce col tempo, queste soluzioni sono dette transienti e non interessano al comportamento stabile. Per trovare la soluzione particolare, corrispondente ad una f.e.m. applicata di tipo: ( t) sen( ωt) si supponga che la corrente vari come la f.e.m. applicata, cioe: ( t) sen( ωt ) φ dove φ e una costante di fase.

9 n base a questa ipotesi, possiamo esprimere le differenze di potenziale attraverso ogni elemento della maglia, contenute in eq. (). Allora, la differenza di potenziale attraverso e : ( ω φ) sen t che puo essere rappresentata dalla proiezione verticale di un fasore che ruota con velocita angolare ω. V ( di modulo ) l potenziale attraverso, si ottiene integrando la corrente per calcolare la carica sul condensatore a tempo t q Q t t sen( ωt +δ) ω ( ) ( e ponendo Q cos( ωt-ϕ) + ( ) cosϕ ) ω ( ) cosϕ ) ω (con opportuna scela di t) V ω φ t V + V V q X cos ωt ϕ ( ) X sen ( ωt ϕ) π (dove X e' la "reattanza capacitativa") ω rappresentato dalla proiezione verticale di un fasore V V ( di modulo X ) che e in ritardo di φ rispetto al fasore. c V 9

10 l potenziale attraverso l induttanza e : d (dove ( ω) cos( ωt φ) X X sen ω [( ωt φ) + π / ] e' la "reattanza"induttiva) che corrisponde alla proiezione verticale del fasore V (di modulo X ) che anticipa di π/. Tutti i fasori ruotano con la medesima velocita angolare ω e le loro proiezioni, in ogni istante, rappresentano le variazioni di potenziale attraverso ogni elemento rappresentato a sinistra dell equazione (). n base all equazione (), la somma di queste proiezioni deve corrispondere in ogni momento alla f.e.m. applicata, ovvero alla proiezione del fasore. Ma la somma delle proiezioni corrisponde alla proiezione della somma. Segue che la soluzione a () corrisponde a : V V + V + cioe alla circostanza in cui la somma dei versori corrisponde al versore della f.e.m. applicata sen( ωt). Questa circostanza si verifica quando la fase φ (l angolo tra il fasore V e il fasore ) e data da: V V tanφ V X X V

11 mentre, V cioe, dove Z ( V V ) + V ( X X ) + V + V + ( X X ) ( X X ) + + Z e detta l impedenza del circuito. Si noti che, nella relazione: Z Z corrisponde alla resistenza nella legge di Ohm in circuiti dc. Si noti che l impedenza Z e la fase φ sono correlate e, in particolare, che Z e minimo quando la tangente di φ e zero, cioe quando X X ω ω ω ω cioe, quando la fequenza della f.e.m. applicata corrisponde alla frequenza naturale ω. Allora, la corrente raggiunge un valore massimo. Questa condizione e nota come la condizione di risonanza. risonanza ω 3 < < 3

12 Potenza e valori quadratici medi: a potenza istantanea P d dissipata in e : P d sen ( ωt φ) E siccome e sempre positiva, la media dissipata e non-nulla. a media calcolata in un ciclo e : P d τ P τ sen ( ωt ϕ) τ τ cosφ τ τ τ τ τ 4π cos( Φ), cos( Φ) d ( Φ) d ( Φ ) ( ) dove la fase Φ ( ωt ϕ) 4ωτ zero, tenuto conto dei limiti ( ) sen Φ 4π E solito esprimere la potenza media in termini della corrente quadratica media : P d dove τ τ

13 Altri valori quadatici medi vengono definiti in modo analogo, es: e, in base alla Z Z definizione Z di : a potenza istantanea generata e: P g sen ( ωt) sen( ωt φ) e la media, calcolata sul ciclo e: τ sen ωt sen ωt P g τ ( ) ( φ) Si puo dimostrare che questa si riduce a: Pg Z cosφ (dovecosφ e' detto Z cosφ il cosφ fattore P d di potenza) ( potenza media dissipata) 3

14 n questo caso (cioe in un circuito ), tutta la potenza media generata e dunque dissipata nella resistenza. Si noti che la potenza media generata raggiunge il valore massimo quando cosφ Z cioe' quando Z X ovvero ( X X ) X quando + Questa condizione corrisponde a quella di risonanza. n qualsiasi caso, pero, nel circuito, la potenza generata corrisponde a quella disspita nella resitenza 4

15 n un circuito contenente induttanza mutua, ad esempio un trasformatore, solo una parte della potenza generata dalla f.e.m. applicata viene dissipata nella resistenza. P ( sempre g >> Pd ) a maggior parte viene trasferita al circuito secondario. + + (t) ~ M Generalmente, i due avvolgimenti vengono fatti intorno ad un armatura ferrea commune, che ha l effetto di convogliare l intero flusso attraverso entrambi gli avvolgimenti. n tali circostanze: V V n n V n n V Vale dire che il potenziale attraverso l avvolgimento secondario puo essere ridotto a volonta. Questo e generalmente necessario perche conviene trasmettere la potenza nel primario a bassa corrente. Per il circuito primario, valgono sempre le espressioni: P P g d Z cosφ cosφ (potenza generata) ( potenza media dissipata) 5

16 Ma non vale piu Z cosφ a causa dell aggiunta di V M che deriva dall induttanza mutua del trasformatore (che ha una fase vicina a quella di V ) es V φ V V V V M V Di conseguenza, P g ed P d non sono piu identici. a differenza corrisponde alla potenza consumata dal circuito secondario e, al fine di minimizzare il rapporto tra potenza dissipata nel circuito primario (quello di trasmissione) e potenza consumata dal circuito secondario, P P d g P g cosφ cosφ conviene ridurre la corrente nel primario per minimizzare la potenza dissipata nelle linee di trasmissione, ed aumentare e cosφ per massimizzare la potenza generata (la tensione verra poi ridotta a valori pratici dal trasformatore). Un aumento del fattore di potenza (cosφ) viene gia introdotto dal trasformatore (altro aumento puo venire introdotto con opportuno impiego di e ). 6

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