PROVA SCRITTA D ESAME DEL 09 GIUGNO 2008

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Gennara Orlandi
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1 UNVERSTÀ D ROMA LA SAPENZA FACOLTÀ D NGEGNERA CORSO D LAUREA N NGEGNERA ENERGETCA DSCPLNA D MAHNE E CONVERTTOR D ENERGA ELETTRCA PROVA SCRTTA D ESAME DEL 9 GUGNO 8 Quesito 1 parametri del circuito equivalente riferito al secondario di un trasformatore trifase da kva, 4 V, 5 Hz, sono i seguenti: resistenza e reattanza a vuoto: Ω, 3.88 Ω; resistenza e reattanza di corto: 1.66 mω, 3.84 mω. La macchina è connessa ad un ico che assorbe 115 kw con fattore di potenza.881 in ritardo, essendo la tensione in uscita dal trasformatore pari a 4 V. Determinare: 1 la corrente a vuoto lato BT [] il fattore di potenza a vuoto 3 la tensione di corto circuito v cc % [%] 3 4 il fattore di potenza in corto circuito ϕ cc 3 5 la tensione immediatamente a valle del trasformatore ideale, 3 necessaria a produrre le condizioni di ico in oggetto [V] 6 la corrente erogata dal trasformatore ideale (somma della corrente di 4 ico e della corrente a vuoto) [] 7 il rendimento nelle condizioni di ico in oggetto [%] 3 Quesito Sia dato un motore ad induzione trifase con i seguenti dati di targa: tensione di alimentazione di 38V, frequenza di alimentazione di 5 Hz, due coppie polari, collegamento a stella delle fasi statoriche. l motore assorbe dalla linea di alimentazione una potenza apparente di 71.4 kva con un fattore di potenza di.84. Le perdite nel rame di statore sono pari a. kw, e le perdite a vuoto, somma delle perdite nel ferro e delle perdite meccaniche, sono pari a 1.6 kw. Lo scorrimento è pari al 3%. Si calcoli: 8 la potenza trasmessa elettromagneticamente al rotore (potenza sincrona) [kw] 9 la potenza all albero [kw] 1 le perdite nel rame di rotore [kw] 11 la coppia elettromagnetica T [Nm] 1 il rendimento percentuale [%] cognome, nome mobile Con la mia firma autorizzo la pubblicazione dei risultati di questa prova sul sito firma

2 SOLUZONE Quesito 1 Per risolvere il problema in esame è necessario fare riferimento al circuito equivalente del trasformatore con parametri riferiti al secondario. n realtà, considerando i dati forniti dal problema, la presenza del trasformatore ideale non ha alcuna influenza pratica sullo svolgimento del problema stesso; quindi non avrà alcuna rilevanza il valore della tensione sul primario. Per lo svolgimento del problema si prenderà in considerazione il circuito equivalente di cui alla figura 1. n tale circuito, il ramo serie è fisicamente prima del ramo parallelo. Verrà quindi determinato un circuito equivalente monofase; questo è tale per cui tre di questi connessi in serie sono equivalenti alla macchina trifase. La potenza nominale del trasformatore rappresentato dal circuito monofase è un terzo della macchina trifase, pari quindi a: S n / kva Di conseguenza, la corrente di line trifase è equivalente alla corrente nel circuito monofase, mentre la tensione concatenata trifase dove essere convertita, nello schema monofase, in una tensione stellata. Si ha quindi, con riferimento alla Fig. 1, che la tensione di alimentazione è pari a: 4 V CD 3. 94V 3 La corrente nominale di macchina è data da: S N N A V 3.94 CD 1. Per quanto riguarda la corrente a vuoto, questa è la corrente che fluisce nel bipolo rappresentato dal parallelo della R e della X. Si ha per tale impedenza: Z jr X Ω R + jx j l modulo della Z è pari a 3.11 Ω. Di conseguenza, la corrente a vuoto è pari al rapporto tra la tensione V CD e l impedenza Z. V Z 3.94 CD A Di conseguenza, la corrente a vuoto in percento è pari a: 7.19 i %.49% N. Per quanto riguarda il fattore di potenza a vuoto, questo è deducibile dal rapporto tra la parte reqle e quella immaginaria dell impedenza a vuoto:

