Il trasformatore Principio di funzionamento

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Gilda Bettini
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Il trasformatore Principio di funzionamento Il trasformatore è una macchina elettrica statica reversibile, che funziona sul principio della mutua induzione.

1 Il trasformatore Principio di funzionamento Il trasformatore è una macchina elettrica statica reversibile, che funziona sul principio della mutua induzione. È formato da un nucleo in lamierino ferromagnetico al quale sono concatenati due avvolgimenti distinti (fig.1): l'avvolgimento primario, con N 1 spire, che viene alimentato da una sorgente esterna di tensione; l'avvolgimento secondario, con N 2 spire, al quale viene collegato il carico. La legge generale di induzione elettromagnetica fornisce una fem per spira data, in valore istantaneo, da: Ammesso che il nucleo sia sede di un flusso magnetico alternato sinusoidale: ed effettuando la derivata, rispetto al tempo, si ha: Fig.1 Schema di principio di un trasformatore. Si ottiene quindi una fem di valore massimo E max = ω Φ max sfasata in ritardo sul flusso di 90. Se indichiamo con A la sezione del nucleo magnetico e con B max il valore massimo dell'induzione, si ha Φ max = BBmax A. Sostituendo questa relazione in quella precedente, il valore efficace della fem indotta in una spira, E = E max / 2, assume l'espressione: (1) Tenendo conto del numero di spire, la fem indotta in ciascun avvolgimento sarà data, in valore efficace, da: (2)

Il trasformatore è una macchina che lavora generalmente ad altissimo rendimento, anche oltre il 98%; in prima approssimazione perciò si può ritenere ideale.

2 Il trasformatore è una macchina che lavora generalmente ad altissimo rendimento, anche oltre il 98%; in prima approssimazione perciò si può ritenere ideale. Trascurando quindi i parametri passivi degli avvolgimenti, l'equazione alla maglia d'ingresso dovrà stabilire che la somma fra la tensione v 1, applicata dal generatore esterno, e la fem indotta e 1, prodotta dall'avvolgimento N 1 deve dare come risultante zero: Ciò dimostra che la tensione applicata al primario è uguale alla fem, ma opposta di fase. Per il secondario si avrà semplicemente: v 2 = e 2 I valori efficaci delle tensioni saranno perciò, in modulo: (3) e vettorialmente (fig. 2): (4) Dalle relazioni (fig. 3), dividendo membro a membro, si ricava la proporzione: (5) K viene indicato come rapporto di trasformazione o rapporto spire. Dalla (5) si deduce che: in un trasformatore il valore della tensione è direttamente proporzionale al numero di spire. Per il caso ideale, che qui esaminiamo, possiamo affermare che la potenza erogata al secondario è uguale alla potenza assorbita al primario. Posto quindi V l I l = V 2 I 2 deriva I t / I 2 = V 2 / V 1 cioè: (6) In un trasformatore il valore della corrente è inversamente proporzionale al numero di spire.

3 Fig. 2 Diagramma vettoriale delle tensioni di un trasformatore ideale. Fig. 3 Diagramma vettoriale di un trasformatore a vuoto. Esercizio 1 Un trasformatore monofase da 20 kva, rapporto tensioni 220/24 (V), frequenza 50 Hz, è avvolto su nucleo ferromagnetico di sezione A = 3 cm 2 e lavora all'induzione B max = 1,2 Wb/m 2. Determinare: N l e N 2.

4 Funzionamento a vuoto Alimentando il trasformatore con i morsetti secondari aperti non si ha nel secondario alcuna corrente. L'avvolgimento primario invece, collegato alla rete di alimentazione, assorbirà una corrente Io, sfasata di φ 0 sulla tensione. Tale corrente è la risultante di: una componente attiva, I a = I 0 cos φ 0, che serve ad alimentare le perdite nel ferro, per isteresi e correnti parassite; una componente reattiva, Iμ = I 0 sen φ 0, detta magnetizzante, che serve a produrre il flusso magnetico. La corrente a vuoto I 0 è generalmente molto piccola, circa 5 % al 10% di quella nominale, e fortemente sfasata (fig. 3). Data l'esiguità di questa corrente, gli effetti passivi dell'avvolgimento primario sono irrilevanti. Per tener conto della presenza della corrente I 0, che è esclusivamente passiva e non contribuisce Fig. 4 Schema equivalente di un trasformatore a vuoto. al trasferimento di energia dal primario al secondario, si sviluppa uno schema rappresentativo del funzionamento a vuoto del trasformatore come tracciato in fig. 4. In esso è evidenziato il gruppo R 0, X 0, sede delle correnti I a e Iμ ; tale circuito va inteso come equivalente al nucleo magnetico. Il trasformatore a vuoto assorbe: una potenza attiva P 0 = V 1 / 0 cos φ 0, corrispondente alle perdite nel ferro, P 0 = P f ; una potenza reattiva Q 0 = V 1 I a sen φ 0, che è la potenza magnetizzante. Esercizio 2 Un trasformatore monofase da 2 kva, alimentato alla tensione di 220 V, assorbe a vuoto una corrente di 0,25 A ed una potenza attiva P 0 = 20 W. Determinare: cos φ 0, Ia, Iμ.