3 X cos tan.3 R oppure, più direttamente, dal rapporto tra il modulo dell impedenza e la parte reale: R Z Per quanto riguarda il valore della tensione di corto circuito, per definizione questa è data dal prodotto tra la corrente nominale e la impedenza di corto circuito. Tale impedenza ha modulo: Z cc Rcc + X cc La v cc ha quindi valore: vcc Z cc n V che, espressa in percentuale della tensione nominale è pari a: v cc Vcc 9.6 % % V 3.94 N 4. Analogamente a quanto discusso per il punto., il fattore di potenza in corto circuito è è deducibile dal rapporto tra la parte reale e quella immaginaria dell impedenza di corto circuito: cos tan X R cos tan oppure, anche in questo caso, dal rapporto tra il modulo dell impedenza e la parte reale: R 1.66 cos ϕ.38 Z , 6., 7. Per quanto riguarda questi tre punti, è da ricordare che sono relativi ad una condizione di ico particolare: quella in cui una terna di impedenze connesse a stella è applicata al secondario del trasformatore. n pratica, è ora necessario collegare ai morsetti CD del trasformatore una impedenza formata dalla serie di una R e di una X entrambi incognite. Nello schema monofase, ogni trasformatore equivalente eroga una potenza di 115/ kw con un fattore di potenza pari a.881 in ritardo. 5. Si richiede in pratica il valore della tensione V 1 V AB necessaria a mantenere la condizione di ico in esame. A questo scopo è più diretto utilizzare un metodo detto delle reti a scala, determinando prima la corrente nel ico, poi la corrente nell impedenza a vuoto, calcolare la somma delle due che transita nell impedenza di corto e quindi la caduta di tensione.

4 6. La corrente nel ico è deducibile considerando che: P V Per la si ha quindi: P V A Prendendo come riferimento la tensione sul ico, V 3.94+j, la corrente di ico può essere scritta in forma vettoriale: j sin cos [ (.881) ] j Analogamente, per la si può scrivere: [ (.3) ] j7.19 sin cos j La corrente che fluisce nell impedenza di corto ha quindi valore pari alla somma delle correnti al nodo C, e quindi Z j( ) j Tale corrente ha modulo 193. A. 5. Riprendendo ora in esame il quesito 5., la corrente totale provoca sulla impedenza di corto circuito una caduta di tensione: V Z ( R + jx ) Z ( j3.84) 1 ( j96.8) 5.8 j3.95 La tensione V AB è quindi pari alla somma della tensione sul ico ( j) e della tensione sulla impedenza di corto circuito (5.8-j3.95). La tensione V AB è quindi pari a: V AB j( 3.95) 36. j3.95 con un valore efficace pari a 36.5 V. La tensione concatenata sul trasformatore è pari alla precedente moltiplicata per V. 3, e cioè a 7. l rendimento del trasformatore è pari al rapporto tra la potenza in uscita e quella in ingresso. La potenza perduta nel ferro è pari a: P V R 3.94 fe Quella perduta nel rame: W

5 P cu Z R W n definitiva, il rendimento è pari a: P η % 97.8% P + P + P fe cu oppure secondo la formula del rendimento convenzionale: Pfe + Pcu η % % P + P + P fe cu Quesito Nelle condizioni di ico considerate, il motore assorbe dalla rete la potenza attiva: P in S in in kw Poiché risulta che la potenza in ingresso è pari alla somma delle perdite nel rame di statore, della potenza sincrona e della potenza a vuoto, si ha: P in P cu,s + P sin + P e quindi la potenza sincrona può essere calcolata come P sin P in - P cu,s - P P sin kw La potenza meccanica coincide con la potenza sincrona depurate dalle perdite nel rame di rotore, e può essere espresso come: P mech (1 s) P sin P mech (1.3) kw Le perdite nel rame di rotore valgono: P cu,r P sin P mech kw Essendo inoltre: n n (1 s) (6 f / p) (1 s) (6 5 / ) (1.3) 1455 rpm la coppia elettromagnetica risulta:

6 3 Pmech T πn π l rendimento risulta: 358.9Nm Pmech 54.7 η % % P 6. in

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