5 Funzionamento a carico Collegando il carico, l'avvolgimento secondario è chiamato ad erogare una corrente I 2 la quale, per effetto di mutua induzione, richiama al primario una corrispondente corrente I 1. Questa, nel rispetto della (6), sta nel rapporto inverso del numero di spire e, per effetto di retroazione, è sfasata di 180 su I 2 (fig. 5). La corrente complessiva primaria, risultante fra I 1 e I 0, sarà: Come abbiamo detto, l'incidenza di I 0 è esigua per cui I 1 I 1 - Gli avvolgimenti del trasformatore presentano parametri passivi, che occorre considerare. Essi sono (fig. 6): le resistenze dei conduttori, R 1 e R 2 ; le reattanze di dispersione X 1 ex 2, che tengono conto di quella parte di flusso disperso, che non riesce ad accoppiarsi con entrambi gli avvolgimenti. Fig. 5 Diagramma vettoriale delle correnti di un trasformatore. Fig.6 Schema equivalente di un trasformatore. Questi parametri possono essere più semplicemente trasferiti tutti al primario oppure al secondario (fig. 7), rispettivamente mediante le formule:

6 Fig. 7 Schemi equivalenti semplificati di un trasformatore: a) primario; b) secondario. Dimostrazione Si supponga di voler valutare il valore di resistenza R 2 da collocare al primario, tale che sia equivalente alla resistenza secondaria effettiva R 2. Entrambe le resistenze dovranno sviluppare la medesima potenza, dovrà cioè essere: e, con la (6): Con lo stesso procedimento si può dimostrare la reattanza equivalente. Esercizio 3 Un trasformatore monofase avente rapporto spire K = 2,5 possiede i seguenti parametri: R 1 = 35 Ω, X l = 40 Ω, R 2 = 5 Ω, X 2 = 7Ω. Determinare resistenze e reattanze equivalenti primarie e secondarie. Le resistenze e reattanze di dispersione determinano cadute di tensione, le quali provocano una variazione della tensione al carico al variare della corrente erogata.

Fig. 8 Diagramma vettoriale dello schema di fig.7b. Con riferimento allo schema equivalente secondario (fig. 7b) e al diagramma vettoriale corrispondente (fig.

7 Fig. 8 Diagramma vettoriale dello schema di fig.7b. Con riferimento allo schema equivalente secondario (fig. 7b) e al diagramma vettoriale corrispondente (fig. 8), la legge di funzionamento è: La variazione di tensione V=E 2 - V 2 è legata ai parametri interni globali e all'angolo di fase φ del carico dalla formula: Dimostrazione Con riferimento al diagramma vettoriale di fig. 9 si proietti OC in OE. Data l'esiguità delle cadute di tensione si può ritenere: OE OC = E 2 La variazione di tensione quindi è data da: Fig. 9 Diagramma vettoriale del circuito equivalente secondario.

Da essa deriva la famiglia di caratteristiche esterne data in fig. 10.

Nel caso di carico ohmico-capacitivo invece si rileva una minor diminuzione e, per forti sfasamenti, addirittura un aumento della tensione. Fig.

Rendimento Le resistenze, percorse da corrente, sviluppano perdite nel rame date globalmente da: Esse sono un inconveniente perché contribuiscono a diminuire il

8 Da essa deriva la famiglia di caratteristiche esterne data in fig. 10. Si osserva che per i casi di carico ohmico e ohmico-induttivo la tensione tende a diminuire con l'aumentare della corrente. Nel caso di carico ohmico-capacitivo invece si rileva una minor diminuzione e, per forti sfasamenti, addirittura un aumento della tensione. Fig. 10 Caratteristiche esterne di un trasformatore ai vari carichi: a) RL, b) R, e) RC,d) C. Rendimento Le resistenze, percorse da corrente, sviluppano perdite nel rame date globalmente da: Esse sono un inconveniente perché contribuiscono a diminuire il rendimento del trasformatore, ma soprattutto perché ne aumentano la temperatura in funzionamento. Il rendimento di un trasformatore si può valutare mediante la relazione generale: in cui: Data l'assenza di parti in movimento, il rendimento di un trasformatore è sempre molto elevato, superiore al 90%. Solo nei trasformatori di piccola potenza può scendere a valori inferiori.

9 Esercizio 4 Un trasformatore monofase da 2 kva, rapporto tensioni 220/160 V, presenta perdite nel ferro P fe =80W e perdite nel rame P cu = 120 W. Determinare il rendimento a cos φ = 1 e cos φ = 0,8.

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